JPH01286081A - 多重多角形表示を発生する方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ　産業上の利用分野 Ｂ　従来技術 Ｃ発明が解決しようとする問題点 Ｄ　問題点を解決するための手段 Ｅ　実施例 Ｅｌ　序論 Ｅ２　ボロノイ図の二等分線分解、直線化粗分解（第２
−６図） Ｅ３　密分解（第７−１０図） Ｅ４　細片の除去（第１１−１２図） Ｅ５　本発明の方法の全体（第１．１４＝１９図） Ｅ６　　ＣＡＤシステム（第２０図） Ｆ　発明の効果 Ａ、産業上の利用分野 本発明は、形状の手動入力及び物理量の表示による、物
理的オブジェクトのコンピュータ・モデリングに関する
。さらに具体的には、本発明はオブジェクトの形状を表
わすための有限要素の発生に関する。

Ｂ、従来技術 有限要素モデリング（ＦＥＭ）は、偏微分方程式によっ
て支配される技術上の問題を解くために最も広（使用さ
れているコンピュータ支援の技術的ツールの１つである
。このような問題には、熱伝導、応力及び振動の解析、
拡散、流体の流れ及び電磁場の問題が含まれる。モデル
を造るべきオブジェクトの形状が比較的複雑で、偏微分
方程式を近似にせよ解くのが困難な場合には、有限要素
モデリングは特に重要である。

有限要素モデリングによって、このような技術上の問題
を解（場合には、設計者とコンピュータの間で繰返し対
話が行われる。先ず通常形状の輪郭を手動で入力するこ
とによって、物理的オブジェクトの形状が画定される。

次にこの形状が有限個の要素に分割される。各有限要素
は十分小さいので、所望の物理量は単一の有限要素上の
適切な補間関数によって近似できる。最後に、関連する
連立偏微分方程式の有限要素形である、１以上の差分方
程式が、発生された有限要素にもとづいて、コンピュー
タによって解かれる。次に１以上の物理量についての差
分方程式の解が表示される。ユーザはこれ等の表示され
た量を調べて、ユーザに知らされた成る基準に従いより
良い結果を得るために、有限要素及び差分方程式の解の
発生を繰返す。

有限要素゛モデリングのうち重要で、時間のかかる部分
は問題のドメイン（オブジェクトの形状、定義域）の有
限要素への分解である。い（っかの理由で、この分解過
程を自動化することは重要である。手動による有限要素
の発生は退屈な過程であり、形状が複雑な時は誤差を生
じやすい。有限要素発生は、設計者がデザインを提示し
、これを分析し、この分析にもとづいて、これを修正す
る速度制限段階（ｒａｔｅ　　ｌｉｍｉｔｉｎｇ　　５
ｔｅｐ）　　であることがしばしばである。分析者の時
間の８０％もが、有限要素の発生に占められる。従って
、有限要素発生を自動化すると設計のサイクル・タイム
が改良される。又、信頼性のある、自動有限要素ゼネレ
ータは自動設計最適化システムにとって必要なものであ
る。

有限要素は通常２段階を使用して発生される。

先ず、粗分解によって、オブジェクトは互に素な部分領
域に分割される。次に密分解によって、各部分領域がさ
らに有限要素に分割される。本発明は密分解に関連し、
１９８５年６月２５日出願の米国特許出願第７１７３６
８号及び１９８７年９月１６日出願の米国特許出願第９
７３８２号に開示されている、−紋型の粗分解に関連す
るものである。

有限要素モデリングの目的は、あるドメイン上で（境界
もしくは初期条件について）連立偏微分方程式の近似解
を求めることにある。この方法は定義域を、要素と呼ば
れる部分ドメインに分解し、次に補間の考え方を使用し
て、従属変数のための近似解を求めるものである。正確
さを保証するためには、従属変数が急激に変化する領域
中の要素は小さくて、多数存在しなければならない。こ
のような急激な変化は、（１）幾何学的形状が急激に変
化する領域中、即ち凹角の隔週＜、（２）境界条件が急
激に変化する領域中、たとえば集中した、境界の熱源近
く、及び（３）材料の性質が急激に変化する領域中、た
とえば２つの結合された材料間の境界で生ずる。他方、
計算の効率性と、それほどでもないが、正確さのために
、従属変数が緩慢に変化する領域中の要素は大きくて、
少数であることが望ましい。

自動有限要素ゼネレータの目的は、物理的オブジェクト
の形状のモデルを、正確さと効率間でバランスのとれた
要素の集合に自動的に分解することにある。発生された
有限要素間の境界の集合は、しばしばメツシュと呼ばれ
る。メツシュ発生技術については、１９８５年刊のコン
ピュータによるエンジニアリング第１巻、第６１−７１
頁中のＭ。

Ｓ、シェパードによる論文「統合化された幾何学的モデ
リング環境内の有限要素モデリング第１部−メツシュ発
生Ｊ　（Ｍ、Ｓ、５ｈｅｐｈａｒｄ　”ＦｉｎｉｔｅＥ
ｌｅｍｅｎｔ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　Ｗｉｔｈｉｎ　ａｎ
　ＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＧｅｍｅｔｒ４ｃ　Ｍｏｄｅｌ
ｉｎｇ　Ｅｎｏｉｒｏｎｍｅｎｔ　：Ｐａｒｔｌ−Ｍｅ
ｓｈ　Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ″ｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒ
ｉｎｇｗｉｔｈ　ＣｏｍｐｕｔｅｒａｌｖｏＬｌ、１９
８５、ｐａｇｅｓ６１−７１）に開示されている。

有限要素発生機構はユーザとの対話が必要とされるかど
うかに従って分類される。手動機構においては、粗及び
密の分解にユーザとの対話が必要である。半自動機構で
は、粗分解にだけ、ユーザとの対話が必要であり、密分
解には必要ない。自動機構では、２．３のパラメータの
指定以外は、粗及び密分解のどちらもユーザとの対話を
必要としない。

Ｃ１発明が解決しようとする問題点 本発明の目的は、有限要素モデリングと共に使用される
、複雑な形状の自動粗分解及び密分解方法を与えること
にある。

Ｄ１問題点を解決するための手段 本発明は、あるドメインの多角形の境界が手動で入力さ
れ、このドメインがその境界の最も近い線分もしくは反
射頂点に関連する領域に分割される。これ等の領域はさ
らに調整されて、アーク部分が除去されて、さらに分割
され、すべての粗な領域即ち粗な要素が三角形もしくは
台形にされる。

