CN102608542A - 动力电池荷电状态估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种动力电池荷电状态估计方法，其步骤为：1.由动力电池的等效电路模型得到表述电路中各元素关系的连续的状态空间模型；通过动力电池的静置实验得到开路电压和电池荷电状态的关系，将电池荷电状态作为状态变量引入动力电池的连续的状态空间模型中；结合噪声信息得到噪声环境下的动力电池模型；最后再对连续的状态空间模型进行线性化和离散化得到线性离散的状态空间模型。2.对动力电池进行静置试验获得开路电压和电池荷电状态的关系曲线，近似得到动力电池模型中的参数k和参数d。3.采集数据系统采集到的电流和电压数据辨识得到动力电池模型的参数。4.在已确定的动力电池模型的基础上利用滚动时域估计方法估算动力电池荷电状态。

Description

动力电池荷电状态估计方法

技术领域

本发明应用于电动汽车动力电池技术领域，更具体地说，本发明涉及一种优化的动力电池荷电状态估计方法。

背景技术

电池荷电状态(State of Charge，SOC)用来表征电池的剩余电量，即剩余电量与额定容量的百分比，理论上其值在0％～100％的范围内。电池荷电状态(SOC)不能直接从电池本身获得，只能通过测量电池组的外特性参数(如电压、电流、内阻、温度等)间接估计得到。电动汽车动力电池在使用过程中，由于内部复杂的电化学反应现象，导致电池特性体现出高度的非线性，使准确估计电池荷电状态(SOC)具有很大难度。

传统的电池荷电状态(SOC)估计方法，如放电实验法、内阻法、开路电压法等，虽然估计结果较为精确，但是不适合应用在电动汽车实际行驶的情况下；而常用的安时法，即电流计量法，虽然实施简单，但其受电流采集精度的影响，会产生累积误差，并且电池荷电状态(SOC)初始值选择不当，也会导致估计结果不准确。而近几年人们研究的估计算法，如卡尔曼滤波，虽然可以在线估计电池荷电状态(SOC)，也解决了初始值带来的误差影响，并且对电动汽车复杂的工况也有较好的适应性，但其估计结果有时会出现与实际不符的不合理的情况(例如SOC＞100％或SOC＜0％等)；而采用神经网络的方法，则需要大量的参考数据，并且计算量过大。

针对上述方法中存在的问题，提出采用滚动时域估计方法解决当车辆在复杂工况运行时，因电池充电和放电电流大范围变化而产生的电池荷电状态(SOC)估计值可能会出现的超出约束范围的不合理情况。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服了现有技术存在的问题，提供了一种动力电池荷电状态估计方法。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：所述的动力电池荷电状态估计方法的步骤如下：

1.由动力电池的等效电路模型得到表述电路中各元素关系的连续的状态空间模型；通过动力电池的静置实验得到开路电压和电池荷电状态的关系，将电池荷电状态作为状态变量引入动力电池的连续的状态空间模型中；结合噪声信息得到噪声环境下的动力电池模型；最后对连续的状态空间模型进行线性化和离散化得到线性离散的状态空间模型：

x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k      (14)

y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k          (15)

其中：x_k＝[Soc_k V_d，k]^T，Soc_k和V_d，k分别是电池荷电状态和极化电压在k时刻的值，V_d，k的单位是伏特；状态空间模型输入为u_k＝I_k，I_k为动力电池工作电流，状态空间模型输出为y_k＝V_0，k，V_0，k为动力电池工作电压；A、B、C、D为离散化后的电池模型的参数矩阵：

$A\≈E+T_s{A}_t=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{T_s}{R_d\·C_d}\end{array}\right],$ $B\≈T_s{B}_t=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_s}{k\·C_b}\\ \frac{T_s}{C_d}\end{array}\right],$ C≈C_t＝[k-1]，D＝D_t＝-R_i，A_t、B_t、C_t、D_t是动力电池的连续的状态空间模型的参数矩阵，E是单位矩阵，T_s是采样间隔时间，单位是秒；电阻R_i为动力电池内阻，电阻R_d和电容C_d分别为动力电池极化电阻和动力电池极化电容，电容C_b为动力电池的存储容量，V_b为动力电池的开路电压，d和k为开路电压和电池荷电状态(SOC)关系式中的系数，单位是伏特；过程噪声w_k与测量噪声v_k的均值为零，w_k和v_k的方差分别为Q和R，Г是噪声矩阵。

