JPH0792806B2

JPH0792806B2 - 多重多角形表示を発生する方法

Info

Publication number: JPH0792806B2
Application number: JP1066429A
Authority: JP
Inventors: シイアヴアシ・エヌ・メシカト; リイ・リチヤード・ナツクマン; ビイジエイ・スリニヴアサン
Original assignee: インターナシヨナル・ビジネス・マシーンズ・コーポレーシヨン
Priority date: 1988-04-29
Filing date: 1989-03-20
Publication date: 1995-10-09
Anticipated expiration: 2010-10-09
Also published as: US4933889A; EP0339272A3; EP0339272A2; JPH01286081A

Description

【発明の詳細な説明】以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野Ｂ従来技術Ｃ発明が解決しようとする問題点Ｄ問題点を解決するための手段Ｅ実施例 E1 序論 E2 ボロノイ図の二等分線分解、直線化粗分解（第２−
６図） E3 密分解（第７−10図） E4 細片の除去（第11−12図） E5 本発明の方法の全体（第１、14−19図） E6 CADシステム（第20図）Ｆ発明の効果 A. 産業上の利用分野本発明は、形状の手動入力及び物理量の表示による、物
理的オブジエクトのコンピユータ・モデリングに関す
る。さらに具体的には、本発明はオブジエクトの形状を
表わすための有限要素の発生に関する。

B. 従来技術有限要素モデリング（FEM）は、偏微分方程式によつて
支配される技術上の問題を解くために最も広く使用され
ているコンピュータ支援の技術的ツールの１つである。
このような問題には、熱伝導、応力及び振動の解析、拡
散、流体の流れ及び電磁場の問題が含まれる。モデルを
造るべきオブジエクトの形状が比較的複雑で、偏微分方
程式を近似にせよ解くのが困難な場合には、有限要素モ
デリングは特に重要である。

有限要素モデリングによつて、このような技術上の問題
を解く場合には、設計者とコンピユータの間で繰返し対
話が行われる。先ず通常形状の輪郭を手動で入力するこ
とによつて、物理的オブジエクトの形状が画定される。
次にこの形状が有限個の要素に分割される。各有限要素
は十分小さいので、所望の物理量は単一の有限要素上の
適切な補間関数によつて近似できる。最後に、関連する
連立偏微分方程式の有限要素形である、１以上の差分方
程式が、発生された有限要素にもとづいて、コンピユー
タによつて解かれる。次に１以上の物理量についての差
分方程式の解が表示される。ユーザはこれ等の表示され
た量を調べて、ユーザに知らされた或る基準に従いより
良い結果を得るために、有限要素及び差分方程式の解の
発生を繰返す。

有限要素モデリングのうち重要で、時間のかかる部分は
問題のドメイン（オブジエクトの形状、定義域）の有限
要素への分解である。いくつかの理由で、この分解過程
を自動化することは重要である。手動による有限要素の
発生は退屈な過程であり、形状が複雑な時は誤差を生じ
やすい。有限要素発生は、設計者がデザインを提示し、
これを分析し、この分析にもとづいて、これを修正する
速度制限段階（rate limiting step）であることがし
ばしばである。分析者の時間の80％もが、有限要素の発
生に占められる。従つて、有限要素発生を自動化すると
設計のサイクル・タイムが改良される。又、信頼性のあ
る、自動有限要素ゼネレータは自動設計最適化システム
にとつて必要なものである。

有限要素は通常２段階を使用して発生される。先ず、粗
分解によつて、オブジエクトは互に素な部分領域に分割
される。次に密分解によつて、各部分領域がさらに有限
要素に分割される。本発明は密分解に関連し、1985年３
月25日出願の米国特許第717368号及び1987年９月16日出
願の米国特許第97382号に開示されている、一般型の粗
分解に関連して使用されるものである。

有限要素モデリングの目的は、あるメドイン上で（境界
もしくは初期条件について）連立偏微分方程式の近似解
を求めることにある。この方法は定義域を、要素と呼ば
れる部分ドメインに分解し、次に補間の考え方を使用し
て、従属変数のための近似解を求めるものである。正確
さを保証するためには、従属変数が急激に変化する領域
中の要素は小さくて、多数存在しなければならない。こ
のような急激な変化は、（１）幾何学的形状が急激に変
化する領域中、即ち凹角の隅近く、（２）境界条件が急
激に変化する領域中、たとえば集中した、境界の熱源近
く、及び（３）材料の性質が急激に変化する領域中、た
とえば２つの結合された材料間の境界で生ずる。他方、
計算の効率性と、それほどでもないが、正確さのため
に、従属変数が緩慢に変化する領域中の要素は大きく
て、少数であることが望ましい。

自動有限要素ゼネレータの目的は、物理的オブジエクト
の形状のモデルを、正確さと効率間でバランスのとれた
要素の集合に自動的に分解することにある。発生された
有限要素間の境界の集合は、しばしばメツシユと呼ばれ
る。メツシユ発生技術については、1985年刊のコンピユ
ータによるエンジニアリング第１巻、第61−71頁中のM.
S.シエパードによる論文「統合化された幾何学的モデリ
ング環境内の有限要素モデリング第１部−メツシユ発
生」（M.S.Shephard“Finite Element Modeling Within
an Integrated Geometric Modeling Environment:Part
I−Mesh Generation"in Engineering with Computer
s、vol.1、1985、pages61−71）に開示されている。

有限要素発生機構はユーザとの対話が必要とされるかど
うかに従つて分類される。手動機構においては、粗及び
密の分解にユーザとの対話が必要である。半自動機構で
は、粗分解にだけ、ユーザとの対話が必要であり、密分
解には必要ない。自動機構では、２、３のパラメータの
指定以外は、粗及び密分解のどちらもユーザとの対話を
必要としない。

