JPH0327950B2 - - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ 産業上の利用分野 Ｂ 発明の概要 Ｃ 従来の技術 Ｄ 発明が解決しようとする問題点 Ｅ 問題点を解決するための手段（第１図） Ｆ 作用（第１図） Ｇ 実施例（第１図〜第７図） Ｈ 発明の効果 Ａ 産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えば
CAD（computer aided design）、又はCAM
（computer aided manufacturing）において、
自由曲面をもつた形状を生成する場合に適用して
好適なものである。

Ｂ 発明の概要 本発明は、CAD、又はCAMなどにおける自由
曲面作成方法において、隣合う２つのパツチを、
１階級係数が共有境界において接平面連続の条件
をもつように内部の制御点を設定するようにした
ことにより、隣合う２つのパツチを滑らかな自由
曲面をもつように接続することができる。

Ｃ 従来の技術 例えばCADの手法を用いて、自由曲面をもつ
た物体の形状をデザインする場合、一般に、デザ
イナは曲面か通るべき３次元空間における複数の
点を指定し、当該指定された複数の点を結ぶ境界
曲線網を、所定の関数を用いてコンピユータによ
つて演算させることにより、いわゆるワイヤーフ
レームで表現された曲面を作成する。かくして境
界曲線によつて囲まれた多数の枠組み空間を形成
することができる（このような処理を以下枠組み
と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線
網は、それ自体デザイナがデザインしようとする
大まかな形状を表しており、各枠組み空間を囲む
境界曲線を利用して所定の関数によつて表現でき
る曲面を補間演算することができれば、全体とし
てデザイナがデザインした自由曲面（２次関数で
規定できないものを言う）を生成することができ
る。ここで各枠組み空間に張られた曲面は全体の
曲面を構成する基本要素を形成し、これをパツチ
と呼ぶ。

従来この種のCADシステムにおいては、境界
曲線網を表現する数式として、計算が容易な例え
ばベジエ（Bezier）式、Ｂスプライン（Ｂ−
spline）式でなる３次のテンソルが使われてお
り、例えば形状的に特殊な特徴がないような自由
曲面を数式表現するには最適であると考えられて
いる。

Ｄ 発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴が
ある曲面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）
に適用する場合には、パツチ相互間の接続方法に
困難があり、高度な数学的演算処理を実行する必
要があるため、コンピユータによる演算処理が複
雑かつ膨大になる問題がある。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、
テンソル積の数式表現が簡素である利点を生かす
ように、簡素な数式表現のまま隣接するパツチ相
互間を接平面連続の条件の下に簡易に接続するこ
とによつて、複雑な曲面を簡易な数式表現をもつ
補間演算式によつて演算し得るようにした自由曲
面作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ 問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明において
は、枠組み処理によつて境界曲線で囲まれる多数
の枠組み空間を形成し、この枠組み空間に所定の
ベクトル関数で表されるパツチを張ることによ
り、自由曲面を生成するようになされた自由曲面
作成方法において、多数のパツチのうち、共有境
界COMにおいて隣合う第１及び第２のパツチ
S_(u,v)1及びS_(u,v)2を指定し、第１のパツチS_(u,v)1を
表わすベクトル関数の１階微係数でなり、当該第
１のパツチS_(u,v)1の共有境界COMに沿う方向及び
横断する方向の２つのベクトルでなる第１の接線
ベクトル∂S₁／∂u、∂S₁／∂vを求め、第２のパツ
チS_(u,v)2を表すベクトル関数の１階微係数でなり、
上記第２のパツチの共有境界COMに沿う方向及
び横断する方向の第２の接線ベクトル∂S₂／∂u、
∂S₂／∂vを求め、当該求められた第１及び第２の
接線ベクトル∂S₁／∂u、∂S₁／∂v及び∂S₂／∂u、
∂S₂／∂vについて、共有境界COMにおいて接平
面連続の条件が成り立つように第１及び第２のパ
ツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の内部に当該第１及び第２の
パツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の形状を変化させるための
制御点P₍₁₁₎₁，P₍₁₂₎₁及びP₍₁₁₎₂，P₍₁₂₎₂を決めるよ
うにする。

Ｆ 作用 第１及び第２のパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の内部の
制御点P₍₁₁₎₁，P₍₁₂₎₁及びP₍₁₁₎₂，P₍₁₂₎₂の立体曲面
上の位置が、各パツチの１階微係数が共有境界
COMにおいて接平面連続の条件を満足するよう
な位置に設定される。

かくして２つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の共有境
界COMにおける曲面は滑らかに接続されること
になる。

Ｇ 実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述す
る。

(G1) パツチ接続の原理 この実施例において、枠組みされた境界曲線
及び枠組み空間に張られるパツチを次式のベク
トル関数S_(u,v)、 S_(u,v)＝（１−ｕ＋uE）^m・ （１−ｖ＋vF）ⁿP₍₀₀₎ ……(1) で表される３次のベジエ式を用いて表現する。

ここでP₍₀₀₎は、第１図に示すように、隣合う
枠組み空間に張られた曲面すなわち第１のパツ
チS_(u,v)1及び第２のパツチS_(u,v)2が共に保有して
いる境界（これを共有境界と呼ぶ）の一端の位
置を表す位置ベクトルでなり、(1)式は、位置ベ
クトルでなる制御点P₍₀₀₎を基準にして、第１及
び第２のパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2上の自由曲面を
表現する。

