JP2875294B2

JP2875294B2 - 自由曲面生成方式

Info

Publication number: JP2875294B2
Application number: JP1218314A
Authority: JP
Inventors: 禎二高村; 晃市今野
Original assignee: Ricoh Co Ltd
Current assignee: Ricoh Co Ltd
Priority date: 1989-08-24
Filing date: 1989-08-24
Publication date: 1999-03-31
Anticipated expiration: 2014-03-31
Also published as: JPH0380373A

Description

【発明の詳細な説明】技術分野本発明は、三次元立体形状処理装置に関し、より詳細
には、有理曲線を含む立体形状での自由曲面生成方式に
関する。

従来技術計算機上で三次元形状を表現する場合、複雑な自由曲
面をどのようにモデル化するかが重要な課題となる。曲
面をモデル化する一つの手法として、最初に曲面の輪郭
を表す曲線モデルを作成し、その曲線モデルから面を内
挿する手法がある。例えば、自由曲面の特徴を抽出した
断面線を入力し、システムがその断面線の間に自由曲面
を生成する断面線入力法や、多面体で自由曲面を近似し
た形状を入力した後で、多面体から自由曲面を生成する
ポリゴン入力法がある。このような手法では、設計者は
最終形状の特徴を抽出した曲線だけを意識すればよく、
自由曲面の形状そのものを作成するよりも負担が少な
い。

設計者が自由に曲線モデルを作成する過程において、
メッシュに囲まれた面が三角形面や五角形面のような非
四辺形面になることがある。また、作成された曲線モデ
ルが、円柱面、円錐面、球面などの二次曲面形状を正確
に表現している場合もある。この二次曲面形状を正確に
表現するためには、境界曲線に有理曲線を用いなければ
ならない。このように、設計者が意図した形状を作成す
る過程では、不規則な境界曲線を持った曲線モデルが現
れ、かつその曲線モデルには有理曲線が使われることも
ある。不規則な曲線モデルをG¹連続（G¹は滑らかさの度
合を示し、再パラメータ化することによってC¹になる状
態を示す。）になるように自由曲面で内挿する手法は、
曲線モデルが多項式で表わされている場合にのみ可能で
あった。しかしこの従来の手法では、有理曲線を含んだ
曲線モデルを自由曲面でG¹連続になるように、内挿する
ことができなかった。

本発明に係る従来技術の文献としては以下のものがあ
る。

L Piegl and Wayne Tiller,“Curve and surface co
nstructions using rational B-splines",computeraide
d design,Vol.19,No.9,May,1987,pp201-212. 千代倉弘明著「ソリッドモデリング」（工業調査会発
行昭60-4-30）。

このような従来技術では、境界曲線が有理曲線でない
ときに自由曲面を生成できた。

第６図（ａ），（ｂ）に示されるような曲線メッシュ
で囲まれた領域が非四辺形のときや、曲線の節点が四つ
の曲線と接していないものを不規則な曲線モデルと呼
ぶ。特に、第７図のように一枚の面F₁に二枚の面F₂,F₃
が接続されている場合、節点v₁をＴ節点（T-node）と呼
ぶ。Bezierパッチを用いてG¹連続となるように自由曲面
を生成するためには、曲線メッシュが規則正しくなけれ
ばいけないので、第６図や第７図に示される曲線メッシ
ュで囲まれた領域には自由曲面を生成できなかった。こ
の問題を解決するために、Gregoryパッチを用いた曲線
メッシュ内挿法によって、任意のBezier曲線で表わされ
た曲線モデルに対して、G¹連続を保証した自由曲面を生
成する手法が提案されている。しかし、円柱面、円錐
面、球面のような二次曲面と自由曲面が混在するような
曲線モデルを作る場合には、曲線メッシュの一部に有理
曲線が使われる。この有理境界メッシュに対して、従来
のGregoryパッチを有理化した式からG¹の条件式を導び
こうとすると、条件式が複雑になり容易に解くことがで
きない。同様に、規則正しい有理境界メッシュに対し
て、Bezierパッチを有理化した式から導いたG¹連続の条
件式も複雑になるので、容易に解くことができない。第
８図は、曲線メッシュの一部に二次曲面やGregoryパッ
チが混在するような複数種類のパッチを示す図である。
このように、今まで存在していた曲面式では、有理境界
メッシュに対して、G¹連続になるように曲面を内挿する
ことができなかった。