2.对动力电池进行静置试验获得开路电压和电池荷电状态的关系曲线，近似得到动力电池模型中的参数k和参数d。

3.采集数据系统采集到的电流和电压数据辨识得到动力电池模型的参数。

4.在已确定的动力电池模型的基础上利用滚动时域估计方法估算动力电池荷电状态，步骤如下：

定义

在x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k与y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k所示的动力电池的线性离散的状态空间模型基础上，定义动力电池模型的输出序列为

y_j表示j时刻的电压测量值，动力电池模型中的状态变量和噪声满足以下约束条件：x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V，

其中：X、W、V分别为动力电池模型状态变量和噪声的约束集合，且集合X、W、V为凸集，此处，设定集合X＝{0＜Soc_k＜1，-∞＜V_d，k＜+∞}，即V_d无约束；而噪声约束集合为W＝{w_k＞0}、V＝{v_k＞0}，用x(k；x₀，{w_j})表示动力电池的离散的状态空间模型在k时刻的初始状态x₀和噪声序列

其通过公式

$x(k;x_0,\{w_j\left\}\right)=A^k\·x_0+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·w_j---\left(29\right)$

计算得到。

(1)初始化

确定过程噪声的方差Q、测量噪声的方差R、初始状态估计值

初始状态的协方差P以及滚动时域固定窗口长度N。

(2)当运行时间T≤N，解优化问题1，即公式(30)，此时，为全信息估计问题，即利用时域内的全部信息对目标函数进行优化求解，

$\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }\underset{k=0}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(30\right)$

公式(30)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：Φ_T(·)为优化目标函数，v_k＝y_k-C·x(k；x₀，{w_j})-D·u_k-d，解公式(30)得到最优解序列

接着通过公式

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_0^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_j^{*},k=1,...,T---\left(31\right)$

得到当前时刻状态的最优估计值

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$

和

分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态和极化电压的最优估计值。

(3)当运行时间T＞N，为减小计算量，将时域分为两部分，即T₁＝{0≤k≤T-N-1}和T₂＝{T-N≤k≤T-1}，目标函数可写成：

${\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+\underset{k=0}{\overset{T-N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P_0^{-1}}^2$

$=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Φ}}_{T-N}(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1})$

(32)

其中：

的值仅与T-N时刻的状态x_T-N和扰动序列

相关，因此，利用前向动态规划原理建立全信息估计问题与固定时域估计问题的等价关系，优化问题1转化为优化问题2即采用公式(33)求解；此时，为解固定时域估计问题，即利用固定时域窗口长度内的信息对目标函数进行优化求解；

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)---\left(33\right)$

其中： ${\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1}}{\min }\{{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1});x(T-N,x_0,\{w\left\}\right)\},$ 为到达代价函数，在计算到达代价函数时，通常选择代替测量信息

对状态x_τ的影响，以此来实现优化问题中的数据压缩；因此，公式(33)可重新描述为下面的二次规划问题，即公式(34)：

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_{T-N}-{\hat{x}}_{T-N}\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(34\right)$

公式(34)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：v_k＝y_k-C·(x_k；x_T-N，T-N，{w_k})-D·u_k-d；

解公式(34)得最优解序列为

通过公式

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_{T-N}^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_{T-N+j}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_{T-N+j}^{*}---\left(35\right)$

解得当前时刻最优估计值

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$

和

分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态和极化电压的最优估计值。

(4)在k+1时刻，得到新的电压测量值y_k+1，并构造出新的测量序列即电压值序列，返回第(2)与第(3)步骤继续计算。

与现有技术相比本发明的有益效果是：

1.本发明所述的动力电池荷电状态估计方法适用于电动汽车动力电池的电流剧烈变化的实际工作状态，因为其考虑了传统的电池荷电状态(SOC)估计方法所忽略的系统约束情况，使得估计的结果更符合动力电池的实际使用情况，能够缩小估计误差，提高对电池荷电状态(SOC)估计的合理性和准确性。

2.本发明所述的动力电池荷电状态估计方法能够利用固定时域窗口长度内的测量数据(即动力电池的工作电流和电压信息)对动力电池系统目标函数进行滚动优化求解计算，与其他基于数据的方法相比，减少了数据运算量。

3.本发明所述的动力电池荷电状态估计方法基于简化的动力电池等效电路模型，此模型结合了动力电池开路电压和电池荷电状态(SOC)的关系，能较为准确地表现电池特性，更易于滚动时域估计方法的应用。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

图1是本发明所述的动力电池荷电状态估计方法的流程框图；

图2是本发明所述的动力电池荷电状态估计方法中所采用的动力电池等效电路的模型图；

图3是对300mAh锂离子电池单体进行的60mA恒流放电快速静置标定试验的曲线图；

图4是对300mAh锂离子电池单体的试验所得数据的处理与拟合过程图；

图5是对300mAh锂离子电池单体进行试验所得开路电压和电池荷电状态(SOC)的关系图；

图6是采用本发明所述的动力电池荷电状态估计方法进行电池数据采集的流程框图；

图7是采用本发明所述的动力电池荷电状态估计方法进行滚动时域估计电池荷电状态(SOC)的流程框图。

图8是对300mAh锂离子电池单体进行的参数辨识试验时的电流曲线图；

图9是对300mAh锂离子电池单体进行的参数辨识试验时的电压曲线和辨识结果比较图；

图10是采用本发明所述的滚动时域估计方法对300mAh锂离子电池单体进行荷电状态(SOC)估计的仿真结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作详细的描述：

