JP3187811B2 - 物体の表面形状データ作成方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。 Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 Ｄ発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図、第２図、第６
図） Ｆ作用（第１図、第２図、第６図） Ｇ実施例 （G1）第１の実施例（第１図、第３図、第４図） （G2）２つの四辺形パツチの接続（第１図、第５図） （G3）第２の実施例（第６図） （G4）第３の実施例 （G5）第４の実施例 （G6）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は物体の表面形状データ作成装置に関し、例え
ばCAD（computer aided design）、又はCAM（computer
aied manufacturing）などにおいて、自由曲面をもつた
物体の形状を生成する場合に適用して好適なものであ
る。 Ｂ発明の概要 本発明は、物体の大まかな形状を特定している枠組み
空間に、所定のベクトル関数で表される物体の細部の表
面形状を表す細部表面形状を形成する際に、隣接細部表
面形状に接続する接続用副細部表面形状と、内部形状を
整形する整形用副細部表面形状とを重ね合せ合成する接
続用内部制御点及び整形用内部制御点を表す位置ベクト
ルデータを生成することにより、隣接する細部表面形状
を滑らかに接続すると同時に、内部の形状を必要に応じ
て任意に制御できるような物体の表面形状データを容易
に作成することができる。 Ｃ従来の技術 例えばCADの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（giometoric modeling）、一般
にデザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数
の点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複
数の節点を結ぶ境界曲線網を所定のベクトル関数を用い
てコンピユータによつて演算させることにより、いわゆ
るワイヤフレームで表現された曲面を作成する。かくし
て境界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成す
ることができる（このような処理を以下枠組処理と呼
ぶ）。 かかる枠組処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする物体の大まかな
形状を表しており、各枠組空間を囲む境界曲線を用いて
所定のベクトル関数によつて表現できる曲面を物体の組
部表面形状として補間演算することができれば、全体と
してデザイナがデザインした自由曲面（２次関数で規定
できないものを言う）を生成することができる。ここで
各枠組み空間に張られた曲面は全体の曲面を構成する基
本要素を形成し、これをパツチと呼ぶ。 従来この種のCADシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
エ（Bezier）式、Ｂスプライン（Ｂ−spline）式でなる
３次のテンソル積が用いられており、例えば形状的に特
殊な特徴がないような自由曲面を数式表現するには最適
であると考えられている。 すなわち形状的に特殊な形状がないような自由曲面
は、空間に与えられた点をxy平面上に投影したとき、当
該投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいるこ
とが多く、この投影点の数がｍ×ｎで表されるとき、当
該枠組み空間を３次のベジエ式で表される四辺形パツチ
を用いて容易に張ることができることが知られている。 Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲
面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場
合には、パツチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、コンピユー
タによる演算処理が複雑かつ膨大になる問題があつた。 とくに極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたと
きには、ほとんどの場合当該指定された点の配列は規則
性をもつておらず、従つて枠組み空間に個別に四辺形パ
ツチを張るような従来の手法では、滑らかな自由曲面を
形成することは実際上極めて困難であつた。この問題を
解決する方法として共有境界を挟んで隣接する２つの枠
組み空間に、共有境界において接平面連続の条件を満足
するようなパツチを張るように、共有境界周りの制御辺
ベクトルを設定し直すことによつて、２つのパツチを滑
らかに接続する方法が提案されている（特願昭60−2774
48）。 この手法によれば隣接する２つのパツチの形状を規定
する内部の制御点を、共有境界における接平面連続の条
件を満足するような位置に位置決めしてしまうので、結
局１つのパツチを囲む境界曲線のすべてについて、隣接
するパツチと接平面連続の条件の下に接続しようとすれ
ば、当該１つのパツチの内部の曲面の形状は、周囲のパ
ツチとの接続関係だけによつて規定されることになるの