目的本発明は、上述のごとき実情に鑑みてなされたもの
で、連続性を保ちながら三つ以上の有理曲線を含む境界
曲線を持つ面上に自由曲面を生成することができるよう
な自由曲面生成方式を提供することを目的としてなされ
たものである。

構成本発明は、上記目的を達成するために、有理曲線で境
界を囲まれた面に対して、境界曲線と各境界曲線に繋が
る曲線から境界での連続性を判定する判定部と、該判定
部で求めた連続性から境界での接続条件を求める条件設
定部と、該条件設定部で求めた接続条件から面の内部制
御点を生成する生成部とによって自由曲面を発生させる
ことを特徴としたものである。

本発明の自由曲面生成方式では、曲面の表現式として
双三次有理境界Gregoryパッチを用いる。この曲面生成
方式を述べる前に、有理境界Gregoryパッチの特徴を説
明する。ここで有理境界Gregoryパッチは、特にことわ
らないかぎり双三次であるとする。有理境界Gregoryパ
ッチは、第９図に示されるように、20個の制御点で表現
される。境界曲線を定義している各制御点は、パッチの
パラメタu,vの各方向でそれぞれ異なった重みを持つ。
また、有理境界曲線上での微分ベクトルが簡単に定義で
きるので、有理曲線をはさんだパッチ間の接続の式を容
易に導くことができる。この有理境界Gregoryパッチの
制御点を P_i,j,k（ｉ＝0,…,3,j＝0,…,3,k＝0,1）と表すと曲面
の表現式は、以下のようになる。

とする。パッチの各制御点と各制御点での重みは、以
下のように表される。

このパッチ式は、以下のような特徴を持っている。

重みが０以上のときには、Gregoryパッチと同様に、
凸閉包性を持つ。これは、曲面上の任意の点は、曲面の
制御点で囲まれた領域の内部に存在するという性質であ
る。この性質から、曲面間の干渉についてのラフチェッ
クを高速に行うことができる。

双三次の有理境界Gregoryパッチの特別な場合が、双
三次の有理Bezierパッチである。有理境界Gregoryパッ
チの制御点P₁₁₀とP₁₁₁,P₂₁₀とP₂₁₁,P₁₂₀とP₁₂₁,P₂₂₀とP
₂₂₁がそれぞれ等しく、これらの各制御点での重みが等
しいときには、有理境界Gregoryパッチは、有理Bezier
パッチと等しくなる。

境界曲線を横切る微分ベクトル関数を独立に定義でき
る。いま、パラメタｕ方向の微分ベクトル関数を次の
ように表わすことにする。

従って、境界曲線を横切る各微分ベクトル関数は、以
下のように定義される。

この性質が、局所的な曲面生成を可能にしている。

ここでは、二枚の有理境界GregoryパッチをG¹連続に
なるように接続する手法について述べる。第10図は、接
続する二枚の有理境界GregoryパッチＳ（u,v）,S′（u,
v）を表わしている。また、各パッチの制御点をP_ijk,
P′_ijkとすれば、境界曲線上の制御点間ベクトルa_i,b_i,
c_iは、以下のように定義される。

a_i＝P_3i1−P_2i1 （ｉ＝0,…,3） b_i＝Ｐ′_1i1−Ｐ′_0i1 （ｉ＝0,…,3） c_i＝Ｐ′_0,i+1,1−Ｐ′_0i1 （ｉ＝0,…,2）また、二枚のパッチがG¹連続になるように接続される
ためには、境界曲線上の任意の点における三つの微分ベ
クトルは、同一平面上にある必要がある。つまり、次の
式を満たさなければならない。

