JPH01175672A - 物体の表面形状データ作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 、Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術（第３図） Ｄ発明が解決しようとする問題点（第３図）Ｅ問題点を
解決するための手段（第１図及び第２図） Ｆ作用（第１図及び第２図） Ｇ実施例 （Ｇｌ）第１のパッチ接続方法（第１図）（Ｇｌ−１）
α１／α８＝β１／β８の場合（Ｇｌ−２）α１／α２
≠βｌ／β２の場合（Ｇ２）第２のパッチ接続方法（第
２図）（Ｇ２−１）α１／α２≠β、／β２の場合（Ｇ
２−２）α１／α２−β、／β２の場合Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ　Ｃｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）又はＣＡ
　Ｍ　（ｃｏａｉｐｕ　ｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　５ａｎｕ
ｆａｃｔｕｒｉＢ）において、自由曲面を作成する場合
に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、ＣＡＤ又はＣＡＭなどにおける自由曲面作成
方法において、２つのパッチを接続するにつき、片方又
は両方のパッチの共有境界に対する内部制御点の元の制
御点からの移動量を最小にするようにしたことにより、
一方又は両方のパッチの変形を最小にして接平面連続の
条件の下で接続し得る。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された複数の節点を結ぶ境界曲線網を所望の
ベクトル関数を用いてコンピュータによって演算させる
ことにより、いわゆるワイヤーフレームで表現された曲
面を作成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数
の枠組み空間を形成することができる（このような処理
を枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いてパラ
メトリックなベクトル関数によって表現できる曲面を補
間演算することができれば、全体としてデザイナがデザ
インした自由曲面（２次関数で規定できないものをいう
）を生成することができる。ここで各枠組み空間に張ら
れた曲面は全体の曲面を構成する基本要素を形成し、こ
れをパッチと呼ぶ。

ところで生成した自由曲面全体としてより自然な外形形
状を持たせるためには、境界曲線を挟んで隣接する枠組
み空間に、当該境界曲線において接平面連続の条件を満
足するようなパッチを張るように、境界曲線周りの制御
辺ベクトルを設定し直すようにした自由曲面作成方法が
提案されている（特願昭６０−２７７４４８号）。

すなわち、この自由曲面作成方法において、枠組みされ
た境界曲線及び枠組み空間に張られるパッチを、次式の
ベクトル関数Ｓ　（ｕｎ　ｖ）、Ｓ　＜ｕ、ｖｌ　＝（
１−ｕ　＋　ｕ　Ｅ）”・（１ｖｌｖＦ）”Ｐｎｏ＋−
−（１）で表されるベジェ式を用いて表現する。

ここでＰ（。。、は、第３図に示すように、隣合う枠組
み空間に張られた曲面すなわち第１のパッチＳ　（ｕｎ
　ｖ）　ｒ及び第２のパッチＳ　（ｕ、ｖ）　ｔが共に
保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一端の位
置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置ベクト
ルでなる制御点Ｐ、。。、を基準にして、第１及び第２
のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　１及びＳ　（ｕ、ｖｌ　を
上の自由曲面を表現する。

また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で、パッ
チＳ　１＋ａ＋　ｖ）　Ｉ及び５（Ｉｌ＋　Ｉり　Ｒ上
の位置ベクトルで表される制御点Ｐ　（１＋ハに対して
次式、Ｅ　０Ｐ　ｔｔ、　ｊ）＝　Ｐ　＜ム、１Ｊ１　
　　１１１１（２）Ｆ−Ｐ＋ｔ、Ｊ＋＝Ｐ＋ｔ、ｚや、
　　　　・・・・・・（３）の関係をもつ。

さらに（１）式において、ｕ、ｖはＯ〜１の間の値を変
化するパラメータで、第３図に示すように、第１及び第
２のパッチＳ　、、、　Ｖ）　、及びＳ　（Ｉｌ、Ｖｌ
　ｚに対してそれぞれ制御点Ｐ、。。、から横方向にＵ
軸をとり、かつ縦方向にＶ軸をとった座標（ｕ、　ｖ）
を用いてパッチＳ　（Ｉｌ＋　ｖｌ　ｌ及びＳ　ｊｕｔ
　ｖｌ　ｌ内の自由曲面上の座標を表すことができる。

さらに（１）式においてｍ及びｎは、ベジェ曲面を、ｍ
次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表している
。第３図の場合、ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のベジ
ェ式を用いて自由曲面を表現するようになされ、　かく
してＳ（ｕｎ　ｖｌ　ｌは１６個の制御点、　すなわち
Ｐ、。。、〜Ｐ（。、）、Ｐ、、。。

〜Ｐ　（１：ｌｌ＋　、Ｐ　ｔｔｏ＋ｔ　〜Ｐ（！、目
、Ｐ　（３゜）１〜Ｐ、３ｘｘで表現されることになる
。また第２のパッチＳ　（ｕ、ｖ、２も同様にして１６
個の制御点Ｐ、。。、〜Ｐｌｏｎ、　Ｐ　（１０１！　
−Ｐ　（＋３１２、　ｐｕｏ＋ｚ〜Ｐ　（！３１　ｔ　
％　Ｐ　（３＠ｌ　ｔ　”　Ｐ　（３１１２によって表
現することができる。

