JP6495728B2 - 形状変形装置および形状変形用プログラム - Google Patents

Description

本発明は、形状変形装置および形状変形用プログラムに関し、特に、例えばＣＡＤ等の設計ツールにより設計される物体の形状を、曲面どうしの連続性を満足するように変形させるための技術に関するものである。

今日、製品の設計を行う際には、ＣＡＤ（Computer Aided Design）によって製品の形状データを生成することが一般的に行われている。一般に、ＣＡＤでは、複数の構成面（曲面）の集合として１つの物体の形状を表す。よって、滑らかな形状面を生成するためには、構成面に関して所定の連続性を満たすことが要求される。単独の曲線や曲面の連続性は、パラメータに関して何回連続微分可能であるかということで表される。例えば、２つのパラメータu，vで表された曲面ｓ(u，v)の場合で言えば、パラメータu，v についてｎ回連続微分可能なときに、曲面ｓ(u，v)は「Ｃ^ｎ連続」であると呼ぶ。

一方、異なるパラメータで表された複数の曲線や曲面が接続している場合、その接続箇所の連続性を表現するためには、Ｃ^ｎ連続とは別の概念が必要である。曲線もしくは曲面の接続箇所の近傍における形状が、何らかの１個のＣ^ｎ連続な曲線または曲面と一致する場合に、この接続箇所は「Ｇ^ｎ連続」であると呼ぶ。これは、接続箇所のまわりの幾何的形状が、Ｃ^ｎ連続な１個の曲線もしくは曲面の形状と区別がつかないくらいに滑らかな形状であることを表しており、「幾何的連続性」とも呼ばれる。

ここで、Ｇ^０連続は「位置連続」とも呼ばれ、点が一致するレベルの連続性をいう。Ｇ^１連続は「接連続」とも呼ばれ、２つの構成面に関する接続箇所での法線ベクトル（接平面）が一致するレベルの連続性をいう。また、Ｇ^２連続は「曲率連続」とも呼ばれ、接続箇所での曲率が一致するレベルの連続性をいう。さらに、Ｇ^３連続は「曲率変化率連続」とも呼ばれ、接続箇所での曲率の変化率が一致するレベルの連続性をいう。Ｇ^０連続からＧ^３連続のどのクラスの連続性が要求されるかは、設計する製品によって異なる。

自動車のドア・フェンダ・ボンネット・ルーフなどの外観形状、またダッシュボードやドアトリム等の内装部品の形状を含めて、消費者の目に直接触れる部分であるために高度な意匠性が要求される曲面形状を、「クラスＡ曲面」と呼ぶ。大抵の場合、クラスＡの曲面には少なくともＧ^２連続性を満たすことが要求される。例えば、自動車の車体の自由曲面モデリングでは、生成される車体の曲面を構成する複数の構成面どうしが互いにＧ^２連続であることが要求される。Ｇ^１連続で車体の形状が滑らかなように見えても、Ｇ^２連続でないと、光を当てた場合に生じるハイライト線が折れて見えてしまい、全箇所でスムーズな見た目を表現することができなくなってしまうからである。ハイライト線を含めて構成面をより滑らかに接続するためには、Ｇ^３連続性まで満たすことが必要となる。

例えば、自動車のドア１枚を表現するＣＡＤデータは、数１０個の構成面から成る。従来のシステムでは、これらの構成面をすべて互いにＧ^３連続性を満たすように一括作成することは不可能である。そのため、Ｇ^３連続性を満たさない箇所を、曲面の様々なパラメータや制御点を変えながら試行錯誤的に修正する必要があり、データ作成作業に非常な困難を伴っていた。

形状モデリングシステムにおいて広く用いられている曲面は、Bezier（ベジエ）曲面やＢスプライン曲面などのテンソル積スプライン曲面である。これらの曲面は制御点によって制御されており、これらの制御点を直接制御することによって、曲面の変形が行われる。制御点を直接制御して変形を行う場合、局所的な変形は容易に行える。しかしながら、設計者の要求を満足すべく曲面全体を大域的に変形しようとすると、非常に多くの制御点の位置決めが要求される。しかも、その位置決めをＧ^３連続性の条件を満足するように行わなければならないため、試行錯誤の手間が非常に多くかかっていた。１つの曲面境界に沿ってＧ^３連続のマッチングを行うと、他の曲面境界に沿った連続性を破壊してしまうことがあるため、設計者は制御点を編集し、マッチングを繰り返し行う必要がある。

なお、従来、Ｇ^２連続性を満足する形状変形に関する手法がいくつか考案されている（例えば、特許文献１，２参照）。特許文献１に記載された発明の目的は、双３次一様Ｂスプライン曲面である初期曲面に対し、曲面の大域的幾何構造を直接制御することによって曲面形状の広範な操作を可能とし、設計者の要求する形状の特徴を満足するように制御点を自動的に位置決めできるようにすることにある。

この目的を達成するために、特許文献１に記載の曲面変形装置は、初期曲面の周囲の曲面とＧ^２連続で交わるという条件のもとで変形曲面の写像の変形族を生成する変形族生成手段と、初期曲面および所望の曲面のガウス曲率および平均曲率をもとにエネルギー汎関数を生成するエネルギー汎関数生成手段と、生成した変形族の中からエネルギー汎関数の値を極小にする写像を求める極小エネルギー写像探索手段と、求められた写像に対応する双３次一様Ｂスプライン曲面を生成する変形曲面生成手段とを備えている。

また、特許文献２に記載された発明の目的は、Ｇ^２連続の幾何学的拘束条件を満たしつつ、ＮＵＲＢＳ曲面を隣接曲面との４つのエッジに沿って同時にマッチさせることを可能とすることにある。この目的を達成するために、特許文献２に記載のモデリングシステムは、第１曲面１つと、当該第１曲面とＢスプライン曲線である共通の境界線を有する少なくとも１つの隣接曲面とをユーザが指定する手段と、第１曲面の境界線上のポイントに対応する隣接曲面の境界線上のポイントでの法曲率を決定する手段と、第１曲面の境界線に沿って最小２乗フィットを行う手段とを備えている。

上記特許文献１，２に代表される従来の形状モデリングシステムは、ＮＵＲＢＳあるいはＢスプラインをベースとした関数を用いて曲面形状の変形を行うものであり、構成面を１つ１つ処理していかなければならない。また、適用可能な構成面は形状が四角形の四辺面に限定され、それ以外の形状、例えば三角形や五角形の構成面に対しては適用することができない。また、上記特許文献１，２に記載の技術で解決しているのはＧ^２連続性までであり、Ｇ^３連続性を満足する形状変形を実現する方法は示されていない。

これに対し、ＲＢＦ（Radial Basis Function：放射基底関数）と呼ばれる関数を用いて曲面形状の変形を行う技術が知られている。ＲＢＦは、関数補間、特に多変数における不規則なデータの補間および近似に用いられる技術である。形状処理分野への応用としては、２０００年頃に測定点群データからの曲面生成の問題に適用され（例えば、非特許文献１参照）、その後２００５年頃にポリゴンおよび曲面の変形処理に適用された（例えば、非特許文献２，３参照）。

