JPS62216076A - 物体の表面形状データ作成装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第３図）２作用（第３
図） Ｇ実施例 （Ｇ１）四辺形バッチ接続の原理（第１図及び第２図） （Ｇ２）四辺形バッチの２次元的接続（第３図）（Ｇ３
）接平面連続の条件で接続されていることの確認 （Ｇ４）内部制御点の設定の仕方（第３図）（Ｇ５）バ
ッチ接続処理手順（第４図）（Ｇ６）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ（ｃｏ
ａｌｌｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）　、又
はＣＡ　Ｍ　（ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎ
ｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ）などにおいて、自由曲面をもっ
た形状を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
バッチを張ることにより、自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、四辺形枠組み空間に
、その互いに対向する２組の辺に対応させてそれぞれ接
平面連続の条件の下に接続することができるような２つ
のサブパッチを生成し、これらの２つのサブパッチを重
ね合わせ合成するようにしたことにより、当該四辺形バ
ッチに隣接するバッチを容易に２次元的に接続し得る。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合軸ｉｏｍｅｔｏｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次元
空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し、
当該指定された複数の点を結ぶ境界曲線網を所定の関数
を用いてコンピュータによって演算させることにより、
いわゆるワイヤフレームで表現された曲面を作成する。

かくして境界曲線によって囲まれた多数の枠組み空間を
形成することができる（このような処理を以下枠組み処
理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものをいう）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをバッチ
と呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（８１３２１ｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｂ−ａｐｌ　
１ｎｅ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、
例えば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式
表現するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をＸＹ平面上に投影したとき、当該
投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいること
が多く、この投影点の数がｍｘｎで表されるとき、当該
枠組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形バッチを
用いて容易に張ることができることが知られている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場合
には、バッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になる問題があった。

特に極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたときに
は、はとんどの場合当該指定された点の配列は規則性を
もっておらず、従って枠組み空間に四辺形バッチを張る
ような従来の手法では、滑らかな自由曲面を形成するこ
とは実際上極めて困難であった。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、枠組み処
理によって指定された点の配列が規則性をもっていない
場合にも、滑らかな自由曲面を張ることができるように
した自由曲面作成方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、当該枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより、自由曲面を生成するようにな
された自由曲面作成方法において、枠組み空間として、
互いに対向する第１及び第２の境界曲線、第３及び第４
の境界曲線で囲まれた四辺形枠組み空間を含むように枠
組み処理を実行し、この四辺形枠組み空間に張る四辺形
パッチＳ　（ｕｎ　ｗｌ　１を、第１及び第２の境界曲
線を共有境界ＣＯＭＩとして隣接する第１及び第２の隣
接パッチＳ　ｔｌｌ＋　Ｖ）　＊に接平面連続の条件を
満足するように接続する第１のサブパッチ　α（Ｕ、　
Ｖ）Ｓ　１　（ｕｎ　ＩＴｌ　＋　と、第３及び第４の
境界曲線を共有境界Ｃ０Ｍ２として隣接する第３及び第
４の隣接バッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｓに接平面連続の条
件を満足するように接続する第２のサブパッチβ（ｕ、
　ｖ）Ｓｔｔ工、Ｖ、。

とを重ね合わせ合成することにより生成するようにする
。

Ｆ作用 枠組み処理によって形成された四辺形枠組み空間に張る
四辺形パッチＳ　ｔｕｒ　ｖ）　Ｉは、その４つの辺に
よって形成される共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ
３、Ｃ０Ｍ４において接平面連続の条件を満足するよう
な制御点によって設定される２つのサブパッチ　　α（
ＬＬ　Ｖ）　Ｓ　ｌ　（ｕ、ｖｌ　１、　β（ｕ、　ｖ
）Ｓ　ｚ　（＋Ｊ＋　ｖｌ　ｌを重ね合わせ合成するこ
とによって生成される。