このような２つのパッチＳ（ａ、マ）■及びＳ　（ＩＪ
Ｉ　Ｖ）　１は、デザイナによる枠組み処理によって、
作られた境界曲線網上に張られており、この２つのバッ
チ間に共有境界ＣＯＭをもっている。ここで、各境界曲
線に沿って設定された制御点は、枠組み処理時に各境界
曲線を３次のベジェ式で表すために設定され、各境界曲
線の両端間に４つの制御点が指定されている。これに対
して境界曲線によって囲まれた枠組み空間内部の制御点
は、当該枠組み空間に自由曲面を張るために３次のベジ
ェ式を用いて補間演算するために設定される。かくして
各枠組み空間の曲面は、１６個の制御点によって表され
る。

ところで、枠組み処理によって形成された境界曲線網の
多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張って
パッチを生成した場合、隣合うパッチの共有境界におけ
る曲面は一般に滑らかにはならない、そこで、２つのパ
ッチＳ　（ｕｒ　ｗ、ｌ及びＳ　（＆Ｉ＋　ＩＴ）　１
を、共有境界ＣＯＭにおいて滑らかに接続するように、
各パッチの制御点を設定し直して、これらの制御点を用
いてパッチに張るべき自由曲面を補間演算する。これに
より、境界曲線網に枠組みされた曲面全体に亘って全て
のパッチを滑らかに接続して行くことができることによ
り、多くの物体の外形形状を自然に表現できる。

この共有境界ＣＯＭにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトル３つ、ａ、　、ｂｔ、
ｂ、を求めて実現される。制御辺ヘクトルａｌ　、ａｔ
　％　ａ２　、ａ４は制御点Ｐ　（＋１０１、Ｐ、。４
．、Ｐ、。２１、Ｐ、。１．から第１のパッチＳ　（Ｉ
ｌ、Ｖｌ　１の隣の制御点Ｐ（ｔｏｌｌ、　ＰＣ１＋１
１、Ｐ　（１２目、Ｐ　（Ｉｆｆｌ　１　に向かうベク
トルで表される。

また、制御辺ベクトルｂ、　、ｂ、　、ｂ、　、ｂ４、
は、制御点Ｐ（ＤＯ）、Ｐｒｏｔ＞、Ｐｔｏｚ２、Ｐ（
ｏ３＞から第２のパッチＳ　（ｕｒ　ｖ）　ｔの隣の制
御点Ｐ＋ｔｏ＋ｚ、Ｐ　ｎｕｚ　％　Ｐ　（Ｉｔ）ｚ　
−、Ｐ　（＋ｓ）ｚに向かうベクトルでなる。さらに制
御辺ベクトルｃｔ　、Ｃ１−、Ｃ３は、制御点Ｐ、。。

、からＰ（。１）に向かうベクトル、制御点Ｐ、。１．
からＰ、。２．に向かうベクトル、制御点Ｐ（＠りから
Ｐ（。、）に向かうベクトルでなる。

ここで、制御辺ベクトル　ａ　１　、ａ　４　、ｂ＋、
ｂ４　、’　ｌ　ｓ　Ｃ１、Ｃ２は枠組みとして設定さ
れているため接平面連続の条件を使って制御辺ベクトル
ａｔ　、ａｓ　、Ｊ　、ｂ、を求めることにより内部の
制御点Ｐ。Ｉ）ｌ、Ｐ（ｌ□Ｉ　、Ｐ　（１１，！、ｐ
ｔｔｔＢを求める。

接平面連続の条件は、第１に共有境界ＣＯＭの線上の各
点について、第１のパッチＳ　＜ｕ、　ｖ、　、のＵ方
向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ　Ｔ１１＋　ｖｌ
　ｔのＵ方向の接線ベクトルと、第２のパッチＳ（。ｒ
　ｖｌ　ｔのＶ方向を指定する共有境界ＣＯＭの接線ベ
クトルとが同一平面上に存在することである。ここで接
平面は、共有境界の各点でのＵ方向及びＶ方向の接線ベ
クトルによって形成される平面を呼び、従って共有境界
の各点においてパッチＳ　（Ｉｌｒ　ＩＦ）　Ｉ及びＳ
　（ｕｒ　ｖｌ□の接平面が同一のとき、接平面連続の
条件が成り立つ。

すなわち、共有境界Ｃ０Ｍ上の任意点Ｐ、。０について
の接平面連続の条件は、第４図に示すように決められる
。すなわちパッチＳ　（ＩＪＩ　Ｖ）　Ｉについて、共
有境界ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線
ベクトルＨ１、及び共有境界ＣＯＭに沿う方向（すなわ
ちＶ方向）の接線ベクトルＨｃの法線ベクトルｎ１は、 ｎ、−ＨｍｘＨｃ　　　　　　　　　”””　（４）で
表され、またパッチＳ　（ｕｒ　ｖｌ　ｇについて、共
−有境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベクトルＨｂ及び
共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルＨｃの法線ベ
クトルｎ２は、 ｎ　、　＝Ｈｂｘ　Ｉ−Ｉ。　　　　　　　　・・・・
・・（５）で表される。

このような条件の下に、接平面連続というためには、接
線ベクトルＨ，，Ｈｃ及びＨ，、Ｈ，が同一平面上に存
在しなければならず、その結果法線ベクトルｎ１及びｎ
２は同一方向に向くことになる。

ここで、接線ベクトルＨ，、Ｈｂ　、Ｈｃは次式、で表
され、このとき、かかる接平面連続の条件を満足する数
式を次式 ・・・・・・（９） で表す、（９）式においてａ　Ｓ　＜ｍ、　ｗ＞　ｌ／
　ａ　ｕ及びａＳ　（１１１１Ｉｌｌ　ｚ／　ａ　ｕは
、それぞれ共有境界００Ｍ上の点におけるパッチＳ　（
Ｗ＋　Ｖ）　、及びＳ　（ｕｎ　ｗ＋　ｔのＵ方向の接
線ベクトル（すなわち横断接線ベクトル）を表し、（１
）式を１階偏微分することにより、（ただし、　ａＪｌ
ｌ　＝　Ｐ　ｕｔ＋　ＩＰ　＋ｏＪ＋（ｊ−０、ｌ、２
．３）） ・・・・・・（１０） （ただし、　ｂ　Ｊｕｌ　＝　Ｐ　（ｔｊ＋□−Ｐ、。

