CN103529398A - 基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池soc在线估计方法 - Google Patents

Abstract

基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，属于锂离子电池荷电状态预测技术领域。本发明为了解决现有锂离子电池SOC的在线估计由于受到初值选取的影响，可靠性低的问题。它首先建立被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式和二阶RC等效电路的电压电流关系式；再对被测锂离子电池进行充放电实验，建立被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数；再获得被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀和卡尔曼滤波的初始误差协方差P(0)；然后进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计，实现锂离子电池的SOC在线估计。本发明用于锂离子电池SOC在线估计。

Description

基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法

技术领域

本发明涉及基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，属于锂离子电池荷电状态预测技术领域。

背景技术

在电池管理系统的诸多部分中，电池荷电状态SOC（State of Charge）的预测是最基本和最首要的任务，其预测的准确性，会影响到电池管理系统的控制策略，从而影响电池性能的发挥。同时，SOC也是指导电池充电或放电过程的重要参数，可以防止电池的过充和过放造成的不可恢复的损坏，能够更好地保护电池。对于应用于电动汽车的动力电池而言，通过正确地估算电池的SOC，充分利用电池的电能，可以使电动车的续航距离更长，同时能够延长电池的使用寿命，从而降低电池的使用成本。因此，准确预测锂离子电池SOC是极其重要的。

扩展卡尔曼滤波法（EKF，Extended Kalman Filter）作为一种高效的线性滤波和预测方法，近年来广泛应用于电池的SOC估计。EKF实际上是一种递推线性最小方差估计，通过实时观测值和上一时刻的估计值来进行实时估计。该方法适用于电池的各种场合，相比于其他方法，EKF能够动态跟踪SOC的真实值，更适用于电流波动剧烈的电动汽车应用环境。然而，扩展卡尔曼滤波虽然在理论上能够不受SOC初值选取的影响，但是当SOC初值远离SOC的真实值时，EKF的收敛效果和估计精度都无法让人满意，尤其是在基于一阶和二阶RC电池等效电路的扩展卡尔曼SOC估计算法中。通过一阶和二阶RC等效电路的前期实验，可以发现：当卡尔曼滤波的SOC初值越接近实际SOC初值时，估计曲线的收敛速度越快，估计的准确度越高，绝对误差的整体分布越理想。而当SOC初值足够接近SOC的真实初值时，初始误差协方差的取值越小，估计曲线的收敛速度通常越快，估计的准确度越高，绝对误差的分布越集中。可见，无论是一阶RC模型还是二阶RC模型，SOC初值和初始误差协方差的设定都会影响扩展卡尔曼滤波SOC估计算法的收敛性和精度。

现有的扩展卡尔曼滤波方法，在估计锂离子电池SOC时，只根据常规经验初步设定一个SOC初值及其初始误差协方差，这导致扩展卡尔曼滤波的收敛性和准确性受到较大影响，进而造成锂离子电池SOC的在线估计值可靠性低。

发明内容

本发明目的是为了解决现有锂离子电池SOC的在线估计由于受到初值选取的影响，可靠性低的问题，提供了一种基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法。

本发明所述基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，它包括以下步骤：

步骤一：采集被测锂离子电池的电池端电压U_o(t)和极化电压，建立被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式和二阶RC等效电路的电压电流关系式；

步骤二：对被测锂离子电池进行充放电实验，记录每次对应的电池SOC初值和电池开路电压初值U_ocv(0)，并建立被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数；

步骤三：求解所述多项式拟合函数，获得被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀，再通过梯度仿真实验，确定卡尔曼滤波的初始误差协方差P(0)；

步骤四：根据步骤三中获得的卡尔曼滤波初值SOC₀和初始误差协方差P(0)，进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计，实现锂离子电池的SOC在线估计。

步骤一中，被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p(t)-i₁(t)R_d1(t)；

式中t为时间，U_ocv(t)为被测锂离子电池的开路电压，U_p(t)为一阶RC等效电路中RC环节的极化电压，i₁(t)为一阶RC等效电路的回路电流，R_d1(t)为一阶RC等效电路中被测锂离子电池电阻；

将上述一阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p,k-i_1,kR_d1,k，

其中，U_o,k为k时刻被测锂离子电池的端电压U_ocv(t)采样值，U_ocv,k为k时刻被测锂离子电池的开路电压U_ocv(t)采样值，U_p,k为k时刻一阶RC等效电路中RC环节的极化电压U_p(t)的采样值，i_1,k为k时刻一阶RC等效电路的回路电流i₁(t)的采样值，R_d1,k为k时刻一阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻R_d1(t)的采样值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p1(t)-U_p2(t)-i₂(t)R_d2(t)；