Ｓ′_ｖ（0,v）＝ｋ（ｖ）S_u（1,v）＋ｈ（ｖ）S_v（1,
v）（５）また、境界曲線上の微分ベクトルS_v（1,v）は、以下
の式で表される。

ただし、関数T₁,T₂は、以下のように表される。

また、関数ｈ（ｖ）,k（ｖ）は、スカラー関数であると
する。

まず、二枚のパッチが接平面連続であるためには、頂
点v₀,v₁に接しているベクトルが同一平面上にある必要
がある。このことは、以下のように表わすことができ
る。

b₀＝k₀a₀＋h₀c₀ b₃＝k₁a₃＋h₁c₂ ただし、k₀,k₁,h₀,h₁は、スカラーである。ここで
（６）式について考えてみる。（６）式は、複雑である
のでこのままでは、G¹連続となるように、パッチを接続
するのは、困難である。そこで、境界曲線での接続条件
に次のものを付加することによって、有理曲線をはさん
だ二枚の面を連続に接続することが可能となる。

頂点v₀の周りの流れベクトルa₀,b₀と頂点v₁のまわり
の流れベクトルa₃,b₃がそれぞれ同一直線上にあるとき
には、頂点のまわりで接続の式は、（５）式から、Ｓ′_ｖ（0,v）＝ｋ（ｖ）S_u（1,v）となる。従って二枚のパッチが接平面連続である条件
は、S_uが高々二次式で、制御点間ベクトルが以下の式を
満たすことである。

パッチＳとＳ′が接している稜線において、各制御点
での重みが次の関係を満たしているときには、（１）
式、（２）式、（６）式は、それぞれ、（７）式、
（８）式、（９）式のように変形できる。つまり、 w_2j1＝w_3j1（ｊ＝０…３） w_0j1＝w_1j1（ｊ＝０…３）ならば、境界曲線上の微分ベクトル関数は、以下のよ
うに表される。

これは、接している稜線が非有理曲線になる条件であ
る。（７）式、（８）式、（９）式を（５）式に代入
し、二枚のパッチがG¹連続となる条件を導くと、次のよ
うになる。

以上の手続で二枚のパッチがG¹連続となるように曲面
の内部制御点を決定できる。

また、微分ベクトル関数S_u（1,v）は、高々二次の関
数であるので、まず三つのベクトルa₀,q,a₃で二次のBez
ier関数を定義する。この関数から、以下の式を使っ
て、流れベクトルa₁,a₂を決定する。

これまでは、有理境界GregoryパッチをG¹連続に生成
するための手法を述べた。ここでは、第11図に示すよう
な面上にパッチを生成する過程を示す。

流れベクトル関数の定義面F₁は、E_i（ｉ＝0,…,5）の五本の有理境界曲線で囲
まれている。この境界曲線上に、二次の流れベクトル関
数（cross-boundary derivative）を定義する。この場
合、Ｔ節点v₁に接している稜線E₃,E₄では、頂点v₁は、
もともと一本の曲線で表されていた稜線を分割したもの
である。従って、Ｔ節点に接する曲線のまわりには、一
つの流れベクトル関数g₃（ｔ）が定義される。つまり、
Ｔ接点となっている頂点v₁に接した稜線での流れベクト
ル関数g₃（ｔ）は、稜線E₂,E₃,E₄,E₅,E₉,E₁₀,E₁₁から定
義される。もし、面F₁と面F₂がG¹連続に接続されるとき
には、流れベクトル関数g₁（ｔ）は、稜線E₁,E₂,E₅,E₆,
E₁₄から定義される。また、面F₁と面F₂がG¹連続に接続
されるときには、面F₁上に自由曲面を生成するときと、
面F₂上に自由曲面を生成するときの流れベクトル関数g₁
（ｔ）は、同一のものとなる。

内部制御点の決定面F₁の境界曲線上に設定された流れベクトル関数は、
高々二次であるので、三次のベクトルa_0j,a_1j,a_2j（ｊ
＝0,…,3）のBezier関数によって定義される。この三つ
のベクトルを前述した接続の式に適用することによっ
て、内部制御点を決定する流れベクトルが求められる。
ここで、面F₁が一枚のパッチで表わせるときには、ここ
で求めた制御点がパッチそのものを定義しているので、
処理を終了する。

面の分割第12図（ａ），（ｂ）のように、面が非四辺形の場合
には、その面はいくつかの四辺形面に分割する。その後
で分割した各面に対して、有理境界Gregoryパッチを生
成する。その場合、境界曲線は有理曲線であるが、面を
分割している内部境界曲線は、非有理曲線とすれば、各
内部境界曲線のまわりでG¹連続に接続できる。

