JPS62135965A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図）Ｆ作用（第１
図） Ｇ実施例（第１図〜第７図） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又はＣ
Ａ　Ｍ　（ｃｏｌｌｌｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎ
ｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ）において、自由曲面をもった形
状を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、ＣＡＤ、又はＣＡＭなどにおける自由曲面作
成方法において、隣合う２つのパッチを、１階微係数が
共有境界において接平面連続の条件をもつように内部の
制御点を設定するようにしたことにより、隣合う２つの
パッチを滑らかな自由曲面をもつように接続することが
できる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて、自由曲面をもった物体の
形状をデザインする場合、一般に、デザイナは曲面が通
るべき３次元空間における複数の点を指定し、当該指定
された複数の点を結ぶ境界曲線網を、所定の関数を用い
てコンピュータによって演算させることにより、いわゆ
るワイヤーフレームで表現された曲面を作成する。かく
して境界曲線によって囲まれた多数の枠組み空間を形成
することができる（このような処理を以下枠組みと呼ぶ
）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を利用して所
定の関数によって表現できる曲面を補間演算することが
できれば、全体としてデザイナがデザインした自由曲面
（２次関数で規定できないものを言う）を生成すること
ができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は全体の
曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチと呼ぶ
。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現する数式として、計算が容易な例えばベジェ（Ｂｅ
ｚｉｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｂ　−５ｐｉｔｎｅ）式
でなる３次のテンソルが使われており、例えば形状的に
特殊な特徴がないような自由曲面を数式表現するには最
適であると考えられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になる問題がある。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、テンソル
積の数式表現が簡素である利点を生かすように、簡素な
数式表現のまま隣接するパッチ相互間を接平面連続の条
件の下に簡易に接続することによって、複雑な曲面を簡
易な数式表現をもつ補間演算式によって演算し得るよう
にした自由曲面作成方法を提案しようとするものである
。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれる多数の枠組み空間を形
成し、この枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより、自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、多数のパッチのうち
、隣合う第１及び第２のパッチＳ（ｕ、いいＳ　（Ｉｌ
＋　Ｖ）　Ｚを指定し、第１のパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）
　、を表すベクトル関数の１階微係数でなり、当該第１
のパッチＳ　（ｕ＋　ｖｌ　１の共有境界ＣＯＭに沿う
方向及び横断する方向の２つのべクトルでなる第１の接
線ベクトルａ０〜ａ３を求め、第２のパッチＳ　（ｕ、
　ｖ）　Ｎを表すベクトル関数の１階微係数でなり、上
記第２のパッチの共有境界ＣＯＭに沿う方向及び横断す
る方向の第２の接線ベクトルＣ３−Ｃ３を求め、第１及
び第２の接線ベクトルａ０〜ａ３及びＣ０〜Ｃ３を上記
共有境界において接平面連続の条件が成り立つように設
定し、当該設定された第１及び第２の接線ベクトルａｌ
　％　ａ　ｚ及びＣ１５Ｃ２によって第１及び第２のパ
ッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｌ　％　Ｓ　（Ｉｌｌ　ｖ）　
２の内部に指定された位置を、内部の制御点Ｐ　（Ｉｌ
ｌ　＋　、Ｐ　＋＋ｎ　＋及びＰ　Ｈｌ）　２　、Ｐ　
（１！＋　２として用いて第１及び第２のパッチＳ　（
ｕ、　ｖ）　１及びＳ　（ｕ、　ｖ）　Ｚの共有境界Ｃ
ＯＭ周りの曲面を制御することにより、第１及び第２の
パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　１及びＳ。、ｖ）２を接続す
るようにする。

Ｆ作用 第１及び第２のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　Ｉ及びＳ　（
ｕｎ　ｖ）　ｔの内部の制御点Ｐ（＋ｎｌ・Ｐ（１２）
Ｉ及びＰｃ口＋ｚ・Ｐ（Ｉｔ）Ｚの立体曲面上の位置が
、各パッチの１階微係数が共有境界ＣＯＭにおいて接平
面連続の条件を満足するような位置に設定される。

かくして２つのパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　、及びＳ。、
Ｖ、、の共有境界ＣＯＭにおける曲面は滑らかに接続さ
れることになる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）パッチ接続の原理 この実施例において、枠組みされた境界曲線及び枠組み
空間に張られるパッチを次式のベクトル関数Ｓｌｕ、い
、 ｓＬＩ、、ｖ、　　＝　（１−ｕｎｕＥ）　ｌ′・（１
−ｖｌｖＦ）”　ＰｔｏｏＶ””’　（１）で表される
３次のベジェ式を用いて表現する。

ここでＰ（。０）は、第１図に示すように、隣合う枠組
み空間に張られた曲面すなわち第１のパッチＳ　（ｕｎ
　ｖｌ　＋及び第２のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　２が共
に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一端の
位置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置ベク
トルでなる制御点Ｐ（。。）を基準にして、第１及び第
２のパッチＳ　（ｕ、　ｖ）　＋及びＳ（ｕｎ　ＩＴｌ
　Ｚ上の自由曲面を表現する。

