KR101177131B1 - 국부 정교화를 이용하여 ｔ-스플라인 및 ｔ-ｎｕｒｃｃ표면을 정의하기 위한 시스템 및 방법 - Google Patents

Abstract

컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면을 정의하기 위한 시스템 및 방법이 제공된다. 본 방법의 하나의 동작은 실질적으로 직사각인 구조를 가진 제어 메시를 생성하는 것이다(150). 추가 동작은 제어 메시로부터 각 제어점에 대한 텐서 곱 B-스플라인 기초 함수를 추론하는 것이다(152). 이어서, 기초 함수 및 제어 메시에 기초하여 표면을 계산할 수 있다(154).

컴퓨팅 환경, 바이큐빅 스플라인 표면, T-스플라인, B-스플라인, 제어 메시

Description

국부 정교화를 이용하여 Ｔ-스플라인 및 Ｔ-ＮＵＲＣＣ 표면을 정의하기 위한 시스템 및 방법{SYSTEM AND METHOD FOR DEFINING T-SPLINE AND T-NURCC SURFACES USING LOCAL REFINEMENTS}

본 발명은 국부 정교화를 표현할 수 있는 모델링된 표면을 정의하는 것에 관한 것이다.

표면 모델링은 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 지원 설계(CAD), 컴퓨터 지원 기하 설계(CAGD) 및 컴퓨터 애니메이션의 기본 작업이다. 표면들은 일반적으로 구분적 다항식 패치들(piecewise polynomial patches) 또는 다각형들의 메시에 의해 근사화된다. 다각형 메시는 그 간편성으로 인해 표면을 근사화하는 대중적인 방법이며, 많은 응용에 적합하다. 다각형 메시의 결점은, 그 고유의 특성상 작은 면들을 가지며 또한 실제 응용에 있어서의 요구를 만족시킬 만큼 충분히 작은 면들을 형성하기 위해 다수의 다각형을 필요로 할 수 있다는 점이다.

반면, 평탄면(smooth surface)을 대중적으로 표현한 것으로서 텐서 곱(tensor product) B-스플라인 표면이라는 것이 있다. B-스플라인 표면에 대한 제어점들은 직사각 그리드(rectangular grid) 내에 구조적으로 배열되는 것이 요구된다. B-스플라인 표면은 베지어 형태(Bezier form)로 표현될 수 있는 여러 개의 파 라미터 표면 패치를 포함한다. B-스플라인 표면의 중요한 이점은 구성 표면 패치들 각각이 자동으로 그의 이웃 패치들과의 C^n-1 (n은 기초 함수의 차수)이라는 것이다.

구성 표면 패치들이 시작하고 종료하는 파라미터 값을 노트(knot)라고 하며, 노트들의 비감소 시퀀스(non-decreasing sequence)를 노트 벡터라고 한다. B-스플라인 표면의 정의에는 파라미터 방정식의 각 파라미터에 대해 하나씩, 2개의 노트 벡터가 포함된다. 균일 B-스플라인 표면에서, 주어진 노트 벡터 내의 노트들의 각 쌍 사이의 차는 상수이다. 비균일 B-스플라인은 이러한 제한을 갖지 않는다. 유리(rational) B-스플라인 표면은 제어점들에 가중치가 할당되는 표면이다. 가중치는 추가적인 형상 제어를 제공하고, 모델 내의 샤프 크리스(sharp crease)의 도입을 허용하며, B-스플라인 표면이 2차 표면을 표현하는 것을 가능하게 한다. 비균일 유리 B-스플라인 표면(non-uniform rational B-spline surface)은 두문자어 NURBS 표면으로 지칭된다.

NURBS 제어 그리드의 정교화는, 하나 이상의 새로운 노트 값이 노트 벡터에 삽입되는, 노트 삽입이라고 하는 프로시져를 통해 달성된다. 노트 삽입은 표면을 변경하지 않으나, 설계자가 모델을 조작할 수 있는 보다 많은 제어점을 제공한다. NURBS 제어점들은 구조적으로 직사각 그리드 내에 있어야 하므로, 노트 삽입은 제어점들의 하나 이상의 전체 행이 제어 그리드에 추가되게 한다. 정교화 동작이 표면을 변경하지 않도록 하는, 이웃 제어점들의 일부와 함께 이들 제어점들의 새로운 행들에 대한 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 찾아낼 수 있다. 불행히도, 단순히 NURBS 표면들의 직사각 그리드 토폴로지를 만족시키기 위하여 각각의 원하는 새로운 제어점에 대해 제어점들의 전체 행을 추가하는 것은 표면을 모델링하는데 있어 복잡성을 크게 증가시킨다.

표면 정교화는 여러 용도를 가진 귀중한 작업이다. 첫째, 정교화는 모델에서 보다 많은 상세가 요구되는 표면 영역에 설계자가 추가적인 제어점들을 삽입하는 것을 허용한다. 예를 들어, NURBS를 이용하여 사람의 귀를 모델링하는 것이 뺨을 모델링하는 것보다 많은 제어점을 필요로 한다. 둘째, 제어 그리드가 정교화될 때마다, 제어 그리드 자체는 정의하고자 하는 NURBS 표면의 점점 더 양호한 근사치가 된다. 따라서, 반복적인 정교화를 수행함으로써, 제어 그리드는 렌더링에 적합한, 나름대로 정확한 표면에 대한 표현이 될 수 있다. 셋째, 노트 삽입은 NURBS를 포함하는 베지어 패치(Bezier patch)의 제어점들을 계산하는 데 사용될 수 있다. 넷째, 노트 삽입을 이용하여 NURBS 표면에 샤프 피쳐(sharp feature)가 추가될 수 있다. NURBS 표면들은 일반적으로 연속적인 C^{n - 1} 인데, 여기서 n은 표면의 차수이다. 그러나, r개의 동일 노트가 노트 벡터 내에 존재하는 경우, 표면은 그 노트 값에서 C^{n -r} 이다. 따라서, 큐빅 NURBS 표면 내의 트리플 노트는 C⁰ 크리스를 허용한다. 균일 B-스플라인 표면은 임의의 노트 삽입을 허용하지 않는데, 이는 단일 노트가 삽입되자마자 표면이 비균일 B-스플라인 표면이 되기 때문이다. (노트 삽입 후 균일하게 유지되는 경우라면) 균일 B-스플라인 표면에 대해 가능한 유일한 노트 삽입은 이웃 노트들의 각 쌍 사이의 중간쯤에 노트를 동시에 삽입하는 것인데, 이는 노트 더블링(knot doubling)이라고 하는 프로세스이다. 균일 B-스플라인은 2개 이상의 동일 노트를 지원할 수 없기 때문에, 균일 B-스플라인 표면들은 항상 연속적인 C^{n - 1} 이며, C⁰ 크리스를 부과하는 것은 가능하지 않다.

노트 삽입을 위한 여러 알고리즘이 존재한다. 오슬로 알고리즘(Oslo algorithm)은 소위 이산 B-스플라인들을 계산하여 정교화된 스플라인 공간에서 하위 공간으로의 B-스플라인 변환을 정의한다. 또 하나의 노트 삽입 방법은 B-스플라인 계수들과 함께 직접 동작하는 뵘 알고리즘(Boehm's algorithm)이다. 또한, 노트 삽입을 위한 개화 원리(blossoming principle)와 같은 수학적 통찰이 개발되어 왔다.

노트 삽입의 역동작인 노트 제거도 NURBS 상에 수행될 수 있다. 비교해 보자면, 노트 삽입은 표면을 수정하지 않는 반면, 노트 제거는 일반적으로 표면을 변경한다. 따라서, 노트 제거는 통상 근사화를 수반한다. 노트 제거를 하게 되는 하나의 동기는 데이터 축소이다. 문제는 오차 허용에 맞는 노트 수를 최소화한다는 것이다. 노트 제거의 또 하나의 응용은 형상 정형(shape fairing)이다. 노트를 제거함으로써 연속성 차수가 증가할 수 있다.

NURBS 표면에 대한 모든 제어점이 직사각 그리드 내에 구조적으로 배치되어야 하는 요건은 심각한 단점이다. 이것이 문제가 되는 이유가 적어도 세 가지 있다. 첫째, 임의의 토폴로지의 표면들은 단지 모델을 개별 NURBS 패치들의 집합으 로 분할함으로써만이 NURBS 표면들을 이용하여 표현될 수 있다는 것이다. 이어서, 인접 패치들은 기하 연속성 조건들을 이용하여 명시적으로 결합된다. 도 2는 7개의 NURBS 표면을 포함하는 손 모델을 나타낸다. 작은 직사각 영역은 도 3에서 이웃 NURBS 표면들이 정확하게 매칭되지 않는 홀을 나타내도록 확대된다. 모델이 변형될 때마다 커진 갭을 잠재적으로 수리해야 하는 설계자로서는 이러한 갭이 존재한다는 것이 부담이 된다.

