JPH07282117A - 自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法 - Google Patents
自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法Info
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- JPH07282117A JPH07282117A JP6070619A JP7061994A JPH07282117A JP H07282117 A JPH07282117 A JP H07282117A JP 6070619 A JP6070619 A JP 6070619A JP 7061994 A JP7061994 A JP 7061994A JP H07282117 A JPH07282117 A JP H07282117A
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 ＮＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不
規則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿する。 【構成】 境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線から境界
での連続性を判断し（step２）、求められた連続性から
境界での接続条件を求め（step３）、求められた接続条
件から面の内部制御点を生成し（step４）、隣り合う２
枚の自由曲面形状を滑らかに接続する（step５）。これ
により、ＮＵＲＢＳ曲線を共有境界とする２枚の曲面間
を滑らかに接続することができる。
規則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿する。 【構成】 境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線から境界
での連続性を判断し（step２）、求められた連続性から
境界での接続条件を求め（step３）、求められた接続条
件から面の内部制御点を生成し（step４）、隣り合う２
枚の自由曲面形状を滑らかに接続する（step５）。これ
により、ＮＵＲＢＳ曲線を共有境界とする２枚の曲面間
を滑らかに接続することができる。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、自由曲面生成方法及び
自由曲面形状の制御方法に関し、より詳細には、有理Ｂ
−スプライン（ＮＵＲＢＳ：Ｎon Ｕniform Ｒational
Ｂ-Ｓpline）曲線を含んだ不規則な曲線メッシュを滑ら
かに内挿するための自由曲面生成方法及び自由曲面形状
の制御方法に関する。例えば、三次元立体形状処理装置
の形状生成方法及び曲線メッシュで定義される立体形状
での自由曲面生成方法に適用されるものである。
自由曲面形状の制御方法に関し、より詳細には、有理Ｂ
−スプライン（ＮＵＲＢＳ：Ｎon Ｕniform Ｒational
Ｂ-Ｓpline）曲線を含んだ不規則な曲線メッシュを滑ら
かに内挿するための自由曲面生成方法及び自由曲面形状
の制御方法に関する。例えば、三次元立体形状処理装置
の形状生成方法及び曲線メッシュで定義される立体形状
での自由曲面生成方法に適用されるものである。
【０００２】
【従来の技術】従来の自由曲面生成方法について記載し
た公知文献としては以下のものがある。 FARIN, G.：“From Conics To NURBS：A Tutorial an
d Survey,"IEEE Computer Graphics and Applications,
Vol. 12, No 5, pp. 78-86,(1992). K. KONNO, T. TAKAMURA, AND H. CHIYOKURA, “A New
Control Method for Free-Form Surfaces with Tanage
nt Continuity and its Applications,”Scientic Visu
alizations of Physical Phenomena, N.M.Patrikalaki
s, Ed., Springer-Verlag, Heidelberg, pp. 435-456,
(1991). H.CHIYOKURA, T. TAKAMURA, KONNO, AND T. HARADA,
“G1 Surface Interpolation over Irregular Meshes w
ith Rational Curves”，NURBS for Curve and Surface
Design, G. Farin, Ed., SIAM, Philadelphia,pp.15-3
4,(1991).
た公知文献としては以下のものがある。 FARIN, G.：“From Conics To NURBS：A Tutorial an
d Survey,"IEEE Computer Graphics and Applications,
Vol. 12, No 5, pp. 78-86,(1992). K. KONNO, T. TAKAMURA, AND H. CHIYOKURA, “A New
Control Method for Free-Form Surfaces with Tanage
nt Continuity and its Applications,”Scientic Visu
alizations of Physical Phenomena, N.M.Patrikalaki
s, Ed., Springer-Verlag, Heidelberg, pp. 435-456,
(1991). H.CHIYOKURA, T. TAKAMURA, KONNO, AND T. HARADA,
“G1 Surface Interpolation over Irregular Meshes w
ith Rational Curves”，NURBS for Curve and Surface
Design, G. Farin, Ed., SIAM, Philadelphia,pp.15-3
4,(1991).
【０００３】ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面を用いた
自由曲面の表現方法は、数多く提案されている。前記文
献には、ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面の幾何学的
な特性や形状設計手法が記載されている。具体的には、
ＮＵＲＢＳ表現の特徴、再パラメータ化、微分法、制御
点重みによる形状制御方法である。このような技術を用
いて、ＮＵＲＢＳ曲面による自由曲面生成や制御が可能
である。前記文献には、Ｇregoryパッチや一般境界Ｇ
regoryパッチを用いた自由曲面の形状変形法が記載され
ている。具体的には、境界横断導関数を明示的に指定し
た曲面の接続と内挿、境界横断導関数による曲面形状の
変形法である。前記文献には、有理境界Ｇregoryパッ
チを用いたなめらかな曲面形状の生成方法が記載されて
いる。
自由曲面の表現方法は、数多く提案されている。前記文
献には、ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面の幾何学的
な特性や形状設計手法が記載されている。具体的には、
ＮＵＲＢＳ表現の特徴、再パラメータ化、微分法、制御
点重みによる形状制御方法である。このような技術を用
いて、ＮＵＲＢＳ曲面による自由曲面生成や制御が可能
である。前記文献には、Ｇregoryパッチや一般境界Ｇ
regoryパッチを用いた自由曲面の形状変形法が記載され
ている。具体的には、境界横断導関数を明示的に指定し
た曲面の接続と内挿、境界横断導関数による曲面形状の
変形法である。前記文献には、有理境界Ｇregoryパッ
チを用いたなめらかな曲面形状の生成方法が記載されて
いる。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】前述のように、従来の
内挿技術としては、ＮＵＲＢＳ曲線を含まない不規則な
曲線メッシュを滑らかに内挿する技術（文献）と、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線を含んだ不規則でない曲線メッシュを滑ら
かに内挿する技術がある（文献）。また、ＮＵＲＢＳ
曲線やＮＵＲＢＳ曲面を扱う上での基礎的な評価方法
（文献）がある。このような従来の内挿技術では、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不規則な曲線メ
ッシュを歪みのない自由曲面で内挿することが困難であ
った。
内挿技術としては、ＮＵＲＢＳ曲線を含まない不規則な
曲線メッシュを滑らかに内挿する技術（文献）と、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線を含んだ不規則でない曲線メッシュを滑ら
かに内挿する技術がある（文献）。また、ＮＵＲＢＳ
曲線やＮＵＲＢＳ曲面を扱う上での基礎的な評価方法
（文献）がある。このような従来の内挿技術では、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不規則な曲線メ
ッシュを歪みのない自由曲面で内挿することが困難であ
った。
【０００５】本発明は、このような実情に鑑みてなされ
たもので、ＮＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不
規則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿するよ
うにした自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法
を提供することを目的としている。
たもので、ＮＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不
規則な曲線メッシュを歪みのない自由曲面で内挿するよ
うにした自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法
を提供することを目的としている。
【０００６】
【課題を解決するための手段】本発明は、上記目的を達
成するために、（１）有理Ｂ−スプライン曲線を共有境
界とする２枚の曲面を生成する場合に、境界曲線と各境
界曲線に繋がる曲線から境界での連続性を判定し、求め
られた連続性から境界での接続条件を求め、求められた
接続条件から面の内部制御点を生成することによって隣
合う２枚の自由曲面形状を滑らかに接続すること、更に
は、（２）前記（１）記載の接続方法を用いて、すべて
の境界曲線での内部制御点を生成し、該内部制御点を組
み合わせることによって、なめらかな自由曲面を生成す
ること、更には、（３）前記（２）記載の自由曲面生成
方法およびその曲面表現を用いることによって、隣接す
る有理Ｂ−スプライン曲面と滑らかに接続する自由曲面
を生成すること、更には、（４）前記（２）記載の自由
曲面生成方法およびその曲面表現を用いることによっ
て、複雑な曲面メッシュをより少ない曲線で表現するこ
と、更には、（５）前記（２）記載の自由曲面生成方法
およびその曲面表現を用いることによって、自由曲面間
のフィレット面を１枚の曲面で表現すること、或いは、
（６）前記（２）記載の自由曲面生成方法およびその曲
面表現を用いることによって、境界での微分ベクトルを
指定し、曲面形状を容易に変形できること、更には、
（７）前記（２）記載の自由曲面生成方法およびその曲
面表現を拡張することによって、曲面の内部点を指定
し、曲面形状を容易に変形できることを特徴としたもの
である。
成するために、（１）有理Ｂ−スプライン曲線を共有境
界とする２枚の曲面を生成する場合に、境界曲線と各境
界曲線に繋がる曲線から境界での連続性を判定し、求め
られた連続性から境界での接続条件を求め、求められた
接続条件から面の内部制御点を生成することによって隣
合う２枚の自由曲面形状を滑らかに接続すること、更に
は、（２）前記（１）記載の接続方法を用いて、すべて
の境界曲線での内部制御点を生成し、該内部制御点を組
み合わせることによって、なめらかな自由曲面を生成す
ること、更には、（３）前記（２）記載の自由曲面生成
方法およびその曲面表現を用いることによって、隣接す
る有理Ｂ−スプライン曲面と滑らかに接続する自由曲面
を生成すること、更には、（４）前記（２）記載の自由
曲面生成方法およびその曲面表現を用いることによっ
て、複雑な曲面メッシュをより少ない曲線で表現するこ
と、更には、（５）前記（２）記載の自由曲面生成方法
およびその曲面表現を用いることによって、自由曲面間
のフィレット面を１枚の曲面で表現すること、或いは、
（６）前記（２）記載の自由曲面生成方法およびその曲
面表現を用いることによって、境界での微分ベクトルを
指定し、曲面形状を容易に変形できること、更には、
（７）前記（２）記載の自由曲面生成方法およびその曲
面表現を拡張することによって、曲面の内部点を指定
し、曲面形状を容易に変形できることを特徴としたもの
である。
【０００７】
【作用】ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは、一般境界Ｇ
regoryパッチを拡張したもので、Ｇregoryパッチ、有理
境界Ｇregoryパッチ、一般境界Ｇregoryパッチの特徴を
継承した曲面表現である。（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチによる内挿方法によって、例えば、ＮＵＲＢＳ
