JP3187815B2

JP3187815B2 - 物体の表面形状データ作成方法

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Publication number: JP3187815B2
Application number: JP31269786A
Authority: JP
Inventors: 哲造倉賀野; 敦菊池
Original assignee: Sony Corp
Current assignee: Sony Corp
Priority date: 1986-12-24
Filing date: 1986-12-24
Publication date: 2001-07-16
Anticipated expiration: 2016-07-16
Also published as: JPS63159982A

Description

【発明の詳細な説明】以下の順序で本発明を説明する。Ａ産業上の利用分野Ｂ発明の概要Ｃ従来の技術Ｄ発明が解決しようとする問題点Ｅ問題点を解決するための手段（第５図）Ｆ作用（第５図）Ｇ実施例（G1）三辺形パツチ接続の原理（第１図〜第３図）（G2）三辺形パツチの２次元的接続（第４図）（G3）接平面連続の条件で接続されていることの確認（G4）内部制御点の設定の仕方（第５図）（G5）パツチ接続処理手順（第６図）（G6）他の実施例（第７図）Ｈ発明の効果Ａ産業上の利用分野本発明は物体の表面形状データ作成方法に関し、例え
ばCAD（computer aided design）、またはCAM（compute
r aided manufacturing）などにおいて、自由曲面をも
つた物体の形状を生成する場合に適用して好適なもので
ある。Ｂ発明の概要本発明は、物体の大まかな形状を特定する枠組み空間
に所定のベクトル関数で表される細部表面形状を形成す
ることにより、物体の細部の表面形状を表すようにした
物体の表面形状データ作成方法において、三辺形枠組み
空間の３つの辺に対応させてそれぞれ接平面連続の条件
の下に接続することができるような３つの副細部表面形
状を生成し、これらの３つの副細部表面形状を分母、分
子共に１次式で表される係数の比率で重ね合わせ合成す
るようにしたことにより、当該三辺形細部表面形状に隣
接する３つの隣接細部表面形状を容易に２次元的に接続
し得る。Ｃ従来の技術例えばCADの手法を用いて自由曲面をもつた物体の形
状をデザインする場合（geometric modeling）、一般に
デザイナは、曲面が通るべき３次元空間における複数の
点（これを節点と呼ぶ）を指定し、当該指定された複数
の節点を結ぶ境界曲線網を所定のベクトル関数を用いて
コンピユータによつて演算させることにより、いわゆる
ワイヤフレームで表現された曲面を作成する。かくして
境界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成する
ことができる（このような処理を以下枠組み処理と呼
ぶ）。かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、
それ自体デザイナがデザインしようとする物体の大まか
な形状を表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用
いて所定のベクトル関数によつて表現できる曲面を物体
の細部表面形状として補間演算することができれば、全
体としてデザイナが物体についてデザインした自由曲面
（２次関数で規定できないものをいう）を生成すること
ができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は全体の
曲面を構成する基本要素を形成し、これをパツチと呼
ぶ。従来この種のCADシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
エ（Bezier）式、Ｂスプライン（Ｂ−spline）式でなる
３次のテンソル積が用いられており、例えば形状的に特
殊な特徴がないような自由曲面を数式表現するには最適
であると考えられている。すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面
は、空間に与えられた点をXY平面上に投影したとき、当
該投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいるこ
とが多く、この投影点の数がｍ×ｎで表されるとき、当
該枠組み空間を３次のベジエ式で表される四辺形パツチ
を用いて容易に張ることができることが知られている。Ｄ発明が解決しようとする問題点しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲
