CN111715947B - 一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，主要包括：由弧齿锥齿轮的齿坯参数求解产形轮参数；确立切削小轮齿面的刀盘几何参数、刀盘的运动参数；建立刀具固定坐标系，由刀盘几何参数及刀盘的运动参数确定基于刀具固定坐标系的刀盘切削面即小轮展成时的产形面；建立小轮切齿模型与小轮切齿计算，得到小轮齿面方程；建立大轮切齿模型与大轮切齿计算，得到大轮齿面方程。本发明弧齿锥齿轮副成形方法成形的渐缩齿弧齿锥齿轮副为线接触，小轮在切齿时刀具附加沿自身轴线的进给运动，实现渐缩齿齿根的加工，大轮直接成形，无需调整计算与繁琐的齿面修正；直接基于数控机床建立切齿模型，充分发挥出数控机床多轴联动的优势。

Description

一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法

技术领域

本发明涉及弧齿锥齿轮技术领域，具体涉及一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法。

背景技术

弧齿锥齿轮作为机械传动的关键零件之一，被广泛应用于汽车、航空航天、工程机械等工业的各个领域。随着弧齿锥齿轮数控机床技术不断向高精化、高速化、高效化发展，弧齿锥齿轮的加工制造方法也已经从传统的机械式机床发展到多轴联动的数控机床。现有的弧齿锥齿轮加工方法多是基于格里森机械式机床的传统方法及其演变，具体有：为了修正齿面压力角的刀倾法、为了修正齿高方向曲率的变性法、为了避免对角接触的螺旋变性法。目前弧齿锥齿轮的数控加工多是基于以上加工方法，通过传统的机械式机床与多轴联动的数控机床建立转化关系来实现的。但是目前的加工方法存在以下问题：(1)受制于传统机械式机床运动的局限性，这些方法并没有严格遵循产形轮原理，导致加工出的一对齿轮副非完全共轭。(2)基于局部共轭原理的齿面接触区只占齿面的一部分，两齿面啮合时为点接触，实际应用时出现接触斑点，齿轮承载能力低，齿面修正计算繁琐、存在不可避免的误差、修正效果不理想，且目标仅仅追求接触区的位置及形状，并未考虑到全齿面接触。(3)目前采用的数控机床加工弧齿锥齿轮，只是将切齿位置从机械式机床转换到数控机床，并未直接基于数控机床建立切齿模型，发挥出数控机床多轴联动的优势。以上几个方面的缺陷，都影响一对齿轮副的综合啮合性能，制约了弧齿锥齿轮多轴联动数控加工技术的发展与应用。

发明内容

针对上述现有技术，本发明提出一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮成形方法，摆脱传统机械式机床加工方法的束缚，直接基于数控机床建立切齿模型，实现线接触渐缩齿弧齿锥齿轮精确、高效的加工。

产形轮原理：在两齿面啮合中，存在第三齿轮作一定的运动，使空间三个齿面始终有共同的接触线。若将第三齿轮作为刀具，刀具切削面为第三齿面，则它和两齿轮分别啮合作切削运动，就可以加工出两齿面，且此两齿面能够作要求的线接触啮合运动。在产形轮原理应用于渐缩齿弧齿锥齿轮时，由于加工大轮、小轮的两刀具切削面不能完全贴合，故目前的渐缩齿弧齿锥齿轮加工方法不符合产形轮原理，加工出的两齿面为点接触。

本发明提出的成形方法基于一种成形原理，此成形原理严格遵循产形轮原理，使在实际加工中实现了对偶加工法。成形原理为：小轮齿面的成形采用展成加工法，即刀具切削面(产形面)与小轮齿坯作一定的啮合运动，刀具切削面包络形成小轮齿面；大轮的齿面成形采用直接加工法，即基于产形面成形规律规划出刀具轨迹，直接在大轮齿坯上加工出小轮展成时的产形面。

本发明提出的一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，包括以下步骤：

步骤一、根据弧齿锥齿轮的齿坯参数求解产形轮参数，所述弧齿锥齿轮的齿坯参数包括小轮齿数z₁、大轮齿轮z₂、大端模数m、中点螺旋角β、齿面宽b、外锥距R_e、齿宽中点锥距R_m、内锥距R_i、小轮节锥角δ₁、大轮节锥角δ₂和小轮齿根角θ_f1，所述产形轮参数为产形轮中心到齿线中心的距离e；

步骤二、确立切削小轮齿面的刀盘几何参数、刀盘的运动参数，所述刀盘几何参数包括刀盘名义半径r₀、刀顶距w、内刃齿形角α_i和外刃齿形角α_e，所述刀盘的运动参数为螺旋参数p；