かくして四辺形パッチＴ　（ｕ、　ｖｌ　ｌは、その４
つの辺において接平面連続の条件で２次元的に接続する
ような曲面を容易に生成し得る。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）　　四辺形バッチ接続の原理 この実施例において、枠組み処理された四辺形枠組み空
間の境界を表す境界曲線、及び各四辺形枠組み空間に張
られるパッチを次式 ３式％ のように、３次のベジェ式でなるベクトル関数ＳＴｕ、
りを用いて表現する。　　（１）式においてＰ、。。）
は、第１図に示すように、隣合う２つの枠組み空間に張
られた曲面、すなわち第１の四辺形バッチＳ　（ｕｎ　
ｖｌ　１及び第２の四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｚ
が共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、他端の位置ベクト
ルＰ、。、）と、第１のパッチＳｌｕ＋　ｖ）　ｌの位
置ベクトルＰ４゜ｌ　Ｉ　ｓ　Ｐ　（３３１１と、第２
のパッチＳ　ｌｌ＋　ｖ）　ｔの位置ベクトルＰ　＜ｓ
ｏ、ｔ　、Ｐ　＋＊：ｕｔと共に、枠組み処理の際に指
定される節点を構成する。

かくして、第１及び第２のパッチＳ　（ｕ、　Ｖ）　、
及びＳ　（ｕ、ｖｌ　！がそれぞれ節点Ｐ、。。ｌ　−
Ｐ　（３＠ｌ　Ｉ−Ｐ　（ｘｚ）＋　　Ｐ　（ｏｓ＋　
　Ｐ　（＋１＋１１及びＰ　（＋１０１−　Ｐ　（３１
１１ｚ−Ｐ（コｓ＋　ｚ　　Ｐ　（＋１３１−　Ｐ　（
００）の４つの境界曲線によって囲まれていることが分
かる。

これらの境界曲線のうち節点Ｐ（０゜）及びＰ　Ｔ１１
３１間の境界曲線は共有境界ＣＯＭを構成し、２つの制
御点Ｐ、。Ｉ、及びＰ、。ｔ、によって３次のベジェ式
を規定している。

これに対して、第１のパッチＳ　ｔｕｒ　ｖｌ　Ｉの節
点Ｐ（ｏｏ＋及びｐ　、ＯＨ間の境界曲線・Ｐ（３６１
１及びＰ　（３ｆｆｊ　１間の境界曲線、Ｐ　（２３）
　ｌ及びＰ　（０３１間の境界曲線は、それぞれ２つの
制御点（Ｐ、１゜）２、Ｐ＋ｚｏｚ）、（Ｐ　ＣＲ１１
Ｉ　ＳＰ　ＨＥ　＋　）、（Ｐ　（ｔｓ＋　＋　、Ｐ　
（１３目）によって規定されている。

また、第２のパッチＳ　（ｕ、　ｖ、ｔの節点Ｐ、。。

、及びＰ（３０１！間の境界曲線、Ｐ（３６１２及びＰ
（３：ｌ）１間の境界曲線、ｐ、お２及びＰ、。１．間
の境界曲線は、それぞれ２つの制御点（Ｐ　ｎｏ＋ｚ　
、Ｐ　＋ｚｏ＋ｚ　）、（Ｐｕｎｔ　ｓ　Ｐ　（３ｚ１
ｚ　）　％　　（Ｐ＋ｔｉ＋ｚ　、、　Ｐｎｘ）ｚ）に
よって規定されている。

また、（１）式において、Ｅ及びＦはＵ方向及びＶ方向
のシフト演算子で、　パッチＳ　＋ｕ＋　ｗ、ｌ及びＳ
　＜ｕ、　ｖＪ　ｚ上の位置ベクトルで表される制御点
Ｐ（！＋ｊｌ　に対して次式、 Ｅ　−Ｐ　１１．わ　− Ｐ　、盈。Ｉｆｊｌ　　　　（ｉ　％　　　Ｊ　　””
Ｏ、１、２）・・・・・・（２） Ｆ−Ｐ　ｕ、ｔ、＝ Ｐ（１＋Ｊ＊＋１　　（１％　Ｊ　−０，１，２）・・
・・・・（３） の関係をもつ。

ここで、Ｕ及びＶはＵ方向及びＶ方向のパラメータで、
次式 ％式％（４） で表すように、０〜１の間を変化する。か（して第１図
に示すように、第１及び第２のパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）
　、及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚに対してそれぞれ節点Ｐ
、。。、から横方向にＵ軸を取り、かつ縦方向にＶ軸を
取った座標（ｕ、ｖ）を用いてパッチＳ　（ｕ、ｖ）　
ｌ及びＳ　Ｔｕ、ｖｌ　２内の自由曲面上の座標を表す
ことができる。