面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場
合には、パツチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、コンピユー
タによる演算処理が複雑かつ膨大になる問題があつた。特に極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたとき
には、ほとんどの場合当該指定された点の配列は規則性
をもつておらず、従つて枠組み空間に四辺形パツチを張
るような従来の手法では、滑らかな自由曲面を形成する
ことは実際上極めて困難であつた。この問題を解決する方法として、特願昭61−15396号
に開示されているように、枠組み処理によつて形成され
た三辺形枠組み空間に３枚のサブパツチを重ね合わせて
なる重合三辺形パツチを張る方法が提案されている。この方法によれば、ランダムに配置された三辺形枠組
み空間に、隣接する３つのパツチに対して滑らかに接続
される自由曲面を張ることができる内部制御点を容易に
求め得る。本発明は以上の点を考慮してなされたもので、重合さ
れた三辺形細部表面形状を求める際に実行すべき演算処
理を一段と簡易化し得る物体の表面形状データ作成方法
を提案しようとするものである。Ｅ問題点を解決するための手段かかる課題を解決するため本発明においては、CAD装
置によつて、枠組み処理により境界曲線で囲まれかつ物
体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を形成し、各
枠組み空間において、当該各枠組み空間内の位置を所定
間隔で順次指定されるパラメータu,vによつて順次指定
してベクトル関数を演算することにより各枠組み空間内
の各位置における位置ベクトルデータを求め、これによ
り物体の細部表面形状を表す細部表面形状データを作成
する物体の表面形状データ作成装置を用いて、枠組み空
間として、第１の境界曲線、第２の境界曲線及び第３の
境界曲線で囲まれた三辺形枠組み空間を含むように枠組
み処理を実行して、該三辺形枠組み空間に形成する三辺
形パツチでなる三辺形細部表面形状を表す三辺形細部表面形状デ
ータを生成し、三辺形細部表面形状データを生成する際
に、第１の境界曲線を共有境界COM1として隣接する三辺
形パツチでなる第１の隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満
足するように接続する第１の副細部表面形状を表すベク
トル関数データと、第２の境界曲線を共有境界COM2として隣接する三辺
形パツチでなる第２の隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満
足するように接続する第２の副細部表面形状を表すベク
トル関数データと、第３の境界曲線を共有境界COM3として隣接する三辺
形パツチでなる第３の隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満
足するように接続する第３の副細部表面形状を表すベク
トル関数データとを、重ね合わせ合成することにより、三辺形枠組み空間に三
辺形細部表面形状を生成するようなベクトル関数データを生成するようになし、接平面連続の条件は、三辺形細
部表面形状及び三辺形細部表面形状に隣接する第１、第
２及び第３の隣接細部表面形状すなわち３つの三辺形パ
ツチの共有境界における接線ベクトルデータと共有境界の接
線ベクトルとによつて形成される接平面が同一になるこ
とであり、三辺形サブパツチでなる第１の副細部表面形状データ、三辺形サブパツチでなる第２の副細部表面形状データ及び三辺形サブパツ
チでなる第３の副細部表面形状データに基づいて次式、ここで、で表される係数α（u,v）、β（u,v）、γ（u,v）の比
率で決まる位置ベクトルデータによつて三辺形細部表面
形状を表すベクトル関数データを生成して表示手段上に表示すると共に、隣接する三辺
形細部表面形状間の共有境界上の点の法線ベクトル、又
は三辺形細部表面形状内の等高線を表示することによ
り、共有境界における接続状態の滑らかさを確認できる
ようにする。Ｆ作用物体の大まかな形状を特定する枠組み処理によつて形
成された三辺形枠組み空間に形成する三辺形パツチでな
る三辺形細部表面形状は、その３つの辺を構成する共有境界COM1、COM2、COM3
において接平面連続の条件を満足するような制御点によ
つて設定される三辺形サブパツチでなる３つの副細部表
面形状を重ね合わせ合成することによつて生成される。かくして２次元的に接続するような曲面を容易に生成
し得る。かくするにつき、係数α（u,v）、β（u,v）、γ（u,
v）の分母及び分子を１次式で表すようにしたことによ