以下、本発明の実施例に基づいて説明する。

第１図は、本発明による自由曲面生成方式の一実施例
を説明するための構成図で、図中、１は判定部、２は条
件設定部、３は生成部である。

判定部１は、有理曲線で境界を囲まれた面に対して、
境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線から境界での連続性
を判定する。

条件設定部２は、該判定部１で求めた連続性から境界
の接続条件を求める。

生成部３は、該条件設定部２で求めた接続条件から面
の内部制御点を生成する。

第２図は、本発明による自由曲面生成方式のフローチ
ャートを示す図である。以下、各stepに従って順に説明
する。step1 ；面を構成する全ての境界曲線の制御点を記憶装
置に蓄える。同時に、各境界曲線の端点に繋がっている
曲線の内で、隣の面を構成している曲線の制御点を記憶
装置に蓄える。境界曲線上の制御点については、第３図
に示してある。step2 ;step1で蓄えた曲線の制御点を使って、境界曲線
をはさんだ隣の面との連続性を判定し、接続条件を記憶
装置に蓄える。step3-1,3-2 ； step2で得られた接続条件から境界曲線上の制御点と
面の重心方向へ向かう流れベクトルを求め、記憶装置に
蓄える。面の重心方向への流れベクトルについては、第
４図に示してある。面の内部制御点は、曲線上の制御点
と流れベクトルから計算する。ここで、面が四角形面で
あるときには処理を終了する。step4 ;step3-1あるいはstep3-2で得られた境界曲線上の
制御点と面の重心方向へ向かう流れベクトルから、非四
辺形面を内挿する。内挿結果については、第５図に示し
てある。

第13図は、Ｔ節点を含んだ曲線モデルの例である。面
F₁は、二つのＴ節点v₁とv₂を持っている。第14図は、面
F₁をG¹連続に接続し、断面線を表示したものである。第
14図において、例えばb,c,d,eによって構成される面Ａ
（面F₁）は、g,h,iによって構成される面Ｂ、あるいは
a,f,eによって構成される面Ｃ、a,b,fによって構成され
る面ＤとG¹連続に接続されている。また、第15図は、有
理曲線を含んだ不規則な曲線モデルの例である。第16図
は、第15図の面F₁をG¹連続に接続し、断面線を表示した
ものである。

効果以上の説明から明らかなように、本発明によると、連
続性を保ちながら有理境界曲線を持つ面上に自由曲面を
生成することができる。つまり、第８図のように曲線メ
ッシュが現われている曲面の一部に二次曲面やGregory
パッチがあってもG¹連続に内挿が可能である。これによ
り、有理曲線を含む立体形状において自由曲面を扱うこ
とが可能である。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明による自由曲面生成方式の一実施例を
説明するための構成図、第２図は、そのフローチャート
を示す図、第３図は、境界曲線上の制御点を示す図、第
４図は、面の重心方向への流れベクトルを示す図、第５
図は、内挿結果を示す図、第６図（ａ），（ｂ）は、不
規則な曲線モデルを示す図、第７図は、Ｔ節点を含んだ
曲線モデルを示す図、第８図は、複数種類のパッチを示
す図、第９図は、有理境界Gregoryパッチの制御点を示
す図、第10図は、有理境界Gregoryパッチの接続を示す
図、第11図は、有理境界曲線と微分ベクトル関数を示す
図、第12図（ａ），（ｂ）は、曲面の分割を示す図、第
13図は、Ｔ節点を含んだ曲線モデルを示す図、第14図
は、第13図の断面線図を示す図、第15図は、有理曲線を
含んだ不規則な曲線モデルを示す図、第16図は、第15図
の断面線図を示す図である。１……判定部、２……条件設定部、３……生成部。

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】有理曲線を含む何本かの曲線で境界を囲ま
れた面に対して、境界曲線と各境界曲線に繋がる曲線か
ら境界での連続性を判定する判定部と、該判定部で求め
た連続性から境界での接続条件を求める条件設定部と、
該条件設定部で求めた接続条件から面の内部制御点を生
成する生成部とによって自由曲面を発生させることを特
徴とする自由曲面生成方式。