JPH0293880A - 物体の表面形状データ作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術（第８図） Ｄ発明が解決しようとする問題点（第８図）Ｅｆａ’１
題点を解決するための手段（第１図、第３図、第５図） Ｆ作用 Ｇ実施例（第１図〜第７図） （Ｇ１）自由曲線の原理（第２図） （Ｇ２）自由曲線の生成手順（第１図、第３図）（Ｇ３
）制御点の設定（第１図、第３図〜第７図）（Ｇ４）他
の実施例 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲線作成方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）の手法を
用いたデザイン装置に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は自由曲線作成方法において、制御点を再設定し
て、接線及び曲率半径が連続する自由曲線を生成し直す
際に、当該自由曲線の変形量を検出して制御点を再設定
することにより、小さな変形量で曲率半径が連続する自
由曲線を生成することができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された節点を結ぶ境界曲線網を所望のベクト
ル関数によって演算させることにより、いわゆるワイヤ
ーフレームで表現された曲面を作成する。かくして境界
曲線によって囲まれた多数の枠組み空間を形成すること
ができる（この処理を枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

ところで生成した自由曲面全体としてより自然な外形形
状をもたせるために、共有境界を挟んで隣接する２つの
枠組み空間に、共有境界において接平面連続の条件を満
足するようなパッチを張るように、共有境界周りの制？
ｌｌ３ｓベクトルを設定し直すようにした自由曲面作成
方法が提案されている（特願昭６０−２７７４４８号）
。

この自由曲面作成方法は、例えば第８図に示すように、
四辺形枠組空間に張られるパッチ５（ｌＩ＋　ｖｌ　ｌ
及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｔを３次のベジェ式でなるベク
トル関数Ｓ　（ｕｎ　ｖ）で表し、２つのパッチ５（ｕ
ｎ　ｖ）　１及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｔを滑らかに接続
するために、枠組み処理によって与えられた節点Ｐ（。

。１、ｐ＜ｓ。）＋　、Ｐ＜ｓ３．Ｉ−、Ｐ（。３）、
Ｐ　Ｌ’Ｊ３＞　！、ｐ（ｓ。）、に基づいて、隣接す
るパッチＳ　（＊ｒ　ｖ２．及びＳ　＜ｕ−Ｖｌ　！の
共有境界ＣＯＭにおいて接平面連続の条件が成り立つよ
うな制御線ベクトルａ、、ａｚ及びｃ、、ｃ、を設定し
、これらの制御線ベクトルによってＨＩＭ点Ｐ（１１□
、Ｐ、１□１及びＰ　（ＩＩ）　ｚ　、Ｐ　（ｌゎ２を
設定し直すことを原理としている。

このような手法を他の共有境界についても適用すれば、
結局パッチＳ（ｕｎ　Ｖ）　Ｉ及びＳ　（ｕｎ　ｖ、！
は隣接するパッチと接平面連続の条件に従ってに滑らか
に接続することができる。

ここで、３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｓ　（ｔｌ
＋　Ｖ）は、次式 ％式％） のように、Ｕ方向及びＶ方向なパラメータＵ及びＶ、シ
フト演算子Ｅ及びＦを用いて表現され、制御点Ｐ（！１
に対して、次式 ％式％ （ｉ、　　ｊ＝０、１．２） ０≦Ｕ≦１ ・・・・・・　（４） ０≦Ｖ≦　１ ・・・・・・　（５） の関係をもつ。

さらに、接平面とは共有境界の各点におけるＵ方向及び
Ｖ方向の接線ベクトルによって形成される平面を意味し
、例えば第８図の共有境界００Ｍ上の各点について、バ
ッチｓ　（ｕ＋　ｖｌ　、及びＳ　（ｕ＋　ｖ）　ｔの
接平面が同一のとき接平面連続の条件が成り立つ。

この方法によれば、デザイナの意図するままに、全体と
して滑らかに曲面形状が変化するような、従来の設計手
法では実際上デザインすることが困難な物体形状をも容
易にデザインし得る。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで、接平面連続の条件に従ってデザインされた外
形形状の製品においては、当該製品の表面に現れる影が
、境界曲線を境にして不自然に変化する場合がある。

この場合、接平面連続の条件に加えて、境界曲線を挟ん
で２つのバッチの曲率半径が連続的に変化するように、
当該２つのバッチを接続すれば良いと考えられる。

このためには、枠組み空間を形成する境界曲線網を、曲
率半径が連続的に変化するように設定し直す必要がある
。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、３次のベ
ジェ式で表される自由曲線を、曲率半径が連続的に変化
するように設定し直すことができる自由曲線作成方法を
提案しようとするものである。