り、細部表面形状の演算を２次式の場合と比較して格段的に簡易化し得
る。Ｇ実施例以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。（G1）三辺形パツチ接続の原理この実施例においては、物体の大まかな形状をデザイ
ンする際に、第１図に示すように、ランダムに指定され
た節点P₁〜P₁₄に基づいて、互いにより近い節点相互間
を結ぶ境界曲線によつて枠組み処理を実行し、これによ
り境界曲線網によつて表される立体曲面を全体として三
辺形の枠組み空間によつて形成するようにする。かくして枠組み処理された枠組み空間の境界を表す境
界曲線、及び各枠組み空間に形成する細部表面形状とな
るパツチを次式のように、３次のベジエ式でなるベクトル関数を用いて表現する。（１）式においては、第２図に示すように、隣合う２つの枠組み空間に張
られた曲面、すなわち第１の三辺形パツチ及び第２の三辺形パツチが共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置ベクト
ルと、第１のパツチの位置ベクトルと第２のパツチの位置ベクトルと共に、枠組み処理の際に指定される節点を構成する。かくして、第１及び第２のパツチがそれぞれ節点の３つの境界曲線によつて囲まれていることが分かる。これらの境界曲線のうち、節点間の境界曲線は共有境界COMを構成し、２つの制御点を用いて３次のベジエ式により規定されている。これに対して、第１のパツチの節点間の境界曲線、間の境界曲線は、それぞれ２つの制御点によつて規定されている。また、第２のパツチ間の境界曲線、間の境界曲線は、２つの制御点によつて規定されている。また、（１）式において、Ｅ及びＦはｕ方向及びｖ方
向のシフト演算子で、パツチ及び上の位置ベクトルで表される制御点に対して次式、の関係をもつ。ここでｕ≧０ ……（５）ｖ≧０ ……（６）ｕ＋ｖ≦１ ……（７）である。さらに（１）式において、ｕ及びｖはｕ方向及びｖ方
向のパラメータで、第２図に示すように、第１及び第２
のパツチに対してそれぞれ節点から横方向にｕ軸を取り、かつ縦方向にｖ軸を取つた座
標（u,v）を用いてパツチ内の自由曲面上の座標を表すことができる。ここで、演算式の簡略化のために、パラメータｗが導
入され、このパラメータｗは（２）式で示すように、パ
ラメータｕ及びｖによつて一義的に決まるような関係に
選定されている。このように定義した場合、共有境界COM上の各点にお
いて第１のパツチをｕ方向（すなわち共有境界COMを横断する方法）に取
つた接線ベクトルは、（１）式をパラメータｕについて
１階偏微分することにより、で表される。ここでは節点から制御点に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
第１のパツチについて、次式によつて制御辺ベクトルを表すことができる。ここでは共有境界COMの制御点から第１のパツチの内部制御点へ向かう制御辺ベクトルを示し、また、は、同様にして制御点から制御点へ向かう制御辺ベクトルを示す。同様にして共有境界COM上において、第２のパツチのｕ方向に向かう接線ベクトルは、（１）式をパラメー
タｕについて１階偏微分することにより、で表される。ここでは、節点から第２のパツチに向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
第２のパツチについて、次式によつて制御辺ベクトルを表すことができる。ここでは共有境界COMの制御点から第２のパツチの内部制御点へ向かう制御辺ベクトルを示し、は同様にして制御点から制御点へ向かう制御辺ベクトルを示す。さらに共有境界COM上の各点における第１のパツチ側のｖ方向の接線ベクトルは、（１）式をパラメータｖ
について１階偏微分することにより、で表される。ここでは、節点から制御点へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に
共有境界COMについて、次式によつて制御辺ベクトルを表すことができる。ここでは制御点からへ向かう制御辺ベクトルを示し、は同様にして制御点から節点へ向かう制御辺ベクトルを示す。ところで枠組み処理によつて形成された隣合う２つの
枠組み空間に三辺形パツチ及びを張つた場合、その共有境界COMにおける曲面は一般に
滑らかにはならない。そこで本発明においては、共有境
界COMを有する２つのパツチを共有境界COMにおいて滑らかに接続するように、各パ
ツチの内部制御点を設定し直して、これらの内部制御点を用いてパツチに
張るべき自由曲面を補間演算し直す。かくすることによ
り、境界曲線網で枠組みされた曲面全体に亘つて全ての
パツチを滑らかに接続して行くことができることによ
り、適正な滑らかさをもっている多くの物体の外形形状