曲線を共有境界とする２枚の曲面間を滑らかに接続する
ことができる。また、（２）曲線メッシュのすべての曲
線に対して、共有境界を滑らかに内挿する内部制御点を
発生し、これらの内部制御点からＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチを生成する。この結果、隣接する曲面となめら
かに接続された自由曲面を生成することができる。ま
た、（３）曲面を設計する上では隣接する曲面形状を固
定したままで、形状設計することがある。このような場
合には、固定された曲面となめらかに接続される自由曲
面を生成する必要がある。（４）ＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチは、ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする。ＮＵＲＢＳ
曲線は区分有理／多項式で表現され、Ｂezier曲線や有
理Ｂezier曲線の集りと考えることができる。このた
め、ＮＵＲＢＳ曲線で囲まれた領域は大きな曲面とな
り、従来複雑な曲線メッシュで表現された形状が、より
少ない曲線で表現できることから形状の把握が容易にな
る。（５）ＮＵＲＢＳ曲線は自由曲面の切断やフィレッ
ト面生成によって曲線メッシュ内に現れる。従来は、複
数のパッチによってこのような領域を内挿していたが、
曲線の形状によっては歪んだ曲面が生成される。特に、
位相的に４角形な領域もＮＵＲＢＳ曲線を境界としたと
きには歪む可能性が高い。このような場合にも、ＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇregoryパッチでは１枚の自由曲面でメッシュ
をできるので歪みが発生しない。（６）生成された曲面
形状を変形する場合には、隣接面との連続性や、曲線、
曲面のタイプを考慮する必要がある。これは、設計者に
とって大きな負担となる。設計者が形状変形に専念する
ための手法が望まれる。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
を用いることによって境界横断導関数を明示的に指定
し、境界での接平面を容易に制御できる。また、曲面上
の任意の点をつまんで移動することができるので、設計
者は形状変形のみに専念できる。
regoryパッチを拡張したもので、Ｇregoryパッチ、有理
境界Ｇregoryパッチ、一般境界Ｇregoryパッチの特徴を
継承した曲面表現である。（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチによる内挿方法によって、例えば、ＮＵＲＢＳ
曲線を共有境界とする２枚の曲面間を滑らかに接続する
ことができる。また、（２）曲線メッシュのすべての曲
線に対して、共有境界を滑らかに内挿する内部制御点を
発生し、これらの内部制御点からＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチを生成する。この結果、隣接する曲面となめら
かに接続された自由曲面を生成することができる。ま
た、（３）曲面を設計する上では隣接する曲面形状を固
定したままで、形状設計することがある。このような場
合には、固定された曲面となめらかに接続される自由曲
面を生成する必要がある。（４）ＮＵＲＢＳ境界Ｇrego
ryパッチは、ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする。ＮＵＲＢＳ
曲線は区分有理／多項式で表現され、Ｂezier曲線や有
理Ｂezier曲線の集りと考えることができる。このた
め、ＮＵＲＢＳ曲線で囲まれた領域は大きな曲面とな
り、従来複雑な曲線メッシュで表現された形状が、より
少ない曲線で表現できることから形状の把握が容易にな
る。（５）ＮＵＲＢＳ曲線は自由曲面の切断やフィレッ
ト面生成によって曲線メッシュ内に現れる。従来は、複
数のパッチによってこのような領域を内挿していたが、
曲線の形状によっては歪んだ曲面が生成される。特に、
位相的に４角形な領域もＮＵＲＢＳ曲線を境界としたと
きには歪む可能性が高い。このような場合にも、ＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇregoryパッチでは１枚の自由曲面でメッシュ
をできるので歪みが発生しない。（６）生成された曲面
形状を変形する場合には、隣接面との連続性や、曲線、
曲面のタイプを考慮する必要がある。これは、設計者に
とって大きな負担となる。設計者が形状変形に専念する
ための手法が望まれる。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
を用いることによって境界横断導関数を明示的に指定
し、境界での接平面を容易に制御できる。また、曲面上
の任意の点をつまんで移動することができるので、設計
者は形状変形のみに専念できる。
【０００８】
【実施例】実施例について、図面を参照して以下に説明
する。図１は、本発明による自由曲面生成方法を説明す
るためのフローチャートである。以下、各ステップに従
って順に説明する。まず、有理Ｂ−スプライン曲線を共
有境界とする２枚の曲面を生成する場合に（step１）、
境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線から境界での連続性
を判断し（step２)、求められた連続性から境界での接
続条件を求め(step３）、求められた接続条件から面の
内部制御点を生成し（step４）、隣り合う２枚の自由曲
面形状を滑らかに接続する（step５）。これにより、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不規則な曲線メ
ッシュを歪みのない自由曲面で内挿することができる。
する。図１は、本発明による自由曲面生成方法を説明す
るためのフローチャートである。以下、各ステップに従
って順に説明する。まず、有理Ｂ−スプライン曲線を共
有境界とする２枚の曲面を生成する場合に（step１）、
境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線から境界での連続性
を判断し（step２)、求められた連続性から境界での接
続条件を求め(step３）、求められた接続条件から面の
内部制御点を生成し（step４）、隣り合う２枚の自由曲
面形状を滑らかに接続する（step５）。これにより、Ｎ
ＵＲＢＳ曲線やＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不規則な曲線メ
ッシュを歪みのない自由曲面で内挿することができる。
【０００９】本発明による自由曲面生成方法を実現する
ためには、以下の内挿方法及び接続方法が用いられる。 曲線メッシュをＧregoryパッチまたは有理境界Ｇrego
ryパッチで内挿する方法。 Ｇregoryパッチや有理境界Ｇregoryパッチの境界で面
を連続に接続する方法。
ためには、以下の内挿方法及び接続方法が用いられる。 曲線メッシュをＧregoryパッチまたは有理境界Ｇrego
ryパッチで内挿する方法。 Ｇregoryパッチや有理境界Ｇregoryパッチの境界で面
を連続に接続する方法。
【００１０】図２は、前記の内挿過程を説明するため
のフローチャートである。以下、各ステップに従って順
に説明する。step１ ：まず、面を構成するすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算し、記憶装置に蓄える。step２ ：次に、境界横断導関数から有理曲面の制御点を
生成する。
のフローチャートである。以下、各ステップに従って順
に説明する。step１ ：まず、面を構成するすべての境界曲線での境界
横断導関数を計算し、記憶装置に蓄える。step２ ：次に、境界横断導関数から有理曲面の制御点を
生成する。
【００１１】図３は、前記の境界横断導関数の設定の
過程を説明するためのフローチャートである。以下、各
ステップに従って順に説明する。step１ ：まず、境界曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄
える。step２ ：次に、境界曲線の端点につながっている曲線の
うちで、隣接する面を構成している曲線の制御点と重み
を記憶装置に蓄える。step３ ：次に、境界曲線の両端点におけるＧ1連続性を
調べ、結果を記憶装置に蓄える。step４ ：最後に、前記step１，step２で蓄えられた曲線
の制御点と、step３で判定した連続性条件から、境界横
断導関数を計算する。
過程を説明するためのフローチャートである。以下、各
ステップに従って順に説明する。step１ ：まず、境界曲線の制御点と重みを記憶装置に蓄
える。step２ ：次に、境界曲線の端点につながっている曲線の
うちで、隣接する面を構成している曲線の制御点と重み
を記憶装置に蓄える。step３ ：次に、境界曲線の両端点におけるＧ1連続性を
調べ、結果を記憶装置に蓄える。step４ ：最後に、前記step１，step２で蓄えられた曲線
の制御点と、step３で判定した連続性条件から、境界横
断導関数を計算する。
【００１２】（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの表
現式と特徴について以下に説明する。 （１−１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの概念 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは、一般Ｃoonsパッチを
拡張した曲面で、境界曲線としてＮＵＲＢＳ曲線を許し
た曲面表現である。図４（ａ）〜（ｄ）は、ＮＵＲＢＳ
境界Ｇregoryパッチの概念図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
regoryパッチＳ(ｕ,ｖ)は以下のような式で表される。
現式と特徴について以下に説明する。 （１−１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの概念 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは、一般Ｃoonsパッチを
拡張した曲面で、境界曲線としてＮＵＲＢＳ曲線を許し
た曲面表現である。図４（ａ）〜（ｄ）は、ＮＵＲＢＳ
境界Ｇregoryパッチの概念図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
regoryパッチＳ(ｕ,ｖ)は以下のような式で表される。
【００１３】
【数１】
【００１４】なお、以下の説明におけるＳ[ｕ]などの表
記は以下の表１に記載された表記と対応するものとす
る。
記は以下の表１に記載された表記と対応するものとす
る。
【００１５】
【表１】
【００１６】Ｓ[ｕ]は、相対する２本のＮＵＲＢＳ曲線
Ｃ3，Ｃ1と各境界でのＣＢＤ関数（境界横断導関数）Ｓ
[ｕ／ｕ](０,ｖ)，Ｓ[ｕ／ｕ](１,ｖ)から表現できる曲
面となる。同様に、Ｓ[ｖ]は、相対する２本のＮＵＲＢ
Ｓ曲線Ｃ0，Ｃ2と各境界でのＣＢＤ関数Ｓ[ｖ／ｖ](ｕ,
０)，Ｓ[ｖ／ｖ](ｕ,１)から表現できる曲面となる。こ
こで、Ｓu＝∂Ｓ／∂ｕ，Ｓv＝∂Ｓ／∂ｖをそれぞれ表
している。また、Ｓ[ｃ](ｕ,ｖ)は、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]を
加えることによってできた剰余部分を表し、曲面Ｓ
[ｕ]，Ｓ[ｖ]におけるＳ[ｕ](ｕ,０)，Ｓ[ｕ](ｕ,１)，
Ｓ[ｕ／ｖ](ｕ,０)，Ｓ[ｕ／ｖ](ｕ,１)，Ｓ[ｖ](０,
ｖ)，Ｓ[ｖ](１,ｖ)，Ｓ[ｖ／ｕ](０,ｖ)，Ｓ[ｖ／ｕ]
(１,ｖ)から得られる曲面を表している。以下では、Ｓ
[ｕ]をＵ曲面、Ｓ[ｖ]をＶ曲面、Ｓ[ｃ]をＣ曲面と呼ぶ
ことにする。
Ｃ3，Ｃ1と各境界でのＣＢＤ関数（境界横断導関数）Ｓ
[ｕ／ｕ](０,ｖ)，Ｓ[ｕ／ｕ](１,ｖ)から表現できる曲
面となる。同様に、Ｓ[ｖ]は、相対する２本のＮＵＲＢ
Ｓ曲線Ｃ0，Ｃ2と各境界でのＣＢＤ関数Ｓ[ｖ／ｖ](ｕ,
０)，Ｓ[ｖ／ｖ](ｕ,１)から表現できる曲面となる。こ
こで、Ｓu＝∂Ｓ／∂ｕ，Ｓv＝∂Ｓ／∂ｖをそれぞれ表
している。また、Ｓ[ｃ](ｕ,ｖ)は、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]を
加えることによってできた剰余部分を表し、曲面Ｓ
[ｕ]，Ｓ[ｖ]におけるＳ[ｕ](ｕ,０)，Ｓ[ｕ](ｕ,１)，
Ｓ[ｕ／ｖ](ｕ,０)，Ｓ[ｕ／ｖ](ｕ,１)，Ｓ[ｖ](０,
ｖ)，Ｓ[ｖ](１,ｖ)，Ｓ[ｖ／ｕ](０,ｖ)，Ｓ[ｖ／ｕ]
(１,ｖ)から得られる曲面を表している。以下では、Ｓ
[ｕ]をＵ曲面、Ｓ[ｖ]をＶ曲面、Ｓ[ｃ]をＣ曲面と呼ぶ
ことにする。
【００１７】（１−２）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
の表現形式 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは、一般境界Ｇregoryパ
ッチを拡張し、ＣＢＤ関数としてＮＵＲＢＳ表現を許し
たものであり、境界曲線がＮＵＲＢＳ曲線となる曲面表
現である。以下では、式（１）の各項がどのような式で
表されるかを述べる。Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]はパラメタ空間が
異なるが表現は同じと考えてよいので、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｃ]