式中U_p1(t)为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压，U_p2(t)为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电压，i₂(t)为二阶RC等效电路的回路电流，R_d2(t)为二阶RC等效电路中被测锂离子电池内阻；

将上述二阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p1,k-U_p2,k-i_2,kR_d2,k，

式中U_p1,k为k时刻二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压U_p1(t)的采样值，U_p2,k为k时刻二阶RC等效电路第二个RC环节的极化电压U_p2(t)的采样值，i_2,k为k时刻二阶RC等效电路的回路电流i₂(t)采样值，R_d2,k为k时刻二阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻采样值。

被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数为：

SOC₀=H(U_ocv(0))；

式中H为根据卡尔曼滤波初值SOC₀建立的最小二乘拟合函数。

步骤四中进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计的具体方法为：

步骤四一：确定卡尔曼滤波状态向量估计值

的估计初值

和误差协方差矩阵P_k/k的初值P_0/0：

${\hat{X}}_{0/0}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_0\\ U_{p,0}\end{array}\right],P_{0/0}=P\left(0\right),$

则被测锂离子电池一阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right],$

式中SOC_k为k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right],$

k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值SOC_k的多项式拟合函数为：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{p,k}=H_1\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p1,k}=H_2\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p2,k}=H_3\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\end{array}\right.,$

H₁，H₂和H₃均为根据充放电实验数据建立的最小二乘拟合函数；

步骤四二：计算卡尔曼滤波状态向量一步预测值

由： ${\hat{X}}_{k/k-1}=f({\hat{X}}_{k-1/k-1},i_{k-1}),$

为k-1时刻的卡尔曼滤波状态向量估计值，i_k-1为k-1时刻的系统输入向量，f为状态转移函数；

获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_p}\end{array}\right]\left[i_{1,k}\right],$

式中Δt为采样周期，τ为一阶RC等效电路中RC环节的时间常数，η为被测锂离子电池的充放电效率，C_N为被测锂离子电池的额定容量，C_p为一阶RC等效电路中RC环节的极化电容的容值，i_1,k作为k时刻的系统输入向量；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p1}}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p2}}\end{array}\right]\left[i_{2,k}\right],$

式中τ₁为二阶RC等效电路中第一个RC环节的时间常数，τ₂为二阶RC等效电路中第二个RC环节的时间常数，C_p1为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电容的容值，C_p2为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电容的容值，i_2,k作为k时刻的系统输入向量；

步骤四三：确定一步预测误差协方差矩阵P_k/k-1：

$P_{k/k-1}=A_{k-1}{P}_{k-1/k-1}{A}_{k-1}^T+Q_{k-1},$

式中A_k-1为k-1时刻的系数矩阵，为系数矩阵A_k-1的转置，Q_k-1为k-1时刻的系统噪声的方差，

对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right],$

k-1时刻的系统噪声的方差Q_k为：

$Q_k=E[w_k\×w_k^T],$

式中w_k为均值为零的系统噪声，为w_k的转置，E为数学期望表示符；

步骤四四：建立卡尔曼增益矩阵K_k：

$K_k=P_{k/k-1}{C}_k^T{(C_k{P}_{k/k-1}{C}_k^T+R_k)}^{-1},$

式中C_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差；

则获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_p\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d1}\left(t\right)i_1\left(t\right))}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1\end{array}\right],$

式中SOC(t)为被测锂离子电池荷电状态对时间t的连续函数；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_{p1}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_{p2}\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d2}\left(t\right)i_2\left(t\right))}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1& -1\end{array}\right],$

方差R_k为：

$R_k=E[v_k\×v_k^T]:$

式中v_k为均值为零的观测噪声；

步骤四五：计算获得卡尔曼滤波状态向量估计值

${\hat{X}}_{k/k}={\hat{X}}_{k/k-1}+K_k(y_k-g({\hat{X}}_{k/k-1},i_k))$

式中，y_k为系统观测向量，g为测量函数，

则对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{cc}0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+[-R_{d1,k}]\left[i_{1,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+[-R_{d2,k}]\left[i_{2,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

步骤四六：确定卡尔曼滤波误差协方差矩阵P_k/k：

P_k/k=(I-K_kC_k)P_k/k-1，

其中，I为单位矩阵；

步骤四七：返回步骤四一，循环执行步骤四一至步骤四七，以实时更新卡尔曼滤波状态向量估计值

从而获得被测锂离子电池荷电状态SOC的实时估计值SOC_k。

本发明的优点：本发明方法在运行扩展卡尔曼SOC估计之前，先将被测锂离子电池的电池端电压U_o(t)和极化电压建立关系，再通过被测锂离子电池的充放电实验，确定被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀和初始误差协方差P(0)，这样优选后的初值作为EKF的初始条件，从而保证了锂离子电池SOC在线估计的可靠收敛，进而确保了SOC的估计结果准确可靠。

