JP3017322B2

JP3017322B2 - 自由曲面の形状制御方式

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Publication number: JP3017322B2
Application number: JP3139796A
Authority: JP
Inventors: 晃市今野; 禎二高村; 弘明千代倉
Original assignee: Ricoh Co Ltd
Current assignee: Ricoh Co Ltd
Priority date: 1990-10-30
Filing date: 1991-05-14
Publication date: 2000-03-06
Anticipated expiration: 2015-03-06
Also published as: JPH04279977A

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【技術分野】本発明は、自由曲面の形状制御方式に関
し、より詳細には、三次元立体形状処理装置の形状制御
方式に関する。例えば、曲線メッシュで定義される立体
形状での自由曲面制御方式に適用されるものである。

【０００２】

【従来技術】ＣＡＤ／ＣＡＭにおいて、複雑な三次元形
状をどのようにして作成するかが重要な課題となる。特
に、作成する形状が自由曲面を含んでいる場合には、そ
の形状入力は、設計者にとって直感的でかつ容易なもの
でなければならない、複雑な自由曲面を定義するための
一般的な手法として特徴線から自由曲面を生成する手法
がある。この手法では、まず曲面形状の輪郭となる境界
曲線を定義し、形状をその境界からなる曲線メッシュで
表す。

【０００３】次に、その曲線メッシュ上に曲面パッチを
生成するというものである。メッシュ上に生成する曲面
パッチに関する研究の先駆者として、S.A.Coons とP.Be
zierが上げられる。Coons は、Coons パッチを Bezier
は、Bezier パッチをそれぞれ提案している。これま
で、これらの曲面パッチの拡張や一般化によって、より
高品位な曲面を生成するための研究が行なわれてきた。
Gregoryは、Coons パッチに compatibility correction
を施し、形状と直感的に結び付かないツイストベクト
ルを指定する必要のない曲面式を提案している。

【０００４】一方、千代倉等はこの compatibility cor
rection を Bezier パッチに対して行った Gregory パ
ッチ式を提案している。本発明者等は、これまでに Gre
goryパッチを用いて曲線メッシュを内挿する手法を提案
してきた。

【０００５】Gregory パッチは、境界曲線を横切る微分
ベクトルを各パラメータ方向で独立に定義できるという
特徴を持っている。従って、曲線メッシュの中に三角形
や五角形などの不規則なメッシュを含んでいてもＧ¹連
続(面と隣の面との連続性−滑らかさ−の度合）に内挿
できる。しかし、その内挿法では、曲線メッシュの形状
によっては、うねった曲面が生成されることがある。そ
れは、Gregory パッチを生成する場合の基礎パッチの設
定に問題があるからである。Gregory パッチは、基礎パ
ッチに従って生成されるので基礎パッチの設定の仕方が
曲面形状に大きな影響を与える。Shirman 等は、基礎パ
ッチに自由度を持たせて、曲面の形状を制御する手法を
提案している。しかしこの手法では、境界曲線をはさん
だ両側の曲面を生成する場合の２枚の基礎パッチどうし
はＣ¹連続でなければならないので、Ｇ¹連続を保ったま
まで一方の曲面形状のみ変更することはできない。

【０００６】従来の基礎パッチの設定では、曲線メッシ
ュの形状によって生成される曲面がうねることがある。
また、Shirman 等の方式では、連続性を保ちながら一方
の曲面形状のみを変更できない。したがって、うねって
いる曲面形状を、いかに容易にかつ直感的にうねりのな
い形状に変形することができることが重要な課題とな
る。

【０００７】

【目的】本発明は、上述のごとき実情に鑑みてなされた
もので、３次の Bezier 曲線からなる曲線メッシュを４
次の Gregory パッチで内挿する手法により、新たに定
義した制御点を用いて形状制御を可能とし、生成された
パッチがうねっている場合には、この制御点を移動する
ことで、うねりのない形状に変形できるようにした自由
曲面の形状制御方式を提供することを目的としてなされ
たものである。