で、当該１つのパツチの内部の曲面を任意の形状に設定
することができず、その結果パツチの内部に滑らかな自
由曲面を生成することが困難になる問題がある。 本発明は以上の点を考慮してなされたもので、１つの
細部表面形状を囲む境界曲線を挟んで隣接する隣接細部
表面形状と接平面連続の条件を満足するように接続する
と同時に、当該１つの細部表面形状の内部の曲面形状
を、必要に応じて任意に設定し直すことができるように
することにより、大きい自由度で適正な滑らかさをもつ
物体の表面形状を生成することができるようにした物体
の表面形状作成方法を提案しようとするものである。 Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、CAD
装置によつて、枠組み処理により境界曲線で囲まれかつ
物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を形成し、
各枠組み空間において、当該各枠組み空間内の位置を所
定間隔で順次指定されるパラメータu,vによつて順次指
定してベクトル関数を演算することにより各枠組み空間
内の各位置における位置ベクトルデータを求め、これに
より物体の細部表面形状 を表す細部表面形状データを作成する物体の表面形状デ
ータ作成装置を用い、枠組み空間に形成するパツチでな
る細部表面形状 を表す細部表面形状データを生成する際、境界曲線を共
有境界COM1としてパツチでなる隣接する隣接細部表面形
状 に接平面連続の条件を満足するように接続するサブパツ
チでなる接続用副細部表面形状 と、接平面連続の条件に影響を与えることなくパツチで
なる細部表面形状 の内部形状を整形し得るサブパツチでなる整形用副細部
表面形状 とを重ね合わせ合成するような接続用内部制御点 及び整形用内部制御点 を表す位置ベクトルデータを生成するようにし、接平面
連続の条件として、細部表面形状 及び当該細部表面形状 に隣接する隣接細部表面形状 の共有境界COM1における接線ベクトルと、共有境界の接
線ベクトルとによつて形成される接平面が同一になるよ
うにし、接続用副細部表面形状 を表す副細部表面形状データと整形用副細部表面形状 を表す副細部表面形状データとを合成して得た位置ベク
トルデータに基づいて細部表面形状データ を生成するようにする。 Ｆ作用 物体の大まかな形状を表す枠組み空間には、物体の細
部の表面形状を表す細部表面形状 が形成され、この細部表面形状 は、その周囲を囲む共有境界COM1〜COM4を介して隣接す
る隣接細部表面形状 に対して接続用副細部表面形状 によつて接平面連続の条件の下に接続することができ
る。 これに加えて、枠組み空間に形成される細部表面形状 は、整形用副細部表面形状 を変更制御することによつて、内部の曲面の形状を必要
に応じて制御することができる。かかる制御をしても、
その影響は共有境界COM1〜COM4における接続条件に影響
を与えることはないので、結局隣接細部表面形状に対し
て所定の接続条件で接続できると同時に、当該接続条件
に影響を与えることなく内部の曲面の形状を必要に応じ
て制御することができる。 その結果極端に歪んで曲面を表す枠組み空間が指定さ
れた場合においても、一段と自然で滑らかな形状を有す
る物体の表面形状データを容易に作成することができ
る。 Ｇ実施例 以下図面について本発明の一実施例を詳述する。 （G1）第１の実施例 第１の実施例においては、CAD装置でなる物体の表面
形状データ作成装置を用いて、物体の大まかな形状を特
定する枠組み処理によつて得られた隣接する四辺形枠組
み空間に、パツチを、物体の細部の表面形状を表す細部
表面形状として形成する場合の実施例を示したもので、
枠組処理された四辺形枠組み空間の境界を表す境界曲
線、及び四辺形枠組み空間に張られるパツチを次式 のように、３次のベジエ式でなるベクトル関数 を用いて表現する。（１）式において、 は、第１図に示すように、隣合う２つの枠組み空間に張
られた曲面、すなわち第１の四辺形パツチ 及び第２の四辺形パツチ が共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置ベクト
ル と、第１のパツチ の位置ベクトル と、第２のパツチ の位置ベクトル と共に、枠組処理の際に指定される節点を構成する。 かくして、第１及び第２のパツチ が、それぞれ節点 の４つの境界曲線からなる共有境界COM1〜COM4によつて
囲まれている。なお第１図においては、共有境界COM1に
ついての接続関係だけを図示したが、共有境界COM2、CO
M3、COM4についても同様である。 節点 間の共有境界COM1は、２つの制御点 によつて３次のベジエ式を規定している。 これに対して、第１のパツチ の節点 間の共有境界COM3、 間の共有境界COM2、 間の共有境界COM4は、それぞれ２つの制御点によつて規定されている。同様にして第２のパツチ 間の共有境界COM3、 間の共有境界COM2、 間の共有境界COM4は、それぞれ２つの制御点 によつて規定されている。 また（１）式において、Ｅ及びＦはｕ方向及びｖ方向
のシフト演算子、パツチ 上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式、 の関係をもつ。 ここで、ｕ及びｖはｕ方向及びｖ方向のパラメータ
で、次式 ｕ、ｖ∈［０、１］ ……（４） で表すように、０〜１の間を変化する。かくして第１図
に示すように、第１及び第２のパツチ に対してそれぞれ節点 から横方向にｕ軸を取り、かつ縦方向にｖ軸を取つたパ
