JP3148792B2 - 自由曲面生成方法及びその装置 - Google Patents
自由曲面生成方法及びその装置Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、自由曲面生成方法及び
その装置に関し、より詳細には、三次元立体形状処理装
置の形状生成に係る自由曲面生成方法及びその装置に関
する。例えば、曲線メッシュで定義される立体的形状で
の自由曲面生成方法に適用されるものである。
その装置に関し、より詳細には、三次元立体形状処理装
置の形状生成に係る自由曲面生成方法及びその装置に関
する。例えば、曲線メッシュで定義される立体的形状で
の自由曲面生成方法に適用されるものである。
【０００２】
【従来の技術】ＣＡＤ（Computer Aided Design）シス
テムを用いた形状設計において、最も重要な課題のひと
つに複雑な自由曲面を持った形状を容易に設計できるこ
とが挙げられる。設計者が自由曲面形状を設計する場合
には、その設計手法に即した直感的でしかも容易な形状
入力機能を持ったＣＡＤシステムが望まれる。一般に、
自由曲面を入力する場合には断面線や曲面の境界曲線な
どの曲面を特徴づける特徴線を入力する方法が考えられ
る。これらの方法では、設計者はまず曲面の境界曲線を
表す曲線メッシュを定義し、それから曲線メッシュで囲
まれる領域を自由曲面で内挿する。入力された曲線メッ
シュは、設計したい形状の大まかな形状を表している。
したがって、曲線メッシュを内挿する場合には、設計者
の意図どおりの曲面形状が得られなければならない。
テムを用いた形状設計において、最も重要な課題のひと
つに複雑な自由曲面を持った形状を容易に設計できるこ
とが挙げられる。設計者が自由曲面形状を設計する場合
には、その設計手法に即した直感的でしかも容易な形状
入力機能を持ったＣＡＤシステムが望まれる。一般に、
自由曲面を入力する場合には断面線や曲面の境界曲線な
どの曲面を特徴づける特徴線を入力する方法が考えられ
る。これらの方法では、設計者はまず曲面の境界曲線を
表す曲線メッシュを定義し、それから曲線メッシュで囲
まれる領域を自由曲面で内挿する。入力された曲線メッ
シュは、設計したい形状の大まかな形状を表している。
したがって、曲線メッシュを内挿する場合には、設計者
の意図どおりの曲面形状が得られなければならない。
【０００３】一般に、曲線メッシュは、Ｂezier 曲線や
ＮＵＲＢＳ（Non Uniform RationalB-Spline）曲線など
様々なタイプの曲線で構成されている。また、設計する
形状によっては、３角形や５角形のような非４辺形とな
る領域も含んだ不規則な曲線メッシュが現れる。このよ
うに、様々なタイプの曲線で構成され、かつ不規則な領
域を含んだ曲線メッシュを、設計者が意図した曲面形状
で内挿することが要求される。
ＮＵＲＢＳ（Non Uniform RationalB-Spline）曲線など
様々なタイプの曲線で構成されている。また、設計する
形状によっては、３角形や５角形のような非４辺形とな
る領域も含んだ不規則な曲線メッシュが現れる。このよ
うに、様々なタイプの曲線で構成され、かつ不規則な領
域を含んだ曲線メッシュを、設計者が意図した曲面形状
で内挿することが要求される。
【０００４】不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿する
ための代表的な曲面表現として、Ｇregory パッチや有
理境界Ｇregory パッチが挙げられる。これらの曲面表
現を使って、３角形や５角形などの不規則な曲線メッシ
ュをＧ1連続に内挿することが可能となる。しかしこれ
らの曲面表現では、その境界曲線はＢezier 曲線や有理
Ｂezier 曲線で表現されるために、ＮＵＲＢＳ曲線のよ
うな複合曲線を境界とすることができなかった。
ための代表的な曲面表現として、Ｇregory パッチや有
理境界Ｇregory パッチが挙げられる。これらの曲面表
現を使って、３角形や５角形などの不規則な曲線メッシ
ュをＧ1連続に内挿することが可能となる。しかしこれ
らの曲面表現では、その境界曲線はＢezier 曲線や有理
Ｂezier 曲線で表現されるために、ＮＵＲＢＳ曲線のよ
うな複合曲線を境界とすることができなかった。
【０００５】Ｇregory パッチ、有理境界Ｇregory パッ
チは、不規則な曲線メッシュをＧ1連続に内挿すること
ができるが、曲面の表現式の制約から、非４辺形面を内
挿する場合には面を分割する内部曲線が内挿の過程で生
成される。この内部曲線によって面は複数の４角形領域
に分割されて、これらの領域がＧregory パッチまたは
有理境界Ｇregory パッチで内挿される。このとき、曲
線メッシュの形状が４角形であっても、各境界曲線が１
本のＢezier 曲線または有理Ｂezier 曲線で表現できな
ければ、このような領域は４角形とはみなされずに非４
辺形として扱われ、内挿の過程で内部曲線が生成され
る。
チは、不規則な曲線メッシュをＧ1連続に内挿すること
ができるが、曲面の表現式の制約から、非４辺形面を内
挿する場合には面を分割する内部曲線が内挿の過程で生
成される。この内部曲線によって面は複数の４角形領域
に分割されて、これらの領域がＧregory パッチまたは
有理境界Ｇregory パッチで内挿される。このとき、曲
線メッシュの形状が４角形であっても、各境界曲線が１
本のＢezier 曲線または有理Ｂezier 曲線で表現できな
ければ、このような領域は４角形とはみなされずに非４
辺形として扱われ、内挿の過程で内部曲線が生成され
る。
【０００６】特に、自由曲面を切断することで生成され
る干渉線や、オフセット曲面の境界曲線を含んだ曲線メ
ッシュには、複合曲線が現われ、このようなメッシュは
位相的には４角形でも、複数のＧregory パッチによっ
て内挿することになる。内部曲線は境界曲線に依存して
生成されるために、境界曲線の形状によっては歪みが発
生し、生成される曲面の形状が意図したものとはならな
い。また、一般的に内部曲線の形状を境界曲線の変形に
よって制御することは困難である。
る干渉線や、オフセット曲面の境界曲線を含んだ曲線メ
ッシュには、複合曲線が現われ、このようなメッシュは
位相的には４角形でも、複数のＧregory パッチによっ
て内挿することになる。内部曲線は境界曲線に依存して
生成されるために、境界曲線の形状によっては歪みが発
生し、生成される曲面の形状が意図したものとはならな
い。また、一般的に内部曲線の形状を境界曲線の変形に
よって制御することは困難である。
【０００７】一方、ＮＵＲＢＳ曲面では、境界曲線がＮ
ＵＲＢＳ曲線で表されるので、曲線メッシュ内に複合曲
線が存在しても問題はない。しかしＮＵＲＢＳ曲面は、
不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿することは困難で
ある。また、ＮＵＲＢＳ曲面では、曲面内部の連続性は
ノットベクトルと制御点に依存しているために、１枚の
面を
ＵＲＢＳ曲線で表されるので、曲線メッシュ内に複合曲
線が存在しても問題はない。しかしＮＵＲＢＳ曲面は、
不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿することは困難で
ある。また、ＮＵＲＢＳ曲面では、曲面内部の連続性は
ノットベクトルと制御点に依存しているために、１枚の
面を
【０００８】
【数２】
【０００９】連続なパッチの集合として表現することは
一般に困難である。このように、従来技術としては、複
合曲線を含まない不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿
する技術と、複合曲線を含んだ不規則でない曲線メッシ
ュを滑らかに内挿する技術がある。しかし、従来技術で
は、複合曲線を含んだ不規則な曲線メッシュをも歪みの
ない自由曲面で内挿することが困難であった。
一般に困難である。このように、従来技術としては、複
合曲線を含まない不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿
する技術と、複合曲線を含んだ不規則でない曲線メッシ
ュを滑らかに内挿する技術がある。しかし、従来技術で
は、複合曲線を含んだ不規則な曲線メッシュをも歪みの
ない自由曲面で内挿することが困難であった。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】本発明は、上述のごと
き実情に鑑みてなされたもので、複合曲線を含んだ不規
則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿すること
を可能にする自由曲面生成方法を提供することを目的と
するものである。なお、一般境界Ｇregory パッチは、