【０００８】本発明は、上記目的を達成するために、多
項式曲線で境界を囲まれた領域に対して、境界曲線に繋
がる曲線から境界での連続性を判定する判定手段と、前
記判定手段でＧ ¹ 連続であると判定されたときに、前記
境界曲線で囲まれた領域の内部定義点を生成する定義点
生成手段と、前記境界曲線上の任意の点での接平面上に
のるベクトルと、前記定義点生成手段で生成された内部
定義点と、前記境界曲線の制御点とからこの境界曲線の
両側の曲面形状を制御するための制御点を生成する制御
点生成手段とを備え、前記制御点生成手段で生成した制
御点を移動することによって自由曲面形状を制御するこ
とを特徴としたものである。以下、本発明の実施例に基
づいて説明する。

【０００９】本発明を実施する上で用いられる公知技術
としては、曲線メッシュ上に自由曲面を内挿する方式や
境界で面を連続に接続する方法が挙げられる。図１
（ａ）〜（ｄ）は、本発明による自由曲面の形状制御方
式の一実施例を説明するための図で、図中、Ｐ₀〜Ｐ₁₉
は定義点、Ｑ₁〜Ｑ₈は制御点、Ｑ₂′は新たな制御点、
ｄは移動量である。

【００１０】まず、図（ａ）において、従来の内挿法に
よって生成された曲面の定義点Ｐ₀〜Ｐ₁₉を記憶装置に
蓄える。次に図（ｂ）において、蓄えた曲面の定義点Ｐ
₀〜Ｐ₁₉を使って、各境界曲線のパラメータ値０.５の位
置での微分ベクトルの１／３の長さのベクトルを計算
し、それを制御点Ｑ₁〜Ｑ₈として記憶装置に蓄える。図
（ｃ）において、得られた制御点Ｑ₁〜Ｑ₈を選択してそ
の制御点の移動量ｄを指定し、それによって計算された
点を新たな制御点Ｑ₂′として記憶装置に蓄える。図
（ｄ）において、得られた新たな制御点Ｑ₂′をもとに
曲面形状を生成しなおし、新たな制御点Ｑ₂′を記憶装
置に備える。

【００１１】このようにして、得られた制御点をもとに
曲面形状を評価し、意図した形状が得られたならば処理
を終了する。もし、意図した形状が得られないときに
は、図（ｃ）の状態にもどしてやり直す。

【００１２】図２は、本発明による自由曲面の形状制御
方式を説明するためのフローチャートである。以下、各
ステップに従って順に説明する。step１：従来の内挿法によって曲面の定義点を生成し、
その点を記憶装置に蓄える。step２：定義点から境界曲線のパラメータ値０.５の点
における微分ベクトルの１／３の長さを持つベクトルを
制御点として記憶装置に蓄える。step３，４：生成された形状が意図したものかどうかを
判定する。判定結果がＹＥＳであれば終了する。step５：判定結果がＮＯであれば制御点を選択し、その
移動量を得る。step６：移動量にしたがって新たな制御点を計算する。次に、基礎パッチの設定について説明する。

【００１３】図３（ａ）,（ｂ)は、内挿される二つのケ
ースの曲線メッシュを示した図である。更に、図４
（ａ),(ｂ）は、内挿した Gregory パッチの断面線図を
示している。図３（ａ）は図４（ａ）に、図３（ｂ）は
図４（ｂ）に各々対応している。これらの図からも分か
るように、これらのケースでは、かなりうねった曲面形
状が生成されている。このようにうねった曲面形状が生
成される理由として、次のようなことが考えられる。

【００１４】本発明においては、まず、各境界曲線にお
けるＣＢＤ（Cross Boundary Derivative）関数を定義
する。このＣＢＤ関数が基礎パッチの基になるものであ
る。例えば、図５のように境界曲線Ｅ₀上でのＣＢＤ関
数ｇ₀(t）を決定する場合には、境界曲線Ｅ₀，Ｅ₁，Ｅ₂
によって決定される。ただし、境界曲線をはさんだ二枚
の曲面がＧ¹連続に接続される必要があるときには、さ
らに、Ｅ₃，Ｅ₄も考慮してＣＢＤ関数を決定する。この
ＣＢＤ関数は、生成される曲面の境界を横切る一次微分
ベクトルを表し、曲面形状に大きな影響を与える。本発
明では、ＣＢＤ関数ｇ(t）を