이러한 제한이 심각한 둘째 이유는 일반적으로 이러한 제한은 다수의 NURBS 제어점이 토폴로지 제한을 만족시키는 것 외의 목적에는 도움이 되지 않는다는 것을 의미하기 때문이다. 이들 제어점은 중요한 기하학적 정보를 갖고 있지 않다. 여분의 제어점들은 설계자에게는 심각한 부담인데, 이는 이들이 설계자에게 보다 많은 데이터를 처리할 것을 요구할 뿐만 아니라 표면에 원하지 않는 파동을 도입할 수 있기 때문이다. 도 1은 NURBS 머리 모델을 나타낸다. 설계자는, 도 1과 같이 NURBS 제어점들을 조정하면서 원하지 않는 파동을 제거하려고 시도함에 있어서, 모델에 많은 시간을 허비할 수 있다. 보다 어두운 NURBS 제어점들은 여분이며(이에 대하여는 후술함), 설계자가 원하는 제어점들을 포함시킨 결과로서 추가되었는데, 이들은 제어점들의 추가 행들을 발생시킨다.

직사각 그리드 제한이 문제가 되는 세 번째 이유는 NURBS 제어 그리드에 단일 제어점을 삽입하는 것이 가능하지 않고, 오히려 단일 노트 삽입이 수행될 때마다 제어점들의 전체 행이 추가되어야 한다는 점이다. 이것은 NURBS 표면의 진정한 국부 정교화가 가능하지 않다는 것을 의미하는데, 이는 단일 제어점의 삽입이 전체 행의 제어 그리드로의 삽입을 요구하기 때문이다.

NURBS와 연관된 문제들을 해결하는 복잡성을 더 설명하기 위하여, 이제 이러한 문제를 해결하려는 하나의 시도에 대해 설명하기로 한다. 2001년 8월에 알마즈 바케노브는 브리검 영 대학에서 "T-스플라인: T-접합을 가진 텐서 곱 B-스플라인 표면"이라는 제목의 마스터 이론을 완성했다. 후술되는 본 발명의 발명자인 토마스 더블유 세데버그는 알마즈 바케노브 이론에 대한 조언자였다. 바케노브 이론은 NURBS와 관련된 문제를 해결하려는 초기의 시도이다. 실제로, 토마스 더블유 세데버그는 1999년에서 2003년까지 이 문제와 씨름하였다. 따라서, 우리는 T-스플라인이라고 하는 2개의 상당히 다른 개념이 존재하는 다소 혼란스러운 상황에 있게 되는데, 이러한 개념은 후술되며, T-스플라인 개념은 바케노브 이론에 설명되어 있다.

구체적으로, 바케노브 이론에서 제공되는 T-스플라인의 개념은 그것을 거의 쓸모없게 만드는 제한을 포함하고 있다. 보다 구체적으로, 바케노브 이론에서 설명하고 있는 T-스플라인은, 많은 경우에 해답이 존재하지 않는 거대한 선형 방정식들의 시스템에 대한 해답 없이는, NURBS와 관련된 문제를 해결할 수 없다. 이러한 이유 때문에, 바케노브 이론에 포함된 T-스플라인의 개념은 거의 실질직인 가치가 없다.

직사각 그리드 내에 모든 제어점이 존재해야 한다는 NURBS의 구조적인 제한이 없는 여러 표면 공식이 제안되어 왔다. 본 발명과 가장 관련된 임의의 토폴로지(arbitrary-topology) 표면 공식을 하위 분할 표면이라 한다. 캣뮬-클락 하위 분할 표면(Catmull-Clock subdivision surface)은 사실 B-스플라인 표면의 일반화이다. 캣뮬-클락 표면의 제어점들이 구조적으로 직사각 그리드 내에 위치할 때, 표면은 바이큐빅 균일 B-스플라인 표면으로 축퇴한다(degenerate). 마찬가지로, 두-사빈 하위 분할 표면(Doo-Sabin subdivision surface)은 임의 토폴로지의 제어 그리드를 제어하기 위해 쌍 이차(biquadratic) 균일 B-스플라인 표면을 일반화한다.

캣뮬-클락 표면의 정교화는 사변이 아닌 면들(non-four-sided faces)과 무가의 네 정점(non-valence-four vertices)을 처리하기 위한 특수 규칙들이 도입되는 균일 바이큐빅 B-스플라인 표면에 대한 노트 더블링의 개념에 기초한다. 각각의 정교화 단계에서 면수는 4배로 증가한다. 반복되는 정규화는 제어 그리드를 한계 표면에 거의 근접하게 한다.

캣뮬-클락 표면의 문제는 이 표면이 B-스플라인 표면에 기초하므로 샤프한 C⁰ 피쳐를 표현할 수 없다는 점이다. 그러나, 피쳐들의 이웃에서 정교화 규칙을 변경함으로써 하위 분할 표면에 샤프한 피쳐, 에지, 크리스 및 코너를 정의하는 몇몇 방법이 제안되었다.

또 하나의 보다 심각한 문제는 캣뮬-클락 표면의 국부적 정교화가 가능하지 않다는 것이다. 실제로, NURBS 표면에 대한 가장 간단한 정교화 동작이 제어점들의 단일 행을 삽입하는 것인 경우, 글로벌 정교화 동작만이 캣뮬-클락 표면에 대해 정의되고, 제어점들의 수는 각각의 정교화 단계에서 거의 4배로 증가한다.

컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면을 생성하기 위한 시스템 및 방법이 제공된다. 본 방법의 하나의 동작은 실질적으로 직사각인 구조를 가진 제어 메시를 생성하는 것이다. 추가 동작은 제어 메시로부터 각 제어점에 대한 텐서 곱 B-스플라인 기초 함수를 추론하는 것이다. 이어서, 기초 함수 및 제어 메시에 기초하여 표면을 계산할 수 있다.

본 발명의 추가적인 특징 및 이점은 본 발명의 특징들을 예시하는 첨부 도면과 함께 취해지는 상세한 설명으로부터 명백할 것이다.

도 1은 사람 머리의 NURBS 모델의 사시도이다.

도 2는 사람 손의 NURBS 모델이다.

도 3은 도 2의 손의 NURBS 모델에서 이웃 표면들이 정확하게 매칭되지 않는 홀을 나타내는 도면이다.

도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 T-스플라인을 이용하여 수정된 도 2의 NURBS 모델 사람 손의 두 표면을 나타내는 도면이다.

도 5는 NURBS 표면으로 모델링된 머리 및 본 발명의 일 실시예의 T-스플라인 표면으로 모델링된 머리를 나타내는 도면이다.

도 6은 T-NURCC 국부 정교화를 이용하여 정교화된 캣뮬-클락 메시의 일 실시예를 나타내는 도면이다.

도 7은 컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면을 정의하는 방법의 일 실시 예를 나타내는 흐름도이다.

도 8은 노트 벡터를 가진 큐빅 B-스플라인 곡선의 예를 나타내는 도면이다.

도 9a 및 9b는 노트 인터벌과 함께 표시된 NURBS 제어 메시의 영역을 나타내는 도면이다.

도 10은 (s,t) 파라미터 공간에서 T-메시의 일부의 프리-이미지의 영역의 일 실시예를 나타내는 도면이다.

도 11은 기초 함수 B_i(s,t)에 대한 노트 라인을 나타내는 도면이다.

도 12는 본 발명의 일 실시예에서의 B₁(s,t)의 샘플 정교화를 나타내는 도면이다.

도 13은 T-스플라인 공간들의 중첩 시퀀스의 일 실시예를 나타내는 도면이다.

도 14a-14f는 본 발명의 일 실시예의 국부 정교화 예를 나타내는 도면이다.

도 15는 본 발명의 일 실시예의 T-메시 내의 다트의 삽입을 나타내는 도면이다.

도 16은 본 발명의 일 실시예의 반 표준 T-스플라인을 나타내는 도면이다.

도 17은 컴퓨팅 환경에서 메시들을 제어하기 위해 국부 정교화를 제공하는 바이큐빅 스플라인 표면 정의 방법의 일 실시예를 나타내는 흐름도이다.

도 18은 본 발명의 일 실시예에서 T-메시의 프리-이미지 내의 베지어 도메인을 나타내는 도면이다.

도 19a 및 19b는 국부적 노트 삽입을 이용한 베지어 제어점들의 생성을 나타내는 도면이다.

도 20은 2개의 B-스플라인의 병합을 나타내는 도면이다.

도 21은 큐빅 NURCC를 이용한 2개의 B-스플라인의 병합 및 이러한 병합에 의해 발생하는 문제를 나타내는 도면이다.

도 22는 본 발명의 일 실시예에서 T-스플라인을 이용한 두 B-스플라인의 병합을 나타내는 도면이다.

도 23은 본 발명의 일 실시예에서 B-스플라인, C⁰ T-스플라인 및 C¹ T-스플라인을 이용한 두 표면의 병합의 결과를 나타내는 도면이다.

도 24는 4가 제어점에 대한 T-스플라인을 이용한 국부적 정교화를 나타내는 도면이다.

도 25는 n가 제어점에 대한 T-스플라인을 이용한 국부 정교화를 나타내는 도면이다.