ラメータｕ、ｖを用いてパツチ 内の自由曲面上の座標を表すことができる。 このように定義した場合、第１及び第２のパツチ は（１）式に基づいてそれぞれ16個の節点及び制御点に
よつて規定される曲面を表すことになる。例えば、第１
のパツチ について（１）式を展開すればのように表し得る。 （５）式及び第１図から明らかなように、16個の節点
及び制御点のうち、 の項が第１のパツチ の内部に設定される制御点（これを内部制御点と呼ぶ）
を形成しており、その位置を制御することによつて共有
境界COMについて接平面連続の条件を満足するような滑
らかな接続を実現し得ると共に、パツチ の曲面の形状を制御できることになる。 これに対してその他の節点及び制御点は、いずれも枠
組処理の際に与えられた節点及び境界曲線を規定してお
り、このことはこれらの節点及び制御点を制御すること
ができないことを意味している。 そこで本発明においては、制御することができる内部
制御点 を以下に述べるように、共有境界を介して隣接するパツ
チの所定の条件（例えば接平面連続の条件）の下に接続
する機能をもつ接続用サブパツチでなる接続用副細部表
面形状と、内部の曲面を規定する整形用サブパツチでな
る整形用副細部表面形状とを重ね合わせて表現するよう
に構成する。 先ず、第１のパツチ を次式 のように、第１のパツチ をそれぞれｕ方向及びｖ方向に接続するためのサブパツ
チでなるサブパツチ群 を重ね合わせたものとして表す。 このｕ方向及びｖ方向接続用サブパツチ群 は、それぞれ次式 で表すように、それぞれ接続用サブパツチ と、整形用サブパツチ とによつて構成される。 ここで、ｖ方向及びｕ方向サブパツチ群 の係数項α_ｓ（ｕ、ｖ）及びβ_３（ｕ、ｖ）は、次式、 のように、位置条件ｕ＝０、又は１を設定したときα_Ｓ
（ｕ、ｖ）＝０、β_Ｓ＝１になることによりパツチ をｕ方向サブパツチ群 によつて表現し、また位置条件ｖ＝１、又は０を設定し
たときα_Ｓ（ｕ、ｖ）＝１、β_Ｓ＝０になることにより
パツチ をｖ方向サブパツチ群 によつて表現するように選定する。 これに対して、ｕ方向及びｖ方向サブパツチ群 の係数項α_SE、β_SEは内部制御点 の位置条件によつて次のように選定する。すなわち、内
部制御点 についての係数項α_SE11（ｕ、ｖ）、β_SE11（ｕ、ｖ）
は次式 のように、ｕ＝０、又はｖ＝０の接続位置条件が与えら
れたとき、それぞれ整形用制御点 の影響が残らないように、パラメータｕ、又はｖを分子
に有する。 同様にして、内部制御点 についての係数項α_SE12（ｕ、ｖ）、β_SE12（ｕ、ｖ）
は のように選定し、内部制御点 についての係数項α_SE21（ｕ、ｖ）、β_SE21（ｕ、ｖ）
は、 のように選定し、内部制御点 についての係数項α_SE22（ｕ、ｖ）、β_SE22（ｕ、ｖ）
は、 のように選定する。 上述のように係数項を選定することにより、内部制御
点 は、（６）式によつて表されるパツチ を規定するものであるから、以下に述べるベクトル関数
によつて表すことができる。 先ず第１の内部制御点 は節点 に対応する内部制御点で次式 のように、パツチ をｖ方向に接続する際の条件を表すｖ方向位置ベクトル と、パツチ をｕ方向に接続する条件を表すｕ方向位置ベクトル とを含んでなる。 （19）式においてｖ方向位置ベクトル は係数ｕ（１−ｕ）を有すると共にに、ｕ方向位置ベク
トル は係数ｖ（１−ｖ）を有する。従つてｕ＝０のとき（こ
の状態は共有境界COM1上の位置を指定したことを意味す
る）、パツチ の内部制御点 の項は、ｕ方向位置ベクトル になる。同様にしてｕ＝１のとき（この位置は共有境界
COM2上の位置を指定したことを意味する）、内部制御点 の項はｕ方向位置ベクトル になる。 同様にしてｖ方向についても、ｖ＝０、又はｖ＝１の
位置では、内部制御点 の項はｖ方向位置ベクトル になる。 ｖ方向位置ベクトル 及びｕ方向位置ベクトル は、次式、 のように表される。 （20）式で示すように、ｖ方向位置ベクトル は、ｖ方向接平面連続制御点 と、パツチ整形用制御点 とを含んでなり、それぞれ係数ｕ及びｖを有することに
よつて、ｖ＝０の位置条件が与えられたときｖ方向位置
ベクトル はｖ方向接平面連続制御点 で表される位置に設定される。これに対してｖ＝０以外
の位置条件が与えられたときには、ｖ方向位置ベクトル は、ｖ方向接平面連続制御点 と、パツチ整形用制御点 との和に基づく位置を表すことになる。 またｕ方向位置ベクトル は、（21）式から明らかなように、ｕ方向接平面連続制
御点 及びパツチ整形用制御点 を有し、それぞれ係数ｖ及びｕを有することにより、ｕ
＝０の位置条件が与えられたときには、ｕ方向位置ベク
トル がｕ方向接平面連続制御点 で表され、これに対してその他の位置条件のときには、
ｕ方向位置ベクトル が、ｕ方向接平面連続制御点 とパツチ整形用制御点 との和によつて表される。 この結果、節点 に対応する内部制御点 は、ｕ＝０の位置条件が与えられたとき（19）式からｕ
方向位置ベクトル で表されると共に、このｕ方向位置ベクトル が、（21）式に基づいて、ｕ方向接平面連続制御点 によつて表されることにより結局内部制御点 がｕ方向接平面連続制御点 のみによつて表されることになる。この結果、パツチ を接平面連続の条件を満足するようにパツチ に接続し得るような内部制御点 が設定されることになる。 同様にして、ｖ＝０の位置条件が与えられたときに