【００１５】

【数１】

【００１６】のように２次の Bezier 関数で定義する。
境界曲線の端点Ｖ₀，Ｖ₁では、その端点に繋がる Bezie
r 曲線の制御点間ベクトルｐ₀，ｑ₀，ｒ₀，ｐ₁，ｑ₁，
ｒ₁が得られる。これは、端点につながっている曲線の
微分ベクトルの方向を表している。もし、この３つのベ
クトルが、同一平面上にあるならば、二枚の曲面は、Ｇ
¹連続に接続されなければならない。このＧ ¹ 連続の判定
は、例えば境界曲線Ｅ ₀ に対してその端点Ｖ ₀ におい
て、その端点に繋がるＢｅｚｉｅｒ曲線の制御点間ベク
トルとして３つのベクトルｐ ₀ 、ｑ ₀ 、ｒ ₀ が得られる。
この３つのベクトルからｐ ₀ とｒ ₀ で作られる平面と、ｑ
₀ とｒ ₀ から作られる平面との２つの平面が同一平面であ
るかをみる。また、端点Ｖ ₁ についても同様に、３
つの制御間ベクトルｐ ₁ 、ｑ ₁ 、ｒ ₁ から、ｐ ₁ とｒ ₁ で作
られる平面と、ｑ ₁ とｒ ₁ で作られる平面が同一平面であ
るかをみる。このように２つの端点Ｖ ₀ 、Ｖ ₁ におい
てそれぞれ同一平面にあるとき、境界曲線Ｅ ₀ で接続さ
れた２つの曲面をＧ ¹ 連続で接続すると判断する。従来
は、このＣＢＤ関数のａi(i＝0,1,2）を次のように設定
した。

【００１７】

【数２】

【００１８】これは、ＣＢＤ関数を線形な関数として指
定することである。このときの、ａi(i＝0,1,2）から
成る仮想的なパッチを第６図に示すように基礎パッチと
呼んでいる、Grgory パッチの制御点を決めるベクトル
ｂ₁，ｂ₂は、この基礎パッチとの接続によって求められ
る。

【００１９】しかし、図３（ａ），（ｂ）では、線形な
ＣＢＤ関数では、良い結果にはならないことを示してい
る。ＣＢＤ関数は、ベクトルの方向と長さという二つの
要素からなり、なめらかな曲面を生成するためには、こ
の二つの要素を適切に決定しなければならない。図３
（ａ）では、ベクトルの方向が適切でない例である。ま
た、図３（ｂ）では、ベクトルの長さが適切でないため
にうねりを生じている例である。したがって、なめらか
な曲面形状を生成するためには、このＣＢＤ関数をいか
に指定するかを考えなければならない。

【００２０】次に、曲面の制御点について説明する。双
３次の Gregory Patch は、図７に示すように２０個の
制御点Ｐ₀〜Ｐ₁₉によって定義される。この点のうち、
１２点はパッチの境界曲線を定義し、内側の８点はＣＢ
Ｄ関数を定義している。境界曲線を表す制御点を移動し
て形状を変形する操作は、直感的であり、かつ有効な手
段である。

【００２１】これは、３次 Besier 曲線の形状とその制
御点の関係が明確であることによる。一方、内側の制御
点について考えてみると、確かに、その点を移動するこ
とで曲面形状は変化するが、点と形状との関係が明確で
はない。さらに、隣り合うパッチとのＧ¹連続の条件を
考慮しなければならないので、一般には点を自由に動か
すことはできない。従って、このような点は曲面形状を
定義しているので定義点と呼び、制御点と呼ばないこと
にする。そこで、Gregory パッチＳ(ｕ,υ)を図８に示
されるような新しい制御点によって定義する。