Ｅｆ’ｏ！題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、節点Ｐ
（０１！、Ｐ（’３１Ｚ、Ｐ　（０１１％　Ｐ　＜ｚ、
＋及び制御点Ｐ０，２、ｐ＋ｚ＋ｚ、Ｐ　（１１１％　
Ｐ　（り　Ｉに基づいてベクトル関数で表され、一端の
節点Ｐ、。、２、Ｐ（３１＋を共有して接線連続の条件
を満足するように接続された第１及び第２の曲線セグメ
ント）（ｓｃｚ及びＫｓＧＩにおいて、共有の節点Ｐ　
（０１２％　Ｐ　（３１１における第１及び第２の曲線
セグメントＫＳＧＺ及びＫＳＧＩの制御線ベクトルＰ＜
ｎｚ　　Ｐｔｏ）ｔ−、Ｐ、ｚ、ｌ−Ｐ＋：＋＋＋の大
きさの比λを可変し、該制御線ベクトルＰ　＋＋＋ｚ　
（Ｐ　（１１２Ｎ）　　　Ｐ　＜ａ）ｔｓ　　　　Ｐ　
ｔｔ目ＰＨ１＋で決まる新たな制御点Ｐ　（１１１Ｎを
設定すると共に、第１の曲線セグメントに５，２の他端
の節点Ｐ（：ｌ）Ｚに隣接する制御点Ｐ（１０Ｈを再設
定し、新たな制御点ＰＣＩｎｔＮ及び再設定した制御点
Ｐｆ２＞２Ｎを用いて第１及び又は第２の曲線セグメン
トＫＳＧｔ及び又はに、。１を生成し直すことにより、
第１及び第２の曲線セグメントＫＳＯ２及びに８．１を
、接線及び曲率半径Ｒｔ、Ｒ＋が連続的に変化するよう
に接続する際に、再設定した制御点Ｐ（２）≧８から再
設定する以前の制御点Ｐ（！、ｔまでの距離ｆ（α２．
μ）に基づいて、制御線ベクトルＰ　＜ｎｚ　（Ｐ　（
Ｉ）ｗｓ　）　　　Ｐ　（０）２・　Ｐ（わＩ　　Ｐ＋
３１１の大きさ比λ及び再設定する制御点Ｐ（り！Ｈの
位置を選定する。

Ｆ作用 距離ｆ（α２．μ）を得るようにすれば、生成し直す第
１及び又は第２の曲線セグメン）Ｋｓｃｚ及び又はに３
Ｇ＋の変形量を検出し得、これにより変形量を小さく抑
えて、接線及び曲率半径Ｒ２、Ｒ１が連続的に変化する
第１及び第２の曲線セグメン）ＫＳＧＩ及びに３Ｇ＋を
生成することができる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）自由曲線の原理 この実施例において自由曲線は、第２図に示すように、
デザイナが指定入力した節点Ｐ０及びＰｘ（Ｐｔ。５．
及びＰｔｆｆ＋＋、Ｐ（。、を及びＰ。）２、Ｐ（。）
コ及びＰ（３１３）で区切られる複数の曲線セグメント
Ｋｓｃ　（ＫＳＧＩ　、Ｋｓａｔ　％　Ｋｓ。）が接続
されて、自由曲線が構成されるようになされている。

この曲線セグメントＫＳＧは、３次のベジェ（ｂｅｚｉ
ｅｒ）式を用いて次式、 Ｒ（ｔ）＝（１−ｔ　＋　ｔ　Ｅ）’Ｐａ　　　　・・
・・・・　（６）で表されるパラメトリックな空間曲線
Ｒ（ｔ）で表現される。

ここでｔは、一方の節点Ｐ、から曲線セグメントＫｓｃ
に沿う方向に他方の節点Ｐ、に至るまでの間に、次式 ％式％（７） で表されるように値０から値１まで変化するパラメータ
である。

このようにして３次のベジェ式で表される曲線セグメン
トＫｓ０は、シフト演算子Ｅによって節点Ｐ０及び２８
間に２つの制御点Ｐ、及びＰｔを指定することによって
曲線セグメン）Ｋｓｃ上の各点が次式 ％式％） の展開式によってｘｙｚ空間の原点０からの位置ベクト
ルＲ（ｔ）として表される。

ここでシフト演算子Ｅは、曲線セグメントに、。

上の制御点Ｐ、に対して次式 ％式％（９） の関係をもつ。

従って（６）式を展開して（９）式の関係を代入すれば
、次式 ％式％） のように演算することができ、その結果（８）式が得ら
れる。

かくして自由曲線上の各曲線セグメントに３．１、Ｋｓ
Ｇｔ　、、に３゜は、（８）式に基づいてそれぞれ２つ
の節点及び制御点　Ｐ、。１．〜１、Ｐ（Ｉｌｌ〜１、
Ｐ（１）ｌ−３及びＰ　（３）　ｌ〜３によって表すこ
とができ、これにより、それぞれ各曲線セグメントＫｓ
ｃ＋、Ｋ　ＳＧｔ・Ｋ２Ｏ２の節点及び制御点Ｐ　（ｉ
ｌｌ　ｌ−３・Ｐ　（１１＋＋ｓ、ＰＨ１＋−ｓ及びＰ
　（１１１−１を用いて自由曲線を表現することができ
る。