C. 発明が解決しようとする問題点本発明の目的は、有限要素モデリングで使用される、複
雑な形状の自動粗分解及び密分解方法を与えることにあ
る。

D. 問題点を解決するための手段本発明は、あるドメインの多角形の境界が手動で入力さ
れ、このドメインがその境界の最も近い線分もしくは反
射頂点に関連する領域に分割される。これ等の領域はさ
らに調整されて、アーク部分が除去されて、さらに分割
され、すべての粗な領域即ち粗な要素が三角形もしくは
台形にされる。これ等の粗な領域は内部の境界に関して
対をなし、粗要素の４つのクラスに分けられる。密分解
では、三角形及び台形が各クラス関連する規則に従つ
て、密な要素、好ましくは三角形にさらに細分割され
る。細分割の回数は、密な要素の総数に代数学的に関連
付けることができる。発生された密な要素によつて、ド
メイン上に広がる所望の物理量についての差分方程式が
解かれ、次に分析者に対してこの量がドメインの広がり
上に表示される。分析者は再調整された境界に関して上
述の動作を繰返す。

E. 実施例 E1 序論コンピユータ支援設計（CAD）ステーシヨンでは、マウ
スのような簡単で迅速な装置によつて所望の形状を容易
に入力でき、前に入力した形状を修正できる。一度形状
が入力されると、有限要素分解が始まる。分解の結果
は、関連するCRT上に表示できるが、このような表示は
必ずしも必要ではない。次に偏微分方程式の有限要素形
が解かれる。通常、解の結果は連続的に、入力した形状
のドメイン上に表示される。たとえば、温度分布もしく
は電界の分布が表示される。CADステーシヨンのオペレ
ータはこれ等の表示された結果を調べて、最適でないと
考えた場合は、前に入力した形状を修正して、上述の過
程を繰返す。このようにして、オペレータはよりよい設
計に向かつて繰返しを行う。

本発明に従えば、２次元の多重接続された多角形のドメ
インが与えられると、分解によつてドメインの内部がＮ
個の重畳しない三角形で覆われ、任意の２つの三角形
は、三角形の全辺に沿つて互に素であるか、単一の頂点
で交わるようにされる。三角形の頂点はノードと呼ばれ
る。この三角形は又次の追加の基準を満足しなければな
らない。（１）三角形は略二等辺でなければならない。
（２）形状が変化する個所では単位面積当りのノード密
度は増大しなければならない。

粗及び密な分解手順を若干数学的形式で先ず説明し、適
切な定義が使用されるようにする。その後、より特定の
流れ図を説明する。

密分解段階が本発明の主要部分であるが、粗分解段階が
先ず行われる。この粗分解について次に説明する。

粗分解は上述の２つの米国特許出願明細書に開示されて
いる方法の拡張版に従つて行うことができる。この明細
書では、対称軸変換によつて説明がなされている。本明
細書では1987年５月刊のIBMジヤーナル・オブ・リサー
チ・アンド・デベロープメント（IBM Journal of Resea
rch and Development）第31巻、第３号の夫々第361−37
2頁及び第373−381頁に記載された論文、V.スリニヴア
サン及びL.R.ナクマンによる「多重接続多角形ドメイン
Ｉのためのボロノイ図：アルゴリズム」及びS.N.メシユ
カツト及びC.M.サカスによる「多重接続多角形ドメイン
IIのためのボロノイ図：具体化と応用」（V.Srinivasan
and L.R.Nackman“Varonoi Diagram for Multiply−Co
nnected Poly gonal Domain I:Algorithm"and S.N.Mesh
kat and C.M.Sakkas“Voronoi Diagram for Multiply−
Connected Polygonal Domains II:Implemetation and A
pplication"）の説明との一貫性を保つために、ボロノ
イ図によつて説明を変えて行う。

ドメインの境界の各辺及び反射（reflex）頂点に関連し
てボロノイ領域がある。各ボロノイ領域は、ドメインの
境界の他の部分よりもその辺もしくは頂点に近い、ドメ
インのすべての点より成る。このようにして発生された
ボロノイ領域の閉包の和集合が全ドメインをカバーす
る。各ボロノイ領域の境界は辺（もしくは反射頂点）自
体並びにドメインの内部に存在する線分及び放射線状の
アークより成る。これ等の線分及び放射線状のアークは
ボロノイ辺と呼ばれ、重なる即ち共通の終点はボロノイ
頂点と呼ばれる。ボロノイ辺とボロノイ頂点の和集合は
ドメインのボロノイ図と呼ばれる。次に放物線のアーク
はその終点を結ぶ直線の線分によつて置き換えられて、
直線化ボロノイ図が得られる。この図は平面の直線グラ
フである。直線化ボロノイ図は完全にドメイン内に存在
することは明らかであろう。直線化された対称軸は、ド
メインの境界の反射頂点に終る辺を除去することによつ
て形成される直線化ボロノイ図の部分グラフである。直
線化ボロノイ領域は境界を直線にすることによつて元の
ボロノイ領域から得られる。各直線化ボロノイ領域は単
純な多角形によつて囲まれていて、すべての曲線状の境
界が除去されていることに注意されたい。多角形の境界
は次の分解を簡単にする。

直線化された対称軸グラフの辺及び頂点は、簡単のため
にシンマツクス（symax）辺及びシンマツクス頂点と呼
ぶことにする。

粗分解の結果は直線化ボロノイ領域、即ち境界が直線化
されているボロノイ領域より成る。元のドメインが多角
形であり、ボロノイ図が直線化されているために、各直
線化ボロノイ領域は単純な多角形によつて囲まれてい
る。

次の段階は各直線化ボロノイ領域を１以上の四辺形もし
くは三角形あるいはその両方に分解する段階である。各
内部のシンマスクス頂点はドメイン境界に２以上の明確
な点で接する最大デイスクの中心である。即ち各頂点
で、外部の境界と接するのに十分大きいデイスクが発生
される。頂点を見出す際の方法のために、このデイスク
は境界と交わらないで、少なく共２つの接点で境界に接
する。次に接点半径がグラフに加えられる。これ等の接
点半径は頂点を関連する接点に結合している。各ボロノ
イ頂点には、この頂点を対称軸の両側にある夫々の境界
に結合する２以上の接点半径がある。接点半径を直線ボ
ロノイ図に加えた後に、全ドメインは三角形と四辺形に
分解される。具体的な場合、この四辺形は２つの隣の角
が直角である台形である。接点半径を発生するためのこ
の同じ過程の別の説明が後に与えられる。

