JP2737132B2 - 物体の表面形状データ作成方法 - Google Patents
物体の表面形状データ作成方法Info
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Description
【発明の詳細な説明】
以下の順序で本発明を説明する。
Ａ産業上の利用分野
Ｂ発明の概要
Ｃ従来の技術（第３図）
Ｄ発明が解決しようとする問題点（第３図）
Ｅ問題点を解決するための手段（第１図及び第２図）
Ｆ作用（第１図及び第２図）
Ｇ実施例
（G1）第１のパツチ接続方法（第１図）
（G1−１）α1/α２＝β1/β２の場合
（G1−２）α1/α２≠β1/β２の場合
（G2）第２のパツチ接続方法（第２図）
（G2−１）α1/α２≠β1/β２の場合
（G2−２）α1/α２＝β1/β２の場合
Ｈ発明の効果
Ａ産業上の利用分野
本発明は物体の表面形状データ作成方法に関し、例え
ばCAD（computer aided design）又はCAM（computer ai
ded manufacturing）において、自由曲面をもつ物体の
表面形状を作成する場合に適用して好適なものである。 Ｂ発明の概要 本発明は、CAD又はCAMなどにおける自由曲面作成方法
において、一旦接続した物体の細部表面形状を接続し直
すにつき、内部制御点に対する制御辺ベクトルを同一平
面上に存在させ、かつ片方又は両方の細部表面形状デー
タのうち共有境界に対する内部制御点の元の制御点から
の移動量を最小にするようにしたことにより、一方又は
両方の細部表面形状の変形を最小にして接平面連続の条
件の下で接続し得るような物体の表面形状データを作成
できる。 Ｃ従来の技術 例えばCADの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（geometric modeling）、一般に
デザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数の
点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複数
の節点を結ぶ境界曲面網を所望のベクトル関数を用いて
コンピユータによつて演算させることにより、いわゆる
ワイヤーフレームで表現された曲面を作成する。かくし
て境界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成す
ることができる（このような処理を枠組み処理と呼
ぶ）。 かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、
それ自体デサイナがデサインしようとする物体の大まか
な形状を表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用
いてパラメトリツクなベクトル関数によつて表現できる
物体の細部の表面形状を表す曲面を補間演算することが
できれば、全体としてデザイナがデサインした自由曲面
（２次関数で規定できないものをいう）を生成すること
ができる。ここで各枠組み空間に形成された物体の細部
表面形状は全体の曲面を構成する基本要素を形成し、こ
れをパツチと呼ぶ。 ところで生成した自由曲面全体について、物体とし
て、より自然な外形形状を持たせるためには、境界曲線
を挟んで隣接する枠組み空間に、当該境界曲線において
接平面連続の条件を満足するようなパツチを張るよう
に、境界曲線回りの制御辺ベクトルを設定し直すように
した自由曲面作成方法が提案されている（特願昭60−27
7448号）。 すなわち、この自由曲面作成方法において、枠組みさ
れた境界曲線及び枠組み空間に張られるパツチを、次式
のベクトル関数 で表されるベジエ式を用いて表現する。 ここで は、第３図に示すように、それぞれ物体の細部表面形状
を表し、かつ隣合う枠組み空間に張られた曲面すなわち
第１のパツチ が共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置
ベクトルでなる制御点 を基準にして、第１及び第２のパツチ 上の自由曲面を表現する。 また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で、パ
ツチ上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式、 の関係をもつ。 さらに（１）式において、ｕ、ｖは０〜１の間の値を
変化するパラメータで、第３図に示すように、第１及び
第２のパツチ に対してそれぞれ制御点 から横方向にｕ軸をとり、かつ縦方向にｖ軸をとつた座
標（ｕ、ｖ）を用いてパツチ 内の自由曲面上の座標を表すことができる。 さらに（１）式においてｍ及びｎは、ペジエ曲面を、
ｍ次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表してい
る。第３図の場合、ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のペ
ジエ式を用いて自由曲面を表現するようになされ、かく
して ことができる。 このような２つのパツチ は、デザイナによる枠組み処理によつて、作られた境界
曲線網上に張られており、この２つのパツチ間に共有境
界COMをもつている。ここで、各境界曲線に沿つて設定
された制御点は、枠組み処理時に各境界曲線を３次のペ
ジエ式で表すために設定され、各境界曲線の両端間に４
つの制御点が指定されている。これに対して境界曲線に
よつて囲まれた枠組み空間内部の制御点は、当該枠組み
空間に自由曲面を張るために３次のベジエ式を用いて補
間演算するために設定される。かくして各枠組み空間の
曲面は、16個の制御点によつて表される。 ところで、枠組み処理によつて形成された境界曲線網
の多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張つ