また、(1)式においてＥ，Ｆはシフト演算子
で、パツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2上の位置ベクトルで
表される制御点P_(i,j)に対して次式、 Ｅ・P_(i,j)＝P_(i+1,j) ……(2) Ｆ・P_(i,j)＝P_(i,j+1) ……(3) の関係をもつ。

さらに(1)式において、ｕ、ｖは０〜１の間の
値を変化するパラメータで、第１図に示すよう
に、第１及び第２のパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2に対
してそれぞれ制御点P₍₀₀₎から横方向にｕ軸をと
り、かつ縦方向にｖ軸をとつた座標（ｕ，ｖ）
を用いてＳパツチ_(u,v)1及びS_(u,v)2内の自由曲面
上の座標を表すことができる。

さらに(1)式においてｍ及びｎは、ベジエ曲面
を、ｍ次及びｎ次の演算式を用いて表現するこ
とを表している。第１図の場合ｍ＝３、ｎ＝３
に選定して３次のベジエ式を用いて自由曲面を
表現するようになされ、かくしてS_(u,v)1は16個
の制御点、すなわちP₍₀₀₎〜P₍₀₃₎，P₍₁₀₎₁〜P₍₁₃₎₁，
P₍₂₀₎₁〜P₍₂₃₎₁，P₍₃₀₎₁〜P₍₃₃₎₁で表現されること
になる。また第２のパツチS_(u,v)2も同様にして
16個の制御点P₍₀₀₎〜P₍₀₃₎，P₍₁₀₎₂〜P₍₁₃₎₂，P₍₂₀₎₂
〜P₍₂₃₎₂，P₍₃₀₎₂〜P₍₃₃₎₂によつて表現することが
できる。

因に第１及び第２のパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2
は、制御点P₍₀₀₎を基準にしてそれぞれシフト演
算子Ｅ、E²、E³及びＦ、F²、F³によつて表わ
される16個の制御点P₍₀₀₎〜P₍₃₃₎を用いて形状が
規定される。

すなわち、(1)式によつて表わされる３次のベ
ジエ式を展開すると、 S_(u,v)＝（１−ｕ＋uE）³・（１−ｖ＋vF）³P₍₀₀₎＝（
１−ｕ）³（１−ｖ）³P₍₀₀₎ ＋３（１−ｕ）²uE（１−ｖ）³P₍₀₀₎＋３（１−ｕ）u
²E²（１−ｖ）³P₍₀₀₎＋u³E³（１−ｖ）³P₍₀₀₎ ＋（１−ｕ）³・３（１−ｖ）²vFP₍₀₀₎＋３（１−ｕ
）²uE・３（１−ｖ）²vFP₍₀₀₎ ＋３（１−ｕ）u²E²・３（１−ｖ）²vFP₍₀₀₎＋u³E³・
３（１−ｖ）²vFP₍₀₀₎ ＋（１−ｕ）³・３（１−ｖ）v²F²P₍₀₀₎＋３（１−ｕ
）²uE・３（１−ｖ）v²F²P₍₀₀₎ ＋３（１−ｕ）u²E²・３（１−ｖ）v²F²P₍₀₀₎＋u³E³
・３（１−ｖ）²v²F²P₍₀₀₎＋（１−ｕ）³・v³F³P₍₀₀₎ ＋３（１−ｕ）²uE・v³F³P₍₀₀₎＋３（１−ｕ）²u²E²
・v³F³P₍₀₀₎＋u³E³・v³F³P₍₀₀₎ ＝（１−ｕ）³（１−ｖ）³P₍₀₀₎＋３（１−ｕ）²u（
１−ｖ）³P₍₁₀₎＋３（１−ｕ）u²（１−ｖ）³P₍₂₀₎ ＋u³（１−ｖ）³P₍₃₀₎＋（１−ｕ）³・３（１−ｖ）²
vP₍₀₁₎＋３（１−ｕ）²u・３（１−ｖ）²vP₍₁₁₎ ＋３（１−ｕ）u²・３（１−ｖ）²vP₍₂₁₎＋u³・３（
１−ｖ）²vP₍₃₁₎＋（１−ｕ）³・３（１−ｖ）v²P₍₀₂₎ ＋３（１−ｕ）²u・３（１−ｖ）v²P₍₁₂₎＋３（１−
ｕ）u²・３（１−ｖ）v²P₍₂₂₎＋u³E³・３（１−ｖ）
v²F²P₍₃₂₎ ＋（１−ｕ）³・v³P₍₀₃₎＋３（１−ｕ）²u.v³P₍₁₃₎＋
３（１−ｕ）²u²・v³P₍₂₃₎u³・v³P₍₃₃₎……（1X） のように、16個の制御点P₍₀₀₎〜P₍₃₃₎によつて表
すことができる。このことは第１及び第２のパ
ツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の曲面上の各点を当該16個
の制御点P₍₀₀₎〜P₍₃₃₎を表すベクトルの合成ベク
トルによつて表すことができることを意味し、
その結果制御点P₍₀₀₎〜P₍₃₃₎の位置の指定を変更
することにより第１及び第２のパツチS_(u,v)1及
びS_(u,v)2の曲面の形状を制御できることを意味
している。