これ等の粗な領域は内部の境界に関して対をなし、粗要
素の４つのクラスに分けられる。密分解では、三角形及
び台形が各クラスに関連する規則に従って、密な要素、
好ましくは三角形にさらに分割される。再分割の回数は
、密な要素の総数に代数学的に関連付けることができる
。発生された密な要素によって、ドメイン上に広がる所
望の物理量についての差分方程式が解か、次に分析者に
対してこの量がドメインの広がり上に表示される。分析
者は再調整された境界に関して上述の動作を繰返す。

Ｅ、実施例 Ｅｌ　序論 コンピュータ支援設計（ｃＡＤ）ステーションでは、マ
ウスのような簡単で迅速な装置によって所望の形状を容
易に入力でき、前に入力した形状を修正できる。−変形
状が入力されると、有限要素分解が始まる。分解の結果
は、関連するＣＲＴ上に表示できるが、このような表示
は必ずしも必要でない。次に偏微分方程式の有限要素形
が解かれる。通常、解の結果は連続的に、入力した形状
のドメイン上に表示される。たとえば、温度分布もしく
は電界の分布が表示される。ＣＡＤステーションのオペ
レータはこれ等の表示された結果を調べて、最適でない
と考えた場合は、前に入力した形状を修正して、上述の
過程を繰返す。このようにして、オペレータはよりよい
設計に向かって繰返しを行う。

本発明に従えば、２次元の多重接続された多角形のドメ
インが与えられると、分解によってドメインの内部がＮ
個の重畳しない三角形で覆われ、任意の２つの三角形は
、三角形の全辺に沿って互に素であるか、単一の頂点で
交わるようにされる。

三角形の頂点はノードと呼ばれる。この三角形は又次の
追加の基準を幽足しなければならない。（１）三角形は
略二等辺でなげればならない。（２）形状が変化する個
所では単位面積当りのノード密度は増大しなければなら
ない。

組及び密な分解手順を若干数学的形式で先ず説明し、適
切な定義が使用されるようにする。その後、より特定の
流れ図を説明する。

密分解段階が本発明の主要部分であるが、粗分解段階が
先ず行われる。この粗分解について次に説明する。

粗分解は上述め２つの米国特許出願明細書に開示されて
いる方法の拡張板に従って行うことができる。この明細
書では、対称軸変換によって説明がなされている。本明
細書では１９８７年５月刊のＩＢＭジャーナル・オプ・
リサーチ・アンド・デベロープメント（Ｉ　ＢＭ　Ｊｏ
ｕｒｎａｌ　　ｏｆＲｅｓｅａｒｃｈ　　ａｎｄ　Ｄｅ
ｖｅｌｏｐｍｅｎｔ）第３１巻、第３号の夫々第３６１
−３７２頁及び第３７３−３８１頁に記載された論文、
ｖ、スリラバサン及びり、　Ｒ，ナクマンによる「多重
接続多角形ドメイン■のためのボロノイ図：アルゴリズ
ム」及びＳ。

Ｎ、　Ｓ、　Ｎ、メシュカット及びＣ，二Ｍ、サカスに
よる「多重接続多角形ドメインＨのためのボロノイ図：
具体化と応用Ｊ　（Ｖ、５ｒｉｎｉｖａｓａｎ　　ａｎ
ｄ　　Ｌ、Ｒ。

Ｎａｃｋｍａｎ″Ｖａｒｏｎｏｉ　　Ｄｉａｇｒａｍ　
　ｆｏｒＭｕｌｔｉｐｌｙ−Ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　　Ｐ
ｏ１ｙ　　ｇｏｎａｌＤｏｍａｉｎ　　Ｉ：Ａ１ｇｏｒ
ｉｔｈｍ″ａｎｄ　Ｓ、　Ｎ。

Ｍｅｓｈｋａｔ　　ａｎｄ　　Ｃ，Ｍ、５ａｋｋａｓ”
ＶｏｒｏｎｏｉＤｉａｇｒａｍ　ｆｏｒ　Ｍｕｌｔｉｐ
ｌｙ−ＣｏｎｎｅｃｔｅｄＰｏｌｙｇｏｎａｌ　Ｄｏｍ
ａｉｎｓ　ｌ：Ｉｍｐｌｅｍｅｔａｔｉｏｎａｎｄ　　
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ”）の説明との一貫性を保つた
めに、ボロノイ図によって説明を変えて行う。

ドメインの境界の各辺及び反射（ｒｅｆｌｅｘ）頂点に
関連してボロノイ領域がある。各ボロノイ領域は、ドメ
インの境界の他の部分よりもその辺もしくは頂点に近い
、ドメインのすべての点より成る。このようにして発生
されたボロノイ領域の閉包の和集合が全ドメインをカバ
ーする。各ボロノイ領域の境界は辺（もしくは反射頂点
）自体並びにドメインの内部に存在する線分及び放射線
状のアークより成る。これ等の線分及び放射線状のアー
クはボロノイ辺と呼ばれ、重なる即ち共通の終点はボロ
ノイ頂点と呼ばれる。ボロノイ辺とボロノイ頂点の和集
合はドメインのボロノイ図と呼ばれる。次に放物線のア
ークはその終点を結ぶ直線の線分によって置き換えられ
て、直線化ボロノイ図が得られる。この図は平面の直線
グラフである。

直線化ボロノイ図は完全にドメイン内に存在することは
明らかであろう。直線化された対称軸は、ドメインの境
界の反射頂点に終る辺を除去することによって形成され
る直線化ボロノイ図の部分グラフである。直線化ボロノ
イ領域は境界を直線にすることによって元のボロノイ領
域から得られる。

各直線化ボロノイ領域は単純な多角形によって囲まれて
いて、すべての曲線状の境界が除去されていることに注
意されたい。多角形の境界は次の分解を簡単にする。

直線化された対称軸グラフの辺及び頂点は、簡単のため
にシンマックス（ｓｙｍａｘ）辺及びシンマックス頂点
と呼ぶことにする。

粗分解の結果は直線化ボロノイ領域、即ち境界が直線化
されているボロノイ領域より成る。元のドメインが多角
形であり、ボロノイ図が直線化されているために、各直
線化ボロノイ領域は単純な多角形によって囲まれている
。