도 26은 파라미터 ρ의 영향을 나타내는 T-NURCC를 도시하며, 여기서 좌상의 제어 그리드의 한계 표면은 ρ=0.1 이고, 우상은 ρ=0.5이며, 우하는 ρ=0.9이다.

이제, 도면들에 도시된 실시예를 참조할 것이고, 본 명세서에서 이를 설명하기 위해 특정 언어가 이용될 것이다. 그럼에도, 본 발명의 범위에 대한 제한을 의도하지 않는다는 것을 이해해야 한다. 본 기술분야에 속한 당업자가 이룰 수 있는 본 명세서에 설명되는 본 발명의 특징에 대한 변경 및 추가적인 수정, 그리고 본 명세서에 설명되는 바와 같은 본 발명의 원리의 추가 응용은 본 발명의 범위 내에 있는 것으로 간주되어야 한다.

본 발명의 시스템 및 방법은 T-스플라인이라고 하는 비균일 B-스플라인 표면(NURBS)의 일반화 및 개량을 제공한다. NURBS 표면의 주요 문제는 NURBS 제어점들이 구조적으로 직사각 그리드 내에 위치해야 하므로 NURBS 제어점들의 대부분이 직사각 그리드 토폴로지를 만족시키는 것 외의 목적을 제공하지 못하는 경우가 종종 있다는 것이다. 우리는 이러한 제어점들을 여분이라고 지칭하는데, 이는 이들이 중요한 기하 정보를 포함하지 않기 때문이다. T-스플라인은 여분의 제어점들의 수를 최소화할 수 있는 NURBS 표면의 일반화이다. 또한, T-스플라인은 제어 메시에 제어점을 삽입하여 바이큐빅 스플라인 표면이 기하학적으로 변경되지 않게 할 수 있다.

T-메시(또는 T-스플라인 제어 메시)와 NURBS 제어 메시의 한 가지 차이는 T-스플라인이 제어점들의 행이 종료되는 것을 허용한다는 것이다. 따라서, 행은 많은 점 또는 단 하나의 점을 포함할 수 있다. 부분 행 내의 최종 제어점은 T-접합이라 한다. T-접합은 도 13b 및 13c에서 도 13a 및 13d의 직사각 그리드와 비교하여 보여질 수 있다. 도 5b는 T-스플라인을 이용할 때 도 5a의 NURBS 머리 모델 내의 여분의 제어점들이 제거되거나 회피되는 T-스플라인의 다른 예를 나타낸다. T-스플라인 표면 모델은 기하학적으로 NURBS 모델과 동등하지만, T-스플라인 표현은 종종 동등한 NURBS 모델보다 훨씬 적은 제어점들을 이용하여 이루어질 수 있다.

T-스플라인 제어 그리드는 T-접합을 허용하며, 따라서 제어점들의 라인들은 NURBS와 같이 전체 제어 그리드를 트래버스할 필요가 없다. 즉, T-접합은 T-스플라인이 국부적으로 정교화될 수 있는 것을 허용하며, 제어점들은 제어점들의 전체 행 또는 열을 전파하지 않고도 제어 그리드 내에 삽입될 수 있다.

T-스플라인은 국부 정교화 및 상이한 노트 벡터를 가진 여러 B-스플라인 표면의 단일 갭-프리 모델로의 병합과 같은 일관된 프레임워크에서의 많은 가치 있는 동작을 지원한다. 이 상세한 설명은 다수의 노트가 없을 경우 C²인 3차 T-스플라인에 집중한다. 그러나, T-스플라인의 이용은 임의의 차수로 확장된다. T-NURCC(Non-Uniform Rational Catmull-Clark Surfaces with T-junctions)는 T-스플라인 및 캣뮬-클락 표면들 양자의 수퍼 세트이다. 따라서, T-NURCC도 본 명세서에서 설명된다. 또한, T-NURCC에 대한 모델링 프로그램이 임의의 NURBS 또는 캣뮬-클락 모델을 특수한 사례로서 처리할 수 있다.

T-NURCC는 캣뮬-클락 타입의 제어 그리드의 진정한 국부 정교화를 가능하게 한다. 이것은 개별 제어점들이 추가 제어를 제공하기 위하여 또는 보다 평탄한 모자이크를 생성하기 위하여 필요한 경우에만 삽입될 수 있으며, 이러한 삽입은 표면 또는 한계 표면의 형상을 변경하지 않는다는 것을 의미한다. T-NURCC는 정적 정교화 규칙을 이용하며, 특이점(extraordinary point) 및 피쳐(feature)에서 외에는 C² 이다. 또한, 상세한 설명은 T-NURCC(T-접합을 가진 비균일 유리 캣뮬-클락 표면)라고 하는 국부적으로 정교화 가능한 세분 표면을 제공한다. T-NURCC에서, 특이점 에 인접한 면들은 정교화를 전파하지 않고 정교화될 수 있으며, 크게 곡면화된 영역의 면들도 국부적으로 정교화될 수 있다. T-스플라인에서와 같이, 개별 제어점들도 T-NURCC에 삽입되어 상세에 대한 보다 미세한 제어를 제공할 수 있다. T-NURCC는 캣뮬-클락 표면 및 NURBS 양자의 일반화이다.

도 6은 T-NURCC 국부 정교화가 어떻게 T-NURCC 모자이크가 글로벌하게 정교화된 캣뮬-클락 표면보다 훨씬 더 경제적인 것을 가능하게 하는지를 나타낸다. 도 6의 4면 형상의 T-NURCC 버젼은 2496개의 면을 갖는다. 4면 형상에 대한 글로벌하게 정교화된 캣뮬-클락 표면은 동일한 정확도를 달성하기 위해 393,216개의 면이 필요하다.

다시 도 2를 참조하면, 이 도면은 7개의 B-스플라인 표면을 포함하는 손 모델을 나타낸다. 작은 직사각 영역은 도 3에서 이웃하는 B-스플라인 표면들이 정확하게 매칭되지 않는 홀을 확대하기 위해 제거된다. 이러한 갭의 존재는 모델이 변형될 때마다 넓어진 갭을 수리해야 하는 설계자에게 부담을 준다. 도 3은 NURBS를 이용하여 생성된 갭을 나타내고, 도 4는 갭-프리 T-스플라인으로 변환되어 수리의 필요성이 없어진 후의 모델을 나타낸다. 따라서, T-스플라인 및 T-NURCC는 여러 NURBS 표면을 포함하는 모델들에게 캣뮬-클락 표면들이 균일 큐빅 B-스플라인 기반 모델들로 확장되는 것과 동일한 기밀성을 제공할 수 있다. T-스플라인은 T-접합 제어점의 존재를 허용하는 NURBS 표면의 개량이다.

도 7은 본 발명의 기본 특성을 나타내며 그 개요를 제공한다. 컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면을 정의하는 방법이 제공된다. 본 방법의 하나의 동 작은 블록(150)에서와 같이 실질적으로 직사각인 구조를 가진 제어 메시를 생성하는 것이다. 또 하나의 동작은 블록(152)에서와 같이 제어 메시로부터 각각의 제어점에 대한 텐서 곱 B-스플라인 기초 함수를 추론하는 것이다. 추가 동작은 블록(154)에서와 같이 기초 함수 및 제어 메시에 기초하여 표면을 계산하는 것이다. 기초 함수는 또한 하나의 비 계층적 규칙 세트를 이용하여 각각의 제어점에 대해 결정될 수 있다.

제어 메시의 정교화는 제어 메시에 의해 정의되는 표면을 변경하지 않고 제어 메시에 제어점을 추가하는 프로세스이다. 설명되는 바와 같이, NURBS 표면에 대한 가장 간단한 형태의 정교화는 제어 그리드에 대한 제어점들의 전체 행의 추가를 요구한다. 대조적으로, 본 발명은 설계자가 단일 제어점으로 T-스플라인 제어 그리드를 정교화하는 것을 가능하게 한다. 간단히 말해서, 표면은 제어점의 추가 전에 존재했던 것처럼 변경되지 않는다. NURBS와 같은 이전에 공지된 표면들은 단일의 새로운 제어점의 추가를 지원하지 않는다. 이러한 문제는 후술한다. 본 발명은 이러한 점에 이르기까지 일반적으로 설명되었으며, 이제 본 발명의 보다 기술적인 설명이 뒤따른다.

노트 인터벌(Knot Intervals)

노트 인터벌은 노트 정보를 전달할 목적으로 T-스플라인 제어 그리드의 각각의 에지에 할당되는 음이 아닌 수이다. 도 8에 도시된 큐빅 B-스플라인 곡선에서, 제어 다각형의 각각의 에지에 표시된 d_i 값들은 노트 인터벌이다. 각각의 노트 인터벌은 노트 벡터에서의 2개의 연속적인 노트 사이의 차이이다. 비주기적 곡선에 대해, 종단 조건 노트 인터벌은 제어 다각형의 각각의 종단에 인접한 "팬텀(phantom)" 에지에 할당된다(이 사례에서 d_-1 및 d₅). 제어 다각형의 첫 번째 및 마지막 에지를 제외한 모든 에지에 대해, 각 에지의 노트 인터벌은 에지가 맵핑되는 곡선 세그먼트의 파라미터 길이이다. 곡선에 대한 노트 인터벌을 변경하지 않고 노트 벡터의 노트들에 임의의 상수가 추가될 수 있다. 따라서, 노트 인터벌이 주어지고, 노트 벡터가 추론되기를 원하는 경우, 노트 원점이 선택될 수 있다.