は、内部制御点 が（19）式に基づいてｖ方向位置ベクトル によつて表されると共に、このｖ方向位置ベクトル が（20）式に基づいて方向接平面連続制御点 によつて表されることにより、結局、内部制御点 がｖ方向接平面連続制御点 のみに表されることになる。その結果パツチ がｖ＝１の共有境界COM3を介して隣接するパツチ に接平面連続の条件を満足するように接続し得るような
内部制御点 が設定されることになる。 これに対してｕ＝０、ｖ＝０以外の位置条件が与えら
れたときにはｖ方向位置ベクトル 及びｕ方向位置ベクトル が（20）式及び（21）式に基づいて、それぞれパツチ整
形用制御点 を含む条件で表されることにより、このパツチ整形用制
御点 を必要に応じて設定し直すことにより、内部制御点 の位置を変更制御し得ることになる。このことは、共有
境界COM1又はCOM3の位置において接平面連続の条件が成
り立つような位置に内部制御点 を設定できると同時に、それ以外の位置条件の下では、
内部制御点 の位置をパツチ整形用制御点 を制御することによつて必要に応じて自由に設定し直す
ことができることを意味し、かくして接平面連続の条件
を崩すことなくパツチ の内部曲面の形状が制御できることになる。 このようにして設定される内部制御点 は、これを構成する４つの制御点 は互いに異なる値をもてば、第２図に示すように、４つ
の制御点を重ね合わせることによつて１つの制御点を表
すことになる。これに対してこれら４つの制御点を表す
位置ベクトルが互いに等しければ、内部制御点 は、当該互いに等しい１つの位置ベクトルによつて表現
されることになる。 以上は、節点 に対応する内部制御点 についてこれを構成する４つの制御点を示したが、他の
節点、すなわち に対応する内部制御点 についても同様にして接平面連続の条件を満足するよう
な２つの制御点と、パツチの内部形状を整形し得る２つ
のパツチ整形用制御点とを重ね合わせて表現した位置に
設定することができる。 すなわち内部制御点 は、（19）式〜（21）式に対応させて次式 に示すように表すことができる。 また内部制御点 は（19）式〜（21）式に対応させて次式 のように表すことができる。 また内部制御点 は（19）式〜（21）式に対応させて次式 のように表すことができる。 （19）式〜（30）式で表される内部制御点 は四辺形パツチ をｕ方向に隣接する２つのパツチ と接続する場合には、第１図においてｕ＝０、ｕ＝１と
置いて、共有境界COM1、COM2の制御点 に対応する制御点を用いて共有境界COM1、COM2上の曲面を制御する。とこ
ろで（19）式及び（21）式、（22）式、（24）式におい
て、ｕ＝０と置けば、内部制御点 は次式 のように、パツチ整形用制御点 の影響をもたないｕ方向接平面連続制御点 のみによつて表される。従つてパツチ を共有境界COM1において接平面連続の条件の下に隣接す
るパツチ に接続することができる。 またｕ＝１の位置条件においては、四辺形パツチ は共有境界COM2（第１図）の制御点 に対応する制御点 によつて接続されるが、この内部制御点は（25）式、
（27）式、（28）式、（30）式から のように、それぞれパツチ整形用制御点 の影響を受けずにｕ方向接平面連続制御点 のみによつて表される。このようにしてパツチ を共有境界COM2上において隣接するパツチ に接平面連続の条件の下に接続することができる。 次に、ｖ方向については、先ず共有境界COM3（第１
図）の制御点 に対応する内部制御点 についてｖ＝０の条件を入れると、内部制御点 は（19）式、（20）式、（25）式、（26）式から次式 のようにパツチ整形用制御点 の影響を受けずに、ｖ方向接平面連続制御点 のみによつて表される。従つて四辺形パツチ を共有境界COM3の位置において接平面連続の条件を満足
するように滑らかに接続することができる。 これに対して、共有境界COM4（第１図）の制御点 に対応する内部制御点 は、ｖ＝１の条件を入れると、（22）式、（23）式、
（28）式、（29）式から次式 のように、パツチ整形用制御点 の影響を受けずに、ｖ方向接平面連続制御点 のみによつて表される。従つて四辺形パツチ を共有境界COM4の位置において接平面連続の条件を満足
するように隣接するパツチ に滑らかに接続できる。 これに対してｕ＝０、ｕ＝１、ｖ＝０、ｖ＝１以外の
位置においては、内部制御点 はそれぞれ（19）式〜（21）式、（22）式〜（24）式、
（25）式〜（27）式、（28）式〜（30）式によつて表さ
れているように、パツチ整形用制御点 の項を含む数式によつて表されることにより、これらの
パツチ整形用制御点を必要に応じて選定し直せば、四辺
形パツチ の内部の曲面の形状を、必要に応じて所定の形状に整形
することができる。かくするにつき、四辺形パツチ を囲む共有境界COM1、COM2、COM3、COM4における接平面
連続の条件を崩さないようにできる。 上述においては一方の四辺形パツチ の内部制御点の設定の仕方について述べたが、四辺形パ
ツチ についても（19）式〜（30）式によつて表される内部制
御点 を設定することができる。 このような手法によつて２つの四辺形パツチ を実際に接続した結果、第３図に示すような結果を得る
ことができた。この場合には、内部制御点 のパツチ整形用制御点及び接平面連続制御点を互いに等
しい位置に設定した場合を示しており、四辺形パツチ における等輝度線KEが、互いに平行になつていることに
より、パツチ内部の曲面の形状を制御していない状態に