本发明方法基于锂离子电池一阶和二阶模型进行扩展卡尔曼滤波SOC估计，利用实时获得的电池端电压、极化电压等数据，进行初值的选取，它使扩展卡尔曼滤波的初始状态尽可能接近电池的当前状态，从而保证了收敛速度和估计精度，增进了方法的适用性。

附图说明

图1是锂离子电池一阶RC等效电路的修正模型；

图2是锂离子电池二阶RC等效电路的修正模型；

图3是在UDDS3工况下对单体锂离子电池进行实验，获得的工况电流和工况电压图；

图4是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.01和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图5是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.01和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图6是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.05和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图7是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.05和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图8是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图9是一阶RC模型，在初始误差协方差为0.5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图10是一阶RC模型，在初始误差协方差为5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图11是一阶RC模型，在初始误差协方差为5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图12是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.01和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图13是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.01和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图14是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.05和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图15是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.05和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图16是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图17是二阶RC模型，在初始误差协方差为0.5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图18是二阶RC模型，在初始误差协方差为5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC估计曲线图；

图19是二阶RC模型，在初始误差协方差为5和SOC初值为10%、30%、50%、70%、90%时的SOC的绝对误差分布图；

图20是初值优选后的一阶卡尔曼SOC在不同P(0)时的估计结果曲线图；

图21是初值优选后的一阶卡尔曼SOC在不同P(0)时的绝对误差曲线图；

图22是初值优选后的二阶卡尔曼SOC在不同P(0)时的估计结果曲线图；

图23是初值优选后的二阶卡尔曼SOC在不同P(0)时的绝对误差曲线图；

图24是本发明方法的实现流程框图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1、图2和图24说明本实施方式，本实施方式基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，它包括以下步骤：

步骤一：采集被测锂离子电池的电池端电压U_o(t)和极化电压，建立被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式和二阶RC等效电路的电压电流关系式；

步骤二：对被测锂离子电池进行充放电实验，记录每次对应的电池SOC初值和电池开路电压初值U_ocv(0)，并建立被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数；

步骤三：求解所述多项式拟合函数，获得被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀，再通过梯度仿真实验，确定卡尔曼滤波的初始误差协方差P(0)；

步骤四：根据步骤三中获得的卡尔曼滤波初值SOC₀和初始误差协方差P(0)，进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计，实现锂离子电池的SOC在线估计。

具体实施方式二：下面结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式对实施方式一作进一步说明，本实施方式所述步骤一中，被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p(t)-i₁(t)R_d1(t)；

式中t为时间，U_ocv(t)为被测锂离子电池的开路电压，U_p(t)为一阶RC等效电路中RC环节的极化电压，i₁(t)为一阶RC等效电路的回路电流，R_d1(t)为一阶RC等效电路中被测锂离子电池电阻；

将上述一阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p,k-i_1,kR_d1,k，

其中，U_o,k为k时刻被测锂离子电池的端电压U_ocv(t)采样值，U_ocv,k为k时刻被测锂离子电池的开路电压U_ocv(t)采样值，U_p,k为k时刻一阶RC等效电路中RC环节的极化电压U_p(t)的采样值，i_1,k为k时刻一阶RC等效电路的回路电流i₁(t)的采样值，R_d1,k为k时刻一阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻R_d1(t)的采样值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p1(t)-U_p2(t)-i₂(t)R_d2(t)；

式中U_p1(t)为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压，U_p2(t)为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电压，i₂(t)为二阶RC等效电路的回路电流，R_d2(t)为二阶RC等效电路中被测锂离子电池内阻；

将上述二阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p1,k-U_p2,k-i_2,kR_d2,k，

式中U_p1,k为k时刻二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压U_p1(t)的采样值，U_p2,k为k时刻二阶RC等效电路第二个RC环节的极化电压U_p2(t)的采样值，i_2,k为k时刻二阶RC等效电路的回路电流i₂(t)采样值，R_d2,k为k时刻二阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻采样值。

本实施方式中，对电压电流关系式离散化即对其进行等间隔采样，即离散化后的关系式是原关系式在k△t处的值，△t为采样间隔，也称采样周期。

具体实施方式三：本实施方式对实施方式二作进一步说明，本实施方式所述步骤二中，被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数为：

SOC₀=H(U_ocv(0))；

式中H为根据卡尔曼滤波初值SOC₀建立的最小二乘拟合函数。

具体实施方式四：下面结合图1至图24说明本实施方式，本实施方式对实施方式三作进一步说明，本实施方式所述步骤四中进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计的具体方法为：