また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で、パッ
チ５（Ｉｌｌ　Ｖ）　Ｉ及びＳ。、ｖ、２上の位置ベク
トルで表される制御点Ｐ（１，ｊ）に対して次式、Ｅ−
Ｐ、正、ｊ）　　　””　　Ｐ　　（１＋ｌ＋　　ｊｌ
　　　　　　　　　　　　　　・・・　・・・　　（２
）Ｆ−Ｐ　（＝、ｊ、〜Ｐ　Ｃ！＋ｊ＋＋１　　　　　
　・・・・・・（３）の関係をもつ。

さらに（１）式において、ｕ、ｖはＯ〜１の間の値を変
化するパラメータで、第１図に示すように、第１及び第
２のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ及び５（Ｉｌｌ　ｖ）
　ｔに対してそれぞれ制御点Ｐ（。。）から横方向にＵ
軸をとり、かつ縦方向にＶ軸をとった座標（ｕ、　　ｖ
）を用いてパッチＳ。、ｖ、１及びＳ。、ｖ、２内の自
由曲面上の座標を表すことができる。

さらに（１）式においてｍ及びｎは、ベジェ曲面を、ｍ
次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表している
。第１図の場合ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のベジェ
式を用いて自由曲面を表現するようになされ、かくして
Ｓ　（ｕ＋ｖ□は１６個の制御点、すなわちＰ　（＋１
０１　””　Ｐ　（１）３１、Ｐ（ｔｏｌｌ〜ＰＣｌ３
１）％Ｐ（２０１）”Ｐ（ｚ３）＋−，Ｐ（３０）ＩＡ
＋Ｐ（３３□で表現されることになる。また第２のパッ
チＳ　＜ｕ、　ＩＴ）　ｚも同様にして１６個の制御点
Ｐ（。。、〜Ｐ　（０３１％　Ｐ　（１０１２”’Ｐ　
（１３１Ｚ　〜Ｐ　Ｃｇｏ１２〜Ｐ　（２３１ｔ　％　
Ｐ　Ｃ３０１ｚ　−Ｐ　（３ｚｒ　ｔによって表現する
ことができる。

このような２つのパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ及びＳ　
（Ｉｌｌ　Ｖ）　ｚは、デザイナによる枠組み処理によ
って、作られた境界曲線網上に張られており、この２つ
のパッチ間に共有境界ＣＯＭをもっている。ここで、各
境界曲線に沿って設定された制御点は、枠組み処理時に
各境界曲線を３次のベジェ式で表すために設定され、各
境界曲線の両端間における凸面側位置に４つの制御点が
指定されている。これに対しく１０） て境界曲線によって囲まれた枠組み空間内部の制御点は
、当該枠組み空間に自由曲面を張るために３次のベジェ
式を用いて補間演算するために設定される。かくして各
枠組み空間の曲面は、１６個の制御点によって表される
。

ところで、枠組み処理によって形成された境界曲線網の
多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張って
パッチを生成した場合、隣合うパッチの共有境界におけ
る曲面は一般に滑らかにはならない。そこでこの実施例
においては、２つのパッチＳ（ｌ＋＋　％１）　！及び
Ｓ　（Ｕ＋　Ｖ）　、を、共有境界ＣＯＭにおいて滑ら
かに接続するように、各パッチの制御点を設定し直して
、これらの制御点を用いてパッチに張るべき自由曲面を
補間演算する。これにより、境界曲線網に枠組みされた
曲面全体に亘って全てのパッチを滑らかに接続して行く
ことができることにより、多くの物体の外形形状を自然
に表現できる。

この共有境界ＣＯＭにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトルａ０〜ａ、１％　ｂＩ
””ｂ３　、ｃｏ　””３を求めて実現される。制御辺
ベクトルａｏ　、ａ＋　、８２　、ａｓは制御点Ｐ、。

。いＰ、。３．、Ｐ（。ｔｌ、Ｐ３゜３．から第１のパ
ッチＳ　（ｕ＋　ｖｌ　１の隣の制御点Ｐ　＋＋ｏ、Ｉ
　ＸＰ　（Ｉｌｌ　Ｉ　％Ｐ（Ｉ□１　Ｉ　、Ｐ　（＋
３１）に向かうベクトルで表される。

また、制御辺ベクトルＣＯ％ＣＩ、　Ｃ２、Ｃ３は、制
御点Ｐ、。。１、Ｐ、。ｌ、、Ｐ、。２いＰ、。３．か
ら第２のパッチＳ（ｕ、い２の隣の制御点Ｐ（＋。）２
、Ｐ　（Ｉ１）！　、Ｐ　（１２）２　、Ｐ　ＣｌＯ２
に向かうベクトルでなる。さらに制御辺ベクトルｂ、　
、ｂ、　、ｂ。

は、制御点Ｐ（。。）からＰ（。１）に向かうベクトル
、制御点Ｐ、。、）からＰ（。２）に向かうベクトル、
制御点Ｐ（。２）からＰ（。３）に向かうベクトルでな
る。

かくして共有境界ＣＯＭ周りの曲面が、制御辺ベクトル
ａｏ　”’ａ３　％　ｌ）１〜ｂｓ　、Ｃ６〜Ｃ３によ
って表され、これらの制御辺ベクトルを用いて接平面連
続の条件式を求める。接平面連続の条件は、第１に共有
境界ＣＯＭの線上の各点について、第１のパッチＳ。、
Ｖ□のＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ。、ｖ
）２のＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ　（ｕ
＋　ｖ）　ｔのＶ方向を指定する共有境界ｉｃＯＭの接
線ベクトルとが同一平面上に存在することである。ここ
で接平面は、共有境界の各点でのＵ方向及びＶ方向の接
線ベクトルによって形成される平面を呼び、従って共有
境界の各点においてパッチＳ　（ｕ＋　ＩＴ）　Ｉ及び
Ｓ　（ｕ＋　ｖｌ　ｔの接平面が同一のとき、接平面連
続の条件が成り立つ。