あることを表している。なお符号KNは、各点における法
線ベクトルを示しており、これにより四辺形パツチ を囲む共有境界において、接平面連続の条件の下に隣接
するパツチに接続されていることを表している。 この状態において、内部制御点 のうちパツチ整形用制御点 として、接平面連続制御点 とは異なる位置ベクトルを選定すれば、第３図に対応さ
せて第４図に示すように、四辺形パツチ の等輝度線KEが、パツチ整形用制御点の移動に伴つて変
形する。このことは、パツチ の曲面形状がパツチ整形用制御点の移動に伴つて変形し
たことを表している。 しかし、この場合においても、四辺形パツチ を囲む境界曲線上の法線KNの方向は、接平面連続制御点
が移動されていないことによつて、第３図の場合と同じ
方向を向いている。従つてパツチ をその周囲に隣接する他のパツチ に接平面連続の条件の下に接続することができると同時
に、この条件を維持した状態のまま、パツチ 内部の曲面の形状をパツチ制御用制御点を制御すること
によつて、必要に応じて整形できることになる。 （G2）接平面連続の条件に基づく接続方法 （19）式〜（30）式におけるｖ方向接平面連続制御点 及びｕ方向接平面連続制御点 は次のようにして対応する制御点 に対して接平面連続の条件の下に共有境界COM1〜COM4に
接続される。 この明細書において、接平面とは共有境界の各点にお
けるｕ方向及びｖ方向の接線ベクトルによつて形成され
る平面を意味し、例えば第１図の共有境界COM1上の各点
において、パツチ の接平面が同一のとき接平面連続の条件が成り立つ。 すなわち共有境界COM1上の点（０、ｖ）についての接
平面連続の条件は第５図に示すようにして決められる。
すなわちパツチ について、共有境界COM1を横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル及び共有境界COM1に沿う方向（すなわちｖ方向）の接線
ベクトル の法線ベクトル は、 で表され、またパツチ について、共有境界COM1を横断する方向の接線ベクトル 及びCOM1に沿う方向の接線ベクトル の法線ベクトル は、 で表される。 このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトル が同一平面に存在しなければならず、その結果法線ベク
トル は同一方向に向くことになる。 これを実現するためには、次式 が成り立つように内部制御点 に含まれる接平面連続制御点 を設定すれば良い。ここでλ（ｖ）、μ（ｖ）、ν
（ｖ）は、スカラ量で、これを λ（ｖ）＝（１−ｖ）＋ｖ ……（42） μ（ｖ）＝κ_１（１−ｖ）＋κ_２ｖ ……（43） ν（ｖ）＝η_１（１−ｖ）^２＋（η_１＋η_２）（１−
ｖ）ｖ＋η_２ｖ^２ ……（44） に選定する。 また（41）式において共有境界COM1において第１のパ
ツチ のｕ方向（すなわち共有境界COM1を横断する方向）に取
つた接線ベクトルは、（１）式をパラメータｕについて
１階偏微分することにより、 で表される。ここで は節点 から制御点 に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
第１のパツチ について、次式 によつて制御辺ベクトル を表すことができる。ここで、 は共有境界COM1の制御点 から第１のパツチ の内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、また、 は同様にして制御点 から内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 は節点 から内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示す。 同様にして共有境界COM1上において、第２のパツチ のｕ方向に向かう接線ベクトルは、（１）式をパラメー
タｕについて１階偏微分することにより、 で表される。ここで は、節点 から第２のパツチ の制御点 に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
第２のパツチ について、次式 によつて制御辺ベクトルを表すことができる。ここで、 は共有境界COM1の制御点 から第２のパツチ の内部制御点 へ向かう制御辺ベクトを示し、 は同様にして制御点 から内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 は節点 から内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示す。 さらに共有境界COM1上の各点における第１のパツチ 側のｖ方向の接線ベクトルが、（１）式をパラメータｖ
について１階偏微分することにより で表される。ここで は、節点 から制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
共有境界COM1について、次式 によつて制御辺ベクトル を表すことができる。ここで は制御点 から制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 は同様にして制御点 から節点 へ向かう制御辺ベクトルを示す。 共有境界COM1における滑らかな接続は、接平面連続の
条件を満足するような制御辺ベクトル を求めることにより実現される。 そこで（42）式〜（44）式を（41）式に代入すると共
に、（45）式、（47）式、（49）式を（41）式に代入