を不自然にならないように表現できる。この共有境界COMにおける滑らかな接続は接平面連続
の条件を満足するような制御辺ベクトルを求めることにより実現される。共有境界COM上の全ての点において接平面連続の条件
が成り立つためには、第１のパツチについてそのｕ方向の接線ベクトル（（８）式によつて
表される）と、第２のパツチにおけるｕ方向の接線ベクトル（（10）式によつて表さ
れる）と、第１のパツチのｖ方向の接線ベクトル（（12）式によつて表される）
とが、同一平面上にあることが必要であり、これを実現
するためには次式の条件を満足させるようにパラメータを設定し直せば良
い。ここでλ（ｖ）、μ（ｖ）、ν（ｖ）は，スカラ関数
で、 λ（ｖ）＝（１−ｖ）＋ｖ ……（15） μ（ｖ）＝κ_１（１−ｖ）＋κ_２ｖ ……（16） ν（ｖ）＝η_１（１−ｖ）＋η_２ｖ ……（17）に選定される。そこで（15）式〜（17）式を（14）式に代入すると共
に、（８）式、（10）式、（12）式を（14）式に代入
し、その結果（14）式が成り立つように未知数κ_１、κ
_２及びη_１、η_２を選定すれば、接平面連続の条件を満
足しながら、２つのパツチを接続することができることになる。実際上（８）式、（10）式、（12）式と、（15）式〜
（17）式とは、（１−ｖ）の項及びｖの項をもつている
ので、（14）式の左辺及び右辺は、(1-v)³、v(1-v)²、v
²(1-v)、v³の項の和の形に展開整理できる。従つて展開
式の各項ごとに係数部が互いに等しいという条件を立て
れば、で表される連立方程式が得られ、かくして（18）式より
κ_１、η_１を解くことができ、また（21）式よりκ_２、
η_２を解くことができる。（19）式及び（20）式と
κ_１、κ_２、η_１、η_２とを用いて未知数を解くことができる。ここで接平面とは、共有境界COMの各点でのｕ方向及
びｖ方向の接線ベクトルによつて形成される平面を称
し、従つて共有境界COMの各点においてパツチの接平面が同一のとき接平面連続の条件が成り立つ。すなわち、共有境界COM上の任意点についての接平面連続の条件は、第３図に示すように決
められる。すなわちパツチについて、共有境界COMを横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル、及び共有境界COMに沿う方向（すなわちｖ方向）の接
線ベクトルの法線ベクトルは、で表され、またパツチについて、共有境界COMを横断する方向の接線ベクトル及び共有境界COMに沿う方向の接線ベクトルの法線ベクトルは、で表される。このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトルが同一平面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトルは同一方向に向くことになる。ここで、である。（G2）三辺形パツチの２次元的接続第２図について上述した手法によつて、隣接する２つ
の三辺形パツチを接平面連続の条件を満足するように接
続することができるが、この手法を用いて、第１図につ
いて上述したように、ランダムに設定した節点に基づい
て形成された多数の三辺形枠組み空間のように、任意の
方向に拡がつて行くような（すなわち２次元的に拡がつ
て行くような）枠組み空間に、三辺形パツチを張ること
を考える。このようにランダムに配置されている三辺形パツチ相
互間を接続するには、１つの三辺形パツチの３辺を同時
に接平面連続の条件を満足させながら隣接する３つの三
辺形パツチを接続する必要がある。このような接続方法
を２次元的な接続方法と呼ぶ。本発明においては、１つの三辺形パツチを構成する３
つの辺について、それぞれ隣接する三辺形パツチに対し
て第２図について上述した手法によつて接平面連続の条
件を満足するような３枚の三辺形サブパツチを物体の細
部の表面形状を表わす副細部表面形状として生成し、こ
の３枚の三辺形サブパツチを互いに重ね合わせるような
ベクトル関数表現を用いることによつて１枚の重合三辺
形パツチに合成して作成結果の三辺形細部表面形状とし
て得る。このようにして３枚の三辺形サブパツチを重ね
合わせることによつて、３つの辺にそれぞれ隣接する３
枚の三辺形パツチすなわち隣接細部表面形状に同時に接
平面連続の条件を満足するように２次元的に接続し得る
自由曲面を作成することができる。例えば第１図において、節点によつて囲まれる三辺形パツチに着目し、第４図に示す
ように、この三辺形パツチの３つの辺を構成する境界曲線でなる共有境界COM1、CO
M2、COM3を介して隣接する３つのパツチを２次元的に接続する場合についてその接続方法を説明
する。第４図において、先ず第１のパツチにおいて節点を基準として共有境界COM1及びCOM2に沿う方向にパラメ
ータｕ及びｖの座標軸を割当てる。これと一致するよう