步骤四一：确定卡尔曼滤波状态向量估计值的估计初值和误差协方差矩阵P_k/k的初值P_0/0：

${\hat{X}}_{0/0}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_0\\ U_{p,0}\end{array}\right],P_{0/0}=P\left(0\right),$

则被测锂离子电池一阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right],$

式中SOC_k为k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right],$

k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值SOC_k的多项式拟合函数为：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{p,k}=H_1\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p1,k}=H_2\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p2,k}=H_3\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\end{array}\right.,$

H₁，H₂和H₃均为根据充放电实验数据建立的最小二乘拟合函数；

步骤四二：计算卡尔曼滤波状态向量一步预测值

由： ${\hat{X}}_{k/k-1}=f({\hat{X}}_{k-1/k-1},i_{k-1}),$

为k-1时刻的卡尔曼滤波状态向量估计值，i_k-1为k-1时刻的系统输入向量，f为状态转移函数；

获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_p}\end{array}\right]\left[i_{1,k}\right],$

式中Δt为采样周期，τ为一阶RC等效电路中RC环节的时间常数，η为被测锂离子电池的充放电效率，C_N为被测锂离子电池的额定容量，C_p为一阶RC等效电路中RC环节的极化电容的容值，i_1,k作为k时刻的系统输入向量；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p1}}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p2}}\end{array}\right]\left[i_{2,k}\right],$

式中τ₁为二阶RC等效电路中第一个RC环节的时间常数，τ₂为二阶RC等效电路中第二个RC环节的时间常数，C_p1为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电容的容值，C_p2为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电容的容值，i_2,k作为k时刻的系统输入向量；

步骤四三：确定一步预测误差协方差矩阵P_k/k-1：

$P_{k/k-1}=A_{k-1}{P}_{k-1/k-1}{A}_{k-1}^T+Q_{k-1},$

式中A_k-1为k-1时刻的系数矩阵，

为系数矩阵A_k-1的转置，Q_k-1为k-1时刻的系统噪声的方差，

对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right],$

k-1时刻的系统噪声的方差Q_k为：

$Q_k=E[w_k\×w_k^T],$

式中w_k为均值为零的系统噪声，

为w_k的转置，E为数学期望表示符；

步骤四四：建立卡尔曼增益矩阵K_k：

$K_k=P_{k/k-1}{C}_k^T{(C_k{P}_{k/k-1}{C}_k^T+R_k)}^{-1},$

式中C_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差；

则获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_p\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d1}\left(t\right)i_1\left(t\right))}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1\end{array}\right],$

式中SOC(t)为被测锂离子电池荷电状态对时间t的连续函数；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_{p1}\left(t\right)}& \frac{\∂U_o\left(t\right)}{\∂U_{p2}\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d2}\left(t\right)i_2\left(t\right))}{\∂\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1& -1\end{array}\right],$

方差R_k为：

$R_k=E[v_k\×v_k^T]:$

式中v_k为均值为零的观测噪声；

步骤四五：计算获得卡尔曼滤波状态向量估计值

${\hat{X}}_{k/k}={\hat{X}}_{k/k-1}+K_k(y_k-g({\hat{X}}_{k/k-1},i_k))$

式中，y_k为系统观测向量，g为测量函数，

则对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{cc}0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+[-R_{d1,k}]\left[i_{1,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+[-R_{d2,k}]\left[i_{2,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

步骤四六：确定卡尔曼滤波误差协方差矩阵P_k/k：

P_k/k=(I-K_kC_k)P_k/k-1，

其中，I为单位矩阵；

步骤四七：返回步骤四一，循环执行步骤四一至步骤四七，以实时更新卡尔曼滤波状态向量估计值

从而获得被测锂离子电池荷电状态SOC的实时估计值SOC_k。

本发明方法的理论基础：本发明方法为基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计方法，它把电池模型中的非线性函数通过泰勒公式展开成线性模型，再结合卡尔曼的基本滤波方程来进行SOC的估算。卡尔曼滤波不要求保存过去的测量数据，当新的数据到来时，根据新的数据和前一时刻的状态估值，再借助于系统本身的状态转移方程，按照卡尔曼滤波基本的递推公式，便可以计算出当前时刻新的状态值。锂离子电池模型为非线性系统，由状态空间模型描述非线性离散系统的卡尔曼滤波算法过程如下。

假设非线性系统离散状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{k+1}=f(x_k,u_k)+w_k\\ y_k=g(x_k,u_k)+v_k\end{array}\right.,$