例えば、一方の節点でなる制御点Ｐ（。。、についての
接平面連続の条件は、第２図に示すように決められる。

すなわちパッチ５（Ｉｌｌ　Ｖ）　Ｉについて、共有境
界ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線ベク
トルａｏ、及び共有境界ＣＯＭに沿う方向（すなわちＶ
方向）の接線ベクトルｂ、の法線ベクトルｎ、は、 ｎ　Ｉ＝　ａ　ｏ　ｘ　ｂ　＋・・・”’　（４）で表
され、またパッチＳ　（＋１＋　Ｖ、、について、共有
境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベクトルｃ０、及び共
有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルｂ。

の法線ベクトルｎ２は、 ｎ、＝ｃ６　　ｘｂ、　　　　　　　　　　　＋・＋＋
　　（５）で表される。ここで接平面連続というために
は、接線ベクトルａ　Ｏ、ｔ）　Ｉ及びＣ０１ｂ＋が同
一平面になければならず、その結果法線ベクトルｎ１及
びｎ２は同一方向に向くことになる。

かかる接平面連続の条件を満足する数式を次式で表す。

（６）式においてａＳ軸、Ｖ）　Ｉ／　ａ　ｕ及びａＳ
　（Ｉｌ、　Ｖ）　ｔ　／　ａ　ｕは、それぞれ共有境
界００Ｍ上の点（ｕ、ｖ）におけるパッチＳ　（ａ＋　
ｖ）　Ｉ及びＳ（ｕ＋　ｖ）　ｚのＵ方向の接線ベクト
ル（すなわち横断接線ベクトル）を表し、（１）式を１
階偏微分することにより、 ・・・・・・　（７） ・・・・・・　（８） になる。ただし、 ａ　、＝ｐ、、１０　−　Ｐ（ｏｊ） （ｊ＝０、■、２．３）　・旧・・（９）Ｃｊ−Ｐ（Ｉ
ｊ）！Ｐ（Ｏｊｌ （ｊ＝０，１．２．３）・・・・・・（１ｏ）である。

またａ　Ｓ　（ｕ、　ｖｌ　Ｉ／　ａ　ｖは、共有境界
Ｃ０Ｍ上のパッチＳ　（ｕ＜　ｖｌ　ＩのＶ方向の接線
ベクトルで、（１）式を１階偏微分することにより、 ・・・・・・　（１）） になる。ただし、 ｂｊ＝Ｐ＋ｏｊ＋　　Ｐ（ｏｊ−＋＋　Ｎ＝１・２・３
）・・・・・・（１２） である。

また（６）式のスカラ関数λ（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν（Ｖ
）として λ　（Ｖ）　＝　（１−ｖ）　＋ｖ　　　　・・・・・
・（１３）μ（Ｖ）−に＋（１ｖ）十に２ｖ・・・・・
・（１４）ν　（Ｖ）−η＋（Ｉ　　Ｖ）” ＋（η８＋ηｚ）（（ｌｖ）・Ｖ〕 ＋η　ｖｌ　　　　　　　・・・・・・（１５）に選定
してこれを（６）式に代入する。

（１３）弐〜（１５）式のスカラ関数λ　（Ｖ）、μ（
Ｖ）、ν　（Ｖ）は、数式の形として、（１−■）の項
及びＶの項と、その積の項とをもち、μ（Ｖ）及びν（
Ｖ）には、未知数にヨ、に２及び’７１％η２を含んで
いる。かくして（１３）弐〜（１５）式を（６）式に代
入して展開したとき、（６）式の右辺及び左辺が共に、
（１−Ｖ）’、Ｖ（１−ｖ）３、Ｖ”（１−Ｖ）”、ｖ
３（１−ｖ）　、ｖ’の項の和の形に整理できるように
する。かくして（６）式に対して、（７）式、（８）式
、（１））式と、（１３）式、（１４）式、（１５）式
とを代入して整理した各項ごとに、係数部が互いに等し
くなるよう社未知数に１、に２及びη１、η２を選定す
れば、結局共有境界ＣＯＭにおいて、接平面連続の条件
を満足させることができるような制御辺ベクトルａ６　
”−ａ３１ｂＩ””ｂ３　％　Ｃ６””Ｃ３を設定する
ことができる。

実際上、（６）式の各項の係数部を互いに等しいとおく
と共に、（７）式、（８）式、（１））式に含まれてい
るＦを（２）式の関係から消去すれば、それぞれ（１−
Ｖ）’、Ｖ（１−Ｖ）３、ｖｌ（１−ｖ）２、ｖ’（１
−ｖ）　、ｖ’の項の条件からｃｏ＝ＫＩａｏ＋ηｌｂ
、・・・・−−（１６）３Ｃｔ　　＋ｃ０　＝３Ｋｔ　
　ａｔ　　＋にｚａ。