の式を説明する。Ｓ[ｕ]は、２本の境界曲線Ｃ3，Ｃ1と
これらのＣＢＤ関数によって表される。曲線Ｃ3，Ｃ
1は、ｎ＋１個の制御点Ｐ[ｕ／０,ｊ]とその重みＷ[ｕ
／０,ｊ]，Ｐ[ｕ／３,ｊ]とその重みＷ[ｕ／３,ｊ]をも
つｋ次のＮＵＲＢＳ曲線である。
の表現形式 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは、一般境界Ｇregoryパ
ッチを拡張し、ＣＢＤ関数としてＮＵＲＢＳ表現を許し
たものであり、境界曲線がＮＵＲＢＳ曲線となる曲面表
現である。以下では、式（１）の各項がどのような式で
表されるかを述べる。Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]はパラメタ空間が
異なるが表現は同じと考えてよいので、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｃ]
の式を説明する。Ｓ[ｕ]は、２本の境界曲線Ｃ3，Ｃ1と
これらのＣＢＤ関数によって表される。曲線Ｃ3，Ｃ
1は、ｎ＋１個の制御点Ｐ[ｕ／０,ｊ]とその重みＷ[ｕ
／０,ｊ]，Ｐ[ｕ／３,ｊ]とその重みＷ[ｕ／３,ｊ]をも
つｋ次のＮＵＲＢＳ曲線である。
【００１８】
【数２】
【００１９】ここで、Ｎj,k(v)は式（３）に示されるよ
うなＢ−スプライン基底関数である。
うなＢ−スプライン基底関数である。
【００２０】
【数３】
【００２１】ただし、ｖjは正規化されたノットベクト
ルで、以下のように表される。
ルで、以下のように表される。
【００２２】
【数４】
【００２３】ＣＢＤ関数Ｓ[ｕ／ｕ](０,ｖ)とＳ[ｕ／
ｕ](１,ｖ)をＮＵＲＢＳで表現するために、曲面Ｓ[ｕ]
は次のようなＮＵＲＢＳ曲面として表すことができる。
ｕ](１,ｖ)をＮＵＲＢＳで表現するために、曲面Ｓ[ｕ]
は次のようなＮＵＲＢＳ曲面として表すことができる。
【００２４】
【数５】
【００２５】ただし、Ｍi,3，Ｎj,kは、式（３）で表さ
れるＢ−スプライン基底関数とし、ｕ方向のノットベク
トルは［０,０,０,０,１,１,１,１］，ｖ方向のノット
ベクトルは式（４）とする。Ｖ曲面Ｓ[ｖ]も同様にＮＵ
ＲＢＳ曲面で表すことができる。図５及び図６は、ＮＵ
ＲＢＳ境界ＧregoryパッチのＵ曲面とＶ曲面を示した図
である。以下、説明を簡単化するために、境界曲線の次
数は３次で１０個の制御点を持つ。つまりｎ＝９，ｋ＝
３とする。図５から分かるように、Ｓ[ｕ](０,ｖ)とＳ
[ｕ](１,ｖ)を表す曲線は、３本の曲線セグメントで構
成され、双３次のＮＵＲＢＳ曲面を表わしている。Ｃ曲
面Ｓ[ｃ]は、Ｕ曲面、Ｖ曲面を加えることによって生じ
る余剰な部分である。式（１）からｕ＝０，ｕ＝１のと
きには、
れるＢ−スプライン基底関数とし、ｕ方向のノットベク
トルは［０,０,０,０,１,１,１,１］，ｖ方向のノット
ベクトルは式（４）とする。Ｖ曲面Ｓ[ｖ]も同様にＮＵ
ＲＢＳ曲面で表すことができる。図５及び図６は、ＮＵ
ＲＢＳ境界ＧregoryパッチのＵ曲面とＶ曲面を示した図
である。以下、説明を簡単化するために、境界曲線の次
数は３次で１０個の制御点を持つ。つまりｎ＝９，ｋ＝
３とする。図５から分かるように、Ｓ[ｕ](０,ｖ)とＳ
[ｕ](１,ｖ)を表す曲線は、３本の曲線セグメントで構
成され、双３次のＮＵＲＢＳ曲面を表わしている。Ｃ曲
面Ｓ[ｃ]は、Ｕ曲面、Ｖ曲面を加えることによって生じ
る余剰な部分である。式（１）からｕ＝０，ｕ＝１のと
きには、
【００２６】
【数６】
【００２７】でなければならない。また、ｖ＝０，ｖ＝
１のときにも同じような関係式が成り立つ。このことか
ら、Ｓ[ｃ]は、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]の境界条件によって以下
の式を満たさなければならない。
１のときにも同じような関係式が成り立つ。このことか
ら、Ｓ[ｃ]は、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]の境界条件によって以下
の式を満たさなければならない。
【００２８】
【数７】
【００２９】Ｓ[ｃ]のＣＢＤは、Ｓ[ｕ]，Ｓ[ｖ]の２枚
の曲面から拘束されるので、ＣＢＤ関数を各パラメタで
独立に制御できる表現となる必要がある。
の曲面から拘束されるので、ＣＢＤ関数を各パラメタで
独立に制御できる表現となる必要がある。
【００３０】
【数８】
【００３１】Ｓ[ｃ]は、３２個の制御点を持つ曲面であ
り、図７は、その制御点と重みの配置図を示している。
この図から分かるように、境界を表す制御点とＣＢＤを
表す制御点は全て２重に持っている。制御点Ｐ[ｄ／ｉ
ｊ０]と重みＷ[ｄ／ｉｊ０]の項はパラメタ値ｕ＝０ま
たはｕ＝１のときには０になり、制御点Ｐ[ｄ／ｉｊ１]
と重みＷ[ｄ／ｉｊ１]の項はパラメタ値ｖ＝０またはｖ
＝１のときには０になる。このことから、Ｐ[ｄ／ｉｊ
０]，Ｗ[ｄ／ｉｊ０]は、Ｕ曲面から、Ｐ[ｄ／ｉｊ
１]，Ｗ[ｄ／ｉｊ１]は、Ｖ曲面から得ることができ
る。式（６）を式（７）に適用すると、制御点Ｐ[ｄ／
ｉｊ０]と重みＷ[ｄ／ｉｊ０]は、以下のような定義で
きる。
り、図７は、その制御点と重みの配置図を示している。
この図から分かるように、境界を表す制御点とＣＢＤを
表す制御点は全て２重に持っている。制御点Ｐ[ｄ／ｉ
ｊ０]と重みＷ[ｄ／ｉｊ０]の項はパラメタ値ｕ＝０ま
たはｕ＝１のときには０になり、制御点Ｐ[ｄ／ｉｊ１]
と重みＷ[ｄ／ｉｊ１]の項はパラメタ値ｖ＝０またはｖ
＝１のときには０になる。このことから、Ｐ[ｄ／ｉｊ
０]，Ｗ[ｄ／ｉｊ０]は、Ｕ曲面から、Ｐ[ｄ／ｉｊ
１]，Ｗ[ｄ／ｉｊ１]は、Ｖ曲面から得ることができ
る。式（６）を式（７）に適用すると、制御点Ｐ[ｄ／
ｉｊ０]と重みＷ[ｄ／ｉｊ０]は、以下のような定義で
きる。
【００３２】
【数９】
【００３３】（１−３）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
の特徴 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは以下の〜ような特
徴を持っている。 ＣＢＤ関数を各境界で独立に定義できる。Ｃ曲面を式
（６）を満たすように設定することによって、たとえ
ば、ｕ＝０のときには、Ｓu(０,ｖ）＝Ｓ[ｕ／ｕ](０,
ｖ)が成り立つ。このことから、不規則な曲線メッシュ
をなめらかに内挿することが可能となる。 境界曲線の独立な制御が可能である。式（１）から、
Ｕ曲面、Ｖ曲面が独立に設定でき、かつ、ｕ，ｖパラメ
タにおける境界曲線の拘束条件は、式（１９）しかな
い。したがって、曲線の端点の重みは、境界ごとに独立
に制御できる。 境界曲線はＮＵＲＢＳ曲線となる。
の特徴 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは以下の〜ような特
徴を持っている。 ＣＢＤ関数を各境界で独立に定義できる。Ｃ曲面を式
（６）を満たすように設定することによって、たとえ
ば、ｕ＝０のときには、Ｓu(０,ｖ）＝Ｓ[ｕ／ｕ](０,
ｖ)が成り立つ。このことから、不規則な曲線メッシュ
をなめらかに内挿することが可能となる。 境界曲線の独立な制御が可能である。式（１）から、
Ｕ曲面、Ｖ曲面が独立に設定でき、かつ、ｕ，ｖパラメ
タにおける境界曲線の拘束条件は、式（１９）しかな
い。したがって、曲線の端点の重みは、境界ごとに独立
に制御できる。 境界曲線はＮＵＲＢＳ曲線となる。
【００３４】Ｇregoryパッチ、有理境界Ｇregoryパッ
チ、一般境界Ｇregoryパッチと接続が可能である。ＣＢ
Ｄ関数はＮＵＲＢＳで表現なので、有理Ｂezier表現を
含んでいる。このことから、境界曲線がＢezier曲線の
場合にはＧregoryパッチの接続式を使って内部制御点を
決定し、有理Ｂezier曲線の場合には有理境界Ｇregory
パッチの接続式を使ってＣＢＤ関数を決定すれば、これ
らの曲面となめらかに接続することが可能となる。
チ、一般境界Ｇregoryパッチと接続が可能である。ＣＢ
Ｄ関数はＮＵＲＢＳで表現なので、有理Ｂezier表現を
含んでいる。このことから、境界曲線がＢezier曲線の
場合にはＧregoryパッチの接続式を使って内部制御点を
決定し、有理Ｂezier曲線の場合には有理境界Ｇregory
パッチの接続式を使ってＣＢＤ関数を決定すれば、これ
らの曲面となめらかに接続することが可能となる。
【００３５】ＮＵＲＢＳ境界ＧregoryパッチはＮＵＲ
ＢＳ曲面に正確に変換できる。Ｕ，Ｖ曲面は、ＮＵＲＢ
Ｓ曲面で表現されている。また、Ｃ曲面は有理境界Ｇre
goryパッチと同様の表現形式であるので、ＮＵＲＢＳ曲
面に正確に変換可能である。３枚のＮＵＲＢＳ曲面を１
枚で表現することは可能であるので、ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
regoryパッチは１枚のＮＵＲＢＳ曲面に正確に変換でき
る。
ＢＳ曲面に正確に変換できる。Ｕ，Ｖ曲面は、ＮＵＲＢ
Ｓ曲面で表現されている。また、Ｃ曲面は有理境界Ｇre
goryパッチと同様の表現形式であるので、ＮＵＲＢＳ曲
面に正確に変換可能である。３枚のＮＵＲＢＳ曲面を１
枚で表現することは可能であるので、ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
regoryパッチは１枚のＮＵＲＢＳ曲面に正確に変換でき
る。
【００３６】（２）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ間の
接続 前記（１）で説明したＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの
接続方法について以下に説明する。図８は、ＮＵＲＢＳ
境界Ｇregoryパッチの接続方法を示す図で、２枚の面Ｓ
1とＳ2が共有境界曲線を挟んで配置されているとする。
説明を簡単にするために、境界曲線は中間に２つの節点
を持つ３次のＮＵＲＢＳ曲線とする。２枚の曲面がＧ1
連続に接続されるための条件式は以下の式で表すことが
できる。
接続 前記（１）で説明したＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの
接続方法について以下に説明する。図８は、ＮＵＲＢＳ
境界Ｇregoryパッチの接続方法を示す図で、２枚の面Ｓ
1とＳ2が共有境界曲線を挟んで配置されているとする。
説明を簡単にするために、境界曲線は中間に２つの節点
を持つ３次のＮＵＲＢＳ曲線とする。２枚の曲面がＧ1
連続に接続されるための条件式は以下の式で表すことが
できる。
【００３７】
【数１０】
【００３８】ただし、ｋ(ｖ)，ｈ(ｖ)は任意のスカラー
関数とする。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの特徴か
ら、式（２０）は次式に置き換えることができる。
関数とする。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチの特徴か
ら、式（２０）は次式に置き換えることができる。
【００３９】
【数１１】
【００４０】Ｓ[１ｕ]は、曲面Ｓ1のＵ曲面を表し、Ｓ
[２ｕ]は、曲面Ｓ2のＵ曲面を表す。したがって、２枚
のパッチをＧ1連続にするためには、Ｕ曲面のみを考慮
すればよい。以下では、Ｓ[１ｕ]とＳ[２ｕ]を接続する
ことを考える。まず、境界曲線の端点Ｖ0，Ｖ1につなが
る曲線の制御点間ベクトルをそれぞれ
[２ｕ]は、曲面Ｓ2のＵ曲面を表す。したがって、２枚
のパッチをＧ1連続にするためには、Ｕ曲面のみを考慮
すればよい。以下では、Ｓ[１ｕ]とＳ[２ｕ]を接続する
ことを考える。まず、境界曲線の端点Ｖ0，Ｖ1につなが
る曲線の制御点間ベクトルをそれぞれ
【００４１】
【数１２】
【００４２】とおく（ｉ＝０，…，９；ｊ＝０，…，
８）。ただし、Ｐ[１ｕ／２ｊ]，Ｐ[１ｕ／３ｊ]はＵ曲
面Ｓ[１ｕ]の制御点、Ｐ[２ｕ／０ｊ]，Ｐ[２ｕ／１ｊ]
はＵ曲面Ｓ[２ｕ]の制御点、Ｗ[１ｕ／２ｊ]，Ｗ[１ｕ
／３ｊ]とＷ[２ｕ／０ｊ]，Ｗ[２ｕ／１ｊ]は各制御点
での重みとする。これらのベクトルは、曲面の境界にお
ける微分ベクトルを表している。しかし、一般に式
（５）のｕ，ｖ方向の微分式は複雑になり、Ｇ1連続の
条件式を直接解くのは困難である。
８）。ただし、Ｐ[１ｕ／２ｊ]，Ｐ[１ｕ／３ｊ]はＵ曲
面Ｓ[１ｕ]の制御点、Ｐ[２ｕ／０ｊ]，Ｐ[２ｕ／１ｊ]
はＵ曲面Ｓ[２ｕ]の制御点、Ｗ[１ｕ／２ｊ]，Ｗ[１ｕ
／３ｊ]とＷ[２ｕ／０ｊ]，Ｗ[２ｕ／１ｊ]は各制御点
での重みとする。これらのベクトルは、曲面の境界にお
ける微分ベクトルを表している。しかし、一般に式
（５）のｕ，ｖ方向の微分式は複雑になり、Ｇ1連続の
条件式を直接解くのは困難である。
【００４３】そこで、Ｕ曲面におけるｖ方向のノットベ
クトルを式（４）のような形式に制限し、既存の接続式
を用いてＧ1連続に接続する。式（４）のようなノット
ベクトルによって、境界曲線とそのＣＢＤ関数は複合有
理Ｂezier形式として扱える。したがって、節点から節
点までの曲線とそのＣＢＤを考慮して各区間をＧ1連続
に接続することで、２枚のＵ曲面はＧ1連続に接続でき
る。このとき節点の位置にある制御点間ベクトルａi，
ｂi(ｉ＝３，６）はすべてに分かっているとする。これ
らのベクトルは、曲面形状を制御するための制御ベクト
ルであり、外部から指定されるものである。詳細は
（４）で述べる。
クトルを式（４）のような形式に制限し、既存の接続式
を用いてＧ1連続に接続する。式（４）のようなノット
ベクトルによって、境界曲線とそのＣＢＤ関数は複合有
理Ｂezier形式として扱える。したがって、節点から節