ｊ。

（ｊ＝ｏ、１．２．３）） ・・・・・・（１１） になる。

またａＳ　（Ｉｌ、　Ｖｌ　ｌ　／　ａ　ｖは、共有境
界００Ｍ上のパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　、のＶ方向の接
線ベクトルで、（１）式を１階偏微分することにより、 （ただし・　ｃＪ−ｐ（＠ｊ）　　ｐ（＠ｊ−１１（ｊ
＝１．２．３）） ・・・・・・（１２） である。

また（９）式のスカラ関数λ　（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν　
（Ｖ）として λ（Ｖ）＝α＋　（１−Ｖ）　＋　ＣＸｔ　Ｖ　　　”
””　（１３）ｐ　（ｖ）−β＋（ｌ　　ｖ）＋β！Ｖ
　　　””　（１４）ν（ｖ）＝　ｒ　＋（１−ｖ）”
＋１ｇ（１−ｖ）ｙ＋γ　ｖｔ　　・・・・・・（１５
） に選定してこれを（９）式に代入する。

（１３）弐〜（１５）式のスカラ関数λ　（Ｖ）、μ（
Ｖ）、ν　（Ｖ）は、数式の形として、　（１−Ｖ）の
項及びＶの項と、その積の項とをもち、μ　（Ｖ）及び
ν　（Ｖ）には、未知数α１、α２、β１、β２及び　
ｒ＋　、Ｔｚ　、Ｔｘを含んでいる。かくして（１３）
弐〜（１５）式を（９）式に代入して展開したとき、（
９）式の右辺及び左辺が共に、（１−Ｖ）’、Ｖ（１−
Ｖ）”、Ｖ”（１−Ｖ）”、Ｖ３（１−ｖ）　、ｖ’の
項の和の形に整理できるようにする。かくして（９）式
に対して、（ｌＯ）式、（１１）式、（１２）式と、（
１３）式、（１４）式、（１５）式とを代入して整理し
た各項ごとに、係数部が互いに等しくなるように未知数
α１、α２、β３、β２及び　γｒ、Ｔｚ、γ、を選定
すれば、結局共有境界ＣＯＭにおいて、接平面連続の条
件を満足させることができるような制御辺ベクトルａ２
、β２　、ｂｚ　、ｂｓを設定することができる。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで実際上、接平面連続の条件を満足するような未
知数α１、α２、β１、β２及０”ｒ＋、Ｔｔ、Ｔユを
求める手法としては、以下に述べる演算を例えばコンピ
ュータ処理することにより行う。

すなわち、まず（１０）式、（１１）式及び（１２）式
を展開すると共に、それぞれの係数に注目して、３（１
−ｖ＋ｖＦ）’ａｌ −３（ａｔ（ｔ−ｖ）３＋３ａ、（１−ｖ）”ｖ＋３ａ
ｚ（１−ｖ）ｖ”＋ａ４ｖ’） ＝　（ａい３ａｔｓ３ａｘ、Ｃ４＞・・・・・・（１６
）３（１−ＶｌＶＦ）’ｂ。

＝　３　　（ｂ＋（ｔ　−ｖ）＋　ｓ　ｂｚ（１−ｖ）
”ｖ＋３　ｂ：＋（１−ｖ）ｖ”＋ｂ４ｖ’）＝　くｂ
い　３ｂｚ、　３ｂｓ、ｂ４〉　・・・・・・　（１７
）３（１−ｖ＋ｖｐ）”ｃ。

＝　３　　（ｃ＋（１−ｙ）！＋２ｃ、（１−ｖ）ｖ＋
ｃｌｖ”） ミ　（Ｃい　２　Ｃｚｓ　　ｃ　ｓ＞　　　　　　　・
・・・・・　（１８）と、定義すると共に、（１３）式
、（１４）式及び（１５）式についても同様にそれぞれ
の係数に注目して、 α、（ｔ−ｖ）＋α８ｖヨ　くαい　α、）・・・・・
・（１９） βＩ（１−Ｖ）＋β、ｖ＝（β、、β、〉・・・・・・
（２０） γ＋（１ｖ）”＋１ｇ（１−ｖ）ｖ＋γ　ｖＲ”　　＜
７１％　　ｒｔｓ　　ｒｓ＞　　　　　　　・・・・・
・　（２１）と定義する。このようにすると（９）式は
、次式、（α１、αｔ＞　　　＜ａｓｓ　　３ａｔ、　
３ａ８、ａｓ＞＋　くβい　ａｔ＞　　　（ｂ＋、　３
ｂｚ、　３ｂｓ、ｂ４＞＋（ｒ＋−γ　ｚ・　　γ　ｓ
＞’　　＜０１％　　　２　０ｐ　１　　ｃｓ＞−〇　
　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・　（２
２）で表される。