曲線や曲面、あるいは点群やポリゴンといったＣＡＤ・形状処理で扱う形状データは、３次元ユークリッド空間Ｒ^３内に存在しており、空間の各点についてその「行き先」を指定する変形写像Ψ：Ｒ^３→Ｒ^３を与えることによって、形状を変形することができる。しかしながら、非特許文献１〜３に記載されている形状変形処理は、「この点をこの点に動かす」という、点の位置（座標値）の拘束条件（Ｇ^０拘束条件）から変形写像を求める方法に限定されており、曲面の法線ベクトルや曲率といった微分量に関わる高次の連続性、すなわち、Ｇ^１連続やＧ^２連続、Ｇ^３連続に対する拘束条件を与えることはできない。

また、これ以外にも、ＲＢＦを用いた形状処理に関する技術が考案されている（例えば、特許文献３参照）。特許文献３に記載された発明の目的は、異なるＣＡＤシステム間で交換されたＣＡＤデータの中に存在する傷（修復すべき部分）を自動的に修復できるようにすることにある。この目的を達成するために、特許文献３に記載のシステムは、ＣＳＲＢＦ（compactly supported radial basis functions）技術を使用することにより、ＣＡＤデータに表される構造を部分に分け、解析に不適な形状を探し出して、スムーズな形状となるよう修正している。

具体的には、特許文献３に記載のシステムは、２次元ＣＡＤデータに表される２次元画像上の傷の部分を範囲指定する手段と、範囲指定された傷の部分を適度に広げた領域を指定する手段と、当該広げた領域から傷の部分を引いた領域に対して、ＣＳＲＢＦ法を用いて関数データを求める手段と、求められた関数データを用いて、傷のついた部分を連続的に滑らかに補間して修復する手段とを備えている。しかしながら、特許文献３では、傷のついた部分を連続的に滑らかに補間することは記載されているものの、Ｇ^ｎ連続性を満足するように形状を変形することについては何ら開示されていない。

特開平７−８５３１４号公報 特許第４８５６５３８号公報 特開２００５−１９００４５号公報

J.C.Carr et.al., Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial Basis Functions, Proceedings of SIGGRAPH 2001, pp.67-76, ACM Express, 2001 M.Botsch, L.Kobbelt, Real-Time Shape Editing using Radial Basis Function, Computer Graphics Forum Vol.24, No.3 (EUROGRAPHICS 2005), pp.611-621, 2005 M. Botch et al.,"Polygon Mesh Processing", A K Peters, Ltd., 2010

本発明は、以上のような実情に鑑みて成されたものであり、ＲＢＦで記述した空間変形写像を用いて、Ｇ^３連続という高次の幾何的連続性に対する拘束条件を満足する形状変形を行うことができるようにすることを目的とする。

上記した課題を解決するために、本発明では、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第１の変形写像式を設定する一方、位置連続に関する拘束条件と接連続に関する拘束条件とを含む第１の拘束条件方程式を設定し、第１の拘束条件方程式を解いて、第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置連続および接連続を満たす第１の変形写像を確定させる。また、本発明では、確定された第１の変形写像を用いて、移動元位置における接ベクトルである１階微分ベクトルを写像させた第１の像ベクトルを求め、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わした接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、ＲＢＦの１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした曲率連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する一方、位置連続に関する拘束条件と、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、曲率連続に関する拘束条件とを含む第２の拘束条件方程式を設定し、第２の拘束条件方程式を解いて、第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置連続、接連続および曲率連続を満たす第２の変形写像を確定させる。

さらに、本発明では、上述のように確定された第２の変形写像を用いて、移動元位置における２階微分ベクトルを写像させた第２の像ベクトルを求め、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わした接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、ＲＢＦの１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、ＲＢＦの１階導関数、２階導関数および３階導関数の１次結合で表わした曲率変化率連続に関する項とを含む第３の変形写像式を設定する一方、位置連続に関する拘束条件と、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが上記第２の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、曲率変化率連続に関する拘束条件とを含む第３の拘束条件方程式を設定し、第３の拘束条件方程式を解いて、第３の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置連続、接連続、曲率連続および曲率変化率連続を満たす第３の変形写像を確定させる。そして、このようにして確立させた第３の変形写像を用いて曲面の形状を変形させる処理を実行するようにしている。

上記のように構成した本発明によれば、ＲＢＦで記述した空間変形写像を用いて、曲率変化率連続（Ｇ^３連続）という高次の幾何的連続性に対する拘束条件を満足する形状変形を行うことができる。

本実施形態による形状変形装置の機能構成例を示すブロック図である。 曲面上の接ベクトルと法線ベクトルとで表わしたＧ^１拘束条件を説明するための図である。 実施例１を説明するための図である。 処理対象とするＣＡＤ曲面の入力画面を示す図である。 変形前曲面の画像とその曲率プロファイルを示す図である。 変形後曲面の画像とその曲率プロファイルを示す図である。 実施例２を説明するための図である。 実施例３を説明するための図である。

以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。本実施形態の形状変形装置では、複数の構成面を一括して所定の拘束条件を満たすように変形させることができ、かつ、任意の形状の構成面に適用可能な変形機能を、ＲＢＦを用いて構成する。ＲＢＦは、「定点からの距離によって値が定まる関数」である。一般には、ｎ次元ユークリッド空間Ｒ^ｎにおけるノルムを||・||と表すときに、以下の形で表されるｎ変数実数値関数Φ(ｘ)をＲＢＦと呼ぶ。
Φ(ｘ)＝φ（||ｘ−ξ||）
ここで、φは１変数の関数である。また、ξ∈Ｒ^ｎはｎ次元空間における固定点で、Φ(ｘ)の中心点と呼ぶ。

本実施形態では、このようなＲＢＦを用いて空間変形写像を表現し、Ｇ^１連続、Ｇ^２連続およびＧ^３連続に対する拘束条件を具体的な方程式の形に表し、それを解くことで目的の空間変形写像を得る。具体的には、Ｇ^３連続性を満足するような形状の変形を行うために、Ｇ^０連続の拘束条件（Ｇ^０拘束条件という）およびＧ^１連続の拘束条件（Ｇ^１拘束条件という）に関する方程式に解いた後、Ｇ^２連続の拘束条件（Ｇ²拘束条件という）に関する方程式を解き、さらに、Ｇ^３連続の拘束条件（Ｇ^３拘束条件という）に関する方程式を解くといった順序処理を行う。そこで、まずは、Ｇ^０拘束条件の方程式、Ｇ^１拘束条件の方程式、Ｇ^２拘束条件の方程式、Ｇ^３拘束条件の方程式について順に説明する。その後、形状変形の具体的な実施例について説明することとする。

＜Ｇ^０拘束条件の方程式＞
Ｇ^０拘束条件は、Ｎ個の点ξ_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）について、それらが行き先の新しい点ξ~_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）に移動することとする。Ｎ個の点ξ_ｉが特許請求の範囲の「空間上の指定された移動元位置」であり、行き先の新しい点ξ~_ｉが「空間上の指定された移動先位置」である。

