JP3113314B2 - 自由曲面の生成方式 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【技術分野】本発明は、自由曲線の生成方式に関し、よ
り詳細には、三次元立体形状処理装置における形状生成
方式に関する。例えば、曲線メッシュで定義される立体
形状での自由曲面生成方式に適用されるものである。

【０００２】

【従来技術】三次元ＣＡＤを使って、複雑な自由曲面形
状を定義する一つの方法として、曲面形状の輪郭を表す
境界曲面を入力し、その後、境界曲線で囲まれた領域を
自由曲面で内挿する方法がある。この境界曲線によって
定義されたメッシュを曲線メッシュと呼ぶ。この方法で
は、生成する自由曲面は、パッチと呼ばれる微小面から
成る。滑らかな曲面形状を生成するために、隣接するパ
ッチ同士はＧ¹またはＧ²レベルでの連続性を保つことが
重要である。また、家電、自動車などの複雑な曲面形状
を持った製品では、円錐曲線のような有理曲線によって
曲面の境界曲線を定義しているものも多い。これらの曲
線形状を自由曲面で内挿するためには、曲面の表現式と
して有理式を許したものが必要である。現在、自由曲面
形状を定義するために使われているＣＡＤの多くは、Ｇ
¹連続性を保証しているものが多い。しかし、Ｇ¹連続な
自由曲面では、曲面上の映り込みや、ハイライトが滑ら
かでない。そこで、より高品位な自由曲面を生成するた
めには、さらにＧ²レベルでの連続性が必要であるが、
これを取り入れているＣＡＤは少ない。

【０００３】曲面形状の品質だけではなく、形状変形の
容易さも重大な問題である。曲線メッシュを自由曲面で
内挿する場合には、境界曲線の情報のみから曲面は生成
される。このような内挿方法では、境界曲線を変形する
ことで曲面形状が変形される。曲面形状を入力する場合
に、境界曲線のみを考慮すればよいので、効果的な入力
方法ではあるが、曲面形状を微妙に変形するためには、
このような変形方法だけでは不十分である。

【０００４】従来技術としては、境界曲線上の任意の点
における境界横断導関数（Cross Boundary Derivativ
e）を指定し、曲線メッシュをGregoryパッチで内挿する
手法が提案されている。この方法は、曲面形状の微妙な
変形に有効である。しかし、これは、多項式曲線のみで
有理曲線を許していない。以下、境界横断導関数をＣＢ
Ｄと呼ぶことにする。また、高品位な曲面を生成するた
めの技術として、Ｇ²連続なBezierパッチを生成する方
法が提案されている。この方法では、隣接する二枚のBe
zierパッチをＧ²連続に接続することができる。しかし
一般に、ある曲線メッシュの節点には、４枚の以上の隣
接するパッチがあり、Bezierパッチを用いてＧ²連続な
自由曲面を生成することは困難である。一方、上記の方
法をGregoryパッチに適用し、Gregoryパッチを用いてＧ
²連続な自由曲面を生成する方法も提案されている。Gre
goryパッチは、各パラメーター方向で微分ベクトルを独
立に定義できるので、Bezierパッチのように接続は困難
ではない。しかし、この方法は、境界曲線におけるＣＢ
Ｄや曲率を線形に補間するので、意図した形状が生成で
きるとは限らない。

【０００５】従来技術として、Gregoryパッチの境界上
の任意の点におけるＣＢＤを指定し、それを考慮した曲
面内挿方法が提案されている。また、二枚の隣接するBe
zierパッチをＧ²連続に接続する方法がある。Bezierパ
ッチは、各パラメーター方向の微分ベクトルを独立に定
義できないので、一つの方向でパッチを接続すると他方
向の接続が困難である。一般に、曲線メッシュ上にパッ
チを内挿する場合には、各パラメーター方向に隣接する
パッチが存在するので、BezierパッチでＧ²連続な自由
曲面を生成することは困難である。一方、Gregoryパッ
チは、各パラメータ方向の微分ベクトルを独立に定義で
きるので、このような問題は起きない。しかし、従来技
術では、境界曲線の端点におけるＣＢＤや曲率ベクトル
を線形に補間しパッチを生成するので、微妙な形状変形
が困難である。

