JP3733908B2 - ハイポイドギアの設計方法 - Google Patents

Description

技術分野
本発明は、ハイポイドギアの歯面形状の設計方法に関する。
背景技術
本願出願人は、特開平９−５３７０２号公報において、歯車対の歯面を統一的に記述する方法について提案した。すなわち、最も広く用いられている平行な軸を有する歯車対から、二つの歯車の軸が交わらず、平行でもない位置（ねじれの位置）にある場合にまで統一的に適応できる歯面の記述方法が示された。また、動力伝達用歯車において、歯車の軸を支持する軸受の荷重変動をなくすためには、歯車歯面の接触点の軌跡が直線となることが必要であることが示された。そして、少なくとも一方の歯面がインボリュートヘリコイド面であり、他方の歯面がこれに共役な面である場合が、前記の接触点軌跡が直線となるという条件を満たすことを明らかにした。この結論は、平歯車、はすば歯車などの平行軸歯車において、従来の設計方法と同一の結論となる。
また、対をなす歯車の軸が平行でない場合の従来の歯車設計方法は、経験的に求められるものであった。
対をなす歯車の軸が平行でない場合、一方がインボリュートヘリコイド歯面を有し、他方がこれと共役な歯面を有する歯車対が現実に存在し得るか、またこのような歯面対の効率的な求め方が不明であった。
発明の開示
本発明は、特に、二つの歯車軸が交わらず、かつ平行でもない場合の歯車対の設計方法を提供することを目的とする。
本発明は、交わらず、かつ平行でもない軸を有する歯車対、例えばハイポイドギアの設計方法を提供する。以下、ハイポイドギアの小径歯車をピニオン、大径歯車をギアと呼ぶ。また、本明細書におけるハイポイドギアは、ピニオンが円筒面上に歯が形成された歯車で、ギアが円盤の軸に直交する面に歯が形成された、いわゆるフェースギアも含む。
ハイポイドギアの歯面は、前記の特開平９−５３７０２号公報に示された方法により記述することができる。
まず、(a) 互いに直交する３座標軸のうちの１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系と、(b) 互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想定する。次に、前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回転角を助変数とする第１関数によって記述する。また、前記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第２関数によって記述する。さらに、静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ取得し、前記回転座標系において、前記第２関数と、その回転座標系と前記静止座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第３関数によって記述される歯形曲線を取得する。
取得された歯形曲線から、当該歯面対の接触領域を取得する。このとき、一方の歯車（第１歯車）の歯面をインボリュートヘリコイドとし、他方の歯車（第２歯車）は第１の歯車の歯面と共役な歯面を有するものとする。前記取得された接触領域において、歯面対の有効な接触が実現する領域（以下、有効接触領域）はその一部に限定される。まず、この有効接触領域は、接触領域に対する二つの歯車軸の正射影である作用限界線の間に存在する。また、歯車の歯先が形成する面、すなわち歯車の回転によって歯先が描く軌跡面より歯元側に、有効接触領域が存在する。よって、有効接触領域は、前記歯先が形成する面と接触領域の交線（以下、歯先線）と、前記作用限界線の間に存在する。したがって、作用限界線と歯先線により囲まれる領域（すなわち、有効接触領域）が少なくとも歯車の歯幅全体にわたって存在することが望ましい。有効接触領域が歯幅の一部にしか存在しないということは、残りの歯幅部分は、歯車として役に立っていないことになり、このような設計は無意味または無駄である。
また、現実に歯車の歯を形成するためには、歯が必要な強度を有することが必要である。具体的には、正転側と逆転側の歯面に所定の歯厚を与え、また歯の直交する断面形状において歯元を太くする。歯元を太くするためには、正転側の歯面と逆転側の歯面のそれぞれの接触点軌跡がなす角度を適切に選定する必要がある。正転、逆転側歯面の接触点軌跡の交わる角度は、従来のラックの頂角である３８〜４０°が経験的に適切である。また、正転側の接触点軌跡を、後述する限界軌跡（ｇ_2Z、ｇ_t、ｇ_1K）の一つにほぼ一致させるように選択することが経験的に適切である。
前記の歯を第１歯車に創成するために、等価ラックの形状を取得することが必要となる。等価ラックは、インボリュート平歯車のラックが一般化されたものと考えることができる。
また、前記決定された接触点軌跡により、第２歯車の歯面を取得し、第２歯車の歯先面を与えれば、正転側、逆転側双方の歯先線が求められ、その間隔も取得できる。この間隔が少ない場合、第２歯車の歯先が尖っていることを示している。
有効接触領域はギア小端側で不足しやすく、第２歯車の歯先線間隔（歯先の歯厚）は、大端側で不足しやすい。有効接触領域が小端側で不足した場合は、設計基準点をギアの小端側に移動して再度歯形曲線および有効接触領域の取得を実行する。また、歯先線の間隔が大端側で不足した場合には、設計基準点をギアの大端側に移動して再度歯形曲線および有効接触領域の取得を実行する。小端側で有効接触領域が不足し、同時に大端側で歯先線の間隔が不足した場合には、歯幅を減少させる。
以上の設計過程を、所定のコンピュータプログラムにより記述することにより、コンピュータに実行させることができる。コンピュータには、ギア諸元や変数の選択を受け付ける入力手段が接続され、また設計結果または設計過程の中間段階までの演算結果を出力する出力手段が接続される。
発明を実施するための最良の形態
以下、本発明の実施の形態（以下実施形態という）を、図面に従って説明する。まず、特開平９−５３７０２号公報にて提案された歯車の設計方法について説明する。
Ａ．新しい歯形論
１．新歯形論における歯形曲線
図１は、ある瞬間に角速度ω_1i，ω_2i（図示方向が正のベクトル）で回転し、一定の入出力トルクＴ₁ ，Ｔ₂ （それぞれω_1iとω_2iと同方向が正のベクトル）を伝達する歯面Ｉ，IIが点Ｐ_i で接触し、歯面IIに集中荷重の法線力Ｆ_N2i 、歯面Ｉ上にその反作用としてＦ_N1i （＝−Ｆ_N2i ）を受けている状態を示している。接触点Ｐ_i における歯面Ｉ，IIの共通法線を単位ベクトルｎ_i で表わすものとすれば、ｎ_i は集中荷重の法線力の作用線（有向）をも同時に表わしている。
歯車対がある任意の角度だけ回転したとき、接触点はＰ_j に移り、角速度はω_1j，ω_2jに、集中荷重の法線力はＦ_N1j ，Ｆ_N2j に変化したと仮定すれば、Ｐ_iＰ_j は各接触点において共通法線がそれぞれｎ_i ，ｎ_j となる接触点の軌跡を描くことになる。この接触点の軌跡Ｐ_i Ｐ_j と共通法線ｎ_i ，ｎ_j とを各歯車と共に回転する空間に変換すれば、歯形曲線Ｉ，IIが歯面Ｉ，IIと全く同じ運動を伝達する空間曲線として定義され、歯面上の集中荷重の移動軌跡（歯当り）を表わすことになる。この歯形曲線Ｉ，IIが新歯形論における歯形曲線であり、各点で法線（または面素）をもつ空間曲線になっている。
したがって、歯面Ｉ，IIの接触点近傍の接触状態とこの歯車対の力学的な運動を考える場合には、歯面Ｉ，IIの替わりに歯形曲線Ｉ，IIを考えれば十分である。また、歯形曲線Ｉ，IIが与えられれば、全く同じ力学的運動を伝達する歯面Ｉ，IIは歯形曲線Ｉ，IIを含むとともに互いに干渉しない一対の曲面であればよく、互いに共役な歯面対はその一つであるに過ぎない。
ここで集中荷重とその作用点とは任意の歯面対の分布荷重（接触楕円を形成している）の合力とその作用点を意味している。したがって、接触点は同時に集中荷重の作用点であり、集中荷重に応じたたわみを含んでいる。また、各歯面対は１ピッチの位相差をもつ同一曲面であるから、負荷状態に応じて静止空間に同一の接触点の軌跡（たわみを含む）を描くことになり、複数かみあいの場合には、任意の回転角における隣接する歯面対の分担する集中荷重がピッチ分だけ位相をずらして上記接触点の軌跡上に並んでいる。
２．基本座標系
図２は、接触点の軌跡Ｐ_i Ｐ_j 上の任意点をＰとし、点Ｐおよび点Ｐにおける集中荷重の法線力Ｆ_N2，Ｆ_N1、共通法線ｎ（集中荷重の作用線）を座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ 、座標系Ｃ_q1，Ｃ_q2を用いて示したものである。
２軸Ｉ，IIの軸角Σ、オフセットＥ（≧０，点Ｃ₁ と点Ｃ₂ との距離）およびその角速度ω₁ ，ω₂ の方向が与えられている。２軸の共通垂線にω₂ ×ω₁ の方向を正とする方向をもたせ、有向共通垂線ｖ_c とするとき、２軸Ｉ，IIと共通垂線ｖ_c との交点をＣ₁ ，Ｃ₂ とし、ｖ_c 軸に関してＣ₂ がＣ₁ の上にある場合を扱うものとする。ただし、Ｃ₂ がＣ₁ の下にある場合も全く同様である。
集中荷重の法線力Ｆ_N2（共通法線ｎ）を含み、各歯車軸Ｉ，IIに平行な平面を作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ と定義する。したがって、Ｆ_N2（共通法線ｎ）は作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ の交線上にある。作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ に接し、各歯車軸を軸とする円筒を基礎円筒と定義し、その半径をＲ_b1，Ｒ_b2とする。
歯車IIの座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2を次のように定義する。座標系Ｃ₂ （ｕ_2c，ｖ_2c，ｚ_2c）はＣ₂ を原点とし、II軸上ω₂ の方向にｚ_2c軸をとり、共通垂線ｖ_c 上にこれと同方向にｖ_2c軸、両軸に垂直にｕ_2c軸を右手系となるようにとる。座標系Ｃ_q2（ｑ₂ ，ｖ_q2，ｚ_2c）は、原点Ｃ₂ およびｚ_2c軸を共有し、ｚ_2c軸を回転軸として平面ｖ_2c＝０が作用面Ｇ₂ に平行になるように座標系Ｃ₂ をχ₂ （図示方向が正）だけ回転させた座標系であり、ｕ_2c軸はｑ_2c軸に、ｖ_2c軸はｖ_q2c 軸になっている。
作用面Ｇ₂ は座標系Ｃ_q2を用いれば、ｖ_q2c ＝−Ｒ_b2で表わされ、座標系Ｃ₂に対しては、平面ｖ_2c＝０に対する傾き角がχ₂ であり、かつ、基礎円筒（半径Ｒ_b2）に接する平面となっている。
座標系Ｃ₂ とＣ_q2との関係は、ｚ_2c軸は共通であるから、
ｕ_2c＝ｑ_2c cosχ₂ −ｖ_q2c sinχ₂
ｖ_2c＝ｑ_2c sin χ₂ ＋ｖ_q2c cosχ₂
となる。作用面Ｇ₂ はｖ_q2c ＝−Ｒ_b2であるから、基礎円半径Ｒ_b2を用いて表わせば、次式（１）、すなわち、
ｕ_2c＝ｑ_2c cosχ₂ ＋Ｒ_b2 sinχ₂
ｖ_2c＝ｑ_2c sinχ₂ −Ｒ_b2 cosχ₂
ｚ_2c＝ｚ_2c ・・・（１）
なる諸式が成立する。
共通法線ｎは作用面Ｇ₂ 上にあり、そのｑ_2c軸成分が正となる方向を向くものと定義すれば、そのｑ_2c軸からの傾き角をψ_b2（図示方向が正）で表わすことができる。そこで、共通法線ｎの座標系Ｃ₂ における傾き角は、有向共通垂線ｖ_cに対する作用面Ｇ₂ の傾き角φ₂ （χ₂ の余角）とψ_b2によってｎ（φ₂ ，ψ_b2）の形で表わすものと定義する。
集中荷重の法線力Ｆ_N2の方向は共通法線はｎの方向を正とし、Ｆ_N2のｑ_2c軸方向成分、ｚ_2c軸方向の成分をそれぞれ、Ｆ_q2，Ｆ_z2とする。
歯車Ｉについても全く同様にして座標系Ｃ₁ （ｕ_1C，ｖ_1c，ｚ_1c）、Ｃ_q1（ｑ_1C，ｖ_q1c ，ｚ_1c)、作用面Ｇ₁ 、基礎円半径Ｒ_b1、共通法線ｎの傾き角ｎ（φ₁ ，ψ_b1）を定義することができる。座標系Ｃ₁ とＣ_q1との関係も、ｚ_1c軸は共通であるから全く同様にして、次式（２）、すなわち、
ｕ_1c＝ｑ_1c cosχ₁ ＋Ｒ_b1 sinχ₁
ｖ_1c＝ｑ_1c sinχ₁ −Ｒ_b1 cosχ₁
ｚ_1c＝ｚ_1c ・・・（２）
なる諸式で表される。
座標系Ｃ₁ とＣ₂ との関係は、次式（３）、すなわち、
ｕ_1c＝−ｕ_2c cosΣ−ｚ_2c sinΣ
ｖ_1c＝ｖ_2c＋Ｅ
ｚ_1c＝ｕ_2c sinΣ−ｚ_2c cosΣ ・・・（３）
なる諸式で表される。
ここで定義された座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ 、座標系Ｃ_q1，Ｃ_q2が本発明者が新しく提案する新歯形論の基本座標系である。この基本座標系によって応用範囲を円筒歯車のみならず、ハイポイドギヤ，かさ歯車まで含めて考えることを可能としているのである。
共通法線ｎの傾き角ｎ（φ₁ ，φ_b1）とｎ（φ₂ ，φ_b2）との関係は、ｎが作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ の交線上にあることから次のように求められる。ｎの座標系Ｃ₂ の各軸方向成分は、
Ｌ_u2c ＝ cosψ_b2 sinφ₂ （Ｌ_u2c ：ｎのｕ_2c軸方向成分）
Ｌ_v2c ＝ cosψ_b2 cosφ₂ （Ｌ_v2c ：ｎのｖ_2c軸方向成分）
Ｌ_z2c ＝ sinψ_b2 （Ｌ_z2c ：ｎのｚ_2c軸方向成分）
と表すことができる。ただし、共通法線ｎの絶対値は１である。
座標系Ｃ₁ の各軸方向成分を座標系Ｃ₂ の各軸方向成分で表せば、前記式（３）を用いて、
Ｌ_u1c ＝−Ｌ_u2c cosΣ−Ｌ_z2c sinΣ（Ｌ_u1c ：ｎのｕ_1c軸方向成分）
Ｌ_v1c ＝ Ｌ_v2c （Ｌ_v1c ：ｎのｖ_1c軸方向成分）
Ｌ_z1c ＝ Ｌ_u2c sinΣ−Ｌ_z2c cosΣ（Ｌ_z1c ：ｎのｚ_1c軸方向成分）
となる。したがって、次式（４）、すなわち、

なる式と、次式（５）、すなわち、

なる式とが得られる。ここで、
φ₁ ＝π／２−χ₁
φ₂ ＝π／２−χ₂
なる式が成立する。
３．接触点の軌跡とその共通法線
図３は、接触点の軌跡上の点Ｐと共通法線ｎ、接平面Ｗ（作用面Ｇ₂ との交線ｗで示されている）および微小角△θ₂ だけ回転した後の接触点Ｐ_d と共通法線ｎ_d 、接平面Ｗ_d との関係を座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2上に示したものである。任意の接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾き角を歯車IIの回転角θ₂ を助変数として、座標系Ｃ₂ によって、
Ｐ｛ｕ_2c (θ₂ )，ｖ_2c (θ₂ )，ｚ_2c (θ₂ )｝
ｎ｛φ₂ (θ₂ )，ψ_b2 (θ₂ )｝
と表わすものとする。ただし、回転角θ₂ は図に示す方向が正である。ここで、
φ₂ ( θ₂ )＝π／２−χ₂ ( θ₂ )
なる式が成立する。
点Ｐを前記式（１）により座標系Ｃ_q2を用いて表わせば、
Ｐ｛ｑ_2c (θ₂ )，−Ｒ_b2 (θ₂ )，ｚ_2c (θ₂ )｝
となり、また、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ₂ 上の傾き角をη_b2 (θ₂ )とすれば、次式（６）、すなわち、
(dｚ_2c/dθ₂ )/(dｑ_2c/dθ₂ ) ＝ tanη_b2 (θ₂ ) ・・・（６）
なる式が成立する。
歯車IIが微小角△θ₂ だけ回転し、接触点ＰはＰ_d に、共通法線ｎはｎ_d に変化したと仮定すれば、Ｐ_d ，ｎ_d は、
Ｐ_d ｛ｑ_2c (θ₂ )＋△ｑ_2c，−Ｒ_b2 (θ₂ )＋△Ｒ_b2，ｚ_2c (θ₂ )＋△ｚ_2c｝
ｎ_d ｛π／２−χ₂ (θ₂ )−△χ₂ ，ψ_b2 (θ₂ )＋△ψ_b2｝
と表すことができる。
点Ｐ_d を通る作用面をＧ_2dとし、Ｇ_2dが作用面Ｇ₂ に平行になるように歯車IIをΔχ₂ だけ回転させたとき、作用面Ｇ_2dはＧ_2de に、点Ｐ_d はＰ_deに移動したと仮定する。さらに、点Ｐ_deの作用面Ｇ₂ への正射影をＰ_dfとする。作用面Ｇ_2dと点Ｐ_d における接平面Ｗ_d との交線がｗ_d で表され、ｗ_d は上記の移動により作用面Ｇ₂ 上に投影されて点Ｐ_dfを通るｗ_d ′で表わされ、また、ｎ_d はｎ_d ′で表されている。ｗ_d ′と点Ｐを通る軸直角平面との交点がＰ_dgである。Δθ₂ の回転により、ｗ_d ′はｗに対して作用面Ｇ₂ 上で△θ₂ −△χ₂ だけ回転した位置にあり、また、ｗ_d ′は点Ｐ_dfにおいてｗに対してΔψ_b2だけ傾いているから、ｗ_d ′のｗに対するｑ_2c軸方向の移動量ＰＰ_dgは、

と表すことができる。したがって、微小角△θ₂ による作用面Ｇ₂ 上の微小変位△ｚ_2cは、
△ｚ_2c〔 tan｛ψ_b2 (θ₂ )＋△ψ_b2｝＋１／ tan｛η_b2 (θ₂ )＋Δη_b2｝〕
＝Ｒ_b2 (θ₂ )（△θ₂ −△χ₂ ）
となる。２次の微小量を省略して、
△ｚ_2c
＝Ｒ_b2 (θ₂ )(△θ₂ −△χ₂ )/｛ tanψ_b2 (θ₂ ) ＋1/ tanη_b2 (θ₂ ) ｝
と表すことができる。前記式（６）を用いれば、△ｑ_2cは、
△ｑ_2c
＝Ｒ_b2 (θ₂ ) (△θ₂ −△χ₂ )/｛ tanψ_b2 (θ₂ )tanη_b2 (θ₂ )＋１｝
と表すことができる。
△Ｒ_b2，△χ₂ ，△ψ_b2，△η_b2はθ₂ の関数であるから、△θ₂ によって形式的に、
△Ｒ_b2＝(dＲ_b2/dθ₂ )△θ₂
△η_b2＝(dη_b2/dθ₂ )△θ₂
△χ₂ ＝(dχ₂ /dθ₂ )△θ₂
△ψ_b2＝(dψ_b2/dθ₂ )△θ₂
と表すことができる。これらを０からθ₂ まで積分すれば、次式（７）、すなわち、