このような２つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2は、
デザイナによる枠組み処理によつて、作られた
境界曲線網上に張られており、この２つのパツ
チ間に共有境界COMをもつている。ここで、
各境界曲線に沿つて設定された制御点は、枠組
み処理時に各境界曲線を３次のベジエ式で表す
ために設定され、各境界曲線の両端間に４つの
制御点が指定されている。これに対して境界曲
線によつて囲まれた枠組み空間内部の制御点
は、当該枠組み空間に自由曲面を張るために３
次のベジエ式を用いて補間演算するために設定
される。かくして各枠組み空間の曲面は、16個
の制御点によつて表される。

ところで、枠組み処理によつて形成された境
界曲線網の多数の枠組み空間に、それぞれ別個
に自由曲面を張つてパツチを生成した場合、隣
合うパツチの共有境界における曲面は一般に滑
らかにはならない。そこでこの実施例において
は、２つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2を、共有境界
COMにおいて滑らかに接続するように、各パ
ツチの制御点を設定し直して、これらの制御点
を用いてパツチに張るべき自由曲面を補間演算
する。これにより、境界曲線網に枠組みされた
曲面全体に亘つて全てのパツチを滑らかに接続
して行くことができることにより、多くの物体
の外形形状を自然に表現できる。

この共有境界COMにおける接続は、接平面
連続の条件を満足するような制御辺ベクトル
a₁，a₂，c₁，c₂を求めて実現される。制御辺ベ
クトルa₀，a₁，a₂，a₃は制御点P₍₀₀₎，P₍₀₁₎，
P₍₀₂₎，P₍₀₃₎から第１のパツチS_(u,v)1の隣の制御
点P₍₁₀₎₁，P₍₁₁₎₁，P₍₁₂₎₁，P₍₁₃₎₁に向かうベクト
ルで表される。また、制御辺ベクトルc₀，c₁，
c₂，c₃は、制御点P₍₀₀₎，P₍₀₁₎，P₍₀₂₎，P₍₀₃₎から
第２のパツチS_(u,v)2の隣の制御点P₍₁₀₎₂，P₍₁₁₎₂，
P₍₁₂₎₂，P₍₁₃₎₂に向かうベクトルでなる。さらに
制御辺ベクトルb₁，b₂，b₃は、制御点P₍₀₀₎から
P₍₀₁₎に向かうベクトル、制御点P₍₀₁₎からP₍₀₂₎に
向かうベクトル、制御点P₍₀₂₎からP₍₀₃₎に向かう
ベクトルでなる。

a₀，a₃，b₁，b₂，b₃，c₀，c₃は枠組として設
定されているため接平面連続条件を使つてa₁，
a₂，c₁，c₂を求めることにより内部の制御点
P₍₁₁₎₁，P₍₁₂₎₁，P₍₁₁₎₂，P₍₁₂₎₂を求める。接平面
連続の条件は、共有境界COMの線上の各点に
ついて、第１のパツチS_(u,v)1のｕ方向の接線ベ
クトルと、第２のパツチS_(u,v)2のｕ方向の接線
ベクトルと、第２のパツチS_(u,v)2のｖ方向を指
定する共有境界COMの接線ベクトルとが同一
平面上に存在することである。ここで接平面
は、共有境界の各点でのｕ方向及びｖ方向の接
線ベクトルによつて形成される平面を呼び、従
つて共有境界の各点においてパツチS_(u,v)1及び
S_(u,v)2の接平面が同一のとき、接平面連続の条
件が成り立つ。

すなわち、共有境界COM上の任意点P_(0v)に
ついての接平面連続の条件は、第２図に示すよ
うに決められる。すなわちパツチS_(u,v)1につい
て、共有境界COMを横断する方向（すなわち
ｕ方向）の接線ベクトルH_a、及び共有境界
COMに沿う方向（すなわちｖ方向）の接線ベ
クトルH_bの法線ベクトルn₁は、 n₁＝H_a×H_b ……（4A） で表され、またパツチS_(u,v)2について、共有境
界COMを横断する方向の接線ベクトルH_c及び
共有境界COMに沿う方向の接線ベクトルH_bの
法線ベクトルn₂は、 n₂＝H_c×H_b ……（4B） で表される。

このような条件の下に、接平面連続というた
めには、接線ベクトルH_a，H_b及びH_cが同一平
面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトルn₁及びn₂は同一方向に向くことになる。

ここで、 H_a＝∂S_(u,v)1／∂u ……（4C） H_b＝∂S_(u,v)1／∂v ……（4D） B_c＝∂S_(u,v)2／∂u ……（4E） かかる接平面連続の条件を満足する数式を次
式 λ（ｖ）・∂S_(u,v)2／∂u ＝μ（ｖ）・∂S_(u,v)1／∂u＋ν（ｖ） ・∂S_(u,v)1／∂v ……(6) で表す。(6)式において∂S_(u,v)1／∂u及び
∂S_(u,v)2／∂uは、それぞれ共有境界COM上の点
におけるパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2のｕ方向の接線
ベクトル（すなわち横断接線ベクトル）を表
し、(1)式を１階偏微分することにより、 ∂S_(u,v)1／∂u＝３（１−ｖ＋vF）³a₀ ……(7) ∂S_(u,v)2／∂u＝３（１−ｖ＋vF）³c₀ ……(8) になる。ただし、 a_j＝P_(1j)1−P_(0j) ……(9) （ｊ＝０、１、２、３） c_j＝P_(1j)2−P_(0j) ……(10) （ｊ＝０、１、２、３） である。