ここでそれぞれのベクトルａ、〜ａ　４　、ｂ　１〜ｂ
４及びＣ６〜Ｃ１を、次式、 ａ　ｒ　＝　Ａ　Ｉ、ｂ　ｌ＝　Ｂ　＋、ｃ、＝Ｇ。

３ａ、＝Ａｔ、３　ｂｚ＝　Ｂｚ、　２　Ｃｔ＝　Ｇｔ
３ａ、＝Ａ３．３ｂ、＝Ｂ、、ｃ　、＝　Ｃ。

ａ　ａ　”　Ａ　４、ｂ４＝Ｂ。

・・・・・・（２３） と置き換える。ここでＶの値にかかわらず（２２）式が
成立するためには、次式、 αｌＡ　（＋β、Ｂ、＋ｒ、ＣＩ＝０　　　・・・・・
・（２４）α、Ａｔ＋αｚ　Ａ　１＋β１Ｂ！＋βｚＢ
＋＋７１０ｚ＋ｒ、Ｇ、ｗＯ・・・・・・　（２５）α
ＩＡ３＋αｚＡｚ＋βｌＢ！＋Ｉｚｎｚ＋γ１０３＋Ｔ
ｚＧｚ＋１２Ｇｌ＝Ｑ　　　　・・・・・・　（２６）
αＩＡ４＋αｚＡ３＋βＩＢ４＋βｚＢｓ＋γｔＧｓ＋
ｒ、Ｇｔ−０・・・・・・　（２７）αｚＡ４＋βｚ１
３４＋γｘＧｔ＝ｏ　　　　・・・・・・　（２８）を
解くことにより、　第１及び第２のパッチＳ　（ＩＩ＋
　ｖｌ　ｌ及びＳ　＜ｕ、　Ｖｌ　！を接平面連続の条
件の下に接続することができる。

一般には、（２４）弐〜（２８）式のα１及びα２を共
に値−１として変形して得られる、次式、Ａ、＝β１Ｂ
１＋γｔＣ＋　　　　　　・・・・・・（２９）Ａ！＋
ＡＩ＝β＋ｎｚ＋β、Ｂ、＋ｒ、Ｃ，＋γＺＣ＋・・・
・・・（３０） Ａコ＋Ａ２＝βｌＢ３＋βｔＢｔ＋　ｒｌｃｊ＋ＴｚＧ
ｚ＋１２Ｇ、　　　　　・・・・・・　（３１）Ａ　ａ
　＋　Ａ　３　＝β、Ｂ４＋β、Ｂ、＋ｒ！Ｇ、＋ｒ、
Ｇ。

・・・・・・　（３２） Ａ４−βｔｓ４＋　ｒ　ｓｃｘ　　　　　　　−−−−
−・（３３）において、次式、 （２９）　−（３０）　＋　（３１）　−（３２）　＋
　（３３）　　・・・・・・（３４）の演算を行って得
られる、次式、 （βｚ　　Ｊ９＋）（Ｂｎ−Ｂ３＋Ｂｚ　　Ｂ＋）＋（
γ、−γ２＋γ３）（ＣＩ　　Ｃｚ＋Ｃ５）−０・・・
・・・（３５） を満足するために、次式、 Ｘ＝γ区＋γ−−旧・・（３６） 及び Ｂａ−Ｂｘ＋Ｂｔ　　Ｂｔ＝０　　　　−−　（３７）
とおくと、（３７）式は、次式、 ｂｎ　　３ｂ：＋＋３ｂｚ　　ｂ、−ｏ　　　・・・・
・・（３８）で表され、ここで例えば、 とおき、さらに（３０）式及び（３２）式を用いてＡ、
及びＡ、を求めることにより、第１及び第２のパッチＳ
　ｌｕ＋　ｗ＋　＋及びＳ（ｕｎ　ｖｌ　ｔを接平面連
続の条件の下に接続するようになされている。

ところが、このようにして接平面連続の条件に適合させ
る演算方法において、（３９）式及び（４０）式とおく
ことは、実際上ベクトルｂ、及びｂ３が元の制御点と無
関係に設定されており、さらにその後（３０）式及び（
３２）式を用いて求めたＡ！及びＡ、もどのような位置
に設定されるかも確認し得ないため、全体として第１及
び第２のパッチＳ　Ｔｕ＋　ｖｌ　ｌ及びＳ　ｔｕ、ｖ
ｌ　ｚがデザイナの意図に反して変形されるおそれを回
避し得ないという問題があった。

また、　第１又は第２のパッチＳ　ｔｕ＊　ｖ＞　ｒ又
はＳ　（１１１Ｖ）　ｚの形状によっては、α１又はα
χが値０になる場合があり、このような場合別の演算方
法を用いる必要があり、デザイナの使い勝手としては未
だ不十分であった。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、複数のパ
ッチを互いに接平面連続の条件を満足するように接続す
るにつき、元のパッチの変形を最小限にし得る自由曲面
作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパッ
チＳ　（＠＋　Ｖ）いＳ　（ａｎ　ｖ）　Ｒを張ること
により、自由曲面を生成するようになされた自由曲面作
成方法において、　２つのパッチＳ　ｌ＋ａ＋。１及び
Ｓ　（ｕｎ　ＩＴ）　ｚを接続するにつき、片方又は両
方のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌいＳ　、、、　Ｖ）　ｔの
共有境界ＣＯＭに対する内部制御点Ｐ　（＋１１１　、
Ｐ　ｏｕｒ及びＰ（ＩＴ。、Ｐ（１１□の元の制御点か
らの移動量を最小にするようにした。

