JP2600670B2 - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 Ｄ発明が解決しようとする問題点（第６図、第７図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図） Ｆ作用（第１図） Ｇ実施例 （G1）三辺形パツチ接続の原理（第１図、第２図） （G2）三辺形パツチの２次元的接続（第３図、第４図） （G3）パツチ接続処理手順（第５図） （G4）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばCAD（compu
ter aided design）、又はCAM（computer aided manufa
cturing）などにおいて、自由曲面をもった形状を生成
する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表され
るパツチを張ることにより自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、境界曲線を挟んで隣
接する２つの三辺形枠組み空間に接平面連続の条件を満
足する２つの内部制御点を対称的に形成することによ
り、対称性を失うことなく滑らかに接続されたパツチを
張ることができる。

Ｃ従来の技術 例えばCADの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（geometric modeling）、一般に
デザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数の
点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複数
の節点を結ぶ境界曲線網を所定のベクトル関数を用いて
コンピユータによつて演算させることにより、いわゆる
ワイヤフレームで表現された曲面を作成する。かくして
境界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成する
ことができる（このような処理を以下枠組み処理と呼
ぶ）。

かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、
それ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状
を表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所
定のベクトル関数によつて表現できる曲面を補間演算す
ることができれば、全体としてデザイナがデザインした
自由曲面（２次関数が規定できないものを言う）を生成
することができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面
は全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパツ
チと呼ぶ。

従来のこの種のCADシステムにおいては、境界曲線網
を表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベ
ジエ（Bezier）式、Ｂスプライン（Ｂ−spline）式でな
る３次のテンソル積が用いられており、例えば形状的に
特殊な特徴がないような自由曲面をパラメトリツクな数
式によつて表現するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面
は、空間に与えられた点をxy平面上に投影したとき、当
該投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいるこ
とが多く、この投影点の数がｍ×ｎで表されるとき、当
該枠組み空間を３次のベジエ式で表される四辺形パツチ
を用いて容易に張ることができることが知られている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲
面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場
合には、パツチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュー
タによる演算処理が復雑かつ膨大な問題があつた。

特に極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたとき
には、ほとんどの場合当該指定された点の配列は規則性
をもつておらず、従つて枠組み空間に四辺形パツチを張
るような従来の手法では、滑らかな自由曲面を形成する
ことは実際上極めて困難であつた。

この問題を解決する方法として、特願昭61−15396号
に開示されているように、枠組み処理によつて形成され
た三辺形枠組み空間を囲む境界曲線周りの制御辺ベクト
ル接平連続の条件を表す連続方程式を解くことによつ
て、内部制御点を表す制御辺ベクトルを設定する方法が
提案されている。

ところがこの方法によると、隣接するパツチが境界曲
線に対して対称な形状をもつている場合には、接平面連
続の条件式が解けなくなる場合があり、このような場合
には互いに対称なパツチを滑らかに張ることができない
問題があつた。

対称なパツチを接続できない理由は次の通りである。

特願昭61−15396号に開示の手法によつて対称な２つ
のパツチ（例えば1/8球面をもつパツチ）を接平面連続
の条件の下に接続しようとする場合（その結果1/4球面
をもつ自由曲面を作成し得る）、接平面連続の式を構成
する連立方程式の行列式が０になる場合があり、この場
合には接平面連続の式を解くことができなくなるため
に、当該対称な２つのパツチを接続できない問題があ
る。

すなわち特願昭61−15396号の場合には、第６図に示
すように、ランダムに指定された節点 に基づいて、互いにより近い節点相互間を結ぶ境界曲線
によつて枠組み処理を実行し、これにより境界曲線網に
よつて表される立体曲面を全体として三辺形の枠組み空
間によつて形成するようにし、各枠組み空間の境界曲
線、及び各枠組み空間に張られるパツチを次式 のように３次のベジエ式でなるベクトル関数 を用いて表現する。（１）式において、 第７図に示すように、隣合う２つの枠組み空間に張られ
た曲面すなわち第１の三辺形パ 共に保有している境界曲線（これを共有境界と呼ぶ）CO
Mの一端の位置を表す位置ベクトルでなる。