（Ｇ２）自由曲線の生成手順 この実施例においては、第３図に示すように、曲線セグ
メントＫｓＧｔ　、Ｋｓａ□で表される自由曲線におい
て、曲率半径が連続的に変化するように（以下曲率半径
連続と呼ぶ）当該曲線セグメントに、。、Ｋ、ｃ、ｚを
接続し直す。

すなわち、デザイン装置の中央処理装置（ＣＰＵ）はデ
ザイナの指示に従って、第１図に示す自由曲線作成処理
プログラムのステップＳＰＩからステップＳＰ２に移で
、接続し直す曲線セグメントを入力する。

ここでデザイナが第３図に示すように例えばマウスを用
いて、曲線セグメントに８．１上にカーソルを移動させ
てクリックすると、続いてステップＳＰ３に移って当該
曲線セグメントＫＳＧｌに対して接続し直す曲線セグメ
ン）ＫＳＧｔの入力を受ける。

ちなみに第４図に示すように、この状態で曲線セグメン
トに３．１及びＫＳＧｔが、その節点Ｐ（。、いＰ、３
）いＰ（。）ｔｓ　Ｐ　（３）！と共に端末の表示装置
に表示されるようになされ、このとき曲線セグメントに
３Ｇｌ及びに３．！の曲率半径Ｒ１及びＲ，を所定値だ
け縮小して表示することにより、当該曲線セグメントＫ
ｓ＠ｌ及びＫＳＱｔの曲線形状と、曲率半径が連続的に
変化していないことを、デザイナが目視確認し得るよう
になされている。

この状態で、デザイナが曲線セグメントＫｓａｔを入力
すると、ＣＰＵはステップＳＰ４に移って、曲線セグメ
ントに！Ｇ＋　の節点Ｐ（ｊ）ｌと、曲線セグメントＫ
ｓａｔの節点Ｐ、。、２の座標データが一致す　ゝ〜る
か否かを検出する。

これは、曲線セグメント）（ｓａｔ及びＫＳＧｔの節点
Ｐ（３）＋及びＰ、。、２が、次式 ％式％（ を満足するか否かで判断される。

ここで否定結果が得られると（このことは曲線セグメン
トに、。及びＫＳａｔが完全に接続されていないことを
意味し、曲線セグメントに！Ｇ＋及びＫＳＧｔを曲率半
径連続で接続し直すための前提条件に欠けることを意味
する）、ステップＳＰ５に移って当該処理手順を終了す
る。

これに対して、ステップＳＰ４において、肯定結果が得
られると（このことは曲線セグメントに、□及びに、。

２が共有の節点Ｐ（！、いＰ、。、２を有することを意
味する）、続いてステップＳＰ６において曲線セグメン
トに、ＧＩ及びに３Ｇ！が、共有の節点Ｐ（３，いＰ（
。、２において、接線が連続するか否かを検出する。

すなわち、曲線セグメントに、６．及びに８．＊で表現
される自由曲線において、曲線形状を滑らかに変化させ
るためには、曲線セグメントＫｓａｌ及びＫｓ、！間で
、接線が連続的に変化する必要があり（以下接線連続と
呼ぶ）、接線が連続的に変化していない場合は、曲率半
径連続で接続し直すための前提条件に欠けることを意味
する。

このことは、曲線セグメントに３Ｇｌ及びに、。

の接線ベクトルが、曲線セグメントに３．、及びＫｓｃ
ｚを表すベクトル関数Ｒ（ｔＬ及びＲ（ｔｈをＲ（ｔ）
とおいて、次式、 のパラメータｔの１階微分式で表せることから、（１３
）式で表される接線ベクトルの向きが、共有の節点Ｐ（
３）Ｉ・ｐ＜ｏ）ｔにおいて・−直線上に並ゝば良いこ
とを意味する。

すなわち、（１３）式に（６）式を代入して解けば、次
式 ％式％） が得られ、ここで（９）式から得られる、次式ＥＰＯ＝
ＰＩ を（１４）式に代入して、次式 Ｒ’（ｔ）＝３（１−ｔ＋ｔＥ）”（Ｐ＋−Ｐｏ）＝３
　　（（１−ｔ）２＋２（１−ｔ）ｔＥ＋　ｔ”Ｅ”）
（ＰＩ−ＰＯ） ＝３（（１−ｔν（Ｐ＋　　　Ｐａ） ＋２（１−ｔ）ｔ（ＥＰ＋−ＥＰｏ） ＋　ｔ”（Ｅ”Ｐ＋−Ｅ”Ｐｏ）） ・・・・・・　（１６） が得られる。