このように定義した場合、共有境界００Ｍ上の各点にお
いて第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　ＩのＵ方向（すな
わち共有境界ＣＯＭを横断する方向）に取った接線ベク
トルは、（１）式をパラメータＵについて１階偏微分す
ることにより、 ・・・・・・（５） で表される。ここでａｏは節点Ｐ、。。、から制御点Ｐ
（１゜）、に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算
子Ｆと共に第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌについて
、次式 ％式％ によって制御辺ベクトルａｊ　　（ｊ”Ｏｌｌ、２．３
）を表すことができる。ここでａｌは共有境界ＣＯＭの
制御点Ｐ＋ｏ＋＋から第１のパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　
。

の制御点Ｐ（Ｉｆ）Ｉへ向かう制御辺ベクトルを示し、
また、ａｔは同様にして制御点Ｐ、。。から制御点Ｐ（
＋。１へ向かう制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界００Ｍ上において、第２のパッチＳ
　（ｕ＋ｖ□のＵ方向に向かう接線ベクトルは、（１）
式をパラメータＵについて１階偏微分することにより、 Ｕ ・・・・・・（７） で表される。ここでｃｏは、節点Ｐ、。。、から第２の
パッチＳ　（ｕ、ｖｌ　１の制御点Ｐ、１゜、２に向か
う制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｆと共に第２の
パッチＳ　Ｌｕ、　ｖｌ２について、次式％式％（） によって制御ベクトルｃｊ　（ｊ−０，１，２，３）を
表すことができる。ここでＣ１は共存境界ＣＯＭの制御
点Ｐ、。、から第２のパッチ５（ＩＩ＋　ｖｌ　Ｚの制
御点Ｐ（Ｉｌｌ！へ向かう制御辺ベクトルを示し、Ｃｌ
は同様にして制御点Ｐ　１１１１１から制御点ｐＨ２）
！へ向かう制御辺ベクトルを示す。

さらに共有境界００Ｍ上の各点における第１のパッチＳ
　＜ｕｎ　ｗ＋　１側のＶ方向の接線ベクトルは、（１
）式をパラメータＶについて１階偏微分することにより
、 Ｖ ・・・・・・（９） で表される。ここです、は、節点Ｐ、。。、から制御点
Ｐ、。１．へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算
子Ｆと共に共有境界ＣＯＭについて、次式％式％） ・・・・・・　（１０） によって制御辺ベクトルｂＪ　（ｊ＝１．２．３）を表
すことができる。ここでｂ２は制御点Ｐ、。、。

からＰ、。２．へ向かう制御辺ベクトルを示し、ｂ。

は同様にして制御点Ｐ、。２）から節点Ｐ、。、）へ向
かう制御辺ベクトルを示す。

ところで枠組み処理によって形成された隣合う２つの枠
組み空間に四辺形パッチ５（ａｎ　ｖｌ　Ｉ及び５（ｌ
ｌ＋　Ｖ、！を張った場合、その共有境界ＣＯＭにおけ
る曲面は一般に滑らかにはならない。そこで本発明にお
いては、共存境界ＣＯＭを存する２つのパッチＳＩｕ＋
　ｖｌ　ｌ及びＳ　Ｔｕ＋　ｖｌ　ｔを共有境界ＣＯＭ
において滑らかに接続するように、各バッチ５ｌｌｌ＋
　ＩＩ’＋　１及び５（ｕｎ　ｖｌ　ｚの内部の制御点
ｐＨｌｌｌ、Ｐ（１！ｌ＋及びＰ　（Ｉｌ＋　１　、Ｐ
　（１２□を設定し直して、これらの内部の制御点を用
いてパッチに張るべき自由曲面を補間演算し直す、かく
することにより、境界曲線網で枠組みされた曲面全体に
亘って全てのバッチを滑らかに接続して行くことができ
ることにより、多くの物体の外形形状を不自然にならな
いように表現できる。