また（１）式において、Ｅ及びＦはｕ方向及びｖ方向
のシフト演算子で、パツチ 及び 上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式、 の関係をもつ。ここで ｕ≧０ ……（４） ｖ≧０ ……（５） ｕ＋ｖ≦１ ……（６） である。

さらに（１）式において、ｕ及びｖはｕ方向及びｖ方
向のパラメータで、第７図に示すように、第１及び第２
のパツチ に対してそれぞれ節点 から横方向にｕ軸をとり、かつ縦方向にｖ軸をとつた座
標（u,v）を用いてパツチ 内の自由曲面上の座標を表すことができる。

このように定義した場合共有境界COM（第７図）の各
点において第１のパツチ のｕ方向（すなわち共有境界COMを横断する方向）にと
つた接線ベクトルは、（１）式をパラメータｕについて
１階偏微分することにより、 で表される。ここで から制御点 に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと共に
第１のパツチ について、次式 によつて制御辺ベクトル （ｊ＝０、１、２）を表すことができる。ここで は共有境界CO 部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 へ向かう制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界COM上において、第２のパツチ のｕ方向に向かう接線ベクトルは、（１）式をパラメー
タｕにつて１階偏微分することにより、 で表される。ここで は、節点 から第２のパツチ に向かう制御編辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと共
に第２のパツチ について、次式 によつて制御辺ベクトル （ｊ＝０、１、２）を表すことができる。ここで は共有境界COMの制御点 内部制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 から制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示す。

さらに共有境界COM上の各点における第１のパツチ 側のｖ方向の接線ベクトルは、（１）式をパラメータｖ
について１階偏微分することにより、 で表される。ここで から制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
共有境界COMについて次式 によつて制御辺ベクトル （ｊ＝１、２、３）を表すことができる。ここで から制御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 向かう制御辺ベクトルを示す。

このようにして共有境界COMにおいてパツチ を滑らかに接続するためには、共有境界COM上のすべて
の点において接平面連続の条件が成り立つことが必要で
あり、そのためには、第１のパツチ についてそのｕ方向の接線ベクトル（（７）式によつて
表される）と、第２のパツチ におけるｕ方向の接線ベクトル（（９）式によつて表さ
れる）と、第１のパツチ のｖ方向の接線ベクトル（（11）式によつて表される）
とが、同一平面上にあることが必要であり、このことか
ら次式 を満足させるようにパラメータを設定し直せば良い。

ここでλ（ｖ）、ｕ（ｖ）、ν（ｖ）はスカラ関数
で、 λ（ｖ）＝（１−ｖ）＋ｖ ……（14） ｕ（ｖ）＝α_１（１−ｖ）＋α₂v ……（15） ν（ｖ）＝β_１（１−ｖ）＋β₂v ……（16） に選定される。

そこで（７）式、（９）式、（11）式、（14）式〜
（16）式を（13）式に代入して、左辺及び右辺における
（１−ｖ）^３の項、（１−ｖ）²vの項、（１−ｖ）v²の
項、v³の項について係数部が互いに等しいという条件を
立てれば、次の４つの式 で表される連立方程式（いわゆる接平面連続の式）が得
られる。

ここで（17）式及び（20）式から未知数α_１、α_２、
β_１、β_２を解くことができる。また（18）式及び（1
9）式によつてすでに求めた未知数α_１、α_２、β_１、
β_２と共に、未知数 及び を解くことができる。

すなわち（18）式及び（19）式を整理すれば の関係が得られる。これを行列で表せば となり、結局左辺第１項の行列に含まれるパラメータβ
_１及びβ_２について、 β_１≠β_２ ……（24） のようにパラメータβ_１及びβ_２が等しくない場合に限
つて（23）式で表される接平面連続の式を解くことがで
きる。