Ｆ作用 片方又は両方のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　＋、５（ｕｎ
　Ｖ）　Ｚの共有境界ＣＯＭに対する内部制御点　Ｐ（
Ｉｌｌｌ、Ｐ＋ｔｔ＋＋及びＰ、１１□、Ｐ　（１１１
にの元の制御点からの移動量を最小にするようにしたこ
とによ・す、片方又は両方のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　
Ｉ　％　Ｓ　ｌｕ＋　Ｖｌ□の変形を最小にし得る。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）第１のパッチ接続方法 第１図を用いて示す第１のパッチ接続方法においては、
第１及び第２のパッチ　　Ｓ　（ｕ＋　ｖｌ　１及びＳ
　（ｕ＋ｖｌ□の接続後に境界曲線ＣＯＭを挟む内部制
御点Ｐ（ＩｌｌＩ　ｓ　Ｐｔｔｚｚ　％　Ｐｔ＋ｎｚ　
ｓ　Ｐ＜Ｉｚ＞ｚの元の制御点に対する変化量を全体と
して最小にするようにした。

すなわち、上述の（２４）弐〜（２８）式を解くことに
より、第１及び第２のパッチ　Ｓ　、、、　Ｖ）　、及
びＳ　（ｗ＋　Ｖ）　ｌを接続させる際に、先ず（２４
）式及び（２６）式から、未知数　α８、α８、β１、
β２、ＴＩ、γ２を求める。

このとき、枠組み処理によって得られるベクトルＡＩ　
、Ｂ、　、Ｇ、がそれぞれ同一平面上にないとき、次式
、 （Ａ＋ｘＣ＋）・（Ｂ、＋ΔＢ、）＝０・・・・・・（
４１） で表されるように、ベクトルＢ、をΔＢ１だけ動かして
、同一平面上にすると共に、ベクトルＡ４、Ｂ、　、Ｇ
、が同一平面上にないときも同様にベクトルＢ４をΔＢ
４だけ動かして、同一平面上にする。

なお（２４）式及び（２６）式から、未知数α、β、γ
を求めるためには、未知数α、β、γをそれぞれ、次式
、 αＡ、＋βＢＸ＋ｒＣＸ＝０ αＡ、＋βＢ、＋γＣ，＝　Ｏ αＡ、＋βＢ３＋γＣ１−〇 ・・・・・・（４２） とおく、ここで次式、 Ｘ＝（Ａ、、Ｂ、、ＣＩ＋） Ｙ−（Ａ、、Ｂ、、Ｃ，） Ｚ＝（Ａ、、Ｂ、、Ｃ，） ・・・・・・（４３） で表されるベクトルを考えると（α、β、Ｔ）はベクト
ルＸ、Ｙ、Ｚに直交していることが分かる。

このため、この３個のベクトルのうちの２個のベクトル
の外積を得るようにすることにより、未知数α、β、γ
を求めることができる。

（Ｇｌ−１）α、／α２＝βｌ／β２の場合ここでαＩ
／α２＝β１／β、の場合、（２４）式〜（２８）式は
、次式、 αＡ、＋βＢ＋＋Ｔ　ＩＧ＋＝０　　　　・・・・・・
（４４）αＡｔ十βＢｔ＋γ、Ｃ２＋γ、Ｇ、＝０・・
・・・・（４５） αＡ、＋βＢ３＋γＩＧ３＋γｚＧｚ＝０・・・・・・
（４６） αＡ４＋βＢａ　＋ｒｚＧｓ＝０　　　　・・・・・・
（４７）で表されるように変形することができる。

ここで（４５）式及び（４６）式の条件の下で、最小２
乗法の手法を用いて、次式、 ・・・・・・（４８） が最小になるベクトルＡｔ　、Ａ３　、Ｂｔ　、Ｂ２を
求める・なおベクトルＡ　ｔ　＠　％　Ａ　ｓ　（ｌ　
ｓ　Ｂ　ｔ　６　％　Ｂ　３１１は・それぞれ元の第１
及び第２のパッチＳ　、、、　ｖ＞、及びＳ　（ｕ＋　
Ｖｌ　ｔのベクトルを表し、ΔＡ２、ΔＡ３、Δｎｇ、
ΔＢ、は、それぞれ元のベクトル　Ａ２いＡ、いＢ２い
Ｂ３゜からの移動量を表し、次式、Ａ　ｚ　＝　Ａ　ｚ
　ｏ＋ΔＡ。

Ａ３＝Ａ３ｏ＋ΔＡ３ Ｂ　ｚ　＝　Ｂ　ｚ。＋ΔＢ２ Ｂ１＝Ｂ、。＋ΔＢ。

・・・・・・（４９） の関係を有する。

ここで（４８）式を、（４５）式及び（４６）式を用い
て、次式、 十に１（α（Ａｚ。＋６人り＋β（Ｂ、。＋ΔＢｚ）＋
γ＋ＣＺ＋γ２Ｃ１） ＋ｋｔ（α（Ａ、。＋ΔＡｓ）＋β（ｎｓ。＋Δｎ、）
＋Ｔばｂ＋γ２Ｃ茸） ・・・・・・（５０） で表されるようにおくと、次式、 ａΔＡ３　　　Ｗよ ａΔＢ　ｔ　　　　　Ｗ　３ ａΔＢ　ｓ　　　　　Ｗ　ａ ・・・・・・　（５１） の関係が得られ、これによりΔｋｚ、ΔＡ３、ΔＢｌ、
ΔＢ、は、それぞれ、次式、 ΔＡ、＝−αＷ、ｋ。