点までの曲線とそのＣＢＤを考慮して各区間をＧ1連続
に接続することで、２枚のＵ曲面はＧ1連続に接続でき
る。このとき節点の位置にある制御点間ベクトルａi，
ｂi(ｉ＝３，６）はすべてに分かっているとする。これ
らのベクトルは、曲面形状を制御するための制御ベクト
ルであり、外部から指定されるものである。詳細は
（４）で述べる。
【００４４】境界曲線の区分曲線間の接続を行う場合、
境界曲線の端点につながる曲線からｂ0，ｂ9は得られ、
前述したようにａi，ｂi(ｉ＝３，６）は既知であるの
で、各ノットからノットまでの区分有理Ｂezier曲線間
の接続問題は解けばよい。一例として、ｂ1，ｂ2を求め
るプロセスを説明する。このプロセスは、大別して２つ
に分けられる。１つは、境界両側の制御点間ベクトルａ
1，ａ2，ｂ1，ｂ2が未知数になっているケースで、基礎
パッチ法を用いることによってこれらを計算する。もう
１つは、曲面Ｓ1がすでに固定されている状況で、ｂ1，
ｂ2を求めるケースである。
境界曲線の端点につながる曲線からｂ0，ｂ9は得られ、
前述したようにａi，ｂi(ｉ＝３，６）は既知であるの
で、各ノットからノットまでの区分有理Ｂezier曲線間
の接続問題は解けばよい。一例として、ｂ1，ｂ2を求め
るプロセスを説明する。このプロセスは、大別して２つ
に分けられる。１つは、境界両側の制御点間ベクトルａ
1，ａ2，ｂ1，ｂ2が未知数になっているケースで、基礎
パッチ法を用いることによってこれらを計算する。もう
１つは、曲面Ｓ1がすでに固定されている状況で、ｂ1，
ｂ2を求めるケースである。
【００４５】基礎パッチ法による接続 区分境界曲線に関係する制御点とその重みＰ[１ｕ／ｉ
ｊ]，Ｗ[１ｕ／ｉｊ](ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，３)，
Ｐ[２ｕ／ｉｊ]，Ｗ[２ｕ／ｉｊ](ｉ＝０，１；ｊ＝
０，…，３)に対して、式（２１）を適用する。このと
き、式（５）の微分式を簡略化するために、重みに以下
のような制限を設ける。
ｊ]，Ｗ[１ｕ／ｉｊ](ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，３)，
Ｐ[２ｕ／ｉｊ]，Ｗ[２ｕ／ｉｊ](ｉ＝０，１；ｊ＝
０，…，３)に対して、式（２１）を適用する。このと
き、式（５）の微分式を簡略化するために、重みに以下
のような制限を設ける。
【００４６】
【数１３】
【００４７】ただし、ｊ＝０，…，３とする。また、区
分境界曲線の端点における制御点間ベクトルが
分境界曲線の端点における制御点間ベクトルが
【００４８】
【数１４】
【００４９】の関係にあるならば、ｈ(ｖ)＝０とおくこ
とができ、これによって、式（２１）は以下のように書
き直すことができる。
とができ、これによって、式（２１）は以下のように書
き直すことができる。
【００５０】
【数１５】
【００５１】ただし、ｍは次数、Ｗjは曲面Ｓ2の重みを
表し、Ｂ[ｍ／ｊ](ｖ）は次式のようなＢernstein多項
式とする。
表し、Ｂ[ｍ／ｊ](ｖ）は次式のようなＢernstein多項
式とする。
【００５２】
【数１６】
【００５３】式（２５）のスカラー関数ｋ(ｖ)をｋ(ｖ)
＝ｋ0(１−ｖ)＋ｋ1ｖのような１次関数と仮定したとき
に、右辺は４次にならなければならない。このことは、
接続に関する対称性がなくなることを意味し、Ｓ1にＳ2
を接続した場合と、Ｓ2にＳ1を接続した場合とでは、曲
面の次数が異なることになる。基礎パッチ法を用いて、
ａj(ｊ＝０，…，３)の項を２次に次数下げができると
仮定することによって、対称性を保つことができる。
＝ｋ0(１−ｖ)＋ｋ1ｖのような１次関数と仮定したとき
に、右辺は４次にならなければならない。このことは、
接続に関する対称性がなくなることを意味し、Ｓ1にＳ2
を接続した場合と、Ｓ2にＳ1を接続した場合とでは、曲
面の次数が異なることになる。基礎パッチ法を用いて、
ａj(ｊ＝０，…，３)の項を２次に次数下げができると
仮定することによって、対称性を保つことができる。
【００５４】
【数１７】
【００５５】のように求められる。基礎パッチ法による
有理Ｂezier曲線間の一般的な接続方法については、前
述した参考文献に記載されたい。
有理Ｂezier曲線間の一般的な接続方法については、前
述した参考文献に記載されたい。
【００５６】固定された曲面との接続 図９は、ＮＵＲＢＳ曲面との接続方法を示す図である。
区分境界曲線に関する制御点とその重みＰ[１ｕ／ｉ
ｊ]，Ｗ[１ｕ／ｉｊ](ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，３)，
Ｐ[２ｕ／ｉｊ]，Ｗ[２ｕ／ｉｊ](ｉ＝０，１；ｊ＝
０，…，４)に対して、式（２１）に適用する。この場
合、すでに固定されている曲面Ｓ1の次数は３次とす
る。また、Ｕ曲面の境界横断導関数は共有境界につなが
る境界曲線Ｃ0の微分ベクトルに依存しない。したがっ
て境界が不規則なケースのときにｈ(ｖ)＝０と仮定して
も、接続時の一般性は失われない。このことから、式
（２１）は以下のように書き直すことができる。
区分境界曲線に関する制御点とその重みＰ[１ｕ／ｉ
ｊ]，Ｗ[１ｕ／ｉｊ](ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，３)，
Ｐ[２ｕ／ｉｊ]，Ｗ[２ｕ／ｉｊ](ｉ＝０，１；ｊ＝
０，…，４)に対して、式（２１）に適用する。この場
合、すでに固定されている曲面Ｓ1の次数は３次とす
る。また、Ｕ曲面の境界横断導関数は共有境界につなが
る境界曲線Ｃ0の微分ベクトルに依存しない。したがっ
て境界が不規則なケースのときにｈ(ｖ)＝０と仮定して
も、接続時の一般性は失われない。このことから、式
（２１）は以下のように書き直すことができる。
【００５７】
【数１８】
【００５８】基礎パッチ法による接続と同様に式（２
８）の両辺の次数について説明する。まず、Ｓ1は３次
なので、∂Ｓ1／∂ｕは６次になる。式（２８）のスカ
ラー関数ｋ(ｖ)をｋ(ｖ)＝ｋ0(１−ｖ)＋ｋ1ｖのような
１次関数と仮定したときに、左辺の次数は７次になる。
しかし、一般にｎ次の有理Ｂezier表現を微分した式
は、２ｎ次になるので、左辺は偶数次でなければならな
い。∂Ｓ1／∂ｕの項を６次から７次に次数上げするこ
とによって、右辺の次数は８次になり、接続によって４
次の曲面が生成される。以上のことから式（２８）は、
８）の両辺の次数について説明する。まず、Ｓ1は３次
なので、∂Ｓ1／∂ｕは６次になる。式（２８）のスカ
ラー関数ｋ(ｖ)をｋ(ｖ)＝ｋ0(１−ｖ)＋ｋ1ｖのような
１次関数と仮定したときに、左辺の次数は７次になる。
しかし、一般にｎ次の有理Ｂezier表現を微分した式
は、２ｎ次になるので、左辺は偶数次でなければならな
い。∂Ｓ1／∂ｕの項を６次から７次に次数上げするこ
とによって、右辺の次数は８次になり、接続によって４
次の曲面が生成される。以上のことから式（２８）は、
【００５９】
【数１９】
【００６０】まず、区分境界の端点つながる制御点間ベ
クトルｂ0とｂ4を決定する。これらのベクトルは、境界
曲線の端点Ｐ[１ｕ／３０]，Ｐ[１ｕ／３３]における接
平面上にあり、制御点間ベクトルａ0，ａ3とそれぞれ同
一直線上に存在するように設定することによって、式
（２９）を満たす。従って、制御点間ベクトルｂ0はそ
の大きさを曲線Ｃ0の制御点間ベクトル（Ｐ−Ｐ[２ｕ／
００]）と同じとし、ａ0と同じ方向のベクトルとする。
ｂ4は、境界の節点における制御ベクトルであるので、
前述した条件を満たせば任意の大きさで設定してよい。
また、これらの制御点での重みは、Ｗ[２ｕ／１０]＝Ｗ
[１ｕ／２０]＝Ｗ[２ｕ／１４]＝Ｗ[１ｕ／２３]となる
ように設定しておく。ｋ0，ｋ1は境界曲線の端点の条件
から以下のように容易に計算できる。
クトルｂ0とｂ4を決定する。これらのベクトルは、境界
曲線の端点Ｐ[１ｕ／３０]，Ｐ[１ｕ／３３]における接
平面上にあり、制御点間ベクトルａ0，ａ3とそれぞれ同
一直線上に存在するように設定することによって、式
（２９）を満たす。従って、制御点間ベクトルｂ0はそ
の大きさを曲線Ｃ0の制御点間ベクトル（Ｐ−Ｐ[２ｕ／
００]）と同じとし、ａ0と同じ方向のベクトルとする。
ｂ4は、境界の節点における制御ベクトルであるので、
前述した条件を満たせば任意の大きさで設定してよい。
また、これらの制御点での重みは、Ｗ[２ｕ／１０]＝Ｗ
[１ｕ／２０]＝Ｗ[２ｕ／１４]＝Ｗ[１ｕ／２３]となる
ように設定しておく。ｋ0，ｋ1は境界曲線の端点の条件
から以下のように容易に計算できる。
【００６１】
【数２０】
【００６２】その他の値の導出は繁雑であり、本来の目
的からはずれるのでここでは説明しないが、これを解く
ことによって、以下の式が得られる。
的からはずれるのでここでは説明しないが、これを解く
ことによって、以下の式が得られる。
【００６３】
【数２１】
【００６４】以上のような方法で、隣接する２枚のＮＵ
ＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ間とＮＵＲＢＳ曲面とＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇregoryパッチ間の接続ができるようになっ
た。
ＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ間とＮＵＲＢＳ曲面とＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇregoryパッチ間の接続ができるようになっ
た。
【００６５】（３）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによ
る曲線メッシュの内挿 前記（２）で説明した接続方法を用いて、曲線メッシュ
を内挿する方法について以下に説明する。図１０は、Ｎ
ＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによる内挿方法を示す図
で、シンプルな曲線メッシュを表している。ここで、面
Ｆ1は、４本のＮＵＲＢＳ曲線Ｅi(ｉ＝０，…，３)に囲
まれる領域を表している。以下のような過程で面Ｆ1は
ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチで内挿される。
る曲線メッシュの内挿 前記（２）で説明した接続方法を用いて、曲線メッシュ
を内挿する方法について以下に説明する。図１０は、Ｎ
ＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによる内挿方法を示す図
で、シンプルな曲線メッシュを表している。ここで、面
Ｆ1は、４本のＮＵＲＢＳ曲線Ｅi(ｉ＝０，…，３)に囲
まれる領域を表している。以下のような過程で面Ｆ1は
ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチで内挿される。
【００６６】ＣＢＤ関数の定義 面を内挿する場合、まず各稜線におけるＣＢＤを定義す
る。ＣＢＤｇ0(ｔ)はＮＵＲＢＳで表現され、稜線Ｅ1，
Ｅ3とＥ0に付加されている制御ベクトルから定義され
る。制御ベクトルについては、（４）で説明する。この
とき、稜線Ｅ0の端点につながる稜線Ｅ0，Ｅ1，Ｅ5と稜
線Ｅ0，Ｅ3，Ｅ4の端点での接ベクトルが式（２０）を
満たすときには、これらの稜線からＣＢＤｇ0(ｔ)を定
義する。このことは、境界稜線Ｅ0において、２枚の面
Ｆ1，Ｆ2がＧ1連続に接続されるときには、ＣＢＤｇ
0(ｔ)＝−ｇ4(ｔ)の関係があることを示している。その
他のＣＢＤｇi(ｔ)(ｉ＝１，…，３)も同様の方法で定
義できる。
る。ＣＢＤｇ0(ｔ)はＮＵＲＢＳで表現され、稜線Ｅ1，
Ｅ3とＥ0に付加されている制御ベクトルから定義され
る。制御ベクトルについては、（４）で説明する。この
とき、稜線Ｅ0の端点につながる稜線Ｅ0，Ｅ1，Ｅ5と稜
線Ｅ0，Ｅ3，Ｅ4の端点での接ベクトルが式（２０）を
満たすときには、これらの稜線からＣＢＤｇ0(ｔ)を定
義する。このことは、境界稜線Ｅ0において、２枚の面
Ｆ1，Ｆ2がＧ1連続に接続されるときには、ＣＢＤｇ
0(ｔ)＝−ｇ4(ｔ)の関係があることを示している。その
他のＣＢＤｇi(ｔ)(ｉ＝１，…，３)も同様の方法で定
義できる。
【００６７】内部制御点の決定 面Ｆ1の境界曲線でのＣＢＤが決定されたならば、前記
（２）で説明した接続式にしたがって内部制御点を決定
する。この段階で、Ｕ，Ｖ曲面が決定できる。 Ｃ曲面の決定 Ｕ，Ｖ曲面の制御点情報から、式（１６）から式（１
９）までの関係式を使って、Ｃ曲面の制御点を決定す
る。
（２）で説明した接続式にしたがって内部制御点を決定
する。この段階で、Ｕ，Ｖ曲面が決定できる。 Ｃ曲面の決定 Ｕ，Ｖ曲面の制御点情報から、式（１６）から式（１
９）までの関係式を使って、Ｃ曲面の制御点を決定す
る。
【００６８】（４）ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを使
った形状設計 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを使った形状変形方法に
ついて以下に説明する。まず、前記（２）で曲面の接続
に用いた制御ベクトルの設定法および、制御ベクトルに
よる形状制御法について説明する。その後で、ＮＵＲＢ
Ｓ境界Ｇregoryパッチによるフィレット面の生成につい
て説明する。最後に、ＮＵＲＢＳ曲面との接続例を示
す。
った形状設計 ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを使った形状変形方法に
ついて以下に説明する。まず、前記（２）で曲面の接続