まず、変形写像Ψを、点ξ_ｉを中心点に持つＲＢＦ（Φ(ｘ−ξ_ｉ）＝φ(||ｘ−ξ_ｉ||)）の１次結合として、次の（式１）のように表す。ここで、係数ａ_ｉ∈Ｒ^３（ｉ＝１，・・・，Ｎ）は未知ベクトルである。

一方、Ｇ^０拘束条件の方程式は、次の（式２）で表される。
Ψ(ξ_ｉ)＝ξ~_ｉ （ｉ＝１，・・・，Ｎ）・・・（式２）
これは、移動元位置から移動先位置への移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件を示すものである。この（式２）に（式１）を代入したものを行列にて表すと、次の（式３）のようになる。

この（式３）に示すＮ元連立１次方程式を解くことにより、未知ベクトルａ_ｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）が求められ、目的の変形写像Ψが確定する。例えば、移動対象とする空間上にあるＮ個の拘束点ξ_ｉについて（式３）の連立１次方程式を解くことによって変形写像Ψが求まれば、その空間上の拘束点ではない点についても、それらがどこに移動するかを計算することができるようになる。すなわち、変形写像Ψが求まるということは、空間のどの点に対しても移動先が決まるということである。

＜Ｇ^１拘束条件の方程式＞
曲面形状を想定したとき、１階微分レベルの重要な幾何的データは法線ベクトル（接平面に直交するベクトル）である。そこで、Ｇ^１拘束条件では、変形後の曲面に対する法線ベクトルを拘束条件として与えることを考える。

ここで、変形前の法線ベクトルと変形後の法線ベクトルとを拘束条件として与えるという方法では、うまく方程式の形に記述することができない。そこで、本実施形態では、変形前の接ベクトルと変形後の法線ベクトルとで拘束条件を記述するようにしている。すなわち、図２に示すように、変形前の曲面ｓ上の点ηにおける２つの独立な接ベクトルをｓ_ｕ，ｓ_ｖとするとき、変形写像Ψによってこれらの接ベクトルが写された先のベクトルが、変形後の曲面ｓ~上の法線ベクトルｎ~と直交することを拘束条件として設定する。

すなわち、接ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖと法線ベクトルｎ~との拘束条件を、次の（式４）に示す２つの方程式で表す。これは、点ηの変形写像Ψによる移動先位置における接ベクトルと、移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表したＧ^１連続に関する拘束条件である。
ＤΨ(η，ｓ_ｕ)・ｎ~＝０、ＤΨ(η，ｓ_ｖ)・ｎ~＝０ ・・・（式４）
この（式４）において、“・”はベクトルの内積を表す。また、この（式４）において、Ｇ^０拘束条件を満たす変形写像Ψの１階微分写像ＤΨを、次の（式５）のように定義している。ここで、ｖは任意のベクトルであり、添え字のαは３変数｛ｘ，ｙ，ｚ｝上を動く。

Ｇ^１拘束条件でもうひとつ検討する必要があるのが、ＲＢＦを使って変形写像Ψをどういう形に表現し、何を未知数とすればよいかということである。Ｇ^０拘束条件のみの場合は（式１）の簡単な形でよいが、これにＧ^１拘束条件を追加したときには、それに応じて未知数を追加して適切な方程式を作らなければならない。そこで、変形写像Ψの表現式の中にＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φを登場させる。

なお、ここではＲＢＦ（Φ(ｘ)＝φ(||ｘ||)）の１階導関数Ｄ_Φを、任意のベクトルｖに対して、次の（式６）のように定義する。
Ｄ_Φ(ｘ，ｖ)＝−(▽Φ(ｘ))・ｖ＝−２Φ’(ｘ)ｘ・ｖ ・・・（式６）
ここで、▽Φ(ｘ)はΦ(ｘ)の勾配ベクトルである。この勾配ベクトル▽Φ(ｘ)は、１変数関数ｆ(ｒ)の導関数をｆ’(ｒ)とし、
Φ’(ｘ)＝ｆ’(ｘ・ｘ)＝ｆ’(ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２)
という記号を導入したとき、▽Φ(ｘ)＝２Φ’(ｘ)ｘと表される。

本実施形態では、上記の１階導関数Ｄ_Φを用いて、変形写像Ψを次の（式７）のように表す。

この（式７）において、Ψ_１(ｘ)の項はＲＢＦの１次結合として表されるもので、上述したＧ^０拘束条件の（式１）と同じであり、ＮはＧ^０拘束点の個数を示している。これに対し、Ψ_２(ｘ)およびΨ_３(ｘ)の項は１階導関数Ｄ_Φの１次結合として表されるものであり、ＭはＧ^１拘束点の個数を示している。すなわち、（式７）に示す変形写像Ψの式は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わしたＧ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)とを含む第１の変形写像式である。ここで、Ψ_１(ｘ)の右辺の係数ベクトルａ_ｉ∈Ｒ^３（ｉ＝１，・・・，Ｎ）と、Ψ_２(ｘ)およびΨ_３(ｘ)の右辺の係数ｂ_ｊ∈Ｒ，ｃ_ｊ∈Ｒ（ｊ＝１，・・・，Ｍ）とがそれぞれ未知数である。

一方、Ｇ^１拘束条件の方程式は、次の（式８）で表される。ここで、Ψ(ξ_ｉ)の方程式は、上述したＧ^０拘束条件の（式２）と同じであり、移動元位置から移動先位置への移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件を示している。これに対し、ＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｕ ^ｊ)・ｎ~_ｊおよびＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ)・ｎ~_ｊの方程式は、上述したＧ^１拘束条件の（式４）と同じであり、移動先位置における接ベクトルと、移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表したＧ^１連続に関する拘束条件を示している。

上記（式７）をもとに（式８）を行列にて表すと、係数行列は（３Ｎ＋２Ｍ）次の対称行列となる。この対称行列で示される連立１次方程式を解くことにより、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊが求められ、Ｇ^０拘束条件とＧ^１拘束条件とが混在した拘束条件を満たす変形写像Ψが確定する。

＜Ｇ^２拘束条件の方程式＞
さきにＧ^１拘束条件で導入したｓ_ｕ，ｓ_ｖというベクトルは、変形前の曲面上の１点における２つの独立な接ベクトルであるが、これらは変形前曲面ｓ(ｕ，ｖ)のｕ方向・ｖ方向の１階微分ベクトルと解釈することができる。そこで、Ｇ^２拘束条件では、この１階微分ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖに加えて、変形前曲面の２階微分ベクトルｓ_ｕｕ，ｓ_ｖｖ，ｓ_ｕｖを用いて、これらと変形後曲面の法線ベクトルｎ~とを使って拘束条件を与えることを考える。

まず、変形前曲面の微分ベクトルと変形後曲面の微分ベクトルとの関係について説明する。変形前曲面をｓ(ｕ，ｖ)、これを変形写像Ψで変形した変形後曲面をｓ~(ｕ，ｖ)で表すと、次の（式９）に示す関係が成り立つ。
ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ)) ・・・（式９）
つまり、変形後曲面ｓ~を２変数ｕ，ｖのベクトル値の関数として見ると、これは変形写像Ψと変形前曲面ｓとの合成関数であると言える。そこで、合成関数の微分法を適用することにより、変形後曲面の微分ベクトルを求めることができる。