其中，x_k为系统状态向量，y_k为系统观测向量，u_k为k时刻的系统输入向量，f(x_k,u_k)是非线性的状态转移函数，g(x_k,u_k)是非线性的测量函数，w_k和v_k分别为均值为零的不相关的系统噪声和观测噪声，其方差分别为Q_w和R_v。扩展卡尔曼滤波算法的递推步骤如下：

首先滤波初始值条件和P_0/0分别为：

${\hat{x}}_{0/0}=E\left[x\left(0\right)\right],P_{0/0}=E\left\{\right[x\left(0\right)-E\left[x\left(0\right)\right]\left]\right[x\left(0\right)-E\left[x\left(0\right)\right]{]}^T\},$

其中x(0)表示状态向量的初值。

状态一步预测矩阵为：

${\hat{x}}_{k/k-1}=f({\hat{x}}_{k-1/k-1},u_{k-1});$

一步预测误差协方差矩阵为：

$P_{k/k-1}=A_{k-1}{P}_{k-1/k-1}{A}_{k-1}^T+Q_{k-1};$

卡尔曼增益矩阵为：

$K_k=P_{k/k-1}{C}_k^T{(C_k{P}_{k/k-1}{C}_k^T+R_k)}^{-1};$

状态估计值为：

${\hat{x}}_{k/k}={\hat{x}}_{k/k-1}+K_k(y_k-g({\hat{x}}_{k/k-1},u_k));$

状态估计误差协方差矩阵：

P_k/k=(I-K_kC_k)P_k/k-1；

重复执行上述步骤，进行递推滤波计算。

从上面的递推关系可以知道，只要给定初始条件

和P_0/0，根据k-1时刻的状态值、k时刻获得的输入值和观测值y_k，即可推算出k时刻的状态估计值

其中系统噪声Q_k-1、测量噪声R_k以及状态估计误差协方差矩阵P_k/k都是与时间有关的量。

针对图1所示的锂离子电池一阶RC模型，可以得到连续形式的状态空间方程：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}S\stackrel{\·}{\mathrm{OC}}\\ {\stackrel{\·}{U}}_p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\frac{1}{C_p{R}_p}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{SOC}\\ U_p\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η}}{C_N}\\ \frac{1}{c_p}\end{array}\right]\left[i_1\right]\\ U_o=\left[\begin{array}{cc}0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{SOC}\\ U_p\end{array}\right]+[-R_{d1}]\left[i_1\right]+\left[U_{\mathrm{ocv}}\right]\end{array}\right.;$

式中的SOC以微分的形式表达，并把SOC和电容上的电压作为状态变量，电池的回路方程作为观测方程。

经离散化和线性化处理得到离散状态空间方程：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_{k+1}\\ U_{p,k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_p}\end{array}\right]\left[i_{1,k}\right]\\ U_{o,k}=\left[\begin{array}{cc}0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+[-R_{d1}]\left[i_{1,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right]\end{array};\right.$

其中，k为采样序数。

对比扩展卡尔曼滤波算法中的系数，得到系统状态向量X_k、系统矩阵A_k、系统输入向量u_k和观测矩阵C_k。

$\left\{\begin{array}{c}{X}_k=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right],A_k=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{\mathrm{\τ}}\end{array}\right],u_k=\left[i_{1,k}\right]\\ C_k=\frac{\∂U_o}{\∂X}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂U_o}{\∂\mathrm{SOC}}& \frac{\∂U_o}{\∂U_p}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂(U_{\mathrm{ocv}}-R_{d1}{i}_1)}{\∂\mathrm{SOC}}& -1\end{array}\right]\end{array}\right.;$

由于在每一采样时刻都要进行一次卡尔曼滤波运算，因此需要提前确定式中的各项参数。根据参数辨识结果，已获得SOC=10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%点处的各参数值，因此可以使用多项式拟合方法，建立各参数与SOC的函数关系，从而利用插值法获得任意SOC阶段，即任意时刻的各参数估计值。

上式需要对观测矩阵求偏导计算，其中

和

可以分别从开路电压和放电内阻对SOC的多项式拟合函数中计算得到。而U_ｏ与U_ｐ由于具有如下的函数关系

U_o(t)=U_ocv-U_p(t)-i₁(t)R_d1，

因此可以得到

同一阶RC模型的状态空间方程分析一样，把图2所示二阶RC模型中两个电容的电压以及SOC作为状态变量，把模型的回路程作为测量方程，可以建立离散状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_{k+1}\\ U_{p1,k+1}\\ U_{p2,k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\η\Δt}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p1}}\\ \frac{\mathrm{\Δt}}{C_{p2}}\end{array}\right]\left[i_{2,k}\right]\\ U_{o,k}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+[-R_{d2}]\left[i_{2,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right]\end{array}\right.;$