に共有境界COM1及びCOM2を介して隣接する第２及び第３
のパツチのパラメータｕ及びｖの座標軸を節点を基準にして選定する。これに対して共有境界COM3を介
して隣接する第４のパツチは、共有境界COM3と対向する節点を基準にしてｕ軸及びｖ軸を選定する。かくして共有境界COM1は、第１及び第２のパツチについて、パラメータｖをｖ＝０に設定したときの位置
ベクトル（すなわち境界曲線）を表す。また共有境界CO
M2は、第１及び第３のパツチについて、パラメータｕをｕ＝０に設定したときの位置
ベクトル（すなわち境界曲線）を表す。これに対して共
有境界COM3は、第１及び第４のパツチについて、パラメータｕ及びｖをｕ＋ｖ＝１（すなわち
ｗ＝０）に設定したときの位置ベクトル（すなわち境界
曲線）を表す。このような座標系を設定したとき、三辺形枠組み空間
に張る第１のパツチを次式によつて表されるベクトル関数によつて定義する。（27）式において第１項は、共有境界COM1を介して第２のパツチと接平面連続の条件を満足するように設定された第１の
サブパツチを表す。また（27）式の第２項は共有境界COM2を介して第３のパツチと接平面連続の条件を満足するように設定された第２の
サブパツチを表す。さらに（27）式の第３項は、共有境界COM3を介して第４のパツチと接平面連続の条件を満足するように設定された第３の
サブパツチを表す。かくして（27）式は、第１のパツチが、３つの辺を形成する共有境界COM1、COM2、COM3を介
して接続すべき三辺形パツチとの関係において、それぞれ接平面連続の条件を満足す
るような３枚のサブパツチを物体の副細部表面形状とし
て互いに重ね合わせるようなベクトル関数によつて表現
された１枚の重合三辺形パツチを物体の三辺形細部表面
形状として得られることを示している。また（27）式においてα（u,v）、β（u,v）、γ（u,
v）は、それぞれパラメータｕ及びｖを変数として表さ
れるスカラ関数で、によつて定義する。（27）式〜（30）式は、第１のパツチについての定義を述べたが、この第１のパツチに接続される３つのパツチについても全く同様にしてによつて定義する。（G3）接平面連続の条件で接続されていることの確認（27）式〜（33）式によつて互いに接続すべき４つの
三辺形パツチを表現すれば、第１のパツチの内部に、３つの共有境界COM1、COM2、COM3の全てにつ
いて接平面連続の条件式を満足させるような制御点（第２図）を（27）式によつて設定することができる。
このことは、次のようにして確認し得る。先ず第４図の三辺形パツチの第１の共有境界COM1について、この共有境界COM1は、
（27）式においてｖ＝０とおくことによつて求めること
ができる。ところがｖ＝０のとき、（28）式、（29）
式、（30）式からα（u,v）＝１、β（u,v）＝γ（u,
v）＝０になる。この条件を（27）式に代入すると共
に、サブパツチを（１）式によつて表せば、第１のサブ
パツチは、で表されるように、第１の共有境界COM1に対応する接平
面連続の式によつて表される。同様にして第２のパツチは、（31）式に基づいてで表される曲線になる。（34）式及び（35）式におい
て、第４図の共有境界COM1の場合、第２図の節点として、第１及び第２のパツチに共通な節点が用いられ、かくして（34）式及び（35）式は同一の曲
線を描くことによりが成り立つ。このことは、ｖ＝０のときのパツチの曲線は、同じ位置にあることを表している。次に共有境界COM1について、第１及び第２のパツチのｕ方向（すなわち共有境界COM1に沿う方向）の接線ベ
クトルを（１）式に基づいて求めると、になる。従つて（37）式及び（38）式から、が成り立つことにより、共有境界COM1に沿う方向のパツ
チの接線ベクトルが互いに等しいことが分かる。さらに、第１及び第２のパツチ及びのｖ＝０におけるｖ方向（すなわち共有境界COM1を横断
する方向）の接線ベクトルを求めれば、になる。従つて第１及び第２のパツチ及びのｖ方向（すなわち横断方向）の接線ベクトルはのように同一となる。従つて（34）式〜（42）式から明らかなように、（2
7）式及び（31）式によつて表された隣接する２つのパ
ツチは、共有境界COM1において接平面連続の条件を満足する
ようなパツチであることを確認し得る。次に、第１のパツチ及び第３のパツチ間の共有境界COM2について、（34）式〜（36）式に対応
させて（43）式〜（45）式に示すように、２つのパツチについてｕ＝０のときの曲線を表す位置ベクトルは互い
に等しくなる。従つて２つのパツチの境界曲線は同じ位置にあること
が分かる。次に（37）式〜（39）式に対応させて、（46）式〜
（48）式に示すように、２つのパツチのｕ＝０におけるｖ方向の接線ベクトルは互いに等しく
なる。さらに（40）式〜（42）式に対応させて（49）式〜