【０００６】

【目的】本発明は、上述のごとき実情に鑑みてなされた
もので、境界曲線に有理曲線を許した有理境界Gregory
パッチに対して、各境界曲線上の任意の点におけるＣＢ
Ｄを指定し、それを考慮した曲面内挿方法を実現するこ
と、また、Gregoryパッチの特徴を生かし、かつ、各境
界曲線で、Ｇ²連続な自由曲面を生成する方法におい
て、境界曲線上の任意の点におけるＣＢＤや曲率ベクト
ルを指定すること、ＣＢＤや曲率ベクトルを動かすこと
によって、曲面形状の微妙な変更を可能にし、設計者の
意図した曲面形状を生成するようにした自由曲面の生成
方法を提供することを目的としてなされたものである。

【０００７】

【構成】本発明は、上記目的を達成するために、（１）
有理曲線で境界を囲まれた領域に対して、境界曲線と各
境界曲線につながる曲線から境界での連続性を判定する
判定手段と、該判定手段で求めた連続性から境界での接
続条件を求める接続条件決定手段と、各境界曲線上の任
意の点における境界横断導関数を指定する導関数指定手
段と、前記接続条件決定手段で求めた接続条件と前記導
関数指定手段で指定した境界横断導関数から領域を自由
曲面で内挿する内挿手段とから成ること、或いは、
（２）多項式曲線で囲まれた領域に対して、境界曲線と
各境界曲線につながる曲線から境界での連続性を判定す
る判定手段と、該判定手段で求めた連続性から境界での
接続条件を求める接続条件決定手段と、各境界曲線上の
任意の点における境界横断導関数を指定する導関数指定
手段と、該導関数指定手段で指定した点における曲率ベ
クトルを指定するベクトル指定手段と、前記接続条件決
定手段で求めた接続条件と前記導関数指定手段で指定し
た境界横断導関数と前記ベクトル指定手段で指定した曲
率ベクトルから領域を自由曲面で内挿する内挿手段とか
ら成ることを特徴としたものである。すなわち、次の
つの部分により実現される。面を構成する全ての境界
曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄える。各境界曲線
の端点につながっている曲線のうちで、隣接する面を構
成している曲線を制御点と重みを記憶装置に蓄える。
各境界曲線上の任意の点におけるＣＢＤと曲率ベクトル
を記憶装置に蓄える。各境界曲線が有理曲線かどうか
を判定する。多項式曲線ならば、以下のに進み、有理
曲線ならば、次のに進む。前記，で蓄えられた
曲線の制御点と重みを使って、境界曲線をはさんだ隣接
面とのＧ¹連続性を判定し、以下のに進む。前記
，で蓄えられた曲線の制御点を使って、境界曲線を
はさんだ隣接面とのＧ²連続性を判定する。前記ま
たは前記での判定結果を基に、その境界での接続条件
を記憶装置に蓄える。前記で記憶した接続条件と前
記で記憶したＣＢＤと曲率ベクトルから内部制御点を
計算する。以下、本発明の実施例に基づいて説明する。

【０００８】図１は、本発明による自由曲面の生成方式
の一実施例を説明するための構成図で、図中、１は判定
手段、２は接続条件決定手段、３は導関数指定手段、４
は自由曲面の内挿手段である。有理曲線で境界を囲まれ
た領域に対して次の手段を実行する。判定手段１は、境
界曲線と各境界曲線につながる曲線から境界での連続性
（Ｇ¹連続）を判定する。接続条件決定手段２は前記判
定手段１で求めた連続性から境界での接続条件を求め
る。導関数指定手段３は各境界曲線上の任意の点におけ
る境界横断導関数を指定する。自由曲線の内挿手段４は
前記接続条件決定手段２で求めた接続条件と前記導関数
指定手段３で指定した境界横断導関数から領域を自由曲
面で内挿する。

【０００９】図２は、本発明による自由曲面の生成方式
の他の実施例を説明するための構成図で、図中、１１は
判定手段、１２は接続条件決定手段、１３は導関数指定
手段、１４は曲率ベクトル指定手段、１５は自由曲面の
内挿手段である。多項式曲線で囲まれた領域に対して次
の手段を実行する。判定手段１１は、境界曲線と各境界
曲線につながら曲線から境界での連続性（Ｇ²連続）を
判定する。接続条件決定手段１２は前記判定手段１１で
求めた連続性から境界での接続条件を求める。導関数指
定手段１３は、各境界曲線上の任意の点における境界横
断導関数を指定する。曲率ベクトル指定手段１４は前記
導関数指定手段１３で指定した点における曲率ベクトル
を指定する。自由曲面の内挿手段１５は前記接続条件決
定手段１２で求めた接続条件と前記導関数指定手段１３
で指定して境界横断導関数と前記曲率ベクトル指定手段
１４で指定した曲率ベクトルから領域を自由曲面で内挿
する。