从二阶RC模型的离散状态方程中，可得出系统状态向量X_k、系统矩阵A_k、系统输入向量u_k和观测矩阵C_k：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_k=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right],A_k=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\Δt}}{{\mathrm{\τ}}_2}\end{array}\right],u_k=\left[i_{2,k}\right]\\ C_k=\frac{\∂U_o}{\∂X}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂U_o}{\∂\mathrm{SOC}}& \frac{\∂U_o}{\∂U_{p1}}& \frac{\∂U_o}{\∂U_{p2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂(U_{\mathrm{pcv}}-R_{d2}{i}_2)}{\∂\mathrm{SOC}}& -1& -1\end{array}\right]\end{array}\right.;$

对于

而言，U_ocv和R_d2都是SOC的函数，由于一阶RC模型和二阶RC模型在对U_ocv和R_d2进行参数辨识的时候，采用的是同样的方法，因而，一阶RC模型和二阶RC模型有相同的偏导。

利用扩展卡尔曼滤波SOC估算方法在UDDS3工况下对单体锂离子电池进行实验，UDDS3工况即是对UDDS工况(Urban Dynamometer Driving Schedule，城市道路循环工况)的3次循环，累计用时4110s，工况电流和工况电压如图3所示。

卡尔曼滤波递推方程中，需要确定初始值的量有SOC的初值SOC₀、极化电压值U_p1(0)和U_p2(0)、初始误差协方差P(0)、初始系统噪声方差阵Q₀、初始测量噪声方差阵R₀。其中，作为状态变量的极化电压，起始阶段极化效应并不明显，通常设为0，Q₀主要是由于模型的系统噪声和模型建立中的误差造成，可假定系统噪声误差为0。R₀是电压传感器在获取电池端电压时，引入误差的均方根值。预测估计误差协方差P(0)，由系统状态初值X(0)的方差决定。

为了准确的估算电池的荷电状态，选择合适的初始值对提高滤波的效果、估算精度和收敛速度都有着重要的影响，其中，影响最大的两个参数为初始SOC₀和P(0)，如图4至图19所示。由实验曲线图可以获各，无论初始误差协方差P(0)的取值，还是卡尔曼滤波的SOC初值，都是越接近实际SOC初值，估计曲线的收敛速度越快，估计的准确度越高，绝对误差的整体分布越理想。初始误差协方差P(0)的取值越大，估计曲线的收敛速度通常越快，但会局部出现过拟合的现象。从结果可知，初始误差协方差P(0)和SOC初值对估计结果的影响显而易见，因此，为了获得理想的收敛速度和估计精度，需要在运行卡尔曼滤波算法前，进行这两个参数的优选处理。对SOC初值的优选，需要利用一阶模型的电压电流关系：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p(t)-i₁(t)R_d1(t)，

和二阶模型的电压电流关系：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p1(t)-U_p2(t)-i₂(t)R_d2(t)，

其中。由于极化电压U_p(t)、U_p1(t)和U_p2(t)在电池充放电初期时，接近于0，因此其数值可忽略不计。另外，电池开始充放电的瞬间，回路电流通常很小，故而电压电流关系式中的项i₁(t)R_d1(t)和i₂(t)R_d2(t)亦非常小。因此，无论是一阶模型，还是二阶模型，电池在开始工作的一瞬间，可以近似认为开路电压U_ocv(t)等于输出电压U_o(t)，而开路电压与SOC初值具有明显的对应关系，可以通过多项式拟合，建立两者的拟合函数。这样，将电池开始工作时的输出电压U_o(t)代入拟合函数，就可求得SOC初值的估计值。使用该方法确定SOC初值虽然存在一定误差，但由于卡尔曼滤波具有收敛特性，因此，这一误差可在短时间的迭代过程中，逐渐消除。在SOC初值优选的基础上，再对初始误差协方差进行参数寻优，可以通过梯度实验结果进行比对、优选，以获得更准确的估计结果。