T-스플라인 및 T-NURCC 제어 그리드의 에지들도 노트 인터벌과 함께 표시된다. T-NURCC 제어 메시는 직사각 그리드가 아니므로, 노트 인터벌은 국부 노트 좌표 시스템이 표면 상에 부과되는 것을 가능하게 한다. 도 9는 NURCC 제어 그리드의 규칙적인 서브 그리드를 나타낸다. 우리는 이 영역에 국부 노트 좌표 시스템을 부과하며, 이와 함께 다음과 같이 제어점들에 대한 기초 함수를 결정한다. 먼저, (임의적으로) P ₀₀ 에 (d₀,e₀)의 국부 노트 좌표를 할당한다. 그러면, 이러한 규칙적인 서브 그리드에 대한 국부 노트 벡터는

및

인데, 여기서

이고,

이다. 따라서, 이러한 국부 노트 좌표 시스템에 관한 제어점 P _ij의 극 표시는

이며, 이러한 규칙적인 서브 그리드에 의해 정의되는 표면은 다음과 같다.

여기서,

는 {d}에 대한 큐빅 B-스플라인 기초 함수이고,

는 {e}에 대한 함수이다. 위 첨자 3은 차(order)가 아니라 차수(degree)를 표시한다.

T-스플라인(T- Splines )

T-스플라인 표면에 대한 제어 그리드는 T-메시라고 한다. T-메시가 직사각 그리드를 형성하는 경우, T-스플라인은 B-스플라인 표면으로 축퇴한다. T-메시는 기본적으로 T-접합을 허용하는 직사각 그리드이다. T-메시 내의 각 에지의 프리-이미지(pre-image)는 상수 s의 선분(s-에지라고 함) 또는 상수 t의 선분(t-에지라고 함)이다. T-접합은 하나의 s-에지 및 2개의 t-에지에 의해 또는 하나의 t-에지 및 2개의 s-에지에 의해 공유되는 정점이다.

노트 인터벌이 T-메시 내의 각 에지에 할당된다. 도 10은 (s,t) 파라미터 공간에서 T-메시의 일부의 프리-이미지를 나타내는데, 여기서 d_i 및 e_i 는 노트 인터벌을 나타낸다. 노트 인터벌은 임의 면의 한 변을 따르는 모든 노트 인터벌의 합이 반대 변 상의 노트 인터벌들의 합과 동일해야 한다는 관계에 의해 제한된다. 예를 들어, 도 10의 면 F₁ 상에서, e₃+e₄=e₆+e₇ 이고, 면 F₂ 상에서 d₆+d₇=d₉ 이다.

본 발명의 발명자는 T-메시 상의 노트 인터벌로부터 국부 노트 좌표 시스템을 추론하는 것이 가능하다는 것을 깨달았다. 노트 좌표 시스템을 부과하기 위하여, 파라미터 도메인에 대한 원점 (s,t)=(0,0)으로 기능하는 프리-이미지를 가진 제어점이 먼저 선택될 수 있다. 예를 들어, 도 10에서 (s₀,t₀)는 노트 원점으로 지정될 수 있다.

노트 원점이 선택되면, T-메시 토폴로지 내의 각각의 수직 에지에 s 노트 값이 할당되고, T-메시 토폴로지 내의 각각의 수평 에지에 t 노트 값이 할당될 수 있다. 도 10에서, 이러한 노트 값들은 s_i 및 t_i로 표시된다. 노트 원점의 선택에 기초하여, 우리는 s₀=t₀=0, s₁=d₁, s_{2 =}d₁+d₂, s₃=d₁+d₂+d_{3 ,} t₁=e₁, t₂=e₁+e₂ 등을 갖는다. 또한, 각각의 제어점은 노트 좌표를 갖는다. 예를 들어, P ₁에 대한 노트 좌표는 (s₂,t₂+e₆)이고, P ₂에 대한 노트 좌표는 (s₅,t₂)이며, P ₃에 대한 노트 좌표는 (s₅,t₂+e₆)이다.

T-메시에 대한 하나의 추가적인 규칙은 한 면의 하나의 에지 상의 T-접합이 그 면의 반대 에지 상의 T-접합에 적법하게 연결될 수 있는 경우에(이에 따라 그 면이 2개의 면으로 분할될 수 있는 경우에) 그 면은 T-메시에 포함되어야 한다는 것이다. 적법하다는 것은 각 면의 대향 변들 상의 노트 벡터들의 합이 항상 동일해야 한다는 것을 의미한다. 따라서, 수평선은 e₃=e₆ 이고, 따라서 e₄=e₇이기도 한 경우에, 그리고 그러한 경우에만 면 F₁을 분할하는 것이 필요하다.

노트 좌표 시스템은 T-스플라인 표면에 대한 명시적인 공식을 표현하는 데 사용된다.

여기서, P _i=(x_i,y_i,z_i,w_i)는 w_i의 가중치를 갖고 (x_i/w_i,y_i/w_i,z_i/w_i)의 데카르트 좌표를 갖는 P⁴ 내의 제어점들이다. 또한, 표면 상의 점들의 데카르트 좌표는 다음과 같이 주어진다.

기초 함수 B_i(s,t)는 다음과 같이 주어진다.

B_i(s,t) = N[s_i0,s_i1,s_i2,s_i3,s_i4](s)N[t_i0,t_i1,t_i2,t_i3,t_i4](t)

여기서, N[s_i0,s_i1,s_i2,s_i3,s_i4](s)는 다음의 노트 벡터와 연관된 큐빅 B-스플라인 기초 함수이다.

s _i = [s_i0,s_i1,s_i2,s_i3,s_i4]

그리고, N[t_i0,t_i1,t_i2,t_i3,t_i4](t)는 도 11에 도시된 바와 같이 다음의 노트 벡터와 연관된다.

t _i = [t_i0,t_i1,t_i2,t_i3,t_i4]

설계자는 가중치 w_i를 자유롭게 조정하여 유리 B-스플라인에서와 같이 추가적인 형상 제어를 이룰 수 있다. 후술하는 바와 같이, 가중치는 또한 본 발명의 새로운 국부 정교화 알고리즘에서 중요한 역할을 한다. 정교화 전에 가중치가 모두 1인 T-스플라인은 정교화 후에 1이 아닌 소정의 가중치로 종료될 수 있으나,

이다.

T-스플라인 방정식은 텐서 곱 유리 B-스플라인 표면에 대한 방정식과 유사하다. T-스플라인 방정식과 B-스플라인 방정식의 한 가지 차이는 각각의 기초 함수 B_i(s,t)에 대해 노트 벡터들 s _i 및 t _i가 어떻게 결정되는가에 있다. 노트 벡터들 s_i 및 t _i는 P _i의 T-메시 이웃으로부터 추론된다. 노트 벡터가 추론되는 규칙에 대한 참조가 이루어지므로, 공식적으로 다음과 같다.

규칙 1. P _i의 기초 함수에 대한 노트 벡터들 s _i 및 t _i는 다음과 같이 결정된다. (s_i2,t_i2)는 P _i의 노트 좌표이다. 파라미터 공간 내의 한 방사선 R(α)=(s_i2+ α,t_i2)를 고려하자. 그러면, s_i3 및 s_i4는 이 방사선과 교차하는 최초 2개의 s-에지의 s 좌표이다(초기치 (s_i2,t_i2)를 포함하지 않음). s-에지에 의해, 우리는 T-메시의 프리-이미지 내의 상수 s의 수직 선분을 의미한다. s _i 및 t _i 내의 다른 노트들도 동일한 방식으로 발견된다.

규칙 1은 소수의 예에 의해 설명될 수 있다. 도 10의 P ₁에 대한 노트 벡터는 s ₁=[s₀,s₁,s₂,s₃,s₄] 및 t ₁=[t₁,t₂,t₂+e₆,t₄,t₅]이다. P ₂에 대해서는 s ₂=[s₃,s₄,s₅,s₆,s₇] 및 t ₂=[t₀,t₁,t₂,t₂+e₆,t₄]이다. P ₃에 대해서는 s ₃=[s₃,s₄,s₅,s₇,s₈] 및 t ₃=[t₁,t₂,t₂+e₆,t₄,t₅]이다. 이들 노트 벡터가 각각의 기초 함수에 대해 결정되면, 전술한 T-스플라인 방정식을 이용하여 T-스플라인이 정의된다.