なる諸式が得られる。
積分定数はθ₂ ＝０のときの接触点Ｐ₀ の座標とその共通法線ｎ₀ の傾き角および接触点の軌跡の接線の作用面上の傾き角を示している。この式（７）が接触点の軌跡とその共通法線を座標系Ｃ_q2によって表わす、θ₂ を助変数とする方程式である。この式（７）を決定するには、設計基準点Ｐ₀ （θ₂ ＝０）における諸元、すなわち、
Ｐ₀ ｛ｑ_2c (0)，−Ｒ_b2(0) ，ｚ_2c(0)｝
η_b2(0)
ｎ₀ ｛π／２−χ₂ (0), ψ_b2(0) ｝
dＲ_b2/dθ₂
dη_b2/dθ₂
dχ₂ /dθ₂
dψ_b2/dθ₂
という合計１０個の変数を与えることができればよい。この式（７）が新歯形論の歯形曲線を記述するための基礎式である。また、この式（７）が本発明における第１関数である。
点Ｐを座標系Ｃ₂ （ｕ_2c，ｖ_2c，ｚ_2c）に変換すれば、ｚ_2cが共通であるから、前記式（１）を用いて、次式（８）、すなわち、
ｕ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )cosχ₂ (θ₂ )＋Ｒ_b2 (θ₂ )sinχ₂ (θ₂ )
ｖ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )sinχ₂ (θ₂ )−Ｒ_b2 (θ₂ )cosχ₂ (θ₂ )
ｚ_2c (θ₂ )＝ｚ_2c (θ₂ ) ・・・（８）
なる諸式が成立する。この式（８）が本発明における第２関数である。前記式（２），（３），（４）および（５）を用いれば、接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾き角を座標系Ｃ₁ とＣ_q1とにより、θ₂ を助変数として、次式（９）、すなわち、
Ｐ｛ｕ_1c (θ₂ )，ｖ_1c (θ₂ ) ，ｚ_1c (θ₂ ) ｝
ｎ｛φ₁ ( θ₂ )，ψ_b1 (θ₂ )｝
Ｐ｛ｑ_1c (θ₂ )，−Ｒ_b1 (θ₂ ) ，ｚ_1c (θ₂ ) ｝ ・・・（９）
なる式で表すことができる。
４．接触の条件式と歯車Ｉの回転角θ₁
接触点Ｐの共通法線ｎは平面Ｇ₁ ，Ｇ₂ の交線上にあるから、接触の条件式は、次式（１０）、すなわち、
Ｒ_b1 (θ₂ ) (dθ₁ /dｔ)cosψ_b1 (θ₂ )
＝Ｒ_b2 (θ₂ ) (dθ₂ /dｔ)cosψ_b2 (θ₂ ) ・・・（１０）
なる式で表される。したがって、角速度比ｉ（θ₂ ）および歯車Ｉの回転角θ₁ は、次式（１１）、すなわち、

なる式で表される。ただし、θ₂ ＝０のとき、θ₁ ＝０とする。
５．歯形曲線の方程式
５．１ 歯形曲線IIの方程式
図４は、点Ｐを歯車IIと共に回転する座標系Ｃ_r2（ｕ_r2c ，ｖ_r2c ，ｚ_r2c ）で示したものである。座標系Ｃ_r2は座標系Ｃ₂ に対して、原点Ｃ₂ とｚ_2c軸とを共有し、ｚ_2c軸の周りにθ₂ で回転する座標系であり、θ₂ ＝０のときｕ_r2c 軸はｕ_2c軸と一致しているものとする。接触点の軌跡およびその共通法線は前記式（７）によって与えられるから、座標系Ｃ_r2で表した点Ｐ（ｕ_r2c ，ｖ_r2c ，ｚ_r2c ）およびその法線ｎ（φ_r2，ψ_b2）は、次式（１２）、すなわち、
χ_r2＝χ₂ ( θ₂ )−θ₂ ＝π／２−φ₂ ( θ₂ )−θ₂
φ_r2＝φ₂ ( θ₂ )＋θ₂
ｕ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂ )cosχ_r2＋Ｒ_b2 (θ₂ )sinχ_r2
ｖ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂ )sinχ_r2−Ｒ_b2 (θ₂ )cosχ_r2
ｚ_r2c ＝ｚ_2c (θ₂ ) ・・・（１２）
なる式で表される。この式（１２）が、本発明における第３関数である。
５．２ 歯形曲線Ｉの方程式
全く同様にして座標系Ｃ₁ に対して、θ₁ で回転する座標系Ｃ_r1（ｕ_r1c ，ｖ_r1c ，ｚ_r1c ）を定めれば、点Ｐ（ｕ_r1c ，ｖ_r1c ，ｚ_r1c ）およびその法線ｎ（φ_r1，ψ_b1）は前記式（９），（１１）を用いて、次式（１３）、すなわち、
χ_r1＝χ₁ ( θ₂ )−θ₁ ＝π／２−φ₁ ( θ₂ )−θ₁
φ_r1＝φ₁ ( θ₂ )＋θ₁
ｕ_r1c ＝ｑ_1c (θ₂ )cosχ_r1＋Ｒ_b1 (θ₂ )sinχ_r1
ｖ_r1c ＝ｑ_1c (θ₂ )sinχ_r1−Ｒ_b1 (θ₂ )cosχ_r1
ｚ_r1c ＝ｚ_1c (θ₂ ) ・・・（１３）
なる諸式で表される。ただし、座標系Ｃ_r1と座標系Ｃ₁ とは、θ₁ ＝０のとき一致しているものとする。上記式（１２），（１３）は一般には角速度比が変化する歯形曲線を表している。
以上説明した３次元歯形論は、歯車対の基本諸元（接触点の軌跡）をピッチ回転体（ピッチ円筒あるいはピッチ円錐）を介さずに直接、歯車対の２回転軸と角速度とによって決まる静止空間に定義するものである。したがって、この歯形論によれば、歯面がインボリュートヘリコイドまたはその近似曲面である円筒歯車からハイポイドギヤまでの全ての歯車対の歯面とその接触の問題を、この静止空間に定義された統一概念（例えば作用平面、歯直角平面、圧力角、ねじれ角等）を用い、共通の比較的簡単な式によって扱うことが可能となる。
６．歯車対の運動と軸受荷重
６．１ 歯車IIとＩの運動方程式と軸受荷重
図５は、図２の接触点Ｐにおける歯車IIの集中荷重の法線力Ｆ_N2および軸受荷重Ｂ_z2，Ｂ_vq2f，Ｂ_vq2r，Ｂ_q2f ，Ｂ_q2r の関係を、座標系Ｃ_q2を用いて示したものである。歯面の潤滑は十分であり、集中荷重の摩擦力成分は無視できるものとする。また、歯車IIは軸受ｂ_2a，ｂ_2f，ｂ_2rによって軸方向にも、半径方向にも剛に支えられていて、軸の剛性も十分大きいものとする。なお、図中、「′」および「”」はそれぞれ、点またはベクトルの対象平面への正射影であることを示すために付されている。
歯車IIは入（出）力トルクＴ₂ および歯車Ｉから集中荷重の法線力Ｆ_N2を受けて固定軸IIの周りに回転運動をしているから、歯車IIの運動方程式および軸受荷重の式は、座標系Ｃ_q2の各軸に関するトルクと力の釣り合いから、次式（１５）、すなわち、
Ｊ₂ (d² θ₂ /dｔ² ) ＝Ｆ_q2Ｒ_b2 (θ₂ )＋Ｔ₂
Ｂ_z2＝−Ｆ_z2＝−Ｆ_q2 tanψ_b2 (θ₂ )
Ｂ_vq2rｂ₂₀＝Ｆ_z2Ｒ_b2 (θ₂ )
Ｂ_q2f ＋Ｂ_q2r ＝−Ｆ_q2
Ｂ_q2f ｂ₂₀＝−Ｆ_q2｛ｚ_2c (θ₂ )-ｚ_2cr ｝＋Ｆ_q2ｑ_2c (θ₂ )tanψ_b2 (θ₂ )
Ｂ_vq2f＋Ｂ_vq2r＝０ ・・・（１５）
なる諸式が成立する。
ここに、
Ｊ₂ ：歯車IIの慣性モーメント
θ₂ ：歯車IIの回転角
Ｔ₂ ：歯車IIの入（出）力トルク（一定）
Ｆ_q2，Ｆ_z2：Ｆ_2Nのｑ_2c，ｚ_2c軸方向成分
Ｂ_z2：軸受ｂ_2aのｚ_2c軸方向荷重
Ｂ_q2f ，Ｂ_q2r ：軸受ｂ_2f，ｂ_2rのｑ_2c軸方向荷重
Ｂ_vq2f，Ｂ_vq2r：軸受ｂ_2f，ｂ_2rのｖ_q2c 軸方向荷重
ｚ_2cf ，ｚ_2cr ：軸受ｂ_2f，ｂ_2rの荷重作用点のｚ_2c座標
ｂ₂₀: 軸受ｂ_2f，ｂ_2rの間隔（ｚ_2cf −ｚ_2cr ＞０）
ただし、荷重方向は座標系Ｃ_q2の各軸方向に正である。歯車Ｉについても全く同様である。
６．２ 歯車対の運動方程式
歯車ＩとIIの運動方程式と前記接触の条件式（１０）とを連立させれば、歯車対の運動方程式は次式（１６）、すなわち、
Ｊ₁ (d² θ₁ /dｔ² ) ＝Ｆ_q1Ｒ_b1 (θ₂ )＋Ｔ₁
Ｊ₂ (d² θ₂ /dｔ² ) ＝Ｆ_q2Ｒ_b2 (θ₂ )＋Ｔ₂
−Ｆ_q1/cosψ_b1 (θ₂ )＝Ｆ_q2/cosψ_b2 (θ₂ )
Ｒ_b1 (θ₂ ) (dθ₁ /dｔ)cosψ_b1 (θ₂ )
＝Ｒ_b2 (θ₂ ) (dθ₂ /dｔ)cosψ_b2 (θ₂ ) ・・・（１６）
なる諸式となる。
接触点とその共通法線は前記式（７）によって与えられているから、前記式（１６）は未知数θ₁ ，θ₂ ，Ｆ_q1，Ｆ_q2の連立方程式になっていて、歯形曲線が与えられた歯車対の運動を記述するための基礎式である。ただし、前記式（１６）は接触点の軌跡が連続かつ微分可能な領域でのみ成立する。したがって、接触点の軌跡が微分不可能な点（例えば、噛み合い歯数が変化する点）を含む場合には、その点近傍の運動は別に求める必要があり、前記式（１６）だけで歯車対の定常運動を表すことは一般的にはできない。
７．軸受荷重の変動を０とするための条件
歯車対の回転によって歯車IIに生じる荷重変動は、軸受ｂ_2a，ｂ_2f，ｂ_2rの荷重の静止座標系Ｃ₂ に対する変動としてとらえることができる。そこで、座標系Ｃ_q2で表された各軸受荷重を座標系Ｃ₂ の各軸方向成分に変換すれば、次式（１７）、すなわち、
Ｂ_z2c ＝Ｂ_z2 （軸受ｂ_2aのｚ_2c軸方向荷重）
Ｂ_u2cf＝Ｂ_q2f cos χ₂ −Ｂ_vq2f sinχ₂ （軸受ｂ_2fのｕ_2c軸方向荷重）
Ｂ_v2cf＝Ｂ_q2f sin χ₂ ＋Ｂ_vq2f cosχ₂ （軸受ｂ_2fのｖ_2c軸方向荷重）
Ｂ_u2cr＝Ｂ_q2r cos χ₂ −Ｂ_vq2r sinχ₂ （軸受ｂ_2rのｕ_2c軸方向荷重）
Ｂ_v2cr＝Ｂ_q2r sin χ₂ ＋Ｂ_vq2r cosχ₂ （軸受ｂ_2rのｖ_2c軸方向荷重） ・・・（１７）
で表される。
軸受荷重の変動分は上記式（１７）の微分を用いて、
（ａ）軸受ｂ_2aのｚ_2c軸方向荷重の変動分
△Ｂ_z2c ＝△Ｂ_z2＝−ΔＦ_z2
△Ｆ_z2＝△Ｆ_q2 tanψ_b2＋Ｆ_q2Δψ_b2／ cos² ψ_b2
△Ｆ_q2＝｛△（Ｊ₂ (d² θ₂ /dｔ² ) ）−Ｆ_q2△Ｒ_b2｝／Ｒ_b2
（ｂ）軸受ｂ_2fのｕ_2c，ｖ_2c軸方向荷重の変動分

（ｃ）軸受ｂ_2rのｕ_2c，ｖ_2c軸方向荷重の変動分

と表すことができる。
任意の回転角θ₂ における歯車IIの軸受荷重の変動分は、
Δｑ_2c
ΔＲ_b2
Δｚ_2c
Δχ₂
Δψ_b2
Δ(d² θ₂ /dｔ² )
という６個の変数の変動分で表すことができる。
入（出）力トルク一定の条件下で歯車IIが回転するとき、回転位置によらず歯車IIの軸受荷重の変動が常に０となるためには、少なくともその変動分が０でなければならないから、次の関係、
ΔＢ_z2c ＝ΔＢ_u2cf＝ΔＢ_v2cf＝ΔＢ_u2cr＝ΔＢ_v2cr＝０
が成立する。したがって、歯車IIの軸受荷重の変動が０となる条件は、次式（１８）により、
(1) △χ₂ ＝０
(2) △ψ_b2＝０
(3) △Ｒ_b2 (θ₂ ) ＝０
(4) △ｚ_2c (θ₂ ) ＝△ｑ_2c (θ₂ )tanψ_b2 (θ₂ )
(5) △(d² θ₂ /dｔ² ) ＝０ ・・・（１８）
以上の５項目に整理される。ただし、ここにｔは時間を表している。
上記（１）〜（５）の各項目について順次説明する。
(1) △χ₂ (θ₂ )＝０の条件
作用面Ｇ₂ の傾き角χ₂ (θ₂ )は一定（χ₂₀とする）である。すなわち、
χ₂ (θ₂ )＝χ₂ (0) ＝χ₂₀＝π／２−φ₂₀
となる。
(2) △ψ_b2 (θ₂ ) ＝０の条件
接触点における共通法線の作用面Ｇ₂ 上の傾き角ψ_b2 (θ₂ ) は一定（ψ_b20 ）である。すなわち、
ψ_b2 (θ₂ )＝ψ_b2(0) ＝ψ_b20
となる。
(3) △Ｒ_b2 (θ₂ ) ＝０の条件
接触点における共通法線の接する基礎円筒半径Ｒ_b2 (θ₂ )は一定（Ｒ_b20 とする）である。すなわち、
Ｒ_b2 (θ₂ )＝Ｒ_b2(0) ＝Ｒ_b20
となる。
(4) △ｚ_2c (θ₂ )＝△ｑ_2c (θ₂ )tanψ_b2 (θ₂ ) の条件
ψ_b2 (θ₂ )＝ψ_b20 および前記式（７）を用いれば、
△ｚ_2c＝△ｑ_2c (θ₂ )tanψ_b20
η_b2 (θ₂ )＝ψ_b20 ＝η_b2(0)
となる。すなわち、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ₂ （ｑ_2c−ｚ_2c平面）上の傾き角は共通法線のそれに一致しなければならないのである。
条件(1) 〜(4) の結果を前記式（７）に代入し、座標系Ｃ₂ を用いて表せば、接触点の軌跡およびその共通法線の傾き角は、
ｑ_2c (θ₂ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos² ψ_b20 ＋ｑ_2c(0)
ｕ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )cosχ₂₀＋Ｒ_b20 sin χ₂₀
ｖ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )sinχ₂₀−Ｒ_b20 cos χ₂₀
ｚ_2c (θ₂ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ＋ｚ_2c(0)
ｎ（φ₂₀＝π／２−χ₂₀，ψ_b20 ） ・・・（１９）
で表される。この式（１９）は、接触点の軌跡が座標系Ｃ_q2上で点Ｐ₀ ｛ｑ_2c(0) ，−Ｒ_b20 ，ｚ_2c(0) ｝を通り、座標系Ｃ₂ に対する傾き角ｎ（φ₂₀＝π／２−χ₂₀，ψ_b20 ）の共通法線に一致する直線であることを表している。また、この式（１９）は、Ｒ_b20 ，ψ_b20 ，ｑ_2c(0) ，χ₂₀およびｚ_2c(0) という５個の変数を特定することによって、接触点軌跡を特定可能となる。
この式（１９）を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1に変換すれば、前記式（９）を用いて点Ｐ₀ ｛ｑ_1c(0) ，−Ｒ_b10 ，ｚ_1c(0) ｝を通り、座標系Ｃ₁ に対する傾き角ｎ（φ₁₀＝π／２−χ₁₀，ψ_b10 ）の直線として表すことができる。したがって、角速度比および歯車Ｉの回転角は前記式（１１）を用いて、