ドメイン境界の反射頂点に向う２つの隣り合つた接点半
径によつて形成される角がπ/2（90゜）を越える時は、
関連するシンマツクス辺は、その別々の終点が、直線化
されていないボロノイ図中の元の放物線状のアークもし
くは線分上にその別々の終点が存在する略等長の線分の
鎖によつて置換される。この線分の長さは、任意の２つ
の隣り合う接合半径間の角度がπ/4とπ/3の間（45゜乃
至60゜）をなすものである。

E2 ボロノイ図の二等分線分割、直線化、粗分解上述の段階のいくつかを第２図に示す。直10、12及び14
がドメインの外部の境界を画定している。この境界は線
10の破線部に続いている。境界の他の部分は示されてい
ない。４つのボロノイ領域が形成されている。境界の反
射頂点16に関連する、第１の領域は頂点16、頂点16のま
わりの放物線状のアーク18、及び後に接点半径20及び22
によつて置換される他の直線のボロノイ辺によつて囲ま
れている。境界線12に関連する第２領域は、境界線12、
ボロノイ辺20、他のボロノイ辺24によつて囲まれてい
る。境界線14に関連する第３の領域は、境界線14、接点
半径22及び他のボロノイ辺26によつて囲まれている。下
の境界線10に関連する第４の領域は、上の放物線状のア
ーク、２つのボロノイ辺24及び26並びに下の境界線10に
よつて囲まれている。放物線状のアーク18で構成されて
いるボロノイ辺はシンマツクス辺28に直線化され、この
結果、直線化ボロノイ図が画定される。直線化対称軸は
この直線化ボロノイ図から反射頂点16と接するボロノイ
辺20及び22を削除することによつて得られる。この段階
には２つのシンマツクス頂点30及び32が存在する。シン
マツクス頂点30及び32のまわりに描かれる最大のデイス
クは共にどの境界とも交わることなく下の境界線10と反
射頂点16に接する。従つて接点半径20、22、34及び36が
グラフに追加される。接点半径20及び22間の、境界の反
射頂点16に関連する角度は図示のようにπ/2より大き
い。従つて、シンマツクス辺28は終点が共に放物線状の
アーク上にある、２つのシンマツクス辺38及び40によつ
て置き換えられる。新らしい頂点42に関連する最大のデ
イスクは２つの接点半径44及び46を有する。隣り合う接
点半径22、44及び44、20間の角度はπ/3に近い。

ドメインは三角形と台形に分解されたので、各シンマツ
クス辺は２つの台形、２つの三角形もしくは三角形及び
台形によつて共有される。接点半径はシンマツクス辺で
はないことに注意されたい。シンマツクス辺によつて分
離されたこのような対はさらに４つのクラスに分類され
る。以下の図面上の説明では可能なかぎり、境界辺は太
線で、シンマツクス辺は細線で、接点半径は鎖線で示す
ことにする。密分解によつて導入される追加の辺は点線
で示される。ハツシユ領域はドメインの外部である。こ
の４つのケースを次に示す。

（１）第３図に示した２つの合同な直角台形。即ち直
角台形の各々は等しい長さの対応辺を有する。さらにこ
の台形の各々はドメイン境界の少なく共一部である辺を
有する。

（２）第４図に示した、２つの合同直角三角形。この
三角形の各々はドメインの境界の少なく共一部である辺
を有する。

（３）第５図に示す、直角台形と三角形。台形はドメ
イン境界の少なく共一部である辺を有し、三角形はドメ
イン境界の反射頂点と一致する頂点を有する。

（４）第６図に示す、２つの合同三角形。この三角形
の各々はドメイン境界の反射頂点と一致する頂点を有す
る。これ等の三角形の各々は必ずしも直角三角形である
必要はない。

上述の三角形及び台形は粗分解で形成された粗要素であ
る。

E3 密分解台形及び三角形の粗要素の密分解は、これ等の粗要素の
辺に沿い、又内部で最終メツシユのノード点を追加する
ことによつて達成できる。このようなノード点は、隣接
する粗要素の重畳辺に沿う追加のノード点を同じ点とし
て、夫々局所的幾何学図形だけを考慮に入れて追加され
る。境界の辺の間にこのような両立性を持たせることは
有限要素分解にとつて極めて重要である。ここでは両立
性は上述のクラスの隣接する粗要素の対を一緒に処理す
ることによつて達成される。２つの粗要素間の境界はド
メイン境界のどの部分とも重畳できないことに注意され
たい。従つて、各対中の２つの粗要素によつて共有され
る接点半径及びシンマツクス辺だけに配慮すればよいこ
とになる。シンマツクス辺にまたがる両立性は、このシ
ンマツクス辺を共有する粗要素の各対を処理する時に明
示的に処理される。接点半径にまたがる両立性は、すべ
ての半径に沿つて同数ｎのノード点を追加することによ
つて保証される。

密分解は上に定義された、対の４つのクラスの各々に適
した４つの規則の組に従つて行われる。各場合に、必要
な場合にだけノードを追加するための手引きを与えるア
スペクト比が定義される。この規則には各対中に発生さ
れる三角形の有限要素の数の上界についての計算が含ま
れる。この上界はｎの二次関数であり、粗要素の局所図
形をパラメータとするものである。この関数の値は数ｎ
についての有限要素の総数を大まかに決定するものであ
る。この有限要素の総数をユーザの指定した限界（有限
方程式の解手順中のコンピユータの時間及びリソースに
しばしば関連付けられる）に等しくすることによつて、
ｎの解が得られる。即ち、粗分解に基づき、有限要素に
ついて行われる計算の限界を満足するように密分解の程
度が制御される。