＋２η＋　　ｂｚ　　＋　　（η１　＋ηｚ）ｂ＋・・
・・・・　（１７） ３Ｃｚ　　　＋３ｃ＋　　　＝３１Ｃ＋　　　ａ、　　
　＋３１Ｃｔ　　　ａｔ＋η＋　　ｂ、ｌ　＋２　　（
η１　＋η２）ｂ２＋ηｔ　　ｂ、　　　　　　　　　
　　・・・・・・　（１８）Ｃｉ＋３Ｃｇ＝にｒａｓ＋
３Ｋｚａｇ ＋　（η、＋ηｚ）ｂｓ＋２ηｔ　　ｂ。

・・・・・・　（１９） Ｃｓ　　＝　ＩＣｔ　　ａｓ　　＋　７）ｚ　　ｂｓ　
　　　　　−・”　　（２０）の関係式を得ることがで
きる。

結局（１６）弐〜（２０）式を満足するような制御辺ベ
クトルａｏ　Ｎａ３　％　ｌ）Ｉ　〜ｂ２　＼Ｃ６〜Ｃ
３を、未知数に８、に２及びη７、η、を必要に応じて
設定して行くことによって、決めることができ、その結
果（６）式に基づく接平面連続の条件を満足させながら
第１及び第２のバッチＳ。、Ｖ）。

及びＳ。、ｖ、２を滑らかに接続することができる。

（Ｇ２）　１次元的な接続方法 このように（１）式で表されたベジェ曲面のうち、３次
式の数式を用いて２つのバッチの共有境界を連続的に接
続することができるが、この実施例においては、かかる
数式表現によって第３図に示すように１方向（例えば横
方向）に複数のバッチ・・・・・・ＳＥＬ、ＳＥ２、Ｓ
Ｅ３、ＳＥ４、ＳＥ５・・・・・・を順次接続して行く
ことによって全体として帯状に接続する自由曲面を生成
して行く。

そのため、（１６）弐〜（２０）式において、ｃｏ、Ｃ
１、Ｃｍ　、Ｃ３を消去した後、制御辺ベクトルｂ、　
、ｂ２、ｂ、を消去することにより、次式％式％） で示すように、第１のバッチＳ　Ｔｕｎ　ｖｌ　ｌ側の
制御辺ベクトルａ０〜ａ、のみで表される式を得る。

ここで、第２項をＯとおけは、制御辺ベクトルａＯ〜ａ
３について ａｏ　　　３　ａ＋　＋　３８ｚ　　ａ３＝　Ｏ−−（
２２）の関係があれば接平面連続の条件式を満足するこ
とが分かる。

ここで、（２２）式の関係から、枠組みの際に既知の制
御辺ベクトルａ　Ｏ％　ａ　３を用いて制御辺ベクトル
ａ　！　、ａ　２を求めれば、接平面連続の条件式を満
足するバッチＳ　（ＬＩＴ　Ｖ＋　１の内部の制御点Ｐ
　（＋１）１　、Ｐ　（Ｉｔｘ　を決めることができる
。

かかる演算をする際に、制御辺ベクトルａ０、ａｌ　、
ａｚ　、ａ３をその変化率が一定になるように設定する
と、制御辺ベクトルａ０及び８２間にある制御辺ベクト
ルａ、は、 のように表し得ると共に、制御辺ベクトルａ１及び８３
間にある制御辺ベクトルａ２は、のように表し得る。そ
して（２３）式及び（２４）式を（２２）式に代入する
ことにより、制御辺ベクトルａｏ−，ａＩ％　ａＺ　、
、ａｓをその変化率が一定になるように設定すれば、（
２２）式の関係を満足させることができることが分かる
。

次に（１６）式を（１７）式に代入すると、次式ＣＩを
得ることができ、また（２０）式を（１９）式に代入す
ることにより、次式 によって制御辺ベクトルＣ２を求めることができる。

（２５）弐及びく２６）式に、（２３）弐及び（２４）
式を代入すれば、制御辺ベクトルＣ１及びＣｇはＣ＋　
＝　　　（に、　ａ３　＋　（に１＋に２）ａ０＋２η
Ｉ　ｂＲ＋η２ｂ１〕　・・・・・・（２７）〔に２ａ
ｏ　＋　（に１＋に２）ａ３ ＋２ηｔｂＺ＋η＋ｂ３）　　・・・・・・（２８）の
ように、既知の制御辺ベクトルａｏ　、Ｇ３、ｂ、、ｂ
、　、ｂ、によって表されることになる。

（Ｇ３）枠組みの形態による条件 ところで、制御辺ベクトルｃ、、ｃｍの値は、枠組み処
理によって形成された共有境界ＣＯＭの両端位置の節点
を構成する制御点Ｐ、。。、及びＰ（。、）における制
御辺ベクトルａｏ　、ｂ＋　％　Ｃ。

及び＆　３−、　ｂ　３　、Ｃ，ｌの関係によって異な
る影響を受ける。そこで、枠組みの形態を３つの類型に
分類し、各類型ごとに第１及び第２のパッチＳ　（ｕ、
　ｖ）　ｌ及び５（ｔｌ＋　ｖｌ　２の制御辺ベクトル
ａ１、Ｇ２及びＣＩ　％　Ｃ２を決める。

この実施例の場合、制御辺ベクトルａ＋　、ａｇ及びｃ
、Ｃｚを決める手法として、次に述べるように、一方の
制御辺ベクトルａ、　、ａｆｉを変更せずに他方の制御
辺ベクトルのみを変更することにより、接平面連続の条
件を成立させるようにする。