ところが２つの1/8球面を接続して1/4球面を作成しよ
うとする場合、パラメータβ_１及びβ_２が次式 β_１＝β_２ ……（25） で表されるように互いに等しくなることを避け得ない。
従つて結局接続すべき三辺形パツチが共有境界を挟んで
対称である場合には、接平面連続の式を解くことができ
ない場合があり、この場合には滑らかなパツチを張るこ
とができない問題がある。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、隣接す
る三辺形枠組み空間に境界曲線を挟んで互いに対称かつ
滑らかな自由曲面を容易に張ることができるようにした
自由曲面作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組
み処理によつて隣接する第１及び第２の三辺形枠組み空
間を形成し、第１及び第２の三辺形枠組み空間に所定の
ベクトル関数で表されるパツチ を張ると共に、当該パツチの形状を決める内部制御点 の位置を制御することにより、第１及び第２の三辺形枠
組み空間の共有境界COM1において滑らかに接続された自
由曲面を生成するようになされた自由曲面作成方法であ
つて、隣接する第１及び第２の三辺形枠組み空間につい
て、それぞれ内部制御点 に対応する２つの制御点 を、共有境界COM1においてそれぞれ接平面連続の条件を
満足する位置に、設定することにより、当該設定された
２つの制御点によつて特定された第１及び第２のパツチ を第１及び第２の三辺形枠組み空間に張るようにする。

Ｆ作用 共有境界COM1を挟んだ位置に内部制御点 にそれぞれ対応する２つの制御点 をそれぞれ設定するようにしたことにより、共有境界CO
M1を挟んで対称的なパツチをその対称性を失わせないよ
うにしかも滑らかに接続することができる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（G1）三辺形パツチ接続の原理 この実施例においては、第１図に示すように、枠組み
処理された枠組み空間の境界曲線、及び各枠組み空間に
張られるパツチ を次式 ｕ＋ｖ＋ｗ＝１ ……（27） ｕ≧０、ｖ≧０、ｗ≧０ ……（28） のように、３次のベジエ式でなるベクトル関数 を用いて表現する。（26）式において は、隣合う２つの枠組み空間に張られた曲面、すなわち
第１の三辺形パツチ 及び第２の三辺形パツチ が共に保有している境界曲線すなわち共有境界COM1の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置ベク 位置ベクトル と共に、枠組み処理の際に指定される節点を構成する。

かくして第１及び第２のパツチ 及び まれている。

これらの境界曲線のうち、節点 及び 間の境界曲線は共有境界COM1を構成し、２つの制御点 を用いて３次のベジエ式により規定されている。

これに対して、第１のパツチ の節点 間の境界曲線COM21、 間の境界曲線COM31は、それぞれ２つの制御点 及び によつて規定されている。また第２のパツチ 及び また（26）式〜（28）式において、Ｅ、Ｆ、Ｇはｕ方
向、ｖ方向、ｗ方向のシフト演算子で、パツチ 上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式 の関係をもつ。

ここでｕ、ｖ、ｗはそれぞれｕ方向、ｖ方向、ｗ方向
のパラメータで、第１図に示すように、それぞれ第１及
び第２のパツチ 及び に対して、共有境界COM1から横断する方向にｕ軸をと
り、かつ境界曲線COM21から横断する方向にｖ軸をと
り、さらに境界曲線COM31から横断する方向（すなわち
共有境界COM1に沿う方向）にｗ軸をとつた座標（u,v,
w）を用いてパツチ 及び 内の自由曲面上の座標を表すことができる。この実施例
の場合、演算式の簡略化のために、パラメータｗが導入
され、このパラメータｗは（27）式で示すように、パラ
メータｕ、ｖによつて一義的に決まるような関係に選定
されている。

このようにして定義した場合は、共有境界COM1上の各
点において第１のパツチ をｕ方向（すなわち共有境界COM1を横断する方向）にと
つた接線ベクトルは、（26）式をパラメータｕについて
１階偏微分することにより、次式 で表される。

は第１のパツチ 側の制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと共に第１
のパツチ について、次式 によつて表すことができる。ここで、 は節点 トルを示し、 は共有境界COM1の制御点 点 に向かう制御辺ベクトルを示し、 う制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界COM1上において、第２のパツチ のｕ方向に向かう接線ベクトルは（26）式をパラメータ
ｕについて１階偏微分することにより、次式 で表される。