し、その結果（41）式が成り立つように未知数κ_１、κ
_２及びη_１、η_２を選定すれば、接平面連続の条件を満
足しながら、２つのパツチ を接続できることになる。 実際上（45）式、（47）式、（49）式と、（42）式〜
（44）式とは、（１−ｖ）の項及びｖの項をもつている
ので、（41）式の左辺及び右辺は、（１−ｖ）^４、ｖ
（１−ｖ）^３、v²（１−ｖ）^２、v³（１−ｖ）、v⁴の項
の和の形に展開整理できる。従つて展開式の各項ごとに
係数部が互いに等しいという条件を立てれば、 で表される連立方程式が得られ、かくして４つの未知数
κ_１、κ_２及びη_１、η_２と共に、内部制御点を表す を解くことができる。 このようにして求めた制御辺ベクトル によつてパツチ の内部制御点 を設定すれば、共有境界COM1において接平面連続の条件
の下に隣接するパツチ を滑らかに接続することができる。 実際上（20）式、（23）式、（26）式、（29）式のｖ
方向接平面連続制御点 と、（21）式、（24）式、（27）式、（30）式のｕ方向
接平面連続制御点 とは、それぞれ共有境界COM1〜COM4について隣接するパ
ツチとの間に接平面連続の条件を満足するように制御辺
ベクトル を設定することにより決められるものである。 （G3）第２の実施例 この実施例の場合、第２図に対応させて第６図に示す
ように、内部制御点 を、ｖ方向接平面連続制御点 と、ｕ方向接平面連続制御点 と、パツチ整形用制御点 とでなる３つの制御点を重ね合わせたものとして表すこ
とにより、パツチ内部の曲面の整形をする際の制御を一
段と容易になし得るようにしたものである。 第６図の実施例の場合、第２図の場合と対比して大き
な特徴があるのは、パツチ整形用制御点について第２図
の場合は２つの制御点 を重ね合わせたものとして制御するのに対して、第６図
の場合はこれを１つの制御点として制御し得る点に特徴
がある。 先ずこの実施例の場合、第１のパツチ を次式 のようにｖ方向接続用サブパツチ群 と、ｕ方向接続用サブパツチ群 とを重ね合わせたものとして表現し、各サブパツチを のように、それぞれ接平面連続用サブパツチ と、パツチ整形用サブパツチ とで表すものとする。 ここで（56）式において、各サブパツチに用いられる
係数α_Ｓ（ｕ、ｖ）及びβ_Ｓ（ｕ、ｖ）はそれぞれ（5
7）式、（58）式のサブパツチの係数α_SE（ｕ、ｖ）、
β_SE（ｕ、ｖ）は次式 のように互いに等しい値α_Ｓ（ｕ、ｖ）、β_Ｓ（ｕ、
ｖ）に選定されている。 このように定義すれば、（１）式によつて表されるパ
ツチ の内部制御点 はそれぞれ次式 のように、それぞれｖ方向接平面連続用サブパツチ の項と、ｕ方向接平面連続用サブパツチ を表す項と、パツチ整形用サブパツチを表す制御点 を表す項とを互いに重ね合わせた式として表現すること
ができる。 ところで各内部制御点における対応するサブパツチ、
すなわちｖ方向接平面連続用サブパツチ、ｕ方向接平面
連続用サブパツチ、パツチ整形用サブパツチの係数はそ
れぞれu²（１−ｕ）^２、v²（１−ｖ）^２、2u（１−ｕ）
ｖ（１−ｖ）を分子に含んでいるので、結局全て内部制
御点 を次式のように一般式として表すことができる。 このように内部制御点を一般式で表すことができるこ
とは、コンピユータによつて演算制御をする場合に、演
算が格段的に容易になる利点がある。 このように四辺形枠組み空間に、（56）式〜（60）式
で表したパツチを張ると共に、（65）式の一般式によつ
て表されるような内部制御点を設定すれば、当該四辺形
パツチはその周囲を囲む境界曲線上において接平面連続
の条件を満足するように隣接するパツチに接続すること
ができると同時に、この接平面連続の条件を崩さずに、
パツチ内部に設けたパツチ整形用サブパツチを制御する
ことによつて、内部曲面の形状を必要に応じて整形する
ことができる。 このような結果を得ることができることは、次のよう
にして証明し得る。 先ず（56）式に（57）式及び（58）式を代入すると共
に、その係数として（59）式及び（60）式を代入した
後、（56）式を展開すれば、次式 が得られる。ここで、 はそれぞれ（57）式、（58）式について上述したｖ方向
接平面連続用サブパツチ ｖ方向パツチ整形用サブパツチ ｕ方向パツチ整形用サブパツチ ｕ方向接平面連続用サブパツチ における節点 の位置にある基準位置ベクトルを示す。 この（66）式をシフト演算子Ｅ及びＦを用いて各サブ
パツチを形成している制御点によつて表せば、次式 のように、16×４＝64個の制御点によつてパツチ を表すことができる。 （67）式において、内部の制御点に対応する制御点以外の制御点は四辺形パツチ が枠組み処理された際に、共有境界COM1、COM2、COM3、
COM4を構成する境界曲線が指定されたときに既知の値と
して与えられていると共に、（56）式〜（60）式につい
て上述したように、４枚のサブパツチ を重ね合わせることによつて１枚のパツチ を当該四辺形枠組み空間上に張ることを考えると、内部
制御点を除いて周囲の境界曲線を指定するための制御点
は１つでなくてはならない。このことは、４枚のサブパ
ツチにおいて、内部制御点以外の節点及び制御点は互い
に等しくなければならないことを意味する。 この条件に基づいて、境界曲線を規定する点の位置ベ
クトルについて次式 の条件を（67）式に代入すれば、４つのサブパツチを加
算したことによつて得られる演算結果の係数はそれぞれ
（５）式について上述したと同じ値を得ることができ