一般Ｃoons パッチを拡張したもので、Ｇregory パッ
チ、有理境界Ｇregory パッチ、一般Ｃoons パッチの特
徴を継承した曲面表現である。より具体的には、一般境
界Ｇregory パッチによる内挿方法によって、例えば、
複合曲線を共有境界とする２枚の曲面間を滑らかに接続
すること、また、曲線メッシュのすべての曲線に対し
て、共有境界を滑らかに内挿する内部制御点を発生し、
該内部制御点から一般境界Ｇregory パッチを生成する
ので、この結果、隣接する曲面となめらかに接続された
自由曲面を生成すること、また、一般境界Ｇregory パ
ッチは、任意のタイプの曲線を曲面の境界曲線とするこ
とができ、境界曲線と境界横断導関数を独立して定義で
きる特徴を持っているので、このことから、曲線のタイ
プがＢezier または有理Ｂezier 曲線のときに、隣接す
る曲面をＧregoryパッチまたは有理境界Ｇregory パッ
チで内挿してもこれらのタイプの曲面となめらかに接続
すること、一般境界Ｇregory パッチは、複合曲線を境
界とすることができるので、複合曲線は区分多項式で表
現され、Ｂezier 曲線や有理Ｂezier 曲線の集りと考え
ることができ、このため、複合曲線で囲まれた領域は大
きな曲面となり、従来複雑な曲線メッシュで表現された
形状が、より少ない曲線で表現できるため、形状の把握
を容易にすること、また、複合曲線は自由曲面の切断や
オフセットによって曲線メッシュ内に現れるため、従来
は、複数のパッチによってこのような領域を内挿してい
たが、曲線の形状によっては、歪んだ曲面が生成される
ので、特に、位相的に４角形な領域も複合曲線を境界と
したときには、歪む可能性が高く、このような場合に
も、一般境界Ｇregory パッチでは１枚の自由曲面でメ
ッシュを内挿できるので歪みが発生しないこと、さら
に、一般境界Ｇregory パッチは、１つの多項式で表現
されるので、曲線の内部はＣ〔ｎ〕連続になることが保
証されるようにした自由曲面生成方法及びその装置を提
供することを目的としてなされたものである。
き実情に鑑みてなされたもので、複合曲線を含んだ不規
則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿すること
を可能にする自由曲面生成方法を提供することを目的と
するものである。なお、一般境界Ｇregory パッチは、
一般Ｃoons パッチを拡張したもので、Ｇregory パッ
チ、有理境界Ｇregory パッチ、一般Ｃoons パッチの特
徴を継承した曲面表現である。より具体的には、一般境
界Ｇregory パッチによる内挿方法によって、例えば、
複合曲線を共有境界とする２枚の曲面間を滑らかに接続
すること、また、曲線メッシュのすべての曲線に対し
て、共有境界を滑らかに内挿する内部制御点を発生し、
該内部制御点から一般境界Ｇregory パッチを生成する
ので、この結果、隣接する曲面となめらかに接続された
自由曲面を生成すること、また、一般境界Ｇregory パ
ッチは、任意のタイプの曲線を曲面の境界曲線とするこ
とができ、境界曲線と境界横断導関数を独立して定義で
きる特徴を持っているので、このことから、曲線のタイ
プがＢezier または有理Ｂezier 曲線のときに、隣接す
る曲面をＧregoryパッチまたは有理境界Ｇregory パッ
チで内挿してもこれらのタイプの曲面となめらかに接続
すること、一般境界Ｇregory パッチは、複合曲線を境
界とすることができるので、複合曲線は区分多項式で表
現され、Ｂezier 曲線や有理Ｂezier 曲線の集りと考え
ることができ、このため、複合曲線で囲まれた領域は大
きな曲面となり、従来複雑な曲線メッシュで表現された
形状が、より少ない曲線で表現できるため、形状の把握
を容易にすること、また、複合曲線は自由曲面の切断や
オフセットによって曲線メッシュ内に現れるため、従来
は、複数のパッチによってこのような領域を内挿してい
たが、曲線の形状によっては、歪んだ曲面が生成される
ので、特に、位相的に４角形な領域も複合曲線を境界と
したときには、歪む可能性が高く、このような場合に
も、一般境界Ｇregory パッチでは１枚の自由曲面でメ
ッシュを内挿できるので歪みが発生しないこと、さら
に、一般境界Ｇregory パッチは、１つの多項式で表現
されるので、曲線の内部はＣ〔ｎ〕連続になることが保
証されるようにした自由曲面生成方法及びその装置を提
供することを目的としてなされたものである。
【００１１】
【課題を解決するための手段】本発明は、上記目的を達
成するために、（１）隣接する面を構成するすべての複
合曲線での境界横断導関数を計算して記録装置に記憶
し、計算された境界横断導関数が多項式関数かどうかを
判定し、多項式関数と判定されると、前記境界横断導関
数から多項式曲面の制御点を生成し、多項式関数でない
と判定されると、前記境界横断導関数から有理曲面の制
御点を生成すること、更には、（２）前記生成する制御
点は、すべての境界曲線の内部制御点を生成し、該内部
制御点を組み合わせること、更には、（３）前記（１）
または（２）において、前記隣接する面はＧregoryパッ
チであること、更には、（４）前記（１）または（２）
において、前記隣接する面は有理境界Ｇregoryパッチで
あること、更には、（５）３次元形状データに対し、面
を構成する２本以上からなるすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算して記憶するＣＢＤ計算ユニットと、
該ＣＢＤ計算ユニットで計算された境界横断導関数が多
項式関数かどうかを判定する有理式・非有理式判定ユニ
ットと、該有理式・非有理式判定ユニットにより多項式
関数と判定されると、前記境界横断導関数から多項式曲
面の制御点を生成する多項式曲面生成ユニットと、前記
有理式・非有理式判定ユニットにより多項式関数でない
と判定されると、前記境界横断導関数から有理曲面の制
御点を生成する有理曲面生成ユニットとを有すること、
更には、（６）前記（５）において、前記ＣＢＤ計算ユ
ニットは、境界曲線の制御点と重み、境界曲線につなが
る曲線の制御点と重みを記憶する３次元境界曲線記憶ユ
ニットと、境界曲線の端点におけるＧ1連続性を判定す
るＧ1連続性判定ユニットと、有理曲線か多項式曲線か
を判定する曲線タイプ判定ユニットと、有理曲線とも多
項式曲線とも判定されない場合に、境界の端点での微分
ベクトルから仮想的な多項式曲線を生成する仮想曲線生
成ユニットと、多項式曲線の場合に、多項式曲線を境界
としたときの境界横断導関数を計算する多項式ＣＢＤ生
成ユニットと、有理曲線の場合に、有理曲線を境界とし
たときの境界横断導関数を計算する有理式ＣＢＤ生成ユ
ニットとから成ることを特徴としたものである。 以下、
本発明の実施例に基づいて説明する。
成するために、（１）隣接する面を構成するすべての複
合曲線での境界横断導関数を計算して記録装置に記憶
し、計算された境界横断導関数が多項式関数かどうかを
判定し、多項式関数と判定されると、前記境界横断導関
数から多項式曲面の制御点を生成し、多項式関数でない
と判定されると、前記境界横断導関数から有理曲面の制
御点を生成すること、更には、（２）前記生成する制御
点は、すべての境界曲線の内部制御点を生成し、該内部
制御点を組み合わせること、更には、（３）前記（１）
または（２）において、前記隣接する面はＧregoryパッ
チであること、更には、（４）前記（１）または（２）
において、前記隣接する面は有理境界Ｇregoryパッチで
あること、更には、（５）３次元形状データに対し、面
を構成する２本以上からなるすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算して記憶するＣＢＤ計算ユニットと、
該ＣＢＤ計算ユニットで計算された境界横断導関数が多
項式関数かどうかを判定する有理式・非有理式判定ユニ
ットと、該有理式・非有理式判定ユニットにより多項式
関数と判定されると、前記境界横断導関数から多項式曲
面の制御点を生成する多項式曲面生成ユニットと、前記
有理式・非有理式判定ユニットにより多項式関数でない
と判定されると、前記境界横断導関数から有理曲面の制
御点を生成する有理曲面生成ユニットとを有すること、
更には、（６）前記（５）において、前記ＣＢＤ計算ユ
ニットは、境界曲線の制御点と重み、境界曲線につなが
る曲線の制御点と重みを記憶する３次元境界曲線記憶ユ
ニットと、境界曲線の端点におけるＧ1連続性を判定す
るＧ1連続性判定ユニットと、有理曲線か多項式曲線か
を判定する曲線タイプ判定ユニットと、有理曲線とも多
項式曲線とも判定されない場合に、境界の端点での微分
ベクトルから仮想的な多項式曲線を生成する仮想曲線生