（51）式に示すように、２つのパツチのｕ＝０におけるｕ方向（すなわち横断方向）の接線ベ
クトルは互いに等しくなる。このような（43）式〜（51）式の演算結果から、第１
のパツチ及び第３のパツチは共有境界COM2において接平面連続の条件を満足するよ
うに接続されていることが分かる。さらに第１のパツチ及び第４のパツチ間の共有境界COM3について、ｕ＋ｖ＝１（すなわちｗ＝
０）における曲線を（34）式〜（36）式に対応させて
（52）式〜（54）式に示すように求めると、２つのパツ
チ及びの境界曲線は互いに等しくなる。従つて２つのパツチの境界曲線は互いに同じ位置にあ
ることが分かる。次に（37）式〜（42）式に対応させて（55）式〜（6
0）式に示すように、２つのパツチ及びのｕ＋ｖ＝１（すなわちｗ＝０）におけるｕ方向及びｖ
方向の接線ベクトルが互いに等しいことが分かる。このように、２つのパツチ及びのｕ＋ｖ＝１（すなわちｗ＝０）における曲線のｕ方向
及びｖ方向の接線ベクトルが互いに等しいことは、当該
境界曲線に沿う方向の接線ベクトルが互いに等しいこと
を表していると共に、ｕ＋ｖ＝１（すなわちｗ＝０）に
おける境界曲線を横断する方向の接線ベクトルも互いに等しいことを表している。従つて第１のパツチ及び第４のパツチは、共有境界COM3において接平面連続の条件を満足する
ように接続されていることが分かる。（G4）内部制御点の設定の仕方第４図について上述したように、第１のパツチは、（27）式で示すように、３つの辺に対応する３つの
サブパツチで表される式の和のベクトル関数によつて表現される１
枚の重合三辺形パツチを張ることにより、それぞれ３つ
の辺の位置にある共有境界COM1、COM2、COM3において、
接平面連続の条件を満足するように２次元的に隣接する
三辺形パツチと接続することができる。このような重合三辺形パツチを三辺形枠組み空間に張
る場合、重合三辺形パツチの境界を表す境界曲線は、第
２図について上述したように１枚の三辺形パツチを張る
場合と同様にして、３つの節点と、各節点間の２つの制御点によつて枠組み処理を実行する際に一義的に決められて
いる。これに対してパツチの内部に設定する制御点は、実際上（27）式のベクトル関数においては、３つの
共有境界COM1、COM2、COM3についてそれぞれ接平面連続
の条件が成り立つように、各項ごとに設定された制御点でなる。ここで、サブパツチは共に、（１）式のベクトル関数で表されるから、第２
図について上述したようにそれぞれ節点及び制御点によつて表し得、これを（27）式に代入して展開すれ
ば、となる。（61）式において、の項を整理すれば、となる。ここで３枚のサブパツチが同じ共有境界COM1、COM2、COM3をもつていることか
ら、とおけば、（62）式はとなる。ところが（28）式、（29）式、（30）式から、であるから、結局（64）式は、のような簡易な式として表すことができる。同様にして（61）式のの項を整理すれば、となり、とおけば、と表し得る。次にの項は、となり、とおけば、と表し得る。次にu³の項は、となり、とおけば、と表し得る。次にの項は、となり、とおけば、と表し得る。次にの項は、となり、とおけばと表し得る。次にの項は、となり、とおけば、と表し得る。次に3uv²の項は、となり、とおけば、と表し得る。次にの項は、となり、とおけば、と表し得る。これに対して、の項は、となる。（91）式において、とおけば、と表し得る。従つて（61）式は、これに（66）式、（69）式、（7
2）式、（75）式、（78）式、（81）式、（84）式、（8
7）式、（90）式、（93）式を代入することによつて、と表し得る。ところで（94）式において、第６項すなわちを除く他の項の節点及び制御点を表す位置ベクトルは共
に、三辺形枠組み空間を枠組み処理した時決められるの
に対して第６項の内部制御点を表す位置ベクトルは、
（91）式、（92）式によつて重合三辺形パツチを隣接するパツチに接続するために必要に応じて任意に
設定し得る。すなわち（92）式によつて表される内部制
御点は、これに（28）式、（29）式、（30）式を代入するこ
とにより、によつて決めることができる。このようにすれば、第５図に示すように、パラメータ
ｕ、ｖについて、ｕ＝０のとき（すなわち共有境界COM1
の位置において）、内部制御点は、となるから、サブパツチの内部制御点が共有境界COM1位置において接平面連続の条件で接続で
きるような位置に選定されていれば、結局重合三辺形パ
ツチは、位置ベクトルの影響を受けることなく、共有境界COM1を介して隣接す
るパツチ（第４図）に接平面連続の条件で接続することができ
る。同様にしてｖ＝０のとき（すなわち共有境界COM2の位
置において）、内部制御点は、となり、結局重合三辺形パツチは、位置ベクトルの影響を受けることなく、共有境界COM2を介して隣接す