てパツチを生成した場合、隣合うパツチの共有境界にお
ける曲面は一般に物体の表面形状として適正な滑らかさ
をもつていない。そこで、２つのパツチ を、共有境界COMにおいて滑らかに接続するように、各
パツチの制御点を設定し直して、これらの制御点を用い
てパツチに張るべき自由曲面を補間演算する。これによ
り、境界曲線網に枠組みされた曲面全体に亘つて全ての
パツチを滑らかに接続して行くことができることによ
り、多くの物体の外形形状を自然に表現できる。 この共有境界COMにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトル ここで、制御辺ベクトル は枠組みとして設定されているため接平面連続の条件を
使つて制御辺ベク 接平面連続の条件は、第１の共有境界COMの線上の各
点について、第１のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｖ方向を指定する共有境界COMの接線ベクトルとが同
一平面上に存在することである。ここで接平面は、共有
境界の各点でのｕ方向及びｖ方向の接線ベクトルによつ
て形成される平面を呼び、従つて共有境界の各点におい
てパツチ の接平面が同一のとき、接平面連続の条件が成り立つ。 すなわち、共有境界COM上の任意点 についての接平面連続の条件は、第４図に示すように決
められる。すなわちパツチ について、共有境界COMを横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向（すなわちｖ方向）の接線
ベクトル で表され、またパツチ について、共有境界COMを横断する方向の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向の接線ベクトル で表される。 このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトル が同一平面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトル は同一方向に向くことになる。 ここで、接線ベクトル は次式、 で表され、このとき、かかる接平面連続の条件を満足す
る数式を次式 で表す。（９）式において は、それぞれ共有境界COM上の点におけるパツチ のｕ方向の接線ベクトル（すなわち横断接線ベクトル）
を表し、（１）式を１階偏微分することにより、 になる。 また は、共有境界COM上のパツチ のｖ方向の接線ベクトルで、（１）式を１階偏微分する
ことにより、 である。 また（９）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ（ｖ）、ν
（ｖ）として λ（ｖ）＝α１（１−ｖ）＋α2v ……（13） μ（ｖ）＝β１（１−ｖ）＋β2v ……（14） ν（ｖ）＝γ１（１−ｖ）２＋γ２（１−ｖ）ｖ＋γ3v2 ……（15） に選定してこれを（９）式に代入する。 （13）式〜（15）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ
（ｖ）、ν（ｖ）は、数式の形として、（１−ｖ）の項
及びｖの項と、その積の項をもち、μ（ｖ）及びν
（ｖ）には、未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、
γ２、γ３を含んでいる。かくして（13）式〜（15）式
を（９）式に代入して展開したとき、（９）式の右辺及
び左辺が共に、（１−ｖ）４、ｖ（１−ｖ）３、v2（１
−ｖ）２、v3（１−ｖ）、v4の項の和の形に整理できる
ようにする。かくして（９）式に対して、（10）式、
（11）式、（12）式と、（13）式、（14）式、（15）式
とを代入して整理した各項ごとに、係数部が互いに等し
くなるように未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、
γ２、γ３を選定すれば、結局共有境界COMにおいて、
接平面連続の条件を満足させることができるような制御
辺ベクトルを設定することができる。 Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで実際上、接平面連続の条件を満足するような
未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、γ２、γ３を
求める手法としては、以下に述べる演算を例えばコンピ
ユータ処理することにより行う。 すなわち、まず（10）式、（11）式及び（12）式を展
開すると共に、それぞれの係数に注目して、 と、定義すると共に、（13）式、（14）式及び（15）式
についても同様にそれぞれの係数に注目して、 α１（１−ｖ）＋α2v≡〈α１、α２〉 ……（19） β１（１−ｖ）＋β2v≡〈β１、β２〉 ……（20） γ１（１−ｖ）２＋γ２（１−ｖ）ｖ＋γ3v2≡〈γ１、γ２、γ３〉……（2
1） と定義する。このようにすると（９）式は、次式、 で表される。 ここでそれぞれのベクトル を、次式、と置き換える。ここでｖの値にかかわらず（22）式が成
立するためには、次式、 を解くことにより、第１及び第２のパツチ を接平面連続の条件の下に接続することができる。 一般には、（24）式〜（28）式のα１及びα２を共に
値−１として変形して得られる、次式、 において、次式、 （29）−（30）＋（31）−（32）＋（33）……（34） の演算を行つて得られる、次式、を満足するために、次式、 γ２＝γ１＋γ３ ……（36） 及び とおくと、（37）式は、次式、 で表され、ここで例えば、 とおき、さらに（30）式及び（32）式を用いて を求めることにより、第１及び第２のパツチ を接平面連続の条件の下に接続するようになされてい
る。 ところが、このようにして接平面連続の条件に適合さ
せる演算方法において、（39）式及び（40）式とおくこ
とは、実際上ベクトル が元の制御点と無関係に設定されており、さらにその後