步骤三、确立产形面：首先，建立刀具固定坐标系，由刀盘几何参数及刀盘的运动参数确定基于刀具固定坐标系的刀盘切削面，所述刀盘切削面为小轮展成加工时的产形轮齿面即产形面；

步骤四、建立小轮切齿模型与小轮切齿计算：所述小轮齿面是产形轮依据齿轮啮合原理进行展成运动包络形成的，按照小轮展成加工时的相对位置关系建立展成切齿坐标系，包括：机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系，并得到所述机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系之间的变换关系；由展成运动时小轮齿坯、产形轮和刀具的相对位置关系得到小轮切齿模型；由小轮的齿坯参数、所述产形轮参数、刀盘几何参数及刀盘的运动参数和小轮切齿模型计算出机床调整参数，基于齿轮啮合原理，实施小轮切齿计算，得到小轮齿面方程；

步骤五、建立大轮切齿模型与大轮切齿计算：首先，建立与大轮齿坯轴线固联的动坐标系，同时得到大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系，并确定这三个坐标系之间的变换关系；根据大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系确定大轮与产形轮的位置关系，以及大轮坐标系、产形轮坐标系、刀具固定坐标系之间的坐标变换关系，结合步骤三确立的产形面的数学模型，建立大轮切齿模型，实施大轮切齿计算，得到大轮齿面方程。

进一步讲，本发明所述的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其中：

所述产形轮中心到齿线中心的距离e的计算公式如下：

式(1)中，R_m是齿宽中点锥距，r₀是刀盘名义半径、β是中点螺旋角。

所述螺旋参数p的计算公式如下：

式(2)中，b是齿面宽，θ_f1是小轮齿根角，e是产形轮中心到齿线中心的距离，r₀是刀盘名义半径，R_i是内锥距，R_e是外锥距。

所述产形面的数学模型如下：

式(3)中，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；

是r_t在刀具固定坐标系中x_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中y_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中z_t轴上的分量；r₀是刀盘名义半径；w是刀顶距；u是产形面长度参数，刀尖顶点处u值为零，沿刀刃离开刀尖顶点方向为正；θ是产形面的相位参数，在刀具固定坐标系中，由x_t轴绕原点逆着z_t轴看、所述x_t轴逆时针转过的θ值为正；p是螺旋参数；对于α：在加工小轮凹面时为外刃齿形角α_e，在加工小轮凸面时为内刃齿形角α_i；对于±：在加工小轮凹面时取“-”，在加工小轮凸面时，取“+”。

所述小轮齿面方程为：

式(4)中，r₁为小轮加工齿面位置矢量，M_gt为从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系、

为从产形轮坐标系到与小轮齿坯轴线固联的动坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；f₁为小轮与产形面之间的啮合方程、u是产形面长度参数、θ是产形面的相位参数、

是产形轮转角参数；

所述大轮齿面方程为：

式(5)中，r₂为大轮齿面位置矢量，M_gt从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系，

为产形轮坐标系到大轮坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢。

与现有的渐缩齿弧齿锥齿轮成形理论及加工方法相比，本发明的有益效果是：

(1)成形原理实际加工中可行，此方法成形的渐缩齿弧齿锥齿轮副为线接触。

(2)在建立小轮切齿模型时提出了新的切齿方法，即小轮在切齿时刀具附加沿自身轴线的进给运动，实现渐缩齿齿根的加工，大轮采用成形法。与传统的渐缩齿弧齿锥齿轮加工方法相比切齿计算较简便，无需为了优化接触区而进行的调整计算与繁琐的齿面修正。

(3)克服了传统机械式机床运动的局限性，直接基于数控机床建立切齿模型，充分发挥出数控机床多轴联动的优势。

附图说明

图1是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中小轮展成时产形轮参数示意图；

图2是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中刀盘运动参数(即螺旋参数)求解示意图；

图3是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中刀盘切削面示意图

图4是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中小轮展成时坐标系示意图；

图5是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中齿轮副啮合坐标系示意图；

图6是本发明弧齿锥齿轮副成形方法中大轮齿面加工示意图。

具体实施方式

本发明提出的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其成形原理严格遵循产形轮原理，简化了弧齿锥齿轮副成形步骤，使在实际加工中实现对偶加工法，适用于任何模数、齿数的渐缩齿弧齿锥齿轮。在建立小轮切齿模型时提出了新的切齿方法，即切齿刀盘附加轴向进给。基于弧齿锥齿轮数控机床建立切齿模型，简化了建模方式。利用本发明提出的成形方法，能够直接加工出线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副。