る。 例えば節点 について演算してみれば、次式 のように重ね合わせ演算式部分が分母に等しくなるため
に、演算結果は（５）式の節点 の項と同一になる。 従つて（65）式によつて一般式で表される内部制御点 を設定すれば、節点 の位置において（１）式で表されるパツチを張ることが
できることが証明された。 これに対して四辺形パツチ の内部制御点は、枠組み処理時の条件によつて一義的に
決まるには規定されていないので、各サブパツチについ
て、周囲の境界曲線の位置では接平面連続の条件を満足
するように隣接するパツチと接続し、かつ内部において
は自由に曲面を整形できるように曲面形状を変形できる
ように、内部制御点 を決めることができる。 このことを、例えば４つの制御点のうち、内部制御点 を代表として検討してみると、演算式は次式 のように表すことができる。 （70）式において、ｕ方向及びｖ方向についてのパツ
チ整形用サブパツチを構成する制御点 のように表せば、（70）式は のように表すことができる。 この（72）式において、ｕ＝０、又は１のとき、ｖ方
向接平面連続用サブパツチを表す式 の項と、パツチ整形用サブパツチを表す の項が共に０になる。従つて、内部制御点 は、ｕ方向の接平面連続用サブパツチ の項いよつて、共有境界COM1、又はCOM2（第１図）にお
いてパツチ を接平面連続の条件で隣接するパツチ に接続することができる。 また（72）式において、ｖ＝０、又は１の位置条件を
与えると、ｖ方向接平面連続用サブパツチ の項と、パツチ整形用サブパツチ の項とが、共に０になることにより、内部制御点 はｖ方向接平面連続用サブパツチ によつて共有境界COM3、又はCOM4において接平面連続の
条件の下に接続することができる。 これに加えて、ｕ及びｖが共に０、又は１ではない位
置条件が与えられたときには、パツチ整形用サブパツチ
を表す の項が０ではなくなるので、内部制御点 はパツチ整形用サブパツチを表す制御点 が位置を変更制御されたとき、これに応じて位置を変更
して行く。かくしてパツチ内部の曲面は、当該内部制御
点 の変化に応じて曲面の形状が変化して行くことになる。
かかる変化をした後においても、ｕ及び又はｖが１又は
０になる位置条件の下では、上述の接平面連続の条件が
崩れることがなく、かくして隣接するパツチに滑らかに
接続することができる。 その他の内部制御点 についても（70）式〜（72）式と同様の演算をすること
ができ、かくしてこれらの内部制御点についても周囲の
共有境界において隣接するパツチを接平面連続の条件を
満足させながら接続すると共に、内部の曲面の形状を変
形制御することができる。 かくして（65）式について上述した一般式によつて表
される内部制御点 を形成することによつてパツチを囲む共有境界において
接平面連続の条件の下に隣接するパツチと滑らかに接続
すると共に、内部の曲面の形状を必要に応じて変形制御
し得るような自由曲面を容易に作成することができる。 （G4）第３実施例 第１の実施例の場合、（19）式〜（30）式について上
述したように、ｕ方向サブパツチ群及びｖ方向サブパツ
チ群を形成する各位置ベクトル それぞれについて、互いに異なるパツチ整形用制御点 を設定できるように構成したが、これに代えパツチ整形
用制御点 をそれぞれ互いに等しいとおけば、内部制御点 の式の形は、第２の実施例について（61）式〜（64）に
ついて上述したと同様にしてｕ方向及びｖ方向接続用サ
ブパツチと、パツチ整形用サブパツチの和の形で表すこ
とができ、このようにしても周囲の共有境界において接
平面連続の条件の下に隣接するパツチに滑らかに接続し
得ると共に、パツチ内部の曲面の形状を整形できるよう
になる。 例えば、内部制御点 をそれぞれ のように表すようにすれば、当該内部制御点によつて形
成されるパツチは、対応する節点 （第１図）に対応する位置条件としてｕ＝０又は１、ｖ
＝０又は１の位置条件の下に のように、それぞれｕ方向及びｖ方向接平面連続制御点
によつて接続されることになる。これに対してｕ＝０又
は１、及び又はｖ＝０又は１以外の位置条件では、内部
制御点 はそれぞれパツチ整形用サブパツチを表す位置ベクトル を含んだ式によつて表されることにより、当該パツチ整
形用サブパツチを形成する制御点 を変更制御すれば、これに応じて内部制御点 が変更制御されることによつて、パツチの内部の曲面を
必要に応じて整形することができる。 （G5）第４の実施例 上述の第２の実施例においては、（56）式〜（60）式
について上述したように、サブパツチを表す項の係数α
_Ｓ（ｕ、ｖ）及びβ_Ｓ（ｕ、ｖ）とサブパツチを表す項
の係数α_SE（ｕ、ｖ）及びβ_SE（ｕ、ｖ）として、ｕ方
向及びｖ方向接続用パツチに含まれるパツチ整形用サブ
パツチ （（71）式）の係数が共通になるように数式を選定する
ことによつて、ｕ方向及びｖ方向接続用サブパツチに含
まれるパツチ整形用サブパツチ の和をパツチ整形用サブパツチを表す制御点 とおけることにより、かくして内部制御点 （（61）式〜（64）式）に基づいて、（65）式によつて
表されるように、ｖ方向接続用サブパツチ の項と、ｕ方向接続用サブパツチ の項と、パツチ整形用サブパツチ を加算した数式によつて内部制御点 を一般式によつて表し得るようになされている。 かかる原理を用いて、内部制御点 をそれぞれ次式 のように表現しても第２の実施例の場合と同様にして のように内部制御点を一般式として簡易な数式表現で表
すことができる。 かくしてこの場合も、簡易な数式表現で内部制御点を