と表すことができる。角速度比は一定（ｉ₀ とする）である。
(5) △(d² θ₂ /dｔ² ) ＝０の条件
(d² θ₂ /dｔ² ) は一定、すなわち、等加速度運動を意味している。ここで対象としている歯車対は入出力一定の定常運動を仮定しているから、(d² θ₂ /dｔ² ) ＝０、すなわち、等速運動を意味している。さらに、前記式（２０）を用いれば、(dθ₁ /dｔ) も一定となるから、歯車Ｉについても、(d² θ₁ /dｔ² ) ＝０が成立する。したがって、前記式（１６）により、
Ｆ_q2Ｒ_b20 ＝−Ｔ₂
Ｆ_q1Ｒ_b10 ＝−Ｔ₁
が得られる。前記式（２０）と作用反作用の式を用いれば、
ｉ₀ ＝Ｆ_q2Ｒ_b2／（−Ｆ_q1Ｒ_b10 ）＝−Ｔ₂ ／Ｔ₁
となる。すなわち、歯車対の角速度比ｉ₀ は、与えられたトルク比（この場合には入出力についての仮定から一定）でなければならない。
歯車Ｉに生じる荷重変動についても全く同様にして前記式（１８）の条件によって軸受荷重変動０が実現している。したがって、入出力一定で定常運動する歯車対から発生する軸受荷重変動を０にするためには、接触点の軌跡とその共通法線は、次の条件、すなわち、
(a) 接触点が静止空間（座標系Ｃ₂ 上）に任意に与えられたとき、接触点の軌跡はその接触点の共通法線に一致する直線で、しかも、静止空間に固定された直線でなければならない、
(b) しかも、その接触点における角速度比ｉ₀ は一定であり、与えられたトルク比に一致しなければならない、
を満たさなければならない。
図６に、軸受荷重変動が０となる作用平面Ｇ₂₀、基礎円筒（半径Ｒ_b20 ）、接触点の軌跡（共通法線ｎ）、集中荷重の法線力Ｆ_N2の関係を、座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2によって示している。接触点の軌跡がすべての接触領域（複数噛み合い領域を含めて）で同一直線であれば、それは全領域で連続かつ微分可能となるから、軸受荷重変動０の定常運動を実現できることになる。
８．軸受荷重の変動が０となる歯形曲線
８．１ 歯形曲線II
座標系Ｃ₂ に対して原点Ｃ₂ とｚ_2c軸を共有し、ｚ_2c軸の周りにθ₂ で回転する座標系を座標系Ｃ_r2（ｕ_r2c ，ｖ_r2c ，ｚ_r2c ）とすれば、前記式（１９）を座標系Ｃ_r2に変換して、軸受荷重の変動が０となる歯形曲線IIは、
χ_r2＝χ₂₀−θ₂ ＝π／２−φ₂₀−θ₂
ｕ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂ )cosχ_r2＋Ｒ_b20 sin χ_r2
ｖ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂ )sinχ_r2−Ｒ_b20 cos χ_r2
ｚ_r2c ＝ｚ_2c (θ₂ )
ｎ（φ₂₀＋θ₂ ，ψ_b20 ） ・・・（２１）
で求められる。ただし、θ₂ ＝０のとき、ｕ_r2c 軸がｕ_2c軸に一致すると仮定する。
８．２ 歯形曲線Ｉ
全く同様にして座標系Ｃ₁ に対して、ｚ_1c軸の周りにθ₁ で回転する座標系を座標系Ｃ_r1（ｕ_r1c ，ｖ_r1c ，ｚ_r1c ）とする。前記式（１９）を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1に変換すれば、点Ｐ₀ ｛ｑ_1c(0) ，−Ｒ_b10 ，ｚ_1c(0) ｝を通り、座標系Ｃ₁ に対する傾き角ｎ（φ₁₀＝π／２−χ₁₀，ψ_b10 ）の直線となり、この直線上の任意の点は前記式（９）によって与えられているから、この直線を座標系Ｃ_r1に変換すれば、軸受荷重の変動が０となる歯形曲線Ｉは、
χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π／２−φ₁₀−θ₁
ｕ_r1c ＝ｑ_1c (θ₂ )cosχ_r1＋Ｒ_b10 sin χ_r1
ｖ_r1c ＝ｑ_1c (θ₂ )sinχ_r1−Ｒ_b10 cos χ_r1
ｚ_r1c ＝ｚ_1c (θ₂ )
ｎ（φ₁₀＋θ₁ ，ψ_b10 ） ・・・（２２）
で求められる。ただし、θ₁ ＝０のとき、ｕ_r1c 軸がｕ_1c軸に一致すると仮定する。
ここで、θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ であることを用い、改めてθ₁ を助変数として、ｑ_1c (θ₂ )とｚ_1c (θ₂ )をｑ_1c (θ₁ )とｚ_1c (θ₁ )とで置換し直せば、
ｑ_1c (θ₁ )＝Ｒ_b10 θ₁ cos ² ψ_b10 ＋ｑ_1c(0)
ｚ_1c (θ₁ )＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10 ＋ｚ_1c(0)
χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π／２−φ₁₀−θ₁
ｕ_r1c ＝ｑ_1c (θ₁ )cosχ_r1＋Ｒ_b10 sin χ_r1
ｖ_r1c ＝ｑ_1c (θ₁ )sinχ_r1−Ｒ_b10 cos χ_r1
ｚ_r1c ＝ｚ_1c (θ₁ )
ｎ（φ₁₀＋θ₁ ，ψ_b10 ） ・・・（２３）
が得られる。
実用上はこの式（２３）の方が前記式（２２）よりも使い易い。前記式（２１），（２３）は、歯形曲線Ｉ，IIがインボリュートヘリコイド上の前記接触点の軌跡に対応する曲線になっていることを示している。歯面としてはこの歯形曲線Ｉ，IIを含む任意の互いに干渉しない曲面が使用可能であるが、インボリュートヘリコイドまたはその修整歯面以外の曲面は、実際上上記のような接触点の軌跡とその共通法線を実現することは難しいから、動力伝達用歯車としては不向きである。
前記式（１９）を特定するための前記５個の変数Ｒ_b20 ，ψ_b20 ，ｑ_2c(0) ，χ₂₀，ｚ_2c(0) に代入すべき値を決定する具体的方法を詳細に説明する。
９．対象歯車対
軸受荷重変動が０となる対象歯車対は、前述のように、次のように定義されている。
(1) ２軸の位置関係（軸角Σ，オフセットＥ），角速度ω₁₀，ω₂₀（ω₁₀≧ω₂₀とする）が与えられ、定角速度比（ｉ₀ ）の運動を伝達している。なお、角速度ω₁₀，ω₂₀はいずれもベクトルである。
(2) 接触点の軌跡が、接触点の共通法線ｎに一致する、静止空間に固定された有向直線ｇ₀ として与えられ、その作用面がＧ₁₀，Ｇ₂₀とされている。ただし、ｇ₀ は接触点の軌跡の方向を表す単位ベクトルであり、ｎに一致している。
(3) 座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1，Ｃ₂ ，Ｃ_q2が与えられ、接触点の軌跡ｇ₀ は座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2によって次のように与えられている。ただし、ｇ₀ を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1および歯車Ｉの回転角θ₁ で表すには、添字２を１に変えればよい。
ｑ_2c (θ₂ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ_2c(0)
ｕ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )cosχ₂₀＋Ｒ_b20 sin χ₂₀
ｖ_2c (θ₂ )＝ｑ_2c (θ₂ )sinχ₂₀−Ｒ_b20 cos χ₂₀
ｚ_2c (θ₂ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ＋ｚ_2c(0) ・・・（２５）
ここで、
θ₂ ：歯車IIの回転角
ｑ_2c(0) ，ｚ_2c(0) ：θ₂ ＝０の接触点のｑ_2c，ｚ_2c座標
χ₂₀：歯車IIの作用面Ｇ₂₀の傾き角
ψ_b20 ：ｇ₀ の作用面Ｇ₂₀上の傾き角
Ｒ_b20 ：作用面Ｇ₂₀の接する基礎円筒の半径
したがって、対象歯車対が、与えられた角速度比ｉ₀ の運動を伝達するためには、ｑ_2c(0) ，ｚ_2c(0) ，Ｒ_b20 ，χ₂₀，ψ_b20 の５個の定数を適切に選択する必要がある。
１０．相対回転軸と座標系Ｃ_S
１０．１ 相対回転軸
図７は、相対回転軸と座標系Ｃ_S との関係を示している。２軸ＩとIIの位置関係およびその角速度ω₁₀，ω₂₀が与えられた時、２軸の共通垂線ｖ_c （ω₂₀×ω₁₀の方向に正）と各軸Ｉ，IIとの交点をそれぞれＣ₁ ，Ｃ₂ とし、ｖ_c に関してＣ₁ がＣ₂ の下にあるものとする。相対角速度ω_r （ベクトル）をω_r ＝ω₁₀−ω₂₀、その軸を相対回転軸Ｓとする時、相対回転軸Ｓを含み、かつ、共通垂線ｖ_c に垂直な平面を平面Ｓ_H とし、その平面Ｓ_H と共通垂線ｖ_c との交点をＣ_s とすれば、相対回転軸ＳはＣ_s を通る直線となっていて、相対回転軸Ｓの位置は次のように決定することができる。
２軸Ｉ（ω₁₀），II（ω₂₀）の平面Ｓ_H への正射影をそれぞれＩ_s （ω₁₀”），II_s （ω₂₀”）とし、共通垂線ｖ_c の正方向から負方向に向かって平面Ｓ_H を見たとき、Ｉ_S のII_S に対する角をΩとすれば、ω₂₀×ω₁₀の定義により、Ｉ_s はII_s に対し、０≦Ω≦π（反時計方向が正）の領域にある。平面Ｓ_H 上で相対回転軸Ｓ（ω_r ）のII_s に対する角をΩ_S （反時計方向が正）とすれば、相対回転軸の定義（ω_r ＝ω₁₀−ω₂₀）により、ω₁₀”，ω₂₀”の平面Ｓ_H 上の相対回転軸に直交する成分が等しくなければならないから、Ω_s は次式（２６）、すなわち、
sinΩ_s ／ sin（Ω_s −Ω）＝ω₁₀／ω₂₀
または、
sinΓ_s ／ sin（Σ−Γ_s ）＝ω₁₀／ω₂₀ ・・・（２６）
となる。ここで、Σ ＝π−Ω（軸角）、Γ_s ＝π−Ω_s である。ただし、いずれも図示の方向に正である。
共通垂線ｖ_c 上のＣ_s の位置は次のようにして求められる。図８は、点Ｃ_s の相対速度Ｖ_s （ベクトル）を示している。仮定により共通垂線ｖ_c に関してＣ₁ がＣ₂ の下にあり、かつ、ω₁₀≧ω₂₀であるから、Ｃ_S はＣ₂ の下にある。点Ｃ_s における歯車Ｉ，IIの周速度をＶ_s1，Ｖ_s2（いずれもベクトル）とすれば、相対速度Ｖ_s ＝Ｖ_s1−Ｖ_s2 は相対回転軸Ｓ上にあるから、Ｖ_s1，Ｖ_s2（平面Ｓ_H 上にある）の相対回転軸に直交する成分が常に等しくなければならない。したがって、点Ｃ_s における相対速度Ｖ_s ＝Ｖ_s1−Ｖ_s2は、相対回転軸Ｓの位置（Γ_s ）によって、平面Ｓ_H 上で同図に示すようになり、Ｃ₂ とＣ_s との距離Ｃ₂ とＣ_s は、次式（２７）、すなわち、
Ｃ₂ Ｃ_s ＝Ｅ tanΓ_s ／｛ tan（Σ−Γ_s ）＋ tanΓ_s ｝ ・・・（２７）
で求められる。この式は０≦Γ_s ≦πの範囲で成り立つが、Ｃ_s の位置はΓ_s と共に変化し、０≦Γ_s ≦π／２のときはＣ₁ より上、π／２≦Γ_s ≦πのときはＣ₁ より下となっている。
１０．２ 座標系Ｃ_s の定義
前記式（２６），（２７）によって相対回転軸Ｓを静止空間に決定することができるから、座標系Ｃ_S を図７に示すように定義する。座標系Ｃ_S （ｕ_c ，ｖ_c ，ｚ_c ）は、Ｃ_s を原点とし、有向共通垂線ｖ_c をｖ_c 軸、相対回転軸Ｓをｚ_c 軸（ω_r の方向が正）、そして、両軸に垂直に右手系となるようにとられたｕ_c 軸によって構成される。対象歯車対は定角速度比の運動を伝達することが仮定されているから、座標系Ｃ_s は静止空間に固定された座標系となり、先に定義された座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ およびその派生座標系と共に、定角速度比の運動伝達を行う歯車対を扱う場合における基本座標系である。
１０．３ 座標系Ｃ_s ，Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係
点Ｃ₁ ，Ｃ₂ を座標系Ｃ_s を用いて、Ｃ₁ （０，ｖ_cs1 ，０），Ｃ₂ （０，ｖ_cs2 ，０）と表せば、ｖ_cs1 ，ｖ_cs2 は、次式（２９）のようになる。すなわち、

となる。
ｖ_c 軸に関してＣ₂ は常にＣ_s の上にあることに注意すれば、ｖ_cs1 ，ｖ_cs2およびΣ，Γ_s とによって、座標系Ｃ_s と、座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係は次式（３０），（３１）のようになる。すなわち、
ｕ_1c＝ｕ_c cos(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_c sin(Σ−Γ_s )
ｖ_1c＝ｖ_c −ｖ_cs1
ｚ_1c＝−ｕ_c sin(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_c cos(Σ−Γ_s ) ・・・（３０）
ｕ_2c＝−ｕ_c cos Γ_s ＋ｚ_c sin Γ_s
ｖ_2c＝ｖ_c −ｖ_cs2
ｚ_2c＝−ｕ_c sin Γ_s −ｚ_c cos Γ_s ・・・（３１）
となる。座標系Ｃ_s と、座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係は、図９に概念的に示されている。
１１．座標系Ｃ_s による接触点の軌跡ｇ₀ の定義
１１．１ 相対速度と接触点の軌跡ｇ₀ との関係
図１０は、与えられた接触点の軌跡ｇ₀ とそのｇ₀ 上の任意点Ｐにおける相対速度Ｖ_rs（ベクトル）との関係を示している。なお、図中の「′」，「”」は、点またはベクトルの対象平面への正射影であることを示している。歯面が接触点の軌跡ｇ₀ 上の任意点Ｐで接触しているとき、相対回転軸Ｓ上の任意点からのＰの位置ベクトルをｒとすれば、点Ｐにおける相対速度Ｖ_rsは次式（３２）で表わすことができる。すなわち、
Ｖ_rs＝ω_r ×ｒ＋Ｖ_s ・・・（３２）
ここで、
ω_r ＝ω₁₀−ω₂₀
ω_r ＝ω₂₀ sinΣ／sin(Σ−Γ_s ) ＝ω₁₀ sinΣ／ sinΓ_s
Ｖ_s ＝ω₁₀×〔Ｃ₁ Ｃ_s 〕−ω₂₀×〔Ｃ₂ Ｃ_s 〕
Ｖ_s ＝ω₂₀Ｅ sinΓ_s ＝ω₁₀Ｅsin(Σ−Γ_s )
である。ただし、〔Ｃ₁ Ｃ_s 〕はＣ₁ を始点、Ｃ_s を終点とするベクトルを表し、〔Ｃ₂ Ｃ_s 〕はＣ₂ を始点、Ｃ_s を終点とするベクトルを表している。
相対速度Ｖ_rsは相対回転軸Ｓを軸とする円筒面の接平面上にあって、この接平面上におけるＶ_s に対する傾き角ψは次式（３３）で表わすことができる。すなわち、
cosψ＝｜Ｖ_s ｜／｜Ｖ_rs｜ ・・・（３３）
となる。接触点の軌跡ｇ₀ は接触点における歯面の共通法線でもあるから、ｇ₀ は相対速度Ｖ_rsと点Ｐにおいて直交している。すなわち、
Ｖ_rs・ｇ₀ ＝０
である。したがって、ｇ₀ は点ＰにおけるＶ_rsに垂直な平面Ｎ上の有向直線になっている。平面Ｎと平面Ｓ_H との交線をＨ_n とするとき、Ｈ_n は一般には相対回転軸Ｓに交わる直線となり、ｇ₀ は交点が無限遠であることを含めれば必ずＨ_n を通ることになる。ｇ₀ と平面Ｓ_H との交点をＰ₀ とすれば、Ｐ₀ は交線Ｈ_n 上にあって、ｇ₀ およびＰ₀ は歯車対の種類に応じて次のようになる。
(1) 円筒歯車またはかさ歯車の場合（Σ＝０，πまたはＥ＝０）
Ｖ_s ＝０であるから、Ｖ_rsは単に相対回転軸Ｓ周りの周速度を意味する。したがって、平面ＮはＳ軸を含むから、Ｈ_n はＳに一致し、接触点の軌跡ｇ₀ は必ず相対回転軸Ｓを通ることになる。すなわち、点Ｐ₀ は相対回転軸Ｓ上にあるのである。したがって、これらの歯車対では、接触点の軌跡ｇ₀ は相対回転軸上の任意点Ｐ₀ を通る任意の有向直線となっている。
(2) 上記以外の歯車の場合（Σ≠０，πまたはＥ≠０）
ハイポイドギヤ、ねじ歯車またはウォ−ムギヤの場合であり、接触点Ｐをある位置に選ぶと、その点Ｐに固有の相対速度Ｖ_rs，平面Ｎ，直線Ｈ_n が決定される。接触点の軌跡ｇ₀ はＨ_n 上の任意点Ｐ₀ を通る直線になっていて、一般には相対回転軸Ｓを通らない。点Ｐは任意であるから、ｇ₀ は平面Ｓ_H との交点Ｐ₀ における相対速度Ｖ_rs0 に垂直な平面上の点Ｐ₀ を通る任意の有向直線でもある。すなわち、前記式（３２）は次のように表すことができるのである。すなわち、
Ｖ_rs＝Ｖ_rs0 ＋ω_r ×〔Ｐ₀ Ｐ〕・ｇ₀
ただし、〔Ｐ₀ Ｐ〕は、Ｐ₀ を始点、Ｐを終点とするベクトルを表している。したがって、Ｖ_rs0 ・ｇ₀ ＝０ならば、Ｖ_rs・ｇ₀ ＝０となり、ｇ₀ 上の任意点Ｐは接触点である。
１１．２ 設計基準点の選択
２軸の位置関係と角速度とが与えられた歯車対において、接触点の軌跡ｇ₀ が同じ歯車対は同じ歯形曲線をもち、そのどの部分を有効部分とするかの差しかない。したがって、歯車対の設計においては接触点の軌跡ｇ₀ を２軸によってきまる静止空間のどこに配置するかが重要であって、設計基準点は接触点の軌跡ｇ₀を静止空間に定義するための点にすぎないから、接触点の軌跡ｇ₀ 上のどこに選んでも本質的な差はない。任意の接触点の軌跡ｇ₀ を与えたとき、ｇ₀ は交点が無限遠であることも含めて必ず平面Ｓ_H と交わるから、逆にこの交点を設計基準点としても一般性を失わない。そこで、本実施形態においては、平面Ｓ_H （円筒歯車、かさ歯車の場合は相対回転軸）上の任意点Ｐ₀ を設計基準点として与えるものとする。
図１１は、設計基準点Ｐ₀ および接触点の軌跡ｇ₀ を座標系Ｃ_s を用いて示したものである。座標系Ｃ_s によって表示された設計基準点をＰ₀ （ｕ_c0，ｖ_c0，ｚ_c0）とすれば、各座標値は、
ｕ_c0＝Ｏ_s Ｐ₀
ｖ_c0＝０
ｚ_c0＝Ｃ_s Ｏ_s
と表わすことができる。ただし、円筒歯車、かさ歯車の場合はｕ_c0＝０である。また、点Ｏ_s は設計基準点Ｐ₀ を通り相対回転軸Ｓに垂直な平面Ｓ_s と相対回転軸Ｓとの交点である。
１１．３ 接触点の軌跡ｇ₀ の傾き角の定義
点Ｐ₀ における相対速度Ｖ_rs0 は前記式（３２）を用いて、
Ｖ_rs0 ＝ωr ×〔ｕ_c0〕＋Ｖ_s
となる。ここで、〔ｕ_c0〕は、Ｏ_s を始点、Ｐ₀ を終点とするベクトルを表している。点Ｐ₀ において相対回転軸Ｓに平行で、かつ、平面Ｓ_H に垂直な平面（ｕ_c ＝ｕ_c0）をＳ_p とすれば、Ｖ_rs0 は平面Ｓ_p 上にあって、Ｖ_rs0 の平面Ｓ_H （ｖ_c ＝０）からの傾き角ψ₀ は、前記式（３３）を用いて、