に用いた制御ベクトルの設定法および、制御ベクトルに
よる形状制御法について説明する。その後で、ＮＵＲＢ
Ｓ境界Ｇregoryパッチによるフィレット面の生成につい
て説明する。最後に、ＮＵＲＢＳ曲面との接続例を示
す。
【００６９】（４−１）曲面の形状制御曲面の制御点 前記（１）で説明したように、ＮＵＲＢＳ曲線を境界と
するメッシュを内挿した結果、生成されるＮＵＲＢＳ境
界Ｇregoryパッチは、Ｕ，Ｖ，Ｃ曲面の３枚の曲面のブ
レンドで表される。一般に設計者は、境界曲線の制御点
を移動し、その面を内挿しなおすことによって曲面形状
を変形する。この操作はＮＵＲＢＳ曲線の形状変形にな
り、設計者にも分かり易い。しかし、隣接する曲面との
連続性を考慮しながら曲面の制御点を直接移動し、形状
を変形することは困難である。なぜならば、曲面形状と
これらの制御点との関係が不明確であり、制御点をどの
ように移動すれば意図した形状が得られるのがが分から
ないからである。
するメッシュを内挿した結果、生成されるＮＵＲＢＳ境
界Ｇregoryパッチは、Ｕ，Ｖ，Ｃ曲面の３枚の曲面のブ
レンドで表される。一般に設計者は、境界曲線の制御点
を移動し、その面を内挿しなおすことによって曲面形状
を変形する。この操作はＮＵＲＢＳ曲線の形状変形にな
り、設計者にも分かり易い。しかし、隣接する曲面との
連続性を考慮しながら曲面の制御点を直接移動し、形状
を変形することは困難である。なぜならば、曲面形状と
これらの制御点との関係が不明確であり、制御点をどの
ように移動すれば意図した形状が得られるのがが分から
ないからである。
【００７０】図１１は、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
の制御点を示す図で、各境界曲線は３本のセグメントか
らなる曲線メッシュを表している。制御点Ｑi(ｉ＝０，
…，７)は境界曲線の節点とし、Ｑi(ｉ＝８，…，１５)
は節点におけるＣＢＤの１／３の大きさのベクトルから
得られる点とする。例えば、Ｑ0は境界曲線Ｃ0のパラメ
タｕ0における点であり、ベクトルＱ0Ｑ8は、Ｑ0におけ
るＣＢＤの１／３の大きさを持つ。この規則で生成した
制御点によって、境界のすべての節点のＣＢＤが可視化
される。
の制御点を示す図で、各境界曲線は３本のセグメントか
らなる曲線メッシュを表している。制御点Ｑi(ｉ＝０，
…，７)は境界曲線の節点とし、Ｑi(ｉ＝８，…，１５)
は節点におけるＣＢＤの１／３の大きさのベクトルから
得られる点とする。例えば、Ｑ0は境界曲線Ｃ0のパラメ
タｕ0における点であり、ベクトルＱ0Ｑ8は、Ｑ0におけ
るＣＢＤの１／３の大きさを持つ。この規則で生成した
制御点によって、境界のすべての節点のＣＢＤが可視化
される。
【００７１】ここで、相対する境界Ｃ0，Ｃ2の節点にお
ける４つの制御点Ｑ0，Ｑ8，Ｑ13，Ｑ5に着目し、この
４点からなるＢezier曲線を制御曲線と呼ぶことにす
る。曲面がうねっているときには、制御曲線の形状は曲
面のうねりと同じ挙動を示す。設計者は、制御曲線の形
状が意図したものとなるように制御点を移動する。この
ような曲面変形では、制御点と曲面形状の関係が明確に
なり、設計者が直観的に曲面形状を変形できる。
ける４つの制御点Ｑ0，Ｑ8，Ｑ13，Ｑ5に着目し、この
４点からなるＢezier曲線を制御曲線と呼ぶことにす
る。曲面がうねっているときには、制御曲線の形状は曲
面のうねりと同じ挙動を示す。設計者は、制御曲線の形
状が意図したものとなるように制御点を移動する。この
ような曲面変形では、制御点と曲面形状の関係が明確に
なり、設計者が直観的に曲面形状を変形できる。
【００７２】制御曲線による局所変形 前述したような制御点を用いた曲面変形手法について以
下に説明する。図１２は、ＮＵＲＢＳ曲面のパラメタ線
を示す図である。ＮＵＲＢＳ曲面で内挿した曲面形状は
歪んでいる。図１３は、ＮＵＲＢＳ曲面の節点における
微分ベクトルから得られた制御点と制御曲線を表示した
図である。この図から、制御曲線は歪んでいることが分
かる。このケースでは、境界曲線Ｃ0，Ｃ2はそれぞれ９
個の節点を持ち、各節点でのパラメタ値は異なってい
る。制御曲線により形状を評価するために、同一パラメ
た値の節点を持つようにノットを挿入し、１８本の制御
曲線を示した。
下に説明する。図１２は、ＮＵＲＢＳ曲面のパラメタ線
を示す図である。ＮＵＲＢＳ曲面で内挿した曲面形状は
歪んでいる。図１３は、ＮＵＲＢＳ曲面の節点における
微分ベクトルから得られた制御点と制御曲線を表示した
図である。この図から、制御曲線は歪んでいることが分
かる。このケースでは、境界曲線Ｃ0，Ｃ2はそれぞれ９
個の節点を持ち、各節点でのパラメタ値は異なってい
る。制御曲線により形状を評価するために、同一パラメ
た値の節点を持つようにノットを挿入し、１８本の制御
曲線を示した。
【００７３】形状の歪みを補正するためには、節点上に
適切な制御ベクトルを設定することが必要である。そこ
で、以下の，のような手順によってこの歪みを補正
する。 制御ベクトルの設定：図１４の太線で示すような面を
分割する曲線を想定し、その曲線の端点における微分ベ
クトルを境界の制御ベクトルとして設定する（図１
５）。 境界のノットの設定：相対する２曲線のノットを各曲
線の節点で一致させる。ここでは、２曲線の各節点にお
けるパラメタ値の平均をとった。これによって、図１６
のようなパラメタ線となり、ゆがみの発生を抑制するこ
とができた。
適切な制御ベクトルを設定することが必要である。そこ
で、以下の，のような手順によってこの歪みを補正
する。 制御ベクトルの設定：図１４の太線で示すような面を
分割する曲線を想定し、その曲線の端点における微分ベ
クトルを境界の制御ベクトルとして設定する（図１
５）。 境界のノットの設定：相対する２曲線のノットを各曲
線の節点で一致させる。ここでは、２曲線の各節点にお
けるパラメタ値の平均をとった。これによって、図１６
のようなパラメタ線となり、ゆがみの発生を抑制するこ
とができた。
【００７４】図１７は、Ｇ1連続な２枚のＮＵＲＢＳ境
界Ｇregoryパッチの制御点と断面線を示す図である。こ
こで、制御点Ｑ1をＱ′1の位置に移動することによっ
て、曲面形状を変形する。このような場合、曲面形状を
変形することで曲面間の連続性が破壊されることは好ま
しくない。２点間のベクトルＱ0Ｑ1と境界曲線のＱ0に
おける微分ベクトルは、Ｑ0での接平面を定義してお
り、制御点Ｑ1を動かすことによってこの接平面は変化
する。したがって、隣接する曲面の制御点Ｑ2は、新し
い接平面上に設定しなおす必要がある。ここでは、
Ｑ0，Ｑ2間のベクトルの大きさを保ったままＱ2をＱ′2
に移動した。図１８は、移動後の制御点と断面線を示す
図である。この図から分かるように、移動した制御点に
対応する隣接面の制御点を接平面上に移動することによ
って、連続性を維持したままで曲面形状を変形すること
ができる。
界Ｇregoryパッチの制御点と断面線を示す図である。こ
こで、制御点Ｑ1をＱ′1の位置に移動することによっ
て、曲面形状を変形する。このような場合、曲面形状を
変形することで曲面間の連続性が破壊されることは好ま
しくない。２点間のベクトルＱ0Ｑ1と境界曲線のＱ0に
おける微分ベクトルは、Ｑ0での接平面を定義してお
り、制御点Ｑ1を動かすことによってこの接平面は変化
する。したがって、隣接する曲面の制御点Ｑ2は、新し
い接平面上に設定しなおす必要がある。ここでは、
Ｑ0，Ｑ2間のベクトルの大きさを保ったままＱ2をＱ′2
に移動した。図１８は、移動後の制御点と断面線を示す
図である。この図から分かるように、移動した制御点に
対応する隣接面の制御点を接平面上に移動することによ
って、連続性を維持したままで曲面形状を変形すること
ができる。
【００７５】曲面上の点による変形 前述したのは、境界におけるＣＢＤを考慮した形状変形
についての説明であった。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チでは、内挿される曲面が大きくなるために、ＣＢＤに
よる変形のみでは不十分である。曲面の内部形状を制御
するための１手法として、曲面上の任意の通過点を移動
する方法について以下に説明する。図１９は、４次に次
数上げしたＮＵＲＢＳ境界ＧregoryパッチのＣ曲面の制
御点を示す図である。制御点Ｐ22は、隣接する曲面との
接続には不要な点であり、次数上げによって生じた自由
度を表している。Ｃ曲面Ｓ[ｃ]と曲面上のパラメタｕ＝
ｕ0，ｖ＝ｖ0における通過点Ｓ(ｕ0，ｖ0)との関係は、
式（１）から
についての説明であった。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チでは、内挿される曲面が大きくなるために、ＣＢＤに
よる変形のみでは不十分である。曲面の内部形状を制御
するための１手法として、曲面上の任意の通過点を移動
する方法について以下に説明する。図１９は、４次に次
数上げしたＮＵＲＢＳ境界ＧregoryパッチのＣ曲面の制
御点を示す図である。制御点Ｐ22は、隣接する曲面との
接続には不要な点であり、次数上げによって生じた自由
度を表している。Ｃ曲面Ｓ[ｃ]と曲面上のパラメタｕ＝
ｕ0，ｖ＝ｖ0における通過点Ｓ(ｕ0，ｖ0)との関係は、
式（１）から
【００７６】
【数２２】
【００７７】のように表すことができる。ここで、Ｓ
(ｕ0，ｖ0)，Ｓ[ｕ](ｕ0，ｖ0)，Ｓ[ｖ](ｕ0，ｖ0)は既
知であるので、式（３６）の右辺は定数となる。式
（７）を４次に次数上げした場合、パラメタｕ0，ｖ0の
ときのＣ曲面は、双４次の有理Ｂezierパッチとして次
式のように表される。
(ｕ0，ｖ0)，Ｓ[ｕ](ｕ0，ｖ0)，Ｓ[ｖ](ｕ0，ｖ0)は既
知であるので、式（３６）の右辺は定数となる。式
（７）を４次に次数上げした場合、パラメタｕ0，ｖ0の
ときのＣ曲面は、双４次の有理Ｂezierパッチとして次
式のように表される。
【００７８】
【数２３】
【００７９】ただし、図１９の制御点のうちで、箱で括
った点Ｐij(ｉｊ＝１１，１３，３１，３３)と境界での
重複した点Ｐij(ｉ，ｊ＝０，１，３，４)は、指定され
たパラメタ値を式（８）から式（１５）に代入すること
で計算できる。このことから、境界と境界横断導関数を
表す制御点は既に決まっているので、未知数は、内部制
御点Ｐ22とその重みＷ22である。Ｗ22＝１と仮定する
と、Ｐ22は次式から得ることができる。
った点Ｐij(ｉｊ＝１１，１３，３１，３３)と境界での
重複した点Ｐij(ｉ，ｊ＝０，１，３，４)は、指定され
たパラメタ値を式（８）から式（１５）に代入すること
で計算できる。このことから、境界と境界横断導関数を
表す制御点は既に決まっているので、未知数は、内部制
御点Ｐ22とその重みＷ22である。Ｗ22＝１と仮定する
と、Ｐ22は次式から得ることができる。
【００８０】
【数２４】
【００８１】以上のことから、設計者は曲面上の任意の
点を指定し、曲面の内部形状を変形することが可能とな
る。図２０は、パラメタ値ｕ＝０.５，ｖ＝０.５におけ
るパラメタ線とその交点ＱおよびＣ曲面の制御点を示す
図である。ここで、点Ｑをベクトルｄだけ移動する。新
しい通過点は、Ｑ＋ｄで得られるので、式（３６）と式
（３７）から、変形後のＣ曲面の制御点を得ることがで
きる（図２１）。
点を指定し、曲面の内部形状を変形することが可能とな
る。図２０は、パラメタ値ｕ＝０.５，ｖ＝０.５におけ
るパラメタ線とその交点ＱおよびＣ曲面の制御点を示す
図である。ここで、点Ｑをベクトルｄだけ移動する。新
しい通過点は、Ｑ＋ｄで得られるので、式（３６）と式
（３７）から、変形後のＣ曲面の制御点を得ることがで
きる（図２１）。
【００８２】（４−２）フィレット面への応用 従来、Ｇregoryパッチを用いたフィレット面生成手法に
おいて、もとになる曲面が自由曲面のときには、複雑な
位相構造を生成していた。位相構造が複雑化することに
よって、データ量の増加や操作準の低下を引き起こす。
図２２は、Ｇregoryパッチを使ったフィレット面を表す
図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを用いて、こ
のようなフィレット面を単純な位相構造で表現するため
に、図２２に示すように、太線で囲まれた内部の稜線
は、Ｇregoryパッチを用いてフィレット面間をなめらか
に接続するために挿入されたものである。このような稜
線は、隣接面との連続性を保てれば不要である。そこ
で、稜線を挿入する代わりに、図２３に示すような制御
ベクトルをフィレット面の境界に付加し、ＮＵＲＢＳ境
界Ｇregoryパッチでフィレット面を表現する。制御ベク
トルは、従来手法によって生成された稜線の端点におけ
る接ベクトルを用いた。
おいて、もとになる曲面が自由曲面のときには、複雑な
位相構造を生成していた。位相構造が複雑化することに
よって、データ量の増加や操作準の低下を引き起こす。
図２２は、Ｇregoryパッチを使ったフィレット面を表す
図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを用いて、こ
のようなフィレット面を単純な位相構造で表現するため
に、図２２に示すように、太線で囲まれた内部の稜線
は、Ｇregoryパッチを用いてフィレット面間をなめらか
に接続するために挿入されたものである。このような稜
線は、隣接面との連続性を保てれば不要である。そこ
で、稜線を挿入する代わりに、図２３に示すような制御
ベクトルをフィレット面の境界に付加し、ＮＵＲＢＳ境
界Ｇregoryパッチでフィレット面を表現する。制御ベク
トルは、従来手法によって生成された稜線の端点におけ
る接ベクトルを用いた。
【００８３】図２４は、Ｇregoryパッチでフィレット面
を表現したときの断面線を示す図である。また、図２５