（ケース１）２つの合同直角台形上述の直角台形の例を第７図に示す。この台形PQQ′
Ｐ′はこれと対をなしている合同な台形と分離するシン
マツクス辺である一辺PQを有する。この台形は又粗分解
によつて最初に分割された時のドメインの境界上にある
辺Ｑ′Ｐ′を有する。対の他方の台形は合同であるため
に対称的に処理される。値ｎを選択して、台形の残りの
辺QQ′及びPP′の各々の上にｎ個の、等間隔のノード50
及び52を置く。図ではｎは３にセツトされている。この
ようなノードによつて夫々長さｐ及びｑのｎ＋１個の等
しい線分が生ずる。この時２つの可能な場合が考えられ
る。

長さPQがｐ＋ｑに等しいか、大きいと、次のことが行わ
れる。PA及びQBとして示されたように、２つの線分56及
び58が形成される。同じくAA′及びBB′で示された垂線
62及び64をドメインの境界Ｑ′Ｐ′から引く。これ等の
垂線62及び64を（ｎ−１）個のノードで等間隔に分け
る。最後に、台形PAA′Ｐ′及びQBB′Ｑ′の各々にこれ
迄に追加された（2n−１）ノードを使用して、（2n＋
１）個の三角形の模様を作る。この三角模様は垂線62も
しくは64の一端で始まつて、辺QQ′もしくはPP′上の一
番近いノード50もしくは52に進み、その後これ等のノー
ドと垂線62及び64上のノード間を交代しつつ、垂線62も
しくは64あるいは辺QQ′もしくはPP′の他端に終る。も
しｎがすでに０である時には、ノードはないので、三角
模様化は２つの垂線の辺の対向端から行われ、三角模様
化処理が完了する。その後、台形ABB′Ａ′が台形とし
て扱われ、上述の過程がｎの値を１だけ減少して行われ
る。しかしながらｎの値は０より小さくなることはな
い。第７図に示した粗要素では、このノードの追加は２
回繰返される。２回目及びその後の繰返しでは、外側の
垂直な辺上のノードは前の繰返し中に形成されている。

他方、長さPQ（もしくはその後の繰返し中の相当する長
さ）がｐ＋ｑ未満である時は、前に加えたノードによつ
て２（ｎ＋１）個の三角形の模様にされる。この状態は
繰返しのための終結条件である。もし台形のアスペクト
比Γを2P′Ｑ′/PP′＋QQ′と定義すると、この場合２
つの台形について発生される三角形の総数N₁は、ｎの最
初の値を使用して、ceil（４Γ^２（ｎ＋１））によつて
制限される。関数“ceil"は浮動小数のための丸め関
数、即ち次に最大な整数を求める関数である。

（ケース２）２つの合同直角三角形１つの直角三角形RR′Ｓの例を第８図に示す。辺RSはシ
ンマツクの辺であり、Ｒ′Ｓは元の多角形の境界上にあ
る。RS上にｎ個の等間隔のノード66を、Ｒ′Ｒ上にｎ個
の等間隔上のノード68を、Ｒ′Ｓ上にｎ個の等間隔のノ
ード70を置く。次にノードの対応する対を結び、相互に
平行な線の３つの族を構成することによつて、三角模様
を作る。図示した三角形と合同な他の三角形は対称的に
処理される。この手順によつて、２つの直角三角形につ
きN₂＝２（ｎ＋１）^２の要素が得られる。

（ケース３）直角台形と三角形三角形TUVと直角台形UVV′Ｕ′を第９図に示す。三角形
と台形は太線で分離されている。線UVはシンマックス辺
で、三角形の頂点Ｔは原多角形の境界上にある。台形UV
V′Ｕ′の場合には、ｎ個の夫々等間隔のノードを辺U
V、UU′、Ｕ′Ｖ′、及びVV′上に置く。次にこの台形
を、接続ノードの族を作ることによつて三角模様化す
る。最初の族は辺Ｕ′Ｖ′上のノード76から、対向する
辺上の対応する72に延びる。第２の族は残りの辺UU′及
びVV′上のノード74及び78間に延びる。これによつて
（ｎ＋１）^２個の四辺形が生ずる。これ等の四辺形は次
に単一の対角線によつて各々分割され、台形UVV′Ｕ′
が三角模様化される。次に三角形TUVを、ケース２と類
似の下記のケース４の規則に従つて処理される。

この手順は台形と三角形の場合に、要素数N₃＝３（ｎ＋
１）^２を生じる。

（ケース４）２つの合同三角形合同対の一つである三角形WXYを第10図に示す。辺WXは
シンマツクス辺であり、頂点Ｙは元の多角形の境界上に
ある。対の他の三角形は対称的に処理される。この場
合、辺WX、XY及びWYの各々上にｎ個のノード80、82及び
84が置かれる。次に、対応するノードの対を結合するこ
とによつて、平行線の３つの族により、三角模様が得ら
れる。この手順によつて、２つの三角形中に要素数N₄＝
２（ｎ＋１）^２が発生する。

E4 細片の除去有限要素の分解技術中で可能な場合は長くて細い有限要
素は除去しなければならない。ここではこのような長く
て細い要素を細片と呼ぶことにする。しかしながら、所
与のドメイン自体が境界の頂点で極めて小さな角度をな
している場合には、細片は不可欠である。他の個所で
も、長くて細い三角形で終ることが可能である。細片を
除去する方法を次に示す。

細片除去過程は、さらに分解したときに、不良の三角形
を生ずるようであれば、その三角形もしくは台形を細片
発生体と考える。三角形もしくは台形が細片発生体であ
るかどうかを判断するために、次に定義されるアスペク
ト比を使用する。ある制限の下に、ユーザはある最小限
度に許容可能なアスペクト比を選択する。三角形の粗要
素のアスペクト比は、シンマツクス辺に沿う三角形の長
さの接点半径に沿う長さに対する比として定義される。
この比が１より大きいと、この比の逆数をアスペクト比
として使用する。三角形の２つの辺が接点半径である時
は、それ等の長さの平均を使用する。