次の段階は各直線化ボロノイ領域を１以上の四辺形もし
くは三角形あるいはその両方に分解する段階である。各
内部のシンマックス頂点はドメイン境界に２以上の明確
な点で接する最大ディスクの中心である。即ち各頂点で
、外部の境界と接するのに十分大きいディスクが発生さ
れる。頂点を見出す際の方法のために、このディスクは
境界と交わらないで、少なく共２つの接点で境界に接す
る。次に接点半径がグラフに加えられる。これ等の接点
半径は頂点を関連する接点に結合している。

各ボロノイ頂点には、この頂点を対称軸の両側にある夫
々の境界に結合する２以上の接点半径がある。接点半径
を直線ボロノイ図に加えた後に、全ドメインは三角形と
四辺形に分解される。具体的な場合、この四辺形は２つ
の隣の角が直角である台形である。接点半径を発生する
ためのこの同じ過程の別の説明が後に与えられる。

ドメイン境界の反射頂点に向う２つの隣り合った接点半
径によって形成される角がπ／２（９０°）を越える時
は、関連するシンマックス辺は、その別々の終点が、直
線化されていないボロノイ図中の元の放物線状のアーク
もしくは線分上にその別々の終点が存在する略等長の線
分の鎖によって置換される。この線分の長さは、任意の
２つの隣り合う接点半径間の角度がπ／４とπ／３の間
（４５°乃至６０°）をなすものである。

Ｅ２　ボロノイ図の二等分線分割、直線化、粗分解 上述の段階のいくつかを第２図に示す。直線１０．１２
及び１４がドメインの外部の境界を画定している。この
境界は線１０の破線部に続いている。境界の他の部分は
示されていない。４つのボロノイ領域が形成されている
。境界の反射頂点１６に関連する、第１の領域は頂点１
６、頂点１６のまわりの放物線状のアーク１８、及び後
に接点半径２０及び２２によって置換される他の直線の
ボロノイ辺によって囲まれている。境界線１２に関連す
る第２領域は、境界線１２、゛ボロノイ線２０、他のボ
ロノイ辺２４によって囲まれている。

境界線１４に関連する第５の領域は、境界＃ｊ１４、接
点半径２２及び他のボロノイ辺２６によって囲まれてい
る。下の境界線１０に関連する第４の領域は、上の放物
線状のアーク、２つのボロノイ辺２４及び２６並びに下
の境界線１０によって囲まれている。放物線状のアーク
１日で構成されているボロノイ辺はシンマックス辺２８
に直線化され、この結果、直線化ボロノイ図が画定され
る。直線化対称軸はこの直線化ボロノイ図から反射頂点
１６と接するボロノイ辺２０及び２２を削除することに
よって得られる。この段階には２つのシンマックス頂点
３０及び３２が存在する。シンマックス頂点３０及び３
２のまわりに描かれる最大のディスクは共にどの境界と
も交わることなく下の境界線１０と反射頂点１６に接す
る。従って接点半径２０．２２．３４及び３６がグラフ
に追加される。接点半径２０及び２２間の、境界の反射
頂点１６に関連する角度は図示のようにπ／２より大き
い。従って、シンマックス辺２８は終点が共に放物線状
のアーク上にある、２つのシンマックス辺３８及び４０
によって置き換えられる。新らしい頂点４２に関連する
最大のディスクは２つの接点半径４４及び４６を有する
。隣り合う接点半径２２．４４及び４４．２０間の角度
はπ／３に近℃九。

ドメインは三角形と台形に分解されたので、各シンマッ
クス辺は２つの台形、２つの三角形もしくは三角形及び
台形によって共有される。接点半径はシンマックス辺で
はないことに注意されたい。

シンマックス辺によって分離されたこのような対はさら
に４つのクラスに分類される。以下の図面上の説明では
可能なかぎり、境界辺は太線で、シンマックス辺は細線
で、接点半径は鎖線で示すことにする。密分解によって
導入される追加の辺は点線で示される。ハツシュ領域は
ドメインの外部である。この４つのケースを次に示す。

（１）第６図に示した２つの合同な直角台形。即ち直角
台形の各々は等しい長さの対応辺を有する。

さらにこの台形の各々はドメイン境界の少なく共一部で
ある辺を有する。

（２）第４図に示した、２つの合同直角三角形。

この三角形の各々はドメインの境界の少なく共−部であ
る辺を有する。

（３）第５図に示す、直角台形と三角形。台形はドメイ
ン境界の少なく共一部である辺を有し、三角形はドメイ
ン境界の反射頂点と一致する頂点を有する。

（４）第６図に示す、２つの合同三角形。この三角形の
各々はドメイン境界の反射頂点と一致する頂点を有する
。これ等の三角形の各々は必ずしも直角三角形である必
要はない。

上述の三角形及び台形は粗分解で形成された粗要素であ
る。

Ｅ３　密分解 台形及び三角形の粗要素の密分解は、これ等の粗要素の
辺に沿い、又内部で最終メツシュのノード点を追加する
ことによって達成できる。このようなノード点は、隣接
する粗要素の重畳辺に沿う追加のノード点を同じ点とし
て、夫々局所的幾何学図形だけを考慮に入れて追加され
る。境界の辺の間にこのような両立性を持たせることは
有限要素分解にとって極めて重要である。ここでは両立
性は上述のクラスの隣接する粗要素の対を一緒に処理す
ることによって達成される。２つの粗要素間の境界はド
メイン境界のどの部分とも重畳できないことに注意され
たい。従って、各対中の２つの粗要素によって共有され
る接点半径及びシンマックス辺だけに配慮すればよいこ
とになる。シンマックス辺にまたがる両立性は、このシ
ンマックス辺を共有する粗要素の６対を処理する時に明
示的に処理される。接点半径にまたがる両立性は、すべ
ての半径に沿って同数ｎのノード点を追加することによ
って保証される。