さらに、（９）式から、Ｅ”Ｐ、及びＥ”Ｐ、が次式 ％式％（１７） で表されることから、（１６）は、次式Ｒ’（ｔ）＝３
　　（（１−ｔ）す（Ｐ＋　　Ｐｏ）＋　２　（１−ｔ
）ｔ　（ｐｇ−ｐ＋）＋　ｔ　”（Ｐ３−Ｐ、））　　
　　　・・・・・・　（１９）で表される。

従って、共有の節点Ｐ（３１＋、Ｐ、。、ｔにおいて、
（１３）式で表される接線ベクトルは、ベクトル関数Ｒ
（ｔ）　Ｉで表される曲線セグメントに３□について、
（１９）式のパラメータｔを１とおいて、次式 Ｒ’（１）ｌ−３（Ｐ（３）Ｉ−Ｐ（り１）で表され、
これに対してベクトル関数Ｒ（ｔ）ｚで表される曲線セ
グメントに、。について、（１９）式のパラメータｔを
Ｏとおいて、次式Ｒ’（０）！−３（Ｐ　（１）ｚ−Ｐ
　（。）ｔ）で表される。

従って曲線セグメントに８．Ｉ及びに３゜３が、接線ベ
クトルが連続的に変化するように接続されている場合は
、（Ｉ９）式及び（２０）式から、次式３（ＰＩＳ）Ｉ
　　Ｐ＜ｚｚ）＝３（Ｐｏ＞ｔ−Ｐｔ。、り・・・・・
・　（２２） の条件を満足する。

これに対して、接線連続で曲線セグメントに３．、及び
に３．、が接続されるためには、曲線セグメントに、、
及びＫｓａｔの（１９）及び（２０）式で表される接線
ベクトルの方向が一致する必要があり、この場合、接線
方向を表す単位ベクトルＴと接線ベクトル３　（Ｐ　（
３）　Ｉ　　Ｐ　＜＊＋　＋）及び３＜Ｐ＜ｌ、ｚ−Ｐ
＜。＋１）の大きさをα、及びα２とおいて、次式 ％式％（ の条件（以下接線連続の条件と呼ぶ）を満足すればよい
。

すなわち当該条件が満足されれば、（１２）式の条件と
併せて、節点Ｐ（りｌ、Ｐ＜ｘｘｓＰ（。）！及びＰ（
１）２が一直線上に並んでいることが解り、共有の節点
Ｐ（！１１及びＰ（０）２において接線が一致すること
が解る。

ちなみに共有の接点Ｐ　（３）　ｌ及びＰ、。、２から
隣接する制御点Ｐ＜ｔｘ及びＰ（１）！に向かうベクト
ル（Ｐ　（り　Ｉ−Ｐ　１３）　Ｉ）及び（Ｐ　＜Ｉ＞
ｔ−Ｐ　（。）ｔ）をそれぞれ接点Ｐ（３＞１及びＰ、
。、２の制御線ベクトルと定義する。

かくしてＣＰＵは、ステップＳＰ６において（２２）式
の条件が満足されるか否かを判断し、ここで否定結果が
得られると、ステップＳＰ５に移って当該処理手順を終
了する。

これに対して、ステップＳＰ６において、肯定結果が得
られると、続いてステップＳＰ７に移って、接続のモー
ドを入力する。

すなわち、第１のモードにおいては、曲線セグメントに
、。１及びＫ。２の内、一方の曲線セグメントに３．Ｉ
又はに３ｒ、ｔを変形させることにより、曲率半径が連
続するように接続し直す。

従って、当該第１のモードが選択された場合は、続いて
変形処理する曲線セグメントに３□又はＫｓｓｘの指定
を受ける。

これに対して、第２のモードにおいては、曲線セグメン
トＫｆｉＧ１及びＫｓｒ、ｔを等しい値で変形し、これ
により曲線セグメントに３．Ｉ及びに＊＊＊を曲率半径
が連続するように接続し直す。

さらに第３のモードにおいては、曲線セグメン）ＫＳ。

及びＫｓｓｔを、指定入力した変形比で変形させること
により、曲線セグメントに３゜及びに３ＧＺを曲率半径
が連続するように接続し直す。

従って、ＣＰＵにおいては、ステップＳＰ８で第３のモ
ードが選択されたか否かを判断し、ここで肯定結果が得
られると、ステップＳＰ９に移って変形比ｍ：ｎを入力
した後、ステップ５ＰＩＯに移る。