は第２のパツチ 側の制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと共に第２
のパツチ について、次式 によつて表すことができる。ここで、 は節 クトルを示し、 は共有境界COM1の制御 御点 へ向かう制御辺ベクトルを示し、 う制御辺ベクトルを示す。

さらに、共有境界COM1上の各点における第１のパツチ 側のｖ方向の接線ベクトルは、（26）式をパラメータｖ
について１階偏微分することにより、 によつて表すことができる。

は共有境界COM1に沿う方向の制御辺ベクトルを示し、次
式 によつて表すことができる。ここで は、節点 ベクトルを示す。

ところで一般に、枠組み処理によつて形成された隣合
う２つの枠組み空間に任意の３辺形パツチ を張つた場合、その共有境界COM1における曲面は滑らか
にはならず、滑らかに接続するためには共有境界COM1に
おいて接平面連続の条件を満足するような制御辺ベクト
ル を設定することにより実現し得る。

共有境界COM1上のすべての点において接平面連続の条
件が成り立つためには、第１のパツチ についてそのｕ方向の接線ベクトル（（32）式によつて
表される）と、第２のパツチ におけるｕ方向の接線ベクトル（（34）式によつて表さ
れる）と、第１のパツチ のｖ方向の接線ベクトル（（36）式によつて表される）
とが、同一平面上にあることが必要であり、これを実現
するためには次式 を満足するようなパラメータを設定する。

ここでλ（ｖ）、μ（ｖ）、ν（ｖ）はスカラ関数
で、次式 λ（ｖ）＝γ_１（１−ｖ）＋γ₂v ……（39） μ（ｖ）＝κ_１（１−ｖ）＋κ₂v ……（40） ν（ｖ）＝η_１（１−ｖ）^２＋η_２（１−ｖ）ｖ＋η₃v
² ……（41） に選定される。

そこで（39）式〜（41）式を（38）式に代入すると共
に、（32）式、（34）式、（36）式を（38）式に代入
し、その結果（38）式が成り立つように未知数γ_１、γ
_２、κ_１、κ_２、η_１、η_２、η_３を設定すれば、接平
面連続の条件を満足しながら２つのパツチ を接続することができることになる。

ここで（32）式、（34）式、（36）式、（39）式〜
（41）式の項は、（１−ｖ）^ｍ（ｍ＝……２、１、０）
の式と、vⁿ（ｎ＝０、１、２……）の式との積の和とし
て表されている。この点に着目してこの明細書において
は、次式 K₄₁（１−ｖ）^４＋K₄₂（１−ｖ）³v ＋K₄₃（１−ｖ）²v²＋K₄₄（１−ｖ）v³ ＋K₄₅v⁴ ≡〈K₄₁ K₄₂ K₄₃ K₄₄ K₄₅〉 ……（42） K₃₁（１−ｖ）^３＋K₃₂（１−ｖ）²v ＋K₃₃（１−ｖ）v²＋K₃₄v³ ≡〈K₃₁ K₃₂ K₃₃ K₃₄〉 ……（43） K₂₁（１−ｖ）^２＋K₂₂（１−ｖ）ｖ＋K₂₃v² ≡〈K₂₁ K₂₂ K₂₃〉 ……（44） K₁₁（１−ｖ）＋K₁₂v ≡〈K₁₁ K₁₂〉 ……（45） のように各項の係数だけを配列した簡略化形式の表現を
用いることとする。

この表現方式を用いれば、（38）式の左辺は、対応す
る式を代入することにより、 のように表現し得る。

そこで（46）式を演算することにより次式 を得ると共に、その（１−ｖ）^３の項、（１−ｖ）²vの
項、（１−ｖ）v²の項、v³の項がそれぞれ０となるよう
な制御辺ベクトル を求めることができれば、第１及び第２のパツチ は共有境界COM1において接平面連続の条件を満足しなが
ら滑らかに接続されることになる。

ところで（47）式の左辺第３項は、（１−ｖ）^mvⁿの
項の最大次数が４次であるのに対して第１項及び第２項
の次数が３次であるから、（47）式の第１項及び第２項
に次式 （１−ｖ）＋ｖ＝〈１ １〉 ……（48） で表されるパラメータを乗算することにより、数式上
〈１ １〉 及び〈１ １〉 の最大次数を１次だけ増大させることにより第３項の次
数と合わせるようにする。