すなわち、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）のように定義し、２階微分写像を次の（式１０）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２は任意のベクトルであり、添え字のα，βは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の１階微分ベクトルは（式１１）のように表され、２階微分ベクトルは（式１２）のように表される。

本実施形態では、この（式１２）で示される変形後曲面の移動先位置における２階微分ベクトルｓ~_ｕｕ，ｓ~_ｖｖ，ｓ~_ｕｖと、変形後曲面上の移動先位置における法線ベクトルｎ~との内積の値が、指示された値と一致することをＧ^２拘束条件として設定する。すなわち、α，β，γを指示された値として、次の（式１３）をＧ^２拘束条件として設定する。なお、右辺の定数α，β，γの求め方は後述する。
ｓ~_ｕｕ・ｎ~＝α、ｓ~_ｖｖ・ｎ~＝β、ｓ~_ｕｖ・ｎ~＝γ ・・・（式１３）

ここで、Ｇ^２拘束条件を与える点（変形前曲面上の拘束点）をζとすると、上記（式１３）の拘束条件は、次の（式１４）により表される。

Ｇ^２拘束条件を解く際には、まず、上記式（８）に示すＧ^０・Ｇ^１拘束条件の方程式を解いて（式７）に示す第１の変形写像Ψを求め、この第１の変形写像Ψによって各１階微分ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖを写した像ベクトルｓ~_ｕ，ｓ~_ｖを求める。その上で、上記（式１４）のＧ^２拘束条件に加えて、（式２）のＧ^０拘束条件および次の（式１５）に示すＣ^１拘束条件を用いて、Ｇ^２連続に関する第２の変形写像Ψの方程式を設定する。
ＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｕ)＝ｓ~_ｕ、ＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｖ)＝ｓ~_ｖ ・・・（式１５）

すなわち、Ｇ^２連続を満たす第２の変形写像Ψは、次の（式１６）のように、６個の項の和として表す。

この（式１６）において、Ψ_１(ｘ)の項はＧ^０拘束条件に対応し、Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)の項はＣ^１拘束条件に対応し、Ψ_４(ｘ)，Ψ_５(ｘ) ，Ψ_６(ｘ)の項はＧ^２拘束条件に対応する。Ｃ^１拘束条件とは、曲面の接ベクトルに対して、対応する変形後の接ベクトルを指定するものである。なお、（式１６）では、上記（式６）に示した１階導関数Ｄ_Φに加えて、次の（式１７）に示す２階導関数Ｈ_Φを用いている。
Ｈ_Φ(ｘ，ｖ_１，ｖ_２)＝−(▽Ｄ_Φ(ｘ，ｖ_１))・ｖ_２ ・・・（式１７）

すなわち、（式１６）に示す第２の変形写像Ψの方程式は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わしたＣ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数および２階導関数の１次結合で表わしたＧ^２連続に関する項Ψ_４(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)とを含む変形写像式である。ここで、Ψ_１(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)の中にあるＲＢＦの係数ａ_ｉベクトル、１階導関数Ｄ_Φの係数ｂ_ｊ，ｃ_ｊおよび２階導関数Ｈ_Φの係数ベクトルの各成分ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋが方程式の未知数である。

一方、Ｇ^２拘束条件の方程式は、次の（式１８）で表される。ここで、Ψ(ξ_ｉ)の方程式は、上述したＧ^０拘束条件の（式２）と同じであり、移動元位置から移動先位置への移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件を示している。また、ＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｕ ^ｊ)およびＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ)の方程式は、上述したＣ^１拘束条件の（式１５）と同じであり、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、第１の変形写像に基づいて求められた像ベクトルと一致することを示している。また、残り３つの方程式は、上述したＧ^２拘束条件の（式１４）と同じであり、移動先位置における２階微分ベクトルと法線ベクトルとの内積値が、指示された値α，β，γになることを表したＧ^２連続に関する拘束条件を示している。

Ｇ^０，Ｇ^１，Ｇ^２の各拘束点の個数をＮ，Ｍ，Ｌとするとき、上記（式１６）をもとに（式１８）を行列にて表すと、係数行列は（３Ｎ＋６Ｍ＋３Ｌ）次の対称行列となる。この対称行列で示される連立１次方程式を解くことにより、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋが求められ、Ｇ^２拘束条件を満たす変形写像Ψが確定する。

＜Ｇ^３拘束条件の方程式＞
Ｇ^３拘束条件では、上述した１階微分ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖおよび２階微分ベクトルｓ_ｕｕ，ｓ_ｖｖ，ｓ_ｕｖに加えて、変形前曲面の３階微分ベクトルｓ_ｕｕｕ，ｓ_ｖｖｖ，ｓ_ｕｕｖ，ｓ_ｕｖｖを用いて、これらと変形後曲面の法線ベクトルｎ~とを使って拘束条件を与える。

ここで、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）、２階微分写像を上述の（式１０）のように定義し、さらに３階微分写像を次の（式１９）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２，ｖ_３は任意のベクトルであり、添え字のα，β，γは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の３階微分ベクトルは（式２０）のように表される。

本実施形態では、この（式２０）で示される変形後曲面の移動先位置における３階微分ベクトルｓ~_ｕｕｕ，ｓ~_ｖｖｖ，ｓ~_ｕｕｖ，ｓ~_ｕｖｖと、変形後曲面上の移動先位置における法線ベクトルｎ~との内積の値が、指示された値と一致することをＧ^３拘束条件として設定する。すなわち、α，β，γ，δを指示された値として、次の（式２１）をＧ^３拘束条件として設定する。なお、右辺の定数α，β，γ，δの求め方は後述する。
ｓ~_ｕｕｕ・ｎ~＝α、ｓ~_ｖｖｖ・ｎ~＝β、ｓ~_ｕｕｖ・ｎ~＝γ、ｓ~_ｕｖｖ・ｎ~＝δ ・・・（式２１）

ここで、Ｇ^３拘束条件を与える点（変形前曲面上の拘束点）をωとすると、上記（式２１）の拘束条件は、次の（式２２）により表される。

Ｇ^３拘束条件を解く際には、まず、上述のようにして求めた（式１６）に示す第２の変形写像Ψにより、各２階微分ベクトルｓ_ｕｕ，ｓ_ｖｖ，ｓ_ｕｖを写した像ベクトルｓ~_ｕｕ，ｓ~_ｖｖ，ｓ~_ｕｖを求める。その上で、上記（式２２）のＧ^３拘束条件に加えて、（式２）に示したＧ^０拘束条件、（式１５）に示したＣ^１拘束条件および次の（式２３）に示すＣ^２拘束条件を用いて、Ｇ^３連続に関する第３の変形写像Ψの方程式を設定する。