この共有境界ＣＯＭにおける滑らかな接続は接平面連続
の条件を満足するような制御辺ベクトルａｌｌ　〜ａ３
　、ｂ＋　〜ｂ３　、Ｃｏ　〜Ｃ！を求めることにより
実現される。

共有境界Ｃ０Ｍ上の全ての点において接平面連続の条件
が成り立つためには、第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ目に
ついてそのＵ方向の接線ベクトル（（５）式によって表
される）と、第２のバッチＳ　（ｕｎ　Ｖｌ　ｔにおけ
るＵ方向の接線ベクトル（（７）式によって表される）
と、第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　１の■方向の接線
ベクトル（（９）式によって表される）とが、同一平面
上にあることが必要であり、これを実現するためには次
式 の条件を満足させるようにパラメータを設定し直せば良
い。

ここでλ　（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν　（Ｖ）は、スカラ関
数で、これを λ　（Ｖ）−（１−Ｖ）＋Ｖ　　　　・・・・・・（１
２）μ（Ｖ）−に、（１−Ｖ）　＋に２ｖ・・・・・・
（１３）ν　（Ｖ）＝η＋（ｔ−ｖ）” ＋　（７７直　　＋　η　ツ、　　）（１−ｖ）　、　
ｖ＋η　ｖｌ　　　　　　　・・・・・・（１４）に選
定する。

そこで（１２）弐〜（１４）式を（１１）式に代入する
と共に、（５）式、（７）式、（９）式を（１１）式に
代入し、その結果（１１）式が成り立つように未知数に
１、に、及びη１、η２を選定すれば、接平面連続の条
件を満足しながら、２つのバッチＳ　＋Ｉｌｌ　ｖｌ　
１及びＳ　ｆｕ＋ｖ□を接続することができることにな
る。

実際上（５）式、（７）式、（９）式と、（１２）弐〜
（１４）式とは、（１−ｖ）の項及びＶの項をもってい
るので、（１１）式の左辺及び右辺は、（１−Ｖ）’、
ｖ　（１−ｖ）、　ｖ”（１−ｖ）”、　ｖ″（１−Ｖ
）　、Ｖ’の項の和の形に展開整理できる。

従って展開式の各項ごとに係数部が互いに等しいという
条件を立てれば、 ｃｏ　ｘＪ、ａ、、＋ηｌｂ＋・・・・・・（１５）３
　（、−）　（Ｏ＝ａ　３にＩ　　ａ、　　十にｚａ。

＋２ηｌ　ｂｇ　＋　（η１　＋ηｉ）ｂ＋・・・・・
・（１６） ３Ｃｚ　＋３ｃ＋　＝３＜＋　　ａｍ　＋３にｚ　ａｔ
＋η＋　　ＩＩ）＋　＋２　（η１　＋η２）ｂ２＋η
ｚ　ｂ、　　　　　　　　　・・・・・・（１７）ｃ３
＋３Ｃ，Ｗに、ａｉ　＋３１Ｃｔ　ａ２＋（η１　＋η
ｚ）ｂｚ＋２η２ｂ２ ・・・・・・　（１８） Ｃ，Ｉ　　−ｔｔｚ　　ａ＝　　＋７７ｔ　　ｂ、　　
　　　　ｍ＋＋＋　　（１９）で表される連立方程式が
得られ、かくして４つの未知数に２、に、及びη１、η
２を解くことができる。

ここで接平面とは、共有境界ＣＯＭの各点でのＵ方向及
びＶ方向の接線ベクトルによって形成される平面を称し
、従って共有境界ＣＯＭの各点においてバッチＳ　（Ｍ
Ｉ　ＩＴ）　Ｉ及びＳ　（Ｉｌｌ　Ｖｌ　！の接平面が
同一のとき接平面連続の条件が成り立つ。

すなわち、共有境界００Ｍ上の任意点Ｐ、。Ｖ、につい
ての接平面連続の条件は、第２図に示すように決められ
る。すなわちバッチＳ　（ｕｎｖ目について、共有境界
ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線ベクト
ルＨ、、及び共存境界ＣＯＭに沿う方向（すなわちＶ方
向）の接線ベクトルＨ，の法線ベクトルｎ１は、 ｎ　１　＝　Ｈｍ　Ｘ　Ｈｂ　　　　　　　　　・”　
”・（２０）で表され、またバッチＳ　（ｕｎ　Ｖｌ　
！について、共有境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベク
トルＨ０及び共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトル
Ｈ２の法線ベクトルｎ２は、 ｎＺ　−Ｈｅ　ｘＨｂ　　　　　　　　　・・・・・・
（２１）で表される。