【００１０】図３は、本発明による自由曲面の生成方式
を説明するためのフローチャートである。以下、各ステ
ップに従って順に説明する。step１ ：各境界曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄え
る。step２ ：境界曲線につながる曲線の制御点と重みを記憶
装置に蓄える。step３ ：ＣＢＤと曲率ベクトルを記憶装置に蓄える。step４ ：有理曲線かどうかを調べる。有理曲線であれ
ば、後述するstep６へ行く。step５ ：前記step４において、有理曲線でなければ、次
に、Ｇ²連続かどうかを調べる。Ｇ²連続でなければ終了
する。step６ ：前記step４において、有理曲線であれば、有理
境界Gregoryパッチの制御点を計算する。step７ ：前記step５において、Ｇ²連続であれば、Ｇ²連
続なＧregoryパッチ（Ｇ²regoryパッチ）の制御点を計
算する。

【００１１】まず、Gregoryパッチの特徴を生かし、か
つ各境界曲線で、Ｇ²連続な自由曲面を生成する方式に
ついて説明する（請求項２）。以下、Ｇ²連続なGregory
パッチについて説明する。ここでは、このパッチ式をＧ
²regoryパッチと呼ぶことにする。なお、以下の説明に
おいて記号化された表現は、表１に示すとおりの関係を
有するものとする。

【００１２】

【表１】

【００１３】双ｎ次のＧ²regoryパッチ表現式は次のよ
うになる。図４では、双六次のＧ²regoryパッチを示
す。

【００１４】

【数１】

【００１５】ただし、ｉ＝１,２；ｊ＝１,２のとき、

【００１６】

【数２】

【００１７】ｉ＝１,２；ｊ＝ｎ−１,ｎ−２のとき、

【００１８】

【数３】

【００１９】ｉ＝ｎ−１,ｎ−２；ｊ＝１,２のとき、

【００２０】

【数４】

【００２１】ｉ＝ｎ−１,ｎ−２；ｊ＝ｎ−１,ｎ−２の
とき、

【００２２】

【数５】

【００２３】ｉ≠１,２，ｎ−１，ｎ−２；ｊ≠１，
２，ｎ−１，ｎ−２のとき、 Ｑ_ij(ｕ,ｖ)＝Ｐ_ij である。また、Ｂ〔ｎ,ｉ〕(ｕ)，Ｂ〔ｎ,ｊ〕(ｖ)は、
Bernstein多項式で、次のように表される。

【００２４】

【数６】

【００２５】共通の境界曲線を持つ二つのパッチＳ
〔ａ〕(ｕ,ｖ)，Ｓ〔ｂ〕(ｕ,ｖ)があるときに、この二
つのパッチがＧ²連続になるためには、まず境界曲線で
Ｇ¹連続でなければならない。二つのパッチがＧ¹連続に
なるための関係式を示す。

【００２６】

【数７】

【００２７】式（３）は、ＣＢＤが境界曲線上のすべて
の点で、同一直線上にあることを示している。更に、Ｇ
²連続の条件は、

【００２８】

【数８】

【００２９】となる。ただし、ｋ(ｖ)，ｌ(ｖ)はスカラ
ー関数であるとする。次に、Ｇ²regoryパッチ間の接続
について説明する。式（１）で示されるパッチ式に対し
て、式（３），式（４）を適用する。まず、式（１）の
境界上の点に対して、境界を横切る方向に微分したもの
は、境界曲線を表す制御点と、それにつながっている制
御点との関係から導くことができる。図５は、境界曲線
につながる制御点間ベクトルを表している。境界曲線上
の制御点とその一つ内側の点の間に定義されるベクトル
をａ_i,ｂ_i(i＝０，…，ｎ）、さらに内側の点とつなが
っている点の間に定義されるベクトルをｃ_i,ｄ_i(ｉ＝
０，…，ｎ)とする。ここで、端点Ｖ₀,Ｖ₁に対して、式
（３）と式（４）を適用する。