すなわち枠組みの形態は、共有境界ＣＯＭの両端の節点
となる制御点Ｐ、。。〉及びＰ、。。において、２つの
パッチＳ。＋　ｖ）　Ｉ及びＳ。、い２の方向に向かう
制御辺ベクトルａ　Ｏ％　ＣＯ及びＧ２、ｃ−３が互い
に平行であるか否かによって分類する。

（１）両方が平行の場合 第３図において共有境界ＣＯＭＩによって示すように、
共有境界ＣＯＭＩの両端の制御点Ｐ（。０）及びＰ、。

８．において、２つの制御辺ベクトルａ０、ｃｏ及びａ
　３　、Ｃ３がそれぞれ互いに平行である場合、接平面
連続の条件を満足するためには、（１６）式及び（２０
）式においてη、及びη２はη、−〇１η２＝０　　　
　　　・・・・・・（２９）でなければならない。

この条件を（２７）式及び（２８）式に代入すると、に
１及びに２が互いに等しくない場合には、制御辺ベクト
ルＣ１及びＣ２は次式 ％式％）） として求めることができる。

これに対してに、及びに２が互いに等しい場合には、に
１＝に２＝にとおいてこれを（３０）弐及び（３１）式
に代入することによって と表すことができる。

従って制御点Ｐ（。。）及びＰｃｏｓ＋においてＵ方向
に向かう制御辺ベクトルが共に平行になるように枠組み
された２つのパッチ間を接平面連続の条件によって接続
するためには、一方のパッチの制御辺ベクトルａｏ、Ｇ
３に対して、他方のパッチの制御辺ベクトルＣＩ、’２
を、（３０）式、（３１）式及び（３２）式、（３３）
式で表すような関係に選定すれば良い。

（２）一方が平行でない場合 第３図において共有境界Ｃ０Ｍ３について示すように、
第１に、一方の節点でなる制御点Ｐ（。。）の制御辺ベ
クトルａ　６　、Ｃ６が互いに平行でない場合には、η
８、η２の関係は、（１６）式及び（２０）式から η、≠０、η２−０　　　　　　・・・・・・（３４）
にならなければならず、これを（２７）式及び（２８）
式に代入する。ここでに１及びに２が互いに等しくなけ
れば、制御辺ベクトルＣ，及びＣ２は、（：、＝　　　
　（に、ａ３＋　（に１＋に２）ａ０＋２η＋ｂｚ〕　
・・・・・・（３５）Ｃｔ＝　　　　（に２ａｏ　＋　
（に１　＋にｔ）ａ。

＋η＋１）＋）　　　　　・・・・・・　（３６）のよ
うに、制御点Ｐ、。。）及びＰ（。、）におけるＵ方向
の制御辺ベクトルａ０及びａ３と、共有境界Ｃ０Ｍ３に
沿うＶ方向の制御辺ベクトルｂ、　、ｂ。

とによって決まる関係に設定すれば、接平面連続の条件
を満足させながら２つのパッチを接続することができる
。

これに対してに１及びに２が互いに等しい場合には、（
３５）式及び（３６）式においてに１−に２＝にとおけ
ば、 ＣＩ＝　　　　　（にａｉ　＋２にａｏ　＋２７７＋　
　１）ｚ）・・・・・・（３７） Ｃ！　＝　−（にａｏ　＋　２にａ３＋η＋　　ｂｓ）
・・・・・・（３８） と表し得る。

また第２に、第３図において共有境界Ｃ０Ｍ３について
示すように、他方の節点でなる制御点Ｐ、。８．の制御
辺ベクトルａｊｌ、Ｃ３が互いに平行でない場合には、
η１、η２の関係は、（１６）式及び（２０）式から η、＝０、η２≠Ｏ・・・・・・（３９）にならなけれ
ばならず、これを（２７）弐及び（２８）式に代入する
。ここでに１及びにｔが互いに等しくなければ、制御辺
ベクトルＣ１及びＣ２は、（：、＝　　　　（にｌ　ａ
、、　＋　（にＩ十にｚ）ａ。

＋η２ｂ１〕　　・・・・・・（４０）（：、＝　　　
　（にＺ　ａｏ　＋　（に１十にｚ）ａ３＋２η２ｂ２
〕　・・・・・・（４１）のように、制御点Ｐ（。。）
及びＰ、。、）におけるＵ方向の制御辺ベクトルａｏ及
びａ３と、共有境界Ｃ（２Ｂ、） ０Ｍ３に沿うＶ方向の制御辺ベクトルｂ、、ｂ。

とによって決まる関係に設定すれば、接平面連続の条件
を満足させながら２つのバッチを接続することができる
。

これに対してに電及びに２が互いに等しい場合には、（
４０）式及び（４１）式においてに、−に２−にとおけ
ば、 Ｃｌ　”　　　　　（にａｓ　＋　２　ｇ　ａｏ　＋　
’）ｚ　ｂ＋）・・・・・・（４２） ｃ　ｚ　＝　−（にａ６　＋　２ｔｃ　ａ３　＋　２　
’）ｚ　ｂｉ）・・・・・・（４３） と表し得る。