下面结合附图及具体实施例对本发明做进一步的说明，但下述实施例绝非对本发明有任何限制。

本发明提出的弧齿锥齿轮副成形方法，具体实施包括以下步骤：

步骤一、根据弧齿锥齿轮的齿坯参数求解产形轮参数。

所述弧齿锥齿轮的齿坯参数包括小轮齿数z₁、大轮齿轮z₂、大端模数m、法向压力角α_n、中点螺旋角β、齿面宽b、外锥距R_e、齿宽中点锥距R_m、内锥距R_i、小轮节锥角δ₁、大轮节锥角δ₂和小轮齿根角θ_f1，所述产形轮参数为产形轮中心到齿线中心的距离e；

如图1所示，所述产形轮中心到齿线中心的距离e的计算公式如下：

式(1)中，R_m是齿宽中点锥距，r₀是刀盘名义半径，β是中点螺旋角。

步骤二、确定刀盘几何参数及其运动参数。

确立切削小轮齿面的刀盘几何参数、刀盘的运动参数，所述刀盘几何参数包括刀盘名义半径r₀、刀顶距w、内刃齿形角α_i和外刃齿形角α_e，所述刀盘的运动参数为螺旋参数p；其中，刀盘几何参数螺旋参数p，如图2所示，所述螺旋参数p的计算公式如下：

式(2)中，b是齿面宽，θ_f1是小轮齿根角，e是产形轮中心到齿线中心的距离，r₀是刀盘名义半径，R_i是内锥距，R_e是外锥距。

步骤三、确立产形面。

如图3所示，基于刀盘轴线建立刀具固定坐标系，由刀盘几何参数及刀盘运动参数确立基于刀具固定坐标系的刀盘切削面，此刀盘切削面为小轮展成加工时的产形轮齿面即产形面。所述产形面的数学模型如下：

式(3)中：

r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；

是r_t在刀具固定坐标系中x_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中y_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中z_t轴上的分量；

r₀是刀盘名义半径；

w是刀顶距；

u是产形面长度参数，刀尖顶点处u值为零，沿刀刃离开刀尖顶点方向为正；

θ是产形面的相位参数，在刀具固定坐标系中，由x_t轴绕原点逆着z_t轴看、所述x_t轴逆时针转过的θ值为正；

p是螺旋参数；

对于α：在加工小轮凹面时为外刃齿形角α_e，在加工小轮凸面时为内刃齿形角α_i；

对于±：在加工小轮凹面时取“-”，在加工小轮凸面时，取“+”。

步骤四、建立小轮切齿模型与小轮切齿计算。

所述小轮齿面的成形是依据齿轮啮合原理进行展成运动，即产形面按照一定的运动关系，包络形成小轮齿面。如图4所示，按照小轮展成加工时的相对位置关系建立展成切齿坐标系，包括：机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系，如图4所示，图4中，S为固定坐标系，S_g为产形轮坐标系，S_t为刀具固定坐标系，

为与小轮轴线固联的动坐标系，S_a、S_b、S_c、S_d分别为辅助坐标系，其中，φ₁、φ_t1分别为小轮齿坯与刀具转角，ψ₀₁为产形轮初始转角，δ₁为小轮节锥角。并得到所述机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系之间的变换关系；由展成运动时小轮齿坯、产形轮和刀具的相对位置关系得到小轮切齿模型。

由小轮的齿坯参数、所述产形轮参数、刀盘几何参数及刀盘的运动参数和小轮切齿模型(即展成运动时小轮齿坯、产形轮和刀具的相对位置关系)计算出机床调整参数，如表1所示，具体包括：

表1

基于齿轮啮合原理，实施小轮切齿计算，可得到小轮齿面方程如下

式(4)中，r₁为小轮加工齿面位置矢量，M_gt为从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系、

为从产形轮坐标系到与小轮齿坯轴线固联的动坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；f₁为小轮与产形面之间的啮合方程、u是产形面长度参数、θ是产形面的相位参数、

是产形轮转角参数。

小轮加工方法：利用所建立的切齿模型采用展成加工。

步骤五、建立大轮切齿模型与大轮切齿计算。

首先，建立与大轮齿坯轴线固联的动坐标系，同时得到大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系，并确定这三个坐标系之间的变换关系。如图5所示，依据产形轮原理建立大轮、产形轮、小轮在啮合状态下坐标系的位置关系。图5中，S为固定坐标系，S_g为产形轮坐标系，