かくして式の次数を増大する際に、パツチ の内部制御点を表す制御辺ベクトル をそれぞれ２つの制御辺ベクトル の合成ベクトルと考え、次式 で表すようにそれぞれ２つの未知数 を導入する。

因にこのようにしても乗算した係数は（１−ｖ）＋ｖ
＝１であるから、（47）式の第１項及び第２項の値は変
化しない。

このようにすれば（47）式の左辺は のように展開することができ、（51）式の各項を０とお
くことにより次式 でなる連立方程式（すなわち接平面連続の式）を得るこ
とができる。

そこで（52）式及び（56）式から６個の未知数γ_１、
γ_２、κ_１、κ_２、η_１、η_３を求めることができる。

これに対して残る式、すなわち（53）式、（54）式、
（55）式から未知数 η_２を求める必要がある。実際にかかる演算をしようと
する場合、未知数 はベクトルであるので、３次元のスカラ量として解を求
める必要があるが、未知数が13個に対して連立方程式は
（53）式〜（55）式によつて決まる９つの式しかなく、
結局式の数が不足するため解は不定になる。

そこで（53）式〜（55）式の条件の下で、次式 が最小になるような条件を設定することにより、未知数 η_２を求める。

（57）式において は任意に設定した制御辺ベクトルである。

このようにして（52）式〜（56）式によつて表される
接平面連続の式に基づいて第１及び第２のパツチ が対称である場合（例えば1/8球面を有するパツチを接
続するような場合）に、その内部に制御辺ベクトル によつて規定される内部制御点 を生成することができる。

この明細書において接平面とは、共有境界COM1の各点
でのｕ方向及びｖ方向の接線ベクトルによつて形成され
る平面を呼び、従つて共有境界COM1の各点においてパツ
チ 及び の接平面が同一のとき接平面連続の条件が成り立つ。

すなわち、共有境界COM1上の任意の点 についての接平面連続の条件は、第２図に示すように決
められる。すなわちパツチ について、共有境界COM1を横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル 及び共有境界COM1に沿う方向（すなわちｖ方 で表され、またパツチ について、共有境界COM1を横断する方向の接線ベクトル 及び共有境界COM1に沿う方向の接線ベクトル で表される。

このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトル が同一平面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトル は同一方向に向くことになる。

ここで、 である。

（G2）三辺形パツチの２次元的接続 第１図について上述した手法によつて、隣接する２つ
の三辺形パツチ を接平面連続の条件を満足するように接続することがで
きるが、この手法を用いて、第６図について上述したよ
うに、ランダムに設定した節点に基づいて形成された多
数の三辺形枠組み空間のように、任意の方向に拡がって
行くような（すなわち２次元的に拡がつて行くような）
枠組み空間に、三辺形パツチを張ることを考える。

このようにランダムに配置されている三辺形パツチ相
互間を接続するには、１つの三辺形パツチの３辺を同時
に接平面連続の条件を満足させながら隣接する３つの三
辺形パツチに接続する必要がある。このような接続方法
を２次元的な接続方法と呼ぶ。

この実施例については、第３図に示すように、１つの
三辺形パツチ を構成する３つの辺、すなわちｕ＝０の辺（共有境界CO
M1）、ｖ＝０の辺（共有境界COM2）、ｗ＝０の辺（共有
境界COM3）について、それぞれ隣接する三辺形パツチ に対して第１図について上述した手法によつて、第４図
に示すように、接平面連続の条件を満足しかつ対称性を
保持し得る２つの内部制御点 を生成し、これら６つの制御 点で表される１つの制御点 を当該三辺形パツチ の内部制御点として規定される自由曲面を張るようにす
る。

すなわちｕ＝０の辺を構成する共有境界COM1につい
て、第１図について上述したように隣接するパツチ に対して接平面連続の条件を満足するような制御辺ベク
トル を求めることにより、２つの内部制御点 及び を設定したとき、次式 のように、パラメータｖ及びｗを変数とする関数式によ
つて表される第１の内部制御点 として合成する。