T-스플라인 국부 정교화

이제, T-스플라인에 제어점을 삽입하기 위한 본 발명의 동작들의 일 실시예의 개요가 설명된다. 본 발명의 다른 실시예들도 존재하며, 본 발명은 계산적으로 동일한 다른 형태로도 구현될 수 있음도 이해해야 한다. 표면 및 그와 관련된 제어 메시는 일반적으로 데카르트 좌표에서 계산된다. 그러나, 극 좌표, 곡선 좌표 또는 많은 다른 공지 좌표 시스템 중 하나와 같은 다른 좌표 시스템이 이용될 수 있다. 기초 함수 정교화는 이러한 알고리즘에서 중요한 역할을 하며 먼저 검토된다. 이어서, T-스플라인 공간의 개념이 도입된다. 이 개념은 국부 정교화 알고리 즘에 이용된다.

기초 함수 정교화

s=[s₀,s₁,s₂,s₃,s₄]가 노트 벡터이고,

가

의 서브 시퀀스 s를 가진 m개의 노트를 가진 노트 벡터인 경우, N[s₀,s₁,s₂,s₃,s₄](s)는

에서 길이 5의 서브 스트링에 대해 정의되는 m-4개의 B-스플라인 기초 함수의 선형 조합으로 표현될 수 있다. 우리는 이제 노트 사례 m=6에 대한 모든 기초 함수 정교화 방정식을 제공한다.

를 생성하기 위하여 단일 노트가 s에 삽입되는 사례가 있다. m>6에 대한 방정식은 이들 방정식의 반복 적용에 의해 발견될 수 있다.

=[s₀,k,s₁,s₂,s₃,s₄]인 경우에는 다음과 같다.

N(s)=(k-s₀)/(s₃-s₀)N[s₀,k,s₁,s₂,s₃](s)+N[k,s₁,s₂,s₃,s₄](s)

=[s₀,s₁,k,s₂,s₃,s₄]인 경우에는 다음과 같다.

N(s)=(k-s₀)/(s₃-s₀)N[s₀,s₁,k,s₂,s₃](s)+(s₄-k)/(s₄-s₁)N[s₁,k,s₂,s₃,s₄](s)

=[s₀,s₁,s₂,k,s₃,s₄]인 경우에는 다음과 같다.

N(s)=(k-s₀)/(s₃-s₀)N[s₀,s₁,s₂,k,s₃](s)+(s₄-k)/(s₄-s₁)N[s₁,s₂,k,s₃,s₄](s)

=[s₀,s₁,s₂,s₃,k,s₄]인 경우에는 다음과 같다.

N(s)=N[s₀,s₁,s₂,s₃,k](s)+(s₄-k)/(s₄-s₁)N[s₁,s₂,s₃,k,s₄](s)

k≤s₀ 또는 k≥s₄ 인 경우에는 N(s)은 변하지 않는다.

T-스플라인 기초 함수 B(s,t)는 s 또는 t에서 노트 삽입을 겪어 초기 함수로 합산되는 2개의 축소된 기초 함수로 분할될 수 있다. 이러한 결과적인 축소 기초 함수로의 추가적인 삽입은 원시 함수로 합산되는 한 세트의 축소 기초 함수를 생성한다.

예를 들어, 도 12a는 T-스플라인 기초 함수 B₁에 대한 노트 벡터를 나타내고, 도 12b는 도 12a의 노트 벡터의 정교화를 나타낸다. 수학식(5) 내지 (8)의 적절한 적용에 의해 다음을 얻을 수 있다.

T-스플라인 공간

T-스플라인 공간은 동일한 T-메시 토폴로지, 노트 인터벌 및 노트 좌표 시스템을 갖는 모든 T-스플라인의 세트로서 정의될 수 있다. 따라서, T-스플라인 공간 은 도 10에서와 같이 T-메시의 프리-이미지의 다이어그램에 의해 표현될 수 있다. 주어진 T-스플라인 공간 내의 모든 T-스플라인은 동일한 프리-이미지를 가지므로, T-스플라인 공간의 프리-이미지를 설명하는 것이 적절하다. T-스플라인 공간 S₁ 은 S₁ 내의 T-스플라인의 국부 정교화가 S₂ 내의 T-스플라인을 생성하는 경우 S₂ 의 하위 공간으로 기술될 수 있다(S₂⊃S₁)(국부 정교화에 대한 단락에서 후술함). T₁ 이 T-스플라인인 경우, T₁∈S₁ 은 T₁ 이 S₁ 에 의해 지정되는 토폴로지 및 노트 인터벌을 갖는 제어 그리드를 가진다는 것을 의미한다. 도 13은 T-스플라인 공간들의 중첩 시퀀스, 즉 S₁⊂S₂⊂S₃⊂...⊂S_n 을 나타낸다. T-스플라인이 P(s,t)∈S₁ 으로 주어질 때, P(s,t)에 대한 제어점들의 열 벡터를 P로 표시한다. 제2 T-스플라인이

∈S₂ 로 주어져, P(s,t)≡

(s,t)일 때,

(s,t)에 대한 제어점들의 열 벡터를

로 표시한다. P를

로 맵핑하는 고유 선형 변환이 존재한다. 우리는 선형 변환을 다음과 같이 표시할 수 있다.

행렬 M_{1 ,2} 는 다음과 같이 발견되다. P(s,t)는 수학식(1)에 의해 주어지며,

수학식(9)에서 설명된 바와 같이, 각각의 B_i(s,t)는

의 선형 조합으로서 나타낼 수 있다.

정교화된 표면은 초기 표면과 등가인 것이, 즉

이 요구된다. 이러한 요건은

인 경우에 만족된다. 따라서, 수학식(10)의 M_{1 , 2} 의 행 j 및 열 i의 요소는 C_i ^j 이다. 이러한 방식으로, S_i⊂S_j 를 가정할 때 S_i 내의 임의의 T-스플라인을 S_j 내의 등가 T-스플라인으로 맵핑하는 변환 행렬 M_{i ,j}를 발견할 수 있다.

T-스플라인 하위 공간 S_i⊂S_j 의 정의는 S_j 의 프리-이미지가 S_i 의 프리-이미지가 갖는 제어점들 모두를 갖는다는 것보다 많은 것을 의미하는데, 이는 종종 다른 제어점들을 추가하지 않고는 기존 T-메시에 주어진 제어점을 추가하는 것도 가 능하지 않기 때문이다. 국부 정교화에 대한 단락은 그 이유에 대한 통찰을 제공하며, T-스플라인에 대한 우리의 국부 정교화 알고리즘을 제공한다. 이것은 물론 주어진 T-스플라인 공간의 유효 상위 공간을 계산할 수 있게 한다.

국부 정교화 방법

T-스플라인 국부 정교화는 T-스플라인 표면의 형상을 변경하지 않고 T-메시에 하나 이상의 제어점을 삽입하는 것을 의미한다. 이러한 프로시져는 국부 노트 삽입이라고도 할 수 있는데, 이는 T-메시에 제어점을 추가하는 것은 노트를 이웃 기초 함수에 삽입함으로써 달성되기 때문이다.

본 정교화 알고리즘의 실시예는 2개의 단계, 즉 토폴로지 단계 및 기하학 단계를 갖는다. 토폴로지 단계는 (존재할 경우) 어떠한 제어점들이 요구된 제어점들에 더하여 삽입되어야 하는지를 식별한다. 모든 요구된 새로운 제어점이 식별된 경우, 정교화된 T-메시에 대한 데카르트 좌표 및 가중치가 T-스플라인 공간에 대한 단락에서 제공되는 선형 변환을 이용하여 계산된다. 이제 알고리즘의 토폴로지 단계를 설명한다.

이 설명을 이해하는 데 중요한 개념은 T-스플라인에서 기초 함수 및 T-메시가 어떻게 밀접하게 결합되는지를 기억하는 것이며, 모든 제어점에 대해 대응 기초 함수가 존재하며, 규칙 1에 의해 각각의 기초 함수의 노트 벡터들이 정의된다. 본 발명에서, 기초 함수는 T-메시로부터 일시적으로 분리된다. 이것은 계산 방법 동안 규칙 1을 위반하는 기초 함수들의 존재가 허용되며 기초 함수가 첨부되지 않는 제어점들이 일시적으로 존재할 수 있다는 것을 의미한다.

우리의 설명은 정교화 알고리즘의 진행 동안 발생할 수 있는 3개의 가능한 위반을 구별한다.

위반 1. 기초 함수가 현재의 T-메시에 대한 규칙 1에 의해 지시되는 노트를 누락하고 있다.

위반 2. 기초 함수가 현재의 T-메시에 대한 규칙 1에 의해 지시되지 않은 노트를 갖고 있다.

위반 3. 제어점이 그와 연관된 기초 함수를 갖지 않는다.

위반이 존재하지 않는 경우, T-스플라인은 유효하다. 위반이 존재하는 경우, 알고리즘은 위반이 존재하지 않을 때까지 위반을 하나씩 해결한다. 그 후, 유효 상위 공간이 발견된다.

우리의 국부 정교화 알고리즘의 토폴로지 단계는 다음의 단계들로 구성된다.

1. 모든 원하는 제어점을 T-메시에 삽입한다.

2. 임의의 기초 함수가 위반 1을 범하는 경우, 그 기초 함수에 필요한 노트 삽입을 행한다.

3. 임의의 기초 함수가 위반 2를 범하는 경우, T-메시에 적절한 제어점을 추가한다.