【００２２】この図では、曲面の境界を表す制御点は図
７と同じであるが、パッチの内側は、４点で定義され
る。境界上の点Ｑ₁から内部の点Ｑ₂に直線が引かれてい
る。点Ｑ₁は、境界曲線上のパラメータ値０.５の点であ
り、ベクトルＱ₁Ｑ₂は、点Ｑ₁での微分ベクトルの１／
３の長さを持ったベクトルを表している。このように、
パッチを定義すると内部の点と曲面形状の間の関係がよ
り明確になる。例えば、点Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃,Ｑ₄は、曲面内
の曲線Ｓ（ｕ,０.５）を定義している。曲面形状はこの
曲線形状にしたがって生成される。もし、曲線形状がう
ねっていれば、うねった曲面が生成される。したがっ
て、この曲線形状を自由に変形できれば、目的の曲面形
状を生成する上での手助けとなる。これらの点と曲線形
状の関係は、３次の Bezier 曲線のものに似ているので
わかりやすい。同様に、点Ｑ₅，Ｑ₆，Ｑ₇，Ｑ₈も、曲面
内の曲線Ｓ(０.５，υ）を定義している。設計者は自由
に内部の４点を動かして曲面形状を変えることができ
る。

【００２３】ここで、図３（ａ），（ｂ）の曲線メッシ
ュ上に生成された Gregory パッチの新しい制御点を図
９，図１０に示す。この図から、図９では、制御点Ｑ
i，(i＝1,・・・,7）の間にできる曲線がうねっているため
に、曲面がうねることがわかる。これは、境界曲線
Ｅ₀，Ｅ₁，Ｅ₂におけるＣＢＤ関数が線形に補間された
ためにおこる。同様に、図１０でも、制御点間ベクトル
Ｑ₁Ｑ₂，Ｑ₃Ｑ₄の長さが適切ではないので、曲面がうね
ることがわかる。

【００２４】次に、曲面の接続条件について説明する。
曲面の制御点の説明では、Gregory パッチの新しい制御
点について述べた、ここでは、この制御点を設計者が動
かしたときに生じる拘束を反映した Gregoryパッチの接
続式について述べる。

【００２５】なお、以下の説明において記号化された表
現は表１に示すとおりの関係を有するものとする。

【００２６】

【表１】

【００２７】図１１（ａ）のように、隣り合う二枚の曲
面をＳ［ａ］,Ｓ［ｂ］とする。パッチの境界は３次の
Bezier曲線Ｃ(υ）である。パッチＳ(ｕ，υ)，におけ
るｕ，υ方向の微分ベクトルを

【００２８】

【数３】

【００２９】とすれば、曲線Ｃ(υ)におけるそれぞれの
微分ベクトルは、Ｓ_ｕ(１，υ)，Ｓ_ｕ(０，υ)とかけ
る。ここで、２枚の Gregory パッチの接続を考える前
に、図１１(ｂ),図１２(ａ）のようにそれぞれのパッチ
と仮想的に作られた基礎パッチＳ［ｃ］，Ｓ［ｄ］との
接続を考える。二枚の基礎パッチの境界曲線上の微分ベ
クトルＳ［ｃ，ｕ］(０,υ)，Ｓ［ｄ，ｕ］(１,υ)は、
境界上のすべてのパラメータ値で方向は同じであるとす
る。したがって、パッチＳ［ａ］とＳ［ｃ］がＧ¹連続
で、かつＳ［ｂ］とＳ［ｄ］がＧ¹連続ならば、Ｓ
［ａ］とＳ［ｂ］は、Ｇ¹連続になる。従って、ここで
は基礎パッチＳ［ｄ］とパッチＳ［ｂ］との接続を考え
る。この２枚のパッチがＧ¹連続となるための条件は、
境界曲線上のすべての点で