これに対して、ステップＳＰ８で否定結果が得られると
、直接ステップ５ＰＩＯに移って所定の曲線セグメント
ＫＳｌｉ１及び又はに＊＊＊の変形処理を実行する。

（Ｇ３）制御点の設定 すなわち、パラメータｔを用いた３次のベジェ式におい
て、曲線セグメントＫｓＧ＋及びＫｓａｔの曲率半径ρ
は、パラメータｔで表される曲線セグメトＲ（ｔ）上の
点を始点として、当該点における曲線セグメｌ−Ｒ（ｔ
）の曲率中心に向かう単位ベクトルｎ　（ｔ）及びＲ’
（ｔ）　、Ｒ”（ｔ）を用いて、次式 ％式％ ここで、Ｒ“（１）は、ベクトル関数Ｒ（ｔ）について
、次式 のように、パラメータｔの２階微分式で表される。

従って、（２５）式に（６）式を代入して解けば、次式 ％式％） が得られ、（１５）、（１７）及び（１８）式を代入し
て、次式 ％式％） 従って、共有の節点Ｐ　＜ｓ）Ｉ　％　Ｐ　ｔｏ＋　ｚ
において、ベクトル関数Ｒ（ｔ）　Ｉで表される曲線セ
グメン）Ｋ３Ｇ＋について、（２４）は（２７）式のパ
ラメータｔを１とおいて、次式 ％式％） で表されるのに対し、ベクトル関数Ｒ（ｔ）＊で表され
る曲線セグメントＫＳＧｔについて、（２４）は（２７
）式のパラメータｔを０とおいて、次式Ｒ″（０）ｚ＝
　６　（Ｐ　ｕ＞ｔ　　２　Ｐ　（１１！＋Ｐ　（ｏ＋
ｚ）・・・・・・　（２９） で表される。

従って、共有の節点Ｐ（３１＋及びＰ、。、２において
、曲線セグメン）ＫＳＧＩ及びに、、、の曲率半径Ｒ。

及びＲ２は、曲線セグメントＫｓａＩ及びＫｓｃｔの単
位ベクトルｎ　（ｔ）ｌ及びｎ（ｔ）ｚにパラメータを
ｔ＝Ｑ及び１とおいて、ｎ　（０）　、及びｎ（１）２
で表すと共に、（２４）式に（２０）　、（２１）（２
８）及び（２９）式をそれぞれ代入して、次式Ｒ８ Ｒ”（１）＋’ｎ　　（ＩＬ （Ｒ’（１）＋ν （３（Ｐ　＋３＋　ＩＰ　、２．＋））　　”Ｒ。

Ｒ’（０）ｚ　・ｎ　　（０）ｔ （Ｒ’　（０）ｔ）” （３（Ｐ　＜ｌ、ｚ　　Ｐ　（。１．））”・・・・・
・　（３１） で表される。

従って、（３０）及び（３１）が等しくなるように、曲
線セグメントＫＳＧ＋及びＫＳＧＺを接続し直せば曲率
半径が連続することが解る。

ところで、曲線セグメントＫｓＧＩ及びに３゜２におい
ては、接線が連続するように接続されていることから、
曲線セグメントＫｓＧｌ及び）（ｓＧｚをこの条件を満
足したまま曲率半径が連続するように接続し直すために
は、（２３）式の条件を維持したまま（３０）及び（３
１）が等しくなるように接続し直す必要があり、これを
実現するためには共有の節点Ｐ（Ｓ）Ｉ％Ｐ（。、ｔに
おける各曲線セグメントに□１及びＩ（ｓｅｔの制御線
ベクトル　　Ｐ　（り　Ｉ−Ｐ（３）憲及びＰ（１）ｔ
　　ｐ＜ｏ＞ｔの方向を一致させたまま、制御点を再設
定すればよい。

すなわち、次式 ％式％（０） の条件を満足するように制御点を再設定すればよい。

ここで、λ及びμはパラメータでなり、（２３）（Ｐ　
（１）　ｌ−Ｐ　ｎ＞　ｔ）及び（Ｐ　＜ｒ＞ｚ　　Ｐ
　＜ｏ＞ｔ）式で表される制御線ベクトルの大きさα１
及びα２に対して、次式 の関係をもつ。

このことは、制御線ベクトルの大きさの比がパラメータ
λで表される値になるように新たに制御点を設定すると
共に、残りの制御点を再設定すれば、曲率半径が連続的
に変化することを意味する。

かくしてＣＰＵは、ステップ５ＰＩＯにおいて（３２）
式を満足するように制御点を設定し直し、これにより曲
線セグメントＫＳＧ＋及びにｍＧｔを、接線連続の条件
を満足したまま曲率半径が連続的に変化するように接続
し直す。

ところで、（３２）式を満足するようにパラメータλ及
びμを選定し、制御点を設定すると、当該制御点の位置
の変化に応じて、曲線セグメントに３□及び又はに３．
！の曲線形状が変化する問題がある。

従ってこの実施例においては、デザイナが指定入力した
モードに応じて曲線セグメントＫｎ、ｌ及びＫ　ｍＧｔ
を変形させると共に、当該変形量が最小になるようにパ
ラメータλ及びμを選定する。