4. 더 이상의 위반이 존재하지 않을 때까지 단계 2 및 3을 반복한다. 위반 1 및 2의 모든 사례를 해결하면 위반 3의 모든 사례가 자동으로 해결된다.

우리는 일례와 함께 본 방법을 설명한다. 도 14a는 하나의 제어점 P₂ 을 삽입하기를 원하는 초기 T 메시를 나타낸다. 도 14a의 T 메시는 유효하므로, 위반이 존재하지 않는다. 그러나, 기초 함수들의 어느 것도 변경하지 않고 단순히 P₂ 를 T 메시에 삽입하는 경우(도 14b), 여러 위반이 발생한다. P₂ 는 노트 좌표 (s₃,t₂)를 가지므로, 4개의 기초 함수가 위반 1을 범하게 된다. 구체적으로, 이들은 (s₁,t₂), (s₂,t₂), (s₄,t₂) 및 (s₅,t₂)에 중심을 갖는다. 이러한 위반을 해결하기 위하여, 기초 함수 정교화에 대한 단락에서 설명하는 바와 같이 기초 함수 내에 s₃에 노트를 삽입해야 한다. (s₂,t₂)에 중심을 가진 기초 함수는 N[s₀,s₁,s₂,s₄,s₅](s)N[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄](t)이다. 이 기초 함수의 s 노트 벡터에 노트 s=s₃ 를 삽입하면 기초 함수는 수학식(7)에서 주어지는 바와 같은 2개의 축소된 기초 함수로 분할된다.

(s₃-s₀)/(s₄-s₀)N[s₀,s₁,s₂,s₃,s₄](s)N[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄](t)(도 14c); 및

(s₄-s₃)/(s₄-s₁)N[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅](s)N[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄](t)(도 14d)

도 14c의 기초 함수 (s₃-s₀)/(s₄-s₀)N[s₀,s₁,s₂,s₃,s₄](s)N[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄](t)는 규칙 1을 만족시킨다. 마찬가지로, (s₁,t₂), (s₄,t₂) 및 (s₅,t₂)에 중심을 둔 혼합 함수들의 정교화도 모두 규칙 1을 만족시킨다. 그러나, 도 14d에 도시된 기초 함수 d₂N[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅](s)N[t₀,t₁,t₂,t₃,t₄](t)의 노트 벡터는 위반 2를 범하고 있는데, 이는 기초 함수의 노트 벡터가 [t₀,t₁,t₂,t₃,t₄]이지만, 규칙 1은 t₃ 에서 노트를 요구하지 않기 때문이다. 이러한 문제는 기초 함수를 정교화함으로써 치유될 수는 없지만, 위반을 해결하기 위해 추가 제어점이 T 메시에 추가될 수 있다.

필요한 제어점은 도 14e의 P₃ 이다. 이 제어점의 삽입은 위반 2의 사례를 해결하지만, 위반 1의 새로운 사례를 생성한다. 도 14f에 도시된 바와 같이, (s₂,t₃)에 중심을 둔 혼합 함수는 규칙 1에 의해 요구되는 바와 같은 s₃ 을 포함하지 않는 노트 벡터를 갖는다.

노트 벡터에 s₃ 를 삽입하는 것은 문제를 해결하며, 규칙 1의 추가적인 위반은 존재하지 않는다.

이 방법은 종료하게 되는데, 이는 기초 함수 정교화 및 제어점 삽입이 T 메시 내에 존재하거나 단계 1에서 추가된 노트 값들을 수반해야 하기 때문이다. 최악의 경우, 알고리즘은 전체 표면을 횡단하도록 제어점들의 모든 부분 행을 확장시킨다. 실제로, 알고리즘은 일반적으로 임의의 추가적인 새로운 제어점들이 사용자가 삽입하기를 원하는 제어점들을 초과하는 경우에는 거의 요구하지 않는다.

국부 노트 삽입은 피쳐들을 생성하는 데 유용하다. 예컨대, 도 15에 도시된 바와 같이, 제로 노트 인터벌을 가진 제어점들의 소수의 인접 행들을 삽입함으로써 다트들(darts)이 T-스플라인에 도입될 수 있다. 제로 값의 2개의 인접 노트 인터 벌을 갖는 것은 국부 트리플 노트를 도입하며, 표면은 그 노트에서 국부적으로 C⁰이 된다. 크리스의 형상은 삽입된 제어점들의 배치에 의해 제어된다. 크리스는 도 15의 제로 노트 인터벌을 작은 제로 아닌 노트 인터벌로 대체함으로써 덜 샤프하게 될 수 있다.

T-스플라인의 B-스플라인 표면으로의 변환

이 정교화 알고리즘은 T-스플라인 공간에 대한 단락에서 설명되는 바와 같이 단순히 변환 행렬 M_{1 ,n}을 계산함으로써 S₁의 T-스플라인을 S_n 의 등가 B-스플라인 표면으로 변환하는 것을 용이하게 한다.

표준 T-스플라인은 모든 가중치가 w_i=1인 경우에

이 되는 T-스플라인이다. 이것은 수학식(2)의 분모가 1과 동일하다는 것을 의미한다. 따라서, 기초 함수는 1의 분할을 제공하며, T-스플라인은 다항식이다. 따라서, T-스플라인이 표준이 되기 위한 필요 충분 조건의 대수 문장은 1에 대한 M_{1 ,n} 합들의 각 행이다.

삽입 알고리즘은 놀라운 결과, 즉 모든 w_i 가 1은 아니지만

인 T-스플라인을 생성할 수 있다. 이 T-스플라인은 반 표준(semi-standard) T-스플라인이라 할 수 있다. 도 16은 반 표준 T-스플라인의 2개 의 간단한 예를 나타낸다. 몇몇 에지 다음의 정수(1 및 2)는 노트 인터벌이다. 반 표준 T-스플라인 공간 S는

이고, 모든 w_i 가 1은 아닌 S의 몇몇 요소가 존재하는 공간이다. 비표준 T-스플라인 공간은

인 어떠한 요소도 존재하지 않는 공간이다. 이러한 정의들은 보다 정확한데, 이는 이들이 표준, 반 표준 또는 비표준인 유리(모든 가중치가 1은 아님) T-스플라인의 개념을 허용하기 때문이다. 차이는 속하는 T-스플라인 공간의 타입에 기초하여 만들어진다.

도 17은 컴퓨팅 환경에서 제어 메시에 대한 국부 정교화를 제공하는 바이큐빅 스플라인 표면을 정의하는 방법의 일 실시예의 개요를 나타낸다. 이 방법에 포함되는 하나의 동작은 블록(250)에서와 같이 스플라인 제어 메시와 연관된 노트 인터벌을 지정하는 것이다. 또 하나의 동작은 블록(252)에서와 같이 노트 인터벌에 기초하여 국부 노트 좌표 시스템을 부과하는 것이다. 블록(254)에서와 같이 제어점에 대한 기초 함수를 생성하기 위하여 제어점에 대한 국부 노트 벡터가 추론될 수 있다. 추가적인 동작은 블록(256)에서와 같이 표면을 변경하지 않고 제어 메시에 단일 제어점을 삽입하는 것이다. 이러한 제어점의 삽입은 특수 제어점인 T-접합에서 종료하는 제어점들의 부분 행들이 삽입되는 것을 허용할 수 있다.

베지어 패치의 추출(Extracting Bezier Patches)

T-스플라인을 포함하는 패치를 베지어 형태로 표현하는 것이 유리한데, 이는 모자이크에 균열이 발생하지 않는 것을 보장하기 위하여 모자이크 내의 삼각 정점에 각각의 T-접합을 맵핑해야 하는 사소한 수정으로 모자이크 방식을 적용할 수 있기 때문이다. 일반적으로, T-스플라인에는 등가의 B-스플라인에서보다 적은 베지어 패치가 존재한다.

표준 T-스플라인을 포함하는 베지어 패치의 도메인은 도 18에 도시된 바와 같이 모든 T-접합을 2 베이 만큼 확장함으로써 결정될 수 있다. 도 18b의 직사각형은 베지어 도메인이다. 이에 대한 이유는 각각의 제어점의 기초 함수에 대한 노트 벡터를 고려함으로써 이해될 수 있다.

베지어 제어점은 반복적인 국부 노트 삽입을 행함으로써 얻어질 수 있다. B-스플라인 표면은 다수의 노트를 이용하여 베지어 형태로 표현될 수 있으며 제로 노트 인터벌이 더블 노트를 의미한다는 것을 상기하자. 도 19b의 노트 인터벌 구성에 대해, F를 둘러싸는 제어점들의 4X4 그리드는 그 패치의 베지어 제어점들이다. 따라서, 도 19b의 면 F에 대한 베지어 제어점들은 국부 노트 삽입을 행함으로써 결정될 수 있다.