また同様にして、ｖ＝０の共有境界COM2について２つ
の内部制御点 を生成することにより次式 のように、パラメータｗ及びｕを変数とする関数式によ
つて表される第２の内部制御点 を合成する。

さらに同様にしてｗ＝０の共有境界COM3について２つ
の内部制御点 を生成し、次式 のように、パラメータｕ及びｖを変数とする関数を式に
よつて表される第３の内部制御点 を合成する。

かくして３つの内部制御点 は、さらに次式 のように、パラメータｕ、ｖ、ｗを変数とする関数式に
よつて１つの内部制御点 を合成する。

このような処理をすることによつて得られた内部制御
点 は、当該三辺形パツチ のうち、ｕ＝０、又はｖ＝０、又はｗ＝０の位置を指定
したとき、隣接するパツチに対して（38）式について上
述したような接続条件、すなわち接平面連続の条件を満
足しかつ対称性を保持するような関係をもつて滑らかに
接続されることになる。

例えばｕ＝０の位置条件にある共有境界COM1において
は、（66）式にｕ＝０の条件を代入することにより、内
部制御点 は次式 のように、（63）式で表される第１の内部制御点 をもつており、共有境界COM1上のすべての点について接
平面連続の条件を満足するような内部制御点になつてい
る。

因に（27）式について上述したように、ｕ＝０のとき
パラメータｗは ｗ＝１−ｖ ……（68） のようにパラメータｖで表されるから、これを（63）式
に代入すれば のように表し得る。

第４図において、パラメータｖをｖ＝０（節点 の位置に相当する）からｖ＝１（節点 の位置に相当する）まで移動させたとき、内部制御点 は共有境界COM1において接平面連続の条件を満足する制
御点 及び によつて表され、かくして当該パツチ は共有境界COM1を介して隣接するパツチ （第３図）に滑らかに接続されていることが分かる。

パラメータｖがｖ＝０の共有境界COM2及びパラメータ
ｗがｗ＝０の共有境界COM3についても同様にして、内部
制御点 がｖ＝０の条件及びｗ＝０の条件においては第２及び第
３の内部制御点 だけによつて表現される値になり、かくして共有境界CO
M2及びCOM3において接平面連続の条件を満足しかつ対称
性を失わない２つの内部制御点 によつて決まる値となることにより、当該三辺形パツチ がこれらの２辺においても接平面連続の条件の下に対称
性を失わずに滑らかに接続されることを確認し得る。

（G3）パツチ接続処理手順 第１図〜第４図について上述した三辺形パツチの２次
元的な接続は、これをコンピユータによつて第５図に示
す処理手順を実行することにより実現し得る。

第５図のステツプSP1において接続処理プログラムが
開始されると、コンピユータはステツプSP2においてパ
ツチデータを読み込む。このパツチデータは例えばデザ
イナが自由曲面をデザインする際に、別途３次元空間に
境界曲線網を枠組することにより得られる。この枠組み
処理に異常がなければ、境界曲線によつて囲まれている
隣合うパツチは境有境界をもつており、従つて以下に述
べる接続処理によつてこの共有境界において各パツチを
接平面連続の条件の下に滑らかに接続することができ
る。

コンピユータはステツプSP2においてパツチデータを
読み込んだとき、３次のベジエ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる６個の制御点
（各辺に２つずつ）を設定して三辺形枠組み空間の頂点
にある節点と共に、パツチ内の補間演算を実行する。

続いてコンピユータは、次のステツプSP3において、
接続すべき４つのパツチ （第３図）を指定した後、ステツプSP4に移る。

このステツプSP4は、第１のパツチ 及びこれに接続しようとする第２〜第４のパツチ について、共有境界COM1〜COM3の両端にある節点 において（第１図）、制御辺ベクトルが同一平面上にあ
るかどうかを調べる。すなわち節点 において制御辺ベクトル が同一平面上になければ、接平面連続の条件が成り立た
ないことになる。同様に接点 において制御辺ベクトルが同一平面上になければ、接平
面連続の条件が成り立たないことになる。