は、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチでフィレット面を表
現したときの断面線を示す図である。これらの図からわ
かるように、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによるフィ
レット面では、隣接面との連続性を失なわずに従来と同
等の曲面が得られることを示している。図２６は、自由
曲面と解析曲面の干渉線に対してフィレット面を生成し
た断面線を表示した図である。この図の左側は従来手法
により生成したメッシュを、右側は、従来手法で生成し
たフィレット内部の稜線の接ベクトルを制御ベクトルと
し、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチで内挿したときの断
面線を示した。詳細なフィレット面形状を必要としない
ケースでは、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによる内挿
が有効であることがわかる。
を表現したときの断面線を示す図である。また、図２５
は、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチでフィレット面を表
現したときの断面線を示す図である。これらの図からわ
かるように、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによるフィ
レット面では、隣接面との連続性を失なわずに従来と同
等の曲面が得られることを示している。図２６は、自由
曲面と解析曲面の干渉線に対してフィレット面を生成し
た断面線を表示した図である。この図の左側は従来手法
により生成したメッシュを、右側は、従来手法で生成し
たフィレット内部の稜線の接ベクトルを制御ベクトルと
し、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチで内挿したときの断
面線を示した。詳細なフィレット面形状を必要としない
ケースでは、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチによる内挿
が有効であることがわかる。
【００８４】（４−３）固定された曲面との接続 図２７は、ＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不規則な曲線メッシ
ュを表した図である。この図では、面Ｆ2はＢ−スプラ
イン曲面、面Ｆ3が制御点の重みが異なるＮＵＲＢＳ曲
面を表している。図２８は、これらの曲面間をＮＵＲＢ
Ｓ境界Ｇregoryパッチで内挿したときの断面線を示した
図である。この図から分かるように、Ｆ２とＦ３を滑ら
かに接続しているＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチが生成
されていることが分かる。
ュを表した図である。この図では、面Ｆ2はＢ−スプラ
イン曲面、面Ｆ3が制御点の重みが異なるＮＵＲＢＳ曲
面を表している。図２８は、これらの曲面間をＮＵＲＢ
Ｓ境界Ｇregoryパッチで内挿したときの断面線を示した
図である。この図から分かるように、Ｆ２とＦ３を滑ら
かに接続しているＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチが生成
されていることが分かる。
【００８５】
【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
は、ＮＵＲＢＳ曲線を含んだ不規則な曲線メッシュを、
滑らかに内挿するための曲面式とその形状制御方法を提
案したものである。また、この曲面式は一般境界Ｇrego
ryパッチを拡張し、境界横断導関数としてＮＵＲＢＳ表
現を許したものである。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
で曲面メッシュを内挿したときの利点としては以下の
（１）〜（６）が挙げられる。 （１）ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする２枚の曲面を滑らか
に接続できる。 （２）ＮＵＲＢＳ曲線を境界とすることで、シンプルな
曲線メッシュで複雑な曲面形状を扱うことができる。 （３）曲面のＣＢＤと内部通過点による直観的な形状変
形が可能となる。 （４）フィレット面生成による曲面メッシュの複雑化を
抑制することができる。 （５）隣接するＧregoryパッチ、有理境界Ｇregoryパッ
チ、一般境界Ｇregoryパッチ、ＮＵＲＢＳ曲面となめら
にか接続できる。 （６）制御点をベースにしているので、一般Ｃoonsパッ
チよりも直感的に形状変形できる。 また、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを用いることで、
設計者は隣接面との連続性や曲線のタイプを意識するこ
となく、直観的に形状を制御できる。したがって、曲面
を設計する上でＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは強力な
ツールとなる。
は、ＮＵＲＢＳ曲線を含んだ不規則な曲線メッシュを、
滑らかに内挿するための曲面式とその形状制御方法を提
案したものである。また、この曲面式は一般境界Ｇrego
ryパッチを拡張し、境界横断導関数としてＮＵＲＢＳ表
現を許したものである。ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチ
で曲面メッシュを内挿したときの利点としては以下の
（１）〜（６）が挙げられる。 （１）ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする２枚の曲面を滑らか
に接続できる。 （２）ＮＵＲＢＳ曲線を境界とすることで、シンプルな
曲線メッシュで複雑な曲面形状を扱うことができる。 （３）曲面のＣＢＤと内部通過点による直観的な形状変
形が可能となる。 （４）フィレット面生成による曲面メッシュの複雑化を
抑制することができる。 （５）隣接するＧregoryパッチ、有理境界Ｇregoryパッ
チ、一般境界Ｇregoryパッチ、ＮＵＲＢＳ曲面となめら
にか接続できる。 （６）制御点をベースにしているので、一般Ｃoonsパッ
チよりも直感的に形状変形できる。 また、ＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチを用いることで、
設計者は隣接面との連続性や曲線のタイプを意識するこ
となく、直観的に形状を制御できる。したがって、曲面
を設計する上でＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッチは強力な
ツールとなる。
【図１】 本発明による自由曲面生成方法を説明するた
めのフローチャートである。
めのフローチャートである。
【図２】 本発明による曲線メッシュを内挿する過程を
説明するためのフローチャートである。
説明するためのフローチャートである。
【図３】 本発明による境界横断導関数の設定を説明す
るためのフローチャートである。
るためのフローチャートである。
【図４】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チの概念図である。
チの概念図である。
【図５】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チのＵ曲面を示す図である。
チのＵ曲面を示す図である。
【図６】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チのＶ曲線を示す図である。
チのＶ曲線を示す図である。
【図７】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チのＬ曲線を示す図である。
チのＬ曲線を示す図である。
【図８】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパッ
チ間の接続を示す図である。
チ間の接続を示す図である。
【図９】 本発明におけるＮＵＲＢＳ曲面との接続を示
す図である。
す図である。
【図１０】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパ
ッチによる内挿を示す図である。
ッチによる内挿を示す図である。
【図１１】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパ
ッチの制御点を示す図である。
ッチの制御点を示す図である。
【図１２】 本発明におけるＮＵＲＢＳ曲面のパラメタ
線を示す図である。
線を示す図である。
【図１３】 本発明におけるＮＵＲＢＳ曲面の節点にお
ける微分ベクトルを示す図である。
ける微分ベクトルを示す図である。
【図１４】 本発明におけるＧregoryパッチのパラメタ
線を示す図である。
線を示す図である。
【図１５】 本発明における補正した曲面の制御点を示
す図である。
す図である。
【図１６】 本発明における補正した曲面のパラメタ線
を示す図である。
を示す図である。
【図１７】 本発明における連続性を維持した形状変形
を示す図である。
を示す図である。
【図１８】 本発明における連続性を維持した形状変形
例を示す図である。
例を示す図である。
【図１９】 本発明におけるＣ曲面の制御点を示す図で
ある。
ある。
【図２０】 本発明における曲面上の点指定による形状
変形例を示す図である。
変形例を示す図である。
【図２１】 本発明における変形後の制御点とパラメタ
線を示す図である。
線を示す図である。
【図２２】 本発明におけるＧregoryパッチを使ったフ
ィレット面の表現を示す図である。
ィレット面の表現を示す図である。
【図２３】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパ
ッチを使ったフィレット面の表現を示す図である。
ッチを使ったフィレット面の表現を示す図である。
【図２４】 本発明におけるＧregoryパッチを使ったフ
ィレット面の断面線を示す図である。
ィレット面の断面線を示す図である。
【図２５】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパ
ッチを使ったフィレット面のの断面線（その１）を示す
図である。
ッチを使ったフィレット面のの断面線（その１）を示す
図である。
【図２６】 本発明におけるＮＵＲＢＳ境界Ｇregoryパ
ッチを使ったフィレット面の断面線（その２）を示す図
である。
ッチを使ったフィレット面の断面線（その２）を示す図
である。
【図２７】 本発明におけるＮＵＲＢＳ曲面を含んだ不
規則な曲線メッシュを示す図である。
規則な曲線メッシュを示す図である。
【図２８】 本発明における断面線表示を示す図であ
る。
る。
【手続補正書】
【提出日】平成６年５月１１日
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００３
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００３】ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面を用いた
自由曲面の表現方法は、数多く提案されている。前記文
献には、ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面の幾何学的
な特性や形状設計手法が記載されている。具体的には、
ＮＵＲＢＳ表現の特徴、再パラメータ化、微分法、制御
点と重みによる形状制御方法である。このような技術を
用いて、ＮＵＲＢＳ曲面による自由曲面生成や制御が可
能である。前記文献には、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチや一
般境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いた自由曲面の形状変
形法が記載されている。具体的には、境界横断導関数を
明示的に指定した曲面の接続と内挿、境界横断導関数に
よる曲面形状の変形法である。前記文献には、有理境
界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いたなめらかな曲面形状の
生成方法が記載されている。
自由曲面の表現方法は、数多く提案されている。前記文
献には、ＮＵＲＢＳ曲線、ＮＵＲＢＳ曲面の幾何学的
な特性や形状設計手法が記載されている。具体的には、
ＮＵＲＢＳ表現の特徴、再パラメータ化、微分法、制御
点と重みによる形状制御方法である。このような技術を
用いて、ＮＵＲＢＳ曲面による自由曲面生成や制御が可
能である。前記文献には、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチや一
般境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いた自由曲面の形状変
形法が記載されている。具体的には、境界横断導関数を
明示的に指定した曲面の接続と内挿、境界横断導関数に
よる曲面形状の変形法である。前記文献には、有理境
界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いたなめらかな曲面形状の
生成方法が記載されている。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００７
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００７】