ΔＡ、＝−αＷ、に！ ΔＢ、＝二βＷ、ｋ。

ΔＢ、＝−βＷ、に！ ・・・・・・（５２） で表される。また（５１）式を（４５）式、（４６）式
に（４９）式を代入した式にさらに代入すると、次式、 ・（αＡ！。＋βＢｔｏ　＋　Ｔ　、Ｇ！＋　ｒ　１０
１）・・・・・・　（５３） ・（αＡ、。＋βＢ、。＋γ１Ｃ３＋γ８Ｇ２）・・・
・・・　（５４） が得られ、かくして（５３）式及び（５４）式を（５２
）式に代入することにより、それぞれ第１及び第２のパ
ッチＳ　（ａ＋　ｖ）　１及びＳ　（ｕｎ　１１）　＊
の元のベクトルＡ３゜、Ａ、。、Ｂ２゜％　Ｂｓ。から
の移動ベクトルが全体として最小にし得るベクトルＡｔ
　、　Ａｆｆ　、Ｂオ、Ｂ、を求めることができる。

（Ｇｌ−２）α１／α２≠βｌ／β８の場合上述のα１
／α８＝β、／β８の場合に対して、α１／α２≠βｌ
／β８の場合には、上述の（２５）式、（２６）式及び
（２７）式の条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、
（４８）式と同様でなる、次式、 ・・・・・・（５５） が最小になるベクトルＡ！　、Ａｙ　、Ｂｔ　、Ｂｓを
求める。

ここで、（５５）式を、（２５）式、（２６）式及び（
２７）式を用いて、次式、 ＋４ｃ、（αＩ（Ａ　！。＋ΔＡり＋αｔＡ。

＋β１（Ｂ２゜＋ΔＢ、）＋βＺＢＩ ＋ｒ、Ｇ、＋γｔ　Ｃ＋　） 十によ　（α、（Ａ３゜＋ΔＡｉ） ＋αｔ（Ａｚｏ＋ΔＡｔ） ＋β１（Ｂ、。＋ΔＢ、） ＋βｔｃＢｔ。＋ΔＢ、） ＋ｒ、Ｏｓ＋γＺＧｔ＋γ２Ｇ　ｌ） ＋に、（α１Ａ４＋α２（Ａ、。＋Ａ、）＋β１８４＋
βｚ（Ｂｓ。＋ΔＢ３）　＋　ｒ　ｚＧｓ＋γ、Ｃ２）
　　　　　　　　・・・・・・　（５６）で表されるよ
うにおくと、次式、 ・・・・・・　（５７） 及び、次式、 ・・・・・・（５８） の関係が得られ、これにより（５７）式からΔＡ、、Δ
Ａ３、ΔＢｆｆｉ、ΔＢ、は、それぞれ、次式、ΔＡオ
ーーＷ、（αｌｋｌ＋α！に２）ΔＡｓ−Ｗ！（αＩｋ
：＋αｚｋ３） ΔＢ！−Ｗｉ（βｌｋｌ＋β２に８） ΔＢ　ｓ　−−Ｗ　＋　（β１に！＋βｚｋｓ）・・・
・・・（５９） で表される。ここで、次式、 Ｆ、＝α、Ａ２゜＋αｚ　Ａ　１＋β＋Ｂｚｏ＋βｇＢ
ｔ＋ｒｒＧｚ Ｆ２−α１　Ａ　３６＋αｚ　Ａ　ｚ　１）＋βＩＢ３
Ｇ＋βｔＢｔ＠＋γ＋ｃｓ＋ｒｓｃ＋ Ｆ、＝α１Ａ４＋αｚ　Ａ　３゜＋βｔＢｓ。＋β□１
３ｇ。

＋γ、Ｃｔ ・・・・・・　（６０） で示すようにベクトルＦ＋　、Ｆｔ　％　Ｆ３を考える
と共に、次式、 ｇ　＋　＋　＝　Ｗ　ｔα、”＋ｗ、βｌ′ｇｚＩ＝Ｗ
、ａ、α、＋Ｗ３β１β茸 ｇｓｒ＝Ｏ ｇ、ｔｗａｇｚ。

ｇ　ｚ　ｚ　−Ｗ　１　αｚ　”　＋　Ｗ　ｚ　ｔｉｔ
　、　”　＋　ｗ、β−＋ｗ４β１′ｇＨｍＪａ、ｔｘ
、＋Ｗ４β１β２ Ｉｓ−Ｏ ｇｚｘ＝ｇｚｚ ｇｓｘ−Ｊａ、”＋ｗ４β１ ・・・・・・　（６１） で表される行列Ｇを考えると、次式、 Ｇ−に−γｔＧ−Ｆ Ｃ−に−Ｑ （ここで、ｋ＝　［ｋ＋、ｋｇ、ｋｓ］Ｇ＝　［Ｃ＋、
Ｇｔ、Ｃｓｌ Ｆ＝　　［Ｆ、、Ｆ、、Ｆ３］　　） ・・・・・・　（６２） の関係が得られる。このとき、０行列の逆行列をＧ−１
とすると、次式、 Ｇ−に＝Ｇ−Ｇ−’・Ｃ・γｔ＋Ｇ”Ｇ−・Ｆ・・・・
・・（６３） の関係が得られ、これにより、次式、 となる。これを（６２）式に代入すると、次式、ｋ−Ｇ
−’（γｔＧ＋Ｆ）　　　　　　・・・・・・（６５）
となり、かくして（６５）式を（５９）式に代入するこ
とにより、それぞれ第１及び第２のバッチＳ　＜ｕ＋　
ＩＴ）　Ｉ及びＳ　（Ｉｌ＋　ｖｌ　ｚの元のベクトル
Ａ８゜、Ａ、。、Ｂ２゜、Ｂ、。からの移動ベクトルを
全体として最小にし得るベクトルＡオ、Ａｓ　、Ｂｔ　
、Ｂｓを求めることができる。