成ユニットと、多項式曲線の場合に、多項式曲線を境界
としたときの境界横断導関数を計算する多項式ＣＢＤ生
成ユニットと、有理曲線の場合に、有理曲線を境界とし
たときの境界横断導関数を計算する有理式ＣＢＤ生成ユ
ニットとから成ることを特徴としたものである。 以下、
本発明の実施例に基づいて説明する。
【００１２】
【００１３】
【００１４】
【実施例】図１は、本発明による自由曲面生成方法の一
実施例を説明するためのフローチャートで、一般境界Ｇ
regoryパッチ（以下ＧＢＧパッチと呼ぶ）の生成過程を
示すフローチャートである。なお、本発明の方法を実施
するに際しては、次のの２つの方法が用いられる。 曲線メッシュをＧregory パッチまたは有理境界Ｇreg
ory パッチで内挿する方法。 Ｇregory パッチや有理境界Ｇregory パッチの境界で
面を連続に接続する方法。 以下、各ステップに従って順に説明する。step１ ：まず、面を構成するすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算し、記憶装置に蓄える。step２ ：前記 step１で計算した境界横断導関数がすべ
て多項式関数かどうかを判定し、ひとつでも有理関数が
存在するならば、次のstep３へ進み、すべて多項式関数
ならば、次のstep４へ進む。step３ ：次に、境界横断導関数から有理曲面の制御点を
生成する。step４ ：次に、境界横断導関数から多項式曲面の制御点
を生成する。
実施例を説明するためのフローチャートで、一般境界Ｇ
regoryパッチ（以下ＧＢＧパッチと呼ぶ）の生成過程を
示すフローチャートである。なお、本発明の方法を実施
するに際しては、次のの２つの方法が用いられる。 曲線メッシュをＧregory パッチまたは有理境界Ｇreg
ory パッチで内挿する方法。 Ｇregory パッチや有理境界Ｇregory パッチの境界で
面を連続に接続する方法。 以下、各ステップに従って順に説明する。step１ ：まず、面を構成するすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算し、記憶装置に蓄える。step２ ：前記 step１で計算した境界横断導関数がすべ
て多項式関数かどうかを判定し、ひとつでも有理関数が
存在するならば、次のstep３へ進み、すべて多項式関数
ならば、次のstep４へ進む。step３ ：次に、境界横断導関数から有理曲面の制御点を
生成する。step４ ：次に、境界横断導関数から多項式曲面の制御点
を生成する。
【００１５】図２は、境界横断導関数の計算過程を示す
フローチャートである。以下、各ステップに従って順に
説明する。step11 ：まず、境界曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄
える。step12 ：次に、境界曲線の端点につながっている曲線の
うちで、隣接する面を構成している曲線の制御点と重み
を記憶装置に蓄える。step13 ：次に、境界曲線の両端点におけるＧ1連続性を
調べ、結果を記憶装置に蓄える。step14 ：次に、境界曲線が有理曲線かどうかを判定し、
有理曲線ならば、次のstep18に進む。
フローチャートである。以下、各ステップに従って順に
説明する。step11 ：まず、境界曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄
える。step12 ：次に、境界曲線の端点につながっている曲線の
うちで、隣接する面を構成している曲線の制御点と重み
を記憶装置に蓄える。step13 ：次に、境界曲線の両端点におけるＧ1連続性を
調べ、結果を記憶装置に蓄える。step14 ：次に、境界曲線が有理曲線かどうかを判定し、
有理曲線ならば、次のstep18に進む。
【００１６】step15：次に、境界曲線が、多項式曲線か
どうかを判定し、多項式曲線ならば、step17へ進み、複
合曲線ならば、次のstep16に進む。step16 ：前記step11で蓄えられた曲線の制御点と重みを
使って端点での微分ベクトルを計算し、仮想的な多項式
曲線を生成する。その結果を記憶装置に蓄える。 step17 ：前記step11及びstep12で蓄えられた曲線の制御
点または前記 step16で生成した曲線と、前記step13で
判定した連続性条件から、境界横断導関数を計算する。step18 ：前記step11及びstep12で蓄えられた曲線の制御
点と重みと、前記 step13で判定した連続性条件から、
境界横断導関数を計算する。
どうかを判定し、多項式曲線ならば、step17へ進み、複
合曲線ならば、次のstep16に進む。step16 ：前記step11で蓄えられた曲線の制御点と重みを
使って端点での微分ベクトルを計算し、仮想的な多項式
曲線を生成する。その結果を記憶装置に蓄える。 step17 ：前記step11及びstep12で蓄えられた曲線の制御
点または前記 step16で生成した曲線と、前記step13で
判定した連続性条件から、境界横断導関数を計算する。step18 ：前記step11及びstep12で蓄えられた曲線の制御
点と重みと、前記 step13で判定した連続性条件から、
境界横断導関数を計算する。
【００１７】以下、処理の詳細について説明する。な
お、以下の説明において記号化された表現は、表１に示
すとおりの関係を有するものとする。
お、以下の説明において記号化された表現は、表１に示
すとおりの関係を有するものとする。
【００１８】
【表１】
【００１９】一般境界Ｇregory パッチ 一般境界Ｇregory パッチＳ(u,v)は、４本の境界曲線Ｃ
ｉ(i=0,…,3)と各境界での
ｉ(i=0,…,3)と各境界での
【００２０】
【数４】
【００２１】によって次式のように定義される。
【００２２】
【数５】
【００２３】以降では、Ｓｕ＝∂Ｓ／∂ｕ，Ｓｖ＝∂Ｓ
／∂ｖとする。Ｓ〔ａ〕（ｕ，ｖ）は、向かい合う２本
の境界曲線Ｃ3，Ｃ1とこれらのＣＢＤであるＳ〔ａ，
ｕ〕（０，ｖ），Ｓ〔ａ，ｕ〕（１，ｖ）によって３次
ブレンディングした曲面である。同時に、Ｓ〔ｂ〕
（ｕ，ｖ）は、向かい合う２本の境界曲線Ｃ0，Ｃ2とこ
れらのＣＢＤであるＳ〔ｂ，ｖ〕（ｕ，０），Ｓ〔ｂ，
ｖ〕（ｕ，１）によって３次ブレンディングした曲面で
ある。Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕，Ｓ〔ｂ〕を加えることに
よって生じる重複した部分を表す曲面で、双３次パッチ
として表現される（図３）。このことから、曲面Ｓ
〔ａ〕（ｕ，ｖ），Ｓ〔ｂ〕（ｕ，ｖ）は、それぞれ以
下のような式で表すことができる。
／∂ｖとする。Ｓ〔ａ〕（ｕ，ｖ）は、向かい合う２本
の境界曲線Ｃ3，Ｃ1とこれらのＣＢＤであるＳ〔ａ，
ｕ〕（０，ｖ），Ｓ〔ａ，ｕ〕（１，ｖ）によって３次
ブレンディングした曲面である。同時に、Ｓ〔ｂ〕
（ｕ，ｖ）は、向かい合う２本の境界曲線Ｃ0，Ｃ2とこ
れらのＣＢＤであるＳ〔ｂ，ｖ〕（ｕ，０），Ｓ〔ｂ，
ｖ〕（ｕ，１）によって３次ブレンディングした曲面で
ある。Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕，Ｓ〔ｂ〕を加えることに
よって生じる重複した部分を表す曲面で、双３次パッチ
として表現される（図３）。このことから、曲面Ｓ
〔ａ〕（ｕ，ｖ），Ｓ〔ｂ〕（ｕ，ｖ）は、それぞれ以
下のような式で表すことができる。
【００２４】
【数６】
【００２５】Ｐ〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕は、ＣＢＤが多項式か
有理式かで２通りの表現が可能である。境界曲線が複合
曲線またはＢezier 曲線ならば、ＣＢＤを多項式として
表現し、有理Ｂezier 曲線ならばＣＢＤを有理式として
表現することによって、一般境界Ｇregory パッチ間、
一般境界Ｇregory パッチとＧregory パッチ、一般境界
Ｇregory パッチと有理境界Ｇregory パッチを慣らかに
接続することができる。接続の詳細に関しては後述す
る。図３からも分かるように、曲面Ｓ〔ｃ〕とＰ
〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕には依存関係がある。つまり、Ｓ
〔ｃ，ｕ〕は曲面Ｓ〔ｂ〕をｕ方向に微分したもので、
Ｓ〔ｃ，ｖ〕は曲面Ｓ〔ａ〕をｖ方向に微分したものと
なる。したがって、Ｐ〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕が共に多項式で
表されるならば、Ｓ〔ｃ〕も多項式となる。Ｐ〔ａ〕ま
たはＰ〔ｂ〕が有理式で表されるならば、Ｓ〔ｃ〕も有
理式となる。また、Ｓ〔ｃ，ｕ〕，Ｓ〔ｃ，ｖ〕は２枚
の曲面から制約を受けているので、Ｓ〔ｃ〕のＣＢＤ