B-스플라인의 T-스플라인으로의 병합

이 단락은 상이한 노트 벡터를 가진 2개의 B-스플라인 표면이 어떻게 단일 T-스플라인으로 병합되는지를 설명한다. 종종, 기하학적 모델링에 있어서, 객체의 부분들은 도 2의 손과 같이 상이한 노트 벡터를 가진 상이한 B-스플라인 표면들로 독립적으로 모델링된다. 도 20은 문제점을 나타낸다. 제어 그리드는 상이한 노트 벡터들에 대해 정의된다. 이들을 단일 B-스플라인으로 병합하는 것은 이들이 동일한 공통 노트 벡터를 가질 것을 요구하며, 따라서 병합이 진행될 수 있기 전에 노트 삽입이 먼저 수행되어야 한다. 그러나, 도 20c에 도시되어 있듯이, 이러한 요구되는 노트 삽입은 제어점들의 행 수를 크게 증가시킬 수 있다. 이들 두 표면에 추가 표면들이 후속 병합되는 경우, 노트 라인들의 수는 더 배가될 수 있다.

제어점들의 급증 없이 2개의 NURBS 표면을 단일 표면으로 병합하는 문제에 대한 하나의 이전 솔루션은 1998년에 토마스 더블유 세데버그에 의해 도입된 큐빅 NURSS를 이용하는 것이었다. 큐빅 NURSS는 한 면의 대향 에지들 상의 상이한 노트 인터벌을 허용하므로, 2개의 NURBS 제어 그리드는 노트 라인들을 전파하지 않고 단일 제어 그리드로 병합될 수 있다. 도 21은 상이한 노트 벡터를 가진 2개의 동일 B-스플라인 실린더를 병합한 결과를 나타낸다. 불행히도, 임의의 NURSS 표현은 2개의 실린더의 접합에 보기 흉한 범프를 도입한다. NURSS를 이용하여 병합 문제를 해결하는 데 실패한 이러한 시도는 T-스플라인의 생성을 자극하는 데 도움이 되었다.

T-스플라인을 이용한 프로시져가 도 22에 도시되어 있다. Cⁿ 병합(n∈{-1, 0, 1, 2})에 대해, 하나의 패치 상의 제어점들의 n+1 열은 다른 패치 상의 제어점들의 n+1 열에 대응한다. 우리는 먼저 도 22a에서 C⁰ 병합을 고려한다. 먼저, 각각의 B-스플라인은 도시된 바와 같이 공유 경계를 따라 트리플 노트(더블 노트 인 터벌)를 갖는다. C⁰ 병합에 대해, 제어점들의 하나의 열은 병합 후 공유된다. 2개의 T-스플라인에 대한 노트 인터벌이 그 공통 열을 따라 상이한 경우, 제어점들은 노트 인터벌들이 동의하도록 경계 에지를 따라 배치된다. 이 예에서, 레드 B-스플라인 상의 노트 인터벌들은 1, 3, 2, 2이고, 블루 B-스플라인 상의 노트 인터벌은 2, 1, 4, 1이다. 도시된 바와 같은 곧 연결될 열들을 따라 각각의 제어 그리드 상의 오프셋 제어점들을 삽입한 후, 제어점들의 공통 열은 노트 인터벌 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1을 갖는다.

일반적으로 이러한 프로세스에서는, 병합될 제어점들은 다소 상이한 데카르트 좌표를 갖는다. 예를 들어, 레드 패치 상의 A는 블루 패치 상의 A와 약간 다를 수 있다. 병합된 제어점의 위치를 결정하기 위해 단순히 이 두 위치의 평균을 취한다.

C² 병합이 도 22b에 도시되어 있다. 기본 개념은 C⁰ 병합과 동일하다. 그 차이는 4개의 노트 인터벌 a, b, c, d가 도시된 바와 같이 2개의 표면 사이에 대응해야 한다는 것이다. 또한, 제어점들의 3개 열은 도시된 바와 같이 병합되어야 한다. 도 23은 C⁰ 및 C¹ 병합의 결과를 나타낸다. 도 4는 사람의 손의 NURBS 모델에서 이러한 병합 능력의 응용을 나타낸다. 이것은 C⁰ 병합이다.

T- NURCC

T-NURCC는 그 제어 그리드 내에 T-접합을 가지며 T-스플라인 개념을 이용하는 NURCC(Non-Uniform Rational Catmull-Clark Surfaces)이다. NURCC는 텐서 곱 비균일 B-스플라인 표면의 일반화이며, 특이점들이 존재하지 않는 경우, 모든 면이 4변형인 경우, 그리고 각 면의 대향 에지들 상의 노트 인터벌이 동일한 경우, NURCC는 비균일 B-스플라인 표면으로 축퇴된다. NURCC는 또한 캣뮬-클락 표면(Catmull-Clark surfaces)의 일반화이며, 모든 노트 인터벌이 동일한 경우, NURCC는 캣뮬-클락 표면으로 축퇴된다. 마찬가지로, T-NURCC는 T-스플라인, 캣뮬-클락 표면, 및 큐빅 NURBS 표면의 일반화이다.

NURCC는 각각의 4변형 면의 대향 에지들이 동일한 노트 인터벌을 갖고 NURCC가 정적 정교화 규칙을 갖는 제한을 강제한다. 또한, 이 때문에 NURCC는 국부 정교화가 가능하다.

따라서, NURCC에 대한 정교화 규칙은, 각각의 4변형 면의 대향 에지들이 동일한 노트 인터벌을 가질 것을 요구하는 경우에 NURSS에 대한 정교화 규칙과 동일하다. 이러한 정교화 규칙은 1998년에 토마스 더블유 세데버그에 의해 논의되었다.

이제, 특이점의 이웃에서 국부 정교화를 수행하기 위해 T-접합이 어떻게 이용될 수 있는지를 설명한다. 설명을 간단히 하기 위하여, 모든 특이점은 적어도 4개의 면에 의해 분리되며, 모든 면은 4변형이다. 이러한 기준은 필요한 경우 소수의 글로벌 정교화 단계를 수행함으로써 만족될 수 있다. 이후, 모든 정교화는 국부적으로 수행될 수 있다. 예를 들어, NURCC 제어 그리드의 임의의 적절히 큰 규 칙적인 서브 그리드가 전술한 바와 같이 국부 노트 삽입을 겪을 수 있다. 또한, 특이점 근처의 정교화는 그 특이점의 이웃으로 한정될 수 있다.

특이점의 이웃에서 국부 정교화가 어떻게 수행되는지를 설명하기 위하여, T-스플라인 내의 단일(4가) 정점의 이웃에서 국부 노트 삽입을 수행하는 방법을 설명한다. 도 24를 참조하면, 정교화는 블랙 제어 그리드에서 시작된다. 이어서, 이전에 정의된 프로시져를 이용하여 행 1, 행 2, 열 3, 열 4에 순서대로 제어점들 모두를 삽입하는 것은 적법하다. 이어서, 추가적인 제어점들이 동일한 순서 등으로 적법하게 삽입될 수 있다. 하나의 중앙 제어점의 바로 이웃에서의 국부 정교화가 이루어진다. 이러한 정교화 스킴은 임의의 비율 ρ로 면들을 분할할 수 있다는 점에 유의한다. 4가 점에 대해, ρ의 변경은 한계 표면을 변경하지 않는데, 이는 단지 B-스플라인 노트 삽입만을 행하기 때문이며, 그러나 이러한 스킴을 특이점들에 적응시키는 경우, ρ는 형상 파라미터로서 기능한다. 도 25는 ρ 변경의 효과를 나타낸다.

우리는 이제 고립된 특이점에서의 T-NURCC에 대한 국부 정교화를 제공한다. 도 26을 참조하면, 노트 인터벌 d₁ 은 노트 인터벌들 ρd₁ 및 (1-ρ)d₁ 으로 분할되며, 특이점에 인접한 다른 노트 인터벌들에 대해서도 마찬가지이다. ρ=1/2이고, 모든 초기 노트 인터벌이 동일한 경우, 이 국부 정교화를 이용하여 얻어지는 한계 표면은 캣뮬-클락 표면과 등가이다.

소문자는 노트 인터벌을 나타내고 대문자는 점을 나타낸다. 정점 A, B, C, D, Q, R, S, T는 정교화 이전의 초기 제어점들이다. 정교화 후 이들 정점은 A', B', C', D', Q', R'로 표시된 새로운 정점으로 대체된다.

세 가지 타입의 에지 점, 즉 E, H 및 G가 존재한다.

여기서,

에지 점

에지 점

.

다섯 가지 상이한 타입의 정점, 즉 A, B, Q, D 및 R이 존재한다. 우리는 A에서의 새로운 정점을 A' 등으로 표시한다.

여기서, n은 결합가이며, m_i=(h_i-1+h_i+1)(h_i-2+h_i+2)/2이고, f_i=h_i-1h_i+2 이다.

이러한 특이점에서의 국부 정교화는 도 6에 도시되어 있는데, 도 6은 국부 정교화의 4 단계를 행한 T-NURCC를 나타낸다. 노란 점들은 4개의 T-접합을 강조한다. 이러한 국부 정교화된 메시는 글로벌 캣뮬-클락 정교화를 이용할 때 갖게 되는 것보다 2차 크기 만큼 적은 면들을 갖는다는 점에 유의한다.