【００３０】 ｂ₀＝ｋ₀ａ₀ （５） ｂ_n＝ｋ₂ａ_n （６） ｄ₀−ｂ₀＝(ｋ₀)²(ａ₀−ｃ₀)＋ｌ₀ａ₀ （７） ｄ_n−ｂ_n＝(ｋ₂)²(ａ_n−ｃ_n)＋ｌ₂ａ_n （８） となる。ただし、ｋ₀,ｋ₂,ｌ₀,ｌ₂は、実数とする。ま
た、図６のように、境界曲線上の任意の点（パラメータ
値ｖ₀）における。ＣＢＤ、二次微分ベクトルをそれぞ
れ、Ｔ₀，Ｔ₁，Ｃ₀，Ｃ₁とすれば、式（３），式（４）
から Ｔ₁＝ｋ(ｖ₀)Ｔ₀ （９） Ｃ₁＝ｋ(ｖ₀)²Ｃ₀＋ｌ(ｖ₀)Ｔ₀ （１０） が成り立つ。

【００３１】ここで、式（５）から式（１０）までを満
たすために、スカラー関数ｋ(ｖ),ｈ(ｖ)は、次のよう
な式で表される。 ｋ(ｖ)＝ｋ₀(１−ｖ)²＋２ｋ₁(１−ｖ)ｖ＋ｋ₂ｖ² （１１） ｌ(ｖ)＝ｌ₀(１−ｖ)²＋２ｌ₁(１−ｖ)ｖ＋ｌ₂ｖ² （１２） ただし、ｋ₀，ｋ₁，ｋ₂，ｌ₀，ｌ₁，ｌ₂は、実数とす
る。係数ｋ₀，ｋ₂，ｌ₀，ｌ₂は、式（５）から式（８）
によって決定される。また、係数ｋ₁，ｌ₁は、式（９）
と式（１０）から求めたｋ(ｖ₀)，ｌ(ｖ₀)から、次式の
ように求められる。

【００３２】

【数９】

【００３３】ここで、式（３）と式（４）の次数につい
て考えてみる。たとえば、境界曲線が三次のBezier曲線
でパッチＳ〔ａ〕が三次であるとすれば、境界を横切る
方向の一次微分と二次微分はともに三次の関数として表
される。式(３)においては、左辺の次数は三次で、右辺
の次数は五次になっている。ここでは、パッチＳ〔ａ〕
にパッチＳ〔ｂ〕を接続するので、このままでは、三次
のパッチＳ〔ａ〕にパッチＳ〔ｂ〕を接続する場合に
は、五次のパッチを生成することになる。このことは、
パッチを内挿する場合の対称性がないことを意味してい
る。よって、∂Ｓ〔ａ〕／∂ｕが、二次式で表すことが
できるという拘束条件をつける。このことから、境界曲
線が三次のBezier曲線のときには、左辺の次数はいつも
四次になる。式（４）においても、∂²Ｓ〔ａ〕／∂ｕ²
が二次式で表すことができる、という拘束条件をつける
と、左辺は六次の式になる。これらの関係を総合する
と、境界曲線が三次のBezier曲線であるときに、二つの
式の最大次数が六次であるので、境界を横切る一次微分
と二次微分が二次の式で表すことができる。という拘束
を付けることによって、六次のＧ²regoryパッチが生成
されることになる。一般には、境界曲線がｍ次の場合に
はｍ＋３次のパッチが生成される。それでは、パッチの
接続式を求める。ここでは、生成されるパッチの次数を
ｎ次とする。最初に、式（３）からｂ_iを求める。ここ
での拘束条件は、一次微分∂Ｓ〔ａ〕／∂ｕがｎ−２次
で表現できることである。よって、

【００３４】

【数１０】

【００３５】が成り立つ。従って制御点は次の式から計
算できる。

【００３６】

【数１１】

【００３７】次に、式（４）からｄ_iを求める。ここで
の拘束条件は、二次微分∂²Ｓ〔ａ〕／∂ｕ²がｎ−４次
で表現できることである。ここで、 Ａ_i＝ａ_i−ｃ_i Ｂ_i＝ｄ_i−ｂ_i （ｉ＝０，…，ｎ）とおくと、