【作用】ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチは、一般
境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを拡張したもので、Ｇｒｅｇ
ｏｒｙパッチ、有理境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチ、一般境
界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの特徴を継承した曲面表現であ
る。（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチによる
内挿方法によって、例えば、ＮＵＲＢＳ曲線を共有境界
とする２枚の曲面間を滑らかに接続することができる。
また、（２）曲線メッシュのすべての曲線に対して、共
有境界を滑らかに内挿する内部制御点を発生し、これら
の内部制御点からＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチ
を生成する。この結果、隣接する曲面となめらかに接続
された自由曲面を生成することができる。また、（３）
曲面を設計する上では隣接する曲面形状を固定したまま
で、形状設計することがある。このような場合には、固
定された曲面となめらかに接続される自由曲面を生成す
る必要がある。（４）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパ
ッチは、ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする。ＮＵＲＢＳ曲線
は区分有理／多項式で表現され、Ｂｅｚｉｅｒ曲線や有
理Ｂｅｚｉｅｒ曲線の集りと考えることができる。この
ため、ＮＵＲＢＳ曲線で囲まれた領域は大きな曲面とな
り、従来複雑な曲線メッシュで表現された形状が、より
少ない曲線で表現できることから形状の把握が容易にな
る。（５）ＮＵＲＢＳ曲線は自由曲面の切断やフィレッ
ト面生成によって曲線メッシュ内に現れる。従来は、複
数のパッチによってこのような領域を内挿していたが、
曲線の形状によっては歪んだ曲面が生成される。特に、
位相的に４角形な領域もＮＵＲＢＳ曲線を境界としたと
きには歪む可能性が高い。このような場合にも、ＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチでは１枚の自由曲面でメ
ッシュを内挿できるので歪みが発生しない。（６）生成
された曲面形状を変形する場合には、隣接面との連続性
や、曲線、曲面のタイプを考慮する必要がある。これ
は、設計者にとって大きな負担となる。設計者が形状変
形に専念するための手法が望まれる。ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
ｒｅｇｏｒｙパッチを用いることによって境界横断導関
数を明示的に指定し、境界での接平面を容易に制御でき
る。また、曲面上の任意の点をつまんで移動することが
できるので、設計者は形状変形のみに専念できる。
境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを拡張したもので、Ｇｒｅｇ
ｏｒｙパッチ、有理境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチ、一般境
界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの特徴を継承した曲面表現であ
る。（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチによる
内挿方法によって、例えば、ＮＵＲＢＳ曲線を共有境界
とする２枚の曲面間を滑らかに接続することができる。
また、（２）曲線メッシュのすべての曲線に対して、共
有境界を滑らかに内挿する内部制御点を発生し、これら
の内部制御点からＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチ
を生成する。この結果、隣接する曲面となめらかに接続
された自由曲面を生成することができる。また、（３）
曲面を設計する上では隣接する曲面形状を固定したまま
で、形状設計することがある。このような場合には、固
定された曲面となめらかに接続される自由曲面を生成す
る必要がある。（４）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパ
ッチは、ＮＵＲＢＳ曲線を境界とする。ＮＵＲＢＳ曲線
は区分有理／多項式で表現され、Ｂｅｚｉｅｒ曲線や有
理Ｂｅｚｉｅｒ曲線の集りと考えることができる。この
ため、ＮＵＲＢＳ曲線で囲まれた領域は大きな曲面とな
り、従来複雑な曲線メッシュで表現された形状が、より
少ない曲線で表現できることから形状の把握が容易にな
る。（５）ＮＵＲＢＳ曲線は自由曲面の切断やフィレッ
ト面生成によって曲線メッシュ内に現れる。従来は、複
数のパッチによってこのような領域を内挿していたが、
曲線の形状によっては歪んだ曲面が生成される。特に、
位相的に４角形な領域もＮＵＲＢＳ曲線を境界としたと
きには歪む可能性が高い。このような場合にも、ＮＵＲ
ＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチでは１枚の自由曲面でメ
ッシュを内挿できるので歪みが発生しない。（６）生成
された曲面形状を変形する場合には、隣接面との連続性
や、曲線、曲面のタイプを考慮する必要がある。これ
は、設計者にとって大きな負担となる。設計者が形状変
形に専念するための手法が望まれる。ＮＵＲＢＳ境界Ｇ
ｒｅｇｏｒｙパッチを用いることによって境界横断導関
数を明示的に指定し、境界での接平面を容易に制御でき
る。また、曲面上の任意の点をつまんで移動することが
できるので、設計者は形状変形のみに専念できる。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００１２】（１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッ
チの表現式と特徴について以下に説明する。 （１−１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの概念 ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチは、一般境界Ｇｒ
ｅｇｏｒｙパッチを拡張した曲面で、境界曲線としてＮ
ＵＲＢＳ曲線を許した曲面表現である。図４（ａ）〜
（ｄ）は、ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの概念
図である。ＮＵＲＢＳ境界ＧｒｅｇｏｒｙパッチＳ
（ｕ，ｖ）は以下のような式で表される。
チの表現式と特徴について以下に説明する。 （１−１）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの概念 ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチは、一般境界Ｇｒ
ｅｇｏｒｙパッチを拡張した曲面で、境界曲線としてＮ
ＵＲＢＳ曲線を許した曲面表現である。図４（ａ）〜
（ｄ）は、ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチの概念
図である。ＮＵＲＢＳ境界ＧｒｅｇｏｒｙパッチＳ
（ｕ，ｖ）は以下のような式で表される。
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１５
【補正方法】変更
【補正内容】
【００１５】
【表１】
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１７
【補正方法】変更
【補正内容】
【００１７】（１−２）ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙ
パッチの表現形式 ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチは、一般境界Ｇｒ
ｅｇｏｒｙパッチを拡張し、ＣＢＤ関数としてＮＵＲＢ
Ｓ表現を許したものであり、境界曲線がＮＵＲＢＳ曲線
となる曲面表現である。以下では、式（１）の各項がど
のような式で表されるかを述べる。Ｓ［ｕ］，Ｓ［ｖ］
はパラメタ空間が異なるが表現は同じと考えてよいの
で、Ｓ［ｕ］，Ｓ［ｃ］の式を説明する。Ｓ［ｕ］は、
２本の境界曲線Ｃ３，Ｃ１とこれらのＣＢＤ関数によっ
て表される。曲線Ｃ３，Ｃ１は、ｎ＋１個の制御点Ｐ
［ｕ／０，ｊ］とその重みｗ［ｕ／０，ｊ］，Ｐ［ｕ／
３，ｊ］とその重みｗ［ｕ／３，ｊ］をもつｋ次のＮＵ
ＲＢＳ曲線である。
パッチの表現形式 ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチは、一般境界Ｇｒ
ｅｇｏｒｙパッチを拡張し、ＣＢＤ関数としてＮＵＲＢ
Ｓ表現を許したものであり、境界曲線がＮＵＲＢＳ曲線
となる曲面表現である。以下では、式（１）の各項がど
のような式で表されるかを述べる。Ｓ［ｕ］，Ｓ［ｖ］
はパラメタ空間が異なるが表現は同じと考えてよいの
で、Ｓ［ｕ］，Ｓ［ｃ］の式を説明する。Ｓ［ｕ］は、
２本の境界曲線Ｃ３，Ｃ１とこれらのＣＢＤ関数によっ
て表される。曲線Ｃ３，Ｃ１は、ｎ＋１個の制御点Ｐ
［ｕ／０，ｊ］とその重みｗ［ｕ／０，ｊ］，Ｐ［ｕ／
３，ｊ］とその重みｗ［ｕ／３，ｊ］をもつｋ次のＮＵ
ＲＢＳ曲線である。
【手続補正６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３１
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３１】Ｓ［ｃ］は、３２個の制御点を持つ曲面で
あり、図７は、その制御点と重みの配置図を示してい
る。この図から分かるように、境界を表す制御点とＣＢ
Ｄを表す制御点は全て２重に持っている。制御点Ｐ［ｄ
／ｉｊ０］と重みｗ［ｄ／ｉｊ０］の項はパラメタ値ｕ
＝０またはｕ＝１のときには０になり、制御点Ｐ［ｄ／
ｉｊ１］と重みｗ［ｄ／ｉｊ１］の項はパラメタ値ｖ＝
０またはｖ＝１のときには０になる。このことから、Ｐ
［ｄ／ｉｊ０］，ｗ［ｄ／ｉｊ０］は、Ｕ曲面から、Ｐ
［ｄ／ｉｊ１］，ｗ［ｄ／ｉｊ１］は、Ｖ曲面から得る
ことができる。式（６）を式（７）に適用すると、制御
点Ｐ［ｄ／ｉｊ０］と重みｗ［ｄ／ｉｊ０］は、以下の
ような定義できる。
あり、図７は、その制御点と重みの配置図を示してい
る。この図から分かるように、境界を表す制御点とＣＢ
Ｄを表す制御点は全て２重に持っている。制御点Ｐ［ｄ
／ｉｊ０］と重みｗ［ｄ／ｉｊ０］の項はパラメタ値ｕ
＝０またはｕ＝１のときには０になり、制御点Ｐ［ｄ／
ｉｊ１］と重みｗ［ｄ／ｉｊ１］の項はパラメタ値ｖ＝
０またはｖ＝１のときには０になる。このことから、Ｐ
［ｄ／ｉｊ０］，ｗ［ｄ／ｉｊ０］は、Ｕ曲面から、Ｐ
［ｄ／ｉｊ１］，ｗ［ｄ／ｉｊ１］は、Ｖ曲面から得る
ことができる。式（６）を式（７）に適用すると、制御
点Ｐ［ｄ／ｉｊ０］と重みｗ［ｄ／ｉｊ０］は、以下の
ような定義できる。
【手続補正７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４２】とおく（ｉ＝０，…，９；ｊ＝０，…，
８）。ただし、Ｐ［１ｕ／２ｉ］，Ｐ［１ｕ／３ｉ］は
Ｕ曲面Ｓ［１ｕ］の制御点、Ｐ［２ｕ／０ｉ］，Ｐ［２
ｕ／１ｉ］はＵ曲面Ｓ［２ｕ］の制御点、Ｐ［１ｕ／ｊ
３］は境界上の制御点とする。これらのベクトルは、曲
面の境界における微分ベクトルを表している。しかし、
一般に式（５）のｕ，ｖ方向の微分式は複雑になり、Ｇ
１連続の条件式を直接解くのは困難である。
８）。ただし、Ｐ［１ｕ／２ｉ］，Ｐ［１ｕ／３ｉ］は
Ｕ曲面Ｓ［１ｕ］の制御点、Ｐ［２ｕ／０ｉ］，Ｐ［２
ｕ／１ｉ］はＵ曲面Ｓ［２ｕ］の制御点、Ｐ［１ｕ／ｊ
３］は境界上の制御点とする。これらのベクトルは、曲
面の境界における微分ベクトルを表している。しかし、
一般に式（５）のｕ，ｖ方向の微分式は複雑になり、Ｇ
１連続の条件式を直接解くのは困難である。
【手続補正８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４４
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４４】境界曲線の区分曲線間の接続を行う場合、
境界曲線の端点につながる曲線からｂ０，ｂ９は得ら
れ、前述したようにａｉ，ｂｉ（ｉ＝３，６）は既知で
あるので、各ノットからノットまでの区分有理Ｂｅｚｉ
ｅｒ曲線間の接続問題を解けばよい。一例として、
ｂ１，ｂ２を求めるプロセスを説明する。このプロセス
は、大別して２つに分けられる。１つは、境界両側の制
御点間ベクトルａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２が未知数になっ
ているケースで、基礎パッチ法を用いることによってこ
れらを計算する。もう１つは、曲面Ｓ１がすでに固定さ
れている状況で、ｂ１，ｂ２を求めるケースである。
境界曲線の端点につながる曲線からｂ０，ｂ９は得ら
れ、前述したようにａｉ，ｂｉ（ｉ＝３，６）は既知で
あるので、各ノットからノットまでの区分有理Ｂｅｚｉ
ｅｒ曲線間の接続問題を解けばよい。一例として、
ｂ１，ｂ２を求めるプロセスを説明する。このプロセス
は、大別して２つに分けられる。１つは、境界両側の制
御点間ベクトルａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２が未知数になっ
ているケースで、基礎パッチ法を用いることによってこ
れらを計算する。もう１つは、曲面Ｓ１がすでに固定さ