そこでコンピユータはステツプSP4において肯定結果
が得られたときには次のステツプSP5に進み、これに対
して否定結果が得られたときには、ステツプSP6におい
て同一平面にない制御辺ベクトルを回転させることによ
つて同一平面上に修正した後、次のステツプSP5に進
む。

このステツプSP5は、３辺について接続順序を指定
し、かくして第２、第３、第４の三辺形パツチ の順序で、共有境界COM1、COM2、COM3における接平面連
続の条件を求めることができるようにする。

続いてコンピユータは、ステツプSP7に移つて当該所
定の順序で三角形パツチ の内部に設定すべき内部制御点 を求める。かくして第３図の三辺形パツチ についてその３つの辺を共有境界として隣接する３つの
三辺形パツチ に滑らかに接続する１つの三辺形パツチ を作成することができる。

その後、コンピユータは、次のステツプSP8に移つて
全てのパツチを接続したか否かの判断をし、否定結果が
得られたとき上述のステツプSP3に戻つて新たに持続す
べき三辺形パツチを指定することによつて上述のパツチ
の作成処理を繰返し実行する。

やがて全てのパツチの持続が終了して上述のステツプ
SP8において肯定結果が得られると、コンピユータはス
テツプSP9に移つて表示装置を用いて各パツチを囲む境
界曲線の各点における法線ベクトル及びパツチ内の等高
線を表示することにより、パツチの接続が滑らかである
か否かをオペレータが目視確認できるように表示する。

この表示を見てオペレータは次のステツプSP10におい
て、共有境界COM1〜COM3上の法線ベクトルが隣接する三
辺形パツチについて互いに一致しているか否かを確認で
き、一致していない場合にはステツプSP11においてその
原因を調べ、必要に応じて数値的な修正を行う。かくし
て一連のパツチ接続処理手順をステツプSP12において終
了する。

（G4）他の実施例 （１） 上述の実施例においては、枠組み空間に３次の
ベジエ式で表されるパツチを張る場合について述べた
が、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良い。

（２） 上述の実施例においては、ベジエ式によつて表
されるパツチを張るようにした場合について述べたが、
これに限らず、スプライン式、クーンズ（Coons）式、
フアーガソン（Furgason）式などの他のベクトル関数を
用いるようにしても良い。

Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、三辺形パツチの各辺に
対してそれぞれ内部制御点に対応する２つの制御点を設
定し得るようにしたことにより、当該三辺形パツチの各
辺に対称な枠組み空間を有するパツチを張る場合にも、
これを確実に接平面連続の条件の下にしかも対称性を失
わせないように接続することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法に基づいて接続
した隣接する２つの三辺形パツチを表す略線図、第２図
は接平面連続の条件の説明に供する略線図、第３図は三
辺形パツチの各辺の接続関係を示す略線図、第４図は３
つの辺を接続する場合に生成される内部制御点をもつた
三辺形パツチを示す略線図、第５図はパツチ接続処理手
順を示すフローチヤート、第６図は任意の方向に三辺形
枠組み空間が拡がる境界曲線網を示す略線図、第７図は
従来の三辺形パツチの接続方法を示す略線図である。

Claims (1)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】枠組み処理によつて隣接する第１及び第２
   の三辺形枠組み空間を形成し、上記第１及び第２の三辺
   形枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパツチを
   張ると共に、上記パツチの形状を決める内部制御点の位
   置を制御することにより、上記第１及び第２の三辺形枠
   組み空間の共有境界において滑らかに接続された自由曲
   面を生成するようになされた自由曲面作成方法であつ
   て、 上記共有境界を挟んで隣接する上記第１及び第２の三辺
   形枠組み空間に張るべき２つのパツチがほぼ対称形状の
   とき、上記隣接する第１及び第２の三辺形枠組み空間に
   ついて、それぞれ上記内部制御点に対応する２つの制御
   点を、上記共有境界においてそれぞれ接平面連続の条件
   を満足する位置に、設定することにより、当該設定され
   た２つの制御点によつて特定された第１及び第２のパツ
   チをそれぞれ上記第１及び第２の三角形枠組み空間に張
   る ことを特徴とする自由曲面作成方法。