（30）式及び（32）式を用いて求めた もどのような位置に設定されるかも確認し得ないため、
全体として第１及び第２のパツチ がデザイナの意図に反して変形されるおそれを回避し得
ないという問題があつた。 また、第１又は第２のパツチ の形状によつては、α１又はα２が値０になる場合があ
り、このような場合別の演算方法を用いる必要があり、
コンピユータを利用したデザイナの物体の造形作業上未
だ不便であつた。 本発明は以上の点を考慮してなされたもので、一旦接
続した物体の複数の細部表面形状を互いに接平面連続の
条件を満足するように接続し直すにつき、元の細部表面
形状の変形を最小限にすることにより、デザイナの意図
通りの物体の表面形状を作成することができる物体の表
面形状データ作成方法を提案しようとするものである。 Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、コン
ピユータを利用し、枠組み処理によつて境界曲線で囲ま
れかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を形
成し、各枠組み空間において、当該各枠組み空間内の位
置を所定間隔で順次指定されるパラメータu,vによつて
順次指定してベクトル関数を演算することにより各枠組
み空間内の各位置における位置ベクトルデータを求め、
これにより物体の細部表面形状 を表す表面形状データを作成する物体の表面形状データ
作成方法において、境界曲線を共有境界COMとして隣接
する２つの細部表面形状 を接平面連続の条件を満足するように接続する際、共有
境界COMを挟んで存在する２つの細部表面形状 の元の内部制御点を表す位置ベクトルデータに基づいて、２つの細部表面
形状 を接続した際の内部制御点 に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上に存在する
ように、元の内部制御点から所定量移動を行うことによ
り得られる新たな内部制御点を表す位置ベクトルデータ
を設定するようになすとともに、２つの細部表面形状の
うちの少なくとも一方の該元の内部制御点からの移動量
を表す移動ベクトルデータの値が最小となるように設定
するようになし、接平面連続の条件として、互いに隣接
する２つの細部表面形状の共有境界の各点における接線
ベクトルデータが互いに等しくかつ該接線ベクトルデー
タによつて形成される接平面が同一となるように、２つ
の細部表面形状の内部制御点を示す位置ベクトルデータ
を設定するようにする。 Ｆ作用 物体の細部の表面形状を表す細部表面形状について、
内部制御点に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上
に存在するようになすと共に、片方又は両方の細部表面
形状 の共有境界COMに対する内部制御点 の元の制御点からの移動量を最小にするようになすこと
により、片方又は両方の細部表面形状 の変形を最小にし得る。 Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。 （G1）第１のパツチ接続方法 第１図を用いて示す第１のパツチ接続方法において
は、第１及び第２のパツチ の接続後に境界曲線COMを挟む内部制御点 の元の制御点に対する変化量を全体として最小にするよ
うにした。 すなわち、上述の（24）式〜（28）式を解くことによ
り、第１及び第２のパツチ を接続させる際に、先ず（24）式及び（26）式から、未
知数α１、α２、β１、β２、γ１、γ２を求める。 このとき、枠組み処理によつて得られるベクトル がそれぞれ同一平面上にないとき、次式、 で表されるように、ベクトル だけ動かして、同一平面上にすると共に、ベクトル が同一平面上にないときも同様にベクトル だけ動かして、同一平面上にする。 なお（24）式及び（26）式から、未知数α、β、γを
求めるためには、未知数α、β、γをそれぞれ、次式、 αAx＋βBx＋γCx＝０ αAy＋βBy＋γCy＝０ αAz＋βBz＋γCz＝０ ……（42） とおく。ここで次式、 で表されるベクトルを考えると（α、β、γ）はベクト
ル に直交していることが分かる。このため、この３個のベ
クトルのうちの２個のベクトルの外積を得るようにする
ことにより、未知数α、β、γを求めることができる。 （G1−１）α1/α２＝β1/β２の場合 ここでα1/α２＝β1/β２の場合、（24）式〜（28）
式は、次式、 で表されるように変形することができる。 ここで（45）式及び（46）式の条件の下で、最小２乗
法の手法を用いて、次式、 の関係を有する。 ここで（48）式を、（45）式及び（46）式を用いて、
次式、 で表されるようにおくと、次式、 の関係が得られ、これにより は、それぞれ、次式、 で表される。また（51）式を（45）式、（46）式に（4
9）式を代入した式にさらに代入すると、次式、 が得られ、かくして（53）式及び（54）式を（52）式に
代入することにより、それぞれ第１及び第２のパツチ （G1−２）α1/α２≠β1/β２の場合 上述のα1/α２＝β1/β２の場合に対して、α1/α２
≠β1/β２の場合には、上述の（25）式、（26）式及び
（27）式の条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、
（48）式と同様でなる、次式、 が最小になるベクトル を求める。 ここで、（55）式を、（25）式、（26）式及び（27）
式を用いて、次式、 で表されるようにおくと、次式、及び、次式、 の関係が得られ、これにより（57）式から で表される。ここで、次式、で示すようにベクトル を考えると共に、次式、で表される行列Ｇを考えると、次式、 の関係が得られる。このとき、Ｇ行列の逆行列をG-1と
すると、次式、の関係が得られ、これにより、次式、 となる。これを（62）式に代入すると、次式、 となり、かくして（65）式を（59）式に代入することに