（Ｇ２）第２のバッチ接続方法 第２図を用いて示す第２のパッチ接続方法においては、
第１及び第２のバッチ　Ｓ　（ｕ＋　ｖｌ　ｌ及びＳ　
（ｕ＋　ｖｌ　Ｚの接続時に境界曲線ＣＯＭを挟む内部
制御点Ｐ（１１１１ｓ　Ｐｔｔｚ＋ｔ　、Ｐ（ＩＩ□、
Ｐｔ＋ｚ＋ｚのうち、　第１のバッチＳ　＜ｕ、　ｖ＞
　＋の内部制御点Ｐ　（１１３１％　Ｐ　ｔｒ□１の元
の制御点からの移動量を最小にし、第２のバッチ５（ｌ
ｌ＋　ＩＴ）　＊の内部制御点Ｐ　（１１１２、Ｐ　ｎ
ｔ、ｔを任意に移動させて接平面連続の条件の下で接続
し得るようにした。

すなわち上述と同様に（２４）弐〜（２８）式の条件の
下に最小２乗法の手法を用いて、（４８）式に代えて示
す次式、 を最小にするΔＡｔ、ΔＡ３、ΔＢ！、ΔＢ、を求める
。

（Ｇｌ−１）α１／α２≠β１／β２の場合ここでα１
／α２≠β１／β２の場合、（６６）式を上述の（２５
）弐〜（２７）式を用いて、次式、十に、（α、（Ａ３
゜＋ΔＡＺ）＋αｚ　Ａ　１＋β＋ＣＢｔｏ＋Δｇｚ）
＋βｔＢ。

＋　ｒ　、Ｃｔ＋　ｒ　、Ｃ；、） 十に２（α、（Ａ３゜＋ΔＡＳ） ＋α２（Ａ２゜＋ΔＡ２） ＋β１（Ｂ３＠＋ΔＢり ＋βｚ（Ｂｔｕ＋ΔＢｔ） ＋γ＋Ｇｚ”ｒｚＧｚ＋γ、Ｃ１） 十に３（α１Ａ４＋αｔ　（Ａ　ｓ。＋ΔＡ３）＋βｌ
Ｂ４＋β８（Ｂ３゜＋ΔＢ、） ＋γｚＧｓ＋　ｒｓＣ；ｔ） ・・・・・・　（６７） で表されるようにおくと、次式、 ａΔＡ　ｔ　　　Ｗ　＋ ａΔＡ３　　Ｗ。

・・・・・・（６８） 及び、次式、 ・・・・・・（６９） 及び、次式 ａ　γ２ ・・・・・・　（７０） の関係が得られ、これによりに、及びｋｔはそれぞれ、
次式、 ｋ、＝η！ｋ。

ｋ２−ηｋ。

μｍ ・・・・・・（７１） で表される。これにより（６日）式及び（７１）式から
ΔＡｔ、ΔＡ３は次式、 ΔＡｔ＝　　Ｗ＋（α１η＋α：）ηに３ΔＡ２＝　　
Ｗｚ（α１η＋αｚ）ｋｓ・・・・・・（７２） で表される。ここで、次式、 Ｆ、＝αｌＡｔ１１＋αｚ　Ａ　１＋β−ｎｔｏ＋β富
ＢＩ＋ｒ、Ｇ。

Ｆｔ−α１Ａ３＠＋α！　Ａ　！　＠＋βｌＢ３＠＋β
ＲＢｔ＠＋γＩＧ２＋γ、Ｃｌ Ｆ３−α、Ａ４＋α！Ａ：１１１＋βｌＢ４＋βｚＢｓ
。

＋γ３Ｃ２ ・・・・・・（７３） で示すベクトルＦ、、Ｆ、　、Ｆ、を考えると、（２５
）弐〜（２７）式は、次式、 ｅ、に、−β１ΔＢ　ｔ　　Ｔ　ｔ　Ｇ　＋　＝　Ｆ　
＋（ここで、ｅ＋＝Ｗ＋（ｒ＋（１’ｒ＋Ｗ　”（ｒｚ
）７７）・・・・・・（７４） ｅｇｋ３−β８ΔＢ２−β１ΔＢ　ｓ　　ｒ　ｔ　Ｃｔ
　−Ｆ　ｔ（ここで、ｅ　、　＝　Ｗ　、αＩ（α１η
＋αｚ）η＋Ｗ、αＩ（α１η＋αｚ）） ・・・・・・　（７５） ｅ、に、−β２ΔＢ、−γｔ　Ｇ　ｓ　＝　Ｆ　３（こ
こで、ｅ　３＝Ｗｔ（Ｘｚ（Ｃｔ＋　’Ｉ　＋　αｚ）
　）・・・・・・　（７６） で表される。ここで（７０）式に（７１）式を代入する
と、次式、 （η”ｃ＋十ηＧｔ＋Ｇ：＋）ｋ＊＝Ｏ・・・・・・（
７７）となり、また、次式、 η”　Ｘ　（７４）＋ηｘ　（７５）　＋（７６）　　
　　・・・・・・（７８）は、次式、 （’７　”　ｅ　ｒ　＋　７７　ｅ　ｔ　＋　ｅ　））
　ｋ　ｓ−（ηｚＣ，＋ηＣｚ　＋　Ｇ　３　）γ２＝
η２Ｆ、＋ηＦ！＋Ｆ３　　　　　　　・・・・・・　
（７９）で表される。これにより（７７）式及び（７９
）式から未知数γ２は、次式、 γ　２ （ηｚＱ、＋ηＧ　ｔ　＋　Ｇ　ｓ　）　”・・・・・
・（８０） で表されることが分かる。これによりＴ！が求まれば（
７９）式からに、が求まり、か（してγ２及びに、を（
７４）式及び（７５）式に代入してΔＢ２及びΔＢ、を
求め、　さらに（７２）式を用いてΔＡｔ及びΔＡ、を
求めることができる。