すなわち、（３２）式に（２０）、（２８）及び（２９
）式を代入して、次式 Ｐ　（り！　　２　Ｐ　ｕ＋ｇ＋Ｐ　（０１！＝λ”（
Ｐ　（３）Ｉ−２Ｐ　（よ）Ｉ＋Ｐ（１）ｌ）μ ＋ （Ｐ　＜ｓ＞　ｒ　−Ｐ　（り飄） を得、これを変形して、次式 ％式％ Ｐ　（ｔｌ　ｔＮを表現する。

このとき、再設定する制御点Ｐ（１１１１が制御点Ｐ（
２）Ｚに最も近い位置に設定されるようにパラメータλ
及びμを選定することにより、曲線セグメントに３．、
及びＫ　１６ｇの変形が最小になるように接続する。

すなわち、（３３）式において、 α１Ｍ−１ ・・・・・・　（３６） とおけば、次式 とおけることから、これを（３５）式に代入して、新た
に設定される制御点をＰＨ）２Ｎをα２及びμを変数と
する、次式 ％式％） で、制御点ｐｎ）ｚに代えて再設定する制御点μ ＋　　　　　（Ｐ　（３）　ｌ　　Ｐ　（ｔ、＋）　　
　　　・・・・・・　（３８）の方程式Ｐ　（ｔｌ　ｚ
Ｎ（α２．μ）で表す。

ここで、制御点Ｐ　Ｈｌ　！Ｎ及びＰ（□２をそれぞれ
Ｘ方向、ｙ方向及び２方向の成分に分解してベクトルＰ
　（２）　ｔＨＸｓ　Ｐ　（り　！ＩＩＶ及びＰ（２１
１Ｎ□とＰ４．８、Ｐ（ｔ、ｔ’ｌ及びｐ＋ｚ＋ｚｚで
表し、再設定される制御点Ｐ＋ｔ＋ｚＮから制御点ｐ（
！、ｔまでの距離を、次式％式％） の関数ｆ（α２．μ）で表し、当該距離の最小値を得る
。

このため、（３９）式をα２及びμで偏微分して得られ
る、次式 ％式％（４１） において、次式 ａα２ ａμ とおく。

かくして、この連立方程式を満足するα２及びμを得る
ことにより、制御点ｐ（ｚ＋ｚ、ｌ及びＰ　（ｔｌ　を
間距離を最小にするα２及びμを得ることができる。

ところで、この種の連立方程式を解いて値α２及びμを
得る場合、繰り返し演算を実行しなければならず、処理
時間が長大になる問題がある。

このため、この実施例においては、（４２）及び（４３
）式の連立方程式を線型化し、ニュートン・ラプソン法
を用いて値α２及びμを得ることにより、短時間の内に
当該演算処理を実行する。

すなわち、（４０）及び（４１）式に（３８）式を代入
し、その結果得られる方程式を（４２）及び（４３）に
代入する。

続いてこれをテーラ−展開して２次以降の項を切り捨て
ることにより、次式 ％式％） ： ＋ （Ｐ　（ｔ＞　ｔｚ　　（Ｐ　（１）ｔＮｚ（α２．μ
）ａαｆ （Ｐ（Ｈ□−（Ｐ（り！□（α８．μ）ａＰ　（！ｌ　
！ＮＸ ａμ ＋ （Ｐ　＜ｚ＋　ｚｙ−（Ｐ　（Ｚ）　ｚＮｙ（α２．μ
）ａＰ　（りｔＨ”ｆ ａμ ＋ （Ｐ　（ｔ＞　ｔｚ−（Ｐ　（ｔ）ｔＮｚ　（α２．μ
）＋　　（Ｐ　　（りｚｚ　　　　Ｐ　　、ｔ＞　　！
８２（α　２．　μ　））ｃｘｚ ＋　（Ｐ　＜ｚ＞　！Ｘ　　Ｐ　、ｚ、ｔＮｘ（α２．
μ））ａμ を得る。

さらにこれを整理して、 次式 ％式％）） 式から、 次式 ％式％） の関係が得られることから、 及び 式 に、（４９）及び（５０）式をｘ、ｙ、ｚ成分に分解し
て代入すると共に、α２及びμの初期値を代入する。

続いて、（４７）及び（４８）式が収束するように順次
Δα２及びΔμを代入することにより、　Δα、及びΔ
μを得、当該Δα２及びΔμとα２及びμの初期値から
、α２及びμの値を解く。

ここで、（２３）式を変形してα１＝１とおくと、次式 ％式％（２ が得られることから、このようにして得られた値α２を
（５１）弐に代入することにより、制御線ベクトルの大
きさの比λを値α２に可変し、当該制御線ベクトルで決
まる新たな制御点Ｐ（１）ｔｏを得ることができる。