【００３８】

【数１２】

【００３９】が成り立つ。従って、制御点は、次の式か
ら計算できる。

【００４０】

【数１３】

【００４１】

【数１４】

【００４２】以上の式からＢ_iが求まり、その結果ｄ_iを
求めることができる。次に、基礎パッチ法による接続に
ついて説明する。前述では、隣合う二枚のパッチ間のＧ
²レベルの接続式を示した。しかし、曲線メッシュを自
由曲面で内挿する場合には、境界曲線の情報のみが存在
するだけで、図５に示されるような制御点間ベクトルａ
_i（ｉ＝１，…，ｎ−１）は、存在しない。そこで、こ
のような場合には、なんらかの方法で、これらのベクト
ルを設定しなければならない。我々は、基礎パッチ法に
よって、これらのベクトルを設定している。基礎パッチ
法では、二枚のパッチを接続する場合に、その境界曲線
上に仮想的なＣＢＤ、二次微分ベクトルを設定し、それ
を使って各パッチの制御点を決定する。二つのパッチ間
で同じＣＢＤ、二次微分ベクトルを設定しそれぞれのパ
ッチの制御点を求めることによって、Ｇ²連続にパッチ
を接続できる。境界曲線上の任意の点における曲率ベク
トルを指定した場合には、これを二次微分ベクトルに変
換したものを使えばよい。以下に、メッシュを内挿する
場合のＣＢＤ、二次微分ベクトルの決め方を示す。 １．ＣＢＤの決定 図７は、二枚のパッチＳ〔ａ〕,Ｓ〔ｂ〕の境界曲線の
端点とそれにつながる制御点間ベクトルを表している。
ここで、ＣＢＤの最低次数を二次と仮定すると、

【００４３】

【数１５】

【００４４】で表される。ただし、Ｂ〔２，ｉ〕(ｖ)
は、式（２）で示されるBernstein多項式である。ここ
で、端点Ｖ₀，Ｖ₁におけるＣＢＤを

【００４５】

【数１６】

【００４６】とし、さらに図６で示されるベクトル
Ｔ₀，Ｔ₁から、

【００４７】

【数１７】

【００４８】を設定する。これは、二次であるので、パ
ッチを生成するときにｎ−２次の式に次数を上げる。 ２．二次微分ベクトルの決定 式（７）と式（８）から、境界曲線につながる曲線同士
がＧ²連続であることがわかる。ここで、二次微分ベク
トルを表す関数の最低次数を二次と仮定すると、

【００４９】

【数１８】

【００５０】で表される。ただし、Ｂ〔２，ｉ〕(ｖ)
は、式（２）で示されるBernstein多項式である。図８
は、境界曲線の端点につながる曲線を表している。各曲
線の制御点間ベクトルをｐ,ｑ,ｒ,ｓとすれば、曲線の
法曲率の方向Ｎは、 Ｎ＝（ｐ×（ｐ−ｒ））×ｐ で表される。そこで、Ｎを単位ベクトルとすれば、始点
側では、

【００５１】

【数１９】

【００５２】とかける。同様に、Ａ₁とＡ₂も計算でき
る。これは、二次であるので、パッチを生成するときに
ｎ−４次の式に次数を上げる。このようにして、仮想的
にＣＢＤ、二次微分ベクトルを決めた後で、式（９）と
式（１０）を次のように置き換える。

【００５３】

【数２０】

【００５４】以上のことから、式（１６）から式（２
６）までの式を使って、制御点を生成することができ
る。図９に双三次のBezier曲線を境界とした双六次のＧ
²regoryパッチを生成した例を示す。

【００５５】次に、有理境界Gregoryパッチによる内挿
について説明する。すなわち、境界曲線が有理曲線の場
合の内挿について説明する（請求項１）。双ｎ次の次の
有理境界Gregoryパッチの表現式は次のようになる。図
１０では、双三次の有理境界Gergoryパッチを示す。