細片除去はある頂点を定めて、ある辺そして要素を崩壊
することによつて達成される。元のドメインの境界の頂
点は残されるという追加の制約が課せられる。もし細片
除去によつて原境界の頂点（従つて境界自体）が除去さ
れるようなことがあれば、細片が残されることをこ制約
は意味する。細片除去は２つの隣接するシンマツクス辺
を、非共有の終点を接続する１つの辺で置換することを
含む。この、隣接するシンマツクス辺の置換は、新らし
い辺がドメイン中に完全に存在する時にだけ試みられ
る。ケース２及び４について説明された、三角形の粗要
素の密分解から明らかなように、結果の密な三角形は粗
な三角形と相似である。従つて密要素のアスペクト比は
三角形の場合粗要素のそれと同じである。粗要素は、そ
のアスペクト比が小さすぎる時は細片発生体となる。

２つの隣接する、合同な三角形の場合のケース２は第11
図に示したように、原境界の鋭角の頂点88から生ずる。
図で２つの細片をなす角形領域は２つの境界90及び92、
２つの接点半径94及び96並びにシンマツクス辺98によつ
て囲まれている。この場合の細片除去は、２つの細片を
なす三角形に関連するノード100及び102を定め、辺と要
素をつぶして、三角形と隣接する領域を結合することを
含む。今の場合は、接点半径94及び96を、図示の矢印に
つぼめて行つて、シンマツクス辺98で合体させることに
よつて除去される。

２つの隣接する、合同な三角形のケース２の場合は、第
12図に示したように互に向い合つている原境界の反射頂
点104及び106から生ずる。ここでは、２つの細片になつ
た三角形は４つの接点半径108、110、112及び114並びに
シンマツクス辺115によつて囲まれている。この場合
は、細片除去には、隣合う接点半径、ここでは接点半径
108、110及び112、114に沿う、各三角形の対応するノー
ドを定め、次に辺及び要素をつぶすことを含む。ここで
は、接点半径110及び114が第12図の矢印で示すように対
応する接点半径108及び112の方に向つてつぶされてい
る。

ケース１では、２つの境界の線分の間に２つの台形が形
成されている。この２つの台形は第13図に示すように、
境界の線分116及び118、シンマツクス辺120及び４つの
接点半径122、124、126及び128によつて囲まれている。
各台形の粗要素は三角形に分解されようとしている。細
片の発生を防止するために、最寄りの接点半径上に形成
される線分と同じ長さの線分をシンマツクス辺上に形成
することによつて、アスペクト比を１に近づけること試
みる。前に定義したアスペクト比Γが小さすぎる時は、
三角形の細片が生じる。もしｎが十分大きければ、細片
を除去しないままで許容可能な三角模様を得ることがで
きる。そうでない時は、隣合う接点半径、ここでは接点
半径122、124及び126、128に沿う対応ノードを定め、こ
れ等のノードが一体になるように、矢印の方向に辺及び
要素をつぶして細片が除去される。

ケース３は三角形の粗要素と台形の粗要素の両方を含
む。もしアスペクト比が小さい時は、細片除去は隣合う
接点半径に沿う対応するノードを見定めることによつ
て、辺及び要素が崩壊される。

最小のアスペクト比の選択は半径方向に長い細片をシン
マツクス方向に長い細片で置換しないようにしたいとい
う配慮によつて制約を受ける。もしユーザの指定した最
小のアスペクト比が黄金比（５の平方根から１を引いた
値を２で割つた値即ち0.618）よりも小さい時は、新ら
しい細片は導入されないことが証明できる。

多重に接続された多角形の粗要素を密に分解するための
上述の方法は、いくつかの長所を有する。ユーザは発生
される密要素の総数についての上界を指定することがで
きる。差分方程式の解を得る時間はノード数の３乗に比
例し、今の場合は要素の数に比例するので、この上界は
重要である。発生されるメツシユはドメインの幾何学的
図形の対称性を利用し、座標系に関する形状の向きに依
存していない。従つて、相似幾何学図形は部品中のその
相似的位置にかかわりなく相似な密な要素を生ずる。最
後に、細片は自動的に除去できる。細片は、メツシユ発
生においてボロノイ図を使用する従来の方法に著しい制
限を加えていたものである。

E5 本発明の方法の全体本発明の方法の過程全体を第１図に示す。オペレータは
段階140で開始し、第14図に示した、外側の多角形の境
界142だけでなく、内側の境界146によつて画定された多
角形の開孔144を有する、２次元の多角形の形状即ちド
メインを入力する。この形状の入力は、形状がオペレー
タによつて描かれて関連するCRT中に現われる、CADマシ
ン中の、マウスもしくはジヨイステツクによつて行われ
る。ドメインの定義はコンピユータにとつて理解可能な
幾何学的形状の用語によつてユーザが行う、IBM社販の
２つのプログラムCATIA及びCADESのいずれかの市販の利
用可能なプログラムの使用によつて行われる。ドメイン
の境界142及び146は、これ等の境界上のドツトによつて
示された、頂点が画定される、CRT上の所望のスポツト
にカーソルが現われる迄マウスもしくはジヨイステイツ
クを移動することによつて入力される。境界142及び146
の線分が相継いで入力された頂点を接続する。