また∂S_(u,v)1／∂vは、共有境界COM上のパツ
チS_(u,v)1のｖ方向の接線ベクトルで、(1)式を１
階偏微分することにより、 ∂S_(u,v)1／∂v＝３（１−ｖ＋vF）²b₁ ……（11） になる。ただし、 b_j＝P_(0j)−P_(0j-1) ……（12） （ｊ＝１、２、３） である。

また(6)式のスカラ関数λ（ｖ）、μ（ｖ）、ν
（ｖ）として λ（ｖ）＝（１−ｖ）＋ｖ ……（13） μ（ｖ）＝κ₁（１−ｖ）＋κ₂v ……（14） ν（ｖ）＝η₁（１−Ｖ）²＋（η₁＋η₂） 〔（１−ｖ）・ｖ〕＋η₂v² ……（15） に選定してこれを(6)式に代入する。

（13）式〜（15）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ
（ｖ）、ν（ｖ）は、数式の形として、（１−ｖ）
の項及びｖの項と、その積の項とをもち、μ
（ｖ）及びν（ｖ）には、未知数κ₁、κ₂及びη₁、
η₂を含んでいる。かくして（13）式〜（15）式
を(6)式に代入して展開したとき、(6)式の右辺及
び左辺が共に、（１−ｖ）⁴、ｖ（１−ｖ）³、v²
（１−ｖ）²、v³（１−ｖ）、v⁴の項の和の形に整
理できるようにする。かくして(6)式に対して、
(7)式、(8)式、（11）式と、（13）式、（14）式、
（15）式とを代入して整理した各項ごとに、係
数部が互いに等しくなるように未知数κ₁、κ₂及
びη₁、η₂を選定すれば、結局共有境界COMに
おいて、接平面連続の条件を満足させることが
できるような制御辺ベクトルa₁，a₂，c₁，c₂を
設定することができる。

実際上、(6)式の各項の係数部を互いに等しい
とおくと共に、(7)式、(8)式、（11）式に含まれ
ているＦを(2)式の関係から消去すれば、それぞ
れ（１−ｖ）⁴、ｖ（１−ｖ）³、v²（１−ｖ）²、v³
（１−ｖ）、v⁴の項の条件から c₀＝κ₁a₀＋η₁b₁ ……（16） 3c₁＋c₀＝3κ₁a₁＋κ₂a₀ ＋2η₁b₂＋（η₁＋η₂）b₁ ……（17） 3c₂＋3c₁＝3κ₁a₂＋3κ₂a₁＋η₁b₃ ＋２（η₁＋η₂）b₂＋η₂b₁ ……（18） c₃＋3c₂＝κ₁a₃＋3κ₂a₂ ＋（η₁＋η₂）b₃＋2η₂b₂ ……（19） c₃＝κ₂a₃＋η₂b₃ ……（20） の関係式を得ることができる。

（16）式より未知数κ₁、η₁が決まり、（20）
式より未知数κ₂，η₂が決まり、（17）式〜（19）
式よりa₁，a₂，c₁，c₂を、決めることができ、
その結果(6)式に基づく接平面連続の条件を満足
させながら第１及び第２のパツチS_(u,v)1及び
S_(u,v)2を滑らかに接続することができる。

(G2) １次元的な接続方法 このように(1)式で表されたベジエ曲面のう
ち、３次式の数式を用いて２つのパツチの共有
境界を連続的に接続することができるが、この
実施例においては、かかる数式表現によつて第
３図に示すように１方向（例えば横方向）に複
数のパツチ…SE１，SE２，SE３，SE４，SE
５…を順次接続して行くことによつて全体とし
て帯状に接続する自由曲面を生成して行く。

そのため、（16）式〜（20）式において、c₀，
c₁，c₂，c₃を消去した後、次式 （κ₁−κ₂）（a₀−3a₁＋3a₂−a₃）＝０
……（21） で示すように、第１のパツチS_(u,v)1側の制御辺
ベクトルa₀〜a₃のみで表される式を得る。

ここで、第２項を０とおけば、制御辺ベクト
ルa₀〜a₃について a₀−3a₁＋3a₂−a₃＝０ ……（22） の関係があれば接平面連続の条件式を満足する
ことが分かる。

ここで、（22）式の関係から、枠組みの際に
既知の制御辺ベクトルa₀，a₃を用いて制御辺ベ
クトルa₁，a₂を求めれば、接平面連続の条件式
を満足するパツチS_(u,v)1の内部の制御点P₍₁₁₎₁，
P₍₁₂₎₁を決めることができる。

別の方法として、制御辺ベクトルa₀，a₁，
a₂，a₃をその変化率が一定になるように設定す
ると、制御辺ベクトルa₀及びa₂間にある制御辺
ベクトルa₁は、 a₁＝a₃＋2a₀／３ ……（23） のように表し得ると共に、制御辺ベクトルa₁及
びa₃間にある制御辺ベクトルa₂は、 a₂＝2a₃＋a₀／３ ……（24） のように表し得る。そして（23）式及び（24）
式を（22）式に代入することにより、制御辺ベ
クトルa₀，a₁，a₂，a₃をその変化率が一定にな
るように設定すれば、（22）式の関係を満足さ
せることができることが分かる。