【００５６】

【数２１】

【００５７】ただし、・ｉ＝０,１；ｊ＝０,１のとき

【００５８】

【数２２】

【００５９】・ｉ＝０,１；ｊ＝ｎ−１,ｎのとき

【００６０】

【数２３】

【００６１】・ｉ＝ｎ−１,ｎ；ｊ＝０,１のとき

【００６２】

【数２４】

【００６３】・ｉ＝ｎ−１,ｎ；ｊ＝ｎ−１,ｎのとき

【００６４】

【数２５】

【００６５】・その他の点 Ｑ_ij(ｕ,ｖ)＝Ｐ_ij0＝Ｐ_ij1 ｗ_ij(ｕ,ｖ)＝ｗ_ij0＝ｗ_ij1 となる。またＢ〔ｎ,ｊ〕(ｕ)，Ｂ〔ｎ,ｊ〕(ｖ)は式
（２）で示されるBernstein多項式である。図１０から
も分かるように、端点とそれにつながっている制御点
は、座標値が同じで重みが異なっている。たとえば、ｕ
＝０をあらわす境界上では、 ｗ₀₀₁＝ｗ₁₀₁ ｗ₀₁₁＝ｗ₁₁₁ ｗ₀₂₁＝ｗ₁₂₁ ｗ₀₃₁＝ｗ₁₃₁ が成り立つ。次に、Ｇ¹連続の判定について説明する。
一般に、共通の境界曲線を持つ二つのパッチＳ〔ａ〕
(ｕ,ｖ)，Ｓ〔ｂ〕(ｕ,ｖ)があるときに、この二つのパ
ッチがＧ¹連続になるためには、

【００６６】

【数２６】

【００６７】を満たさなければならない。ただし、境界
曲線の端点でのＣＢＤが一直線上にあるときには、式
（３）でよい。次に有理境界Gregoryパッチ間の接続に
ついて説明する。式（３５）で示されるパッチ式に対し
て、式（３６）または式（３）を適用する。まず、式
（３５）の境界上の点に対して、各パラメタ方向に微分
したものは、境界曲線を表す制御点と重みと、それにつ
ながっている制御点と重みとの関係から導くことができ
る。図１１は、境界曲線につながる制御点間ベクトルを
表している。境界曲線上の制御点とその一つ内側の点の
間に定義されるベクトルをａ_i,ｂ_i（ｉ＝０，…，ｎ）
とする。同様に、境界曲線の制御点間をつないだベクト
ルをｃ_i（ｉ＝０，…，ｎ−１）とする。ここで、境界
曲線が有理Bezier曲線のときの二つのケースでの接続に
ついて説明する。

【００６８】１．境界上の端点でのＣＢＤが一直線のと
き 二枚のパッチを接続するための条件式は、式（３）であ
る。まず、端点Ｖ₀,Ｖ₁に対して、式（３）を適用す
る。 ｂ₀＝ｋ₀ａ₀ （３７） ｂ_n＝ｋ₂ａ_n （３８） となる。ただし、ｋ₀,ｋ₂は、実数とする。また、図１
２のように、境界曲線上の任意の点（パラメータ値
ｖ₀）における、ＣＢＤをそれぞれ、Ｔ₀，Ｔ₁とすれ
ば、式（３）から、 Ｔ₁＝ｋ(ｖ₀)Ｔ₀ （３９） が成り立つ。

【００６９】ここで、式（３７）から式（３９）までを
満たすために、スカラー関数ｋ(ｖ)は式（１１）で表さ
れる。係数ｋ₀,ｋ₂は式（３７）と式（３８）から決定
される。また、係数ｋ₁は式（１３）と同様の方法で求
めることができる。ここで、式（３）の次数について考
えてみる。たとえば、境界曲線が三次の有理Bezier曲線
でパッチＳ〔ａ〕にパッチＳ〔ｂ〕を接続するので、こ
のままでは、三次パッチにパッチＳ〔ｂ〕を接続する場
合には、五次のパッチを生成することになる。このこと
は、パッチを内挿する場合の対称性がないことを意味し
ている。よって、∂Ｓ〔ａ〕／∂ｕが、二次式で表すこ
とができるという拘束条件をつける。このことから、境
界曲線がｍ次の場合にはｍ＋１次のパッチが生成され
る。いま、生成されるパッチの次数をｎ次とする。ここ
での拘束条件は、一次微分∂Ｓ〔ａ〕／∂ｕがｎ−２次
で表現できることである。よって、

【００７０】

【数２７】

【００７１】が成り立つ、従って、制御点は、次の式か
ら計算できる。

【００７２】

【数２８】

【００７３】２．境界上の端点でのＣＢＤがななめの場
合 二枚のパッチを接続するための条件式は、式（３６）で
ある。まず、端点Ｖ₀Ｖ₁に対して、式（３６）を適用す
る。以下では、境界曲線が二次の有理Bezier曲線の場合
について説明する。まず、接続式（３６）は、次のよう
に書くことができる。