本发明的目的在于提供一种基于电池模型的优化的动力电池荷电状态估计方法，此方法中运用了滚动时域优化原理：利用当前时刻之前的固定时域窗口长度内的测量数据(即通过电池管理系统采集到的锂离子动力电池的电流、电压信息)对目标函数进行优化求解，其优化求解过程满足动力电池固有的约束条件，解得的最优解即为下一时刻的电池荷电状态(SOC)的估计值。以此可达到对电流波动剧烈的电动汽车行驶环境下的电池荷电状态的准确合理的估计。本发明可以应用在电池管理系统中，实时计算电池组在工作过程中电池荷电状态(SOC)的变化。

本发明所述的动力电池荷电状态估计方法的步骤如下：

1.由动力电池的等效电路模型得到表述电路中各元素关系的连续的状态空间模型。通过动力电池的静置实验得到开路电压和电池荷电状态(SOC)的关系，将电池荷电状态(SOC)作为状态变量引入动力电池的连续的状态空间模型。结合噪声信息，得到噪声环境下的动力电池模型。最后对连续的状态空间模型进行线性化和离散化得到步骤2～4中的离散的状态空间模型。具体过程如下：

1)由动力电池等效电路模型得到连续的状态空间模型

参阅图2，本发明选用的等效电路模型如图中所示，电阻R_i表示动力电池内阻，电阻R_d和电容C_d分别表示动力电池极化电阻和动力电池极化电容，电容Cb表示动力电池的存储容量。

$C_b=\frac{I_N\·T_N\·V_{100\%\mathrm{SOC}}}{\frac{1}{2}\·(V_{100\%\mathrm{SOC}}^2-V_{0\%\mathrm{SOC}}^2)}---\left(1\right)$

其中：V_100％SOC和V_0％SOC分别为电池在SOC为100％和0％时的开路电压值，单位是V；I_N是电池的额定电流，单位为A；T_N是在恒定的额定电流下的总的放电时间，单位是秒。

电容C_b和电容C_d的两端电压分别为V_b和V_d。其中V_b表示动力电池的开路电压。动力电池的工作电压和电流分别表示为V₀和I。通过等效电路各元素间的关系得到动力电池的连续的状态空间模型，如式(2)与式(3)所示：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_b\\ {\stackrel{\·}{V}}_d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{I}{C_b}\\ -\frac{1}{R_d\·C_d}\·V_d+\frac{1}{C_d}\·I\end{array}\right]---\left(2\right)$

V₀＝V_b-V_d-I·R_i       (3)

2)结合动力电池开路电压和电池荷电状态(SOC)的关系，将电池荷电状态(SOC)作为状态变量引入动力电池的连续的状态空间模型中

由图5得到动力电池开路电压与SOC的关系。由于实际中，它们的关系是分段线性的，因此，此处为简化计算，近似得到二者的线性表达式，如式(4)所示：

V_b＝k·Soc+d    (4)

其中，Soc表示动力电池的电池荷电状态(SOC)值；系数k和系数d随着电池荷电状态(SOC)和温度的变化而变化的，且系数k和系数d不为零。通过(4)式将Soc引入动力电池状态空间模型(2)与(3)中，得到模型式(5)与(6)：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{Soc}}\\ {\stackrel{\·}{V}}_d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{I}{k\·C_b}\\ -\frac{1}{R_d\·C_d}\·V_d+\frac{1}{C_d}\·I\end{array}\right]---\left(5\right)$

V₀＝k·Soc-V_d-I·R_i+d    (6)

3)结合噪声信息得到噪声环境下的动力电池模型

由动力电池的状态空间模型(5)与(6)，设动力电池模型的状态变量为x＝[Soc V_d]^T，模型输入为动力电池工作电流u＝I，输出为动力电池工作电压y＝V₀。模型(5)与(6)可以写成如式(7)与式(8)所示的噪声环境下的动力电池模型：

$\stackrel{\·}{x}=f(x,u)+\mathrm{\Γ}\·w---\left(7\right)$

y＝g(x，u)+v         (8)