（３）両方が平行でない場合 第３図において共有境界Ｃ０Ｍ２で示すように、両端の
節点でなる制御点Ｐ、。。、及びＰ、。３．におけるＵ
方向の制御辺ベクトルａ６−、ＣＯ及びａ８、Ｃ３がそ
れぞれ互いに平行でない場合、η、及びη２の関係は、
（１６）式及び（２０）式からη、≠０、η２≠Ｏ・・
・・・・（４４）の関係になければならない。

ここでに１及びに２が互いに等しくないときには、次式 〔にＩ　ａｓ　＋　（に１十にｚ）ａＯ＋２ηｌ　ｂ、
＋η２　ｂ＋　）・・・・・・（４５）ｃｚ”’　　　
　（にｔ　ａｏ　＋　（に雪＋にｔ）ａ３＋２ηｇｂｚ
＋η＋ｂｓ）・・・・・・（４６）で示すように、（２
７）式及び（２８）式で表される関係と同じ条件で、制
御辺ベクトルｃ、及びＣ２が求められる。

これに対してに１及びに２が互いに等しいときには、（
４５）弐及び（４６）式においてに１＝に２−にとおく
ことにより、制御辺ベクトルｃ１及びＣ２は （、＝　　　　（にａ、＋２にａｏ＋２ηＩ　ｂｚ＋η
２ｂ、）　　・・・・・・（４７）■ ｃ、＝　−（にａ、＋２にａ、＋２７７ｚ　ｂ。

＋η、ｂ３）　　・・・・・・（４Ｂ）のように表すこ
とができる。

このようにして節点の制御点Ｐ（。。、及びＰ（１）０
におけるＵ方向の制御辺ベクトルが互いに等しくないと
きには、（４５）式、（４６）式又は（４７）式及び（
４８）式によって表される関係に制御辺ベクトルＣ１及
びＣ２を選定することによって２つのパッチを接平面連
続の条件によって接続することができる。

（Ｇ４）バッチ接続処理手順 第３図に示すように、バッチを帯状に１次元的に接続す
る処理は、これをコンピュータによって第４図に示す処
理手順を実行することにより実現し得る。

第４図において１．ステップＳＰＩにおいて接続処理手
順が開始されると、コンピュータはステップＳＰ２にお
いてパッチデータを読み込む。このパッチデータは例え
ば別途デザイナが自由曲面をデザインする際に、３次元
空間に境界曲線網を枠組みすることにより得られる。こ
の枠組み処理に異常がなければ、境界曲線によって囲ま
れている隣合うパッチは共有境界ＣＯＭをもっており、
従って以下に述べる接続処理によってこの共有境界ＣＯ
Ｍにおいて２つのパッチを接平面連続の条件の下に滑ら
かに接続することができる。

コンピュータはステップＳＰ２においてパッチデータを
読み込んだとき、３次のベジェ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる１６個の制御点
を設定してパッチ内の補間波算を実行する。ここで、境
界曲線周りの制御辺ベクトルが補間演算の基準位置デー
タに用いられる。

か（して第１図について上述したように、共有境界ＣＯ
Ｍについて、その両端の節点でなる制御点Ｐ（ｏｎ）及
びＰ（０３）と、この制御点Ｐ（Ｏ１＋１及びＰ（。３
）間の２つの制御点Ｐ（。ｌ）及びＰ（。ゎとが設定さ
れる。

同様にして他の境界曲線についても、節点Ｐ（００）及
びＰ＋ｓｏ＞を間、Ｐ（１０）ｌ及びＰ（ｆｆ３）＋間
、Ｐ　（ｆｆ１）　＋及びＰ（０３１間％Ｐ（００１及
びＰ＋５ｏｔｉ間・Ｐ（３゜、２及びＰ。３．を間、Ｐ
＜ｓ３．を及びＰ、。３２間にそれぞれ制御点Ｐ（１０
）Ｉ及びｐ＋ｚ。）笈、Ｐ（３１）＋及びＰ、３□０、
Ｐｏ。１及びＰ（ｌゎ１、Ｐ（１０１！及びＰ　（２０
）　ｔ　、Ｐ　（３１）を及びｐ＋５ｚ）ｚ、Ｐ（ｚ３
）ｚ及びｐｎ３＋ｚが設定される。

このようにして隣合う２つのバッチＳ　（ａ、　Ｉｌｌ
　＋及びＳ　（ｕ＋　ｖ）　ｔの境界曲線についてそれ
ぞれ３次のベジェ式を表す４つの制御点が指定されると
共に、４つの境界曲線に囲まれた各パッチの内部に、各
境界線について両端の節点間に指定された２つの制御点
に対応する４つの制御点Ｐ（ＩＩ）ｌ、Ｐ＜ｚｏ＋−、
Ｐ（Ｉｕｒ−、Ｐ＋ｚｕ＋　〜Ｐ＋ｒｎｚ　ｓＰ　ｎｏ
　ｔ　、Ｐ　＋＋ｚ＋　ｔ　、Ｐ　＜ｔｔ、ｚが指定さ
れる。