れている状況で、ｂ１，ｂ２を求めるケースである。
【手続補正９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４５
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４５】基礎パッチ法による接続 区分境界曲線に関係する制御点とその重みＰ［１ｕ／ｉ
ｊ］，ｗ［１ｕ／ｉｊ］（ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，
３），Ｐ［２ｕ／ｉｊ］，ｗ［２ｕ／ｉｊ］（ｉ＝０，
１；ｊ＝０，…，３）に対して、式（２１）を適用す
る。このとき、式（５）の微分式を簡略化するために、
重みに以下のような制限を設ける。
ｊ］，ｗ［１ｕ／ｉｊ］（ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，
３），Ｐ［２ｕ／ｉｊ］，ｗ［２ｕ／ｉｊ］（ｉ＝０，
１；ｊ＝０，…，３）に対して、式（２１）を適用す
る。このとき、式（５）の微分式を簡略化するために、
重みに以下のような制限を設ける。
【手続補正１０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５１
【補正方法】変更
【補正内容】
【００５１】ただし、ｍは次数、ｗ ｊは曲面Ｓ２の重み
を表し、Ｂ［ｍ／ｊ］（ｖ）は次式のようなＢｅｒｎｓ
ｔｅｉｎ多項式とする。
を表し、Ｂ［ｍ／ｊ］（ｖ）は次式のようなＢｅｒｎｓ
ｔｅｉｎ多項式とする。
【手続補正１１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５５
【補正方法】変更
【補正内容】
【００５５】のように求められる。基礎パッチ法による
有理Ｂｅｚｉｅｒ曲線間の一般的な接続方法について
は、前述した参考文献に記載されている。
有理Ｂｅｚｉｅｒ曲線間の一般的な接続方法について
は、前述した参考文献に記載されている。
【手続補正１２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５６
【補正方法】変更
【補正内容】
【００５６】固定された曲面との接続 図９は、ＮＵＲＢＳ曲面との接続方法を示す図である。
区分境界曲線に関する制御点とが重みＰ［１ｕ／ｉ
ｊ］，ｗ［１ｕ／ｉｊ］（ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，
３），Ｐ［２ｕ／ｉｊ］，ｗ［２ｕ／ｉｊ］（ｉ＝０，
１；ｊ＝０，…，４）を、式（２１）に適用する。この
場合、すでに固定されている曲面Ｓ１の次数は３次とす
る。また、Ｕ曲面の境界横断導関数は共有境界につなが
る境界曲線Ｃ０の微分ベクトルに依存しない。したがっ
て境界が不規則なケースのときにｈ（ｖ）＝０と仮定し
ても、接続時の一般性は失われない。このことから、式
（２１）は以下のように書き直すことができる。
区分境界曲線に関する制御点とが重みＰ［１ｕ／ｉ
ｊ］，ｗ［１ｕ／ｉｊ］（ｉ＝２，３；ｊ＝０，…，
３），Ｐ［２ｕ／ｉｊ］，ｗ［２ｕ／ｉｊ］（ｉ＝０，
１；ｊ＝０，…，４）を、式（２１）に適用する。この
場合、すでに固定されている曲面Ｓ１の次数は３次とす
る。また、Ｕ曲面の境界横断導関数は共有境界につなが
る境界曲線Ｃ０の微分ベクトルに依存しない。したがっ
て境界が不規則なケースのときにｈ（ｖ）＝０と仮定し
ても、接続時の一般性は失われない。このことから、式
（２１）は以下のように書き直すことができる。
【手続補正１３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００６０
【補正方法】変更
【補正内容】
【００６０】まず、区分境界の端点つながる制御点間ベ
クトルｂ０とｂ４を決定する。これらのベクトルは、境
界曲線の端点Ｐ［１ｕ／３０］，Ｐ［１ｕ／３３］にお
ける接平面上にあり、制御点間ベクトルａ０，ａ３とそ
れぞれ同一直線上に存在するように設定することによっ
て、式（２９）を満たす。従って、制御点間ベクトルｂ
０はその大きさを曲線Ｃ０の制御点間ベクトル（Ｐ−Ｐ
［２ｕ／００］）と同じとし、ａ０と同じ方向のベクト
ルとする。ｂ４は、境界の節点における制御ベクトルで
あるので、前述した条件を満たせば任意の大きさで設定
してよい。また、これらの制御点での重みは、ｗ［２ｕ
／１０］＝ｗ［１ｕ／２０］＝ｗ［２ｕ／１４］＝ｗ
［１ｕ／２３］となるように設定しておく。ｋ０，ｋ１
は境界曲線の端点の条件から以下のように容易に計算で
きる。
クトルｂ０とｂ４を決定する。これらのベクトルは、境
界曲線の端点Ｐ［１ｕ／３０］，Ｐ［１ｕ／３３］にお
ける接平面上にあり、制御点間ベクトルａ０，ａ３とそ
れぞれ同一直線上に存在するように設定することによっ
て、式（２９）を満たす。従って、制御点間ベクトルｂ
０はその大きさを曲線Ｃ０の制御点間ベクトル（Ｐ−Ｐ
［２ｕ／００］）と同じとし、ａ０と同じ方向のベクト
ルとする。ｂ４は、境界の節点における制御ベクトルで
あるので、前述した条件を満たせば任意の大きさで設定
してよい。また、これらの制御点での重みは、ｗ［２ｕ
／１０］＝ｗ［１ｕ／２０］＝ｗ［２ｕ／１４］＝ｗ
［１ｕ／２３］となるように設定しておく。ｋ０，ｋ１
は境界曲線の端点の条件から以下のように容易に計算で
きる。
【手続補正１４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００７９
【補正方法】変更
【補正内容】
【００７９】ただし、図１９の制御点のうちで、箱で括
った点Ｐｉｊ（ｉｊ＝１１，１３，３１，３３）と境界
での重複した点Ｐｉｊ（ｉ，ｊ＝０，１，３，４）は、
指定されたパラメタ値を式（８）から式（１５）に代入
することで計算できる。このことから、境界と境界横断
導関数を表す制御点は既に決まっているので、未知数
は、内部制御点Ｐ２２とその重みｗ ２２である。ｗ ２２
＝１と仮定すると、Ｐ２２は次式から得ることができ
る。
った点Ｐｉｊ（ｉｊ＝１１，１３，３１，３３）と境界
での重複した点Ｐｉｊ（ｉ，ｊ＝０，１，３，４）は、
指定されたパラメタ値を式（８）から式（１５）に代入
することで計算できる。このことから、境界と境界横断
導関数を表す制御点は既に決まっているので、未知数
は、内部制御点Ｐ２２とその重みｗ ２２である。ｗ ２２
＝１と仮定すると、Ｐ２２は次式から得ることができ
る。
【手続補正１５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００８０
【補正方法】変更
【補正内容】
【００８０】
【数２４】
【手続補正１６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００８２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００８２】（４−２）フィレット面への応用 従来、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いたフィレット面生成
手法において、もとになる曲面が自由曲面のときには、
複雑な位相構造を生成していた。位相構造が複雑化する
ことによって、データ量の増加や操作性の低下を引き起
こす。図２２は、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを使ったフィレ
ット面を表す図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙ
パッチを用いて、このようなフィレット面を単純な位相
構造で表現することを考える。図２２の太線で囲まれた
内部の稜線は、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いてフィレッ
ト面間をなめらかに接続するために挿入されたものであ
る。このような稜線は、隣接面との連続性を保てれば不
要である。そこで、稜線を挿入する代わりに、図２３に
示すような制御ベクトルをフィレット面の境界に付加
し、ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチでフィレット
面を表現する。制御ベクトルは、従来手法によって生成
された稜線の端点における接ベクトルを用いた。
手法において、もとになる曲面が自由曲面のときには、
複雑な位相構造を生成していた。位相構造が複雑化する
ことによって、データ量の増加や操作性の低下を引き起
こす。図２２は、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを使ったフィレ
ット面を表す図である。ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙ
パッチを用いて、このようなフィレット面を単純な位相
構造で表現することを考える。図２２の太線で囲まれた
内部の稜線は、Ｇｒｅｇｏｒｙパッチを用いてフィレッ
ト面間をなめらかに接続するために挿入されたものであ
る。このような稜線は、隣接面との連続性を保てれば不
要である。そこで、稜線を挿入する代わりに、図２３に
示すような制御ベクトルをフィレット面の境界に付加
し、ＮＵＲＢＳ境界Ｇｒｅｇｏｒｙパッチでフィレット
面を表現する。制御ベクトルは、従来手法によって生成
された稜線の端点における接ベクトルを用いた。
Claims (6)
- 【請求項１】 有理Ｂ−スプライン曲線を共有境界とす
る２枚の曲面を生成する場合に、境界曲線と各境界曲線
に繋がる曲線から境界での連続性を判定し、求められた
連続性から境界での接続条件を求め、求められた接続条
件から面の内部制御点を生成することによって隣合う２
枚の自由曲面形状を滑らかに接続することを特徴とする
自由曲面生成方法。 - 【請求項２】 請求項１記載の接続方法を用いて、すべ
ての境界曲線での内部制御点を生成し、該内部制御点を
組み合わせることによって、なめらかな自由曲面を生成
することを特徴とする自由曲面生成方法。 - 【請求項３】 請求項２記載の自由曲面生成方法および
その曲面表現を用いることによって、隣接する有理Ｂ−
スプライン曲面と滑らかに接続する自由曲面を生成する
ことを特徴とする自由曲面生成方法。 - 【請求項４】 請求項２記載の自由曲面生成方法および
その曲面表現を用いることによって、複雑な曲面メッシ
ュをより少ない曲線で表現することを特徴とする自由曲
面生成方法。 - 【請求項５】 請求項２記載の自由曲面生成方法および
その曲面表現を用いることによって、自由曲面間のフィ
レット面を１枚の曲面で表現することを特徴とする自由
曲面生成方法。 - 【請求項６】 請求項２記載の自由曲面生成方法および
その曲面表現を用いることによって、境界での微分ベク
トルを指定し、曲面形状を容易に変形できることを特徴
とする自由曲面形状の制御方法。
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP6070619A JPH07282117A (ja) | 1994-04-08 | 1994-04-08 | 自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法 |
| US08/925,770 US5883631A (en) | 1994-04-08 | 1997-09-09 | Free-form surface generation from detected geometric continuity on common NURBS boundary curve |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP6070619A JPH07282117A (ja) | 1994-04-08 | 1994-04-08 | 自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH07282117A true JPH07282117A (ja) | 1995-10-27 |
Family
ID=13436811
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP6070619A Pending JPH07282117A (ja) | 1994-04-08 | 1994-04-08 | 自由曲面生成方法及び自由曲面形状の制御方法 |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| US (1) | US5883631A (ja) |
| JP (1) | JPH07282117A (ja) |
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| US6853373B2 (en) | 2001-04-25 | 2005-02-08 | Raindrop Geomagic, Inc. | Methods, apparatus and computer program products for modeling three-dimensional colored objects |
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| CN1290065C (zh) * | 2001-12-14 | 2006-12-13 | Sgdl;系统有限公司 | 在n维空间产生m次图形的方法和设备 |
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| US5883631A (en) | 1999-03-16 |
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