【００３０】

【数４】

【００３１】を満たすことである。ただし、ｋ(υ)，ｈ
(υ)は、スカラー関数である。ここで、基礎パッチＳ
［ｄ］を２次と仮定すると、ＣＢＤ関数ｇ(υ)は、

【００３２】

【数５】

【００３３】と表せる。図１２（ｂ）で、境界曲線Ｃ
(υ)の端点につながる曲線の制御点間ベクトルｐ₀，
ｑ₀，ｐ₂，ｑ₂から、ベクトルａ₀，ａ₂は、

【００３４】

【数６】

【００３５】と設定する。また、境界曲線上のパラメー
タυ＝０.５の点における、微分ベクトル１／３の長さ
のベクトルｐ₁，ｑ₁は、拘束条件として与えられて
いる。したがって、

【００３６】

【数７】

【００３７】と設定するとベクトルａ₁は、

【００３８】

【数８】

【００３９】となる。ここで、式（４）は、境界曲線上
のパラメータ値υ＝０.０，υ＝０.５，υ＝１.０、の
３点での拘束条件を持っているので、スカラー関数ｋ
(υ)ｈ(υ)は、２次の関数として定義できる。ｋ(υ)＝ｋ₀(１−υ)²＋２ｋ₁(１−υ)υ＋ｋ₂υ² ｈ(υ)＝ｈ₀(１−υ)²＋２ｈ₁(１−υ)υ＋ｈ₂υ
² ただし、ｋ₀，ｋ₁，ｋ₂，ｈ₀，ｈ₁，ｈ₂は、実数とす
る。以上のことから式（４）の右辺は、４次の多項式と
して表現できるので、双４次のGregory パッチは図１３
に示され、表現式は次のようになる。

【００４０】

【数９】

【００４１】

【数１０】

【００４２】この双４次の Gregory パッチと基礎パッ
チとの接続を考える。まず、式（５）をｕ,υ方向に微
分した式は、

【００４３】

【数１１】

【００４４】となる。ここで、制御点間ベクトルを

【００４５】

【数１２】

【００４６】とおけば、式（４）は、

【００４７】

【数１３】

【００４８】とかける、この状態を示したのが図１４
（ａ）である。ただし、境界曲線Ｃ(υ)とＳ［ｂ］(0,
υ)は一致し、かつＣ(υ)は３次の曲線なので、式
（６）のｈ(υ)の項は、２次の Bezier 関数で表すこと
ができる。ここで、

【００４９】

【数１４】

【００５０】の次数を１次下げたときの、制御点間ベク
トルをｃ_j′とすれば、

【００５１】

【数１５】

【００５２】とかける。この状態を示したのが図１４
（ｂ）である。境界曲線のパラメータ値υ＝０.０，υ
＝０.５，υ＝１.０での拘束条件からスカラー関数ｋ
(υ)，ｈ(υ)の係数は、次のような３つの式から求める
ことができる。

【００５３】

【数１６】

【００５４】図１４(ｃ)のように、パラメータ値υ＝0.
5の点におけるパッチＳ［ｂ］，Ｓ［ｄ］の微分ベクト
ルをａ，ｂ，ｃとすれば、式（６）に代入するこ
とによって、ｂ＝ｋ(０.５)ａ＋ｈ(０.５)ｃ …（９）が得られる。式（７），（８），（９）から

【００５５】

【数１７】

【００５６】にυ＝０.５を代入することによって、
ｋ₁，ｈ₁が求まる。よって、ｂ_i（i＝1,・・・,3）は、

【００５７】

【数１８】

【００５８】となる。以上の式から、境界曲線上のパラ
メータ値ｔ＝０.５の点におけるＣＢＤベクトルを指定
したときのＧ¹連続なパッチを生成できる。次に、曲面
の生成とその制御について説明する。曲面の接続条件の
説明では、２次のＣＢＤ関数を想定した二曲面間の接続
式を導いた。これによって、４次のGregory パッチが生
成される。この４次の Gregory パッチを用いて曲面の
形状制御方法について述べる。