本发明的效果如图20至图23所示，其中，图20和21为初值优选后的一阶卡尔曼SOC估计结果，图22和23为初值优选后的二阶卡尔曼SOC估计结果。通过本发明所提出的初值优选方法，可以求得SOC的初值SOC(0)=0.97，基于这一先验结果，对P(0)进行参数优化，分别在P(0)=0.01、0.05、0.08、0.5、5时，运行一阶和二阶卡尔曼滤波程序，得到的SOC估计结果如图20和图22所示，其满量程误差如图21和图23所示。对一阶和二阶模型而言，最优结果均出现在P(0)=0.01处。可见P(0)取值越小，SOC估计的误差越小。并且从模型的阶数来看，电池一阶模型的精度略高于二阶模型的精度。主要原因是由于在二阶模型中有两个阻容串联组成的电路，且两个电容都有一定的初始值，在卡尔曼滤波算法的过程中，需要有更长的时间来对SOC值进行修正。但整体而言，一阶模型以及P(0)<1时的二阶模型，均能保持较高的估计精度，在初始阶段，其估计结果都能在真实值附近进行调节，具有一定的自适应能力。这说明了通过本发明所提出的初值优选方法，能够让扩展卡尔曼滤波SOC估计算法精确地跟踪电池的荷电状态，并且具有很好的动态性能，可以满足实际应用的要求。

Claims (4)

1.一种基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，其特征在于，它包括以下步骤：

步骤一：采集被测锂离子电池的电池端电压U_o(t)和极化电压，建立被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式和二阶RC等效电路的电压电流关系式；

步骤二：对被测锂离子电池进行充放电实验，记录每次对应的电池SOC初值和电池开路电压初值U_ocv(0)，并建立被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数；

步骤三：求解所述多项式拟合函数，获得被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀，再通过梯度仿真实验，确定卡尔曼滤波的初始误差协方差P(0)；

步骤四：根据步骤三中获得的卡尔曼滤波初值SOC₀和初始误差协方差P(0)，进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计，实现锂离子电池的SOC在线估计。

2.根据权利要求1所述的基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，其特征在于，

步骤一中，被测锂离子电池一阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p(t)-i₁(t)R_d1(t)；

式中t为时间，U_ocv(t)为被测锂离子电池的开路电压，U_p(t)为一阶RC等效电路中RC环节的极化电压，i₁(t)为一阶RC等效电路的回路电流，R_d1(t)为一阶RC等效电路中被测锂离子电池电阻；

将上述一阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p,k-i_1,kR_d1,k，

其中，U_o,k为k时刻被测锂离子电池的端电压U_ocv(t)采样值，U_ocv,k为k时刻被测锂离子电池的开路电压U_ocv(t)采样值，U_p,k为k时刻一阶RC等效电路中RC环节的极化电压U_p(t)的采样值，i_1,k为k时刻一阶RC等效电路的回路电流i₁(t)的采样值，R_d1,k为k时刻一阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻R_d1(t)的采样值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的电压电流关系式为：

U_o(t)=U_ocv(t)-U_p1(t)-U_p2(t)-i₂(t)R_d2(t)；

式中U_p1(t)为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压，U_p2(t)为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电压，i₂(t)为二阶RC等效电路的回路电流，R_d2(t)为二阶RC等效电路中被测锂离子电池内阻；

将上述二阶RC等效电路的电压电流关系式离散化后为：

U_o,k=U_ocv,k-U_p1,k-U_p2,k-i_2,kR_d2,k，

式中U_p1,k为k时刻二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电压U_p1(t)的采样值，U_p2,k为k时刻二阶RC等效电路第二个RC环节的极化电压U_p2(t)的采样值，i_2,k为k时刻二阶RC等效电路的回路电流i₂(t)采样值，R_d2,k为k时刻二阶RC等效电路的被测锂离子电池内阻采样值。

3.根据权利要求2所述的基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，其特征在于，步骤二中，被测锂离子电池的卡尔曼滤波初值SOC₀的多项式拟合函数为：

SOC₀=H(U_ocv(0))；

式中H为根据卡尔曼滤波初值SOC₀建立的最小二乘拟合函数。

4.根据权利要求3所述的基于扩展卡尔曼滤波的锂离子电池SOC在线估计方法，其特征在于，

步骤四中进行基于扩展卡尔曼滤波的电池SOC估计的具体方法为：

步骤四一：确定卡尔曼滤波状态向量估计值

的估计初值

和误差协方差矩阵P_k/k的初值P_0/0：

${\hat{X}}_{0/0}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_0\\ U_{p,0}\end{array}\right],P_{0/0}=P\left(0\right),$

则被测锂离子电池一阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right],$

式中SOC_k为k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的卡尔曼滤波状态向量X_k/k为：

$X_{k/k}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right],$

k时刻被测锂离子电池荷电状态SOC的估计值SOC_k的多项式拟合函数为：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_{p,k}=H_1\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p1,k}=H_2\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\\ U_{p2,k}=H_3\left({\mathrm{SOC}}_k\right)\end{array}\right.,$