次に（16）式を（17）式に代入すると、次式 c₁＝κ₁a₁＋κ₁−κ₂／３a₀ ＋2η₁／３b₂＋η₂／３b₁ ……（25） によつて第２のパツチS_(u,v)2の制御辺ベクトル
c₁を得ることができ、また（20）式を（19）式
に代入することにより、次式 c₂＝κ₂a₂＋κ₁−κ₂／３a₃ ＋η₁／３b₃＋2η₂／３b₂ ……（26） によつて第２のパツチS_(u,v)2の制御辺ベクトル
c₂を求めることができる。

（25）式及び（26）式に、（23）式及び（24）
式を代入すれば、制御辺ベクトルc₁及びc₂は c₁＝１／３〔κ₁a₃＋（κ₁＋κ₂）a₀＋2η₁b₂＋η₂b₁〕 ……（27） c₂＝１／３〔κ₂a₀＋（κ₁＋κ₂）a₃＋2η₂b₂＋η₁b₃〕 ……（28） のように、既知の制御辺ベクトルa₀，a₃，b₁，
b₂，b₃によつて表されることになる。

(G3) 枠組みの形態による条件 ところで、制御辺ベクトルc₁，c₂の値は、枠
組み処理によつて形成された共有境界COMの
両端位置の節点を構成する制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎
における制御辺ベクトルa₀，b_1，c₀及びa₃，
b₃，c₃の関係によつて異なる影響を受ける。そ
こで、枠組みの形態を３つの類型に分類し、各
類型ごとに第１及び第２のパツチS_(u,v)1及び
S_(u,v)2の制御辺ベクトルa₁，a₂及びc₁，c₂を決
める。

この実施例の場合、制御辺ベクトルa₁，a₂及
びc₁，c₂を決める手法として、次に述べるよう
に、一方の制御辺ベクトルa₁，a₂を変更せずに
他方の制御辺ベクトルのみを変更することによ
り、接平面連続の条件を成立させるようにす
る。

すなわち枠組みの形態は、共有境界COMの
両端の節点となる制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎におい
て、２つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の方向に向か
う制御辺ベクトルa₀，c₀及びa₃，c₃が互いに平
行であるか否かによつて分類する。

(1) 両方が平行の場合 第３図において共有境界COM１によつて
示すように、共有境界COM１の両端の制御
点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎において、２つの制御辺ベク
トルa₀，c₀及びa₃，c₃がそれぞれ互いに平行
である場合、接平面連続の条件を満足するた
めには、（16）式及び（20）式においてη₁及
びη₂は η₁＝０、η₂＝０ ……（29） でなければならない。

この条件を（27）式及び（28）式に代入す
ると、κ₁及びκ₂が互いに等しくない場合に
は、制御辺ベクトルc₁及びc₂は次式 c₁＝１／３〔κ₁a₃＋（κ₁＋κ₂）a₀〕 ……（30） c₂＝１／３〔κ₂a₀＋（κ₁＋κ₂）a₃〕 ……（31） として求めることができる。

これに対してκ₁及びκ₂が互いに等しい場合
には、κ₁＝κ₂＝κとおいてこれを（30）式及
び（31）式に代入することによつて c₁＝１／３（κa₃＋2κa₀） ……（32） c₂＝１／３（κa₀＋2κa₃） ……（33） と表すことができる。

従つて制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎においてｕ方向
に向かう制御辺ベクトルが共に平行になるよ
うに枠組みされた２つのパツチ間を接平面連
続の条件によつて接続するためには、一方の
パツチの制御辺ベクトルa₀，a₃に対して、他
方のパツチの制御辺ベクトルc₁，c₂を、（30）
式、（31）式及び（32）式、（33）式で表すよ
うな関係に選定すれば良い。

(2) 一方が平行でない場合 第３図において共有境界COM３について
示すように、第１に、一方の節点でなる制御
点P₍₀₀₎の制御辺ベクトルa₀，c₀が互いに平行
でない場合には、η₁、η₂の関係は、（16）式
及び（20）式から η₁≠０、η₂＝０ ……（34） にならなければならず、これを（27）式及び
（28）式に代入する。ここでκ₁及びκ₂が互い
に等しくなければ、制御辺ベクトルc₁及びc₂
は、 c₁＝１／３〔κ₁a₃＋（κ₁＋κ₂）a₀＋2η₁b₂〕 ……（35） c₂＝１／３〔κ₂a₀＋（κ₁＋κ₂）a₃＋η₁b₃〕 ……（36） のように、制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎におけるｕ方
向の制御辺ベクトルa₀及びa₃と、共有境界
COM３沿うｖ方向の制御辺ベクトルb₂，b₃
とによつて決まる関係に設定すれば、接平面
連続の条件を満足させながら２つのパツチを
接続することができる。

これに対してκ₁及びκ₂が互いに等しい場合
には、（35）式及び（36）式においてκ₁＝κ₂
＝κとおけば、 c₁＝１／３（κa₃＋2κa₀＋2η₁b₂） ……（37） c₂＝１／３（κa₀＋2κa₃＋η₁b₃）……（38） と表し得る。