【００７４】

【数２９】

【００７５】ただし、 ｄ₀＝ｗ₀ｗ₁（Ｐ₁−Ｐ₀) ｄ₁＝(ｗ₀ｗ₁（Ｐ₁−Ｐ₀)＋ｗ₀ｗ₂（Ｐ₂−Ｐ₀))/３ ｄ₂＝(ｗ₀ｗ₂（Ｐ₂−Ｐ₀)＋ｗ₁ｗ₂（Ｐ₂−Ｐ₁))/３ ｄ₃＝ｗ₁ｗ₂（Ｐ₂−Ｐ₁) である。図１３で示すように、Ｐ₀，Ｐ₁，Ｐ₂は境界曲
線の制御点で、ｗ₀，ｗ₁，ｗ₂はその重みであり、ｗ
〔ｂ，ｉ〕はｂ_iに対応する重みである。ここで、ｋ
(ｖ)は、式（１１）によって表わされる。また、ｈ(ｖ)
は、

【００７６】

【数３０】

【００７７】のように設定する。ここで、境界曲線の端
点では、 ｂ₀＝ｋ₀ａ₀＋ｈ₀ｃ₀ （４５） ｂ_n＝ｋ₂ａ₂＋ｈ₂ｃ₂ （４６） となる。ただし、ｋ₀，ｋ₂，ｈ₀，ｈ₂は、実数とする。
また、図１２のように、境界曲線上の任意の点（パラメ
ーター値ｖ₀）におけるＣＢＤをそれぞれ、Ｔ₀，Ｔ₁と
し、境界曲線に沿った方向のパラメーター値ｖ₀での微
分ベクトルをＴ₂とすれば、式（３６）から、 Ｔ₁＝ｋ(ｖ₀)Ｔ₀＋ｈ(ｖ₀)Ｔ₂ （４７） が成り立つ。係数ｋ₀，ｋ₂，ｈ₀，ｈ₂は、式（４５）と
式（４６）から決定される。また、係数ｋ₁，ｈ₁は、式
（４７）から求たｋ(ｖ₀)，ｈ(ｖ₀)から次式のように求
められる。

【００７８】

【数３１】

【００７９】ここで、式（３６）の次数について考えて
みる。たとえば、境界曲線が二次の有理Bezier曲線でパ
ッチＳ〔ａ〕が三次であるとすれば、境界を横切る方向
の一次微分は三次の関数として表される。式（３６）に
おいては、左辺の次数は三次で、右辺の次数は五次にな
っている。ここでは、パッチＳ〔ａ〕にパッチＳ〔ｂ〕
を接続するので、このままでは、三次のパッチにパッチ
Ｓ〔ｂ〕を接続する場合には、五次のパッチを生成する
ことになる。このことは、パッチを内挿する場合の対称
性がないことを意味している。よって、∂Ｓ〔ａ〕／∂
ｕが、二次式で表すことができるという拘束条件をつけ
る。しかし、ｈ(ｖ)の項は、五次なので、境界曲線が二
次の有理Bezier曲線のときには、五次の有理境界Gregor
yパッチが生成される。一般には、境界曲線がｍ次の場
合には２ｍ＋１次のパッチが生成される。いま、生成さ
れるパッチの次数をｎ次とする。ここでの拘束条件は、
一次微分∂Ｓ〔ａ〕／∂ｕがｎ−２次で表現できること
である。よって、

【００８０】

【数３２】

【００８１】が成り立つ。従って、制御点は、次の式か
ら計算できる。

【００８２】

【数３３】

【００８３】次に、基礎パッチ法による接続について説
明する。前述では、隣合う二枚のパッチ間のＧ¹レベル
の接続式を示した。しかし、曲線メッシュを自由曲面で
内挿する場合には、境界曲線の情報のみが存在するだけ
で、図１１に示されるような制御点間ベクトルａ_i（ｉ
＝１，…，ｎ−１）は、存在しない。そこで、このよう
な場合には、なんらかの方法で、これらのベクトルを設
定しなければならない。我々は、基礎パッチ法によっ
て、これらのベクトルを設定している。基礎パッチ法で
は、二枚のパッチを接続する場合に、その境界曲線上に
仮想的なＣＢＤを設定し、それを使って各パッチの制御
点を決定する。二つのパッチ間で同じＣＢＤを設定しそ
れぞれのパッチの制御点を求めることによって、Ｇ¹連
続にパッチを接続できる。以下に、メッシュを内挿する
場合のＣＢＤの決め方を示す。 １．ＣＢＤの決定 図１４は、二枚のパッチＳ〔ａ〕，Ｓ〔ｂ〕の境界曲線
の端点における接ベクトルを表している。ここでＣＢＤ
の最低次数を二次と仮定すると、