これに対して、（３５）式に値α２及びμを代入するこ
とにより、制御点ＰＣ２１Ｋに代えて再設定された制御
点Ｐ。１ＫＮを得ることができる。

かくして、ステップＳＰ７において第１のモードが選択
され、曲線セグメン）Ｋｓａｚを変形処理する指定入力
を受けた場合、ＣＰＵば上述の演算処理を実行し、曲線
セグメントに、Ｇｌ及びに３゜２の内、曲線セグメント
Ｋｓａｔについて新たな制御点Ｐ（１）１Ｍ及びＰ（２
１２Ｎを設定する。

これにより、節点Ｐ、。、２及び制御点Ｐ（１１！を結
ぶ制御線ベクトル（Ｐ（１）ｚ　ｐ（。）２）を値α２
倍して新たな制御線ベクトル（Ｐ　（１１２Ｎ　　Ｐ　
＋。、２）が設定され、これにより、当該制御線ベクト
ル（Ｐ　（１）　ｔＭＰ　（。）２）で決まる制御点Ｐ
　（１１２８が設定され、共有の節点Ｐ。）１、Ｐ、。

、２の制御線ベクトル　（Ｐｕｎｔ　　　Ｐ（３）Ｉ）
％　　（Ｐ（１１２８Ｐ（０１２）の大きさの比が値λ
になるように設定され、かくして接線連続の条件を維持
したまま、曲線セグメントＫｓａ＋及びＫＳＧｔを曲率
半径が連続するように接続し直すことができる。

さらにこのとき、再設定される制御点Ｐ　（１１２８を
再設定以前の制御点Ｐ（１）２に最も近接した位置に設
定したことにより、曲面セグメントに、。２の変形を最
小限に抑圧することができる。

続いてＣＰＵは、ステップ５ＰＩＩに移って、第５図に
示すように接続し直した曲線セグメントＫＳＧＩ及びＫ
ｓＧｔを節点ｐ　ｔｏ）いＰ。、いＰ、。、２、Ｐ（２
１２及び制御点Ｐ　（１）　Ｉ　％　Ｐ　（２＞　Ｉ、
Ｐ（１）ＩＮ、Ｐ（ｚ、２．４と共に表示する。

このとき、曲率半径Ｒ１及びＲ２を所定値だけ縮小して
曲率中心方向に延長する線分として表示し、続いてステ
ップＳＰ５に移って当該処理手順を終了する。

かくして、デザイナにおいては、曲率半径が連続的に変
化する自由曲線が得られたことを目視確認し得、これに
より自分のイメージする自由曲線が生成されたか否かを
確認することができる。

この場合、第４図と比較すれば、曲線セグメントＫｓＧ
＋及びに、Ｇ□の内、曲線セグメントＫｓｅｚが変形処
理されて曲率半径が連続的に変化するようになされたこ
とが解る。

これに対して、ステップＳＰ７において第１のモードが
選択され、曲線セグメン）Ｋｓ。を変形処理する指定入
力を受けた場合、上述と同様の演算処理を実行して値町
及びμを得、曲線セグメントに！Ｇｌについて、新たな
制御点Ｐ（１＋ＩＮ、Ｐ（Ｚ）ＩＮを設定する。

ちなみにこの場合、上述の演算処理を実行する際に、曲
線セグメン）Ｋ！ＩＧ＋及びＫＳＧｔ間の節点及び制御
点の座標データを入れ換えて演算処理することにより、
曲線セグメントに３Ｇｔに代えて曲線セグメントＫｓａ
＋を変形処理し得、この場合第６図に示すように、曲線
セグメントＫＳＧｔの曲線形状を保持したまま、曲線セ
グメン）Ｋｓｃ＋及びに、。２を曲率半径が連続的に変
化するように接続し直すことができた。

これに対して、ステップＳＰ７において第２のモードが
選択された場合、ＣＰＵは上述の演算処理を実行して値
α２及びμを得た後、当該値α２を（３２）式に代入し
て値λを得る。

続いて、（２２）及び（３２）式から当該値λに対して
、次式 を満足し、かつ曲線セグメントＫｓ＠Ｉの元の制御点Ｐ
　（り　Ｉから新たな制御点Ｐ（１）ＩＮまでの距離と
、曲線セグメントに３．！の元の制御点Ｐ（１）！から
新たな制御点Ｐ（１）、までの距離が等しくなるように
、制御点Ｐ　（！Ｉ　ＩＮ及びＰ（１１１Ｎを設定する
。

かくして第７図に示すように、曲線セグメントに！０１
及びＫｓｅｚの双方を変形処理することにより、曲率半
径が連続的に変化するように接続し直された自由曲線を
得ることができる。

これに対して、ステップＳＰ７において第３のモードが
選択された場合、ＣＰＵは上述の演算処理を実行して値
α２及びμを得た後、（５２）式を満足するように新た
な制御点ＰＬｔ＞ＩＮ及びＰ（１）ＩＮを設定する。