一度、満足すべき形状が入力されると、オペレータはコ
ンピユータに動作を引き継がせるよう通知する。段階14
2で、コンピユータが直線化されたボロノイ領域の境界
を画定する。第14図のドメイン中の領域は未直線化ボロ
ノイ領域であり、従つて原ボロノイ図を構成している。
図示された内部の線はボロノイ辺を完成し、追加のドツ
トは追加のボロノイ頂点である。上述のように、多角形
の境界の各直線の線分及び各頂点はこれ等に関連して、
境界の任意の線分もしくは頂点よりも自分自身に近いボ
ロノイ領域を有する。ボロノイ領域を決定する方法は他
にもあるが、上述のメシユカツト（Meshkat）及びサカ
ス（Sakkas）による論文に説明された方法を使用するこ
とによつて行われる。

段階142において、境界の頂点のまわりの任意の放物線
状のアーク（第２図参照）及び２つのこのような境界の
頂点間の二等分線の張る角が90゜を越えると、アークし
くは二等分線は、その張る角が45゜と60゜の間にあるよ
うに２もしくは３等分される。これによつて、新らしい
ボロノイ頂点が放物線状のアークもしくは直線の二等分
線上に導入される。段階142の最終の部分的段階は、隣
りのボロノイ頂点を結合する放物線状のアークの直線化
である。この直線化は、第２図を参照して説明したよう
に、２つの頂点を接続する弦（直線）でアーク（弧）を
単に置換することによつて達成される。

段階148で、コンピユータは直線化ボロノイ領域の粗分
解を遂行する。その細部に依存して密分解が行われる、
この重要な段階はさらに詳細に第15図に示されている。
段階150で、境界に沿う次の境界辺もしくは境界の頂点
及びそのボロノイ領域が選択される。この選択は所定の
出発点から、所与の方向に、たとえば、反時計方向に進
む。各境界辺もしくは頂点に関して、直線化ボロノイ領
域が関連している。上述のアークもしくは二等分線の分
割によつて、このようなボロノイ領域が２以上存在する
時は、これ等のボロノイ領域も同じ反時計方向に順次考
慮される。

段階152で、選択されたボロノイ領域内の次のシンマツ
クス辺が考慮のために選択される、このシンマツクス辺
の選択は所定の出発点から同じ反時計方向に進む。この
シンマツクス辺は、アークの分解によつて拡張された直
線化ボロノイ図の辺でもボロノイ図の内部にあり、その
鋭角の頂点を除き境界と接していないことに注意された
い。さらに、これ等は各々シンマツクス辺に対向する側
上の２つの境界線分もしくは頂点と関連している。段階
154で、考察中のシンマツクス辺が以下説明される指示
でマークされているかどうかが判断される。最初、すべ
てのシンマツクス辺はマークされていない。一度シンマ
ツクス辺がマークされると、他のボロノイ領域を考察す
る場合にもマークされた状態に留まる。もし、辺がマー
クされていると、段階156中のテストで次のシンマツク
ス辺が存在することがわかると、次のシンマツクス辺が
考察される。

シンマツクス辺がマークされていないと、段階158で、
シンマツクス辺の両端にある２つの内部ボロノイ頂点か
ら接点半径が描かれる。結果の接点半径が考慮中のシン
マツクス辺の両側にある２つのボロノイ領域の側を決め
る任意の境界の線分に垂直であるか、このようなボロノ
イ領域の反射境界頂点と交わる時は、この接点半径がシ
ンマツクス頂点から描かれる。次にこのシンマツクス辺
が段階160でマークされる。シンマツクス辺の両側上及
びおそらくシンマツクス辺の両端の接点半径によつて画
定される粗要素である、三角形もしくは四辺形の段階16
2において第３、第４、第５及び第６図に示した４つの
クラスの１つに分類される。粗要素のこれ等の対は次に
段階164の密分解のために持ち行列にされる。マーキン
グによつてこれ等の粗領域は次の考察から効果的に除外
される。次に、次のシンマツクス辺が考察される。テス
ト166で判断されるように、任意の時間に、さらに考察
すべき境界辺もしくは頂点が存在しないと、すべての粗
要素の待ち行列について粗分解が完了する。

第１図の次の段階170で、半径密度ｎ、即ち密分解にお
ける接点半径の部分分解に使用されるノードの数の計算
が行われる。メモリもしくはマシン時間のような制限が
あるので、有限差分計算は要素数Ｎに制限される。粗要
素の待ち行列にされた各対について、４つのクラスのう
ちの１つが関連し、そのクラスに対してｎに依存する、
発生された密要素に関する少なくとも１つの上界が存在
する。従来の記法中でN₁乃至N₄によつて表わされた、こ
れ等の要素数が対にされた粗要素について合計され、Ｎ
として代数式に代入される。次にこの式がｎについて解
かれる。ｎの小数部分は破棄される。

上述の説明は半径密度ｎの自動的発生に関するものであ
る。しかしながら、分析者は自動的に発生されたｎの値
が異なる理由のためには満足すべきものでないことを決
定できる。分析者はｎの所望の値を設定する能力を有す
る。

段階172で、コンピユータは半径密度ｎの設定値によつ
て、密分解を行う。粗要素の待ち行列にされた対の各々
は上述の４つのケースの分類に従つて処理される。この
密分解は三角形もしくは台形の各接点半径を、その間の
新らしい頂点で（ｎ＋１）の部分線分に分割することを
少なく共含む。これ等の新らしい頂点について、対の密
分解が対の分類に従つて、上述のように行われる。

細片除去の前の密分解の２の例を第16図及び第17図に示
す。第16図の密要素は第14図のボロノイ領域から誘導さ
れたものである。第16図及び第17図を細かく調べると、
細片が存在することがわかる。

段階174で、細片の除去が遂行される。粗要素の各対に
ついて、アスペクト比Γがシンマツクス辺の長さを接点
半径の平均値で割つた値として計算される。ケース１で
は、この比はさらに（ｎ＋１）で除算される。もしこの
比が１より大きい時は、アスペクト比の逆数が求められ
る。もしこのアスペクト比が最小の許容値よりも小さい
時は、粗要素のこの対の密要素は崩壊され、上述のよう
に対応する頂点が置換される。しかしながら、崩壊は生
じる新らしい辺がドメインの内部に完全に存在する時に
のみ遂行される。