また第２に、第３図において共有境界
COM３について示すように、他方の節点で
なる制御点P₍₀₃₎の制御辺ベクトルa₃，c₃が互
いに平行でない場合には、η₁，η₂の関係は、
（16）式及び（20）式から η₁＝０、η₂≠０ ……（39） にならなければならず、これを（27）式及び
（28）式に代入する。ここでκ₁及びκ₂が互い
に等しくなければ、制御辺ベクトルc₁及びc₂
は、 c₁＝１／３〔κ₁a₃＋（κ₁＋κ₂）a₀＋η₂b₁〕 ……（40） c₂＝１／３〔κ₂a₀＋（κ₁＋κ₂）a₃＋2η₂b₂〕 ……（41） のように、制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎におけるｕ方
向の制御辺ベクトルa₀及びa₃と、共有境界
COM３に沿うｖ方向の制御辺ベクトルb₁，
b₂とによつて決まる関係に設定すれば、接平
面連続の条件を満足させながら２つのパツチ
を接続することができる。

これに対してκ₁及びκ₂が互いに等しい場合
には、（40）式及び（41）式においてκ₁＝κ₂
＝κとおけば、 c₁＝１／３（κa₃＋2κa₀＋η₂b₁） ……（42） c₂＝１／３（κa₀＋2κa₃＋2η₂b₂） ……（43） と表し得る。

(3) 両方が平行でない場合 第３図において共有境界COM２で示すよ
うに、両端の節点でなる制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎
におけるｕ方向の制御辺ベクトルa₀，c₀及び
a₃，c₃がそれぞれ互いに平行でない場合、η₁
及びη₂の関係は、（16）式及び（20）式から η₁≠０、η₂≠０ ……（44） の関係になければならない。

ここでκ₁及びκ₂が互いに等しくないときに
は、次式 c₁＝１／３〔κ₁a₃＋（κ₁＋κ₂）a₀＋2η₁b₂＋η₂b₁〕 ……（45） c₂＝１／３〔κ₂a₀＋（κ₁＋κ₂）a₃＋2η₂b₂＋η₁b₃〕 ……（46） で示すように、（27）式及び（28）式で表さ
れる関係と同じ条件で、制御辺ベクトルc₁及
びc₂が求められる。

これに対してκ₁及びκ₂が互いに等しいとき
には、（45）式及び（46）式においてκ₁＝κ₂
＝κとおくことにより、制御辺ベクトルc₁及
びc₂は c₁＝１／３（κa₃＋2κa₀＋2η₁b₂＋η₂b₁） ……（47） c₂＝１／３（κa₀＋2κa₃＋2η₂b₂＋η₁b₃） ……（48） のように表すことができる。

このようにして節点の制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎
におけるｕ方向の制御辺ベクトルが互いに等
しくないときには、（45）式、（46）式又は
（47）式及び（48）式によつて表される関係
に制御辺ベクトルc₁及びc₂を選定することに
よつて２つのパツチを接平面連続の条件によ
つて接続することができる。

(G4) パツチ接続処理手順 第３図に示すように、パツチを帯状に１次元
的に接続する処理は、これをコンピユータによ
つて第４図に示す処理手順を実行することによ
り実現し得る。

第４図において、ステツプSP1において接続
処理手順が開始されると、コンピユータはステ
ツプSP2においてパツチデータを読み込む。こ
のパツチデータは例えば別途デザイナが自由曲
面をデザインする際に、３次元空間に境界曲線
網を枠組みすることにより得られる。この枠組
み処理に異常がなければ、境界曲線によつて囲
まれている隣合うパツチは共有境界COMをも
つており、従つて以下に述べる接続処理によつ
てこの共有境界COMにおいて２つのパツチを
接平面連続の条件の下に滑らかに接続すること
ができる。

コンピユータはステツプSP2においてパツチ
データを読み込んだとき、３次のベジエ式で表
される曲面を対応する境界曲線上に張る際に必
要とされる16個の制御点を設定してパツチ内の
補間演算を実行する。ここで、境界曲線周りの
制御辺ベクトルが補間演算の基準位置データに
用いられる。

かくして第１図について上述したように、共
有境界COMについて、その両端の節点でなる
制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎と、この制御点P₍₀₀₎及び
P₍₀₃₎間の２つの制御点P₍₀₁₎及びP₍₀₂₎とが設定さ
れる。

同様にして他の境界曲線についても、節点
P₍₀₀₎及びP₍₃₀₎₁間、P₍₃₀₎₁及びP₍₃₃₎₁間、P₍₃₃₎₁及び
P₍₀₃₎間、P₍₀₀₎及びP₍₃₀₎₂間、P₍₃₀₎₂及びP₍₃₃₎₂間、
P₍₃₃₎₂及びP₍₀₃₎間にそれぞれ制御点P₍₁₀₎₁及び
P₍₂₀₎₁，P₍₃₁₎₁及びP₍₃₂₎₁，P₍₂₃₎₁及びP₍₁₃₎₁，P₍₁₀₎₂
及びP₍₂₀₎₂，P₍₃₁₎₂及びP₍₃₂₎₂，P₍₂₃₎₂及びP₍₁₃₎₂が
設定される。