【００５９】図１５（ａ）は、二枚の Gregory パッチ
Ｓ［ａ］,Ｓ［ｂ］を示している。ここで表示されてい
る、パッチの制御点Ｑi，(i＝0,・・・,9）は従来の方法で
内挿された曲面の制御点である。この内部制御点は、各
境界曲線Ｃi,(i＝0,・・・,6）のパラメータ０.５における
微分ベクトルの１／３の長さのベクトルを示している。
また、境界曲線Ｃ₀では、Ｇ¹連続であるとする。ここ
で、この内部制御点Ｑ₂の方向を変え、パッチを生成し
なおしたときの新しい制御点が図１５（ｂ）である。点
Ｑ₁での微分の方向を変えたことによって、制御点Ｑ₃の
方向も変わっていることがわかる。このときの断面線を
表示すると移動した制御点にしたがって、Ｇ¹連続のま
まで、形状が変化したのがわかる。

【００６０】同様に、図１５（ａ）の制御点Ｑ₂の長さ
を変え、パッチを生成しなおしたときの新しい制御点が
図１６である。この場合には、点Ｑ₁での微分の方向は
変化しないので、制御点Ｑ₃は、動かす必要はない。こ
のときの断面線を表示すると、Ｇ¹連続のままで、形状
が変化したのがわかる。このように、パッチ同士がＧ¹
連続な場合には、制御点Ｑ₁，Ｑ₂で決まる方向を変化さ
せるときには、隣り合うパッチの微分の方向も変える必
要がある。ただし、制御点Ｑ₁，Ｑ₂の長さを変えるとき
には、隣り合うパッチは考慮する必要はない。この方向
と長さを変更することで、図９，図１０のように曲面形
状がうねっているような場合の、形状の修正をすること
ができる。

【００６１】図９では、制御点Ｑi（i＝1,・・・,7）での
微分ベクトルの方向が不適切であるために、生成された
曲面がうねっている。そこで、図１７のように各制御点
を移動すれば、滑らかな曲面を生成できる。この場合に
は、境界上の３点Ｑ₁,Ｑ₄,Ｑ₇で決まる円弧を生成し、
その円弧をＱ₄の位置で二つに分割し、それぞれの円弧
の端点での微分ベクトルを計算することで、Ｑ₂，Ｑ₃，
Ｑ₅，Ｑ₆を求めたものである。

【００６２】また、図１０では、制御点Ｑ₁，Ｑ₂，
Ｑ₃，Ｑ₄で定義される内部曲線がうねっているために、
生成された曲面がうねっている。そこで、図１８のよう
に制御点Ｑ₂，Ｑ₃を補正することによって、滑らかな曲
面を生成できる。この場合には、点Ｑ₁、ベクトルＱ₁Ｑ
₂の方向とＱ₄から決定される円弧を生成し、その結果を
もとにして新たなＱ₂，Ｑ₃を計算したものである。図１
９（ａ），（ｂ）は、このようにして生成された曲面の
断面線を示している。この図からも分かるように、うね
りのない曲面形状が生成されている。

【００６３】次に、一般曲面への応用について説明す
る。従来、内挿するメッシュがｎ本の曲線セグメントか
ら成っているときには、非四辺形の領域として扱い、複
数の４角形パッチでメッシュを内挿してきた。しかし、
複数のパッチで内挿する場合には、メッシュ内の領域を
分割するための内挿曲線を生成してパッチを生成する。
従って、メッシュの形状によっては、内挿曲線が干渉し
てパッチが歪んでしまう。そこで、ｎ本の曲線セグメン
トを一本の曲線として扱うことができる双３次の一般Co
ons 曲面は、このような場合に有効である。

【００６４】双３次の一般 Coons 曲面に compatibilit
y correction を施した曲面式は、Bezier パッチ、Greg
ory パッチとその境界曲線によって表現することができ
る。このことは、内挿するメッシュがｎ本の曲線セグメ
ントから成っている場合でも１枚の Gregory パッチの
形式で形状を表現できることを表している。メッシュ
は、一枚の Gregoryパッチで内挿されるので、前述した
曲面の生成をその制御のところで述べたような形状制御
が可能となる。この曲面を一般 Gregory 曲面と呼ぶこ
とにする。