で表される。ただし、ψ₀ はｕ_c0≧０のとき正とし、図１０にその方向が示されている。
点Ｐ₀ を通ってＶ_rs0 に垂直な平面をＳ_n とすれば、平面Ｓ_n は平面Ｓ_s に大してψ₀ だけ傾いた平面になっていて、接触点の軌跡ｇ₀ は点Ｐ₀ を通り平面Ｓ_n 上にある任意の有向直線になっている。したがって、ｇ₀ の座標系Ｃ_s 上における傾き角は、平面Ｓ_n の平面Ｓ_s （またはｖ_c 軸）からの傾き角ψ₀ と、平面Ｓ_n 上における平面Ｓ_p からの傾き角φ_n0とによって定義することができ、これをｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0） と表わすことにする。φ_n0は図１１に示す方向を正としている。
１１．４．座標系Ｃ_s によるｇ₀ の定義
図９は、座標系Ｃ_s と平面Ｓ_H ，Ｓ_s ，Ｓ_p ，Ｓ_n およびＰ₀ ，ｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0）との関係を示したものである。ここで定義された平面Ｓ_H は従来の理論では、円筒歯車の場合のピッチ平面、かさ歯車の場合の軸平面に対応している。平面Ｓ_s は正面であり、平面Ｓ_p は円筒歯車の軸平面、かさ歯車のピッチ平面に対応している。また、平面Ｓ_n は一般の歯車に拡張された歯直角平面であり、φ_n0，ψ₀ もまた一般の歯車に拡張された歯直角圧力角、ねじれ角と考えることができる。これらの平面によって、一般の歯車対の圧力角やねじれ角が、接触点の共通法線（この場合はｇ₀ ）の各平面に対する傾き角として静止空間に対して統一的ただし、ここで定義された平面Ｓ_n ，φ_n0，ψ₀ は従来理論のかさ歯車の場合に一致し、他の歯車の場合のそれとは異なる。これは従来理論が、個々の歯車のピッチ平面を基準とし、それは歯車の種類によって静止空間に対して変化するからである。従来の理論では、基準となるピッチ回転体（円筒あるいは円錐）を決めれば、このピッチ回転体に任意の曲面を歯面として固定し、相手歯面を創成すればよく、与える歯面（接触点の軌跡とその法線）に製作上の制限以外に条件はなかったから、むしろＰ₀ の選択（ピッチ回転体の議論）に重点があり、ｇ₀ （すなわちｇ₀ を実現する歯面）をどう設計するかの議論は歯面が存在するかどうか以外には殆どなされなかった。歯車対の設計において軸受荷重変動０を実現するためには、Ｐ₀ の選択よりもｇ₀ の設計が重要である。
軸角ΣとオフセットＥおよび角速度の方向とが与えられた歯車対では、接触点の軌跡ｇ₀ は一般には設計基準点Ｐ₀ （ｕ_c0，ｖ_c0，ｚ_c0）と傾き角ｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0）との５個の独立変数によって座標系Ｃ_s で定義できる。本実施形態においては、設計の条件として角速度比ｉ₀ およびｖ_c0＝０が与えられるから、接触点の軌跡ｇ₀ の独立変数は３個になる。すなわち、円筒歯車の場合には、ｚ_c0が実質的な意味を持たないから、（ｚ_c0），φ_n0，ψ₀ の２個、かさ歯車の場合には、ｚ_c0，φ_n0，ψ₀ の３個、ハイポイドギヤやウォームギヤ，ねじ歯車の場合には、ｚ_c0，φ_n0，ψ₀ （またはｕ_c0）の３個の独立変数の選択によって静止空間に決定することになる。点Ｐ₀ を与えたとき、ハイポイドギヤやウォ−ムギヤの場合には、ψ₀ は同時に決定され、φ_n0だけが自由に選べる変数であるが、円筒歯車やかさ歯車の場合には、Ｐ₀ を相対回転軸上に選ぶから、ψ₀ もφ_n0も自由に選べる変数になっている。
１２．接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₂ ，Ｏ₁ への変換
１２．１ 座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2，Ｏ₁ ，Ｏ_q1の定義
図１２は、接触点の軌跡ｇ₀ を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2，Ｏ₁ ，Ｏ_q1によって示したものである。座標系Ｏ₂ （ｕ₂ ，ｖ₂ ，ｚ₂ ），Ｏ_q2（ｑ₂ ，ｖ_q2，ｚ₂ ）は、設計基準点Ｐ₀ を通る歯車II軸の軸直角平面Ｚ₂₀とII軸との交点Ｏ₂ を原点とする座標系であり、座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2をｚ_2c軸方向にＣ₂ Ｏ₂ だけ平行移動したものである。全く同様に座標系Ｏ₁ （ｕ₁ ，ｖ₁ ，ｚ₁ ），Ｏ_q1（ｑ₁ ，ｖ_q1，ｚ₁ ）は、点Ｐ₀ を通る歯車Ｉ軸の軸直角平面Ｚ₁₀とＩ軸との交点Ｏ₁ を原点とする座標系であり、座標系Ｃ₁ とＣ_q1とをｚ_1c軸方向にＣ₁ Ｏ₁ だけ平行移動したものである。
１２．２ 接触点の軌跡の座標の変換式
座標系Ｃ₂ とＯ₂ ，Ｃ_q2とＯ_q2，Ｏ₂ とＯ_q2との関係は、次のようになる。
(1) 座標系Ｃ₂ とＯ₂
ｕ₂ ＝ｕ_2c
ｖ₂ ＝ｖ_2c
ｚ₂ ＝ｚ_2c−ｚ_2c0
ここで、ｚ_2c0 ＝Ｃ_s Ｏ_2s＝−（ｕ_c0 sinΓ_s ＋ｚ_c0 cosΓ_s ）
(2) 座標系Ｃ_q2とＯ_q2
ｑ₂ ＝ｑ_2c
ｖ_q2＝ｖ_q2c
ｚ₂ ＝ｚ_2c−ｚ_2c0
ここで、ｚ_2c0 ＝Ｃ_s Ｏ_2s＝−（ｕ_c0 sinΓ_s ＋ｚ_c0 cosΓ_s ）
(3) 座標系Ｏ₂ とＯ_q2（ｚ₂ は共通）
ｕ₂ ＝ｑ₂ cos χ₂ ＋Ｒ_b2 sinχ₂
ｖ₂ ＝ｑ₂ sin χ₂ −Ｒ_b2 cosχ₂
χ₂ ＝π／２−φ₂
以上となる。
全く同様にして座標系Ｃ₁ とＯ₁ ，Ｃ_q1とＯ_q1，Ｏ₁ とＯ_q1との関係は、次のようになる。
(4) 座標系Ｃ₁ とＯ₁
ｕ₁ ＝ｕ_1c
ｖ₁ ＝ｖ_1c
ｚ₁ ＝ｚ_1c−ｚ_1c0
ここで、ｚ_1c0 ＝Ｃ_s Ｏ_1s＝−ｕ_c0sin(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_c0cos(Σ−Γ_s )
(5) 座標系Ｃ_q1とＯ_q1
ｑ₁ ＝ｑ_1c
ｖ_q1＝ｖ_q1c
ｚ₁ ＝ｚ_1c−ｚ_1c0
ここで、ｚ_1c0 ＝Ｃ_s Ｏ_1s＝−ｕ_c0sin(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_c0cos(Σ−Γ_s )
(6) 座標系Ｏ₁ とＯ_q1（ｚ₁ は共通）
ｕ₁ ＝ｑ₁ cos χ₁ ＋Ｒ_b1 sinχ₁
ｖ₁ ＝ｑ₁ sin χ₁ −Ｒ_b1 cosχ₁
χ₁ ＝π／２−φ₁
(7) 座標系Ｏ₁ とＯ₂ との関係は、
ｕ₁ ＝−ｕ₂ cos Σ−（ｚ₂ ＋ｚ_2c0 ）sin Σ
ｖ₁ ＝ｖ₂ ＋Ｅ
ｚ₁ ＝ｕ₂ sin Σ−（ｚ₂ ＋ｚ_2c0 ）cos Σ−ｚ_1c0
以上となる。
１２．３ 接触点の軌跡の傾き角の変換式
ｇ₀ を含み歯車軸IIに平行な平面を作用面Ｇ₂₀とすれば、座標系Ｏ₂ 上におけるｇ₀ の傾き角は、作用面Ｇ₂₀のｖ₂ 軸からの傾き角φ₂₀（χ₂₀の余角）と作用面Ｇ₂₀上のｑ₂ 軸からの傾き角ψ_b20 とによってｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）と表わすことができる。全く同様にして作用面Ｇ₁₀を定義し、ｇ₀ の傾き角を座標系Ｏ₁ によってｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）と表わすことができる。
図１３は、ｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0）とｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）とｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）との関係を示したものである。歯車対の回転によって、接触点が接触点の軌跡ｇ₀ 上をＰ₀ からＰに移動したものとし、変位Ｐ₀ Ｐ＝Ｌ_g （θ₂ ＞０のとき正）とすれば、座標系Ｃ_s の各軸方向成分は、
Ｌ_uc＝−Ｌ_g sin φ_n0 （Ｌ_uc：Ｌ_g のｕ_c 方向成分）
Ｌ_vc＝Ｌ_g cos φ_n0 cosψ₀ （Ｌ_vc：Ｌ_g のｖ_c 方向成分）
Ｌ_zc＝Ｌ_g cos φ_n0 sinψ₀ （Ｌ_zc：Ｌ_g のｚ_c 方向成分）
と表わすことができる。
座標系Ｏ₂ の各軸方向成分は、前記式（３１）を用いて、座標系Ｃ_s の各軸方向成分によって、
Ｌu2＝−Ｌuc cosΓs ＋Ｌzc sinΓs （Ｌu2：Ｌg のｕ2 方向成分）
Ｌv2＝Ｌvc （Ｌv2：Ｌg のｖ2 方向成分）
Ｌz2＝−Ｌuc sinΓs −Ｌzc cosΓs （Ｌz2：Ｌg のｚ2 方向成分）
と表わされる。
したがって、ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）は、

のようになる。全く同様にしてｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）は、

のようになる。式（３５），（３６），（３７），（３８）によって、ｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0）とｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）とｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）との関係が定まる。実際には上式はφ_n0，ψ₀ 以外の変数を与える場合には使いにくいので、ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）とｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）とを与えた場合の関係式を以下に求めておく。
(1) ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）からｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0）とｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）とを求める関係式

(2) ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）からｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0） とｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）とを求める関係式は、

以上である。
１２．４ 接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₂ による表示
次に座標系Ｏ₂ による接触点の軌跡の方程式について説明する。図１４は、接触点の軌跡ｇ₀ および対応する歯形曲線IIを示している。θ₂ ＝０のとき、設計基準点Ｐ₀ で接触し、そのときの接平面をＷ₀ （同図では作用面との交線で表す）とする。歯車IIがθ₂ だけ回転した後、接触点はＰ、接平面はＷに移動しているものとする。
(1) 設計基準点Ｐ₀
設計基準点は座標系Ｃ_s によりＰ₀ （ｕ_c0，０，ｚ_c0） で与えられている。ただし、ｚ_c0≧０とし、特に円筒歯車やかさ歯車の場合はｕ_c0＝０とする。したがって、座標系Ｏ₂ により表示された設計基準点をＰ₀ （ｕ_2p0 ，−ｖ_cs2 ，０）とすれば、式（３１）を用いて、ｕ_2P0 は、
ｕ_2p0 ＝Ｏ_2sＰ₀ ＝−ｕ_c0 cosΓ_s ＋ｚ_c0 sinΓ_s ・・・（４７）
となる。ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）は前記式（３５），（３６）によって与えられるから、Ｐ₀ （ｕ_2p0 ，−ｖ_cs2 ，０）を座標系Ｏ_q2に変換し、Ｐ₀ （ｑ_2p0 ，−Ｒ_b20 ，０）で表わせば、ｑ_2p0 ，Ｒ_b20 は、
ｑ_2p0 ＝ｕ_2p0 cos χ₂₀−ｖ_cs2 sin χ₂₀
Ｒ_b20 ＝ｕ_2p0 sin χ₂₀＋ｖ_cs2 cos χ₂₀
χ₂₀＝π／２−φ₂₀ ・・・（４８）
となる。
(2) 接触点の軌跡ｇ₀ の方程式
前記式（２５）を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2に変換し、その変換後の式（２５）に式（４８）を代入すれば、接触点の軌跡ｇ₀ の方程式は回転角θ₂ における接触点Ｐの座標として、座標系Ｏ₂ によって次のようになる。ただし、θ₂ ＝０のとき、設計基準点Ｐ₀ で接触している。すなわち、
ｑ₂ ( θ₂ ) ＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ_2p0
ｕ₂ ( θ₂ ) ＝ｑ₂ ( θ₂ ) cosχ₂₀＋Ｒ_b20 sin χ₂₀
ｖ₂ ( θ₂ ) ＝ｑ₂ ( θ₂ ) sinχ₂₀−Ｒ_b20 cos χ₂₀
ｚ₂ ( θ₂ ) ＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ・・・（４９）
となる。
１２．５ 接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₁ による表示
図１５は、接触点の軌跡ｇ₀ および対応する歯形曲線Ｉを示している。ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）は前記式（３７），（３８）によって与えられるから、座標系Ｏ₂ の場合と全く同様にして、設計基準点Ｐ₀ （ｕ_c0，０，ｚ_c0）を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1に変換し、Ｐ₀ （ｕ_1p0 ，−ｖ_cs1 ，０），Ｐ₀ （ｑ_1p0 ，−Ｒ_b10 ，０）で表せば、前記式（３０）を用いて、ｕ_1p0 ，ｑ_1p0 ，Ｒ_b10 は、

となる。
したがって、接触点の軌跡ｇ₀ の方程式は、前記式（２５）を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1およびθ₁ で表せば、
θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ （θ₂ ＝０の時、θ₁ ＝０）
ｑ₁ ( θ₁ ) ＝Ｒ_b10 θ₁ cos ² ψ_b10 ＋ｑ_1p0
ｕ₁ ( θ₁ ) ＝ｑ₁ ( θ₁ )cosχ₁₀＋Ｒ_b10 sinχ₁₀
ｖ₁ ( θ₁ ) ＝ｑ₁ ( θ₁ )sinχ₁₀−Ｒ_b10 cosχ₁₀
ｚ₁ ( θ₁ ) ＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10 ・・・（４９−１）
となる。接触点の軌跡ｇ₀ が静止空間に固定された直線として与えられ、しかも、角速度比が一定であるから、接触点の軌跡の方程式は２軸の位置関係によらず、全く同じ形で表現できることになる。
１３．歯形曲線の方程式
１３．１ 歯形曲線IIの方程式
図１４に、歯形曲線IIを歯車IIと共にθ₂ で回転する座標系Ｏ_r2（ｕ_r2，ｖ_r2，ｚ_r2）で示している。座標系Ｏ_r2は座標系Ｏ₂ に対して原点Ｏ₂ およびｚ₂ 軸を共有し、θ₂ ＝０のとき一致しているものとする。接触点の軌跡ｇ₀ は前記式（４９）によって与えられるから、回転座標系Ｏ_r2で表わした歯形曲線IIの方程式は、
χ_r2＝χ₂₀−θ₂ ＝π／２−φ₂₀−θ₂
ｕ_r2＝ｑ₂ ( θ₂ )cosχ_r2＋Ｒ_b20 sin χ_r2
ｖ_r2＝ｑ₂ ( θ₂ )sinχ_r2−Ｒ_b20 cos χ_r2
ｚ_r2＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ・・・（５０）
となる。
１３．２ 歯形曲線Ｉの方程式
図１５は、歯形曲線Ｉを座標系Ｏ1 および歯車Ｉと共にθ₁ で回転する座標系Ｏ_r1（ｕ_r1，ｖ_r1，ｚ_r1）で示したものである。座標系Ｏ_r1は座標系Ｏ₁ に対して原点Ｏ₁ およびｚ₁ 軸を共有し、θ₁ ＝０のとき一致しているものとする。接触点の軌跡ｇ₀ は前記式（４９−１）によって与えられているから、回転座標系Ｏ_r1で表わした歯形曲線Ｉの方程式は、
χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π／２−φ₁₀−θ₁
ｕ_r1＝ｑ₁ ( θ₁ )cosχ_r1＋Ｒ_b10 sin χ_r1
ｖ_r1＝ｑ₁ ( θ₁ )sinχ_r1-Ｒ_b10 cos χ_r1
ｚ_r1＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10 ・・・（５３）
となる。
次に、決定された歯形曲線から歯面を決定する具体的方法を図面に基づいて詳細に説明する。
１４．対象歯車対の定義
対象とするインボリュート歯車対は次のように定義されているものとする。接触点の軌跡ｇ₀ に対応する歯形曲線をそれぞれ歯形曲線Ｉ，IIとするとき、歯面IIとして歯形曲線IIを含むインボリュートヘリコイドを与え、歯面IIによって定角速度比ｉ₀ で創成された曲面を歯面Ｉ（したがって、歯形曲線Ｉを含む）とする。このように定義されたインボリュート歯車対の歯面を修整して歯形曲線Ｉ，IIに沿って接触させれば、軸受荷重変動は０となるから、動力伝達用歯車対としては荷重変動の点から最も有利な歯車対となる。そこで、以下、インボリュート歯車対の関係式、すなわち、インボリュートヘリコイドとその接触領域、共役歯面Ｉの方程式を説明する。
１５．インボリュートヘリコイド（歯面II）の方程式
１５．１ 作用面Ｇ₂₀の方程式
図１６は、前記式（２５）によって与えられた設計基準点Ｐ₀ および接触点の軌跡ｇ₀ を含む作用面Ｇ₂₀（傾き角χ₂₀＝π／２−φ₂₀）を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2によって示したものである。点Ｐ₀ における接平面Ｗ0 とＧ₂₀との交線が直線ｗ₀ で表されている。歯車IIがθ₂ だけ回転したとき、接触点Ｐ₀ はＰに、ｗ₀ はｗに移動したものとする。
インボリュートヘリコイドの定義によりｗ上の任意点の歯面法線ｎは作用平面Ｇ₂₀上にあって、しかもそのｑ₂ 軸からの傾き角ψ_b20 は一定であるから、ｗはｇ₀ 上の点Ｐを通りｇ₀ に直交する直線になっている。したがって、インボリュートヘリコイドは、歯車IIの回転（回転角θ₂ ）と共にＧ₂₀上をｑ₂ 軸方向にＲ_b20 θ₂ だけ平行移動する交線ｗが、歯車IIに固定された回転する空間（座標系Ｏ_r2）上に描く軌跡面と定義できる。そこで、直線ｗ上の任意点をＱとし、点Ｑを座標系Ｏ_r2で表わせば、求めるインボリュートヘリコイドはＱの集合として表わすことができる。
ｗ上の任意点Ｑを通り、ｗに垂直な作用面Ｇ₂₀上の有向直線をｎ（ｇ₀ と同方向を正）とし、ｎとｗ₀ との交点をＱ₀ とすれば、座標系Ｏ_q2によって表示された点Ｑ₀ （ｑ₂₀，−Ｒ_b20 ，ｚ₂₀）は次のようになる。
ｑ₂₀＝ｑ_2p0 −ｚ₂₀ tanψ_b20
したがって、点Ｑを座標系Ｏ_q2によって表せば、Ｑ（ｑ₂ ，−Ｒ_b20 ，ｚ₂ ）は、
ｑ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ₂₀
＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ_2p0 −ｚ₂₀ tanψ_b20
ｚ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ＋ｚ₂₀
となる。さらに点Ｑを座標系Ｏ₂ によって表わせば、Ｑ（ｕ₂ ，ｖ₂ ，ｚ₂ ）は、
ｑ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ_2p0 −ｚ₂₀ tanψ_b20
ｕ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝ｑ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀)cosχ₂₀＋Ｒ_b20 sin χ₂₀
ｖ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝ｑ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀)sinχ₂₀−Ｒ_b20 cos χ₂₀
ｚ₂ ( θ₂ ，ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20 ＋ｚ₂₀ ・・・（５４）
となる。この式（５４）が座標系Ｏ₂ によって表わしたθ₂ とｚ₂₀とをパラメータとする作用面Ｇ₂₀の方程式であり、θ₂ を固定すれば、接平面Ｗと作用面Ｇ₂₀との交線ｗを、ｚ₂₀を固定すれば作用面上の有向直線ｎを表わすことになる。接触点の軌跡ｇ₀ は点Ｐ₀ を通る有向直線ｎでもあるから、ｚ₂₀＝０と置けば前記（４９）が求められる。
１５．２ インボリュートヘリコイドの方程式
図１６における直線ｗを歯車IIと共に回転する座標系に変換すれば、直線ｗの軌跡はインボリュートヘリコイド（基礎円筒半径Ｒ_b20 、ねじれ角ψ_b20 ）を描くから、これを歯面IIとして与えるものとする。この時、点Ｑにおける有向直線ｎは歯面法線ｎになる。
図１７は、回転角θ₂ における直線ｗを通るインボリュートヘリコイド（歯面II）上の任意点Ｐ_m を座標系Ｏ₂ 上で示したものである。歯面IIがｗからさらにξ₂ だけ回転したとき、ｗはｗ_m にきているとすれば、ｗ_m とｎとの交点Ｑ_m は、

と表すことができる。
回転座標系Ｏ_r2m を回転角θ₂ のとき座標系Ｏ₂ に一致し、ｚ₂ 軸回りにξ₂ だけ回転する座標系とすれば、座標系Ｏ_r2m によってＱ_m （ｕ_r2m ，ｖ_r2m ，ｚ_r2m ）は、