【００８４】

【数３４】

【００８５】で表される。ただし、Ｂ(２，ｉ)(ｖ)は、
式（２）で示されるBernstein多項式である。ここで、
端点Ｖ₀，Ｖ₁におけるＣＢＤを

【００８６】

【数３５】

【００８７】とし、さらに図１２で示されるベクトルＴ
₀，Ｔ₁から、

【００８８】

【数３６】

【００８９】が求められる。これは、二次であるので、
パッチを生成するときにｎ−２次の式に次数を上げる。
このようにして、仮想的にＣＢＤを決めた後で、式（３
９）または式（４７）を次の式で置き換える。

【００９０】

【数３７】

【００９１】以上のことから、式（４１）から式（４
３）または、式（５２）から式（５４）までの式を使っ
て、制御点を生成することができる。図１５に有理Bezi
er曲線を境界とした双五次の有理境界Gregoryパッチを
生成した例を示す。

【００９２】

【効果】以上の説明から明らかなように、本発明による
と、境界曲線が多項式曲線の場合には、境界曲線上の任
意の点におけるＣＢＤ、曲率ベクトルを指定し、それを
考慮してパッチを内挿する方法が実現できる。同様に、
境界曲線が有理曲線の場合にも、境界曲線上の任意の点
におけるＣＢＤを指定することによって、それを考慮し
てパッチを内挿する方法も実現できる。これによって、
従来境界曲線のみによって曲面形状を変形していた方法
に加えて、より柔軟な形状変形が可能となった。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明による自由曲面の生成方式の一実施例
を説明するための構成図である。

【図２】 本発明による自由曲面の生成方式の他の実施
例を説明するための構成図である。

【図３】 本発明による自由曲面の生成方式を説明する
ためのフローチャートである。

【図４】 Ｇ²regoryパッチの制御点を示す図である。

【図５】 Ｇ²regoryパッチの制御間ベクトルを示す図
である。

【図６】 境界上のベクトルを示す図である。

【図７】 ＣＢＤベクトルの決定を示す図である。

【図８】 曲率ベクトルの決定を示す図である。

【図９】 Ｇ²regoryパッチの生成例を示す図である。

【図１０】 有理境界Gregoryパッチの制御点を示す図
である。

【図１１】 有理境界Gregoryパッチの制御点間ベクト
ルを示す図である。

【図１２】 境界上のベクトルを示す図である。

【図１３】 有理二次曲線の制御点と重みを示す図であ
る。

【図１４】 ＣＢＤベクトルを決定を示す図である。

【図１５】 有理境界Gregoryパッチの生成例を示す図
である。

【符号の説明】

１…判定手段、２…接続条件決定手段、３…導関数指定
手段、４…自由曲面の内挿手段。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献 共立出版発行 鳥谷浩志ほか編著「３ 次元ＣＡＤの基礎と応用」76−81頁 「５．10 パッチ間の接続」 情報処理学会第40回全国大会講演論文 集 515−516頁 斉藤剛ほか「２次有理 Ｂｅｚｉｅｒ曲面の接続」 (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06F 17/50 622 G06T 17/40 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims (2)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 有理曲線で境界を囲まれた領域に対し
   て、境界曲線と各境界曲線につながる曲線から境界での
   連続性を判定する判定手段と、該判定手段で求めた連続
   性から境界での接続条件を求める接続条件決定手段と、
   各境界曲線上の任意の点における境界横断導関数を指定
   する導関数指定手段と、前記接続条件決定手段で求めた
   接続条件と前記導関数指定手段で指定した境界横断導関
   数から領域を自由曲面で内挿する内挿手段とから成るこ
   とを特徴とする自由曲面の生成方式。
2. 【請求項２】 多項式曲線で囲まれた領域に対して、境
   界曲線と各境界曲線につながる曲線から境界での連続性
   を判定する判定手段と、該判定手段で求めた連続性から
   境界での接続条件を求める接続条件決定手段と、各境界
   曲線上の任意の点における境界横断導関数を指定する導
   関数指定手段と、該導関数指定手段で指定した点におけ
   る曲率ベクトルを指定するベクトル指定手段と、前記接
   続条件決定手段で求めた接続条件と前記導関数指定手段
   で指定した境界横断導関数と前記ベクトル指定手段で指
   定した曲率ベクトルから領域を自由曲面で内挿する内挿
   手段とから成ることを特徴とする自由曲面の生成方式。