密分解は上に定義された、対の４つのクラスの各々に適
した４つの規則の組に従って行われる。

各場合に、必要な場合にだけノードを追加するための手
引きを与えるアクペクト比が定義される。

この規則には各対中に発生される三角形の有限要素の数
の上界についての計算が含まれる。この上界はｎの二次
関数であり、粗要素の局所図形をパラメータとするもの
である。この関数の値は数ｎについての有限要素の総数
を大まかに決定するものである。この有限要素の総数を
ユーザの指定した限界（有限方程式の解手順中のコンピ
ュータの時間及びリソースにしばしば関連付けられる）
に１　　　　　　　等しくする０とによりて・　°０解
が得られる・即ち、粗分解に基づき、有限要素について
行われる計算の限界を満足するように密分解の程度が制
御される。

（ケース１）２つの合同直角台形 上述の直角台形の例を第７図に示す。この台形ＰＱＱ′
Ｐ′はこれを対をなしている合同な台形と分離するシン
マックス辺である一辺ＰＱを有する。

この台形は又粗分解によって最初に分割された時のドメ
インの境界上にある辺Ｑ／　ｐ／を有する。対の他方の
台形は合同であるために対称的に処理される。値ｎを選
択して、台形の残りの辺ＱＱ’及びＰＦ５の各々の上に
ｎ個の、等間隔のノード５０及び５２を置く。図ではｎ
は５にセットされている。

このようなノードによって夫々長さｐ及びｑのｎ＋１個
の等しい線分が生ずる。この時２つの可能な場合が考え
られる。

長さＰＱがＰ＋（ｌに等しいか、大きいと、次のことが
行われる。ＰＡ及びＱＢとして示されたように、２つの
線分５８及び６０が形成される。同じ（Ａ　Ａ’及びＢ
　Ｂ’で示された垂線６２及び６４をドメインの境界Ｑ
／　Ｐ／から引く。これ等の垂線６２及び６４を（ｎ−
１）個のノードで等間隔に分ける。最後に、台形ＰＡＡ
’Ｐ及びＱ　ｎ　Ｂ／Ｑ／の各々にこれ迄に追加された
（２ｎ−１）ノードを使用して、（２ｎ＋１）個の三角
形の模様を作る。この三角模様は垂線６２もしくは６４
の一端で始まって、辺ＱＱ’もしくはＰＰ′上の一番近
〜・ノード５０もしくは５２に進み、その後これ等のノ
ードと垂線６２及び６４上のノード間を交代しつつ、垂
線６２もしくは６４あるいは辺ＱＱ’もしくはＰＰ’の
他端に終る。もしｎがすでに０である時には、ノードは
ないので、三角模様化は２つの垂線の辺の対向端から行
われ、三角模様化処理が完了する。

その後、台形Ａ　Ｂ　Ｂ’Ａ’が台形として扱われ、上
述の過程がｎの値を１だけ減少して行われる。しかしな
がらｎの値は０より小さくなることはない。

第７図に示した粗要素では、このノードの追加は２回繰
返される。２回目及びその後の繰返しでは、外側の垂直
な辺上のノードは前の繰返し中に形成されている。

他方、長さＰＱ（もしくはその後の繰返し中の相当する
長さ）が°ｐ＋ｑ未満である時は、前に加えたノードに
よって２（ｎ＋１）個の三角形の模様にされる。この状
態は繰返しのための終結条件である。もし台形のアスペ
クト比ｒを２　Ｐ’Ｑ’／　ＰＰ’＋Ｑ　Ｑ’と定義す
ると、この場合２つの台形について発生される三角形の
総数Ｎ１は、　ｎの最初の値を使用して、ｃｅｉｌ（４
Ｑ（ｎ＋１　）によって制限される。関数″ｃｅｉｌ”
は浮動小数のための丸め関数、即ち次に最大な整数を求
める関数である。

（ケース２）２つの合同直角三角形 １つの直角三角形ＲＲ’　Ｓの例を第８図に示す。

辺Ｒ８はシンマツクの辺であり、Ｒ′Ｓは元の多角形の
境界上にある。Ｒ８上にｎ個の等間隔のノードｂｂを、
Ｒ’Ｒ上にｎ個の等間隔上のノード６８を、Ｒ′Ｓ上に
ｎ個の等間隔のノード７０を置（。

次にノードの対応する対を結び、相互に平行な線の３つ
の族を構成することによって、三角模様を作る。図示し
た三角形と合同な他の三角形は対称的に処理される。こ
の手順によって、２つの直角三角形につきＮ２＝２（ｎ
＋１）２の要素が得られる。

（ケース３）直角台形と三角形 三角形ＴＵＶと直角台形Ｕ　Ｖ　Ｖ’Ｕ’を第９図に示
す。三角形と台形は太線で分離されている。線Ｕ■はシ
ンマックス線で、三角形の頂点Ｔは原多角形の境界上に
ある。台形Ｕ　Ｖ　Ｖ’Ｕ’の場合には、ｎ個ノ夫々等
間隔ノ／　−）”を辺ＵＶ、ＵＵ’、Ｕ’　Ｖ′、及び
ｖｖ’上に置く。次にこの台形を、接続ノードの族を作
ることによって三角模様化する。最初の族は辺Ｕ／Ｖ／
上のノード７６から、対向する辺上の対応する７２に延
びる。第２の族は残りの辺ＵＵ’及びｖｖ’上のノード
７４及び７８間に延びる。これによって（ｎ＋１）２個
の四辺形が生ずる。これ等の四辺形は次に単一の対角線
によって各々分割され、台形Ｕ　Ｖ　Ｖ’Ｕ’が三角模
様化される。次に三角形ＴＵＶを、ケース２と類似の下
記のケース４の規則に従って処理される。

この手順は台形と三角形の場合に、要素数Ｎ５＝３（ｎ
＋１）２を生じる。

（ケース４）２つの合同三角形 合同対の一つである三角形ｗｘｙを第１０図に示す。辺
ＷＸはシンマックス辺であり、頂点Ｙは元の多角形の境
界上にある。対の他の三角形は対称的に処理される。こ
の場合、辺ｗｘＳｘｙ及びｗｙの各々上にｎ個のノード
８０．８２及び８４が置かれる。次に、対応するノード
の対を結合することによって、平行線の３つの族により
、三角模様が得られる。この手順によって、２つの三角
形中に要素数Ｎ＝２（ｎ＋１）２が発生する。