其中：

$f(x,u)=\left[\begin{array}{c}-\frac{u}{k\·C_b}\\ -\frac{1}{R_d\·C_d}\·x_2+\frac{1}{C_d}\·u\end{array}\right]---\left(9\right)$

g(x，u)＝k·x₁-x₂-R_i·u+d        (10)

Г是噪声矩阵，w和v分别表示过程噪声和测量噪声，这些噪声来自模型建立时产生的误差、以及采集数据时由传感器测量精度导致的误差等。

4)将动力电池模型进行线性化

将式(7)与式(8)所示的噪声环境下的动力电池模型进行线性化处理，即将f(x，u)和g(x，u)进行一阶Taylor展开，得到式(11)与(12)：

$f(x,u)\≈f(x\left(t\right),u\left(t\right))+\frac{\∂f(x,u)}{\∂x}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}\·\mathrm{\δx}+\frac{\∂f(x,u)}{\∂u}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}\·\mathrm{\δu}---\left(11\right)$

$g(x,u)\≈g(x\left(t\right),u\left(t\right))+\frac{\∂g(x,u)}{\∂x}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}\·\mathrm{\δx}+\frac{\∂g(x,u)}{\∂u}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}\·\mathrm{\δu}---\left(12\right)$

则由式(7)与(8)所示的噪声环境下的动力电池模型经过式(11)与(12)线性化处理后得到式(13)与(14)：

$\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{x}=A_t\·\mathrm{\δx}+B_t\·\mathrm{\δu}+\mathrm{\Γ}\·w---\left(13\right)$

δy＝C_t·δx+D_t·δu+d+v    (14)

其中：

$A_t=\frac{\∂f(x,u)}{\∂x}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\frac{1}{R_d\·C_d}\end{array}\right],$ $B_t=\frac{\∂f(x,u)}{\∂u}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{k\·C_b}\\ \frac{1}{C_d}\end{array}\right],$

$C_t=\frac{\∂g(x,u)}{\∂x}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}=\left[\begin{array}{cc}k& -1\end{array}\right],$ $D_t=\frac{\∂g(x,u)}{\∂u}{|}_{x\left(t\right),u\left(t\right)}=-R_i,$

A_t，B_t，C_t，D_t为线性化后的电池模型的参数矩阵。

5)将动力电池模型离散化

将式(13)与(14)所示的线性化模型离散化后得离散模型为

x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k     (15)

y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k         (16)

其中：A≈E+T_sA_t，B≈T_sB_t，E是单位矩阵，T_s是采样间隔时间，C≈C_t，D＝D_t。过程噪声w_k和测量噪声v_k的均值为零，w_k和v_k的方差分别为Q和R；过程噪声和测量噪声互不相关。A、B、C、D为离散化后的电池模型的参数矩阵。式(15)与(16)为步骤2至4中所要应用的动力电池模型。

2.对动力电池进行静置试验，获得开路电压(OCV)和电池荷电状态(SOC)的关系曲线，近似得到动力电池模型中的参数k和参数d

本发明采用德国亚琛工业大学电力电子电力传动研究所使用的标定开路电压和电池荷电状态(SOC)关系的方法。由于动力电池到达静置状态后2分钟时的电压变化，约占到静置12小时后电压变化的50％左右，这种方法选择静置时间为5分钟，用短暂静置后的端电压来代表静置电压的变化趋势，缩短了试验周期，同时保证了所测数据的合理性。具体试验步骤如下：

1)在室温内将所选动力电池进行标准放电，使之达到放电截止电压后停止放电，准确静置12小时；

2)采用0.2C的电流对动力电池进行恒流充电，其中C为动力电池额定容量。首先对电池进行1％容量的充电，然后静置5min之后，对电池进行10％容量的间隔充电，每次静置时间保持为5min，直至充电至动力电池的充电截止电压。完成恒流充电快速静置标定试验，并记录整个试验过程的电压和电池荷电状态(SOC)数据，计算动力电池每个间隔点的静置阶段的极小值；

3)在完成对动力电池进行恒流充电快速静置标定试验后，需对目标动力电池静置12小时，让目标动力电池处于满电状态下得到充分静置，使目标动力电池达到快速放电静置试验的条件；

4)参阅图3，采用0.2C的电流对电池进行恒流放电，其中C为动力电池额定容量。首先对电池进行1％容量的放电，使电池荷电状态(SOC)达到99％，其后静置5min，再对电池进行10％容量的间隔放电，每次静置时间保持为5min，完成恒流放电快速静置标定试验后，并利用记录整个试验过程的电压和电池荷电状态(SOC)数据，计算动力电池每个间隔点的静置阶段的极大值；

5)根据步骤2)所得的极小值点拟合曲线，而这条曲线代表的是充电时开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)关系的上界。同理，根据步骤4)得到的极大值点拟合曲线，而这条曲线代表的是放电时开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)关系的下界。取这两条曲线的均值，即为开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)的对应关系。