るパツチ（第４図）に接平面連続の条件で接続することができ
る。さらに同様にしてｗ＝０（ｕ＋ｖ＝１）のとき（すな
わち共有境界COM3の位置において）、内部制御点は、となり、形局重合三辺形パツチは、位置ベクトルの影響を受けることなく、共有境界COM3を介して隣接す
るパツチ（第４図）に接平面連続の条件で接続することができ
る。（G5）パツチ接続処理手順第２図及び第４図について上述した三辺形パツチの２
次元的な接続は、これをコンピユータによつて第６図に
示す処理手順を実行することにより実現し得る。第６図において、ステツプSP1において接続処理手順
が開始されると、コンピユータはステツプSP2において
パツチデータが読み込む。このパツチデータは例えばデ
ザイナが自由曲面でなる物体の表面形状をデザインする
際に、別途３次元空間に物体の大まかな形状を特定する
ために境界曲線網を枠組みすることにより得られる。こ
の枠組み処理に異常がなければ、境界曲線によつて囲ま
れている隣合うパツチは共有境界COMをもつており、従
つて以下に述べる接続処理によつてこの共有境界COMに
おいて各パツチを接平面連続の条件の下に滑らかに接続
することができる。コンピユータはステツプSP2においてパツチデータを
読み込んだとき、３次のベジエ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる６個の制御点
（各辺に２個ずつ）を設定して三辺形枠組み空間の頂点
にある節点と共に、パツチ内の補間演算を実行する。この補間演算は，例えば第４図について上述したよう
に、（27）式〜（33）式で表されるようなサブパツチを
それぞれ副細部表面形状として設定することを意味す
る。続いてコンピユータは、次のステツプSP3において、
接続すべき４つのパツチを指定した後、ステツプSP4に移る。このステツプSP4は、第１のパツチ及びこれに接続しようとする第２〜第４のパツチについて、共有境界COM1〜COM3の両端にある節点において、制御辺ベクトルが同一平面上にあるかどうか
を調べる。すなわち節点において制御辺ベクトルが同一平面になれば、接平面連続の条件が成り立たない
ことになる。同様に節点において制御辺ベクトルが同一平面上になければ、接平
面連続の条件が成り立たないことになる。そこでコンピユータはステツプSP4において肯定結果
が得られたときには次のステツプSP5に進み、これに対
して否定結果が得られたときには、ステツプSP6におい
て同一平面にない制御辺ベクトルを回転させることによ
つて同一平面上に修正した後、次のステツプSP5に進
む。このステツプSP5は、三辺形パツチにある３枚のサブパツチの作成順序を指定し、かくして
第２、第３、第４の三辺形パツチの順序で、共有境界COM1、COM2、COM3における接平面連
続の条件を求めることができるようにする。続いてコンピユータは、ステツプSP7に移つて当該所
定の順序で三辺形パツチの内部に設定すべき内部制御点を求める。かくして第４図の三辺形パツチについてその３つの辺を共有境界として隣接する３つの
三辺形パツチに滑らかに接続する１つの重合三辺形パツチを作成することができる。その後、コンピユータは、次のステツプSP8に移つて
全てのパツチを接続したか否かの判断をし、否定結果が
得られたとき上述のステツプSP3に戻つて新たに接続す
べき三辺形パツチを指定することによつて上述のサブパ
ツチの作成処理を繰返し実行する。やがて全てのパツチの接続が終了して、上述のステツ
プSP8において肯定結果が得られると、コンピユータは
ステツプSP9に移つて表示装置を用いて各パツチを囲む
境界曲線の各点における法線ベクトル及びパツチ内の等
高線を表示することにより、パツチの接続が滑らかであ
るか否かをオペレータが目視確認できるように表示す
る。この表示を見てオペレータは次のステツプSP10におい
て、共有境界COM1〜COM3上の法線ベクトルが隣接する三
辺形パツチについて互いに一致しているか否かを確認で
き、一致していない場合にはステツプSP11においてその
原因を調べ、必要に応じて数値的な修正を行う。かくし
て一連のパツチ接続処理手順をステツプSP12において終
了する。（G6）他の実施例（１）上述の実施例においては、枠組み空間に３次のベ
ジエ式で表されるパツチを張る場合について述べたが、
数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良い。（２）上述の実施例においては、ベジエ式によつて表さ
れるパツチを張るようにした場合について述べたが、こ
れに限らず、スプライン式、クーンズ（Coons）式、フ
アーガソン（Furgason）式などの他のベクトル関数を用