Ｅ４　細片の除去 有限要素の分解技術中で可能な場合は長くて細い有限要
素は除去しなげればならない。ここではこのような長く
て細い要素を細片と呼ぶことにする。しかしながら、所
与のドメイン自体が境界の頂点で極めて小さな角度をな
している場合には、細片は不可欠である。他の個所でも
、長くて細い三角形で終ることが可能である。細片を除
去する方法を次に示す。

細片除去過程は、さらに分解したときに、不良の三角形
を生ずるようであれば、その三角形もしくは台形を細片
発生体と考える。三角形もしくは台形が細片発生体であ
るかどうかを判断するために、次に定義されるアスペク
ト比を使用する。ある制限の下に、ユーザはある最小限
度に許容可能なアスペクト比を選択する。三角形の粗要
素のアスペクト比は、シンマックス辺に沿う三角形の長
さの接点半径に沿う長さに対する比として定義される。

この比が１より大きいと、この比の逆数をアスペクト比
として使用する。三角形の２つの辺が接点半径である時
は、それ等の長さの平均を使用する。

細片除去はある頂点を定めて、ある辺そして要素を崩壊
することによって達成される。元のドメインの境界の頂
点は残されるとい５追加の制約が課せられる。もし細片
除去によって原境界の頂点（従って境界自体）が除去さ
れるよ５なことがあれば、細片が残されることをこの制
約は意味する。

細片除去は２つの隣接するシンマックス辺を、非共有の
終点を接続する１つの辺で置換することを含む。この、
隣接するシンマックス辺の置換は、新らしい辺がドメイ
ン中に完全に存在する時にだけ試みられる。ケース２及
び４について説明された、三角形の粗要素の密分解から
明らかなように、結果の密な三角形は粗な三角形と相似
である。従つて密要素のアスペクト比は三角形の場合粗
要素のそれと同じである。粗要素は、そのアスペクト比
が小さすぎる時は細片発生体となる。

２つの隣接する、合同な三角形の場合のケース２は第１
１図に示したように、原境界の鋭角の頂点８８から生ず
る。図で２つの細片をなす角形領域は２つの境界９０及
び９２．２つの接点半径９４及び９６並びにシンマック
ス辺９８によって囲まれている。この場合の細片除去は
、２つの細片をなす三角形に関連するノード１００及び
１０２を定め、辺と要素をつぶして、三角形と隣接する
領域を結合することを含む。今の場合は、接点半径９４
及び９６を、図示の矢印につぼめて行って、シンマック
ス辺９８で合体させることによって除去される。

２つの隣接する、合同な三角形のケース２の場合は、第
１２図に示したように互に向い合っている原境界の反射
頂点１０４及び１０６から生ずる。

ここでは、２つの細片になった三角形は４つの接点半径
１０８．１１０．１１２及び１１４並びにシンマックス
辺１１５によって囲まれている。この場合は、細片除去
には、隣合う接点半径、ここでは接点半径１０８．１１
０及び１１２、ｔ１４に沿う、各三角形の対応するノー
ドを定め、次に辺及び要素をつぶすことを含む。ここで
は、接点半径１１０及び１１４が第１２図の矢印で示す
ように対応する接点半径１０８及び１１２の方に向って
つぶされている。

ケース１では、２つの境界の線分の間に２つの台形が形
成されている。この２つの台形は第１３図に示すように
、境界の線分１１６及び１１８、シンマックス辺１２０
及び４つの接点半径１２２．１２４．１２６及び１２８
によって囲まれている。

各台形の粗要素は三角形に分解されようとしている。細
片の発生を防止するために、最寄りの接点半径上に形成
される線分と同じ長さの線分をシンマックス辺上に形成
することによって、アスペクト比を１に近づけること試
みる。前に定義したアスペクト比ｒが小さすぎる時は、
三角形の細片が生じる。もしｎが十分大きければ、細片
を除去しないままで許容可能な三角模様を得ることがで
きる。そうでない時は、隣合う接点半径、ここでは接点
半径１２２．１２４及び１２６．１２８に沿う対応ノー
ドを定め、これ等のノードが一体になるように、矢印の
方向に辺及び要素をつぶして細片が除去される。

ケース３は三角形の粗要素と台形の粗要素の両方を含む
。もしアスペクト比が小さい時は、細片除去は隣合う接
点半径に沿う対応するノードを見定めることによって、
辺及び要素が崩壊される。

最小のアスペクト比の選択は半径方向に長い細片をシン
マックス方向に長い細片で置換しないようにしたいとい
う配慮によって制約を受ける。もしユーザの指定した最
小のアスペクト比が黄金比（５の平方根から１を引いた
値を２で割った値即ち０．６１８）よりも小さい時は、
新らしい細片は導入されないことが証明できる。

多重に接続された多角形の粗要素を密に分解するための
上述の方法は、いくつかの長所を有する。

ユーザは発生される密要素の総数についての上界を指定
することができる。差分方程式の解を得る時間はノード
数の３乗に比例し、今の場合は要素の数に比例するので
、この上界は重要である。発生されるメツシュはドメイ
ンの幾何学的図形の対称性を利用し、座標系に関する形
状の向きに依存していない。従って、相似幾何学図形は
部品中のその相似的位置にかかわりなく相似な密な要素
を生ずる。最後に、細片は自動的に除去できる。細片は
、メツシュ発生においてボロノイ図を使用する従来の方
法に著しい制限を加えていたものである。

Ｅ５　本発明の方法の全体 本発明の方法の過程全体を第１図に示す。オペレータは
段階１４０で開始し、第１４図に示した、外側の多角形
の境界１４２だげでな（ｅ内側の境界１４６によって画
定された多角形の開孔１４４を有する、２次元の多角形
の形状即ちドメインを入力する。この形状の入力は、形
状がオペレータによって描かれて関連するＣＲＴ中に現
われる、ＣＡＤマシン中の、マウスもしくはジョイステ
ックによって行われる。ドメインの定義はコンピュータ
にとって理解可能な幾何学的形状の用語によってユーザ
が行う、ＩＢＭ社販の２つのプログラムＣＡＴＩＡ及び
ＣＡＥＤのいずれかの市販の利用可能なプログラムの使
用によって行われる。ドメインの境界１４２及び１４６
は、これ等の境界上のドツトによって示された、頂点が
画定される、ＣＲＴ上の所望のスポットにカーソルが現
われる迄マウスもしくはジョイスティックを移動するこ
とによって入力される。境界１４２及び１４６の線分が
相継いで入力された頂点を接続する。