は、ｕ，ｖパラメタで独立に定義できなければならな
い。したがって、Ｓ〔ｃ〕にはＧregory パッチまたは
有理境界Ｇregory パッチの表現式が適していることが
わかる。Ｓ〔ｃ〕をＧregory パッチまたは有理境界Ｇr
egory パッチで表現することによって、Ｓ〔ａ，ｕ〕と
Ｓ〔ａ，ｖ〕は、Ｓ〔ｃ〕の制御点から計算することが
できる。以上のことからＰ〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕，Ｓ〔ｃ〕
は次式のように表現できる。
有理式かで２通りの表現が可能である。境界曲線が複合
曲線またはＢezier 曲線ならば、ＣＢＤを多項式として
表現し、有理Ｂezier 曲線ならばＣＢＤを有理式として
表現することによって、一般境界Ｇregory パッチ間、
一般境界Ｇregory パッチとＧregory パッチ、一般境界
Ｇregory パッチと有理境界Ｇregory パッチを慣らかに
接続することができる。接続の詳細に関しては後述す
る。図３からも分かるように、曲面Ｓ〔ｃ〕とＰ
〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕には依存関係がある。つまり、Ｓ
〔ｃ，ｕ〕は曲面Ｓ〔ｂ〕をｕ方向に微分したもので、
Ｓ〔ｃ，ｖ〕は曲面Ｓ〔ａ〕をｖ方向に微分したものと
なる。したがって、Ｐ〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕が共に多項式で
表されるならば、Ｓ〔ｃ〕も多項式となる。Ｐ〔ａ〕ま
たはＰ〔ｂ〕が有理式で表されるならば、Ｓ〔ｃ〕も有
理式となる。また、Ｓ〔ｃ，ｕ〕，Ｓ〔ｃ，ｖ〕は２枚
の曲面から制約を受けているので、Ｓ〔ｃ〕のＣＢＤ
は、ｕ，ｖパラメタで独立に定義できなければならな
い。したがって、Ｓ〔ｃ〕にはＧregory パッチまたは
有理境界Ｇregory パッチの表現式が適していることが
わかる。Ｓ〔ｃ〕をＧregory パッチまたは有理境界Ｇr
egory パッチで表現することによって、Ｓ〔ａ，ｕ〕と
Ｓ〔ａ，ｖ〕は、Ｓ〔ｃ〕の制御点から計算することが
できる。以上のことからＰ〔ａ〕，Ｐ〔ｂ〕，Ｓ〔ｃ〕
は次式のように表現できる。
【００２６】
【数７】
【００２７】このことから分かるように、ＣＢＤ関数は
ｕ，ｖパラメタで独立に定義できる。したがって、一般
境界Ｇregory パッチはＧregory パッチと同様に不規則
な曲線メッシュをなめらかに内挿することができる。し
かも、ＣＢＤは境界曲線に依存しないことがわかる。曲
面Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕とＳ〔ｂ〕を加えることによっ
て生じた重複部分を表す曲面面で次式のように表現され
る。
ｕ，ｖパラメタで独立に定義できる。したがって、一般
境界Ｇregory パッチはＧregory パッチと同様に不規則
な曲線メッシュをなめらかに内挿することができる。し
かも、ＣＢＤは境界曲線に依存しないことがわかる。曲
面Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕とＳ〔ｂ〕を加えることによっ
て生じた重複部分を表す曲面面で次式のように表現され
る。
【００２８】
【数８】
【００２９】式（４）はＧregory パッチの表現式と同
じであるが、内部制御点Ｐ〔ｄ，ij〕（ij＝１１，１
２，２１，２２）の評価式がＧregory パッチと異なっ
ている。以上のことから、ＣＢＤが多項式の場合には、
一般境界Ｇregory パッチは４本の境界曲線とＧregory
パッチの表現式で表されることが分かる。
じであるが、内部制御点Ｐ〔ｄ，ij〕（ij＝１１，１
２，２１，２２）の評価式がＧregory パッチと異なっ
ている。以上のことから、ＣＢＤが多項式の場合には、
一般境界Ｇregory パッチは４本の境界曲線とＧregory
パッチの表現式で表されることが分かる。
【００３０】
【数９】
【００３１】ただし、Ｐ〔ｄ〕，Ｗ〔ｄ〕は、Ｓ〔ｃ〕
の制御点とその重みで図５のように配置されているとす
る。式（２）と式（３）を微分すると次式が得られる。
の制御点とその重みで図５のように配置されているとす
る。式（２）と式（３）を微分すると次式が得られる。
【００３２】
【数１０】
【００３３】このことから分かるように、ＣＢＤ関数は
ｕ，ｖパラメタで独立に定義できる。したがって、一般
境界Ｇregory パッチは有理境界Ｇregory パッチと同様
に不規則な曲線メッシュをなめらかに内挿することがで
きる。しかも、ＣＢＤは境界曲線に依存しないことがわ
かる。曲面Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕Ｓ〔ｂ〕を加えること
によって生じた重複部分を表す曲面で次式のように表現
される。
ｕ，ｖパラメタで独立に定義できる。したがって、一般
境界Ｇregory パッチは有理境界Ｇregory パッチと同様
に不規則な曲線メッシュをなめらかに内挿することがで
きる。しかも、ＣＢＤは境界曲線に依存しないことがわ
かる。曲面Ｓ〔ｃ〕は、Ｓ〔ａ〕Ｓ〔ｂ〕を加えること
によって生じた重複部分を表す曲面で次式のように表現
される。
【００３４】
【数１１】
【００３５】式（５）は有理境界Ｇregory パッチと同
じ表現式であるが、制御点Ｐ〔ｄ，ij〕の評価式が有理
境界Ｇregory パッチと異なっている。以上のことか
ら、ＣＢＤが有理式の場合には、一般境界Ｇregory パ
ッチは４本の境界曲線と有理境界Ｇregory パッチの表
現式で表されることが分かる。このように、一般境界Ｇ
regory パッチはＳ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）が多項式かまたは
有理式かに依存して２種類の定義が可能である。また、
Ｓ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）の次数を上げることによって、境界
を３次以上のブレンディング関数とすることも可能であ
る。
じ表現式であるが、制御点Ｐ〔ｄ，ij〕の評価式が有理
境界Ｇregory パッチと異なっている。以上のことか
ら、ＣＢＤが有理式の場合には、一般境界Ｇregory パ
ッチは４本の境界曲線と有理境界Ｇregory パッチの表
現式で表されることが分かる。このように、一般境界Ｇ
regory パッチはＳ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）が多項式かまたは
有理式かに依存して２種類の定義が可能である。また、
Ｓ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）の次数を上げることによって、境界
を３次以上のブレンディング関数とすることも可能であ
る。
【００３６】一般境界Ｇregory パッチの特徴として以
下〜のものが挙げられる。 境界曲線とＣＢＤを独立に定義できる。これによっ
て、境界曲線のタイプに依存しない曲面式の表現とな
り、例えば、ＮＵＲＢＳ曲線のような複合曲線を扱うこ
とができる。また、位相的に４角形な領域は１枚の一般
境界Ｇregory パッチで表現できるので、曲面の歪みが
発生しない。 曲面の重複部分Ｓ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）を表す多項式に、
任意の多項式をあてはめることができる。本発明では、
Ｇregory パッチまたは有理境界Ｇregory パッチをあて
はめている。これによって、不規則な曲線メッシュを滑
らかに内挿することができる。
下〜のものが挙げられる。 境界曲線とＣＢＤを独立に定義できる。これによっ
て、境界曲線のタイプに依存しない曲面式の表現とな
り、例えば、ＮＵＲＢＳ曲線のような複合曲線を扱うこ
とができる。また、位相的に４角形な領域は１枚の一般
境界Ｇregory パッチで表現できるので、曲面の歪みが
発生しない。 曲面の重複部分Ｓ〔ｃ〕（ｕ，ｖ）を表す多項式に、
任意の多項式をあてはめることができる。本発明では、
Ｇregory パッチまたは有理境界Ｇregory パッチをあて
はめている。これによって、不規則な曲線メッシュを滑
らかに内挿することができる。
【００３７】４本の境界曲線が３次のＢezier 曲線で
表され、Ｓ〔ｃ〕がＧregory パッチの場合には、一般
境界Ｇregory パッチとＧregory パッチは一致する。同
様に、４本の境界曲線が３次の有理Ｂezier 曲線で表さ
れ、Ｓ〔ｃ〕が有理境界Ｇregory パッチの場合には、
一般境界Ｇregory パッチと有理境界Ｇregory パッチは
一致する。 Ｓ〔ｃ〕をＧregory パッチまたは有理境界Ｇregory