为与小轮轴线固联的动坐标系，

为与大轮轴线固联的动坐标系，S_b、S_c、S_e分别为辅助坐标系，其中，δ₁为小轮节锥角、δ₂为大轮节锥角。

然后，根据大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系确定啮合状态下大轮与产形轮的位置关系，以及大轮坐标系、产形轮坐标系、刀具固定坐标系之间的坐标变换关系，结合步骤三确立的产形面的数学模型，建立大轮切齿模型，实施大轮切齿计算，得到大轮齿面方程如下：

式(5)中，r₂为大轮齿面位置矢量，M_gt从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系，

为产形轮坐标系到大轮坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢。

产形面一般采用有规律的曲面，在加工时只要选用合适的刀具，规划出刀具轨迹就可以实现产形面在大轮齿坯上的加工。

大轮加工方法：大轮的齿面成形方法基于小轮展成切齿时产形轮的齿面，即建立基于产形轮与大轮的位置关系的切齿模型，直接在大轮齿坯上加工出产形面。如图6所示，由小轮展成切齿时刀具、产形轮以及大轮在啮合状态下的位置关系建立大轮切齿模型。在实际加工时按此模型装夹大轮齿坯，基于产形面成形规律规划出大轮切齿刀具轨迹，本发明所列实例其产形面为螺旋面，因此大轮切齿刀具轨迹为螺旋线，需要三个轴的联动完成大轮齿面的加工。

实施例：一对线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副的形成方法，本实施例中，设定工作齿面为小轮凹面与大轮凸面啮合，其齿坯参数如表2所示、刀盘几何参数如表3所示、机床调整参数如表4所示。

表2

表3

表4

以上基本参数均可以在螺旋锥齿轮设计与加工方面的书籍中查询或书中有关公式计算得到。

具体实施过程下：

(1)求解产形轮参数

所述产形轮参数为产形轮中心到齿线中心的距离e，由公式(1)计算，代入有关基本参数得：

(2)求解刀盘的运动参数

所述刀盘的运动参数为螺旋参数p，由公式(2)计算，代入有关基本参数得：

(3)根据刀具几何参数及其运动参数确定产形面。

所述产形面的数学模型由公式(3)表达，代入有关基本参数后，得到关于参数u、θ的方程：

(4)建立小轮切齿模型与小轮切齿计算

所述小轮切齿模型为小轮展成运动时小轮齿坯、产形轮和刀具的相对位置关系。由切齿模型建立小轮展成时坐标系，包括与小轮轴线固联的动坐标系、产形轮坐标系、刀具固定坐标系。得到从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系M_gt、从产形轮坐标系到与小轮齿坯轴线固联的动坐标系的变换关系

基于齿轮啮合原理，得到小轮的齿面方程，由公式(4)表示。

将齿面离散化为9×7的齿面网格点，求解小轮齿面方程式(4)得到齿面点坐标为：

小轮加工凹面：

小轮加工凸面：

(5)建立大轮切齿模型与大轮切齿计算

建立与大轮齿坯轴线固联的动坐标系即大轮坐标系，同时得到大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系；根据大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系确定大轮、产形轮、小轮展成时刀具的位置关系，得到从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系M_gt、从产形轮坐标系到大轮坐标系的变换关系

结合步骤三确立的产形面的数学模型，建立大轮切齿模型，实施大轮切齿计算，得到大轮齿面方程，由公式(5)表示。

将齿面离散化为9×7的齿面网格点，求解大轮齿面方程(5)得到齿面点坐标为：

大轮加工凹面：

大轮加工凸面：

综上，本发明提出的弧齿锥齿轮副实现线接触的成形方法，适用于任何模数、齿数的弧齿锥齿轮副。利用本发明提出的成形方法成形的齿轮副为线接触啮合，克服了点接触弧齿锥齿轮副瞬时传动比不恒定、出现接触斑点、承载能力相对线接触弧齿锥齿轮副较低等缺陷。

本发明提出的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其中在建立小轮切齿模型时提出了新的切齿方法，即在小轮展成切齿时，刀具轴线垂直于齿坯节锥母线，在刀具原有的绕自身轴线旋转运动、绕产形轮轴线旋转运动的基础上，添加刀具沿自身轴线的进给运动，目的是加工出渐缩齿。大轮齿面的加工基于数控机床，在大轮齿坯上加工出小轮展成时的产形面。

在加工时，直接基于弧齿锥齿轮专用数控机床建立切齿模型，建模简单、计算简便、充分发挥数控机床多轴联动的优势。摆脱了目前的首先基于传统的机械式弧齿锥齿轮铣齿机建立切齿模型，然后通过建立机械式机床与数控机床之间的转化关系，把切齿模型变换到数控机床上的弧齿锥齿轮数控加工方法的束缚。