細片を除去した後の、第16図及び第17図の例を、第18図
及び第19図に示す。全体の結果はドメインのその部分の
大きさと同大の寸法の、徐々に変化する密要素より成
る。第16図乃至第19図の原物は本発明の自動有限要素発
生装置の出力を受取るグラフ装置によつて自動的に発生
される。

以上の段階で、有限要素の発生が完了する。分析者はこ
の時点で、密なメツシユをCADマシンのCRT上の表示を望
むかも知れない。しかしながら、この表示はかならずし
も必要でない。CAEDSプログラムがこのようなメツシユ
の表示を与える。

このようにして発生された有限要素を、任意の数の偏微
分方程式のための近似解の有限要素の計算に使用して、
物理量の予測ができる。その例を以下に示すこのような
計算については、1982年、ロンドン市マクグロウ・ヒル
書籍株式会社刊のジエーンキイビツチ著「有限要素法、
第３版」（Zienkiewicz“The Finite Element Method、
3rd."、published by McGraw Hill Book Co.、London、
1982）に詳細に説明されている。この本は種々の重要な
偏微分方程式の有限要素形を十分説明している。

一般に知られている市販の有限要素解法はMSC社から利
用なNASTRANプログラムである。

物体中の熱伝導及び結果の温度分布の計算にはポアソン
方程式が使用される。熱源と熱シンクがこの偏微分方程
式の境界条件を与える。

物体中の歪解析の計算には重調和関数が使用される。外
部から印加される負荷が境界条件になる。

ナヴイエーストークス式が物体中の流体の流れの方向及
び速度を計算する一般化方程式である。流体は圧縮可能
性もしくは非圧縮性のいずれでもよい。通常、境界条件
の一部を決定する流体源及び流体シンクが存在する。

物体内の電磁界、主に電界及び磁界もしくは関連ポテン
シヤルの計算には、マツクスウエルの方程式が使用され
る。ある場合には、電界と磁界は減結合される。

物体内の、半導体の移動のような種々の拡散現象には拡
散方程式が使用される。拡散の場は電子のような識別可
能な粒子であることがあり、より抽象的な場状な量でも
よい。この場合も、拡散源及び拡散シンクが境界に存在
する。

物体の表面の境界条件が計算のために決定されなければ
ならない。たとえば、電磁気の計算では、絶縁性の境界
と導電性の境界では異なる境界条件が与えられる。同じ
く、上述のように、物体の境界の一部には、シミユレー
トされた源（ソース）及びシンクがしばしば与えられ
る。

境界条件の設定のためには、CAEDSプログラムが存在す
るが、境界条件の入力のためには簡単なプログラムを考
案することができよう。

時として、電流の場合のバルク固有抵抗のように、物体
は一様な特性を有するものとして考察されるが、たとえ
ば発生される有限要素の各々に異なる値の固有抵抗を割
当てることによつて、非均一な物体についての計算を行
うことができる。

しかしながら、有限要素の計算は上述の方程式もしくは
現象に制限されるものではなく、物体内で妥当な偏微分
方程式によつて記述される物理量の予測にだけ制限され
る。

第１図に戻つて、この予測は段階176で、物体のシン
ク、ソース及び内部特性とともに物体の境界条件をセツ
トすることによつて行われる。次に段階178で、結果の
有限差分方程式が、発生された有限要素を使用してコン
ピユータによつて計算される。

CADシステムと分析者間の繰返しプロセスにおいては、C
RT上に選択された物理量の２次元表示を表示することが
通常必要である。再び、CAEDSプログラムで選択された
物理量の表示が可能である。この物理量はドメインの境
界の表示と関連して通常表示されるので、分析者は物理
量の計算値をドメインの識別可能な部分に関連付けるこ
とができる。

選択された物理量は有限差分方程式によつて直接計算さ
れる量でないことがある。たとえば、抵抗性の固体を流
れる電流はしばしば電位に基づいているので、次に電位
の勾配が誘導されて電流を求めている。一度物理量が得
られると、段階180において、この量がCRTもしくは他の
図形表示装置上で表示され、分析者に便宜が与えられ
る。

段階182でシミユレーシヨンが許容できる結果を生じた
と分析者が判断すると、設計が完了する。しかしなが
ら、表示された物理量が許容不能な設計を示したと分析
者が判断すると、分析者は段階184でドメインの形状を
修正し、プロセス全体を繰返さなければならない。許容
不能なドメインの設計の例は、ドメインの局所的部分に
おける過度な温度もしくは歪である。多くのCADの応用
では、段階182及び184を自動化することは理論的に可能
であるが、分析者はこの意志決定過程についての制御を
保有して、形状を修正して、局所的問題を軽くする。

E6 CADシステム本発明を実施するオペレーシヨン・システムは主にCAD
（コンピユータ支援設計）システム170より成り、第20
図に示される。CADシステム170はすでに差分方程式を解
くためのソフトウエアが与えられているプログラム内蔵
コンピユータである。CADシステム170のための好ましい
構造はIBM社から販売されている、3090シリーズIBMコン
ピユータのような、370型ホスト・コンピユータに接続
される、RT/PCのようなワーク・ステーシヨンを使用す
るものである。CADシステム170には２次元の形状を表示
するためのCRT（陰極線管）172が関連している。分析者
はCADシステム170をキーボード174及びジヨイステイツ
クス176もしくは、同等なマウスで制御する。ジヨイス
テイツク176は特にドメインの境界を入力するのに使用
される。この境界はCRT172上に直ちに表示される。キー
ボードには、回転のような、表示されたイメージの調整
が可能な一連のダイアルが具備されている。CADシステ
ム170にはさらに本発明の粗分解法及び密分解法が与え
られている。種々のプログラムがRT/PC上に常駐する
か、ホスト・コンピユータ上に常駐するかは、ワークス
テーシヨンの容量及び所望の計算速度に依存する。しか
しながら、メツシユはRT/PC上に５秒以上に発生できる
ことが見出されている。ワークステーシヨン中であれ、
ホスト・コンピユータ中であれ、CADシステム170の内部
には、第１図の方法の主要段階間、具体的には段階178
の有限差分方程式の解に使用される、段階172及び174の
メツシユの画定段階のデータを保持するメモリがある。
このメツシユの画定で線分によつて接続されたメツシユ
のノードが生じる。