パッチの式をあてはめることによって、一般境界Ｇrego
ry パッチとＧregory パッチ、有理境界Ｇregoryパッチ
は滑らかに接続することができる。 一般境界Ｇregory パッチは、１つの多項式として表
現できるので、曲面の内部はＣ〔ｎ〕連続となる。
表され、Ｓ〔ｃ〕がＧregory パッチの場合には、一般
境界Ｇregory パッチとＧregory パッチは一致する。同
様に、４本の境界曲線が３次の有理Ｂezier 曲線で表さ
れ、Ｓ〔ｃ〕が有理境界Ｇregory パッチの場合には、
一般境界Ｇregory パッチと有理境界Ｇregory パッチは
一致する。 Ｓ〔ｃ〕をＧregory パッチまたは有理境界Ｇregory
パッチの式をあてはめることによって、一般境界Ｇrego
ry パッチとＧregory パッチ、有理境界Ｇregoryパッチ
は滑らかに接続することができる。 一般境界Ｇregory パッチは、１つの多項式として表
現できるので、曲面の内部はＣ〔ｎ〕連続となる。
【００３８】一般境界Ｇregory パッチ間の接続 Ｇregory と一般境界Ｇregory パッチ、有理境界Ｇrego
ry パッチと一般境界Ｇregory パッチ、一般境界Ｇrego
ry パッチ間の接続方法について説明する。２枚の曲面
間をＧ1連続に接続するためには、式（６）を満たす内
部制御点を得る必要がある。
ry パッチと一般境界Ｇregory パッチ、一般境界Ｇrego
ry パッチ間の接続方法について説明する。２枚の曲面
間をＧ1連続に接続するためには、式（６）を満たす内
部制御点を得る必要がある。
【００３９】
【数１２】
【００４０】ｋ(ｖ)，ｈ(ｖ)は任意のスカラー関数とす
る。ここでは次に示すような１次の関数とする。 ｋ(ｖ)＝（１−ｖ)ｋ0＋ｖｋ1 ｈ(ｖ)＝（１−ｖ)ｈ0＋ｖｈ1 ただし、ｋ0，ｋ1は正の実数で、ｈ0，ｈ1は任意の実数
とする。一般境界Ｇregory パッチとＧregory パッチ、
有理境界Ｇregory パッチ、一般境界Ｇregory パッチを
この式を満たすように接続する場合、共有する境界曲線
のタイプによって、３種類の方法が考えられる。我々
は、境界曲線のタイプを以下の３種類に分類し、接続方
法を分けることによって、なめらかな曲面を生成した。
る。ここでは次に示すような１次の関数とする。 ｋ(ｖ)＝（１−ｖ)ｋ0＋ｖｋ1 ｈ(ｖ)＝（１−ｖ)ｈ0＋ｖｈ1 ただし、ｋ0，ｋ1は正の実数で、ｈ0，ｈ1は任意の実数
とする。一般境界Ｇregory パッチとＧregory パッチ、
有理境界Ｇregory パッチ、一般境界Ｇregory パッチを
この式を満たすように接続する場合、共有する境界曲線
のタイプによって、３種類の方法が考えられる。我々
は、境界曲線のタイプを以下の３種類に分類し、接続方
法を分けることによって、なめらかな曲面を生成した。
【００４１】Ｃase１；境界曲線がＢezier 曲線である
場合：この場合には、Ｇregory パッチによる内挿アル
ゴリズムで内部制御点を計算する。 Ｃase２；境界曲線が有理Ｂezier 曲線である場合：こ
の場合には、有理境界Ｇregory パッチによる内挿アル
ゴリズムで内部制御点を計算できる。 Ｃase３；境界曲線が複合曲線の場合：複合曲線の端点
における微分ベクトルから、仮想的な曲線を求め、Ｇre
goryパッチの内挿アルゴリズムで内部制御点を計算でき
る。この場合の詳細については、以下で説明する。
場合：この場合には、Ｇregory パッチによる内挿アル
ゴリズムで内部制御点を計算する。 Ｃase２；境界曲線が有理Ｂezier 曲線である場合：こ
の場合には、有理境界Ｇregory パッチによる内挿アル
ゴリズムで内部制御点を計算できる。 Ｃase３；境界曲線が複合曲線の場合：複合曲線の端点
における微分ベクトルから、仮想的な曲線を求め、Ｇre
goryパッチの内挿アルゴリズムで内部制御点を計算でき
る。この場合の詳細については、以下で説明する。
【００４２】図６は、２枚の一般境界Ｇregory パッチ
Ｓ1とＳ2を滑らかに接続する様子を表している。共有境
界曲線は、４本の曲線要素を持つ複合曲線とする。ここ
で、式（６）のｈ(ｖ)の項について考えてみると、ｈ
(ｖ)の項は境界曲線の微分ベクトルを表し、この場合、
区分多項式で表現される。一般境界Ｇregory パッチで
は境界曲線と境界曲線での微分ベクトルを独立に定義し
ているため、境界におけるｕ，ｖの微分ベクトル関数を
Ｓ〔ｃ〕で表現できなければならない。ここでは、Ｓ
〔ｃ〕がＧregory パッチまたは有理境界Ｇregory パッ
チを仮定しているため、区分多項式を表現できない。し
たがって、ｈ(ｖ)＝０と仮定する。このことから、式
（６）は、次式のように書き直すことができる。
Ｓ1とＳ2を滑らかに接続する様子を表している。共有境
界曲線は、４本の曲線要素を持つ複合曲線とする。ここ
で、式（６）のｈ(ｖ)の項について考えてみると、ｈ
(ｖ)の項は境界曲線の微分ベクトルを表し、この場合、
区分多項式で表現される。一般境界Ｇregory パッチで
は境界曲線と境界曲線での微分ベクトルを独立に定義し
ているため、境界におけるｕ，ｖの微分ベクトル関数を
Ｓ〔ｃ〕で表現できなければならない。ここでは、Ｓ
〔ｃ〕がＧregory パッチまたは有理境界Ｇregory パッ
チを仮定しているため、区分多項式を表現できない。し
たがって、ｈ(ｖ)＝０と仮定する。このことから、式
（６）は、次式のように書き直すことができる。
【００４３】
【数１３】
【００４４】ｋ(ｖ)＝(１−ｖ)ｋ0＋ｖｋ1 ただし、ｋ0，ｋ1は正の実数とする。式（８）から分か
るように、２枚の一般境界Ｇregory パッチ間の接続で
は、ＣＢＤのみが必要である。したがって、曲面Ｓ
〔ｃ〕の制御点を決定すればよいことになる。図６にお
いて、境界曲線の端点Ｖ0，Ｖ1につながる曲線の接ベク
トルの１／３の大きさのベクトルをそれぞれ、ａ0,ａ3,
ｂ0,ｂ3,ｃ0,ｃ2とする。ベクトルｂ0,ｂ3,ｃ0,ｃ2と境
界曲線の端点から、Ｓ〔ｃ〕の制御点Ｐ〔ｄ，００〕，
Ｐ〔ｄ，０１〕，Ｐ〔ｄ，０２〕，Ｐ〔ｄ，０３〕，Ｐ
〔ｄ，１０〕，Ｐ〔ｄ，１３〕が決定できる。ここで、
るように、２枚の一般境界Ｇregory パッチ間の接続で
は、ＣＢＤのみが必要である。したがって、曲面Ｓ
〔ｃ〕の制御点を決定すればよいことになる。図６にお
いて、境界曲線の端点Ｖ0，Ｖ1につながる曲線の接ベク
トルの１／３の大きさのベクトルをそれぞれ、ａ0,ａ3,
ｂ0,ｂ3,ｃ0,ｃ2とする。ベクトルｂ0,ｂ3,ｃ0,ｃ2と境
界曲線の端点から、Ｓ〔ｃ〕の制御点Ｐ〔ｄ，００〕，
Ｐ〔ｄ，０１〕，Ｐ〔ｄ，０２〕，Ｐ〔ｄ，０３〕，Ｐ
〔ｄ，１０〕，Ｐ〔ｄ，１３〕が決定できる。ここで、
【００４５】
【数１４】
【００４６】である。また、ａ0′，ａ2′，ａ1′は、
ａ0′＝（ａ0＋ｂ0）／|ａ0＋ｂ0|，ａ2′＝（ａ3＋
ｂ3）／|ａ3＋ｂ3|，ａ1′＝（ａ0′＋ａ1′）／２で示
すように、基礎パッチ法によってａ0，ａ3から計算する
ことができる。したがって、未知数は、ｋ0，ｋ1，Ｐ
〔ｄ，111〕，Ｐ〔ｄ，121〕となる。ｋ0，ｋ1は、境界
曲線の端点Ｖ0，Ｖ1におけるベクトルの関係から求める
ことができ、Ｐ〔ｄ，111〕とＰ〔ｄ，121〕は、次式か
ら計算できる。
ａ0′＝（ａ0＋ｂ0）／|ａ0＋ｂ0|，ａ2′＝（ａ3＋
ｂ3）／|ａ3＋ｂ3|，ａ1′＝（ａ0′＋ａ1′）／２で示
すように、基礎パッチ法によってａ0，ａ3から計算する
ことができる。したがって、未知数は、ｋ0，ｋ1，Ｐ
〔ｄ，111〕，Ｐ〔ｄ，121〕となる。ｋ0，ｋ1は、境界
曲線の端点Ｖ0，Ｖ1におけるベクトルの関係から求める
ことができ、Ｐ〔ｄ，111〕とＰ〔ｄ，121〕は、次式か
ら計算できる。
【００４７】
【数１５】
【００４８】これは、Ｇregory パッチ間の接続問題に
対して、ｈ(ｖ)＝０とした式と同じである。以上のこと
から、一般境界Ｇregory パッチ間の接続はＧregory パ
ッチ間の接続問題に置き換えることができることがわか
る。
対して、ｈ(ｖ)＝０とした式と同じである。以上のこと
から、一般境界Ｇregory パッチ間の接続はＧregory パ
ッチ間の接続問題に置き換えることができることがわか
る。
【００４９】一般境界Ｇregory パッチによる曲線メッ
シュの内挿 ここでは、Ｂezier 曲線、有理Ｂezier 曲線、複合曲線
を含んだ曲線メッシュを内挿する方法について説明す
る。 １．ＣＢＤの定義 なめらかな曲面を生成するためには、境界曲線の種類に
よって２種類の接続のアルゴリズムを使い分ける必要が
ある。境界曲線がＢezier 曲線または複合曲線の場合に
は、Ｇregory パッチによる接続アルゴリズムを有理Ｂe