尽管上面结合附图和具体实施例对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (5)

1.一种线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、根据弧齿锥齿轮的齿坯参数求解产形轮参数，所述弧齿锥齿轮的齿坯参数包括小轮齿数z₁、大轮齿数 z₂、大端模数m、中点螺旋角β、齿面宽b、外锥距R_e、齿宽中点锥距R_m、内锥距R_i、小轮节锥角δ₁、大轮节锥角δ₂和小轮齿根角θ_f1，所述产形轮参数为产形轮中心到齿线中心的距离e；

步骤二、确立切削小轮齿面的刀盘几何参数、刀盘的运动参数，所述刀盘几何参数包括刀盘名义半径r₀、刀顶距w、内刃齿形角α_i和外刃齿形角α_e，所述刀盘的运动参数为螺旋参数p；

步骤三、确立产形面：首先，建立刀具固定坐标系，由刀盘几何参数及刀盘的运动参数确定基于刀具固定坐标系的刀盘切削面，所述刀盘切削面为小轮展成加工时的产形轮齿面即产形面；

步骤四、建立小轮切齿模型与小轮切齿计算：所述小轮齿面是产形轮依据齿轮啮合原理进行展成运动包络形成的，按照小轮展成加工时的相对位置关系建立展成切齿坐标系，包括：机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系，并得到所述机床固定坐标系、产形轮坐标系、与小轮齿坯轴线固联的动坐标系之间的变换关系；由展成运动时小轮齿坯、产形轮和刀具的相对位置关系得到小轮切齿模型；由小轮的齿坯参数、所述产形轮参数、刀盘几何参数及刀盘的运动参数和小轮切齿模型计算出机床调整参数，基于齿轮啮合原理，实施小轮切齿计算，得到小轮齿面方程；

步骤五、建立大轮切齿模型与大轮切齿计算：首先，建立与大轮齿坯轴线固联的动坐标系，同时得到大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系，并确定这三个坐标系之间的变换关系；根据大轮、小轮、产形轮在啮合状态下三者所在的坐标系的位置关系确定大轮与产形轮的位置关系，以及大轮坐标系、产形轮坐标系、刀具固定坐标系之间的坐标变换关系，结合步骤三确立的产形面的数学模型，建立大轮切齿模型，实施大轮切齿计算，得到大轮齿面方程。

2.根据权利要求1所述的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其特征在于，所述产形轮中心到齿线中心的距离e的计算公式如下：

式(1)中，R_m是齿宽中点锥距，r₀是刀盘名义半径、β是中点螺旋角。

3.根据权利要求1所述的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其特征在于，所述螺旋参数p的计算公式如下：

式(2)中，b是齿面宽，θ_f1是小轮齿根角，e是产形轮中心到齿线中心的距离，r₀是刀盘名义半径，R_i是内锥距，R_e是外锥距。

4.根据权利要求1所述的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其特征在于，所述产形面的数学模型如下：

式(3)中，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；

是r_t在刀具固定坐标系中x_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中y_t轴上的分量，

是r_t在刀具固定坐标系中z_t轴上的分量；r₀是刀盘名义半径；w是刀顶距；u是产形面长度参数，刀尖顶点处u值为零，沿刀刃离开刀尖顶点方向为正；θ是产形面的相位参数，在刀具固定坐标系中，由x_t轴绕原点逆着z_t轴看、所述x_t轴逆时针转过的θ值为正；p是螺旋参数；

对于α：在加工小轮凹面时为外刃齿形角α_e，在加工小轮凸面时为内刃齿形角α_i；

对于±：在加工小轮凹面时取“-”，在加工小轮凸面时，取“+”。

5.根据权利要求1所述的线接触渐缩齿弧齿锥齿轮副成形方法，其特征在于，

所述小轮齿面方程为：

式(4)中，r₁为小轮加工齿面位置矢量，M_gt为从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系、

为从产形轮坐标系到与小轮齿坯轴线固联的动坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢；f₁为小轮与产形面之间的啮合方程、u是产形面长度参数、θ是产形面的相位参数、

是产形轮转角参数；

所述大轮齿面方程为：

式(5)中，r₂为大轮齿面位置矢量，M_gt从刀具固定坐标系到产形轮坐标系的变换关系，

为产形轮坐标系到大轮坐标系的变换关系，r_t是产形面上一点在刀具固定坐标系中的径矢。

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