と表わすことができる。
座標系Ｏ_r2m をξ₂ だけθ₂ の逆方向に回転させて座標系Ｏ₂ に重ねれば、Ｑ_m はＰ_m に移動する。座標系Ｏ_r2m 上の点Ｑ_m が座標系Ｏ₂ 上の点Ｐ_m であり、両者は同じ座標値であるから、点Ｐ_m を座標系Ｏ₂ によって表示すれば、Ｐ_m （ｕ_2m，ｖ_2m，ｚ_2m）は、

となる。この式（５５）が任意の回転角θ₂ における接触点の軌跡ｇ₀ 上の点Ｐを通るインボリュートヘリコイド（歯面II）のｚ₂₀とξ₂ とをパラメータとする、座標系Ｏ₂ による方程式である。θ₂ ＝０とすれば、設計基準点Ｐ₀ を通る歯面IIとなり、さらにｚ₂₀＝０とすれば、式（５０）、すなわち点Ｐ₀ を通る歯形曲線IIとなる。または、この式（５５）は、作用面Ｇ₂₀上の点Ｑ_m をξ₂ だけθ₂ の逆方向に回転させた平面Ｇ_2m上の点Ｐ_m の座標系Ｏ₂ による方程式と考えることができ、点Ｐを通るインボリュートヘリコイドを座標系Ｏ₂ 上で考えるときには、この方が考えやすい。
１６．接触線と接触領域
歯面IIが前記式（５５）によって与えられている時、点Ｐを通る接触線は、θ₂ を固定したときの接触の条件式を満たすｚ₂₀とξ₂ との組合せであるから、ξ₂ をパラメータとして次のように求められる。
１６．１ 接触点の共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）
図１８は、接触点Ｐ_m における接触線ＰＰ_m および共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）を示したものである。歯車IIがθ₂ だけ回転し、接触点は接触点の軌跡ｇ₀ 上の点Ｐにあるものとする。歯面II上にＰ以外の接触点Ｐ_m をとり、その相対速度をＶ_rsm 、その共通法線をｎ_m （｜ｎ_m ｜＝１）とする。ｎ_m と平面Ｓ_H との交点をＰ_m0、点Ｐ_m0の相対速度をＶ_rsm0とすれば、Ｐ_m は接触点であるから次の関係式、

が成り立つ。ここで、〔Ｐ_m0Ｐ_m 〕は、Ｐ_m0を始点、Ｐ_m を終点とするベクトルを表している。
相対速度Ｖ_rsm0はＰ_m0を通り平面Ｓ_p に平行な平面Ｓ_pm上にあるから、平面Ｓ_pm上で平面Ｓ_H に対する傾き角をψ_m0とする。点Ｐ_m0を通りＶ_rsm0に垂直な平面をＳ_nmとすれば、平面Ｓ_nmはｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）を含むから、点Ｐ_m の歯直角平面（ねじれ角ψ_m0）となっている。一方、接触点Ｐ_m およびその共通法線ｎ_m は、Ｐ₀ を通る作用面Ｇ₂₀からξ₂ だけ傾いた平面Ｇ_2m上にあるから、座標系Ｏ₂ で表したｎ_m の傾き角はｎ_m （φ₂₀＋ξ₂ ，ψ_b20 ）で与えられる。共通法線ｎ_m は平面Ｓ_nmとＧ_2mとの交線上にあることから、座標系Ｃ_s と座標系Ｏ₂ の間の傾き角の変換式（４０）を用いれば、平面Ｓ_nmのねじれ角ψ_m0を、
tanψ_m0＝tan(φ₂₀＋ξ₂ )sinΓ_s − tanψ_b20 cos Γ_s ／cos(φ₂₀＋ξ₂ )
と表すことができる。点Ｐ_m0の位置を座標系Ｃ_s を用いてＰ_m0（ｕ_cm0 ，０，ｚ_cm0 ）とすれば、ψ_m0とｕ_cm0 との関係式（３４）から、
ｕ_cm0 ＝Ｏ_m Ｐ_m0＝Ｅ tanψ_m0sin(Σ−Γ_s )sinΓ_s ／ sinΣ
ｚ_cm0 ＝Ｃ_s ０_m ・・・（５６）
を得る。
点Ｐ_m0を座標系Ｃ_s から座標系Ｏ₂ に変換して、Ｐ_m0（ｕ_2m0 ，−ｖ_cs2 ，ｚ_2m0 ）で表せば、
ｕ_2m0 ＝−ｕ_cm0 cos Γ_s ＋ｚ_cm0 sin Γ_s
ｖ_cs2 ＝Ｅ tanΓ_s ／｛tan(Σ−Γ_s )＋ tanΓ_s ｝
ｚ_2m0 ＝−ｕ_cm0 sin Γ_s −ｚ_cm0 cos Γ_s −ｚ_2cs
ｚ_2c0 ＝−ｕ_c0 sinΓ_s −ｚ_c0 cosΓ_s ・・・（５７）
となる。ここで、ｕ_c0，ｚ_c0は、設計基準点Ｐ₀ のｕ_c ，ｚ_c 座標値である。
この式（５７）からｚ_cm0 を消去すれば、
ｕ_2m0 cos Γ_s ＋（ｚ_2m0 ＋ｚ_2cs ）sin Γ_s ＝−ｕ_cm0 ・・・（５８）
を得る。この式（５８）が接触点の共通法線ｎ_m の平面Ｓ_H 上の軌跡Ｐ₀ Ｐ_m0を示している。Ｐ_m0は、軌跡Ｐ₀ Ｐ_m0（前記式（５８））と、作用面Ｇ_2mと平面Ｓ_H との交線Ｈ_g2m との交点であるから、座標系Ｏ₂ によってξ₂ をパラメータとして、
ｕ_2m0 ＝Ｒ_b20 ／cos(φ₂₀＋ξ₂ ) −ｖ_cs2 tan(φ₂₀＋ξ₂ )
ｖ_cs2 ＝Ｅ tanΓ_s ／｛tan(Σ−Γ_s ) ＋ tanΓ_s ｝
ｚ_2m0 ＝−ｚ_2c0 −（ｕ_2m0 cos Γ_s ＋ｕ_cm0 ）／ sinΓ_s ・・・（５９）
と表すことができる。点Ｐ_m0を、座標系Ｏ_q2を用いてＰ_m0（ｑ_2m0 ，−Ｒ_b20 ，ｚ_2m0 ）で表せば、ｑ_2m0 は、
ｑ_2m0 ＝ｕ_2m0 cos χ_2m−ｖ_cs2 sin χ_2m
χ_2m＝π／２−φ₂₀−ξ₂ ＝χ₂₀−ξ₂
となる。これらの式によって共通法線ｎ_m を、点Ｐ_m0を通り、傾き角がｎ_m （φ₂₀＋ξ₂ ，ψ_b20 ）の有向直線として、ξ₂ をパラメータとして作用面Ｇ_2m上に表すことができる。
１６．２ 接触線と接触領域の方程式
図１９は、点Ｑ_m0（Ｐ_m0），Ｑ_m （Ｐ_m ），Ｑと点Ｐとの関係を作用面Ｇ₂₀上で示したものである。Ｐ_m0，Ｐ_m を回転座標系Ｏ_r2m で表わすと、作用面Ｇ_2mは位相差ξ₂ だけ回転して、作用面Ｇ₂₀に重なり、ｎ_m はｎに、Ｐ_m0はＱ_m0に、Ｐ_m はＱ_m に移動する。歯面IIと作用面Ｇ₂₀との交線をｗとし、ｗとｎとの交点をＱとすれば、座標系Ｏ_q2を用いて、既知点Ｑ_m0（ｑ_2m0 ，−Ｒ_b20 ，ｚ_2m0 ），Ｐ（ｑ_2p，−Ｒ_b20 ，ｚ_2p）と未知点Ｑ｛ｑ₂ ( θ₂ ，ξ₂ ) ，−Ｒ_b20 ，ｚ₂( θ₂ ，ξ₂ ) ｝との間には次の関係、

が成り立つ。したがって、点Ｑは座標系Ｏ_q2を用いて、

ここに、ｑ_2p＝ｑ_2p0 ＋Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20
ｚ_2p＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20
と表すことができる。点Ｑ_m はξ₂ をパラメータとして座標系Ｏ_q2を用いて、
ｑ_2m( θ₂ ，ξ₂ ) ＝ｑ₂ ( θ₂ ，ξ₂ ) ＋Ｒ_b20 ξ₂ cos ² ψ_b20
ｚ_2m( θ₂ ，ξ₂ ) ＝ｚ₂ ( θ₂ ，ξ₂ ) ＋Ｒ_b20 ξ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20
と表わすことができる。したがって、座標系Ｏ₂ によって接触点Ｐ_m をＰ_m （ｕ_2m，ｖ_2m，ｚ_2m）で表わせば、各座標値は前記式（５５）を用い、ξ₂ をパラメータとして、

となる。
この式（６１）が任意の回転角θ₂ におけるξ₂ をパラメータとする接触線（ＰＰ_m ）の座標系Ｏ₂ による方程式である。ここで、前記式（５５）のパラメータｚ₂₀は接触の条件式からξ₂ の関数になっている。したがって、θ₂ を変化させることによって、接触線の集合として接触領域を表わすことができる。また、前記式（６１）は任意のξ₂ におけるθ₂ をパラメータとする共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）の方程式であり、ξ₂ を変化させることによって共通法線ｎ_m の集合として接触領域を表わしていると考えることもできる。歯面IIとしてインボリュートヘリコイドを用いれば、接触領域は、作用面上のねじれ角ψ_b20 の有向直線（Ｐ_m0Ｐ_m ）が歯車II軸方向変位と共にその傾き角φ₂₀＋ξ₂ を変化させることによって描くねじれた曲面になっている。
１７．歯面IIによって創成される歯面Ｉの方程式
図２０は、接触点Ｐ_m および共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）を座標系Ｏ₁ とＯ_q1で示したものである。前記式（６１）で与えられる接触点Ｐ_m を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1で表わし、座標系Ｏ_r1に変換すれば歯面Ｉを表わすことになる。点Ｐ_m は前記式（６１）でＰ_m （ｕ_2m，ｖ_2m，ｚ_2m）として与えられるから、点Ｐ_m を座標系Ｏ1 上でＰ_m （ｕ_1m，ｖ_1m，ｚ_1m） と表わせば、座標系Ｏ₂ とＯ₁ との座標変換式によって、各座標値は、
ｕ_1m＝−ｕ_2m cosΣ−（ｚ_2m＋ｚ_2c0 ）sin Σ
ｖ_1m＝ｖ_2m＋Ｅ
ｚ_1m＝ｕ_2m sinΣ−（ｚ_2m＋ｚ_2c0 ）cos Σ−ｚ_1c0
ｚ₁₀＝−ｕ_c0 sin（Σ−Γ_s ）＋ｚ_c0 cos（Σ−Γ_s ）
と表わすことができる。共通法線ｎ_m の傾き角はｎ_m （φ₂₀＋ξ₂ ，ψ_b20 ）で与えられるから、座標系Ｏ₂ とＯ₁ との傾き角の変換式である前記式（４１）、（４２）を用いて、ｎ_m （φ_1m，ψ_b1m ）を、

と求めることができる。
共通法線ｎ_m を含む作用面をＧ_1mとし、座標系Ｏ_q1で点Ｐ_m をＰ_m （ｑ_1m，−Ｒ_b1m ，ｚ_1m）と表わせば、座標系Ｏ₁ とＯ_q1との変換式である前記式（５２）を用いて、
ｑ_1m＝ｕ_1m cosχ_1m＋ｖ_1m sinχ_1m
Ｒ_b1m ＝ｕ_1m sinχ_1m−ｖ_1m cosχ_1m
χ_1m＝π／２−φ_1m
となる。点Ｐ_m を座標系Ｏ_r1に変換すれば、共役な歯面Ｉは、
θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ （θ₂ ＝０の時、θ₁ ＝０）
χ_r1m ＝π／２−φ_1m−θ₁
ｕ_r1m ＝ｑ_1m cosχ_r1m ＋Ｒ_b1m sin χ_r1m
ｖ_r1m ＝ｑ_1m sinχ_r1m −Ｒ_b1m cos χ_r1m
ｚ_r1m ＝ｚ_1m ・・・（６２）
と表すことができる。
１８．同一インボリュートヘリコイドを一方の歯面とする歯車対の群（インボリュート歯車群）
歯車II軸と歯面IIとして同一インボリュートヘリコイド（基礎円半径Ｒ_b20 、ねじれ角ψ_b20 ）およびこの歯面上に点Ｐ₀ （半径Ｒ₂₀）が与えられているものとする。座標系Ｏ₂ によって、点Ｐ₀ およびその法線ｎ₀ は、
Ｐ₀ （ｕ_2p0 ，ｖ_2p0 ，０）
ｎ₀ （φ₂₀， ψ_b20 ）
φ₂₀＋ε₂₀＝ cos^-1( Ｒ_b20 ／Ｒ₂₀ )
ε₂₀＝ tan^-1( ｖ_2p0 ／ｕ_2p0 )
Ｒ₂₀＝√（ｕ_2p0 ² ＋ｖ_2p0 ² ）
と表すことができる。本実施形態においては、Ｐ₀ は平面Ｓ_H 上に選ばれ、ｖ_2p0 ＝−ｖ_cs2 となるから、軸角Σと角速度比ｉ₀ （または相対回転軸の軸角Γ _s ）とを与えれば、Ｅが求められ、相対回転軸Ｓおよび相手歯車軸Ｉ、すなわち、歯車対が決定される。
図２１は、歯車IIを回転させ、点Ｐ₀ およびその法線ｎ₀ を座標系Ｏ₂ の適当な位置に選択固定し、設計基準点および接触点の軌跡とした場合の、インボリュート歯車群を概念的に描いたものである。また、図中、「Ｓ」は、はすば歯車とウォームギヤ（またはねじ歯車）の相対回転軸を示し、「Ｓ_b 」は、かさ歯車の相対回転軸を示し、「Ｓ_hy」は、ハイポイドギヤの相対回転軸を示している。点Ｐ₀ の位置によってインボリュート歯車群は次のように変化する。
(1) Ｐ₀ がｖ₂ 軸上にあるときには、Σの値によって変化する。
(a) Σ＝０またはπのときは、外歯はすば歯車または内歯はすば歯車となる。Γ_s ＝０またはπとなり、共役な相手歯面Ｉもインボリュートヘリコイドとなる。(b) Σ≠０のときは、ウォームギヤまたはねじ歯車となる。ウォームギヤとしてはウォームまたはウォームホイールのいずれかをインボリュートヘリコイドとしたものが実用化されている。特に相手歯面Ｉにも歯形曲線Ｉを含むインボリュートヘリコイドを採用した歯車対がインボリュートねじ歯車として使われている。(2) Ｐ₀ がｕ₂ 軸上（Ｐ_0B）にあるときには、かさ歯車となる。相手歯面にも歯形曲線Ｉを含むインボリュートヘリコイドを与えたかさ歯車がコニカルギヤとして実用化されている。
(3) Ｐ₀ が上記以外（Ｐ_0H）にあるときには、ハイポイドギヤと転位ウォームギヤまたは転位ねじ歯車となる。Ｐ_0Hが、｜ε₂₀｜の比較的小さい領域に選ばれれば（図示）、かさ歯車に使いハイポイドギヤを意味し、｜ε₂₀｜がπ／２の近傍に選ばれれば（Ｐ₀ 付近）、転位ウォームギヤまたは転位ねじ歯車を意味することになる。
Ｂ．インボリュートヘリコイドをピニオン歯面とするハイポイドギアの設計
以上、述べてきたように、特開平９−５３７０２号公報において、最も普及している平歯車、はすば歯車などの２軸が平行な歯車から、ハイポイドギアのように２軸が交わらず平行でもない食い違い歯車に関し、その設計方法を統一的に記述する方法が提案された。しかし、特に、食い違い歯車においては、変数の選択によっては、十分な接触領域を得られない場合があった。
以下、食い違い歯車について、有効な噛み合い領域を形成するための変数の選定の方法について説明する。
１．従来の食い違い歯車の設計方法
ここで、食い違い歯車の設計に関し、従来の用いられてきたいくつかの方法について簡単に説明する。
(1) インボリュートフェイスギア
インボリュートフェイスギアは、ピニオンをインボリュート平歯車とし、ギアは円盤の側面（円盤の軸に直交する面）にピニオン歯面と共役の歯面を形成した歯車対である。従来からよく知られ、設計、製作が比較的簡単である軽負荷用として利用されているギアである。平歯車の代わりにはすば歯車を使ったものもあるが、設計製作が難しくなるため平歯車を用いたものに比べて一般的ではない。
(2) スピロイドギア
基準ピニオン円錐（または円筒）を与え、これに接する相手ギア回転体と接触する曲線（ピッチコンタクトローカス）上の相対速度に接する歯筋曲線をピニオン歯筋とし、ギア有効歯面を得るために経験値として軸を含む平面上の圧力角１０−３０°を与えてピニオン歯面を形成し、相手ギアを創成するものである。しかし、ピニオン歯面は、本発明のインボリュートヘリコイドとは異なり、スクリューヘリコイドになっている。この設計方法においては、ピニオンにインボリュート歯面を採用した場合、ギア比の小さい、すなわちピニオン径の大きいギアに対して、ギアの有効歯面が得られない場合があると考えられる。
(3) グリーソン式ハイポイドギア
グリーソン式ハイポイドギアは、円錐面を使用し、ピニオンもギアも円錐面状に歯を刻んでいる。この方式の諸元決定方法では、ピニオンのねじれ角ψ_0p（本発明でいうねじれ角ψ₀とは厳密には異なる）をほぼ５０°付近に固定して、この付近で経験的に成り立つギア比、オフセット、ギア幅を標準として与えることによって、ほぼ一定した非対称圧力角（例えば１４−２４°、または１０−２８°）が成り立つように諸元が与えられる。標準となるギアの形状に対し、いわば幾何学的に相似なギア形状を決定する方法である。したがって、グリーソン方式で推奨する標準から外れたハイポイドギア（例えば高オフセット、ねじれ角の小さいフェースギア）を設計する場合には、経験値がないために、新たに標準から設計をする必要が生じる。
２．対象ハイポイドギア
前述の公報に示された方法により、軸角ΣとオフセットＥによって静止空間を、ギア比ｉ₀ によって相対速度の場を与えた場合、設計基準点Ｐ₀ （Ｒ₂₀，ψ₀ ）と点Ｐ₀ を通る２本の歯面法線ｇ_0D（ψ₀ ，φ_n0D ；Ｃ_s ）とｇ_0C（ψ₀ ，φ_n0C ；Ｃ_s ）とを与えれば、インボリュートヘリコイド歯面ＤとＣを決定できる。ここで歯面Ｄ，Ｃは、歯車対の正転側歯面、逆転側歯面であり、ｇ_0D，ｇ_0Cは、それぞれの歯面の法線、すなわち接触点の軌跡である。前述したフェースギアの設計方法では、軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ₀ 、設計基準点の半径Ｒ₂₀またはＲ₁₀が与えられるが、歯面の接触状態とψ₀ ，φ_n0D ，φ_n0C の３変数の関係が明確にされていないから、その選択を適切に行うことができず、有効歯面が得られない場合があった。軸角Σ＝９０°の場合を例にとると、オフセットＥが大きく（Ｅ／Ｒ₂₀＞０．２５）、ギア比が小さく（ｉ₀ ＝２．５〜５）、ねじれ角ψ₀がψ₀＝３５°〜７０°の少なくとも一つの場合には、歯幅大端における歯先の尖り、小端における切り下げを不正で、有効な歯面Ｄ，Ｃを形成することができなかった。
本実施形態においては、以下説明するように、インボリュートヘリコイドを一方の歯面とする歯車対の接触領域を求め、これを利用してピニオンとギアによって与えられた噛み合い領域内に有効歯面の存在するψ₀ ，φ_n0D ，φ_n0C の３変数の選択方法、および後述する等価ラックを利用した歯先尖りや、切り下げのない歯の諸元を決定する。
図２２及び以下には、ハイポイドギアの寸法諸元が示されている。