zier 曲線の場合には有理境界Ｇregory パッチによる接
続アルゴリズムをそれぞれ用いる。このとき、有理境界
Ｇregory パッチによる接続アルゴリズムを用いたなら
ば、一般境界Ｇregory パッチの曲面Ｓ〔ｃ〕は、有理
式になる。境界曲線からＣＢＤを定義する過程は、以下
のようになる。図７は、稜線Ｅi（ｉ＝０，…，３）で
囲まれた面Ｆ1を表している。面を内挿する場合、まず
各稜線を横切る微分ベクトル関数（ＣＢＤ）を定義す
る。ＣＢＤｇ0(ｔ)は、稜線Ｅ1とＥ3から定義できる。
このとき、稜線Ｅ0の端点につながる稜線Ｅ0，Ｅ1，Ｅ5
と稜線Ｅ0，Ｅ3，Ｅ4の端点での接ベクトルが式（６）
を満たすときには、これらの稜線からＣＢＤｇ0(ｔ)を
定義する。このことは、境界稜線Ｅ0において、２枚の
面Ｆ1，Ｆ2がＧ1連続に接続されるときには、ＣＢＤｇ0
(ｔ)＝−ｇ4(ｔ)の関係があることを示している。その
他のＣＢＤｇi(ｔ)(ｉ＝１，…，３）も同様の方法で定
義できる。
シュの内挿 ここでは、Ｂezier 曲線、有理Ｂezier 曲線、複合曲線
を含んだ曲線メッシュを内挿する方法について説明す
る。 １．ＣＢＤの定義 なめらかな曲面を生成するためには、境界曲線の種類に
よって２種類の接続のアルゴリズムを使い分ける必要が
ある。境界曲線がＢezier 曲線または複合曲線の場合に
は、Ｇregory パッチによる接続アルゴリズムを有理Ｂe
zier 曲線の場合には有理境界Ｇregory パッチによる接
続アルゴリズムをそれぞれ用いる。このとき、有理境界
Ｇregory パッチによる接続アルゴリズムを用いたなら
ば、一般境界Ｇregory パッチの曲面Ｓ〔ｃ〕は、有理
式になる。境界曲線からＣＢＤを定義する過程は、以下
のようになる。図７は、稜線Ｅi（ｉ＝０，…，３）で
囲まれた面Ｆ1を表している。面を内挿する場合、まず
各稜線を横切る微分ベクトル関数（ＣＢＤ）を定義す
る。ＣＢＤｇ0(ｔ)は、稜線Ｅ1とＥ3から定義できる。
このとき、稜線Ｅ0の端点につながる稜線Ｅ0，Ｅ1，Ｅ5
と稜線Ｅ0，Ｅ3，Ｅ4の端点での接ベクトルが式（６）
を満たすときには、これらの稜線からＣＢＤｇ0(ｔ)を
定義する。このことは、境界稜線Ｅ0において、２枚の
面Ｆ1，Ｆ2がＧ1連続に接続されるときには、ＣＢＤｇ0
(ｔ)＝−ｇ4(ｔ)の関係があることを示している。その
他のＣＢＤｇi(ｔ)(ｉ＝１，…，３）も同様の方法で定
義できる。
【００５０】２．内部制御点の決定 境界曲線のタイプに依存したＣＢＤから、Ｇregory パ
ッチまたは有理境界Ｇregory パッチの接続アルゴリズ
ムによって内部制御点を決定する。 ３．曲面Ｓ〔ｃ〕の設定 内挿される面のすべての境界でのＣＢＤのタイプを調
べ、１つでも有理式が存在したならば、Ｓ〔ｃ〕は有理
式とする。有理式となるＣＢＤが１つも存在していない
ときには、Ｓ〔ｃ〕は多項式とする。Ｓ〔ｃ〕のタイプ
が決定したならば、各ＣＢＤから求めた内部制御点をＳ
〔ｃ〕に設定する。ＣＢＤの数が４のときには処理を終
了する。
ッチまたは有理境界Ｇregory パッチの接続アルゴリズ
ムによって内部制御点を決定する。 ３．曲面Ｓ〔ｃ〕の設定 内挿される面のすべての境界でのＣＢＤのタイプを調
べ、１つでも有理式が存在したならば、Ｓ〔ｃ〕は有理
式とする。有理式となるＣＢＤが１つも存在していない
ときには、Ｓ〔ｃ〕は多項式とする。Ｓ〔ｃ〕のタイプ
が決定したならば、各ＣＢＤから求めた内部制御点をＳ
〔ｃ〕に設定する。ＣＢＤの数が４のときには処理を終
了する。
【００５１】４．非４辺形面の分割 ＣＢＤの数が４でないときには、位相的にも４辺形では
ないので、面を分割する。分割するためのアルゴリズム
は、以下のようになる。面Ｆ2のような非四辺形面の場
合には、各境界でのＣＢＤｇi(ｔ)を用いて、その面を
幾つかの４角形面に分割する。その後で分割した各面に
対して、一般境界Ｇregory パッチを生成する（図
９）。内部曲線の生成手順は、以下に示すとおりである
（図８）。 （ａ）境界曲線Ｃi(ｔ0)（ｉ＝０，…，２）と境界にお
けるＣＢＤｇi(ｔ0)から、内部曲線の端点Ｐを求める。
ｔ0は、０.５とする。 （ｂ）ＰとＣi(ｔ0)，ｇi(ｔ0)から２次のＢezier 曲線
を生成する。 （ｃ）２次のＢezier 曲線を３次に次数上げすることに
よって、内部曲線が生成される。
ないので、面を分割する。分割するためのアルゴリズム
は、以下のようになる。面Ｆ2のような非四辺形面の場
合には、各境界でのＣＢＤｇi(ｔ)を用いて、その面を
幾つかの４角形面に分割する。その後で分割した各面に
対して、一般境界Ｇregory パッチを生成する（図
９）。内部曲線の生成手順は、以下に示すとおりである
（図８）。 （ａ）境界曲線Ｃi(ｔ0)（ｉ＝０，…，２）と境界にお
けるＣＢＤｇi(ｔ0)から、内部曲線の端点Ｐを求める。
ｔ0は、０.５とする。 （ｂ）ＰとＣi(ｔ0)，ｇi(ｔ0)から２次のＢezier 曲線
を生成する。 （ｃ）２次のＢezier 曲線を３次に次数上げすることに
よって、内部曲線が生成される。
【００５２】５．制御点の設定 内部曲線によって分割された領域内に内部制御点を生成
する。手順は、前記１から３までと同じである。以上の
ような過程で、曲線メッシュを一般境界Ｇregory パッ
チで内挿することができる。
する。手順は、前記１から３までと同じである。以上の
ような過程で、曲線メッシュを一般境界Ｇregory パッ
チで内挿することができる。
【００５３】一般境界Ｇregory パッチを使った曲面設
計例 一般境界Ｇregory パッチを使った曲線メッシュの内挿
例を示す。図１０は、曲線メッシュをＧregory パッチ
で内挿したときの、等高線を示している。これに対し
て、図１１では、内部の境界曲線を除去し、境界曲線を
ＮＵＲＢＳ曲線で表した曲線メッシュを一般境界Ｇrego
ry パッチで内挿したときの等高線を示している。これ
らの図から、一般境界Ｇregory パッチを使うことによ
って、少ない境界曲線で曲面を表現できることが分か
る。また、図１２では、内挿した一般境界Ｇregory パ
ッチの制御点を示している。
計例 一般境界Ｇregory パッチを使った曲線メッシュの内挿
例を示す。図１０は、曲線メッシュをＧregory パッチ
で内挿したときの、等高線を示している。これに対し
て、図１１では、内部の境界曲線を除去し、境界曲線を
ＮＵＲＢＳ曲線で表した曲線メッシュを一般境界Ｇrego
ry パッチで内挿したときの等高線を示している。これ
らの図から、一般境界Ｇregory パッチを使うことによ
って、少ない境界曲線で曲面を表現できることが分か
る。また、図１２では、内挿した一般境界Ｇregory パ
ッチの制御点を示している。
【００５４】図１３は、一般境界Ｇregory パッチ、Ｇr
egory パッチ、有理境界Ｇregoryパッチ間を接続した曲
線メッシュを表している。稜線Ｅ1は２次の有理Ｂezier
曲線、Ｅ2はＮＵＲＢＳ曲線、Ｅ3，Ｅ4はＢezier 曲線
である。このことから、面Ｆ1はＳ〔ｃ〕が有理式の一
般境界Ｇregory パッチ、面Ｆ2はＳ〔ｃ〕が多項式の一
般境界Ｇregory パッチ、面Ｆ3はＧregory パッチ、面
Ｆ4は有理境界Ｇregory パッチでそれぞれ内挿される。
図１３では、これらのパッチの制御点を表示した。図１
４では、各パッチ間の境界上での法線ベクトルを表示し
ている。共有境界曲線上での法線ベクトルは一致してい
ることから、これらのパッチは滑らかに接続されている
ことがわかる。また、図１５では、等高線を表示してい
る。
egory パッチ、有理境界Ｇregoryパッチ間を接続した曲
線メッシュを表している。稜線Ｅ1は２次の有理Ｂezier
曲線、Ｅ2はＮＵＲＢＳ曲線、Ｅ3，Ｅ4はＢezier 曲線
である。このことから、面Ｆ1はＳ〔ｃ〕が有理式の一
般境界Ｇregory パッチ、面Ｆ2はＳ〔ｃ〕が多項式の一
般境界Ｇregory パッチ、面Ｆ3はＧregory パッチ、面
Ｆ4は有理境界Ｇregory パッチでそれぞれ内挿される。
図１３では、これらのパッチの制御点を表示した。図１
４では、各パッチ間の境界上での法線ベクトルを表示し
ている。共有境界曲線上での法線ベクトルは一致してい
ることから、これらのパッチは滑らかに接続されている
ことがわかる。また、図１５では、等高線を表示してい
る。
【００５５】図１７は、図１６で示した曲線メッシュを
Ｇregory パッチで内挿したときの等高線を示してい
る。また、図１８と図１９は、図１６で示した曲線メッ
シュを一般境界Ｇregory パッチで内挿したときの制御
点と等高線をそれぞれ示している。Ｇregory パッチで
内挿したときには、面に歪みが生じているが、一般境界
Ｇregory パッチで内挿することによって、この歪みは
解消されていることがわかる。