このとき、曲線セグメントＫｓａＩ　０元の制御点Ｐ（
２１１から新たな制御点Ｐ（ＨＩＭまでの距離と、曲線
セグメン）Ｋｓｅｚの元の制御点Ｐ（１）２から新たな
制御点Ｐ（１）２Ｎまでの距離の比が、ステップＳＰ９
で入力された比ｍ：ｎになるように、制御点Ｐ（１）Ｉ
ｌｌ及びＰ（１）１Ｎを設定し、これによりデザイナの
所望する割合で曲線セグメントＫＳＧＩ及びＫＳｔ、□
の双方を変形処理し、曲率半径が連続的に変化するよう
に接続し直された自由曲線を得る。

以上の方法によれば、曲率半径が連続的に変化するよう
に制御線ベクトルの長さの比を可変して新たに制御点を
設定すると共に残りの制御点を再設定する際に、再設定
以前の制御点に最も接近した位置に制御点を再設定した
ことにより、元の曲線形状からの変形を最小に抑圧して
、曲率半径が連続的に変化する自由曲線を生成すること
ができる。

（Ｇ４）他の実施例 （１）　　なお上述の実施例においては、いずれも距離
を検出した制御点を有する曲線セグメントにおいて、制
御線ベクトルの長さを可変した場合について述べたが、
本発明はこれに限らず、距離を検出した制御点を有する
曲線セグメントにおいては、当該制御点だけを再設定し
、残りの曲線セグメントの制御線ベクトルを可変するこ
とにより制御線ベクトルの大きさの比が値λになるよう
にしてもよい。

（２）　　さらに上述の実施例においては、制御線ベク
トルの大きさの比が値λになるように新たな制御点を設
定する際に、元の制御点から新たな制御点までの距離の
比が指定入力された比になるように新たな制御点を設定
することにより、デザイナの所望する割合で曲線セグメ
ントに、ＧＩ及びＫＳＧｔの双方を変形処理する場合に
ついて述べたが、本発明はこれに限らず、例えば元の制
御線ベクトルと変形後の制御線ベクトル大きさの比が、
指定入力された比で変化するようにしてもよい。

（３）さらに上述の実施例においては、再設定以前の制
御点から再設定する制御点までの距離が最小になるよう
にλ及びμを選定した場合について述べたが、本発明は
距離を最小に選定する場合に限らず、要は生成された曲
線セグメントの変形が実用上十分に小さな範囲であれば
、当該曲線セグメントの曲線形状を保持したまま曲率半
径が連続的に変化するように接続し得、この場合距離が
所定値以下になるようにλ及びμを選定すればよい。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、曲率半径が連続的に変化
するように制御線ベクトルの長さの比を可変して新たに
制御点を設定すると共に残りの制御点を再設定する際に
、再設定前の制御点から再設定する制御点までの距離に
基づいて制御点の設定位置を選定したことにより、曲線
形状の変化を抑圧して曲率半径が連続的に変化する自由
曲線を生成することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例による自由曲線作成方法の処
理手順を示すフローチャート、第２図は自由曲線の原理
の説明に供する路線図、第３図〜第７図は第１図の処理
手順の説明に供する路線図、第８図は自由曲面の説明に
供する路線図である。 Ｐ　（６）　’１％　Ｐ　（３）　＋ｓ　Ｐ　（０）　
ｚｓ　Ｐ　＜ｓ）ｚ”’　””節点−Ｐ（Ｉｌｌ＋、Ｐ
（２）＋・Ｐ（＋）ｔ−、Ｐ（２）ｔ・Ｐ（２）電ト「
・Ｐ（１１ＫＮ　％　Ｐ　Ｈｌ　ｇＮ　””　”’制御
点、Ｒ１，Ｒ２・・・・・・曲率半径。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）節点及び制御点に基づいてベクトル関数で表され
   、一端の節点を共有して接線連続の条件を満足するよう
   に接続された第１及び第２の曲線セグメントにおいて、 上記共有の節点における上記第１及び第２の曲線セグメ
   ントの制御線ベクトルの大きさの比を可変し、該制御線
   ベクトルで決まる新たな制御点を設定すると共に、上記
   第１の曲線セグメントの他端の節点に隣接する制御点を
   再設定し、 上記新たな制御点及び再設定した制御点を用いて上記第
   １及び又は第２の曲線セグメントを生成し直すことによ
   り、上記第１及び第２の曲線セグメントを、接線及び曲
   率半径が連続的に変化するように接続する際に、 上記再設定した制御点から再設定する以前の制御点まで
   の距離に基づいて、上記制御線ベクトルの大きさの比及
   び再設定する制御点の位置を選定するようにした ことを特徴とする自由曲線作成方法。
2. （２）上記制御線ベクトルの大きさの比及び上記再設定
   する制御点の位置は、上記距離が最小になるように選定
   した ことを特徴とする特許請求の範囲第１項に記載の自由曲
   線作成方法。