H₁，H₂和H₃均为根据充放电实验数据建立的最小二乘拟合函数；

步骤四二：计算卡尔曼滤波状态向量一步预测值

由： ${\hat{X}}_{k/k-1}=f({\hat{X}}_{k-1/k-1},i_{k-1}),$

为k-1时刻的卡尔曼滤波状态向量估计值，i_k-1为k-1时刻的系统输入向量，f为状态转移函数；

获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{\mathrm{\&tau;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\&eta;\&Delta;t}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;t}}{C_p}\end{array}\right]\left[i_{1,k}\right],$

式中Δt为采样周期，τ为一阶RC等效电路中RC环节的时间常数，η为被测锂离子电池的充放电效率，C_N为被测锂离子电池的额定容量，C_p为一阶RC等效电路中RC环节的极化电容的容值，i_1,k作为k时刻的系统输入向量；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的状态转移函数f为：

$f=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{{\mathrm{\&tau;}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{{\mathrm{\&tau;}}_2}\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\&eta;\&Delta;t}}{C_N}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;t}}{C_{p1}}\\ \frac{\mathrm{\&Delta;t}}{C_{p2}}\end{array}\right]\left[i_{2,k}\right],$

式中τ₁为二阶RC等效电路中第一个RC环节的时间常数，τ₂为二阶RC等效电路中第二个RC环节的时间常数，C_p1为二阶RC等效电路中第一个RC环节的极化电容的容值，C_p2为二阶RC等效电路中第二个RC环节的极化电容的容值，i_2,k作为k时刻的系统输入向量；

步骤四三：确定一步预测误差协方差矩阵P_k/k-1：

$P_{k/k-1}=A_{k-1}{P}_{k-1/k-1}{A}_{k-1}^T+Q_{k-1},$

式中A_k-1为k-1时刻的系数矩阵，

为系数矩阵A_k-1的转置，Q_k-1为k-1时刻的系统噪声的方差，

对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{\mathrm{\&tau;}}\end{array}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，A_k-1为：

$A_{k-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{{\mathrm{\&tau;}}_1}& 0\\ 0& 0& 1-\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{{\mathrm{\&tau;}}_2}\end{array}\right],$

k-1时刻的系统噪声的方差Q_k为：

$Q_k=E[w_k\&times;w_k^T],$

式中w_k为均值为零的系统噪声，

为w_k的转置，E为数学期望表示符；

步骤四四：建立卡尔曼增益矩阵K_k：

$K_k=P_{k/k-1}{C}_k^T{(C_k{P}_{k/k-1}{C}_k^T+R_k)}^{-1},$

式中C_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差；

则获得被测锂离子电池一阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{cc}\frac{\&PartialD;U_o\left(t\right)}{\&PartialD;\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\&PartialD;U_o\left(t\right)}{\&PartialD;U_p\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\&PartialD;(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d1}\left(t\right)i_1\left(t\right))}{\&PartialD;\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1\end{array}\right],$

式中SOC(t)为被测锂离子电池荷电状态对时间t的连续函数；

被测锂离子电池二阶RC等效电路的为观测矩阵C_k为：

$C_k=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\&PartialD;U_o\left(t\right)}{\&PartialD;\mathrm{SOC}\left(t\right)}& \frac{\&PartialD;U_o\left(t\right)}{\&PartialD;U_{p1}\left(t\right)}& \frac{\&PartialD;U_o\left(t\right)}{\&PartialD;U_{p2}\left(t\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\&PartialD;(U_{\mathrm{ocv}}\left(t\right)-R_{d2}\left(t\right)i_2\left(t\right))}{\&PartialD;\mathrm{SOC}\left(t\right)}& -1& -1\end{array}\right],$

方差R_k为：

$R_k=E[v_k\&times;v_k^T]:$

式中v_k为均值为零的观测噪声；

步骤四五：计算获得卡尔曼滤波状态向量估计值

${\hat{X}}_{k/k}={\hat{X}}_{k/k-1}+K_k(y_k-g({\hat{X}}_{k/k-1},i_k))$

式中，y_k为系统观测向量，g为测量函数，

则对于被测锂离子电池一阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{cc}0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p,k}\end{array}\right]+[-R_{d1,k}]\left[i_{1,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

对于被测锂离子电池二阶RC等效电路，g为：

$g=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{SOC}}_k\\ U_{p1,k}\\ U_{p2,k}\end{array}\right]+[-R_{d2,k}]\left[i_{2,k}\right]+\left[U_{\mathrm{ocv},k}\right],$

步骤四六：确定卡尔曼滤波误差协方差矩阵P_k/k：

P_k/k=(I-K_kC_k)P_k/k-1，

其中，I为单位矩阵；

步骤四七：返回步骤四一，循环执行步骤四一至步骤四七，以实时更新卡尔曼滤波状态向量估计值从而获得被测锂离子电池荷电状态SOC的实时估计值SOC_k。

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