このようにして隣合う２つのパツチS_(u,v)1及
びS_(u,v)2の境界曲線についてそれぞれ３次のベ
ジエ式を表す４つの制御点が指定されると共
に、４つの境界曲線に囲まれた各パツチの内部
に、各境界線について両端の節点間に指定され
た２つの制御点に対応する４つの制御点P₍₁₁₎₁，
P₍₂₁₎₁，P₍₁₂₎₁，P₍₂₂₎₁，P₍₁₁₎₂，P₍₂₁₎₂，P₍₁₂₎₂，
P₍₂₂₎₂が指定される。

かくして隣合う２つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2
に対して３次のベジエ式で表された曲面をそれ
ぞれ張ることができる。

コンピユータはこの２つの曲面について、そ
の共有境界COMを挟んで指定されている制御
点によつて構成される制御辺ベクトルa₀〜a₃，
b₁〜b₃，c₀〜c₃を用いて２つのパツチが接平面
連続の条件を満足するように共有境界COMの
節点の制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎間の制御点P₍₀₁₎及び
P₍₀₂₎から各パツチ内部の中間制御点P₍₁₁₎₁，
P₍₁₂₎₁及びP₍₁₁₎₂，P₍₁₂₎₂に向かう制御辺ベクトル
a₁，a₂及びc₁，c₂を演算し直すことによつて、
１次元的な接続を以下に述べるステツプによつ
て実現する。

すなわちコンピユータは次のステツプSP3に
おいて、接続すべき２つのパツチS_(u,v)1及び
S_(u,v)2を指定した後、ステツプSP4に移る。こ
のステツプSP4は、接続しようとする２つのパ
ツチの共有境界COMの両端にある制御点P₍₀₀₎
及びP₍₀₃₎において、制御辺ベクトルが同一平面
上にあるかどうかを調べる。すなわち制御点
P₍₀₀₎において制御辺ベクトルa₀，b₁，c₁が同一
平面になければ、接平面連続の条件が成り立た
ないことになり、同様に節の制御点P₍₀₃₎におい
て制御辺ベクトルa₃，b₃，c₃が同一平面になけ
れば接平面連続の条件が成り立たないことにな
る。そこでコンピユータはステツプSP4におい
て肯定結果が得られたときには次のステツプ
SP5に進み、これに対して否定結果が得られた
ときには、ステツプSP6において同一平面にな
い制御辺ベクトルを回転させることによつて同
一平面上に修正した後次のステツプSP5に進
む。

このステツプSP5は制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎間に
ある２つの制御点P₍₀₁₎及びP₍₀₂₎について、各パ
ツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2に向かう制御辺ベクトル
a₁，a₂及びc₁，c₂として接平面連続の条件を満
足する位置ベクトルを求めて設定し直す。この
実施例の場合、制御辺ベクトルa₁及びa₂は、
（23）式及び（24）式について上述したように、
制御点P₍₀₀₎からP₍₀₃₎に向かう方向すなわちｖ方
向に座標を移動させて行つたときの横断接線ベ
クトルの変化率が一定であるものとして決めら
れた制御辺ベクトルa₀，a₃に基づいて設定され
る。

かくして設定された制御辺ベクトルa₁，a₂に
基づいて（27）式及び（28）式を用いて他方の
パツチの制御辺ベクトルc₁，c₂を演算する。

この実施例の場合、コンピユータによるこの
ステツプSP5における演算は、枠組み処理の仕
方によつて共有境界COMの両端位置における
境界曲線の形態に応じて、ｕ方向の制御辺ベク
トルが平行か否かの条件に基づいてそれぞれ異
なる演算式を用いて制御辺ベクトルc₁，c₂を求
めるようになされている（（29）式〜（48）
式）。

かくしてコンピユータは隣合う２つのパツチ
相互間を接平面連続の条件で接続する処理を終
わつて、次のステツプSP7において表示装置を
用いて各パツチを囲む境界曲線の各点における
法線ベクトル及びパツチ内の等高線を表示する
ことにより、２つのパツチの接続が滑らかであ
るか否かをオペレータが目視確認できるように
表示する。

例えば第５図に示すように、共有境界COM
の両端の制御点P₍₀₀₎及びP₍₀₃₎における係数κ₁及
びκ₂が互いに異なる場合にも、オペレータは第
６図に示すように、ステツプSP2〜SP5の接続
処理によつて生成された曲面の共有境界COM
における法線ベクトルが同一になることを、他
の境界線上の法線ベクトルと共に目視確認し得
る。

この表示を見てオペレータは次のステツプ
SP8において、各パツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2につい
て共有境界COM上の法線ベクトルが互いに一
致したか否かを確認でき、一致していない場合
にはステツプSP9においてその原因を調べ、必
要に応じて数値的な修正を行う。かくして一連
のパツチ接続処理手順をステツプSP10におい
て終了する。

(G5) 実施例の効果 上述のように構成すれば、オペレータが枠組
み処理によつて形成した枠組み空間に張られた
隣合うパツチを、その１階微係数が共有境界に
おいて接平面連続となるように接続することが
でき、かくして全体として滑らかな自由曲面を
生成できる曲面作成装置を得ることができる。