より、それぞれ第１及び第２のパツチ ることができる。 （G2）第２のパツチ接続方法 第２図を用いて示す第２のパツチ接続方法において
は、第１及び第２のパツチ を任意に移動させて接平面連続の条件の下で接続し得る
ようにした。 すなわち上述と同様に（24）式〜（28）式の条件の下
に最小２乗法の手法を用いて、（48）式に代えて示す次
式、 求める。 （G1−１）α1/α２≠β1/β２の場合 ここでα1/α２≠β1/β２の場合、（66）式を上述の
（25）式〜（27）式を用いて、次式、で表されるようにおくと、次式、 及び、次式、及び、次式 の関係が得られ、これにより はそれぞれ、次式、 で表される。これにより（68）式及び（71）式から は次式、 で表される。ここで、次式、で示すベクトル を考えると、（25）式〜（27）式は、次式、 で表される。ここで（70）式に（71）式を代入すると、
次式、 となり、また、次式、 η２×（74）＋η×（75）＋（76） ……（78） は、次式、で表される。これにより（77）式及び（79）式から未知
数γ２は、次式、 で表されることが分かる。これによりγ２が求まれば
（79）式から が求まり、かくしてγ２及び だけ移動させて接平面連続の条件の下で接続し得る。 なお上述の（71）式では、β≠０と仮定して続く演算
を行つたが、β＝０の場合を考えると、 は（69）式から、次式、 となる。これにより（81）式を（68）式及び（70）式に
代入すると、次式、及び、次式 の関係が得られ、また（73）式のベクトル を用いて（25）式〜（27）式を変形すると、次式 となる。これにより（83）式及び（84）式から未知数γ
２は、次式、 で表され、かくして（84）式〜（86）式から を求めることができる。 （G2−２）α1/α２＝β1/β２の場合 上述のα1/α２≠β1/β２の場合に対して、α1/α２
＝β1/β２の場合には、上述の（45）式及び（46）式の
条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、（48）式と同
様でなる、次式、 が最小になるベクトル を求める。ここで（45）式及び（46）式から移動量 となり、かくして、第１及び第２のパツチ 連続の条件の下で接続し得る。 （G3）実施例の効果 以上の方法によれば、一旦接続した第１及び第２のパ
ツチ を接続し直すにつき、第１及 の元の制御点からの移動量を最小にするようにしたこと
により、第１及び又は第２のパツチ のパツチの変形を最小にして接平面連続の条件の下で接
続し得る自由曲面作成方法を実現できる。 （G4）他の実施例 （１） 上述の実施例においては、３次のベジエ式を用
いて四辺形パツチの補間演算をする場合について述べた
が、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良く、
さらに三辺形パツチに適用しても良い。 （２） 上述の実施例においては、バツチの補間演算を
ベジエ式を用いた場合について述べたが、これに限ら
ず、スプライン式、クーンズ（Coons）式、フアーガソ
ン（Furgason）式などの他の数式を用いるようにしても
良い。 Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、物体の大まかな形状を
特定する枠組み空間に物体の細部の表面形状を表す細部
表面形状を一旦接続した後接続し直す際に、内部制御点
に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上に存在する
ようになすと共に、一方又は両方の細部表面形状の共有
境界に対する内部制御点について元の制御点からの移動
量を最小にするようになすことにより、一方又は両方の
細部表面形状の変形を最小にして接平面連続の条件の下
で接続し得、かくするにつき、デザイナのコンピユータ
を利用した造形作業を一段と簡易化し得る物体の表面形
状データ作成方法を実現できる。
ばCAD（computer aided design）又はCAM（computer ai
ded manufacturing）において、自由曲面をもつ物体の
表面形状を作成する場合に適用して好適なものである。 Ｂ発明の概要 本発明は、CAD又はCAMなどにおける自由曲面作成方法
において、一旦接続した物体の細部表面形状を接続し直
すにつき、内部制御点に対する制御辺ベクトルを同一平
面上に存在させ、かつ片方又は両方の細部表面形状デー
タのうち共有境界に対する内部制御点の元の制御点から
の移動量を最小にするようにしたことにより、一方又は
両方の細部表面形状の変形を最小にして接平面連続の条
件の下で接続し得るような物体の表面形状データを作成
できる。 Ｃ従来の技術 例えばCADの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（geometric modeling）、一般に
デザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数の
点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複数
の節点を結ぶ境界曲面網を所望のベクトル関数を用いて
コンピユータによつて演算させることにより、いわゆる
ワイヤーフレームで表現された曲面を作成する。かくし
て境界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成す
ることができる（このような処理を枠組み処理と呼
ぶ）。 かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、
それ自体デサイナがデサインしようとする物体の大まか
な形状を表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用
いてパラメトリツクなベクトル関数によつて表現できる