이 설명은 특이 정점들이 적어도 4개의 면에 의해 분리되는 것으로 가정하였으며, 이것은 소수의 예비 글로벌 정교화 단계를 수행함으로써 달성될 수 있다. 이러한 초기 글로벌 정교화 단계를 필요로 하지 않는 국부 정교화 규칙들을 도출할 수 있지만, 추가적인 특수한 사례를 고려해야 한다.

특이점들 외에서, 제로 노트 인터벌이 연속성을 낮춘다는 점을 제외하고는 NURCC는 C² 이다. 모든 에지들이 동일한 노트 인터벌 값을 갖는 특이점들에서, 3가 사례에 대한 고유 분석은 λ₁=1>λ₂=λ₃>λ₄>...를 나타내는데, 예를 들면 다음과 같다.

이것은 3가 사례에서 표면은 ρ(0<ρ<1)의 임의의 적법한 값에 대해 G¹ 이라는 분석적인 증거를 제공한다. 4가에 대해서도 유사한 결과가 얻어질 수 있다. 보다 고가에 대해서는 기호 대수식이 불편하게 되지만, ρ의 특정 값들의 샘플링은 G¹ 조건이 만족되지 않는 어떠한 사례도 보이지 않았다. 특이점에 이웃하는 에지들에 대한 노트 인터벌들이 동일하지 않은 경우, 경험적인 증거는 G¹ 을 제안한다.

T-스플라인 및 T-NURCC는 진정한 국부 정교화를 허가하며, 표면의 형상을 변경하지 않고 제어점들이 추가될 수 있고, (제로의 값을 갖는 노트 인터벌이 존재하지 않는 경우) 새로운 제어점들이 제거될 수 있으며, 표면은 C²로 유지될 것이다. T-NURCC는 NURBS 및 캣뮬-클락 표면을 일반화하므로, T-NURCC에 기초한 모델링 프로그램은 임의의 NURBS 또는 캣뮬-클락 모델을 특수한 사례로서 처리할 수 있다.

본 발명은 바이큐빅 B-스플라인 표면을 이용하여 설명되었다. 그러나, 본 발명은 어떠한 차수의 B-스플라인 표면을 이용하여서도 구현될 수 있다. 본 발명에서 설명되는 개념은 당업자가 임의 차수의 T-스플라인을 도출할 수 있게 하며, 이것은 간단한 과제이다. 짝수 차 T-스플라인과 홀수 차 T-스플라인 간의 한 가지 차이는 짝수 차 T-스플라인에서는 노트 인터벌이 제어점과 연관되고, 홀수 차에서는 노트 인터벌이 제어 그리드의 에지와 연관된다는 점이다.

본 발명의 추가적인 용도는 T-NURCC를 이용하여 2개의 T-NURCC의, 또는 바이큐빅 NURBS 표면 또는 T-스플라인과 같은 T-NURCC들의 임의의 특수 사례의 교차에 대한 완전한 표현을 제공하는 것이다.

전술한 배열은 본 발명의 원리에 대한 예시적인 응용이라는 것을 이해해야 한다. 청구범위에 설명된 본 발명의 원리 및 개념을 벗어나지 않고 다양한 수정이 이루어질 수 있음은 당업자에게 자명할 것이다.

Claims (22)

1. 삭제
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5. 컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면의 제어 메시를 국부적으로 정교화(locally refining)하기 위한 방법으로서,

   상기 제어 메시 내에, 양쪽 파라미터 방향에 존재하며 다른 T-접합들에 근접해 있는 T-접합을 형성하기 위해, 상기 제어 메시에 단일 제어점을 삽입하는 단계;

   상기 바이큐빅 스플라인 표면이 기하학적으로 변경되지 않고 최종 사용자가 볼 수 있는 이미지를 렌더링하는데 사용하기에 적합하도록, 추론된 기초 함수들을 이용하여 상기 제어점 및 그 이웃 제어점들의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)들을 계산하는 단계; 및

   제로 노트 인터벌들을 가진 제어점들의 하나 이상의 인접 부분 행을 삽입하여 샤프한 크리스(sharp crease)를 생성함으로써 상기 표면에 샤프니스 피쳐(sharpness feature)를 생성하는 단계

   를 포함하는 방법.
6. 컴퓨팅 환경에서 바이큐빅 스플라인 표면의 제어 메시를 국부적으로 정교화(locally refining)하기 위한 방법으로서,

   상기 제어 메시 내에, 양쪽 파라미터 방향에 존재하며 다른 T-접합들에 근접해 있는 T-접합을 형성하기 위해, 상기 제어 메시에 단일 제어점을 삽입하는 단계;

   상기 바이큐빅 스플라인 표면이 기하학적으로 변경되지 않고 최종 사용자가 볼 수 있는 이미지를 렌더링하는데 사용하기에 적합하도록, 추론된 기초 함수들을 이용하여 상기 제어점 및 그 이웃 제어점들의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)들을 계산하는 단계; 및

   제로 아닌(non-zero) 작은 노트 인터벌들을 가진 제어점들의 하나 이상의 인접 부분 행을 삽입함으로써 상기 표면에 샤프니스 피쳐를 생성하는 단계

   를 포함하는 방법.
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9. 삭제
10. 삭제
11. 삭제
12. 삭제
13. 컴퓨팅 환경에서 임의의 토폴로지의 제어 메시들에 대한 국부 정교화를 제공하기 위하여 바이큐빅 스플라인 제어 메시를 세분하기 위한 방법으로서,

    임의의 토폴로지의 상기 바이큐빅 스플라인 메시 상에 국부 노트 좌표 시스템들을 부과하는 단계;

    상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시의 에지들에 대한 노트 인터벌들을 지정하는 단계;

    상기 제어 메시 내에, 양쪽 파라미터 방향에 존재하며 다른 T-접합들에 근접해 있는 T-접합을 형성하기 위해, 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시에 상기 T-접합을 삽입하는 단계;

    상기 T-접합에 대한 노트 벡터들을 추론하는 단계; 및

    상기 노트 벡터들을 이용하여 상기 T-접합에 대한 기초 함수들을 정의하는 단계 - 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시는 최종 사용자가 볼 수 있는 이미지를 렌더링하는데 사용하기에 적합함 -

    를 포함하고,

    상기 T-접합을 삽입하는 단계는, 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시 내의 한 면의 대향 에지들 상의 노트 인터벌들의 합이 동일할 것을 요구하는 단계를 더 포함하는 방법.
14. 컴퓨팅 환경에서 임의의 토폴로지의 제어 메시들에 대한 국부 정교화를 제공하기 위하여 바이큐빅 스플라인 제어 메시를 세분하기 위한 방법으로서,

    임의의 토폴로지의 상기 바이큐빅 스플라인 메시 상에 국부 노트 좌표 시스템들을 부과하는 단계;

    상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시의 에지들에 대한 노트 인터벌들을 지정하는 단계;

    상기 제어 메시 내에, 양쪽 파라미터 방향에 존재하며 다른 T-접합들에 근접해 있는 T-접합을 형성하기 위해, 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시에 상기 T-접합을 삽입하는 단계;

    상기 T-접합에 대한 노트 벡터들을 추론하는 단계; 및

    상기 노트 벡터들을 이용하여 상기 T-접합에 대한 기초 함수들을 정의하는 단계 - 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시는 최종 사용자가 볼 수 있는 이미지를 렌더링하는데 사용하기에 적합함 -

    를 포함하고,

    상기 T-접합을 삽입하는 단계는, 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시 내의 한 면의 대향 에지들 상의 노트 인터벌들의 합이 동일한 경우, 한 면의 한 에지 상의 T-접합이 상기 면의 대향 에지 상의 T-접합에 연결될 것을 요구하는 단계를 더 포함하는 방법.
15. 삭제
16. 컴퓨팅 환경에서 임의의 토폴로지의 제어 메시들에 대한 국부 정교화를 제공하기 위하여 바이큐빅 스플라인 제어 메시를 세분하기 위한 방법으로서,

    임의의 토폴로지의 상기 바이큐빅 스플라인 메시 상에 국부 노트 좌표 시스템들을 부과하는 단계;

    상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시의 에지들에 대한 노트 인터벌들을 지정하는 단계;

    상기 제어 메시 내에, 양쪽 파라미터 방향에 존재하며 다른 T-접합들에 근접해 있는 T-접합을 형성하기 위해, 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시에 상기 T-접합을 삽입하는 단계;

    상기 T-접합에 대한 노트 벡터들을 추론하는 단계;

    상기 노트 벡터들을 이용하여 상기 T-접합에 대한 기초 함수들을 정의하는 단계 - 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시는 최종 사용자가 볼 수 있는 이미지를 렌더링하는데 사용하기에 적합함 - ; 및

    제로 노트 인터벌들을 가진 제어점들의 복수의 인접 행을 삽입함으로써 상기 바이큐빅 스플라인 제어 메시에 샤프니스 피쳐를 생성하는 단계

    를 포함하는 방법.
17. 제16항에 있어서, 상기 삽입된 제어점들의 배치 및 상기 노트 인터벌들의 조정에 의해 상기 샤프니스 피쳐를 제어하는 단계를 더 포함하는 방법.
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