分析者は所望の多角形の境界をCADシステム170に入力し
て、粗及び密分解を開始する。もし分析者が望むなら
ば、CADシステムに命令を与えて差分方程式を解く前
に、表示装置上に密要素が表示できる。分析者は次に差
分方程式の解の直接的結果を処理してCRT172上に所望の
物理量を表示する。もし再設計が必要と判断した時は、
分析者はジヨイステイク176により、CATIAもしくはCADE
Sプログラムの使用を介して、ドメインを調整して、プ
ロセスを繰り返す。

Ｆ発明の効果本発明に従えば、有限要素モデリングで使用される、複
雑な形状の自動粗分解及び密分解方法が与えられる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、コンピユータ支援設計システム中での本発明
の方法を示した全体の流れ図である。第２図はボロノイ図の二等分線の分割、及び直線化を示
した図である。第３、４、５、６図は粗分解によつて発生した粗要素の
４つのクラスを示した図である。第７、８、９及び10図は粗要素の４つのクラスの密分解
を示した図である。第11、12及び13図は３つのタイプの細片除去方法を示し
た図である。第14図は複雑な形状のボロノイ領域を示した図である。第15図は粗分解の流れ図である。第16図は細片除去前の、第14図の形状のため密要素を示
した図である。第17図は細片除去前の、他の複雑な形状のための密要素
を示した図である。第18図及び第19図は細片除去後の、第16図及び第17図に
対応する密要素の図である。第20図は本発明の方法が使用されるコンピユータ支援設
計（CAD）システムの図である。 10、11、12……ドメインの境界、18……放物線状のアー
ク、20、22……接点半径、30、32……シンマツクス頂
点。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献特開昭62−97070（ＪＰ，Ａ)

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】CAD（コンピータ支援設計）システムにお
いて使用される有限要素を発生するために、多次元オブ
ジェクトの多重接続された多角形ドメインをコンピュー
タに入力して、この多角形ドメインを前記コンピータに
より処理し、前記処理の結果に従って表示を発生する、
予測された物理現象の多重多角形表示を発生する方法で
あって、前記多角形ドメインをコンピュータにより処理する段階
は、（ａ）第１の領域が、少なくとも曲線部分を含む境界
を少なくとも１つ有し、そして第１の領域の各々が少な
くとも１点で前記ドメインの境界と接する、複数の前記
第１の領域に前記ドメインを分割し、（ｂ）任意の曲線部分を、該曲線部分の両終点を接続
する少なくとも１本の直線で置換して前記第１の領域を
調整しこれによって該調整された第１の領域のすべての
辺が線分で囲まれるようにし、（ｃ）共通の境界によって分離された、前記調整され
た第１の領域の対を有限数のクラスに分類し、（ｄ）前記各クラスに適した規則に従って、前記調整
された第１の領域の各々を第２の領域に分割して、該第
２の領域を前記表示の発生に使用する、の段階を経ることを特徴とする多重多角形表示を発生す
る方法。
【請求項２】CAD（コンピータ支援設計）システムにお
いて使用される有限要素を発生するために、多次元オブ
ジェクトの多重接続された多角形ドメインをコンピュー
タに入力し、一方、この多角形ドメインは多角形の境界
が隣り合う線分間に頂点を有する線分より成る、１以上
の多角形の境界によりドメインが画定されており、前記
頂点の幾つかは内部すなわち前記ドメインに対して反射
頂点となるものであり、前記ドメインをコンピュータの処理を介して複数の有限
要素に分解し、前記有限要素のそれぞれに対して物理的境界条件を分析
して有限要素分析結果を得、複数の前記有限要素分析結果を結合してドメイン分析結
果を得、前記ドメイン分析結果の物理的表示を行なって、ドメインに対して少なくとも１つの物理的境界条件をコ
ンピュータの処理により分析して表示する方法であっ
て、前記ドメインを複数の有限要素に分解する段階は、（ａ）前記ドメインを複数の第１の領域に分割し、従って前記複数の第１の領域で前記ドメインが埋めら
れ、前記第１の領域の各々は前記境界の線分及び反射頂
点の夫々の１つに、前記境界の任意の他の線分及び反射
頂点よりも接近させられており、更に前記第１の領域は
前記境界に接しない第１の線、前記反射頂点以外の頂点
で前記境界に接する第２の直線及び前記境界の反射頂点
に接する第３の直線で分割されるようになされており、
そして第１の線は前記第２の直線及びアーク部分で構成
されており、（ｂ）前記アーク部分を該アーク部分の夫々の終点を
接続する前記第２の直線で置換して、前記第１の領域を
該置換の段階によって調整し、一方、前記第２の直線のすべては内部の頂点に接続せし
められ、（ｃ）前記第１の領域を前記内部の頂点から前記境界
の線分と直角に交わるか或は前記反射頂点と接するよう
に延びる前記第３の直線によって更に分割して、分割後
の前記第１の領域の各々を前記第３の直線の２本によっ
て囲み、（ｄ）前記第２の直線によって分離された前記分割後
の第１の領域の対を次の４つのクラスの１つに分類し、第１のクラス:2つの合同直角台形第２のクラス:2つの合同直角三角形第３のクラス：直角台形と三角形第４のクラス:2つの合同三角形（ｅ）前記各三角形及び台形を前記有限要素を得るた
めにそのクラスに適した規則に従って第２の領域に分割
する、の段階を経ることを特徴とする、ドメインに対して少な
くとも１つの物理的境界条件をコンピュータの処理によ
り分析し表示する方法。