参阅图5，图中为试验所得动力电池的开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)的非线性对应关系曲线。而在实际应用中，阶次很高的非线性拟合可能会大幅度增加SOC估计的运算量，所以此处将其关系近似线性处理，得到式(4)中的参数k和d，k和d的单位是伏特。

3.采集数据系统采集到的电流和电压数据辨识得到动力电池模型的参数

1)动力电池数据采集

参阅图6，图中所示为采集数据系统的结构框图，由型号为CHF-25P的电流传感器测量得到动力电池的输出电流，由型号为LM324的运放电路测量得到动力电池的端电压，这些采集到的模拟信号经由型号为PCLD-8115的接线板，传递至型号为PCL-818的采集卡，通过该采集卡将模拟信号转换为数字信号，最后将采集到的数据保存在工控机中。

2)模型参数辨识

在室温内，对动力电池进行标准充电，直至达到60％电池标准容量后，对动力电池准确静置12小时。激励信号选取的是幅值(4/3)C、持续时间120s的脉冲电流，对电池进行大电流激励响应实验，并在脉冲放电结束后准确静置420s。实时采集动力电池端电压值和电流值。在已测得的数据中，在k时刻的端电压V_0，k、电流I_k，以及k-1时刻的端电压V_0，k-1、电流I_k-1、开路电压值V_b，k-1构造公式(17)：

V_b，k-V_0，k＝k₁·[V_0，k-1-V_b，k-1]+k₂·I_k+k₃·I_k-1   (17)

其中：系数k₁、k₂、k₃写成如下形式：

θ＝[k₁ k₂ k₃]^T         (18)

并令

Δ_k＝V_b，k-V_0，k        (19)

ψ_k ^T＝[-Δ_k-1 I_k I_k-1]  (20)

然后，通过下述步骤求得等效电路模型的参数R_i、R_d、C_d：

(1)系统初始化，设置采样时间T_s、动力电池标称容量C_N、动力电池SOC初始值Soc₀与开路电压初始值V_b，0等；

(2)由公式

算出第k时刻的Soc_k，k＝1，2，…，n；

(3)根据开路电压V_b与SOC之间的关系函数求出第k时刻的V_b，k；

(4)给定k＝0时刻的θ和P的值，其中P是θ的估计方差，按最小二乘法原理，由公式(21)至公式(23)计算出θ＝[k₁ k₂ k₃]^T中的系数k₁、k₂、k₃；

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{N+1}={\widehat{\mathrm{\θ}}}_N+l_{N+1}\·[{\mathrm{\Δ}}_{N+1}-{{\mathrm{\ψ}}^T}_{N+1}\·{\widehat{\mathrm{\θ}}}_N]---\left(21\right)$

l_N+1＝P_N+1·ψ_N+1           (22)

$P_{N+1}=P_N-\frac{P_N\·{\mathrm{\ψ}}_{N+1}\·{{\mathrm{\ψ}}^T}_{N+1}\·P_N}{1+{\mathrm{\ψ}}_{N+1}^T\·P_N\·{\mathrm{\ψ}}_{N+1}}---\left(23\right)$

其中：N是正整数，且N∈[0，k)，

是用最小二乘法对θ的估计值，l是对θ估计的修正项。

(5)最后利用k₁、k₂、k₃与等效电路模型参数R_i、R_d、C_d的关系〔公式(23)至公式(27)〕，计算出R_i、R_d、C_d的值：

$a=\frac{k_1\·T_s}{1-k_1}---\left(24\right)$

$b=\frac{(a+T_s)\·k_2-R_i}{T_s}---\left(25\right)$

$R_i=\frac{k_3}{k_1}---\left(26\right)$

R_d＝b-R_i           (27)

$C_d=\frac{a}{R_d}---\left(28\right)$

其中：a、b为中间变量。

3)确定动力电池模型

利用R_i、R_d、C_d计算得到

$\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{x}=A_t\·\mathrm{\δx}+B_t\·\mathrm{\δu}+\mathrm{\Γ}\·w---\left(13\right)$

δy＝C_t·δx+D_t·δu+d+v     (14)

中的矩阵A_t、B_t、D_t，并由A_t、B_t、D_t和

x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k     (15)

y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k         (16)