このような条件の下に、接平面連続というためには、接
線ベクトルＨ−、Ｈｂ及びＨｃ、Ｈ，が同一平面に存在
しなければならず、その結果法線ベクトルｎ１及びｎｔ
は同一方向に向くことになる。

ここで、 である。

（Ｇ２）四辺形バッチの２次元的接続 第１図について上述した手法によって、隣接する２つの
四辺形パッチを接平面連続の条件を満足するように接続
することができるが、この手法を用いて、第１図につい
て上述したように、枠組み処理によって指定された節点
に基づいて形成された多数の四辺形枠組み空間のように
、任意の方向に拡がって行くように（すなわち２次元的
に拡がって行くように）連接する枠組み空間に、四辺形
バッチを張ることを考える。

このように任意の方向に拡がって行くように配置されて
いる四辺形パッチ相互間を接続するには、１つの四辺形
パッチの４辺を同時に接平面連続の条件を満足させなが
ら隣接する４つの四辺形パッチに接続する必要がある。

このような接続方法を２次元的な接続方法と呼ぶ。

本発明においては、１つの四辺形バッチを構成する相対
向する一対の辺でなる２組の辺について、それぞれ隣接
する四辺形パッチに対して第１図について上述した手法
によって接平面連鏡の条件を満足するような２枚のサブ
パッチを生成し、この２枚のサブパッチを互いに重ね合
わせるようなベクトル関数表現を用いることによって１
つのパッチに合成する。このようにして２枚のサブパッ
チを重ね合わせることによって、４つの辺にそれぞれ隣
接する４つの四辺形バッチに同時に接平面連続の条件を
満足するように２次元的に接続し得る自由曲面を作成す
ることができる。

例えば第３図において、節点Ｐｈ−Ｐｔ　　Ｐ＋＋＋　
ｐ　、　、によって囲まれる四辺形バッチＳ　（Ｉｌｌ
　Ｖ）　ｌに着目し、この四辺形バッチＳ　、、、　、
、　、の４つの辺を構成する境界曲線でなる共有境界Ｃ
０Ｍ１、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４を介して隣接す
る４つのパッチＳ　（、、１，、、Ｓ　（Ｉｌ、ｖ＞　
ｓ、Ｓ　（ｕｎ　Ｉり　イＳ　（ｕｎ　Ｖ）　５を２次
元的に接続する場合についてその接続方法を説明する。

第３図において、先ず第１のパッチＳ　（１１，ｖ）　
＋において節点Ｐ、を基準として互いに隣合う共有境界
Ｃ０Ｍ１及びＣ０Ｍ３に沿う方向にパラメータＶ及びＵ
の座標軸を割当てる。これと−敗するように共有境界Ｃ
ＯＭＩ及びＣＯＭ　３を介して隣接する第２及び第４の
パッチＳ　（ｕｎ　Ｖｌ　！及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　４
のＶ及びＵの座標軸を節点Ｐ６を基準にして選定する。

これに対して共有境界ＣＯＭＩと対向する共有境界Ｃ０
Ｍ２を介して隣接する第３のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　
２は、節点Ｐ、を基準にしてＵ軸及びＶ軸を選定し、ま
た共有境界Ｃ０Ｍ３と対向する共有境界Ｃ０Ｍ４は、節
点Ｐ１４を基準にしてＵ軸及びＶ軸を選定する。

かくして共有境界ＣＯＭＩは、これを第１及び第２のパ
ッチＳ　＋ｕ＋　ｖｌ　Ｉ及びＳ　（ｕｎ　ｖ□につい
て、パラメータＵをｕｔｘ　Ｑに設定したときの位置ベ
クトル（すなわち境界曲線）で表すことができる。また
共有境界Ｃ０Ｍ２は、これを第１及び第３のパッチＳＴ
ｕ＋　ｖｌ　１及びＳ　（ＩＩＩ　Ｖ）コについて、パ
ラメータＵをｕ＝ｌに設定したときの位置ベクトル（す
なわち境界曲線）で表すことができる。