いるようにしても良い。（３）上述の実施例においては、三辺形パツチの３つの辺に三辺形パツチを接続した場合の実施例について述べたが、三辺形パツ
チの３つの辺に接続するパツチの形状は、三辺形に限ら
ず、例えば四辺形等の他の形状であつても良く、このよ
うにしても三辺形パツチの３つの辺を共有境界として接平面連続の条件を満足す
るような２次元的な接続を実現し得る。この場合には、第７図に示すように、四辺形枠組み空
間の間に、三辺形枠組み空間が混在する場合にも、これ
を２次元的に容易に接続することができることを意味し
ており、かくして例えば物体の角部の形状として丸味を
帯びた自由曲面を生成する場合に有効に適用し得る。Ｈ発明の効果以上のように本発明によれば、物体の大まかな形状を
特定する枠組み処理によつて２次元的に任意の方向に拡
がる境界曲線網に物体の細部の表面形状を張るにつき、
空間にランダムに設定された節点に基づいて三辺形枠組
み空間によつて境界曲線網を形成した場合に、１つの三
辺形パツチを囲む３つの共有境界について、接平面連続
の条件を満足するような３つの内部制御点を選定し、当
該３つの内部制御点によつて制御される３枚の副細部表
面形状を重ね合わせることにより得られる重合三辺形細
部表面形状を張るようにしたことにより、２次元的に順
次拡がつて行く枠組み空間に対して大きい自由度で実用
上物体の表面形状として要求される適正な滑らかさをも
つた細部表面形状を容易に作成することができる。かくするにつき、３枚の副細部表面形状を重ね合わせるにつき次式で表されるように、係数α（u,v）、β（u,v）、γ（u,
v）を、分母、分子共に１次式で表現するようにしたこ
とにより、内部制御点を求める演算を２次式を用いる場合と比較して一段と簡
易化し得る。

【図面の簡単な説明】第１図は任意の方向に三辺形枠組み空間が拡がる境界曲
線網を示す略線図、第２図は２つの三辺形パツチの接続
方法を示す略線図、第３図は接平面連続の条件の説明に
供する略線図、第４図は三辺形パツチの各辺の接続関係
を示す略線図、第５図は三辺形パツチ内に設定される３
つの制御点の説明に供する略線図、第６図はパツチ接続
処理手順を示すフローチヤート、第７図は本発明の応用
例の説明に供する略線図である。

Claims

(57)【特許請求の範囲】１．CAD装置によつて、枠組み処理により境界曲線で囲
まれかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を
形成し、上記各枠組み空間において、当該各枠組み空間
内の位置を所定間隔で順次指定されるパラメータによつ
て順次指定してベクトル関数を演算することにより上記
各枠組み空間内の上記各位置における位置ベクトルデー
タを求め、これにより上記物体の細部表面形状を表す細
部表面形状データを作成する物体の表面形状データ作成
装置を用いて、上記枠組み空間として、第１の境界曲線、第２の境界曲
線及び第３の境界曲線で囲まれた三辺形枠組み空間を含
むように枠組み処理を実行して、該三辺形枠組み空間に
形成する三辺形細部表面形状を表す三辺形細部表面形状
データを生成し、上記三辺形細部表面形状データを生成する際に、上記第
１の境界曲線を共有境界として隣接する第１の隣接細部
表面形状に接平面連続の条件を満足するように接続する
第１の副細部表面形状を表すベクトル関数データと、上記第２の境界曲線を共有境界として隣接する第２
の隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満足するよう
に接続する第２の副細部表面形状を表すベクトル関数デ
ータと、上記第３の境界曲線を共有境界として隣接する第３
の隣接細部表面形状に接平面連続の条件を満足するよう
に接続する第３の副細部表面形状を表すベクトル関数デ
ータとを、重ね合わせ合成することにより、上記三辺形枠組
み空間に上記三辺形細部表面形状を生成するようなベク
トル関数データを生成するようになし、上記接平面連続の条件は、上記三辺形細部表面形状及び
三辺形細部表面形状に隣接する上記第１、第２及び第３
の隣接細部表面形状の共有境界における接線ベクトルデ
ータと、上記共有境界の接線ベクトルとによつて形成さ
れる接平面が同一になることであり、上記第１の副細部表面形状データ上記第２の副細部表面形状データ及び上記第３の副細部表面形状データに基づいて次式、ここで、で表される係数α（u,v）、β（u,v）、γ（u,v）の比
率で決まる位置ベクトルデータによつて上記三辺形細部
表面形状を表すベクトル関数データを生成して表示手段上に表示すると供に、隣接する上記
三辺形細部表面形状間の上記共有境界上の点の法線ベク
トル、又は上記三辺形細部表面形状内の等高線を表示す
ることにより、上記共有境界における接続状態の滑らか
さを確認できるようにすることを特徴とする物体の表面形状データ作成方法。