上記のような諸元によって、座標系Ｃ_s ，Ｃ₁ ，Ｃ₂ が決定している。歯車Ｉをピニオン、歯車IIをギアとする。以下の説明においては、ピニオンを円筒形状とし、これにインボリュートヘリコイドを与えた場合に、円板上のギアの与えられた大端および小端半径で囲まれる領域内に有効なギア歯面Ｄ，Ｃを得るために、ピニオンのインボリュートヘリコイド面をどのように決定するかについて述べる。
３．等価ラック
本項では、正転側、逆転側歯面Ｄ，Ｃの接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cが設計基準点で交わる２本の有向直線として与えられたとき、２本の接触点の軌跡が作る平面上を移動するラック（等価ラック）に関して説明する。このラックを利用することにより、設計基準点付近で歯車の歯として有効な歯を形成することができる。なお、本項の等価ラックに関する説明は、ハイポイドギアに限らず他の形式のギアについても適用可能である。
３．１ 接触点の軌跡ｇ₀ ，φ_n0D ，φ_n0C
対象とする接触点の軌跡は、前述の公報に従って、次のように与えられるものとする。
(1) ２軸Ｉ，IIとその軸角Σ、オフセットＥ（≧０）と角速度比（ギア比）ｉ₀ （≧１、一定）とが与えられ、２軸と共通垂線とによって座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ 、相対回転軸Ｓと共通垂線とによって座標系Ｃ_S が定義され座標系相互間の座標値および有向直線の傾き角の変換が可能になっている。
(2) 軸受荷重変動を０とする接触点の軌跡ｇ₀ が、設計基準点Ｐ₀ （ｕ_C0，ｖ_C0，ｚ_C0；Ｃ_S ）およびその傾き角ｇ₀ （ψ₀ ，φ_n0；Ｃ_s ）によって座標系Ｃ_s 上に与えられ、ｇ₀ を含む作用面Ｇ₁₀，Ｇ₂₀を用いて座標系Ｃ_q1，Ｃ_q2が定義されている。
(3) 設計基準点Ｐ₀ を通る２軸Ｉ，IIの軸直角平面と各歯車軸の交点をＯ₁ ，Ｏ₂ とするとき、座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1，Ｃ₂ ，Ｃ_q2を原点がＯ₁ ，Ｏ₂ となるまで各歯車軸方向に平行移動し、座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1，Ｏ₂ ，Ｏ_q2を定義すれば、座標系Ｏ_q2，Ｏ₂ によってｇ₀ 上の任意の点Ｐ（ｑ₂ ，−Ｒ_b2，ｚ₂ ；Ｏ_q2）およびＰ（ｕ₂ ，ｖ₂ ，ｚ₂ ；Ｏ₂ ）は、前述した式（４９）より、
ｑ₂ ( θ₂ ) ＝Ｒ_b20 θ₂ cos ² ψ_b20 ＋ｑ_2p0
Ｒ_b2( θ₂ ) ＝Ｒ_b20
ｚ₂ ( θ₂ ) ＝Ｒ_b20 θ₂ cos ψ_b20 sin ψ_b20
χ₂ ( θ₂ ) ＝χ₂₀＝π／２−φ₂₀
ｕ₂ ( θ₂ ) ＝ｑ₂ ( θ₂ ) cosχ₂₀＋Ｒ_b20 sin χ₂₀
ｖ₂ ( θ₂ ) ＝ｑ₂ ( θ₂ ) sinχ₂₀−Ｒ_b20 cos χ₂₀ ・・・（６３）
ここで θ₂ ：歯車IIの回転角
Ｐ（ｑ₂ ，−Ｒ_b2，ｚ₂ ；Ｏ_q2）：点Ｐの座標系Ｃ_q2表示
ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ；Ｏ₂ ）：ｇ₀ の傾き角の座標系Ｏ₂ 表示
と表すことができる。
(4) 点Ｐおよびｇ₀ の傾き角を座標系Ｏ_{1 ,Oq1}に変換すれば、
Ｐ｛ｑ₁ ( θ₁ ) ，−Ｒ_b10 ( θ₁ ) ，ｚ₁ ( θ₁ ) ；Ｏ_q1｝
ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ；Ｏ₁ ） ・・・（６４）
ただし、θ₁ ＝ｉ₀ θ₂
と表すことができる。
(5) 正転側と逆転側の接触点の軌跡は点Ｐ₀ で交わり、しかも点Ｐ₀ 付近で切り下げや干渉を起こさない２本の有向直線として与えられるものとする。前述のように、正転側、逆転側の接触点の軌跡の座標系Ｃ_s による表示を、それぞれ正転側ｇ_0D（ψ₀ ，φ_n0D ；Ｃ_s ）、逆転側ｇ_0C（ψ₀ ，φ_n0C ；Ｃ_s ）とする。
３．２ 限界軌跡ｇ_t の定義（平面Ｓ_n が、共通垂線を含まない場合）
図２３は、ハイポイドギアの平面Ｓ_H ，Ｓ_p ，Ｓ_n そして点Ｐ₀ における速度Ｖ₁₀，Ｖ₂₀の作る平面Ｓ_t の関係を概念的に示したものである。ここで、平面Ｓ_H は座標系Ｃ_s のｖ_c ＝０平面、平面Ｓ_p はｕ_c ＝ｕ_c0平面、平面Ｓ_n はＰ₀ における相対速度Ｖ_rs0 に垂直な平面である。
設計基準点Ｐ₀ は平面Ｓ_H 上にあるから、相対速度Ｖ_rs0 は平面Ｓ_p 上にある。一方平面Ｓ_t もＶ_rs0 を含むから、平面Ｓ_t と平面Ｓ_p とは相対速度Ｖ_rs0 を交線として交わっている。また、平面Ｓ_t と平面Ｓ_n とは、直交していて、平面Ｓ_t 上の法線速度Ｖ_gt0 をその交線ｇ_t （Ｖ_gt0 の方向に正）としている。すなわち平面Ｓ_t は、平面Ｓ_p をＶ_rs0 を軸として平面Ｓ_n 上でφ_ntだけ回転した平面で、従来のピッチ平面に相当している。
平面Ｓ_n と歯車軸Ｉ，IIとの交点をＯ_1n，Ｏ_2nとするとき、点Ｐ₀ の周速度Ｖ₁₀，Ｖ₂₀は、
Ｖ₁₀＝ω₁₀×〔Ｏ_1nＰ₀ 〕
Ｖ₂₀＝ω₂₀×〔Ｏ_2nＰ₀ 〕 ・・・（６５）
となる。ただし、〔Ａ Ｂ〕は点Ａを始点、点Ｂを終点とするベクトルを表す。Ｏ_1nＰ₀ は、平面Ｓ_n 上にあるから相対速度Ｖ_rs0 に垂直であり、上式からＶ₁₀にも垂直であるから、平面Ｓ_t に点Ｐ₀ で、垂直になっている。全く同様にＯ_2nＰ₀ は、Ｖ_rs0 とＶ₂₀に垂直であるから、平面Ｓ_t に点Ｐ₀ で垂直になっている。すなわち、点Ｏ_1n，Ｐ₀ ，Ｏ_2nは一直線上にあるから、これを設計基準垂線Ｃ_n （Ｏ_1nからＯ_2nの方向に正）とする。Ｃ_n は点Ｐ₀ を通る歯車対の中心線である。この関係は点Ｐ₀ の位置によらない。
点Ｐ₀ を通る歯面の接平面は相対速度Ｖ_rso を含む任意の平面が可能であるから、設計基準垂線Ｃ_n を含む接平面Ｗ_N （平面Ｓ_t に垂直）をもつ歯面は、ｇ_t をその接触点の軌跡（接触法線）としている。一般の歯車では点Ｐ₀ を通る歯面の接平面はこのＶ_rso とＣ_n の作る平面Ｗ_N に対して適当に傾けられるから、その接触点の軌跡ｇ₀ （接触法線）はｇ_t を基準に平面Ｓ_n 上で傾けられることになる。そこで、ｇ_t を限界軌跡ｇ_t と呼ぶことにすれば、その傾き角ｇ_t （ψ₀ ，φ_nｔ ；Ｃ_s ）は、次のように求めることができる。
図２４は、平面Ｓ_n 上の設計基準垂線Ｃ_n およびＣ_n に垂直な限界軌跡ｇ_t を描いたものである。点Ｏ_1n，Ｏ_2nから平面Ｓ_p （平面Ｓ_n に垂直）に下ろした垂線の足をＯ_1np ，Ｏ_2np とすれば、φ_ntは、

と求められる。ただし、各有向線分は座標系Ｃｓ の各軸の正方向を正とする。 ハイポイドギアにおいては、ｖ_cs2 ，ｖ_cs1 ，ｕ_c0，ｚ_c0は、座標系Ｏ₁ ，Ｏ₂ を用いて、
ｖ_cs2 ＝Ｅ tanΓ_s ／｛ tanΓ_s ＋tan(Σ−Γ_s ) ｝
ｕ_c0＝Ｅsin(Σ−Γ_s )sinΓ_s tan ψ₀ ／ sinΣ
ｚ_c0＝（ｕ_2p0 ＋ｕ_c0 cosΓ_s ）／ sinΓ_s
ｕ_2p0 ＝−ｖ_cs2 ／ tanε₂₀ （ε₂₀≠０）
ｖ_cs1 ＝−Ｅtan(Σ−Γ_s ) ／｛ tanΓ_s ＋tan(Σ−Γ_s ) ｝
ｚ_c0＝｛ｕ_1p0 −ｕ_c0cos(Σ−Γ_s ) ｝／sin(Σ−Γ_s )
ｕ_1p0 ＝−ｖ_cs1 ／ tan₀ （ε₁₀≠０）
と表すことができる。
上式を用いて、式（６６）からｕ_c0，ｚ_c0，ｖ_cs1 ，ｖ_cs2 を消去し、整理すれば、
tanφ_nt＝ cosΓ_s ／(cosψ₀ ／ tanε₂₀ sinΓ_s sin ψ₀
＝cos(Σ−Γ_s ) ／｛ cosψ₀ ／ tanε₁₀−sin(Σ−Γ_s )sinψ₀ ｝
となる。限界軌跡ｇ_t は平面Ｓ_p に対して平面Ｓ_n 上でφ_ntだけ傾いている。φ_ntはｚ_c 軸の正方向にみて時計方向が正である。
３．３ 等価ラックの定義
図２５は、相対速度Ｖ_rs0 の正方向からみた平面Ｓ_n 上の等価ラックを示したものである。点Ｐ₀ における周速度Ｖ₁₀，Ｖ₂₀、相対速度Ｖ_rs0 ＝Ｖｓ₁₀ −Ｖｓ₂₀ 、法線速度Ｖ_gt0 （限界軌跡ｇ_t 方向）、平面Ｓ_n 上の接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cおよびｇ_0D，ｇ_0Cをもつ歯面Ｄ，Ｃの接平面Ｗ_D ，Ｗ_C （図２５では、平面Ｓ_n との交線ｗ_sD，ｗ_sCとで表されている）とが示されている。
周速度Ｖ₁₀，Ｖ₂₀は、平面Ｓ_t 上で、
Ｖ₁₀＝Ｖ_gt0 ＋Ｖ_s10
Ｖ₂₀＝Ｖ_gt0 ＋Ｖ_s20
と表すことができる。接平面Ｗ_D は、平面Ｓ_t と相対速度Ｖ_rs0 を共有しているから周速度Ｖ₁₀，Ｖ₂₀は、
Ｖ₁₀＝（Ｖ_g0D ＋Ｖ_WsD ）＋Ｖ_s10
Ｖ₂₀＝（Ｖ_g0D ＋Ｖ_WsD ）＋Ｖ_s20
ここで Ｖ_g0D ：接平面Ｗ_D の法線速度（ｇ_0D方向）
Ｖ_WsD ：接平面Ｗ_D 上のｗ_sD方向速度
と表すことができる。したがって、点Ｐ₀ において、常に次の関係
Ｖ_gt0 ＝Ｖ_g0D ＋Ｖ_WsD
が成立している。接平面Ｗ_C についても全く同様にして
Ｖ_gt0 ＝Ｖ_g0C ＋Ｖ_WsC
ここで Ｖ_g0C ：接平面Ｗ_C の法線速度（ｇ_0C方向）
Ｖ_WsC ：接平面Ｗ_C 上のｗ_sC方向速度
と表すことができる。
したがって、法線速度Ｖ_g0D ，Ｖ_g0C は、Ｖ_gt0 のｇ_0D，ｇ_0C方向成分として、
Ｖ_g0D ＝Ｖ_gt0 cos(φ_n0D −φ_nt)
Ｖ_g0C ＝Ｖ_gt0 cos(φ_nt−φ_n0C ) ・・・（６７）
として求められる。一方、Ｖ_gt0 ，Ｖ_g0D ，Ｖ_g0C は、
Ｖ_gt0 ＝Ｒ_b2gt(dθ₂ /dｔ)cosψ_b2gt
Ｖ_g0D ＝Ｒ_b20D(dθ₂ /dｔ)cosψ_b20D
Ｖ_g0C ＝Ｒ_b20C(dθ₂ /dｔ)cosψ_b20C
ここで Ｒ_b2gt，Ｒ_b20D，Ｒ_b20C：
ｇ_t ，ｇ_0D，ｇ_0Cの歯車II（ギア）基礎円筒半径
ψ_b2gt，ψ_b20D，ψ_b20C：
ｇ_t ，ｇ_0D，ｇ_0Cの歯車II（ギア）作用面上の傾き角
と表すことができる。ｇ_t やｇ_0Dおよびｇ_0Cは、静止空間に固定された直線であるから、法線速度Ｖ_gt0 ，Ｖ_g0D ，Ｖ_g0C は常に一定となっている。したがって、ｇ_0Dおよびｇ_0C上の任意の点Ｐ_D ，Ｐ_C の法線速度Ｖ_g0D ，Ｖ_g0C は、常に式（６７）で表すことができる。
これは歯車の回転によるｇ_0D，ｇ_0C上の接触点は、ｇ_t を基準線とし、かつ同一接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cをもち（ｗ_sD，ｗ_sCを歯形とし）、ｇ_t 方向にＶ_gt0 で移動するラックの接触点によって表されていることを意味している。このラックを等価ラックと定義すれば、等価ラックはインボリュート平歯車のラックが一般化されたものである。軸受荷重変動が０の条件を満たすように接触点の軌跡の与えられた全ての歯車（円筒歯車からハイポイドギアまで）の接触の問題はこの等価ラックの接触の問題として扱うことができる。
３．４ 等価ラックの諸元
(1) ｗ_sD，ｗ_sCのＣ_n に対する傾き角（圧力角）
ｗ_sD，ｗ_sCはＣ_n （ｇ_t に垂直）に対してそれぞれφ_n0D −φ_nt，φ_nt−φ_n0C だけ傾いている。φ_n0D ＝φ_n0C ＝φ_ntが、等価ラックの圧力角０を表している。
(2) ピッチｐ_gt
限界軌跡ｇ_t が等価ラックの基準線を示し、そのピッチｐ_gtおよび法線ピッチｐ_n0D ，ｐ_n0C は、

と表すことができる。ただし、Ｎ₂ は歯車IIの歯数である。
(3) 作用歯丈ｈ_k
図２５において、ｗ_sDから１ピッチ（１_pg0D）離れた位置をｗ_sDA とし、ｗ_sCとｗ_sD，ｗ_sDA との交点をＲ_CD，Ｒ_CDA とすれば、等価ラックの歯先幅が０の限界歯丈ｈ_cr（Ｒ_CDＲ_CDH ）はＲ_CDＲ_CDH がｇ_t に直交していることに注意すれば、