−度、満足すべき形状が入力されると、オペレータはコ
ンピュータに動作を引き継がせるよ５通知する。段階１
４２で、コンピュータが直線化されたボロノイ領域の境
界を画定する。第１４図のドメイン中の領域は未直線化
ボロノイ領域であり、従って原ボロノイ図を構成してい
る。図示された内部の線はボロノイ辺を完成し、追加の
ドツトは追加のボロノイ頂点である。上述のように、多
角形の境界の各直線の線分及び各頂点はこれ等に関連し
て、境界の任意の線分もしくは頂点よりも自分自身に近
いボロノイ領域を有する。ボロノイ領域を決定する方法
は他にもあるが、上述のメシュカット（Ｍｅｓｈｋａｔ
）及びスカッシュ（Ｓａｋｋａｓ）による論文に説明さ
れた方法を使用することによって行われる。

段階１４２において、境界の頂点のまわりの任意の放物
線状のアーク（第２図参照）及び２つのこのような境界
の頂点間の二等分線の張る角が９０°を越えると、アー
クもしくは二等分線は、その張る角が４５°と６０°の
間にあるように２もしくは３等分される。これによって
、新らしいボロノイ頂点が放物線状のアークもしくは直
線の二等分線上に導入される。段階１４２の最終の部分
的段階は、隣りのボロノイ頂点を結合する放物線状のア
ークの直線化である。この直線化は、第２図を参照して
説明したように、２つの頂点を接続する弦（直線）でア
ーク（弧）を単に置換することによって達成される。

段階１４日で、コンピュータは直線化ボロノイ領域の粗
分解を遂行する。その細部に依存して密分解が行われる
、この重要な段階はさらに詳細に第１５図に示されてい
る。段階１５０で、境界に沿う次の境界辺もしくは境界
の頂点及びそのボロノイ領域が選択される。この選択は
所定の出発点から、所与の方向に、たとえば、反時計方
向に進む。各境界辺もしくは頂点に関して、直線化ボロ
ノイ領域が関連している。上述のアークもしくは二等分
線の分割によって、このようなボロノイ領域が２以上存
在する時は、これ等のボロノイ領域も同じ反時計方向に
順次考慮される。

段階１５２段階で、選択されたボロノイ領域内の次のシ
ンマックス辺が考慮のために選択される、このシンマッ
クス辺の選択は所定の出発点から同じ反時計方向に進む
。このシンマックス辺は、アークの分解によって拡張さ
れた直線化ボロノイ図の辺でもボロノイ図の内部にあり
、その鋭角の頂点を除き境界と接していないこと忙注意
されたい。

さらに、これ等は各々シンマックス辺の対向する側止の
２つの境界線分もしくは頂点と関連してぃる。段階１５
４で、考察中のシンマックス辺が以下説明される指示で
マークされているかどうかが判断される。最初、すべて
のシンマックス辺はマークされていない。−度シンマッ
クス辺カマークされると、他のボロノイ領域を考察する
場合にもマークされた状態に留まる。もし、辺がマーク
されていると、段階１５６中のテストで次のシンマック
ス辺が存在することがわかると、次のシンマックス辺が
考察される。

シンマックス辺がマークされていないと、段階１５８で
、シンマックス辺の両端にある２つの内部ボロノイ頂点
から接点半径が描かれる。結果の接点半径が考慮中のシ
ンマックス辺の両側にある２つのボロノイ領域の側を決
める任意の境界の線分に垂直であるか、このようなボロ
ノイ領域の反射境界頂点と交わる時は、この接点半径が
シンマックス頂点から描かれる。次にこのシンマックス
辺が段階１６０でマークされる。シンマックス辺の両側
上及びおそらくシンマックス辺の両端の接点半径によっ
て画定される粗要素である、三角形もしくは四辺形は段
階１６２において第３、第４、第５及び第６図に示した
４つのクラスの１つに分類される。粗要素のこれ等の対
は次に段階１６４の密分解のために待ち行列にされる。

マーキングによってこれ等の粗領域は次の考察から効果
的に除外される。次に、次のシンマックス辺が考察され
る。テスト１６６で判断されるように、任意の時間に、
さらに考察すべき境界辺もしくは頂点が存在しないと、
すべての粗要素の待ち行列について粗分解が完了する。

第１図の次の段階１７０で、半径密度ｎ１即ち密分解に
おける接点半径の部分分解に使用されるノードの数の計
算が行われる。メモリもしくはマシン時間のような制限
があるので、有限差分計算は要素数Ｎに制限される。粗
要素の待ち行列にされた６対について、４つのクラスの
うちの１つが関連し、そのクラスに対してｎに依存する
、発生された密要素に関する少なくとも１つの上界が存
在する。従来の記法中でＮ　乃至Ｎ４によって表わされ
た、これ等の要素数が対にされた粗要素について合計さ
れ、Ｎとして代数式に代入される。

次にこの式がｎについて解かれる。ｎの小数部分は破棄
される。

上述の説明は半径密度ｎの自動的発生に関するものであ
る。しかしながら、分析者は自動的に発生されたｎの値
が異なる理由のために満足すべきものでないことを決定
できる。分析者はｎの所望の値を設定する能力を有する
。

段階１７２で、コンピュータは半径密度ｎの設定値によ
って、密分解を行う。粗要素の待ち行列にされた対の各
々は上述の４つのケースの分類に従って処理される。こ
の密分解は三角形もしくは台形の各接点半径を、その間
の新らしい頂点で（ｎ＋１）の部分線分に分割すること
を少なく共含む。これ等の新らしい頂点について、対の
密分解が対の分類に従って、上述のように行われる。

細片除去の前の密分解の２の例を第１６図及び第１７図
に示す。第１６図の密要素は第１４図のボロノイ領域か
ら誘導されたものである。第１６図及び第１７図を細か
く調べると、細片が存在することかわかる。