かくして隣合う２つのパッチＳ（ａ＋　ｖ）　ｌ及びＳ
（。、ｖ）２に対して３次のベジェ式で表された曲面を
それぞれ張ることができる。

コンピュータはこの２つの曲面について、その共有境界
ＣＯＭを挟んで指定されている制御点によって構成され
る制御辺ベクトルａ０〜ａ３、ｂ、〜ｂ３　、ｃ、〜Ｃ
８を用いて２つのバッチが接平面連続の条件を満足する
ように共有境界ＣＯＭの節点の制御点Ｐ（。。）及びＰ
（。、）間の制御点Ｐ（。１）及びＰ（。２）から各バ
ッチ内部の中間制御点Ｐ　ｔ１目、Ｐ　＋ｔｔ＋　＋及
びＰ　（１）１２、Ｐ　Ｈ１２に向かう制御辺ベクトル
ａ、　、ａ、及びＣＩ　、Ｃｔを演算し直すことによっ
て、１次元的な接続を以下に述べるステップによって実
現する。

すなわちコンピュータは次のステップＳＰ３において、
接続すべき２つのバッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　、及びＳ（
、、、ｖ、ｔを指定した後、ステップＳＰ４に移る。

このステップＳＰ４は、接続しようとする２つのパッチ
の共有境界ＣＯＭの両端にある制御点Ｐ（。。）及びＰ
（。、）において、制御辺ベクトルが同一平面上にある
かどうかを調べる。すなわち制御点Ｐ（。。）において
制御辺ベクトルａｏ　、ｂ、、Ｃ１が同一平面になけれ
ば、接平面連続の条件が成り立たないことになり、同様
に節の制御点Ｐ、。８．において制御辺ベクトルａ、、
　、ｂ３−、Ｃ３が同一平面になければ接平面連続の条
件が成り立たないことになる。そこでコンピュータはス
テップＳＰ４において肯定結果が得られたときには次の
ステップＳＰ５に進み、これに対して否定結果が得られ
たときには、ステップＳＰ６において同一平面にない制
御辺ベクトルを回転させることによって同一平面上に修
正した後火のステップＳＰ５に進む。

このステップＳＰ５は制御点Ｐ（。。）及びＰ（。、）
間にある２つの制御点Ｐ、。、）及びＰ（。２）につい
て、各パッチＳ　（、、ｖ）　＋及びＳ　（ｌｌ＋　Ｖ
）　Ｎに向かう制御辺ベクトルａ、、ａｚ及びＣＩ　％
　ＣＺとして接平面連続の条件を満足する位置ベクトル
を求めて設定し直す。この実施例の場合、制御辺ベクト
ルａ、及びＧ２は、（２３）式及び（２４）式について
上述したように、制御点Ｐ（。。、からＰ（０３１に向
かう方向すなわちＶ方向に座標を移動させて行ったとき
の横断接線ベクトルの変化率が一定であるものとして決
められた制御辺ベクトルａ。ｓａ３に基づいて設定され
る。

かくして設定された制御辺ベクトルａｌ　、　ａｇに基
づいて（２７）式及び（２８）式を用いて他方のパッチ
の制御辺ベクトルＣＩ、Ｃ２を演算する。

この実施例の場合、コンピュータによるこのステップＳ
Ｐ５における演算は、枠組み処理の仕方によって共有境
界ＣＯＭの両端位置における境界曲線の形態に応じて、
Ｕ方向の制御辺ベクトルが平行か否かの条件に基づいて
それぞれ異なる演算式を用いて制御辺ベクトルＣＩ、Ｃ
２を求めるようになされている（　（２９）弐〜（４８
）式）。

かくしてコンピュータは隣合う２つのパッチ相互間を接
平面連続の条件で接続する処理を終わつて、次のステッ
プＳＰ６において表示装置を用いて各パッチを囲む境界
曲線の各点における法線ベクトル及びパッチ内の等高線
を表示することにより、２つのパッチの接続が滑らかで
あるか否かをオペレータが目視確認できるように表示す
る。

例えば第５図に示すように、共有境界ＣＯＭの両端の制
御点Ｐ、。。、及びＰ（。３）における係数に１及びに
２が互いに異なる場合にも、オペレータは第６図に示す
ように、ステップＳＰ２〜ＳＰ５の接続処理によって生
成された曲面の共有境界ＣＯＭにおける法線ベクトルが
同一になることを、他の境界線上の法線ベクトルと共に
目視確認し得る。

この表示を見てオペレータは次のステップＳＰ７におい
て、各パッチＳ　（ａｎ　ｖ）　Ｉ及び５（ａｎ　ｖｌ
　ｔについて共有境界Ｃ０Ｍ上の法線ベクトルが互いに
一致したか否かを確認でき、一致していない場合にはス
テップＳＰ８においてその原因を調べ、必要に応じて数
値的な修正を行う。かくして一連のバッチ接続処理手順
をステップＳＰ９において終了する。

（Ｇ５）実施例の効果 上述のように構成すれば、オペレータが枠組み処理によ
って形成した枠組み空間に張られた隣合うパッチを、そ
の１階微係数が共有境界において接平面連続となるよう
に接続することができ、かくして全体として滑らかな自
由曲面を生成できる曲面作成装置を得ることができる。

かくするにつき、３次の補間演算式を用いるようにした
ことにより、作成した曲面の予測が容易な条件の下でパ
ッチの接続をし得る。

また上述の実施例のように、枠組み形態が異なるとき、
これに応じて異なる補間演算式を用いるようにしたこと
により、多様な枠組み形態に最適な条件で、パッチを滑
らかに接続することができる。