物体の細部の表面形状を表す曲面を補間演算することが
できれば、全体としてデザイナがデサインした自由曲面
（２次関数で規定できないものをいう）を生成すること
ができる。ここで各枠組み空間に形成された物体の細部
表面形状は全体の曲面を構成する基本要素を形成し、こ
れをパツチと呼ぶ。 ところで生成した自由曲面全体について、物体とし
て、より自然な外形形状を持たせるためには、境界曲線
を挟んで隣接する枠組み空間に、当該境界曲線において
接平面連続の条件を満足するようなパツチを張るよう
に、境界曲線回りの制御辺ベクトルを設定し直すように
した自由曲面作成方法が提案されている（特願昭60−27
7448号）。 すなわち、この自由曲面作成方法において、枠組みさ
れた境界曲線及び枠組み空間に張られるパツチを、次式
のベクトル関数 で表されるベジエ式を用いて表現する。 ここで は、第３図に示すように、それぞれ物体の細部表面形状
を表し、かつ隣合う枠組み空間に張られた曲面すなわち
第１のパツチ が共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置
ベクトルでなる制御点 を基準にして、第１及び第２のパツチ 上の自由曲面を表現する。 また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で、パ
ツチ上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式、 の関係をもつ。 さらに（１）式において、ｕ、ｖは０〜１の間の値を
変化するパラメータで、第３図に示すように、第１及び
第２のパツチ に対してそれぞれ制御点 から横方向にｕ軸をとり、かつ縦方向にｖ軸をとつた座
標（ｕ、ｖ）を用いてパツチ 内の自由曲面上の座標を表すことができる。 さらに（１）式においてｍ及びｎは、ペジエ曲面を、
ｍ次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表してい
る。第３図の場合、ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のペ
ジエ式を用いて自由曲面を表現するようになされ、かく
して ことができる。 このような２つのパツチ は、デザイナによる枠組み処理によつて、作られた境界
曲線網上に張られており、この２つのパツチ間に共有境
界COMをもつている。ここで、各境界曲線に沿つて設定
された制御点は、枠組み処理時に各境界曲線を３次のペ
ジエ式で表すために設定され、各境界曲線の両端間に４
つの制御点が指定されている。これに対して境界曲線に
よつて囲まれた枠組み空間内部の制御点は、当該枠組み
空間に自由曲面を張るために３次のベジエ式を用いて補
間演算するために設定される。かくして各枠組み空間の
曲面は、16個の制御点によつて表される。 ところで、枠組み処理によつて形成された境界曲線網
の多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張つ
てパツチを生成した場合、隣合うパツチの共有境界にお
ける曲面は一般に物体の表面形状として適正な滑らかさ
をもつていない。そこで、２つのパツチ を、共有境界COMにおいて滑らかに接続するように、各
パツチの制御点を設定し直して、これらの制御点を用い
てパツチに張るべき自由曲面を補間演算する。これによ
り、境界曲線網に枠組みされた曲面全体に亘つて全ての
パツチを滑らかに接続して行くことができることによ
り、多くの物体の外形形状を自然に表現できる。 この共有境界COMにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトル ここで、制御辺ベクトル は枠組みとして設定されているため接平面連続の条件を
使つて制御辺ベク 接平面連続の条件は、第１の共有境界COMの線上の各
点について、第１のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｖ方向を指定する共有境界COMの接線ベクトルとが同
一平面上に存在することである。ここで接平面は、共有
境界の各点でのｕ方向及びｖ方向の接線ベクトルによつ
て形成される平面を呼び、従つて共有境界の各点におい
てパツチ の接平面が同一のとき、接平面連続の条件が成り立つ。 すなわち、共有境界COM上の任意点 についての接平面連続の条件は、第４図に示すように決
められる。すなわちパツチ について、共有境界COMを横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向（すなわちｖ方向）の接線
ベクトル で表され、またパツチ について、共有境界COMを横断する方向の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向の接線ベクトル で表される。 このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトル が同一平面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトル は同一方向に向くことになる。 ここで、接線ベクトル は次式、 で表され、このとき、かかる接平面連続の条件を満足す
る数式を次式 で表す。（９）式において は、それぞれ共有境界COM上の点におけるパツチ のｕ方向の接線ベクトル（すなわち横断接線ベクトル）
を表し、（１）式を１階偏微分することにより、 になる。 また は、共有境界COM上のパツチ のｖ方向の接線ベクトルで、（１）式を１階偏微分する
ことにより、 である。 また（９）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ（ｖ）、ν
（ｖ）として λ（ｖ）＝α１（１−ｖ）＋α2v ……（13） μ（ｖ）＝β１（１−ｖ）＋β2v ……（14） ν（ｖ）＝γ１（１−ｖ）２＋γ２（１−ｖ）ｖ＋γ3v2 ……（15） に選定してこれを（９）式に代入する。 （13）式〜（15）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ
（ｖ）、ν（ｖ）は、数式の形として、（１−ｖ）の項
及びｖの項と、その積の項をもち、μ（ｖ）及びν
（ｖ）には、未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、
γ２、γ３を含んでいる。かくして（13）式〜（15）式
を（９）式に代入して展開したとき、（９）式の右辺及
び左辺が共に、（１−ｖ）４、ｖ（１−ｖ）３、v2（１
−ｖ）２、v3（１−ｖ）、v4の項の和の形に整理できる
ようにする。かくして（９）式に対して、（10）式、
（11）式、（12）式と、（13）式、（14）式、（15）式
とを代入して整理した各項ごとに、係数部が互いに等し
くなるように未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、
γ２、γ３を選定すれば、結局共有境界COMにおいて、
接平面連続の条件を満足させることができるような制御
辺ベクトルを設定することができる。 Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで実際上、接平面連続の条件を満足するような
未知数α１、α２、β１、β２及びγ１、γ２、γ３を
求める手法としては、以下に述べる演算を例えばコンピ
ユータ処理することにより行う。 すなわち、まず（10）式、（11）式及び（12）式を展
開すると共に、それぞれの係数に注目して、 と、定義すると共に、（13）式、（14）式及び（15）式
についても同様にそれぞれの係数に注目して、 α１（１−ｖ）＋α2v≡〈α１、α２〉 ……（19） β１（１−ｖ）＋β2v≡〈β１、β２〉 ……（20） γ１（１−ｖ）２＋γ２（１−ｖ）ｖ＋γ3v2≡〈γ１、γ２、γ３〉……（2
1） と定義する。このようにすると（９）式は、次式、 で表される。 ここでそれぞれのベクトル を、次式、と置き換える。ここでｖの値にかかわらず（22）式が成
立するためには、次式、 を解くことにより、第１及び第２のパツチ を接平面連続の条件の下に接続することができる。 一般には、（24）式〜（28）式のα１及びα２を共に
値−１として変形して得られる、次式、 において、次式、 （29）−（30）＋（31）−（32）＋（33）……（34） の演算を行つて得られる、次式、を満足するために、次式、 γ２＝γ１＋γ３ ……（36） 及び とおくと、（37）式は、次式、 で表され、ここで例えば、 とおき、さらに（30）式及び（32）式を用いて を求めることにより、第１及び第２のパツチ を接平面連続の条件の下に接続するようになされてい
る。 ところが、このようにして接平面連続の条件に適合さ
せる演算方法において、（39）式及び（40）式とおくこ
とは、実際上ベクトル が元の制御点と無関係に設定されており、さらにその後
（30）式及び（32）式を用いて求めた もどのような位置に設定されるかも確認し得ないため、
全体として第１及び第２のパツチ がデザイナの意図に反して変形されるおそれを回避し得
ないという問題があつた。 また、第１又は第２のパツチ の形状によつては、α１又はα２が値０になる場合があ
り、このような場合別の演算方法を用いる必要があり、
コンピユータを利用したデザイナの物体の造形作業上未
だ不便であつた。 本発明は以上の点を考慮してなされたもので、一旦接
続した物体の複数の細部表面形状を互いに接平面連続の
条件を満足するように接続し直すにつき、元の細部表面
形状の変形を最小限にすることにより、デザイナの意図
通りの物体の表面形状を作成することができる物体の表
面形状データ作成方法を提案しようとするものである。 Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、コン
ピユータを利用し、枠組み処理によつて境界曲線で囲ま
れかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を形
成し、各枠組み空間において、当該各枠組み空間内の位
置を所定間隔で順次指定されるパラメータu,vによつて
順次指定してベクトル関数を演算することにより各枠組
み空間内の各位置における位置ベクトルデータを求め、
これにより物体の細部表面形状 を表す表面形状データを作成する物体の表面形状データ
作成方法において、境界曲線を共有境界COMとして隣接
する２つの細部表面形状 を接平面連続の条件を満足するように接続する際、共有
境界COMを挟んで存在する２つの細部表面形状 の元の内部制御点を表す位置ベクトルデータに基づいて、２つの細部表面
形状 を接続した際の内部制御点 に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上に存在する
ように、元の内部制御点から所定量移動を行うことによ
り得られる新たな内部制御点を表す位置ベクトルデータ
を設定するようになすとともに、２つの細部表面形状の
うちの少なくとも一方の該元の内部制御点からの移動量
を表す移動ベクトルデータの値が最小となるように設定
するようになし、接平面連続の条件として、互いに隣接
する２つの細部表面形状の共有境界の各点における接線
ベクトルデータが互いに等しくかつ該接線ベクトルデー
タによつて形成される接平面が同一となるように、２つ
の細部表面形状の内部制御点を示す位置ベクトルデータ
を設定するようにする。 Ｆ作用 物体の細部の表面形状を表す細部表面形状について、
内部制御点に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上
に存在するようになすと共に、片方又は両方の細部表面
形状 の共有境界COMに対する内部制御点 の元の制御点からの移動量を最小にするようになすこと