【００６５】以下に一般 Gregory パッチの生成手法に
ついて述べる。、一般 Gregory パッチの生成 compatibility correction を施した、一般 Coons 曲面
は、境界曲線とその境界曲線における微分ベクトル関数
によって表現される。いま、境界曲線をＳ(ｕ,０），Ｓ
(ｕ,１），Ｓ(０,υ），Ｓ(１,υ）とし、その境界曲線
における微分ベクトル関数をＳ_υ(ｕ,０)，Ｓ_υ(ｕ,
１)，Ｓ_ｕ(０,υ)，Ｓ_ｕ(１,υ）とすると、一般 Coons
曲面の表現式は、

【００６６】

【数１９】

【００６７】ただし、行列Ｍは、

【００６８】

【数２０】

【００６９】で、ｈ₀(u）＝（1−ｕ)²(2ｕ＋1），ｈ₁(u）＝ｕ²(−2ｕ＋
3）ｈ₂(u）＝（1−ｕ)²ｕ，ｈ₃(u）＝ｕ²(ｕ−1）である。また、行列Ｍのツイストベクトル部分は、

【００７０】

【数２１】

【００７１】で表される。式（１０）は、３つの多項式
から成っている。右辺のそれぞれの項をＳ［ａ］，Ｓ
［ｂ］，Ｓ［ｃ］とすると、式（１０）は、次のように
表現できる。この様子を示したのが図２０である。

【００７２】

【数２２】

【００７３】Ｓ［ａ］は、Ｓ(０,υ）,Ｓ(１,υ）で定
義される曲線とその曲線での微分ベクトル関数Ｓ_ｕ(０,
υ),Ｓ_ｕ(１,υ）とで定義される曲面であり、Ｓ［ｂ］
は、Ｓ(ｕ,０）,Ｓ(ｕ,１)で定義される曲線とその曲線
での微分ベクトル関数Ｓ_υ(ｕ,０),Ｓ_υ(ｕ,１）とで定
義される曲面である。また、Ｓ［ｃ］はＳ［ａ］とＳ
［ｂ］の和によって生成された余分な部分を表わしてい
る。

【００７４】ここで、曲面Ｓ［ａ］について考える。境
界曲線の端点での微分ベクトルＳ_ｕ(０,０)，Ｓ_ｕ(０,
１)，Ｓ_ｕ(１,０)，Ｓ_ｕ(１,１）の１／３の長さのベク
トルを線形に補間しベクトルａ，ｂ，ｃ，ｄを求める。
また、Ｓ_υ(０,０),Ｓ_υ(０,１),Ｓ_υ(１,０)，Ｓ
_υ(１,１）の１／３の長さのベクトルから、制御点
Ｐ₀，Ｐ₁，Ｐ₂，Ｐ₃を求める。このベクトルと制御点か
ら、図２１（ａ）に示すように双３次の Bezier パッチ
が生成できる。このパッチをＳ［ａ₁］とする。パッチ
Ｓ［ａ₁］と境界曲線Ｓ(０,υ）,Ｓ(１,υ）を使って、
曲面Ｓ［ａ］のパラメータυにおける点は、３次の Bez
ier 曲線として次のように表現できる。Bezier曲線の制
御点をＱi₁，(i＝0,・・・,3）とすると、

【００７５】

【数２３】

【００７６】で表される。ただし、

【００７７】

【数２４】

【００７８】とすると、曲面Ｓ［ｂ］についても同様の
方法で、BezierパッチＳ［ｂ₁］が定義できる。よっ
て、曲面Ｓ［ｂ］は、制御点をＱi（i＝0,・・・,3）とす
ると、

【００７９】

【数２５】

【００８０】で表される。ただし、

【００８１】

【数２６】

【００８２】である。この様子を示したのが図２１
（ｂ）である。また、曲面Ｓ［ｃ］は、Ｓ［ａ］，Ｓ
［ｂ］の和によって生成された余分な部分を表している
ので、Bezier パッチＳ［ａ₁］の１６個の制御点とＳ
［ｂ₁］４個の内部制御点をあわせた双３次の Gregory
パッチで表すことができる。これを図２１（ｃ）に示す
る。このように表現された曲面を、一般 Gregory パッ
チと呼ぶ。