Ｇregory パッチで内挿したときの等高線を示してい
る。また、図１８と図１９は、図１６で示した曲線メッ
シュを一般境界Ｇregory パッチで内挿したときの制御
点と等高線をそれぞれ示している。Ｇregory パッチで
内挿したときには、面に歪みが生じているが、一般境界
Ｇregory パッチで内挿することによって、この歪みは
解消されていることがわかる。
【００５６】図２０は、本発明による自由曲面生成装置
の一実施例を説明するためのブロック図で、図中、１は
ＣＢＤ（Cross Boundary Derivative）計算ユニット、
２は３Ｄ（３次元）境界曲線記憶ユニット、３はＧ1連
続性判定ユニット、４は曲線タイプ判定ユニット、５は
仮想曲線生成ユニット、６は多項式ＣＢＤ生成ユニッ
ト、７は有理式ＣＢＤ生成ユニット、８は有理式・非有
理式判定ユニット、９は多項式曲面生成ユニット、１０
は有理曲面生成ユニットである。なお、図中のstep１〜
４は、図１におけるstep１〜４に相当し、また、step11
〜18は、図２におけるstep11〜18に相当している。
の一実施例を説明するためのブロック図で、図中、１は
ＣＢＤ（Cross Boundary Derivative）計算ユニット、
２は３Ｄ（３次元）境界曲線記憶ユニット、３はＧ1連
続性判定ユニット、４は曲線タイプ判定ユニット、５は
仮想曲線生成ユニット、６は多項式ＣＢＤ生成ユニッ
ト、７は有理式ＣＢＤ生成ユニット、８は有理式・非有
理式判定ユニット、９は多項式曲面生成ユニット、１０
は有理曲面生成ユニットである。なお、図中のstep１〜
４は、図１におけるstep１〜４に相当し、また、step11
〜18は、図２におけるstep11〜18に相当している。
【００５７】３次元形状データ（３Ｄ shape data）が
ＣＢＤ計算ユニット１に入力されると、３次元境界曲線
記憶ユニットにおいて、境界曲線の制御点と重み、境界
曲線につながる曲線の制御点と重みが記憶され、Ｇ1連
続性判定ユニット３において、境界曲線の端点における
Ｇ1連続性を調べる。また、曲線タイプ判定ユニット４
において、有理曲線かどうか、かつ多項式曲線かどうか
を調べる。仮想曲線生成ユニット５は、前記曲線タイプ
判定ユニット４により有理曲線とも多項式曲線とも判断
されなければ、境界の端点での微分ベクトルから仮想的
な多項式曲線を生成する。多項式ＣＢＤ生成ユニット６
は、前記曲線タイプ判定ユニット４により、多項式曲線
と判定されれば、前記仮想曲線生成ユニット５で生成さ
れた仮想的な多項式曲線に基づき、多項式曲線を境界と
したときの境界横断導関数を計算する。有理ＣＢＤ生成
ユニット７は、前記曲線タイプ判定ユニット４により有
理曲線と判定されれば、有理曲線を境界としたときの境
界横断導関数を計算する。
ＣＢＤ計算ユニット１に入力されると、３次元境界曲線
記憶ユニットにおいて、境界曲線の制御点と重み、境界
曲線につながる曲線の制御点と重みが記憶され、Ｇ1連
続性判定ユニット３において、境界曲線の端点における
Ｇ1連続性を調べる。また、曲線タイプ判定ユニット４
において、有理曲線かどうか、かつ多項式曲線かどうか
を調べる。仮想曲線生成ユニット５は、前記曲線タイプ
判定ユニット４により有理曲線とも多項式曲線とも判断
されなければ、境界の端点での微分ベクトルから仮想的
な多項式曲線を生成する。多項式ＣＢＤ生成ユニット６
は、前記曲線タイプ判定ユニット４により、多項式曲線
と判定されれば、前記仮想曲線生成ユニット５で生成さ
れた仮想的な多項式曲線に基づき、多項式曲線を境界と
したときの境界横断導関数を計算する。有理ＣＢＤ生成
ユニット７は、前記曲線タイプ判定ユニット４により有
理曲線と判定されれば、有理曲線を境界としたときの境
界横断導関数を計算する。
【００５８】このように、ＣＢＤ計算ユニット１におい
て、多項式曲線を境界としたときの境界横断導関数、あ
るいは有理曲線を境界としたときの境界横断導関数が計
算されると、有理式・非有理式判定ユニット８におい
て、多項式関数かどうかが判断され、多項式関数であれ
ば、多項式曲線面生成ユニット９において、境界横断導
関数から多項式曲面の制御点を生成する。また、多項式
関数でなければ、有理曲面生成ユニット１０において、
境界横断導関数から有理曲面の制御点を生成する。この
ように、自由曲面生成（Free-form Surface）が行われ
る。
て、多項式曲線を境界としたときの境界横断導関数、あ
るいは有理曲線を境界としたときの境界横断導関数が計
算されると、有理式・非有理式判定ユニット８におい
て、多項式関数かどうかが判断され、多項式関数であれ
ば、多項式曲線面生成ユニット９において、境界横断導
関数から多項式曲面の制御点を生成する。また、多項式
関数でなければ、有理曲面生成ユニット１０において、
境界横断導関数から有理曲面の制御点を生成する。この
ように、自由曲面生成（Free-form Surface）が行われ
る。
【００５９】
【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
によると、以下のような効果がある。すなわち、複合曲
線を含んだ不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿するた
めの曲面表現を提案し、その有効性を確認した。この曲
面表現は、Ｇregory パッチ、有理境界Ｇregory パッ
チ、一般Ｃoons パッチの特徴を継承したもので、一般
境界Ｇregory パッチと呼ばれる。一般境界Ｇregory パ
ッチで曲線メッシュを内挿したときの利点としては以下
のことが挙げられる。 複合曲線を扱えるので、シンプルな曲線メッシュで複
雑な曲面形状を扱うことができる。 位相的に４角形ならば、１枚のパッチで内挿できるの
で、内部曲線を生成しない。したがって、内部曲線によ
る曲面の歪みがない形状が生成できる。 曲面の内部はＣ〔ｎ〕連続となる。 境界曲線とＣＢＤを独立に定義でき、境界曲線のタイ
プに依存しない。 オフセット曲面の境界や、曲面間の干渉計算によって
生成される曲線に対応できる。 隣接するＧregory パッチ、有理境界Ｇregory パッ
チ、一般境界Ｇregory パッチとなめらかに接続でき
る。 制御点をベースにしているので、一般Ｃoons パッチ
よりも直感的に形状変形できる。 一般境界Ｇregory パッチを用いることで、なるべくシ
ンプルな曲線メッシュでこれまでより複雑な自由曲面形
状を設計でき、Ｇregory パッチや有理境界Ｇregory パ
ッチとの混在も可能である。したがって、曲面を設計す
る上で一般境界Ｇregory パッチは強力なツールとなる
ことが分かった。
によると、以下のような効果がある。すなわち、複合曲
線を含んだ不規則な曲線メッシュを滑らかに内挿するた
めの曲面表現を提案し、その有効性を確認した。この曲
面表現は、Ｇregory パッチ、有理境界Ｇregory パッ
チ、一般Ｃoons パッチの特徴を継承したもので、一般
境界Ｇregory パッチと呼ばれる。一般境界Ｇregory パ
ッチで曲線メッシュを内挿したときの利点としては以下
のことが挙げられる。 複合曲線を扱えるので、シンプルな曲線メッシュで複
雑な曲面形状を扱うことができる。 位相的に４角形ならば、１枚のパッチで内挿できるの
で、内部曲線を生成しない。したがって、内部曲線によ
る曲面の歪みがない形状が生成できる。 曲面の内部はＣ〔ｎ〕連続となる。 境界曲線とＣＢＤを独立に定義でき、境界曲線のタイ
プに依存しない。 オフセット曲面の境界や、曲面間の干渉計算によって
生成される曲線に対応できる。 隣接するＧregory パッチ、有理境界Ｇregory パッ
チ、一般境界Ｇregory パッチとなめらかに接続でき
る。 制御点をベースにしているので、一般Ｃoons パッチ
よりも直感的に形状変形できる。 一般境界Ｇregory パッチを用いることで、なるべくシ
ンプルな曲線メッシュでこれまでより複雑な自由曲面形
状を設計でき、Ｇregory パッチや有理境界Ｇregory パ
ッチとの混在も可能である。したがって、曲面を設計す
る上で一般境界Ｇregory パッチは強力なツールとなる
ことが分かった。
【図１】 本発明による自由曲面生成方法の一実施例を
説明するためのフローチャートでＧＢＧパッチの生成過
程を示すフローチャートである。
説明するためのフローチャートでＧＢＧパッチの生成過
程を示すフローチャートである。
【図２】 本発明における境界横断導関数の計算過依程
を示すフローチャートである。
を示すフローチャートである。
【図３】 本発明による一般境界Ｇregory パッチを示
す図である。
す図である。
【図４】 本発明における一般境界ＧregoryパッチのＳ
〔ｃ〕の制御点（ＣＢＤが多項式の場合）を示す図であ
る。