また、第６図について上述したように、共有境界ＣＯＭ
の法線ベクトルを表示装置によって表示することにより
、パッチの接続結果を誤りなく表示することができる。

因に、上述のように接続処理をする前の不連続のままに
すると、２つのパラチＳ　（ｕ、　ｖ）　（及びＳ（ｕ
＋　Ｖ）　２の共有境界ＣＯＭの法線ベクトルは一致し
ないので第７図に示すように開いた状態に表示されるの
に対して、接続処理をすれば、第６図について上述した
ように、２つのパッチの法線ベクトルは閉じて１本のよ
うに表示される。かくして共有境界が連続であることを
容易に目視確認できる。

（Ｇ６）他の実施例 なお上述においては、（２１）式及び（２２）式に基づ
いて制御辺ベクトルａ１及びＧ２を設定するにつき、■
方向に見たときの横断接線ベクトルの変化率が一定であ
るという条件を用いた場合について述べたが、これに代
え、例えば（２２）式において ａｏ−３ａ、−〇　　　　　　　　・・・・・・（４９
）となるように制御辺ベクトルａ１を ａ　１−　　　　ａ　ｏ　　　　　　　　　・・・・＝
　（５０）のように設定し、その結果制御辺ベクトルａ
２が（２２）式の関係から ａ　、　＝＝−ａ　３　　　　　　　　　・・・・・・
（５１）のように設定することができる。

このようにして設定した制御辺ベクトルａ、及びＧ２に
基づいて、（５０）式及び（５１）式を、（２５）式及
び（２６）式に代入することによって制御辺ベクトルＣ
１及びＣ２を次式 ％式％ として求めることができる。

また上述においては、３次のベジェ式を用いてパッチの
補間演算をする場合について述べたが、数式の次数はこ
れに限らず４次以上にしても良い。

さらに上述においては、パッチの補間演算をベジェ式を
用いた場合について述べたが、これに限らず、スプライ
ン式、クーンズ（Ｃ＋ｏｏｎｓ）式、フオーガソン（Ｆ
ｕｒｇａｓｏｎ）式などの他の数式を用いるようにして
も良い。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、隣合う２つのパッチの内
部の曲面を表す制御点を、各パッチのベクトル関数の１
階微係数でなる接線ベクトルを用いて、接平面連続の条
件を満足するように設定するようにしたことにより、２
つのパッチを容易に滑らかに接続することができる自由
曲面作成装置を実現し得る。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法において用いら
れる制御辺ベクトルを示す路線図、第２図は第１図の共
有境界における接平面連続の条件の説明に供する路線図
、第３図はパッチの１次元的接続でなる枠組み形態を示
す路線図、第４図は２つのパッチを接続する際に用いら
れる接続処理手順を示すフロチャート、第５図は枠組の
一例を示す路線図、第６図は本発明の実施例によって接
続した場合の共有境界の接続状態の表示を示す路線図、
第７図は接続処理をする前の接続状態を示す路線図であ
る。 Ｓ　（ｕｌｖｌ　Ｉ　％　Ｓ　（Ｉｌｌ　ｖ）ｚ−−ノ
マツチ、ａ（１ｘａ、、ｂＩ−ｂ３、ｃｏ−ｃ、・・・
・・・制御辺ベクトル、Ｐ　（００１″′Ｐ　（ｏｓ）
＋、　Ｐ　（１０１）Ａ′Ｐ　（３３１）％　Ｐ　ｈＯ
）ｔ〜Ｐｆ３３１）＋・・・・・・制御点、ＳＥ１〜Ｓ
Ｅ５・・・・・・パッチ、ＣＯＭ、ＣＯＭＩ〜Ｃ０Ｍ３
・・・・・・共有境界。

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. （１）枠組み処理によって境界曲線で囲まれる多数の枠
   組み空間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関
   数で表されるパッチを張ることにより、自由曲面を生成
   するようになされた自由曲面作成方法において、 上記多数のパッチのうち、隣合う第１及び第２のパッチ
   を指定し、 上記第１のパッチを表すベクトル関数の１階微係数でな
   り、上記第１のパッチの共有境界に沿う方向及び横断す
   る方向の２つのベクトルでなる第１の接線ベクトルを求
   め、 上記第２のパッチを表すベクトル関数の１階微係数でな
   り、上記第２のパッチの共有境界に沿う方向及び横断す
   る方向の２つのベクトルでなる第２の接線ベクトルを求
   め、 上記第１及び第２の接線ベクトルを、上記共有境界にお
   いて接平面連続の条件が成り立つように設定し、当該設
   定された上記第１及び第２の接線ベクトルによって上記
   第１及び第２のパッチの内部に指定された位置を、内部
   の制御点として用いて上記第１及び第２のパッチの上記
   共有境界周りの曲面を制御することにより、上記第１及
   び第２のパッチを接続する ことを特徴とする自由曲面作成方法。
2. （２）上記枠組み空間に張られるパッチを３次の補間演
   算式によって表してなる特許請求の範囲第１項に記載の
   自由曲面作成方法。
3. （３）上記多数のパッチを１次元的方向に順次接続され
   るように枠組みしてなる特許請求の範囲第１項に記載の
   自由曲面作成方法。
4. （４）上記内部の制御点を、上記共有境界の両端におけ
   る境界曲線の形態の変化に対応する数式を用いて演算す
   るようにしてなる特許請求の範囲第１項に記載の自由曲
   面作成方法。