すなわち、Ｇ^３連続を満たす第３の変形写像Ψは、次の（式２４）のように、１０個の項の和として表す。

この（式２４）において、Ψ_１(ｘ)の項はＧ^０拘束条件に対応し、Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)の項はＣ^１拘束条件に対応し、Ψ_４(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)の項はＣ^２拘束条件に対応し、Ψ_７(ｘ)〜Ψ_１０(ｘ)の項はＧ^３拘束条件に対応する。なお、（式２４）では、次の（式２５）に示す３階導関数Ｋ_Φを用いている。
Ｋ_Φ(ｘ，ｖ_１，ｖ_２，ｖ_３)＝−(▽Ｈ_Φ(ｘ，ｖ_１，ｖ_２))・ｖ_３ ・・・（式２５）

すなわち、（式２４）に示す第３の変形写像Ψの方程式は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わしたＣ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数および２階導関数の１次結合で表わしたＣ^２連続に関する項Ψ_４(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数〜３階導関数の１次結合で表わしたＧ^３連続に関する項Ψ_７(ｘ)〜Ψ_１０(ｘ)とを含む変形写像式である。ここで、Ψ_１(ｘ)〜Ψ_１０(ｘ)の中にあるＲＢＦの係数ａ_ｉベクトル、１階導関数Ｄ_Φの係数ｂ_ｊ，ｃ_ｊ、２階導関数Ｈ_Φの係数ベクトルの各成分ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋおよび３階導関数Ｋ_Φの係数ベクトルの各成分ｐ_ｌ，ｑ_ｌ，ｒ_ｌ，ｓ_ｌが方程式の未知数である。

一方、Ｇ^３拘束条件の方程式は、次の（式２６）で表される。

ここで、Ψ(ξ_ｉ)の方程式は、上述したＧ^０拘束条件の（式２）と同じであり、移動元位置から移動先位置への移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件を示している。また、ＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｕ ^ｊ)およびＤΨ(η_ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ)の方程式は、上述したＣ^１拘束条件の（式１５）と同じであり、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、第１の変形写像に基づいて求められた像ベクトルと一致することを示している。

また、ＤΨ(ζ_ｋ，ｓ_ｕｕ ^ｋ)、ＤΨ(ζ_ｋ，ｓ_ｖｖ ^ｋ)およびＤΨ(ζ_ｋ，ｓ_ｕｖ ^ｋ)を含む方程式は、上述したＣ^２拘束条件の（式２３）と同じであり、接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、第２の変形写像に基づいて求められた像ベクトルと一致することを示している。さらに、残り４つの方程式は、上述したＧ^３拘束条件の（式２２）と同じであり、移動先位置における３階微分ベクトルと法線ベクトルとの内積値が、指示された値α，β，γ，δになることを表したＧ^３連続に関する拘束条件を示している。

Ｇ^０，Ｇ^１，Ｇ^２，Ｇ^３の各拘束点の個数をＮ，Ｍ，Ｌ，Ｋとするとき、上記（式２４）をもとに（式２６）を行列にて表すと、係数行列は（３Ｎ＋６Ｍ＋９Ｌ＋４Ｋ）次の対称行列となる。この対称行列で示される連立１次方程式を解くことにより、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋ，ｐ_ｌ，ｑ_ｌ，ｒ_ｌ，ｓ_ｌが求められ、Ｇ^３拘束条件を満たす変形写像Ψが確定する。

＜形状変形装置の機能構成例＞
図１は、以上説明した処理を実行する本実施形態による形状変形装置の機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態による形状変形装置は、その機能構成として、第１の変形写像設定部１１、第１の拘束条件設定部１２、第１の変形写像確定部１３、第１の像ベクトル算出部１４、第２の変形写像設定部１５、第２の拘束条件設定部１６、第２の変形写像確定部１７、第２の像ベクトル算出部１８、第３の変形写像設定部１９、第３の拘束条件設定部２０、第３の変形写像確定部２１および曲面変形部２２を備えて構成されている。

上記各機能ブロック１１〜２２は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロック１１〜２２は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶された形状変形用プログラムが動作することによって実現される。

第１の変形写像設定部１１は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わしたＧ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)とを含む第１の変形写像式（上述した（式７））を設定する。すなわち、（式７）に対して、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ以外の値（移動元位置に関するξ_ｉ，η_ｊ，ｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ)と、移動先位置に関するｎ~_ｊ）を代入することにより、第１の変形写像式を設定する。

なお、移動元位置であるＮ個の点ξ_ｉおよび移動先位置であるＮ個の点ξ~_ｉを指定する方法は、ユーザが各点ξ_ｉ，ξ~_ｉを個別にダイレクトに指定する方法と、ユーザにより指定された空間上の範囲の中から第１の変形写像設定部１１が内部処理によって自動的に設定する方法とがある。後者の場合、例えば、隣接している２つの曲面の境界線をユーザが指定して形状変形の実行を指示すると、当該境界線上にある各Ｎ個の点ξ_ｉ，ξ~_ｉを第１の変形写像設定部１１が自動的に設定する。また、離れて存在している２つの曲面のそれぞれについて、接触させる辺を指定して形状変形の実行を指示すると、それぞれの辺上にある各Ｎ個の点ξ_ｉ，ξ~_ｉを第１の変形写像設定部１１が自動的に設定する。

また、移動元位置η_ｊにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊと、移動先位置における法線ベクトルｎ~_ｊは、上述のように指定した空間上の移動元位置ξ_ｉおよび移動先位置ξ~_ｉの情報を用いて第１の変形写像設定部１１が自動的に計算して設定する。

第１の拘束条件設定部１２は、移動元位置（Ｎ個の点ξ_ｉ）から移動先位置（Ｎ個の点ξ~_ｉ）への移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件と、移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表したＧ^１連続に関する２つの拘束条件とを含む第１の拘束条件方程式（上述した（式８））を設定する。

第１の変形写像確定部１３は、第１の拘束条件設定部１２により設定された第１の拘束条件方程式を解いて、第１の変形写像設定部１１により設定された第１の変形写像式に含まれる未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊを求めることにより、Ｇ^０連続およびＧ^１連続を満たす第１の変形写像、すなわち（式７）に示す変形写像Ψ(ｘ)を確定させる。

第１の像ベクトル算出部１４は、第１の変形写像確定部１３により確定された第１の変形写像Ψ(ｘ)を用いて、移動元位置における接ベクトルである１階微分ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖを写像させた第１の像ベクトルｓ~_ｕ，ｓ~_ｖを求める。ここで、移動元位置における接ベクトル（１階微分ベクトル）ｓ_ｕ，ｓ_ｖは、上述のように指定された移動元位置ξ_ｉの情報から第１の変形写像設定部１１が算出したものを用いることが可能である。第１の像ベクトル算出部１４は、この接ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖを第１の変形写像Ψ(ｘ)を用いて写像する。

第２の変形写像設定部１５は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φの１次結合で表わしたＣ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φおよび２階導関数Ｈ_Φの１次結合で表わしたＧ^２連続に関する項Ψ_１(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)とを含む第２の変形写像式（上述した（式１６））を設定する。すなわち、（式１６）に対して、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋ以外の値（移動元位置に関するξ_ｉ，η_ｊ，ζ_k，ｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ，ｓ_ｕ ^ｋ，ｓ_ｖ ^ｋ，ｓ_ｕｕ ^ｋ，ｓ_ｖｖ ^ｋ，ｓ_ｕｖ ^ｋと、移動先位置に関するｎ~_ｋ）を代入することにより、第２の変形写像式を設定する。