段階１７４で、細片の除去が遂行される。粗要素の６対
について、アスペクト比Ｆがシンマックス辺の長さを接
点半径の平均値で割った値として計算される。ケース１
では、この比はさらに（ｎ＋１）で除算される。もしこ
の比が１より大きい時は、アスペクト比の逆数が求めら
れる。もしこのアスペクト比が最小の許容値よりも小さ
い時は、粗要素のこの対の密要素は崩壊され、上述のよ
うに対応する頂点が置換される。しかしながら、崩壊は
生じる新らしい辺がドメインの内部に完全に存在する時
にのみ遂行される。

細片を除去した後の、第１６図及び第１７図の例を、第
１８図及び第１９図に示す。全体の結果はドメインのそ
の部分の大きさと同大の寸法の、徐々に変化する密要素
より成る。第１６図乃至第１９図の原物は本発明の自動
有限要素発生装置の出力を受取るグラフ装置によって自
動的に発生される。

以上の段階で、有限要素の発生が完了する。分析者はこ
の時点で、密なメツシュをＣＡＤマシンのＣＲＴ上の表
示を望むかも知れない。しかしながら、この表示はかな
らずしも必要でない。ＣＡＥＤＳプログラムがこのよう
なメツシュの表示を与える。

このようにして発生された有限要素を、任意の数の偏微
分方程式のための近似解の有限要素の計算に使用して、
物理量の予測ができる。その例を以下に示すこのような
計算については、１９８２年、ロンドン市マクグロウ・
ヒル書籍株式会社刊のジエーンキイビツチ著「有限要素
法、第３版」（Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ”Ｔｈｅ　Ｆ’
１ｎｉｔｅ　ＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ、３ｒｄ、”
、ｐｕｂｌ　１ｓｈｅｄ　ｂｙ　ＭｃＧｒａｗ　−Ｈｌ
ｌｌ　　Ｂｏｏｋ　　Ｃｏ、、Ｌｏｎｄｏｎ１１９８２
）に詳細に説明されている。この本は種々の重要な偏微
分方程式の有限要素形を十分説明している。

一般に知られている市販の有限要素解法はＭ３Ｃ社から
利用なＮＡＳＴＲＡＭプログラムである。

物体中の熱伝導及び結果の温度分布の計算にはポアソン
方程式が使用される。熱源と熱シンクがこの偏微分方程
式の境界条件を与える。

物体中の歪解析の計算には賞詞和関数が使用される。外
部から印加される負荷が境界条件になる。

ナヴイエーストークス式が物体中の流体の流れの方向及
び速度を計算する一般化方程式である。

流体は圧縮可能性もしくは非圧縮性のいずれでもよい。

通常、境界条件の一部を決定する流体源及び流体シンク
が存在する。

物体内の電磁界、主に電界及び磁界もしくは関連ポテン
シャルの計算には、マックスウェルの方程式が使用され
る。ある場合には、電界と磁界は減結合される。

物体内の、半導体の移動のような種々の拡散現象には拡
散方程式が使用される。拡散の場は電子のような識別可
能な粒子であることがあり、より抽象的な場状の量でも
よい。この場合も、拡散源及び拡散シンクが境界に存在
する。

物体の表面の境界条件が計算のために決定されなげれば
ならない。たとえば、電磁気の計算では、絶縁性の境界
と導電性の境界では異なる境界条件が与えられる。同じ
く、上述のように、物体の境界の一部には、シミュレー
トされた源（ソース）及びシンクがしばしば与えられる
。

境界条件の設定のためには、ＣＡＩＤＳプログラムが存
在するが、境界条件の入力のためには簡単なプログラム
を考案することができよう。

時として、電流の場合のバルク固有抵抗のように、物体
は−様な特性を有するものとして考察されるが、たとえ
ば発生される有限要素の各々に異なる値の固有抵抗を割
当てることによって、非均−な物体についての計算を行
うことができる。

しかしながら、有限要素の計算は上述の方程式もしくは
現象に制限されるものではなく、物体内で妥当な偏微分
方程式によって記述される物理量の予測にだけ制限され
る。

第１図に戻って、この予測は段階１７６で、物体のシン
ク、ソース及び内部特性とともに物体の境界条件をセッ
トすることによって行われる。次に段階１７８で、結果
の有限差分方程式が、発生された有限要素を使用してコ
ンピュータによって計算される。

ＣＡＤシステムと分析者間の繰返しプロセスにおいては
、ＣＲＴ上に選択された物理量の２次元表示を表示する
ことが通常必要である。再び、ＣＡＩＤＳプログラムで
選択された物理量の表示が可能である。この物理量はド
メインの境界の表示と関連して通常表示されるので、分
析者は物理量の計算値をドメインの識別可能な部分に関
連付けることができる。

選択された物理量は有限差分方程式によって直接計算さ
れる量でないことがある。たとえば、抵抗性の固体を流
れる電流はしばしば電位に基づいているので、次に電位
の勾配が誘導されて電流を求めている。−度物理量が得
られると、段階１８０において、この量がＣＲＴもしく
は他の図形表示装置上で表示され、分析者に便宜が与え
られる。

段階１８２でシミュレーションが許容できる結果を生じ
たと分析者が判断すると、設計が完了する。しかしなが
ら、表示された物理量が許容不能な設計を示したと分析
者が判断すると、分析者は段階１８４でドメインの形状
を修正し、プロセス全体を繰返さなければならない。許
容不能なドメインの設計の例は、ドメインの局所的部分
における過度な温度もしくは歪である。多くのＣＡＤの
応用では、段階１８２及び１８４を自動化することは理
論的に可能であるが、分析者はこの意志決定過程につい
ての制御を保有して、形状を修正して、局所的問題を軽
（する。