と表すことができる。等価ラック上の工具歯先幅をｔ_cn，クリアランスをｃ_r とすれば、等価ラックの作用歯丈ｈ_k （Ｃ_n 方向）は、

と表すことができる。
(4) 設計基準点Ｐ₀ （ｗ_sD）に対するｗ_sCの位相角
図２５において、Ｃ_n 上の点Ｐ₀ 周辺にｈ_k ＝Ｑ_1nＱ_2nとなるようにＱ_1n，Ｑ_2nをとり、アデンダムＡ_d2，Ａ_d1を、
Ｐ₀ Ｑ_2n＝Ａ_d2 （歯車IIのアデンダム）
Ｐ₀ Ｑ_1n＝Ａ_d1＝ｈ_k −Ａ_d2 （歯車Ｉのアデンダム）
と定義する。ただし点Ｑ_2nは、接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cの双方が有効な領域の中に含まれるように選ぶこととし、Ｑ_2nが点Ｐ₀ に対してＯ_1n側にあるときＡ_d2≧０とする。
ｇ_0Cとｗ_sCとの交点をＰ_C とすれば、Ｐ₀ Ｐ_C は、
Ｐ₀ Ｐ_C
＝−｛Ａ_d2+(ｈ_cr−ｈ_k)/２｝sin(φ_n0D −φ_n0C ) ／cos(φ_n0D −φ_nt)
として求められる。ただし、Ｐ₀ Ｐ_C はｇ_0Cの方向に正である。
点Ｐ₀ の回転角θ₂ ＝０であるから、点Ｐ_C の位相角θ_2wsCは、
θ_2wsC＝（Ｐ₀ Ｐ_C ／ｐ_g0C ）（２θ_2p） ・・・（７０）
となる。ここで、２θ_2pは歯車IIの角ピッチである。ｗ_sCは、ｗ_sDに対してθ_{2w sC}だけ遅れた位置にある。これによって点Ｐ₀ （ｗ_sD）に対するｗ_sCの位置が決定したことになる。
ｗ_sDに対するｗ_sCはの位相角は従来の歯車設計における歯圧の概念（ｇｔ上のラックの歯厚をどう決めるか）を一般化したもので、本実施形態では作用歯丈とアデンダムを与えることによって決定する。
４．作用限界点
任意に与えられた接触点の軌跡に対して、数学的には必ず対応する歯形曲線が存在する。しかし、同時に実現できる歯形曲線は、歯車軸を中心とする同一の半径の円弧上において、一つだけしか存在しえない。したがって、歯車軸を軸とする円筒面と接触点軌跡との接点の両側にわたって続く歯形曲線は現実的には存在しない。よって、この接点が接触点軌跡の作用限界点である。また、このことは、作用限界点は、歯車軸から接触点軌跡に対して下ろした垂線の足であること、すなわち歯車軸の正射影であることを示している。
接触点軌跡と歯車軸を軸とする円筒面（半径Ｒ₂ ）との交点をＰとすれば、
Ｒ₂ ² ＝ｑ₂ ² ＋Ｒ_b2 ²
と表すことができる。接触点Ｐが作用限界点であるとすれば、点Ｐで接触点軌跡と円筒面は接しているから、
Ｒ₂ (dＲ₂ /dθ₂ ) ＝ｑ₂ (dｑ₂ /dθ₂ ) ＋Ｒ_b2(dＲ_2b/dθ₂ ) ＝０
が成立する。式（７）を用いて(dｑ₂ /dθ₂ )を消去すれば、
ｑ₂ （１− dχ₂ /dθ₂ ）／（ tanψ_b2 tanη_b2＋１）＋ dＲ_b2/dθ₂ ＝０
となる。ここで、ｇ_0D，ｇ_0Cが法線に一致する直線を仮定しているから、dχ₂ /dθ₂ ＝０，dＲ_2b/dθ₂ ＝０となり、式は簡単となって、ｑ₂ ＝０となる。
この式をθ₂ について解けば、歯車IIに関する作用限界点Ｐ_2kが求められる。歯車Ｉに関する作用限界点Ｐ_1kについても同様にして、
ｑ₁ （１− dχ₁ /dθ₁ ）／（ tanψ_b1 tanη_b1＋１）＋ dＲ_b1/dθ₁ ＝０
すなわち、上式と同様にして、ｑ₁ ＝０を解けば、作用限界点Ｐ_1kが求められる。
５．ハイポイドギアにおける設計基準点Ｐ₀ および平面Ｓ_n の傾き角ψ₀ の選択 平行な歯車軸を有する歯車対の場合、接触領域の形状は比較的単純であり、常識的な範囲であれば設計基準点Ｐ₀ の取り方によって、歯面が形成できなくなるということはない。また、与えた設計基準点Ｐ₀ によって歯面が形成できなかったとしても、これを修正するのは比較的容易である。
しかしながら、後述するように、ハイポイドギアの接触領域は、非常に複雑であり、有効な歯面が形成できなかった場合に、どのように修正すれば有効な歯面を形成できるかは、理解しづらい。以下、ハイポイドギアを効率的に設計する方法、すなわち諸元の選択方法を説明する。
図２６は、平面Ｓ_n に限界軌跡ｇ_2z，ｇ_t 、接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cおよびその等価ラックの関係を示したものである。ここで、限界軌跡ｇ_2zは平面Ｓ_n とギア軸直交平面Ｚ₂₀の交線であり、限界軌跡ｇ_t は平面Ｓ_n と点Ｐ₀ の線速度により作られる平面Ｓ_t の交線である。設計基準点Ｐ₀ の選択は等価ラックの形状を静止空間のどの位置で与えるかを選択することである。本実施形態においては、ピニオンを円筒形状とし、その歯の形状は軸の方向に一定（位相角だけが変化）とする。ギアは小端から大端まで歯の形状は変化する。そして、設計基準点Ｐ₀ はギアの歯幅中央に選ぶ。すなわち、設計基準点Ｐ₀ のギア軸に対する半径Ｒ₂₀は、
Ｒ₂₀＝（Ｒ_2h＋Ｒ_2t）／２ ・・・（７１）
となる。与えられたギア小端および大端で歯面を成立させるためには、等価ラックの形状または設計基準点Ｐ₀ の位置を修正する必要がでてくる場合がある。だから、式（７１）は、Ｒ₂₀の第１近似値を与えていると考えればよい。
設計基準点Ｐ₀ における相対速度に垂直な平面Ｓ_n の傾き各ψ₀ は次のように選択する。平面Ｓ_n と点Ｐ₀ を通るギア軸の軸直角平面Ｚ₂₀の交線が限界軌跡ｇ_2zであるから、その傾き角ｇ_2z（ψ₀ ，φ_n2z ；Ｃ_s ）およびｇ_2z（φ_2z，０；Ｃ₂ ）は、
tanφ_n2z ＝ sinψ₀ ／tan Γ_s
tanφ_2z＝ tanψ₀ ／sin Γ_s ・・・（７２）
から求められる。本実施形態ではギアの歯先および歯底面は、ギア軸直角平面としているから、ギアの歯が通常の台形形状となるためには、ギア歯面の接平面はギア軸直角平面に対して互いに逆方向に傾かなければならない。したがって、任意の接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cとは、限界軌跡ｇ_2zの周辺にあって、しかもｇ_2zに対して互いに逆方向に傾かなければならない。接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cのギア側の作用限界半径（基礎円半径）Ｒ_b20D，Ｒ_b20Cは、限界軌跡ｇ_2zの基礎円筒半径Ｒ_b2z に近いから、ギア歯面がギア小端半径Ｒ_2t以上で有効であるためには、近似的に次の関係、すなわち
Ｒ_2t≧Ｒ_b2z ＝Ｒ₂₀cos(φ_2z＋ε₂₀)
sin ε₂₀＝−ｖ_cs2 ／Ｒ₂₀ ・・・（７３）
を満たさなければならない。ただし、かさ歯車の場合は、ε₂₀＝０である。
式（７２）、（７３）からψ₀ を求めることができる。ｉ₀ が大きければ、式（２）からφ_2z≒ψ₀ であるから、式（７３）は、次式
Ｒ_2t≧Ｒ₂₀cos(φ_2z＋ε₂₀) ・・・（７４）
で十分である。Ｒ₂₀およびψ₀ から設計基準点Ｐ₀ および限界軌跡ｇ_2z，ｇ_t が座標系Ｃ_s によって平面Ｓ_H 上に、
Ｐ₀ （ｕ_c0，０，ｚ_c0；Ｃ_s ）
ｇ_2z（ψ₀ ，φ_n2z ；Ｃ_s ）
ｇ_t （ψ₀ ，φ_nt；Ｃ_s ）
ｕ_c0＝Ｅ sinΓ_s cos Γ_s tan ψ₀
ｚ_c0＝｛√（Ｒ₂₀ ² −ｖ_cs2 ² ）＋ｕ_c0 cosΓ_s ｝／ sinΓ_s
tan φ_n1＝ cosΓ_s ／（−cos ψ₀ ／ tanε₂₀＋ sinΓ_s sin ψ₀
と決定される。
以上のようにして決定したＲ₂₀およびψ₀ は第１近似値とみなすべきものであって、この結果得られる歯面の状態によって修正する場合もある。またオフセットやギアの歯幅の要求値が大きすぎる場合、満足できる歯面を与えるＲ₂₀およびψ₀ が存在しないこともある。
座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1，Ｏ₂ ，Ｏ_q2を定めれば、設計基準点Ｐ₀ および限界軌跡ｇ_2z，ｇ_t の傾き角を各座標系で表すことができる。
６．接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0C
６．１ 平面Ｓ_n 上のφ_n0D ，φ_n0C の変域
ギアの歯に必要な強度を有するようにするため、ギア歯面の接平面ｗ_sDとｗ_sCは、ギア軸直角平面Ｚ₂₀に対して互いに逆方向に傾けることが好ましい。よって、接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cは限界軌跡ｇ_2zに対して互いに逆方向に傾くように選ばなければならない。つまり、接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cの傾きは、
φ_n0C ≦φ_n2z ≦φ_n0D ・・・（７５）
と選ばれる。さらに、接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cは、平面Ｓ_n 上で、頂角３８°の等価ラックを作るものとすれば、
φ_n0D −φ_n0C ＝３８° ・・・（７６）
式（７５），（７６）からφ_n0D ，φ_n0C の組み合わせは、
Ａ． φ_n0C ＝φ_n2z ， φ_n0D ＝φ_n2z ＋３８°
Ｂ． φ_n2z ＝φ_n0D ， φ_n0C ＝φ_n2z −３８°
Ｃ． φ_n0C ＝φ_n2z −１９°φ_n0D ＝φ_n2z ＋１９° ・・・（７７）
の３通り、またはその周辺で表すことができる。
６．２ インボリュートヘリコイドの接触領域と作用限界線
図２７〜３０は、ピニオンに限界軌跡ｇ_2zを歯面法線とするインボリュートヘリコイド（基礎円筒半径Ｒ_b12z、作用面ねじれ角ψ_b12z）を与えた場合の接触領域を示している。図２７は、曲面全体の形状を理解しやすくするための見取り図である。接触領域の式は、ギアにインボリュートヘリコイドを与えた場合と全く同様で、式（６１）の添え字２を１に代えることによって求められる。
接触領域は接触点の軌跡とそれにほぼ直交する接触線とによって表されていて、ｇ_2z（φ_12z ＝０）から接触点の軌跡がφ₁ ＞０の方向に回転しながらｚ₁ ＞０の方向に移動して描かれる曲面（接触領域Ｃ）と、φ₁ ＜０の方向に回転しながら、ｚ₁ ＞０の方向に移動して描かれる曲面（接触領域Ｄ）とから構成されている。インボリュートヘリコイドの歯面法線のうちで接触の条件を満たすものだけが接触法線となり、しかも一本の歯面法線は基礎円筒との接点を挟んで、必ず２カ所で接触法線となりうるから、図２８〜３０に示すような曲面を描くことになる。
接触点の軌跡のピニオンおよびギアの作用限界点の軌跡（作用限界線）がＬ_1A（ピニオン基礎円筒上にある）およびＬ_2AD ，Ｌ_2AC で示されている。またギア軸の接触領域への正射影（ギア軸側の作用限界線）が、接触領域とｚ₂ 平面との交線と、ギア軸を軸とする円筒面との接点の軌跡Ｌ_3AD ，Ｌ_3AC とで示されている。本実施形態では、接触領域はピニオン側に与えられたインボリュートヘリコイドによって決定しているから、ピニオン軸の接触領域への正射影（ピニオン側の作用限界線）はＬ_1Aになっている。円筒歯車では接触領域が平面となり、よって、ピニオン軸およびギア軸の接触領域の正射影は単純な直線となる。しかし、ハイポイドギアの接触領域は、図示されるように、複雑な曲面であるため、ピニオン軸、ギア軸の正射影は、直線とならないばかりか、複数存在し、さらに枝分かれを生じる場合もある。設計基準点Ｐ₀ に最も近い作用限界線で囲われた領域が実質的に利用できる歯面となる。
さらにギア歯先面をｚ_2h＝０（ｇ_2zを含むギア軸直角平面）、ギア大端および小端円筒と接触領域の交線がそれぞれＲ_2h，Ｒ_2tで示されている。
限界軌跡ｇ_2zを含みＬ_3AD とＬ_3AC とによって囲まれる接触領域はこの例ではＰ₀ 近傍の狭い領域に限られるから、実質的に利用できる歯面は存在しない。したがって、作用限界線、ギアの歯先面、大小端円筒によって囲われる有効接触領域は次に説明するようになる。
有効接触領域Ｃ_eff ：接触領域Ｃ上の作用限界線Ｌ_3AC 、ギア境界面ｚ_2h＝０，Ｒ_2hとによって囲まれる領域（凸凹接触）。
有効接触領域Ｄ_eff ：接触領域Ｄ上のギア境界線ｚ_2h＝０，Ｒ_2h，Ｒ_2tとによって囲まれる領域（凸凸接触）。
６．３ 接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cの選択
(1) 式（７７）Ａの場合
接触点の軌跡ｇ_0Cをｇ_2zにとった場合で、有効接触領域Ｃ_eff は、図２８〜３０によって与えられている。有効接触領域Ｃ_eff のギア小端側の境界は、作用限界線Ｌ_3AC によって決まっているから、Ｌ_3AC よりもギア小端側にはギア歯面は存在しないことになる。したがって、このままの状態で歯面Ｃを実現するためには、有効接触領域Ｃ_eff に合わせてギアの領域（Ｒ_2t〜Ｒ_2h）をより大端側に設定し直す必要がある。
(2) 式（７７）Ｂの場合
接触点の軌跡ｇ_0Dをｇ_2zにとった場合で、有効接触領域Ｄ_eff はやはり図２８〜３０で与えられている。ギアの境界面と接触領域との交線、ｚ_2h＝０，Ｒ_2t，Ｒ_2hは作用限界線Ｌ_1A，Ｌ_3AD ，Ｌ_2AD よりも内側にあるから、式（７７）Ｂの組合わせは与えられたギアの領域内（Ｒ_2t〜Ｒ_2h）に有効な歯面Ｄを実現できる。
図３１〜３３は、このときの歯面Ｃ（φ_n0c ＝φｎ_2z−３８°）の有効接触領域Ｃ_eff を示したものである。ｇ_0Cの基礎円筒半径Ｒ_b10Cが小さくなったため、Ｌ_3AC はギア内側に移動子、点Ｐ₀ の位置で比較すれば図２８〜３０のＣ_eff に比べてかなり改善されていることがわかる。したがって、ｇ_0Cに若干の修正によってギアの領域内（Ｒ_2t〜Ｒ_2h）に歯面Ｃをほぼ実現できることを示している。(3) 式（７７）Ｃの場合
設計基準点Ｐ₀ の周辺で有効接触領域Ｃ_eff （凸凹接触）を確保するためには、上記のようにｇ_0Cをｇ_2zからできるだけ傾けて、ピニオン基礎円筒半径を小さくし、Ｌ_3AC がギアの小端側（できればその内側）に位置させる必要がある。一方、ｇ_0Dをｇ_2zからできるだけ傾けて基礎円筒形を小さくすることは噛み合い率を小さくするだけで、ほとんど意味をもたない。特に自動車用ハイポイドギアのように歯面Ｄを前進側に利用する場合には、むしろｇ_0Dを、ｇ_2zにできるだけ近づけた方が有利である。与えられたギアの領域（Ｒ_2t〜Ｒ_2h）で、歯面Ｄと歯面Ｃとを同時に成立させるためには、式（７７）Ｂに近い選択（Ｒ_b10D＞Ｒ_b10C）がほとんどの場合に有利である。
インボリュートヘリコイドをピニオンの歯面とする歯車対においては、上記のように凸凹接触側の作用限界線（この場合はＬ_3AC ）をギア小端よりも内側にもってくる必要があり、これが非対称圧力角（異なる基礎円筒）を採用する原因となっている。
以上の検討結果から接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cのそれぞれの傾き角は、
ｇ_0D（ψ₀ ，φ_n0D ＝φ_n2z ；Ｃ_s ）
ｇ_0C（ψ₀ ，φ_n0C ＝φ_n2z −３８°；Ｃ_s ） ・・・（７８）
と決定される。ただし、φ_n0D は余裕をとってφ _n2z よりも若干大きくとる方が実用的である。
７．等価ラックと歯車対の境界面
７．１ 等価ラックの諸元
図２６には、平面Ｓ_n 上の等価ラックの形状が示されている。設計基準点Ｐ₀ および等価ラックの基準線（限界軌跡）ｇ_t および接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cとが与えられたとき、等価ラックの諸元および設計基準点Ｐ₀ に対する位置は、次のように求められる。
（１）法線ピッチ ｐ_g0D ，ｐ_g0C
ｐ_g0D ＝２πＲ_b10D cosψ_b10D／Ｎ₁ （ｇ_0D方向）
ｐ_g0C ＝２πＲ_b10C cosψ_b10C／Ｎ₁ （ｇ_0C方向） ・・・（７９）
ここで、Ｎ₁ ：歯車Ｉの歯数
（２）作用歯丈ｈ_k
ｈ_k ＝ｐ_g0D cos(φ_nt−φ_n0C ) ／sin(φ_n0D −φ_n0C )
−２ｔ_cn／｛tan(φ_n0D −φ_nt) ＋tan(φ_nt−φ_n0C ) ｝ ・・・（８０） ここで、ｔ_cn：等価ラック上の工具歯先幅
ｃ_r ：クリアランス
（３）ギアのアデンダムＡ_d2
Ｐ₀ Ｑ_2n＝Ａ_d2＝（ｕ_1p0 −Ｒ_b10D）sin(φ_n0D −φ_nt)/ cosφ_10D /cosψ_b10D
Ｐ₀ Ｑ_1n＝Ａ_d1＝ｈ_k −Ａ_d2 ・・・（８１）（４）点Ｐ₀ （ｗ_sD）に対するｗ_sCの位相角θ_2wsC

ここで、２θ_2p：ギアのピッチ
７．２ ギア歯先面
接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cは、互いにギア軸直角平面に対して互いに逆方向に傾くから、双方を無理なく実現するためにはギア歯先および歯底面は円錐面であるよりもむしろギア軸直角平面である方が有利である。そこで、点Ｑ_2nを通るギア軸直角平面をギア歯先面とする。したがって、
ギア歯先面 ｚ_2h＝ｚ_2Q2n ・・・（８３）
ここで、Ｑ_2n（ｕ_2Q2n，ｖ_2Q2n，ｚ_2Q2n；Ｏ₂ ）
となる。
７．３ ピニオン歯先円筒面
ギア歯先面に対応して、ピニオン歯先面を点Ｑ_1nを通る円筒面とすれば、ピニオン歯先円筒半径は、
Ｒ_1Q1n＝√（ｕ_1Q1n ² ＋ｖ_1Q1n ² ） ・・・（８４）
ここで、Ｑ_1Q（ｕ_1Q1n，ｖ_1Q1n，ｚ_1Q1n；Ｏ₂ ）
となる。
７．４ ピニオン内外端面
ピニオン大小端面はギア大小端円筒面とピニオン軸との交点を通るピニオン直角平面とする。したがって、ピニオン大小端面は、座標系Ｏ₁ において、
ピニオン大端面 ｚ_1h＝√（Ｒ_2h ² −Ｅ² ）−ｚ_1c0
ピニオン小端面 ｚ_1t＝√（Ｒ_2t ² −Ｅ² ）−ｚ_1c0 ・・・（８５）
ここで、ｚ_1c0 ：座標系Ｃ₁ からＯ₁ への変換定数
８．ピニオンインボリュートヘリコイドの修整
上記のように決定したピニオンインボリュートヘリコイドは、歯面Ｄ，Ｃは互いに異なるリードをもっていて歯先面を円筒とする場合には、例えばピニオン歯先幅が一定にならない、またはピニオン軸方向の位置決めが必要、そして別々に歯面を製作する必要があるなどの実用上の不利益がある。そこで、本実施形態では、歯面Ｄ，Ｃのリードを等しくするため、次のようにピニオンインボリュートヘリコイドを若干修整する。歯面Ｄ，Ｃのリードを等しくする方法は種々考えられるが、ここでは歯面Ｄは与えられたままとし、歯面Ｃは次のようにねじれ角ψ_b10Cだけを調整して（基礎円筒半径Ｒ_b10Cはそのまま）歯面Ｃｃとする。
(1) 歯面Ｃｃのねじれ角ψ_b10CC
歯面Ｃｃのリードは歯面Ｄのそれに等しいから、ねじれ角ψ_b10CC は、
tanψ_b10CC ＝Ｒ_b10C tanψ_b10D／Ｒ_b10D ・・・（８６）
より求められる。
(2) 歯車Ｃｃの接触点の軌跡ｇ_0CC
設計基準点Ｐ₀ を通る歯面Ｃの作用面Ｇ_10C 上の歯面Ｃｃの接触法線を新たに接触点の軌跡ｇ_0CC とすれば、その傾き角は、
ｇ_0CC （φ_10C ，ψ_b10CC ；Ｏ₁ ） ・・・（８７）
と表される。したがって、座標系Ｃ_s で表した、平面Ｓ_H との交点をＰ_0CC（ｕ_c0CC，０，ｚ_c0CC；Ｃ_s ）は、
sinφ_n0CC＝− cosψ_b10CC sin φ_10C sin Γ_s ＋ sinψ_b10CC cos Γ_s
tanψ_0CC ＝ tanφ_10C cos Γ_s ＋ tanψ_b10CC sin Γ_s ／ cosφ_10C
ｕ_c0CC＝Ｅ tanψ_0CC cos Γ_s sin Γ_s
ｚ_c0CC＝（ｕ_1p0 −ｕ_c0CC sinΓ_s ）／ cosΓ_s ・・・（８８）
より求められる。
座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1で表せば、
Ｐ_0CC （ｕ_1p0 ，−ｖ_cs1 ，ｚ_1p0CC ；Ｏ₁ ）
Ｐ_0CC （ｑ_1p0C，−Ｒ_b10C，ｚ_1p0CC ；Ｏ_q1）
ｚ_1p0CC ＝−ｕ_c0CC cosΓ_s ＋ｚ_c0CC sinΓ_s −ｚ_1c0 ・・・（８９）
となる。
(3) 歯面Ｃｃの位相角
図３４は設計基準点Ｐ₀ に対する回転角θ₁ ＝０における歯面Ｃｃ（ｇ_0CC ）の接触点Ｐ_wsCCの関係を示したものである。回転角θ ₁ ＝０のとき歯面Ｃｃは、点Ｐ ₀ に対して位相角θ _1wsC だけ回転して、しかもｇ _0CC とは点Ｐ _wsCC で交わっているから、点Ｐ _wsCC の点Ｐ _0CC に対する位相角θ _1wsCC は、
Ｐ_0CC Ｐ_wsCC＝Ｒ_b10Cθ_1wsC cosψ_b10CC −ｚ _1p0CC sinψ_b10CC
θ_1wsCC ＝２θ_1p（Ｐ_0CＰ_wsCC）／ｐ_g0CC
ｐ_g0CC＝２πＲ_b10C cosψ_b10CC ／Ｎ₁ ・・・（９０）
ここで、２θ_1p：ピニオンの角ピッチ
から求められる。
(4) 接触点の軌跡ｇ_0CC の方程式
以上の修整によって最終的に決定する接触点の軌跡ｇ_0CC の方程式を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1で表せば、