により、片方又は両方の細部表面形状 の変形を最小にし得る。 Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。 （G1）第１のパツチ接続方法 第１図を用いて示す第１のパツチ接続方法において
は、第１及び第２のパツチ の接続後に境界曲線COMを挟む内部制御点 の元の制御点に対する変化量を全体として最小にするよ
うにした。 すなわち、上述の（24）式〜（28）式を解くことによ
り、第１及び第２のパツチ を接続させる際に、先ず（24）式及び（26）式から、未
知数α１、α２、β１、β２、γ１、γ２を求める。 このとき、枠組み処理によつて得られるベクトル がそれぞれ同一平面上にないとき、次式、 で表されるように、ベクトル だけ動かして、同一平面上にすると共に、ベクトル が同一平面上にないときも同様にベクトル だけ動かして、同一平面上にする。 なお（24）式及び（26）式から、未知数α、β、γを
求めるためには、未知数α、β、γをそれぞれ、次式、 αAx＋βBx＋γCx＝０ αAy＋βBy＋γCy＝０ αAz＋βBz＋γCz＝０ ……（42） とおく。ここで次式、 で表されるベクトルを考えると（α、β、γ）はベクト
ル に直交していることが分かる。このため、この３個のベ
クトルのうちの２個のベクトルの外積を得るようにする
ことにより、未知数α、β、γを求めることができる。 （G1−１）α1/α２＝β1/β２の場合 ここでα1/α２＝β1/β２の場合、（24）式〜（28）
式は、次式、 で表されるように変形することができる。 ここで（45）式及び（46）式の条件の下で、最小２乗
法の手法を用いて、次式、 の関係を有する。 ここで（48）式を、（45）式及び（46）式を用いて、
次式、 で表されるようにおくと、次式、 の関係が得られ、これにより は、それぞれ、次式、 で表される。また（51）式を（45）式、（46）式に（4
9）式を代入した式にさらに代入すると、次式、 が得られ、かくして（53）式及び（54）式を（52）式に
代入することにより、それぞれ第１及び第２のパツチ （G1−２）α1/α２≠β1/β２の場合 上述のα1/α２＝β1/β２の場合に対して、α1/α２
≠β1/β２の場合には、上述の（25）式、（26）式及び
（27）式の条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、
（48）式と同様でなる、次式、 が最小になるベクトル を求める。 ここで、（55）式を、（25）式、（26）式及び（27）
式を用いて、次式、 で表されるようにおくと、次式、及び、次式、 の関係が得られ、これにより（57）式から で表される。ここで、次式、で示すようにベクトル を考えると共に、次式、で表される行列Ｇを考えると、次式、 の関係が得られる。このとき、Ｇ行列の逆行列をG-1と
すると、次式、の関係が得られ、これにより、次式、 となる。これを（62）式に代入すると、次式、 となり、かくして（65）式を（59）式に代入することに
より、それぞれ第１及び第２のパツチ ることができる。 （G2）第２のパツチ接続方法 第２図を用いて示す第２のパツチ接続方法において
は、第１及び第２のパツチ を任意に移動させて接平面連続の条件の下で接続し得る
ようにした。 すなわち上述と同様に（24）式〜（28）式の条件の下
に最小２乗法の手法を用いて、（48）式に代えて示す次
式、 求める。 （G1−１）α1/α２≠β1/β２の場合 ここでα1/α２≠β1/β２の場合、（66）式を上述の
（25）式〜（27）式を用いて、次式、で表されるようにおくと、次式、 及び、次式、及び、次式 の関係が得られ、これにより はそれぞれ、次式、 で表される。これにより（68）式及び（71）式から は次式、 で表される。ここで、次式、で示すベクトル を考えると、（25）式〜（27）式は、次式、 で表される。ここで（70）式に（71）式を代入すると、
次式、 となり、また、次式、 η２×（74）＋η×（75）＋（76） ……（78） は、次式、で表される。これにより（77）式及び（79）式から未知
数γ２は、次式、 で表されることが分かる。これによりγ２が求まれば
（79）式から が求まり、かくしてγ２及び だけ移動させて接平面連続の条件の下で接続し得る。 なお上述の（71）式では、β≠０と仮定して続く演算
を行つたが、β＝０の場合を考えると、 は（69）式から、次式、 となる。これにより（81）式を（68）式及び（70）式に
代入すると、次式、及び、次式 の関係が得られ、また（73）式のベクトル を用いて（25）式〜（27）式を変形すると、次式 となる。これにより（83）式及び（84）式から未知数γ
２は、次式、 で表され、かくして（84）式〜（86）式から を求めることができる。 （G2−２）α1/α２＝β1/β２の場合 上述のα1/α２≠β1/β２の場合に対して、α1/α２
＝β1/β２の場合には、上述の（45）式及び（46）式の
条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、（48）式と同
様でなる、次式、 が最小になるベクトル を求める。ここで（45）式及び（46）式から移動量 となり、かくして、第１及び第２のパツチ 連続の条件の下で接続し得る。 （G3）実施例の効果 以上の方法によれば、一旦接続した第１及び第２のパ
ツチ を接続し直すにつき、第１及 の元の制御点からの移動量を最小にするようにしたこと
により、第１及び又は第２のパツチ のパツチの変形を最小にして接平面連続の条件の下で接
続し得る自由曲面作成方法を実現できる。 （G4）他の実施例 （１） 上述の実施例においては、３次のベジエ式を用
いて四辺形パツチの補間演算をする場合について述べた
が、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良く、
さらに三辺形パツチに適用しても良い。 （２） 上述の実施例においては、バツチの補間演算を
ベジエ式を用いた場合について述べたが、これに限ら