ここで、移動元位置η_ｊにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ、移動元位置ζ_kにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｋ，ｓ_ｖ ^ｋ，ｓ_ｕｕ ^ｋ，ｓ_ｖｖ ^ｋ，ｓ_ｕｖ ^ｋ、および、移動先位置における法線ベクトルｎ~_ｋは、上述のように指定した空間上の移動元位置ξ_ｉおよび移動先位置ξ~_ｉの情報を用いて第２の変形写像設定部１５が自動的に計算して設定する。

第２の拘束条件設定部１６は、移動元位置ξ_ｉから移動先位置ξ~_ｉへの移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件と、第１の像ベクトル算出部１４により求められた第１の像ベクトルｓ~_ｕ，ｓ~_ｖを用いて表したＣ^１連続に関する拘束条件と、移動先位置における２階微分ベクトルと移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表したＧ^２連続に関する拘束条件とを含む第２の拘束条件方程式（上述した（式１８））を設定する。

第２の変形写像確定部１７は、第２の拘束条件設定部１６により設定された第２の拘束条件方程式を解いて、第２の変形写像設定部１５により設定された第２の変形写像式に含まれる未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋを求めることにより、Ｇ^０連続、Ｇ^１連続およびＧ^２連続を満たす第２の変形写像を確定させる。

第２の像ベクトル算出部１８は、第２の変形写像確定部１７により確定された第２の変形写像Ψ(ｘ)を用いて、移動元位置における２階微分ベクトルｓ_ｕｕ，ｓ_ｖｖ，ｓ_ｕｖを写像させた第２の像ベクトルｓ~_ｕｕ，ｓ~_ｖｖ，ｓ~_ｕｖを求める。

第３の変形写像設定部１９は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φの１次結合で表わしたＣ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φおよび２階導関数Ｈ_Φの１次結合で表わしたＣ^２連続に関する項Ψ_４(ｘ)〜Ψ_６(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数Ｄ_Φ、２階導関数Ｈ_Φおよび３階導関数Ｋ_Φの１次結合で表わしたＧ^３連続に関する項Ψ_７(ｘ)〜Ψ_１０(ｘ)とを含む第３の変形写像式（上述した（式２４））を設定する。すなわち、（式２４）に対して、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋ，ｐ_ｌ，ｑ_ｌ，ｒ_ｌ，ｓ_ｌ以外の値（移動元位置に関するξ_ｉ，η_ｊ，ζ_k，ω_ｌ，ｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ，ｓ_ｕ ^ｋ，ｓ_ｖ ^ｋ，ｓ_ｕｕ ^ｋ，ｓ_ｖｖ ^ｋ，ｓ_ｕｖ ^ｋ，ｓ_ｕ ^ｌ，ｓ_ｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕ ^ｌ，ｓ_ｖｖ ^ｌ，ｓ_ｕｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕｕ ^ｌ，ｓ_ｖｖｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕｖ ^ｌ，ｓ_ｕｖｖ ^ｌと、移動先位置に関するｎ~_ｌ）を代入することにより、第３の変形写像式を設定する。

ここで、移動元位置η_ｊにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ、移動元位置ζ_kにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｋ，ｓ_ｖ ^ｋ，ｓ_ｕｕ ^ｋ，ｓ_ｖｖ ^ｋ，ｓ_ｕｖ ^ｋ、移動元位置ω_ｌにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｌ，ｓ_ｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕ ^ｌ，ｓ_ｖｖ ^ｌ，ｓ_ｕｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕｕ ^ｌ，ｓ_ｖｖｖ ^ｌ，ｓ_ｕｕｖ ^ｌ，ｓ_ｕｖｖ ^ｌおよび、移動先位置における法線ベクトルｎ~_ｌは、上述のように指定した空間上の移動元位置ξ_ｉおよび移動先位置ξ~_ｉの情報を用いて第３の変形写像設定部１８が自動的に計算して設定する。

第３の拘束条件設定部２０は、移動元位置ξ_ｉから移動先位置ξ~_ｉへの移動を表したＧ^０連続に関する拘束条件と、第１の像ベクトル算出部１４により求められた第１の像ベクトルｓ~_ｕ，ｓ~_ｖを用いて表したＣ^１連続に関する拘束条件と、第２の像ベクトル算出部１８により求められた第２の像ベクトルｓ~_ｕｕ，ｓ~_ｖｖ，ｓ~_ｕｖを用いて表したＣ^２連続に関する拘束条件と、移動先位置における３階微分ベクトルと移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表したＧ^３連続に関する拘束条件とを含む第３の拘束条件方程式（上述した（式２６））を設定する。

第３の変形写像確定部２１は、第３の拘束条件設定部２０により設定された第３の拘束条件方程式を解いて、第３の変形写像設定部１９により設定された第３の変形写像式に含まれる未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ，ｄ_ｋ，ｅ_ｋ，ｆ_ｋ，ｐ_ｌ，ｑ_ｌ，ｒ_ｌ，ｓ_ｌを求めることにより、Ｇ^０連続、Ｇ^１連続、Ｇ^２連続およびＧ^３連続を満たす第３の変形写像を確定させる。

曲面変形部２２は、第３の変形写像確定部２１により確定された第３の変形写像を用いて、曲面の形状を変形させる処理を実行する。これにより、Ｇ^０連続、Ｇ^１連続、Ｇ^２連続およびＧ^３連続を満足するような形状変形が実行される。

＜実施例１＞
次に、以上に説明したＲＢＦによる変形写像Ψを利用して、具体的なＣＡＤ曲面を変形する処理の実施例について説明する。実施例１では、図３に示すように、２つの曲面ｓ(ｕ，ｖ)，ｒ(ｗ，ｔ)が境界線を介して隣接している状況で、一方の曲面ｓ(ｕ，ｖ)を変形して他方の曲面ｒ(ｗ，ｔ)と幾何的連続性を満たすようにするケースを説明する。ここでは、境界線上の点ｓ(ｕ_０，ｖ_０)＝ｒ(ｗ_０，ｔ_０)において２面が法線ベクトルを共有しているとし（Ｇ^１連続）、曲面ｓ(ｕ，ｖ)の変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)が隣接面ｒ(ｗ，ｔ)とこの点でＧ^３連続となるように変形するケースについて説明する。