表現できることによつて、コンピユータによる演算を簡
易化することにより、パツチ を、その共有境界において隣接するパツチ と接平面連続の条件の下に滑らかに接続すると共に、パ
ツチ内部の曲面の形状を必要に応じて任意に制御できる
ような自由曲面を容易に生成し得る。 （G6）他の実施例 （１）なお、上述の実施例においては、枠組み空間に３
次のベジエ式で表されるパツチを張る場合について述べ
たが、数式の次数はこれに限らす４次以上にしても良
い。 （２）さらに上述の実施例においては、ベジエ式によつ
て表されるパツチを張るようにした場合について述べた
が、これに限らず、スプライン式、クーンズ（Coons）
式、フオーガソン（Furgason）式などの他のベクトル関
数を用いるようにしても良い。 （３）また、上述の実施例においては、四辺形パツチ の４つの辺に四辺形パツチを接続する場合の実施例につ
いて述べたが、四辺形パツチ の４つの辺に接続するパツチの形状は、四辺形に限ら
ず、例えば三辺形等、他の形状であつても良く、このよ
うにしても四辺形パツチ の４つの辺を共有境界として接平面連続の条件を満足す
るような接続をｕ方向及びｖ方向接続用パツチを用いて
実現し得る。 この場合には、四辺形枠組み空間の間に、三辺形枠組
み空間が混在する場合にも、これを２次元的に容易に接
続することができ、かくして例えば物体の角部の形状と
して丸みを帯びた自由曲面を生成する場合に有効に適用
し得る。 （４）さらに上述の実施例においては、四辺形パツチ を中心にして、これを４つの辺に隣接するパツチに接続
するようにした実施例について述べたが、三辺形パツチ
についてこれをその３つの辺に隣接するパツチを接続す
るような場合にも、本発明を適用することができる。 Ｈ発明の効果 以上のように、本発明によれば、物体の大まかな形状
を特定するための枠組み空間に対して、その周囲を囲む
境界曲線において接平面連続の条件を満足するような接
続用副細部表面形状と、内部の形状を制御するような整
形用副細部表面形状とを重ね合わせ合成できるような内
部制御点を生成するようにしたことにより、順次隣接す
る多数の枠組み空間に接平面連続の条件を満足する滑ら
かな細部表面形状を形成することができると共に、当該
各細部表面形状の内部の形状を必要に応じて任意に制御
することができ、これにより、全体として一段と自然な
滑らかさをもつ物体の表面形状データを容易に作成する
ことができる。

【図面の簡単な説明】 第１図は本発明による物体の表面形状データ作成装置の
一実施例を示す略線図、第２図は内部制御点 を構成するサブパツチの説明に供する略線図、第３図及
び第４図は生成した自由曲面に対する整形用制御点の説
明に供する略線図、第５図は接平面連続の条件の説明に
供する略線図、第６図は本発明の他の実施例における制
御点 を構成するサブパツチの説明に供する略線図である。

Claims (1)

1. (57)【特許請求の範囲】 １．CAD装置によって、枠組み処理により境界曲線で囲
   まれかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を
   形成し、上記各枠組み空間において、当該各枠組み空間
   内の位置を所定間隔で順次指定されるパラメータによつ
   て順次指定してベクトル関数を演算することにより上記
   各枠組み空間内の上記各位置における位置ベクトルデー
   タを求め、これにより上記物体の細部表面形状を表す細
   部表面形状データを作成する物体の表面形状データ作成
   装置を用い、 上記枠組み空間に形成する細部表面形状を表す細部表面
   形状データを生成する際、上記境界曲線を共有境界とし
   て隣接する隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満足
   するように接続する接続用副細部表面形状と、 上記接平面連続の条件に影響を与えることなく上記細部
   表面形状の内部形状を整形し得る整形用副細部表面形状
   と を重ね合わせ合成するような接続用内部制御点及び整形
   用内部制御点を表す位置ベクトルデータを生成するよう
   にし、 上記接平面連続の条件として、上記細部表面形状及び当
   該細部表面形状に隣接する上記隣接細部表面形状の上記
   共有境界における接線ベクトルと、上記共有境界の接線
   ベクトルとによつて形成される接平面が同一になるよう
   にし、 上記接続用副細部表面形状を表す副細部表面形状データ
   と上記整形用副細部表面形状を表す副細部表面形状デー
   タとを合成して得た位置ベクトルデータに基づいて上記
   細部表面形状データを生成する ことを特徴とする物体の表面形状データ作成方法。 ２．上記接続用副細部表面形状を表すベクトル関数デー
   タ及び上記整形用副細部表面形状を表すベクトル関数デ
   ータは、第１及び第２の座標軸方向について、上記隣接
   細部表面形状との接続関係及び上記細部表面形状の内部
   形状に係る複数の副細部表面形状を表すベクトル関数デ
   ータをそれぞれもつように規定されたことを特徴とする
   特許請求の範囲第１項に記載の物体の表面形状データ作
   成方法。 ３．上記整形用副細部表面形状を構成する上記複数の副
   細部表面形状を、互いに等しい制御点を示す位置ベクト
   ルデータによつて規定することを特徴とする特許請求の
   範囲第２項に記載の物体の表面形状データ作成方法。