ず、スプライン式、クーンズ（Coons）式、フアーガソ
ン（Furgason）式などの他の数式を用いるようにしても
良い。 Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、物体の大まかな形状を
特定する枠組み空間に物体の細部の表面形状を表す細部
表面形状を一旦接続した後接続し直す際に、内部制御点
に対する制御辺ベクトルデータが同一平面上に存在する
ようになすと共に、一方又は両方の細部表面形状の共有
境界に対する内部制御点について元の制御点からの移動
量を最小にするようになすことにより、一方又は両方の
細部表面形状の変形を最小にして接平面連続の条件の下
で接続し得、かくするにつき、デザイナのコンピユータ
を利用した造形作業を一段と簡易化し得る物体の表面形
状データ作成方法を実現できる。
【図面の簡単な説明】
第１図は本発明による物体の表面形状データ作成方法の
第１の実施例の説明に供する略線図、第２図は第２の実
施例の説明に供する略線図、第３図は自由曲面を作成す
る際に用いられる制御辺ベクトルを示す略線図、第４図
はその共有境界における接平面連続の条件の説明に供す
る略線図である。
第１の実施例の説明に供する略線図、第２図は第２の実
施例の説明に供する略線図、第３図は自由曲面を作成す
る際に用いられる制御辺ベクトルを示す略線図、第４図
はその共有境界における接平面連続の条件の説明に供す
る略線図である。
Claims (1)
- (57)【特許請求の範囲】 １．コンピユータを利用し、枠組み処理によって境界曲
線まで囲まれかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組
み空間を形成し、上記各枠組み空間において、当該各枠
組み空間内の位置を所定間隔で順次指定されるパラメー
タによつて順次指定してベクトル関数を演算することに
より上記各枠組み空間内の上記各位置における位置ベク
トルデータを求め、これにより上記物体の細部表面形状
を表す表面形状データを作成する物体の表面形状データ
作成方法において、 境界曲線を共有境界として隣接する２つの上記細部表面
形状を接平面連続の条件を満足するように接続する際、 上記共有境界を挟んで存在する上記２つの細部表面形状
の元の内部制御点を表す位置ベクトルデータに基づい
て、 上記２つの細部表面形状を接続した際の内部制御点に対
する制御辺ベクトルデータが同一平面上に存在するよう
に、 上記元の内部制御点から所定量移動を行うことにより得
られる新たな内部制御点を表す位置ベクトルデータを設
定するようにすると共に、 上記２つの細部表面形状のうちの少なくとも一方の当該
元の内部制御点からの移動量を表す移動ベクトルデータ
の値が最小となるように設定するようにし、 上記接平面連続の条件として、互いに隣接する上記２つ
の細部表面形状の上記共有境界の各点における接線ベク
トルデータが互いに等しくかつ該接線ベクトルデータに
よつて形成される接平面が同一となるように、上記２つ
の細部表面形状の上記内部制御点を示す位置ベクトルデ
ータを設定する ことを特徴とする物体の表面形状データ作成方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP62336506A JP2737132B2 (ja) | 1987-12-29 | 1987-12-29 | 物体の表面形状データ作成方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP62336506A JP2737132B2 (ja) | 1987-12-29 | 1987-12-29 | 物体の表面形状データ作成方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH01175672A JPH01175672A (ja) | 1989-07-12 |
| JP2737132B2 true JP2737132B2 (ja) | 1998-04-08 |
Family
ID=18299836
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP62336506A Expired - Fee Related JP2737132B2 (ja) | 1987-12-29 | 1987-12-29 | 物体の表面形状データ作成方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2737132B2 (ja) |
Families Citing this family (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP3512091B2 (ja) * | 1994-04-28 | 2004-03-29 | ソニー株式会社 | 自由曲面作成方法及び自由曲面作成装置 |
| JPH07311858A (ja) * | 1994-05-18 | 1995-11-28 | Sony Corp | 自由曲面作成方法及び自由曲面作成装置 |
| JP4739869B2 (ja) * | 2005-09-05 | 2011-08-03 | Ｊｕｋｉ株式会社 | ミシン |
-
1987
- 1987-12-29 JP JP62336506A patent/JP2737132B2/ja not_active Expired - Fee Related
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH01175672A (ja) | 1989-07-12 |
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|---|---|---|---|
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