曲面ｒ(ｗ，ｔ)のパラメータｗ，ｔは曲面ｓ(ｕ，ｖ)のパラメータｕ，ｖとは異なるが、ｗ，ｔはｕ，ｖの関数になっていると考えられる。そこで、合成関数の微分法を適用することにより、ｒ(ｗ，ｔ)をｕ，ｖで微分したベクトルｒ_ｕ，ｒ_ｖ，ｒ_ｕｕ，ｒ_ｖｖ，ｒ_ｕｖ，ｒ_ｕｕｕ，ｒ_ｖｖｖ，ｒ_ｕｕｖ，ｒ_ｕｖｖを、次のように求めることができる。すなわち、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)と隣接面ｒ(ｗ，ｔ)とが１点ｓ~(ｕ_０，ｖ_０)＝ｒ(ｗ_０，ｔ_０)を共有しているとき、この点において曲面ｒ(ｗ，ｔ)を相手の曲面のパラメータｕ，ｖで微分した偏導関数ｒ_ｕ，ｒ_ｖ，ｒ_ｕｕ，ｒ_ｖｖ，ｒ_ｕｖ，ｒ_ｕｕｕ，ｒ_ｖｖｖ，ｒ_ｕｕｖ，ｒ_ｕｖｖに関して、次の（式２７）が成り立つ。

上述したように、Ｇ^３連続性を満たす形状変形を行う際には、（式２６）に示したように、Ｇ^０拘束条件とＣ^１拘束条件とＣ^２拘束条件とＧ^３拘束条件とを付与する。このうち、Ｃ^１拘束条件より、ｓ~_ｕ＝ｒ_ｕ，ｓ~_ｖ＝ｒ_ｖであり、これと上記（式２７）に示した１階微分の２つの式より、∂ｗ／∂ｕ，∂ｗ／∂ｖ，∂ｔ／∂ｕ，∂ｔ／∂ｖの４つの係数を求めることができる。さらに Ｃ^２拘束条件より、ｓ~_ｕｕ＝ｒ_ｕｕ，ｓ~_ｖｖ＝ｒ_ｖｖ，ｓ~_ｕｖ＝ｒ_ｕｖであり、これと上記（式２７）に示した２階微分の３つの式より、∂^２ｗ／∂ｕ^２，∂^２ｗ／∂ｖ^２，∂^２ｗ／∂ｕ∂ｖ，∂^２ｔ／∂ｕ^２，∂^２ｔ／∂ｖ^２，∂^２ｔ／∂ｕ∂ｖの６つの係数を求めることができる。

次に、上記のように求めた合計１０個の係数を用いて、上記（式４）からｒ_ｗ・ｎ~＝ｒ_ｔ・ｎ~＝０に注意すると、上記（式２７）に示した３階微分の３つの式より、ｒ_ｕｕｕ・ｎ~，ｒ_ｖｖｖ・ｎ~，ｒ_ｕｕｖ・ｎ~，ｒ_ｕｖｖ・ｎ~の４つの値を求めることができる。この４つの値が、上記（式２６）に示したＧ^３拘束条件における右辺の定数α，β，γ，δとなる。よって、この（式２６）に示す連立１次方程式を解くことにより、Ｇ^３拘束条件を満たす変形写像Ψを得ることができる。

図４〜図６は、実施例１のケースを実際に実行した結果を示す図である。図４は、処理対象とするＣＡＤ曲面の入力画面を示す図である。この入力画面では、変形元面群と枠線（境界線群）を指定するとともに、境界線ごとの連続性（Ｇ^０〜Ｇ^３の何れか）を指定するようになっている。図４では、２つの曲面と、外側の枠線および２面間の境界線とを指定するとともに、外側の枠線にはＧ^０連続、真ん中の境界線にはＧ^３連続を指定した状態を示している。

図５は、変形前曲面の画像とその曲率プロファイルを示す図である。図５において、左上はシェーディング表示、右上はゼブラ表示、右下はゼブラ表示の一部拡大画像、左下は曲率プロファイルを示している。曲率プロファイルとは、曲面を平面で切った断面線に沿って、曲率の大きさに比例した長さの法線方向線分を表示したものであり、法線方向がほぼ一定のケースでは「曲率のグラフ」とみなすことができる。

図５の例では、左右２つの曲面のほぼ中間位置が接続箇所（境界線）となっており、この中間位置での滑らかさから、断面線沿いでの曲率の連続性や曲率変化率の連続性を判断することができる。図５の左下に示す曲率プロファイルから分かるとおり、変形前の状態では、２面の曲率は不連続（Ｇ^２不連続）である。さらに、右下のゼブラ表示から分かるように、境界線において２面の法線も一致せず、折れた状態である（Ｇ^１不連続）。

図６は、変形後曲面の画像とその曲率プロファイルを示す図である。図６の左下に示す曲率プロファイルから分かるとおり、変形後の状態では、２面の曲率は連続（Ｇ^２連続）である。曲率変化率も連続（Ｇ^３連続）である。さらに、右下のゼブラ表示から分かるように、境界線において２面の法線も一致しており、滑らかな状態である（Ｇ^１連続）。

＜実施例２＞
実施例２では、図７に示すように、２つの曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)，ｓ_２(ｕ，ｖ)が境界線を介して隣接している状況で、両方の曲面を同時に変形して幾何的連続性を満たすようにするケースを説明する。

曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)と曲面ｓ_２(ｕ，ｖ)とが境界線を介して隣接しているとき、図７に示すように、境界線沿いに帯状の仮想的な曲面７１を考える。そして、２つの曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)，ｓ_２(ｕ，ｖ)がそれぞれこの仮想的な曲面７１に対して幾何的連続性を満足するように、当該２つの曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)，ｓ_２(ｕ，ｖ)を変形する。すなわち、一方の曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)と仮想的な曲面７１とがＧ^３拘束条件を満たし、かつ、他方のｓ_２(ｕ，ｖ) と仮想的な曲面７１とがＧ^３拘束条件を満たすように変形することにより、２つの曲面ｓ_１(ｕ，ｖ)，ｓ_２(ｕ，ｖ)のＧ^３連続性を満足させることができる。

＜実施例３＞
実施例３では、図８に示すように、２つの曲面ｓ(ｕ，ｖ)，ｒ(ｗ，ｔ)が離れた場所にある状況で、一方の曲面ｓ(ｕ，ｖ)を変形して、離れた場所にある他方の曲面ｒ(ｗ，ｔ)の頂点および辺と一致させて幾何的連続性を満たすようにするケースを説明する。

この場合には、Ｇ^０〜Ｇ^３の拘束条件を曲面ｒ(ｗ，ｔ)の一致させたい辺から設定した上で、曲面ｓ(ｕ，ｖ)を実施例１と同様の処理によって変形する。これによって、離れた場所にある曲面に対してもＧ^０〜Ｇ^３の望むレベルでの幾何的連続性を満足するように、曲面ｓ(ｕ，ｖ)を変形することができる。

以上詳しく説明したように、本実施形態によれば、ＲＢＦの空間変形写像を用いて、位置連続（Ｇ^０連続）や接連続（Ｇ^１連続）だけでなく、曲率連続（Ｇ^２連続）および曲率変化率連続（Ｇ^３連続）という高次の幾何的連続性に対する拘束条件を満足する形状変形を行うことができる。ＲＢＦを利用した本実施形態の形状変形手法によれば、形状が四角形の曲面に限らず、三角形や五角形といった任意形状の曲面に対しても適用することができる。