かくするにつき、　第１及び第２のパッチＳ　＜ｕ＋　
ｖｌ　ｌ及びＳ　（ｕ＋　Ｖｌ　ｚを接続するにつき、
第１のパッチＳ　ＴＩＪＩ　ｗ＋　＋の内部制御点Ｐ　
（Ｉｌｌ　Ｉ　ｓ　Ｐ　ＴＩＪＩ　１の元の制御点から
の移動量ΔＡ２及びΔＡ、を最小にし、第２のパッチＳ
　（Ｉｌ、　Ｖｌ　ｚの内部制御点Ｐ（１゜ア、Ｐ（１
りｔを任意に移動量ΔＢよ及びΔＢ、だけ移動させて接
平面連続の条件の下で接続し得る。

なお上述の（７１）式では、β≠０と仮定して続く演算
を行ったが、β＝０の場合を考えると、ｋ２及びに、は
（６９）式から、次式、ｋ　ｔ　”’　ｋ　ｓ　−０・
・・・・・（８１）となる、これにより（８１）式を（
６８）式及び（７０）式に代入すると、次式、 ΔＡｔ−Ｗ＋αｌｋｌ ΔＡ、＝０ ・・・・・・（８２） 及び、次式 ％式％（８３） の関係が得られ、また（７３）弐のベクトルＦ１、Ｆ　
ｚ　、Ｆ　１を用いて（２５）弐〜（２７）式を変形す
ると、次式 ％式％（８４） となる、これにより（８３）式及び（８４）式から未知
数γ１は、次式、 で表され、かくして（８４）式〜（８６）式がらに５、
ΔＢ、、ΔＢ３を求めることができる。

（Ｇ２−２）αｌ／α、−β、／β８の場合上述のαＩ
／α８≠β、／β８の場合に対して、α、／α８−β、
／β８の場合には、上述の（４５）式及び（４６）式の
条件の下で、最小２乗法の手法を用いて、（４８）式と
同様でなる、次式、が最小になるベクトルＢ８及びＢ、
を求める。ここで（４５）式及び（４６）式から移動量
ΔＡ□−ΔＡ３＝０とおくと、ベクトルＢオ及びＢ、は
、次式、 μ ・・・・・・（８９） となり、かくして、　第１及び第２のパッチＳ　（Ｉｌ
ｌ　ＩＴ）　ｌ及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　！を接続するに
つき、第１のパッチＳ　（ｇ、　ｖ）　Ｉの内部制御点
Ｐ　＜ｘ＋　ｒ　、Ｐ　＜ｒｚ＋　ｌを元の制御点から
動かさず、　第２のパッチＳ　＜ｕ、　ｖｌ　ｔの内部
制御点Ｐ　（ｌｕｌＫ　、Ｐ　（ｌｕｌＫを任意に移動
量ΔＢよ及びΔＢ３だけ移動させて接平面連続の条件の
下で接続し得る。

（Ｇ３）実施例の効果 以上の方法によれば、第１及び第２のパッチＳ　（＋１
＋　ｖｌ　ｌ及びＳ　（ｕｎ　Ｖ）　Ｎを接続するにつ
き、第１及び又は第２のパッチＳ　ｔｕｇ　ｖ＞　ｒ又
は５（Ｉｌｌ　ｖｌ　ｇの内部制御点Ｐ　（Ｉｌｌ　ｌ
　ＳＰ　（ｌゎ、及び又は　Ｐ（ＩＩ）！、Ｐ（１りｔ
の元の制御点からの移動量を最小にするようにしたこと
により、第１及び又は第２のパウチＳ　ｔａｒ　Ｖ）　
１及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｔのパッチの変形を最小にし
て接平面連続の条件の下で接続し得る自由曲面作成方法
を実現できる。

（Ｇ４）他の実施例 （１）　　上述の実施例においては、３次のベジェ式を
用いて四辺形パッチの補間演算をする場合について述べ
たが、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良く
、さらに三辺形パッチに適用しても良い。

（２）上述の実施例においては、パッチの補間演算をベ
ジェ式を用いた場合について述べたが、これに限らず、
スプライン式、クーンズ（Ｃｏｏｎｓ）式、ファーガソ
ン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式などの他の数式を用いるよう
にしても良い。

Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、２つのパッチを接続する
につき、一方又は両方のパッチの共有境界に対する内部
制御点の元の制御点からの移動量を最小にするようにし
たことにより、一方又は両方のパッチの変形を最小にし
て接平面連続の条件の下で接続し得、かくするにつき、
デザイナの使い勝手を格段的に向上し得る自由曲面作成
方法を実現できる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による第１のパッチ接続方法の説明に供
する路線図、第２図は本発明による第２のパッチ接続方
法の説明に供する路線図、第３図は自由曲面を作成する
際に用いられる制御辺ベクトルを示す路線図、第４図は
その共有境界における接平面連続の条件の説明に供する
路線図である。 Ｓ＜ｕｔｓｒ＞＋　、Ｓａｔ、ｖｒｘ　　−−−／ぐツ
＋　。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより、自由曲面を生成するよ
   うになされた自由曲面作成方法において、 ２つの上記パッチを接続するにつき、片方又は両方の上
   記パッチの共有境界に対する内部制御点の元の制御点か
   らの移動量を最小にするようにした ことを特徴とする自由曲面作成方法。