かくするにつき、３次の補間演算式を用いる
ようにしたことにより、作成した曲面の予測が
容易な条件の下でパツチの接続をし得る。

また上述の実施例のように、枠組み形態が異
なるとき、これに応じて異なる補間演算式を用
いるようにしたことにより、多様な枠組み形態
に最適な条件で、パツチを滑らかに接続するこ
とができる。

また、第６図について上述したように、共有
境界COMの法線ベクトルを表示装置によつて
表示することにより、パツチの接続結果を誤り
なく表示することができる。因に、上述のよう
に接続処理をする前の不連続のまますると、２
つのパツチS_(u,v)1及びS_(u,v)2の共有境界COMの
法線ベクトルは一致しないので第７図に示すよ
うに開いた状態に表示されるのに対して、接続
処理をすれば、第６図について上述したよう
に、２つのパツチの法線ベクトルは閉じて１本
のように表示される。かくして共有境界が連続
であることを容易に目視確認できる。

(G6) 他の実施例 なお上述においては、（21）式及び（22）式
に基づいて制御辺ベクトルa₁及びa₂を設定する
につき、ｖ方向に見たときの横断接線ベクトル
の変化率が一定であるという条件を用いた場合
について述べたが、これに代え、例えば（22）
式において a₀−3a₁＝０ ……（49） となるように制御辺ベクトルa₁を a₁＝１／３a₀ ……（50） のように設定し、その結果制御辺ベクトルa₂が
（22）式の関係から a₂＝１／３a₃ ……（51） のように設定することができる。

このようにして設定した制御辺ベクトルa₁及
びa₂に基づいて、（50）式及び（51）式を、
（25）式及び（26）式に代入することによつて
制御辺ベクトルc₁及びc₂を次式 c₁＝１／３（κ₂a₀＋2η₁b₂＋η₂b₁） ……（52） c₂＝１／３（κ₁a₃＋2η₂b₂＋η₁b₃） ……（53） として求めることができる。

また上述においては、３次のベジエ式を用い
てパツチの補間演算をする場合について述べた
が、数式の次数はこれに限らず４次以上にして
も良い。

さらに上述においては、パツチの補間演算を
ベジエ式を用いた場合について述べたが、これ
に限らず、スプライン式、クーンズ（Coons）
式、フアーガソン（Furgason）式などの他の
数式を用いるようにしても良い。

Ｈ 発明の効果 以上のように本発明によれば、隣合う２つのパ
ツチの内部の曲面を表す制御点を、各パツチのベ
クトル関数の１階微係数でなる接線ベクトルを用
いて、接平面連続の条件を満足するように設定す
るようにしたことにより、２つのパツチを容易に
滑らかに接続することができる自由曲面作成装置
を実現し得る。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法におい
て用いられる制御辺ベクトルを示す略線図、第２
図は第１図の共有境界における接平面連続の条件
の説明に供する略線図、第３図はパツチの１次元
的接続でなる枠組み形態を示す略線図、第４図は
２つのパツチを接続する際に用いられる接続処理
手順を示すフローチヤート、第５図は枠組の一例
を示す略線図、第６図は本発明の実施例によつて
接続した場合の共有境界の接続状態の表示を示す
略線図、第７図は接続処理をする前の接続状態を
示す略線図である。 S_(u,v)1，S_(u,v)2……パツチ、a₀〜a₃，b₁〜b₃，c₀
〜c₃……制御辺ベクトル、P₍₀₀₎〜P₍₀₃₎，P₍₁₀₎₁〜
P₍₃₃₎₁，P₍₁₀₎₂〜P₍₃₃₎₂……制御点、SE１〜SE５…
…パツチ、COM，COM１〜COM３……共有境
界。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １ 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれる多数
   の枠組み空間を形成し、上記枠組み空間に所定の
   ベクトル関数で表されるパツチを張ることによ
   り、自由曲面を生成するようになされた自由曲面
   作成方法において、 上記多数のパツチのうち、共有境界において隣
   合う第１及び第２のパツチを指定し、 上記第１のパツチを表すベクトル関数の１階微
   係数でなり、上記第１のパツチの上記共有境界に
   沿う方向及び横断する方向の２つのベクトルでな
   る第１の接線ベクトルを求め、 上記第２のパツチを表すベクトル関数の１階微
   係数でなり、上記第２のパツチの上記共有境界に
   沿う方向及び横断する方向の２つのベクトルでな
   る第２の接線ベクトルを求め、 上記求められた第１及び第２の接線ベクトルに
   ついて、上記共有境界において接平面連続の条件
   が成り立つように上記第１及び第２のパツチの内
   部に上記第１及び第２のパツチの形状を変化させ
   るための制御点を決める ことを特徴とする自由曲面作成方法。 ２ 上記枠組み空間に張られるパツチを３次の補
   間演算式によつて表してなる特許請求の範囲第１
   項に記載の自由曲面作成方法。 ３ 上記多数のパツチを１次元的方向に順次接続
   されるように枠組みしてなる特許請求の範囲第１
   項に記載の自由曲面作成方法。 ４ 上記内部の制御点を、上記共有境界の両端に
   おける境界曲線の形態の変化に対応する数式を用
   いて演算するようにしてなる特許請求の範囲第１
   項に記載の自由曲面作成方法。