【００８３】、形状変形例上で述べたような一般 Gregory パッチを用いて曲線メ
ッシュを内挿する過程を示す。図２２（ａ）は、ｎ本の
曲線セグメントを含む曲線メッシュを示している。ま
ず、このメッシュ上の曲線セグメントの内で、Ｇ¹連続
である曲線セグメントを一本の曲線として取り出す。し
たがって、図２２（ａ）のように、Ｃ₀，Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃
の４本の曲線形状を取り出すことができる。このＣ₀か
ら、Ｃ₃までの曲線から、一般 Gregory パッチを生成す
る。図２２（ｂ）は、一般 Gregory 曲面の制御点Ｑ₂の
方向を変えた例である。また、図２３は、この一般 Gre
gory パッチの制御点Ｑ₁Ｑ₂の長さを変えた例である。
このように、一般 Gregory パッチもGregory パッチと
同様の形状制御が可能である。

【００８４】

【効果】以上の説明から明らかなように、本発明による
と、以下のような効果がある。３次の Bezier 曲線から
なる曲線メッシュを４次の Gregory パッチで内挿する
手法を用いているので新たに定義した制御点を用いて形
状制御可能である。従って、生成されたパッチがうねっ
ている場合には、この制御点を移動することで、うねり
のない形状に変形できる。さらに、この手法を一般 Gre
gory パッチに適用し、ｎ本の曲線セグメントからなる
曲線メッシュに対しても同様の形状制御が可能である。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明による自由曲面の形状制御方式の一実
施例を説明するための図である。

【図２】本発明による自由曲線の形状制御方式を説明
するためのフローチャートである。

【図３】曲線メッシュを示す図である。

【図４】断面線図を示す図である。

【図５】ＣＢＤ関数の決定を示す図である。

【図６】基礎パッチを示す図である。

【図７】グレゴリー（Gregory）パッチを示す図であ
る。

【図８】グレゴリーパッチの制御点を示す図である。

【図９】新しい制御点を示す図である。

【図１０】新しい制御点を示す図である。

【図１１】パッチ間の接続を示す図である。

【図１２】パッチ間の接続を示す図である。

【図１３】双４次のグレゴリーパッチを示す図であ
る。

【図１４】制御点間ベクトルを示す図である。

【図１５】制御点の方向の変更例を示す図である。

【図１６】制御点間の長さの変更例を示す図である。

【図１７】制御点の変更を示す図である。

【図１８】制御点の変更を示す図である。

【図１９】断面線間を示す図である。

【図２０】クーンズ（Coons）曲面の構成を示す図で
ある。

【図２１】グレゴリーパッチの制御点を示す図であ
る。

【図２２】形状の変形例を示す図である。

【図２３】形状の変形例を示す図である。

【符号の説明】

Ｐ₀〜Ｐ₁₉…定義点、Ｑ₁〜Ｑ₈…制御点、Ｑ₂′…新たな
制御点、ｄ…移動量。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献特開昭63−159981（ＪＰ，Ａ) 精密工学会誌 56巻３号 485−490 頁倉賀野哲造ほか「線図にもとづく自由曲面の表現とその内部形状制御」 (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 17/00 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】多項式曲線で境界を囲まれた領域に対し
て、境界曲線に繋がる曲線から境界での連続性を判定す
る判定手段と、前記判定手段でＧ ¹ 連続であると判定さ
れたときに、前記境界曲線で囲まれた領域の内部定義点
を生成する定義点生成手段と、前記境界曲線上の任意の
点での接平面上にのるベクトルと、前記定義点生成手段
で生成された内部定義点と、前記境界曲線の制御点とか
らこの境界曲線の両側の曲面形状を制御するための制御
点を生成する制御点生成手段とを備え、前記制御点生成
手段で生成した制御点を移動することによって自由曲面
形状を制御することを特徴とする自由曲面の形状制御方
式。