これに対して共有境界Ｃ０Ｍ３は、これを第１及び第４
のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ目及びＳ（ｕｎ　ｖｌ　４につ
いて、パラメータＶをｖ＝Ｑに設定したときの位置ベク
トル（すなわち境界曲線）で表すことができる。

また共有境界Ｃ０Ｍ４は、これを第１及び第５のパッチ
Ｓ　（１１１ｖ）　ｌ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｓについ
て、パラメータＶをｙ　ｗ　ｌに設定したときの位置ベ
クトル（すなわち境界曲線）で表すことができる。

このような座標系を設定したとき、四辺形枠組み空間に
張る第１のパッチＳ　（、、ｖ）　１を次式３式％ によって表されるベクトル関数によって定義する。

（２５）式において第１項α（ｕｎ　Ｖ）　Ｓ　＋　＋
１＋＋　Ｉｌｌ　１　は、Ｕ方向について互いに対向す
る１組の共有境界ＣＯＭＩ及びＣ０Ｍ２を介して第２及
び第３のパッチＳ　（Ｉｌｌ　ＩＴ）　を及びＳ　ｆａ
ｔ　ｖ）　３と接平面連続の条件を満足するように設定
された第１のサブパッチを表す。

また（２５）式の第２項β（ＩＬ　Ｖ）　Ｓ　ａ　ｌｌ
ｌ＋　ＩＴ）　ｌはＶ方向について互いに対向する１組
の共有境界Ｃ０Ｍ３及びＣ０Ｍ４を介して第４及び第５
のパッチＳ　（ｕｎ　Ｇ　４及びＳ（ｕｎ　ｖ）　＠と
接平面連続の条件を満足するように設定された第２のサ
ブパッチを表す。

かくして（２５）式は、第１のパッチＳ　（ａｎ　ｖ、
１が、４つの辺を形成する共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ２
、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４を介して接続すべき四辺形パッチ
Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ｔ、ＳＬｕ、ｖ、３、Ｓ　ｔａｒ　
ｖ）　４ｓ　Ｓ　＋Ｉｌｌ　Ｗｌ　％との関係において
、ｕ　−０％　ｕ　−１、ｖ＝Ｑ、ＶＷｌの位置におい
てそれぞれ接平面連続の条件を満足するような２枚のサ
ブパッチを互いに重ね合わせるようなベクトル関数によ
って表現された１枚のパッチを示している。

囚に（２５）式において係数項α（ｕ、　ｖ）、β（ｕ
＋ν）は、それぞれパラメータＵ及びＶを変数として表
されるスカラ関数で、 ・・・・・・（２６） ・・・・・・　（２７） によって定義する。ここで、Ｕ＝Ｏ又は１１　ｍ　ｌの
ときα（ｕｎｖ）＝０、β（ｕ、ｖ）＝１になり、また
Ｖ＝０又はｙ　ｗ　ｌのときα（ｕ、ｖ）−１、β（ｕ
、ｖ）＝０になる。

（２６）式及び（２７）式は第１のパッチＳ　（ＩＩＩ
　Ｖ）　１についての定義を述べたが、この第１のパッ
チＳ　（ｕｌｗｌ　ｌに接続される４つのパッチＳ　（
ＩＩＩ　ｖ）　ｇ””Ｓ　ｆａｔ　ｖｌ　ｓについても
全く同様にしてＳ　Ｔｕ＋　ｖｌ　ｔ−α（ｕ、　ｖ）
　Ｓ　＋　Ｔｕ＋　ｖｌ　ｔ＋β（ｕｎ　ｖ）Ｓｚ＋−
、ｖｌｚ　　−＝　（２Ｂ）Ｓ　（ＩＩ−＋　ｖｌ　３
−α（Ｉｌｌ　Ｖ）　Ｓ　１　（ｕｎ　ｖ）　ｉ＋β（
ｕ＋ν）　Ｓｚ＋ｕ＋ｖ＋ｉ　　・旧−（２９＞Ｓ　ｆ
ａｔ　ｖｌ　４　＝α（ｕ、　ｖ）　Ｓ　Ｉ　（Ｉｌｌ
　Ｖｌ　４＋β（ｕ、　　ｖ）　Ｓ　ｔ　ｆａｎ　ｖｌ
　ａ　　　”・・・・　（３０）Ｓ（Ｌｌ、Ｖ）Ｓ＝α
（ｔｌ、Ｖ）ＳＩ＋１１．Ｖ１５＋β（ｕ、　　Ｖ）Ｓ
Ｚ（ｕ、ｖｌ５　　−・”　　（３１）によって定義す
る。