となる。設計基準点Ｐ₀ を通る歯面Ｃｃの法線ｎ_0Cは接触法線にはならない。
９． 共役ギア歯面と歯先幅
９．１ 共役ギア歯面
図３５および図３６は、上記のように決定したピニオンインボリュートヘリコイド歯面Ｄが描く有効接触領域（図３５）と創成されたギア共役歯面Ｄ（図３６）とを描いたものである。Ｒ_1hはピニオンの歯先円半径を表している。歯面Ｄの噛み合い率が最大となる接触点の軌跡はｇ_0Dよりも大端側に存在し、約２．１となる。したがって、歯面Ｄの歯当たりは噛み合い率の最大となる接触点の軌跡に沿って大端側に付けなければならない。
図３７および図３８は、全く同様にピニオン歯面Ｃｃが描く有効接触領域（図３７）と創成されたギア共役歯面Ｃｃ（図３８）とを描いたものである。選択されたピニオン歯面Ｃｃによって与えられたギアの領域内（Ｒ_2t〜Ｒ_2h）に有効接触領域およびギア共役歯面Ｃｃが実現されていることが分かる。接触点の軌跡に沿った噛み合い率は０．９となる。したがって、歯面Ｃｃの歯当たりは歯筋かみ合いを利用するため小端側につけざるを得ない。歯面Ｃｃでは軸受荷重変動０の条件を満たしていない。
９．２ ギア歯先幅
図３９は、ギア軸の方向からギアの歯のひとつを観た状態で、上記共役ギア歯面Ｄ，Ｃｃとギア軸直角平面Ｚ_2h＝０（歯先面），Ｚ_2h＝３，Ｚ_2h＝６との交線を描いたものである。図中Ｚ_2h＝０，３，６のそれぞれにおける２本の線の幅がギアの歯厚となる。歯先Ｚ_2h＝０の歯厚（図中斜線を施した領域）がギア歯先面である。なお、Ｚ_2h＝０との交線が点Ｐ₀ で止まっているのは、φ_n0D ≒φ_n2z であるから、歯先面での歯面がこれ以上は存在しないことを意味している。
また、図中、前記の平面Ｚ_2h＝３，６と歯面Ｃｃの交線が、作用限界線Ｌ_3ACcの左側には延びていないが、これは、この部分に切り下げが生じていることを示している。しかし、７．１項で検討したように、歯先部分ではギア領域内に歯面が実現されている。
一般に円筒ピニオンと円板ギアの組み合わせでは、ギア大端側で歯先尖りを生じるが、本実施形態ではやや大端に向かって歯先幅は狭くはなっているが、ほぼ実用上許容しうる歯先幅は実現している。これは次のような理由による。
本実施形態の場合には、接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cは互いに限界軌跡ｇ_2zの周辺にあってしかもｇ_2zに対して互いに逆方向に傾いているから、ｇ_0Dとｇ_0Cのギア側の基礎円筒半径Ｒ_b20D，Ｒ_b20Cは、ｇ_2zの基礎円筒半径Ｒ_b2z に近く、その差は小さい。そして、歯面Ｃを歯面Ｃｃ（点Ｐ_0Cを点Ｐ_0CC ）に修整することによって結果としてその差はさらに小さくなっている。
ピニオンのインボリュートヘリコイドによって描かれる接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cの周辺の接触領域上の任意の接触点の軌跡をｇ_m とするとき、座標系Ｏ₁ で与えられたその傾き角ｇ_m （φ_1m，ψ_b1m ；Ｏ₁ ）を座標系Ｏ₂ に変換すれば、その傾き角ｇ_m は、
tanφ_2m＝ tanψ_b10 ／ cosφ_1m
sinψ_b2m ＝− cosψ_b10 sin φ_1m ・・・（９２）
ただし、Σ＝π／２、ψ_b1m ＝ψ_b10 （一定）
と表すことができる。
この設計例のように、ｉ₀ が大きく、ψ₀ も大きい（６０°）場合には、ψ_b10 は大きく、図２８〜３０に示すように接触点の軌跡の傾き角φ_2mの変化は小さい。したがって、式（９２）からψ_b2m の変化はさらに小さなものとなる。
一方、ギア歯面は、インボリュートヘリコイドの共役歯面であるから、
Ｒ_b2m cos ψ_b2m ＝ｉ₀ Ｒ_b10 cos ψ_b10 ・・・（９３）
という関係が成り立っている。式（９３）からψ_b2m の変化が小さければ、Ｒ_b2m の変化も小さくなる。したがって、ギア歯面Ｄ，Ｃｃは近似的に基礎円筒がＲ_b20DとＲ_b20Cであるインボリュートヘリコイドとみなすことができ、その軸直角断面は近似的にインボリュート曲線になっている。Ｒ_b20DとＲ_b20Cの差は小さいから二つの近似インボリュート曲線はほぼ平行となっていて、ギアの歯先幅は小端から大端までほぼ一定にある。
以上のように設計変数ψ₀ ，φ_n0D ，φ_n0C を選ぶことによって従来のフェースギアの欠点であった小端における切り下げと大端における歯先尖りを克服して動力伝達用のインボリュートハイポイドギアを設計することができる。
また、インボリュートヘリコイド歯面を有するハイポイドギアの設計指針として、以下の点が明らかになった。
(1) 設計基準点Ｐ₀ の半径Ｒ₂₀は、ギアの内外半径の中央にとり、点Ｐ₀ における相対速度に垂直な平面Ｓ_n の傾き角ψ₀ を、およそ
Ｒ₂₀＝（Ｒ_2t＋Ｒ_2h）／２
ε₂₀＝ sin^-1（−ｖ_cs2 ／Ｒ₂₀）
ψ₀ ＝± cos^-1（Ｒ_2t／Ｒ₂₀）−ε₂₀
複号は、＋の場合：通常のハイポイドギア（ψ₀ ≧−ε₂₀）
−の場合：フェースギア（ψ₀ ＜−ε₂₀）
となるように決定する。このように定めたψ₀ によって、接触領域を構成する個々の接触点の軌跡の作用限界線の半径がギア内半径Ｒ_2tよりも小さくなる。つまり、作用限界線を歯幅の外側とすることができ、歯幅全体を歯車の噛み合いに利用することが可能となる。
(2) 設計基準点Ｐ₀ を通るギア軸直角平面Ｚ₂₀と平面Ｓ_n との交線を限界軌跡ｇ_2zとする。限界軌跡ｇ_2zの平面Ｓ_n 上の傾き角をｇ_2z（ψ₀ ，φ_n2z ；Ｃ_s ）とする。点Ｐ₀ を通る歯面Ｄの法線（接触点の軌跡）ｇ_0Dを限界軌跡ｇ_2zの近くに選ぶ。すなわち、ｇ_0Dの平面Ｓ_n 上の傾き角をｇ_0D（ψ₀ ，φ_n0D ；Ｃ_s ）とするとき、φ_n0D を、
φ_n0D ≒φ_n2z （φ_n0D ＞φ_n2z ）
のように選択する。この条件は、点Ｐ₀ における歯面Ｄの接触がψ₀ 選択の結果凸凸接触になっている場合（ψ₀ ≧−ε₂₀）である。一方、凸凹接触の場合（ψ₀ ＜−ε₂₀）は反対側歯面Ｃの法線が上記のように選ばれる。
(3) 点Ｐ₀ を通る歯面Ｃの法線（接触点の軌跡）ｇ_0Cの平面Ｓ_n 上の傾き角をｇ_0C（ψ₀ ，φ_n0C ；Ｃ_s ）とするとき、φ_n0C は、
φ_n0C ＝φ_n0D −２φ_n0R
ただし、２φ_n0R は等価ラックの頂角であり、３０〜５０°であり、
通常は３８°または４０°
のように選ぶ。上記のようにφ_n0D ，φ_n0C を選ぶことによって、設計基準点Ｐ₀ の周囲に、広い有効接触領域を形成することができる。言い換えれば、有効接触領域の境界となる作用限界線の半径がギア内半径Ｒ_2tよりも小さくすることができる。
(4) (2),(3) で決定された接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cより定まる基礎円筒の外側にギア歯先面（ギア軸直角平面）を定め、設計基準点Ｐ₀ の周速度のつくる平面Ｓ_t と平面Ｓ_n との交線（限界軌跡ｇ_t ）を基線とし、ｇ_0D，ｇ_0Cを歯面法線とする等価ラックを用いて、与えられたピニオンとギアの歯先幅をもつ歯丈およびピニオン歯先面（円筒）を定める。この選択によって、ギア歯先面は、ピニオンの基礎円筒半径Ｒ_b10D，Ｒ_b10Cの外になる。
(5) 接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cを歯面法線とするインボリュートヘリコイドをピニオン側またはギア側に与え、さらに相手歯面を創成する。このとき、ピニオン側の歯面Ｄと歯面Ｃがほぼ等しいリードとなるように、そしてギア側のｇ_0D，ｇ_0Cの接する基礎円筒半径がほぼ等しくなるようにｇ_0Dまたはｇ_0Cを修整する。ピニオンの歯面Ｄ，Ｃを等しいリードに修整することによって、ピニオンの歯先幅が軸方向に一定となる。また、ギア側の基礎円筒半径の修整によって、ギアの歯先幅も半径方向にほぼ等しくなる。
以上のハイポイドギア設計において、図４０に示すコンピュータ支援設計システム（ＣＡＤシステム）により、設計支援がなされるようになっている。このＣＡＤシステムは、プロセッサ１およびメモリ２を含むコンピュータ３と入力装置４と、出力装置５と、外部記憶装置６を備えている。外部記憶装置６においては、記録媒体に対してデータの読み書きが行われる。その記録媒体には、前述した歯車設計方法を実施するための歯車設計プログラムがあらかじめ記録されており、必要に応じてプログラムが、ここから読み出され、コンピュータ３により実行される。
このプログラムは、より具体的には、前述したハイポイドギアの設計指針 (1)〜(5) に従って、演算を実行するものである。図４１には、演算フローの概略が示されている。まず、ハイポイドギアの設計要求値から、設計基準点Ｐ₀ の半径Ｒ₂₀、平面Ｓ_n の傾き角ψ₀ を定める（Ｓ１００）。次に、限界軌跡ｇ_2Zから、設計基準点Ｐ₀ を通る歯面Ｄの法線（接触点の軌跡）ｇ_0Dを定める（Ｓ１０２）。また、設計基準点Ｐ₀ を通る歯面Ｃの法線（接触点の軌跡）ｇ_0Cを定める（Ｓ１０４）。さらに、接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cに基づきギア歯先面、ピニオン歯先面を定める（Ｓ１０６）。そして、接触点の軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cを歯面法線とするインボリュートヘリコイドをピニオン側またはギア側の一方にあたえ、さらに相手側を創成する（Ｓ１０８）。形成されたピニオンの歯面Ｃ，Ｄがほぼ等しいリードとなっているかが判定され（Ｓ１１０）、そうでない場合にはステップＳ１０２に戻り、接触点軌跡を再度求める。また、形成されたギアの、接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0Cに接触する基礎円筒半径がほぼ等しくなっているかが判定され（Ｓ１１２）、そうでない場合にはステップＳ１０２に戻り接触点軌跡を再度求める。
表１に、計算されたハイポイドギアの諸元を一例を示す。

【図面の簡単な説明】
図１ 各座標系の座標軸、歯車の歯面、歯形曲線および接触点の軌跡の概観を示す図である。
図２ 各座標系間の関係を説明するための図である。
図３ 接触点の軌跡と歯形の求め方を説明するための図である。
図４ 接触点の軌跡と歯形曲線を示す図である。
図５ 歯車IIに作用する集中荷重と、集中荷重に対する軸受荷重の関係を示す図である。
図６ 軸受荷重の変動が０である場合の接触点軌跡を示す図である。
図７ 接触点軌跡から歯形曲線を求めるために特定することが必要な５個の変数の値を決定する具体的方法（以下、単に「変数決定方法」という）を説明するために、相対回転軸Ｓと座標系Ｃ_S とをそれぞれ示す図である。
図８ 上記変数決定方法を説明するために点Ｃ_S における相対速度Ｖ_S を示す図である。
図９ 上記変数決定方法を説明するために平面Ｓ_H ，Ｓ_S ，Ｓ_P およびＳ_n と共に設計基準点Ｐ₀ ，相対速度Ｖ_rs0 および接触点軌跡ｇ₀ をそれぞれ示す図 である。
図１０ 上記変数決定方法を説明するために点Ｐにおける相対速度Ｖ_rsと接触点の軌跡ｇ₀ との関係を示す図である。
図１１ 上記変数決定方法を説明するために設計基準点Ｐ₀ における相対速度
Ｖ_rs0 と接触点軌跡ｇ₀ とをそれぞれ座標系Ｃ_s により示す図である。
図１２ 上記変数決定方法を説明するために設計基準点Ｐ₀ と接触点軌跡ｇ₀ とをそれぞれ座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2，Ｏ₁ およびＯ_q1によって示す図である。
図１３ 上記変数決定方法を説明するために接触点軌跡ｇ ₀ （ψ₀ ，φ_n0），ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）およびｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）の関係を示す図である。
図１４ 上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ₂ とＯ_r2とによって接触点軌跡ｇ₀ と歯形曲線IIとをそれぞれ示す図である。
図１５ 上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ₁ とＯ _r1 とによって接触点軌跡ｇ₀ と歯形曲線Ｉとをそれぞれ示す図である。
図１６ 歯形曲線から歯面を決定する具体的方法（以下、単に歯面決定方法という）を説明するために、作用面Ｇ₂₀を示す図である。
図１７ 上記歯面決定方法を説明するために回転角θ₂ におけるインボリュートヘリコイドを示す図である。
図１８ 上記歯面決定方法を説明するために共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）と接触線ＰＰ_mとをそれぞれ示す図である。
図１９ 上記歯面決定方法を説明するために作用面Ｇ₂₀上における点Ｑ_m0（Ｐ_{m 0}），Ｑ_m （Ｐ_m ），ＱおよびＰの関係を示す図である。
図２０ 上記歯面決定方法を説明するために座標系Ｏ₁ とＯ_q1とによって点Ｐ_m と共通法線ｎ_m とをそれぞれ示す図である。
図２１ 上記歯面決定方法を説明するために一方の歯面が同一のインボリュートヘリコイドである歯車対の群を示す図である。
図２２ ハイポイドギアの諸元を示す図である。
図２３ かさ歯車およびハイポイドギアにおける平面Ｓ_H ，Ｓ_P ，Ｓ_n ，Ｓ_t およびＷ_N の関係を示す図である。
図２４ ハイポイドギアの設計基準垂線Ｃ_n と限界軌跡ｇ_t を示す図である。
図２５ 平面Ｓ_n と等価ラックを示す図である。
図２６ 接触点軌跡ｇ_0D，ｇ_0C、限界軌跡ｇ_2z，ｇ_t および等価ラックの関係を示す図である。
図２７ 接触領域を示す斜視図である。
図２８ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｚ₁ 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図２９ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｖ₁ 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図３０ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｕ₁ 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図３１ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２８に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３２ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２９に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３３ ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図３０に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３４ 設計基準点Ｐ₀ に対する回転角θ₁ ＝０における歯面Ｃｃの接触点Ｐ_wsCCの関係を示した図である。
図３５ ピニオン歯面Ｄが描く有効接触領域を示す図である。
図３６ 図３５に示すピニオン歯面Ｄにより創成されたギア共役歯面Ｄを示す図である。
図３７ ピニオン歯面Ｃｃが描く有効接触領域を示す図である。
図３８ 図３７に示すピニオン歯面Ｃｃにより創成されたギア共役歯面Ｃｃを示す図である。
図３９ 共役ギア歯面Ｄ，Ｃｃとギア軸直角平面（Ｚ_2h＝０，３，６）の交線を示す図である。
図４０ 歯車設計を支援するシステムの概略構成図である。
図４１ 歯車設計の流れを示すフローチャートである。

Claims (12)

1. ピニオンとギアの歯車対からなり、いずれか一方の歯車が
   インボリュートヘリコイドを歯面とする第１歯車であり、他方がこれと共役な歯面を有する第２歯車であるハイポイドギアを設計する方法であって、
   前記歯車に対して、(a)互いに直交する３座標軸のうちの１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c)前記静止座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想定する工程と、
   前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回転角を助変数とする第１関数によって記述する工程と、
   前記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第２関数によって記述する工程と、
   静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ取得し、前記回転座標系において、前記第２関数と、その回転座標系と前記静止座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第３関数によって記述される歯形曲線を取得する工程と、
   前記歯形曲線を有する歯面対の接触領域を取得する工程と、
   前記接触領域上に、二つの歯車軸の正射影としての作用限界線を取得し、前記第２歯車の歯面に基づき、前記接触領域上に第２歯車の歯先線を取得し、前記作用限界線と前記歯先線とで挟まれた有効接触領域を取得する工程と、
   前記有効接触領域がギアの歯幅全体にわたって存在することを判定する工程と、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
2. 請求の範囲１に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   前記第１歯車の歯が適切な強度を有するように、当該第１歯車の正転側歯面と逆転側歯面のそれぞれの接触点軌跡相互の角度を取得する工程、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
3. 請求の範囲２に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   前記正転側、逆転側それぞれの歯面の接触点軌跡に基づく歯面を有する等価ラックの諸元を取得する工程と、
   前記等価ラックの諸元に基づき前記第２歯車の正転側歯面と逆転側歯面のそれぞれの歯先線の間隔を取得し、この値が所定の値以上であるかを判定する工程と、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
4. 請求の範囲１に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
   前記有効接触領域がギア歯幅の小端側で不足すると判断された場合は、前記設計基準点をギア歯幅の小端側へ移動し、再度有効接触領域を取得する、
   ハイポイドギアの設計方法。
5. 請求の範囲３に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
   前記歯先線の間隔が大端側で不足すると判断された場合は、前記設計基準点をギア歯幅の大端側に移動し、再度有効接触領域を取得する、
   ハイポイドギアの設計方法。
6. 請求の範囲３に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
   前記有効接触領域がギア歯幅の小端側で不足し、かつ前記歯先線の間隔が大端側で不足すると判断された場合は、ギア歯幅を縮小する、
   ハイポイドギアの設計方法。
7. 請求の範囲１から６のいずれかのハイポイドギアの設計方法をコンピュータに実行させるためのプログラム。
8. 歯車対の一方の歯車の歯面がインボリュートヘリコイド面であるハイポイドギアであって、前記インボリュートヘリコイド歯面を有する歯車の基礎円の半径が正転側と逆転側で異なっている、ハイポイドギア。
9. 請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、インポリュートヘリコイドを与えた歯車の、正転側と逆転側の歯面のリードが、略等しいハイポイドギア。
10. 請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、当該ハイポイドギアを構成するピニオンとギアの各々の軸どうしの最短距離であるオフセットＥと、ギアの設計点における半径Ｒ₂₀との比（Ｅ／Ｒ₂₀）が０．２５より大きい、ハイポイドギア。
11. 請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、ギア比ｉ₀が２．５以上５以下のハイポイドギア。
12. 請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、ねじれ角ψ₀が３５°以上７０°以下のハイポイドギア。

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