中的矩阵A、B、D的关系，计算出矩阵A、B、D的值，进而确定动力电池模型。

4.在步骤3中确定的动力电池模型的基础上，利用滚动时域估计方法估算动力电池荷电状态(SOC)：

定义

在公式(15)与公式(16)所示的动力电池的线性离散的状态空间模型基础上，定义动力电池模型的输出序列为

即动力电池工作电压信息，y_j表示j时刻的电压测量值。动力电池模型中的状态变量和噪声满足以下约束条件：x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V，其中，X、W、V分别为动力电池模型状态变量和噪声的约束集合，且集合X、W、V为凸集。此处，我们设定X集合中{0＜Soc_k＜1，-∞＜V_d，k＜+∞}，即V_d无约束；而噪声约束集合为W＝{w_k＞0}、V＝{v_k＞0}。用x(k；x₀，{w_j})表示动力电池模型即公式(15)与公式(16)在k时刻的初始状态x₀和噪声序列

其可通过公式

$x(k;x_0,\{w_j\left\}\right)=A^k\·x_0+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·w_j---\left(29\right)$

计算得到。

参阅图7，在明确上述定义后，用滚动时域估计方法估算电池荷电状态(SOC)的步骤如下：

1)初始化：确定过程噪声的方差Q、测量噪声的方差R、初始状态估计值

初始状态的协方差P以及滚动时域固定窗口长度N。

注：当N＞1时，该算法采用固定数量数据，在线滚动优化，与卡尔曼滤波方法相比，具有更小的估计误差。如果N取值过大，求解的速度就会下降，但估计效果会随着N的增大而得到增强。所以选择时域长度N时，需要协调效果和速度这两个方面，通常选择N为二倍于系统阶次的正整数。在实际应用中要依具体情况来调整。

2)当运行时间T≤N，解优化问题1，即公式(30)。此时，为全信息估计问题，即利用时域内的全部信息对目标函数进行优化求解。

$\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }\underset{k=0}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(30\right)$

公式(30)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：Φ_T(·)为优化目标函数，v_k＝y_k-C·x(k；x₀，{w_j})-D·u_k-d，

解公式(30)得到最优解序列

接着通过解公式(31)得到当前时刻状态的最优估计值

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_0^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_j^{*},k=1,...,T---\left(31\right)$

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$

和

分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态(SOC)和极化电压的最优估计值。

3)当运行时间T＞N，为减小计算量，将时域分为两部分，即T₁＝{0≤k≤T-N-1}和T₂＝{T-N≤k≤T-1}，目标函数可写成：

${\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+\underset{k=0}{\overset{T-N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P_0^{-1}}^2$

$=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Φ}}_{T-N}(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1})$

(32)

其中：

的值仅与T-N时刻的状态x_T-N和扰动序列

相关，因此，可以利用前向动态规划原理建立全信息估计问题与固定时域估计问题的等价关系。优化问题1可以转化为优化问题2，即公式(33)。此时，为解固定时域估计问题，即利用固定时域窗口长度内的信息对目标函数进行优化求解；

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)---\left(33\right)$

其中： ${\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1}}{\min }\{{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1});x(T-N,x_0,\{w\left\}\right)\},$ 为到达代价函数。在计算到达代价函数时，通常选择

代替测量信息

对状态x_τ的影响，以此来实现优化问题中的数据压缩。因此，公式(33)可重新描述为下面的二次规划问题，即式(34)：

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_{T-N}-{\hat{x}}_{T-N}\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(34\right)$

公式(34)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：v_k＝y_k-C·(x_k；x_T-N，T-N，{w_k})-D·u_k-d；

解公式(34)得最优解序列为

通过公式(35)解得当前时刻最优估计值

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_{T-N}^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_{T-N+j}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_{T-N+j}^{*}---\left(35\right)$

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$

和分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态(SOC)和极化电压的最优估计值。

4)在k+1时刻，得到新的测量值y_k+1，并构造出新的测量序列，返回第2)与3)步骤继续计算，见图7所示的流程。

实施例：以300mAH的锂离子电池为对象

1.以300mAH对该锂离子电池进行恒流放电，放电时长为1小时，由公式

计算得到动力电池的存储容量C_b＝6747F。

2.对300mAH的锂离子电池进行静置试验，获得开路电压和电池荷电状态(SOC)的关系曲线，近似得到电池模型中的参数k和参数d。

(1)对300mAH的锂离子电池进行恒流充电快速静置标定试验，并记录整个试验过程的电压和电池荷电状态(SOC)数据，计算动力电池每个间隔点的静置阶段的极小值，如表1所示。

表1恒流充电快速静置标定试验中各个静置阶段的极小值

(2)对300mAH的锂离子电池进行恒流放电快速静置标定试验后，并利用记录整个试验过程的电压和电池荷电状态(SOC)数据，计算动力电池每个间隔点的静置阶段的极大值，如表2所示。