Ｅ６　　ＣＡＤシステム 本発明を実施するオペレーション・システムは主にＣＡ
Ｄ（コンピュータ支援設計）システム１７０より成り、
第２０図に示される。ＣＡＤシステム１７０はすでに差
分方程式を解くためのソフトウェアが与えられているプ
ログラム内蔵コンピュータである。ＣＡＤシステム１７
０のための好ましい構造はＩＢＭ社から販売されている
、３０９０シリ一ズＩＢＭコンピュータのような、３７
０型ホスト・コンピュータに接続される、ＲＴ／ＰＣの
ようなワーク・ステーションを使用するものである。Ｃ
ＡＤシステム１７０には２次元の形状を表示するための
ＣＲＴ（［極線管）１７２が関連している。分析者はＣ
ＡＤシステム１７０をキーボード１７４及びジョイステ
ィックス１７６もしくは、同等なマウスで制御する。ジ
ョイスティック１７６は特にドメインの境界を入力する
のに使用される。この境界はＣＲＴ１７２上に直ちに表
示される。キーボードには、回転のような、表示された
イメージの調整が可能な一連のダイアルが具備されてい
る。ＣＡＤシステム１７０にはさらに本発明の粗分解法
及び密会解法が与えられている。種々のプログラムがＲ
Ｔ／ＰＣ上に常駐するか、ホスト・コンピュータ上に常
駐するかは、ワークステーションの容量及び所望の計算
速度に依存する。しかしながら、メツシュはＲＴ／ＰＣ
上に５秒以内に発生できることが見出されている。

ワークステーション中であれ、ホスト・コンピュータ中
であれ、ＣＡＤシステム１７０の内部には、第１図の方
法の主要段階間、具体的には段階１７８の有限差分方程
式の解に使用される、段階１７２及び１７４のメツシュ
の画定段階のデータを保持するメモリがある。このメツ
シュの画定で線分によって接続されたメツシュのノード
が生じる。

分析者は所望の多角形の境界をＣＡＤシステム１７０に
入力して、粗及び密分解を開始する。もし分析者が望む
ならば、ＣＡＤシステムに命令を与えて差分方程式を解
く前に、表示装置上に密要素が表示できる。分析者は次
に差分方程式の解の直接的結果を処理してＣＲＴｆ７２
上に所望の物理量を表示する。もし再設計が必要と判断
した時は、分析者はジョイステイク１７６により、ＣＡ
ＴＩＡもしくはＣＡＥＤプログラムの使用を介して、ド
メインを調整して、プロセスを繰り返す。

Ｆ　発明の効果 本発明に従えば、有限要素モデリングと共に使用される
、複雑な形状の自動粗分解及び密分解方法が与えられる
。

【図面の簡単な説明】

第１図は、コンピュータ支援設計システム中での本発明
の方法を示した全体の流れ図である。 第２図はボロノイ図の二等分線の分割、及び直線化を示
した図である。 第３．４．５．６図は粗分解によって発生した粗要素の
４つのクラスを示した図である。 第７．８．９及び１０図は粗要素の４つのクラスの密分
解を示した図である。 第１１．１２及び１３図は３つのタイプの細片除去方法
を示した図である。 第１４図は複雑な形状のボロノイ領域を示した図である
。 、第１５図は粗分解の流れ図である。 第」６図は細片除去前の、第１４図の形状のため密要素
を示した図である。 第１７図は細片除去前の、他の複雑な形状のための密要
素を示した図である。 第１８図及び第１９図は細片除去後の、第１６図及び第
１７図に対応する密要素の図である。 第２０図は本発明の方法が使用されるコンピュータ支援
設計（ｃＡＤ　）システムの図である。 １０．１１．１２・・・・ドメインの境界、１８・・・
・放物線状のアーク、２０．２２・・・・接点半径、５
０．５２・・・・シンマックス頂点。 出ａ人　インター夛ショナル・ビジネス・マシーンズ・
ツー１→タン１０．１２．１４−ｍ−境界 第２図 第８図　　　　　　　　　　第４図 第７図 第９図 第１１図 １１６しζ−−− 刀Ｔ 第１２図 第１４図 第１６図 Ｓが１７図

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）多次元オブジェクトの多角形ドメインに関する情
   報を入力して、この情報を処理し、上記処理の結果に従
   つて表示を発生するタイプの、予測された物理現象の多
   重多角形表示を発生する方法であつて、 上記処理段階は、 （ａ）直線の辺もしくは曲線部分である境界を有し、各
   々が少なく共１点で上記ドメインの境界と接する、複数
   の第１の領域に上記ドメインを分割し、 （ｂ）任意の曲線部分を、該曲線部分の両終点を接続す
   る少なく共１本の直線で置換して、上記第１の領域を調
   整しこれによつて該調整された第１の領域のすべての辺
   が線分で囲まれるようにし、（ｃ）共通の境界によつて
   分離された、上記調整された第１の領域の対を有限数の
   クラスに分類し、（ｄ）上記各クラスに適した規則に従
   つて、上記第１の領域を第２の領域に分割して、該第２
   の領域を上記表示の発生に使用する段階を有する、多重
   多角形表示を発生する方法。
2. （２）多角形の境界が線分及び隣り合う線分間の頂点よ
   り成る、１以上の多角形の境界で囲まれたドメインであ
   つて、上記頂点の一部が上記ドメインの内部に関して反
   射頂点をなす場合があるドメインを分割する方法であつ
   て、 （ａ）上記第１のドメインを複数の第１の領域に分割し
   、 ここで第１の領域の各々は上記境界の線分及び反射頂点
   の夫々の１つに、上記境界の任意の他の線分及び反射頂
   点よりも近く、上記複数の第１の領域が上記ドメインを
   埋め、上記第１の領域は上記境界に接しない第１の線、
   上記反射頂点以外の頂点で上記境界に接する第２の直線
   、及び上記境界の反射頂点に接する第３の直線で分割さ
   れていて、上記第１の線は他の第２の直線及びアーク部
   分より成るものとする、 （ｂ）上記アーク部分を該アーク部分の夫々の終点を接
   続する他の第２の直線で置換して、上記第１の領域を上
   記置換の段階によつて調整し、ここで上記第２の直線の
   すべては内部の頂点に接続されるものとする、 （ｃ）上記第１の領域を上記内部の頂点から上記線分と
   直角に交わるか、上記反射頂点と接するように延びる他
   の第３の直線によつて分割して、分割後の上記第１の領
   域の各々を上記第３の直線の２本によつて囲み、 （ｄ）第２の線によつて分離された上記分割後の第１の
   領域の対を次の４つのクラスの１つに分類し、 第１のクラス：２つの合同直角台形 第２のクラス：２つの合同直角三角形 第３のクラス：直角台形と三角形 第４のクラス：２つの合同三角形 （ｅ）上記各三角形及び台形をそのクラスに適した規制
   に従つて第２の領域に分割する段階とを有する、 ドメインの分割方法。