また、２面に限らず、３面以上のｎ個の面を一括で指定して拘束条件を満たすように変形させることもできる。例えば、隣接しているｎ個の曲面を一括して形状変形する場合、複数の境界線に対してそれぞれ上述の変形写像と拘束条件を適用すれば、高次の幾何的連続性に対する拘束条件を満足するように複数の曲面を一括して形状変形することができる。

なお、上記実施形態では、ＣＡＤにより設計される物体の曲面形状を変形させる例について説明したが、ＣＡＤデータに限らず、点群データやポリゴンデータにも適用することが可能である。例えば、ポリゴンモデリングや、ポリゴンとＣＡＤ面との混在（ハイブリッド）処理等にも応用することができる。

その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１１ 第１の変形写像設定部
１２ 第１の拘束条件設定部
１３ 第１の変形写像確定部
１４ 第１の像ベクトル算出部
１５ 第２の変形写像設定部
１６ 第２の拘束条件設定部
１７ 第２の変形写像確定部
１８ 第２の像ベクトル算出部
１９ 第３の変形写像設定部
２０ 第３の拘束条件設定部
２１ 第３の変形写像確定部
２２ 曲面変形部

Claims (5)

1. 曲面の形状を、所定の幾何的連続性を満たすように変形させる形状変形装置であって、
   放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第１の変形写像式を設定する第１の変形写像設定部と、
   空間上の指定された移動元位置から移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表した上記接連続に関する拘束条件とを含む第１の拘束条件方程式を設定する第１の拘束条件設定部と、
   上記第１の拘束条件設定部により設定された上記第１の拘束条件方程式を解いて、上記第１の変形写像設定部により設定された上記第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続および上記接連続を満たす第１の変形写像を確定させる第１の変形写像確定部と、
   上記第１の変形写像確定部により確定された上記第１の変形写像を用いて、上記移動元位置における接ベクトルである１階微分ベクトルを写像させた第１の像ベクトルを求める第１の像ベクトル算出部と、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした曲率連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する第２の変形写像設定部と、
   上記移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第１の像ベクトル算出部により求められた上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記移動先位置における２階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表した上記曲率連続に関する拘束条件とを含む第２の拘束条件方程式を設定する第２の拘束条件設定部と、
   上記第２の拘束条件設定部により設定された上記第２の拘束条件方程式を解いて、上記第２の変形写像設定部により設定された上記第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続、上記接連続および上記曲率連続を満たす第２の変形写像を確定させる第２の変形写像確定部と、
   上記第２の変形写像確定部により確定された上記第２の変形写像を用いて、上記移動元位置における２階微分ベクトルを写像させた第２の像ベクトルを求める第２の像ベクトル算出部と、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数、２階導関数および３階導関数の１次結合で表わした曲率変化率連続に関する項とを含む第３の変形写像式を設定する第３の変形写像設定部と、
   上記移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第１の像ベクトル算出部により求められた上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第２の像ベクトル算出部により求められた上記第２の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記移動先位置における３階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表した上記曲率変化率連続に関する拘束条件とを含む第３の拘束条件方程式を設定する第３の拘束条件設定部と、
   上記第３の拘束条件設定部により設定された上記第３の拘束条件方程式を解いて、上記第３の変形写像設定部により設定された上記第３の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続、上記接連続、上記曲率連続および上記曲率変化率連続を満たす第３の変形写像を確定させる第３の変形写像確定部と、
   上記第３の変形写像確定部により確定された上記第３の変形写像を用いて、上記曲面の形状を変形させる処理を実行する曲面変形部とを備えたことを特徴とする形状変形装置。
2. ２つの曲面が境界線を介して隣接している状況で、一方の曲面のみを変形して上記幾何的連続性を満足させる場合、上記一方の曲面を、他方の曲面に対して上記幾何的連続性を満たすように変形することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
3. ２つの曲面が境界線を介して隣接している状況で、上記２つの曲面を同時に変形して上記幾何的連続性を満足させる場合、上記境界線沿いに帯状の仮想的な曲面を設定し、上記２つの曲面をそれぞれ上記仮想的な曲面に対して上記幾何的連続性を満たすように変形することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
4. ２つの曲面が離れている状況で、上記２つの曲面のうち一方の曲面を変形して、離れた場所にある他方の曲面の頂点および辺と一致させて上記幾何的連続性を満足させる場合、上記他方の曲面の上記一致させたい辺から拘束条件を設定した上で、上記一方の曲面を、上記他方の曲面に対して上記幾何的連続性を満たすように変形することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
5. 曲面の形状を所定の幾何的連続性を満たすように変形させる処理をコンピュータに実行させるための形状変形用プログラムであって、
   放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第１の変形写像式を設定する第１の変形写像設定手段、
   空間上の指定された移動元位置から移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表した上記接連続に関する拘束条件とを含む第１の拘束条件方程式を設定する第１の拘束条件設定手段、
   上記第１の拘束条件設定手段により設定された上記第１の拘束条件方程式を解いて、上記第１の変形写像設定手段により設定された上記第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続および上記接連続を満たす第１の変形写像を確定させる第１の変形写像確定手段、
   上記第１の変形写像確定手段により確定された上記第１の変形写像を用いて、上記移動元位置における接ベクトルである１階微分ベクトルを写像させた第１の像ベクトルを求める第１の像ベクトル算出手段、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした曲率連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する第２の変形写像設定手段、
   上記移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第１の像ベクトル算出手段により求められた上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記移動先位置における２階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表した上記曲率連続に関する拘束条件とを含む第２の拘束条件方程式を設定する第２の拘束条件設定手段、
   上記第２の拘束条件設定手段により設定された上記第２の拘束条件方程式を解いて、上記第２の変形写像設定手段により設定された上記第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続、上記接連続および上記曲率連続を満たす第２の変形写像を確定させる第２の変形写像確定手段、
   上記第２の変形写像確定手段により確定された上記第２の変形写像を用いて、上記移動元位置における２階微分ベクトルを写像させた第２の像ベクトルを求める第２の像ベクトル算出手段、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数および２階導関数の１次結合で表わした上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルの一致に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数、２階導関数および３階導関数の１次結合で表わした曲率変化率連続に関する項とを含む第３の変形写像式を設定する第３の変形写像設定手段、
   上記移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続に関する拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第１の像ベクトル算出手段により求められた上記第１の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記接ベクトルの変形写像による像ベクトルが、上記第２の像ベクトル算出手段により求められた上記第２の像ベクトルと一致することを表した拘束条件と、上記移動先位置における３階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値が指示された値になることを表した上記曲率変化率連続に関する拘束条件とを含む第３の拘束条件方程式を設定する第３の拘束条件設定手段、
   上記第３の拘束条件設定手段により設定された上記第３の拘束条件方程式を解いて、上記第３の変形写像設定手段により設定された上記第３の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続、上記接連続、上記曲率連続および上記曲率変化率連続を満たす第３の変形写像を確定させる第３の変形写像確定手段、および
   上記第３の変形写像確定手段により確定された上記第３の変形写像を用いて、上記曲面の形状を変形させる処理を実行する曲面変形手段
   として上記コンピュータを機能させるための形状変形用プログラム。