表2恒流放电快速静置标定试验中各个静置阶段的极大值

根据表1的极小值点数据拟合曲线，而这条曲线代表的是充电时开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)关系的上界。同理，根据表2得到的极大值点数据拟合曲线，而这条曲线代表的是放电时开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)关系的下界。取这两条曲线的均值，即为开路电压(OCV)与电池荷电状态(SOC)的对应关系，如图5所示。取SOC为10％-90％的范围，得到参数k＝0.0045，d＝3.5663。

3.采集数据系统采集到的电流和电压数据辨识得到电池模型的参数。由最小二乘法原理得到R_i＝0.235Ω、R_d＝0.1276Ω、C_d＝603F。

4.利用R_i、R_d、C_d计算得到式(12)与式(13)中的矩阵A_t、B_t、D_t，并由A_t、B_t、D_t与式(14)与式(15)中的矩阵A、B、D的关系，计算出矩阵A、B、D的值，进而确定动力电池模型，如式(36)和(37)所示。

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Soc}}_{k+1}\\ V_{d,k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{T_s}{R_d\·C_d}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Soc}}_k\\ V_{d,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{T_s}{k\·C_b}\\ \frac{T_s}{C_d}\end{array}\right]\·I_k+\mathrm{\Γ}\·w_k---\left(36\right)$

$V_{0,k}=\left[\begin{array}{cc}k& -1\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Soc}}_k\\ V_{d,k}\end{array}\right]-R_i\·I_k+d+v_k---\left(37\right)$

其中：T_s＝1_s， $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{T_s}{R_d\·C_d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0.9871\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_s}{k\·C_b}\\ \frac{T_s}{C_d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.0329\\ 0.0016\end{array}\right],$ C＝[k-1]＝[0.0045-1]，D＝-R_i＝-0.235。将此确定的模型应用于步骤5中的滚动时域估计方法中。

5.在步骤4中确定的动力电池模型的基础上，利用滚动时域估计方法估算动力电池荷电状态(SOC)。滚动时域固定窗口长度N＝6s，放电时间为100s，过程噪声的方差Q＝10，测量噪声的方差R＝10，噪声矩阵Г＝[0.1 1]，初始状态的协方差 $P=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right].$ 我们设定X集合中{10％＜Soc_k＜90％，-∞＜V_d，k＜+∞}，即V_d无约束；而噪声约束集合为W＝{w_k＞0}、V＝{v_k＞0}。仿真结果如图10所示。图10是本发明所用的滚动时域估计方法和电流积分计算的结果的比较，电流积分作为本次实验的参考值，是从放出多少电量的角度计算锂离子电池荷电状态(SOC)。从图10可以看出本发明所采用的滚动时域估计方法可以将对锂离子电池荷电状态(SOC)估计误差控制在0.5％内。

Claims (1)

1.一种动力电池荷电状态估计方法，其特征在于，所述的动力电池荷电状态估计方法的步骤如下：

1)由动力电池的等效电路模型得到表述电路中各元素关系的连续的状态空间模型；通过动力电池的静置实验得到开路电压和电池荷电状态的关系，将电池荷电状态作为状态变量引入动力电池的连续的状态空间模型中；结合噪声信息得到噪声环境下的动力电池模型；最后对连续的状态空间模型进行线性化和离散化得到线性离散的状态空间模型：

x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k         (14)

y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k             (15)

其中：x_k＝[Soc_k V_d，k]^T，Soc_k和V_d，k分别是电池荷电状态和极化电压在k时刻的值，V_d，k的单位是伏特；状态空间模型输入为u_k＝I_k，I_k为动力电池工作电流，状态空间模型输出为y_k＝V_0，k，V_0，k为动力电池工作电压；A、B、C、D为离散化后的电池模型的参数矩阵：

$A\≈E+T_s{A}_t=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{T_s}{R_d\·C_d}\end{array}\right],$ $B\≈T_s{B}_t=\left[\begin{array}{c}-\frac{T_s}{k\·C_b}\\ \frac{T_s}{C_d}\end{array}\right],$ C≈C_t＝[k-1]，

D＝D_t＝-R_i，A_t、B_t、C_t、D_t是动力电池的连续的状态空间模型的参数矩阵，E是单位矩阵，T_s是采样间隔时间，单位是秒；电阻R_i为动力电池内阻，电阻R_d和电容C_d分别为动力电池极化电阻和动力电池极化电容，电容C_b为动力电池的存储容量，V_b为动力电池的开路电压，d和k为开路电压和电池荷电状态(SOC)关系式中的系数，单位是伏特；过程噪声w_k与测量噪声v_k的均值为零，w_k和v_k的方差分别为Q和R，Г是噪声矩阵；