〔ｃ〕の制御点（ＣＢＤが多項式の場合）を示す図であ
る。
【図５】 本発明における一般境界ＧregoryパッチのＳ
〔ｃ〕の制御点（ＣＢＤが有理式の場合）を示す図であ
る。
〔ｃ〕の制御点（ＣＢＤが有理式の場合）を示す図であ
る。
【図６】 本発明における２枚の一般境界Ｇregory パ
ッチ間の接続を示す図である。
ッチ間の接続を示す図である。
【図７】 本発明における境界横断導関数の設定方法を
示す図である。
示す図である。
【図８】 本発明における非４辺形面の内挿過程を示す
図である。
図である。
【図９】 本発明における不規則な曲線メッシュの内挿
を示す図である。
を示す図である。
【図１０】 本発明におけるＧregory パッチによる曲
線メッシュの内挿例を示す図である。
線メッシュの内挿例を示す図である。
【図１１】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
による曲線メッシュの内挿例を示す図である。
による曲線メッシュの内挿例を示す図である。
【図１２】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
の制御点を示す図である。
の制御点を示す図である。
【図１３】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
間の接続例を示す図である。
間の接続例を示す図である。
【図１４】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
の法線ベクトル表示を示す図である。
の法線ベクトル表示を示す図である。
【図１５】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
の等高線表示を示す図である。
の等高線表示を示す図である。
【図１６】 本発明における複合曲線を含んだ不規則な
曲線メッシュの内挿を示す図である。
曲線メッシュの内挿を示す図である。
【図１７】 Ｇregory パッチによる内挿での等高線を
示す図である。
示す図である。
【図１８】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
による内挿での制御点を示す図である。
による内挿での制御点を示す図である。
【図１９】 本発明における一般境界Ｇregory パッチ
による内挿での等高線を示す図である。
による内挿での等高線を示す図である。
【図２０】 本発明による自由曲面生成装置の一実施例
を説明するためのブロック図である。
を説明するためのブロック図である。
１…ＣＢＤ（Cross Boundary Derivative）計算ユニッ
ト、２…３Ｄ（３次元）境界曲線記憶ユニット、３…Ｇ
1連続性判定ユニット、４…曲線タイプ判定ユニット、
５…仮想曲線生成ユニット、６…多項式ＣＢＤ生成ユニ
ット、７…有理式ＣＢＤ生成ユニット、８…有理式・非
有理式判定ユニット、９…多項式曲面生成ユニット、１
０…有理曲面生成ユニット。
ト、２…３Ｄ（３次元）境界曲線記憶ユニット、３…Ｇ
1連続性判定ユニット、４…曲線タイプ判定ユニット、
５…仮想曲線生成ユニット、６…多項式ＣＢＤ生成ユニ
ット、７…有理式ＣＢＤ生成ユニット、８…有理式・非
有理式判定ユニット、９…多項式曲面生成ユニット、１
０…有理曲面生成ユニット。
フロントページの続き (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G06F 17/50 622 G06T 17/40 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)
Claims (6)
- 【請求項１】 隣接する面を構成するすべての複合曲線
での境界横断導関数を計算して記録装置に記憶し、計算
された境界横断導関数が多項式関数かどうかを判定し、
多項式関数と判定されると、前記境界横断導関数から多
項式曲面の制御点を生成し、多項式関数でないと判定さ
れると、前記境界横断導関数から有理曲面の制御点を生
成することを特徴とする自由曲面生成方法。 - 【請求項２】 前記生成する制御点は、すべての境界曲
線の内部制御点を生成し、該内部制御点を組み合わせる
ことを特徴とする請求項１記載の自由曲面生成方法。 - 【請求項３】 前記隣接する面はＧregoryパッチである
ことを特徴とする請求項１または２記載の自由曲面生成
方法。 - 【請求項４】 前記隣接する面は有理境界Ｇregoryパッ
チであることを特徴とする請求項１または２記載の自由
曲面生成方法。 - 【請求項５】 ３次元形状データに対し、面を構成する
２本以上からなるすべての境界曲線での境界横断導関数
を計算して記憶するＣＢＤ計算ユニットと、該ＣＢＤ計
算ユニットで計算された境界横断導関数が多項式関数か
どうかを判定する有理式・非有理式判定ユニットと、該
有理式・非有理式判定ユニットにより多項式関数と判定
されると、前記境界横断導関数から多項式曲面の制御点
を生成する多項式曲面生成ユニットと、前記有理式・非
有理式判定ユニットにより多項式関数でないと判定され
ると、前記境界横断導関数から有理曲面の制御点を生成
する有理曲面生成ユニットとを有することを特徴とする
自由曲面生成装置。 - 【請求項６】 前記ＣＢＤ計算ユニットは、境界曲線の
制御点と重み、境界曲線につながる曲線の制御点と重み
を記憶する３次元境界曲線記憶ユニットと、境界曲線の
端点におけるＧ1連続性を判定するＧ1連続性判定ユニッ
トと、有理曲線か多項式曲線かを判定する曲線タイプ判
定ユニットと、有理曲線とも多項式曲線とも判定されな
い場合に、境界の端点での微分ベクトルから仮想的な多
項式曲線を生成する仮想曲線生成ユニットと、多項式曲
線の場合に、多項式曲線を境界としたときの境界横断導
関数を計算する多項式ＣＢＤ生成ユニットと、有理曲線
の場合に、有理曲線を境界としたときの境界横断導関数
を計算する有理式ＣＢＤ生成ユニットとから成ることを
特徴とする請求項５記載の自由曲面生成装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP10868394A JP3148792B2 (ja) | 1993-05-28 | 1994-05-23 | 自由曲面生成方法及びその装置 |
Applications Claiming Priority (3)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP15152693 | 1993-05-28 | ||
| JP5-151526 | 1993-05-28 | ||
| JP10868394A JP3148792B2 (ja) | 1993-05-28 | 1994-05-23 | 自由曲面生成方法及びその装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH0798773A JPH0798773A (ja) | 1995-04-11 |
| JP3148792B2 true JP3148792B2 (ja) | 2001-03-26 |
Family
ID=26448514
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP10868394A Expired - Lifetime JP3148792B2 (ja) | 1993-05-28 | 1994-05-23 | 自由曲面生成方法及びその装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3148792B2 (ja) |
Families Citing this family (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP3195498B2 (ja) * | 1994-09-13 | 2001-08-06 | キャダムシステム株式会社 | 三次元形状作成方法及びその装置 |
-
1994
- 1994-05-23 JP JP10868394A patent/JP3148792B2/ja not_active Expired - Lifetime
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 鳥谷浩志ほか編著 共立出版株式会社発行 ３次元ＣＡＤの基礎と応用 ７６−８９頁「５．１０ パッチ間の接続」及び「５．１１パッチの内挿」 |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH0798773A (ja) | 1995-04-11 |
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