2)对动力电池进行静置试验获得开路电压和电池荷电状态的关系曲线，近似得到动力电池模型中的参数k和参数d；

3)采集数据系统采集到的电流和电压数据辨识得到动力电池模型的参数；

4)在已确定的动力电池模型的基础上利用滚动时域估计方法估算动力电池荷电状态，步骤如下：

定义

在x_k+1＝A·x_k+B·u_k+Г·w_k与y_k＝C·x_k+D·u_k+d+v_k所示的动力电池的线性离散的状态空间模型基础上，定义动力电池模型的输出序列为

y_j表示j时刻的电压测量值，动力电池模型中的状态变量和噪声满足以下约束条件：x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V，

其中：X、W、V分别为动力电池模型状态变量和噪声的约束集合，且集合X、W、V为凸集，此处，设定集合X＝{0＜Soc_k＜1，-∞＜V_d，k＜+∞}，即V_d无约束；而噪声约束集合为W＝{w_k＞0}、V＝{v_k＞0}，用x(k；x₀，{w_j})表示动力电池的离散的状态空间模型在k时刻的初始状态x₀和噪声序列

其通过公式

$x(k;x_0,\{w_j\left\}\right)=A^k\·x_0+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·w_j---\left(29\right)$

计算得到；

(1)初始化

确定过程噪声的方差Q、测量噪声的方差R、初始状态估计值

初始状态的协方差P以及滚动时域固定窗口长度N；

(2)当运行时间T≤N，解优化问题1，即公式(30)，此时，为全信息估计问题，即利用时域内的全部信息对目标函数进行优化求解，

$\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-1}}{\min }\underset{k=0}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(30\right)$

公式(30)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：Φ_T(·)为优化目标函数，v_k＝y_k-C·x(k；x₀，{w_j})-D·u_k-d，解公式(30)得到最优解序列

接着通过公式

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_0^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_j+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_j^{*},k=1,...,T---\left(31\right)$

得到当前时刻状态的最优估计值

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$

和

分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态和极化电压的最优估计值；

(3)当运行时间T＞N，为减小计算量，将时域分为两部分，即T₁＝{0≤k≤T-N-1)和T₂＝{T-N≤k≤T-1}，目标函数可写成：

${\mathrm{\Φ}}_T(x_0,\{w_k\left\}\right)=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+\underset{k=0}{\overset{T-N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_0-{\hat{x}}_0\left|\right|}_{P_0^{-1}}^2$

$=\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Φ}}_{T-N}(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1})$

(32)

其中：

的值仅与T-N时刻的状态x_T-N和扰动序列

相关，因此，利用前向动态规划原理建立全信息估计问题与固定时域估计问题的等价关系，优化问题1转化为优化问题2即采用公式(33)求解；此时，为解固定时域估计问题，即利用固定时域窗口长度内的信息对目标函数进行优化求解；

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)---\left(33\right)$

其中： ${\mathrm{\Θ}}_{T-N}\left(x_{T-N}\right)=\underset{x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1}}{\min }\{{\mathrm{\Φ}}_T(x_0,{\left\{w_k\right\}}_{k=0}^{T-N-1});x(T-N,x_0,\{w\left\}\right)\},$ 为到达代价函数，在计算到达代价函数时，通常选择代替测量信息

对状态x_τ的影响，以此来实现优化问题中的数据压缩；因此，公式(33)可重新描述为下面的二次规划问题，即公式(34)：

$\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }{\mathrm{\Φ}}_T(x_{T-N},\{w_k\left\}\right)=\underset{x_{T-N},{\left\{w_k\right\}}_{k=T-N}^{T-1}}{\min }\underset{k=T-N}{\overset{T-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|v_k\left|\right|}_{R^{-1}}^2+{\left|\right|w_k\left|\right|}_{Q^{-1}}^2+{\left|\right|x_{T-N}-{\hat{x}}_{T-N}\left|\right|}_{P^{-1}}^2---\left(34\right)$

公式(34)满足约束条件

x_k∈X，w_k∈W，v_k∈V

其中：v_k＝y_k-C·(x_k；x_T-N，T-N，{w_k})-D·u_k-d；

解公式(34)得最优解序列为

通过公式

${\hat{x}}_k^{*}=A^k\·{\hat{x}}_{T-N}^{*}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·B\·u_{T-N+j}+\underset{j=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}^{k-j-1}\·\mathrm{\Γ}\·{\hat{w}}_{T-N+j}^{*}---\left(35\right)$

解得当前时刻最优估计值

其中： ${\hat{x}}_k^{*}={\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{Soc}}}_k^{*}& {\hat{V}}_{d,k}^{*}\end{array}\right]}^T,$ 和

分别为在k时刻满足约束条件的电池荷电状态和极化电压的最优估计值；

(4)在k+1时刻，得到新的电压测量值y_k+1，并构造出新的测量序列即电压值序列，返回第(2)与第(3)步骤继续计算。

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