（Ｇ３）　　接平面連続の条件で接続されていることの
ｌＩｆ認 （２５）弐〜（３１）式によって互いに接続すべき５つ
の四辺形バッチを表現すれば、第１のパッチＳ　（ｕｎ
　ｖｌ　ｌの内部に、４つの共有境界ＣＯＭＩ、Ｃ０Ｍ
２、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４の全てについて接平面連続の条
件式を満足させるような４つの制御点Ｐ　１１１１１　
、Ｐ　ｔ＋ｚ＋＋　、Ｐ　ｎ＋ｚ　、Ｐ　（２□、（第
１図）を（２５）式によって設定することができる。

このことは、次のようにして確認し得る。

＋ａ）共有境界ＣＯＭＩについての接続先ず第３図の四
辺形バッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌの第１の共有境界ＣＯ
ＭＩについて、この共有境界ＣＯＭＩは、（２５）式に
おいてｕｗａ　Ｑとおくことよって求めることができる
。ところがＵ＝Ｏのとき、（２６）式及び（２７）式か
らα（ｕ、ｖ）＝０、β（ｕ、ｖ）＝１になる。この条
件を（２５）式に代すると共に、サブパッチを（１）式
によって表せば、第１のサブパッチは、 Ｓ　（Ｌｌ、ＩＦ）ｌ　ｌ　ｕｎ＋６　＝Ｓｚ（ｕｎｖ
）＋＝　（１ｖ　＋　ｖ　Ｆ　）”Ｔ’　（００１・”
−（３２）で表されるように、第１の共有境界Ｃ０Ｍ１
に対応する接平面連続の式によって表される。

同様にして第２のパッチ５（Ｉｌｌ　Ｖ、ｔは、（２８
）式％式％ で表される曲線になる。（３２）式及び（３３）式にお
いて、第３図の共有境界ＣＯＭＩの場合、第１図の節点
Ｐ、。。、として、　第１及び第２のパッチＳ（ｕｎ　
ｖｌ　Ｉ及びＳ　（ｕｎ　ｗ、Ｚに共通な節点Ｐ＆が用
いられ、かくして（３２）式及び（３３）式は同一の曲
線を描くことにより Ｓ　　（ｕｎｖｌｌ　　ｌ　　ｕ自０　　　”　　Ｓ　
（ｕｎ　　ｖｌ　　２　　ｌ　　ｕ”ｏ　　　’・・　
・・・　　（３４）が成り立つ。このことは、Ｕ＝Ｏの
ときのパッチ５（Ｉｌｌ　ｖｌ　Ｉ及びＳ　（ｕｌｗ、
！の曲線は、同じ位置にあることを表している。

次に共有境界ＣＯＭＩについて、第１及び第２のパッチ
Ｓ　（Ｕ＋　ｖ、　、及びＳ　（Ｉｌｌ　Ｖ）　ｚのＶ
方向（すなわち共有境界Ｃ０Ｍ１に沿う方向）の接線ベ
クトルを（１）式に基づいて求めると、 ＝３　（１ｖｌｖＦ）”　（Ｆ　　１）　Ｐ（００１・
・・・・・（３５） ＝３　（ｌ　　ｖｌｖＦ）”　（Ｆ　　１）　Ｐ（０６
１・・・・・・　（３６） になる。従って（３５）式及び（３６）式から、・・・
・・・（３７） が成り立つことにより、共有境界ＣＯＭＩに沿う方向の
パッチＳ　（ａｎ　ｖｌ　Ｉ及びｓ（＠＋　ＩＴＩ　１
の接線ベクトルが互いに等しいことが分かる。

さらに、第１及び第２のパッチＳ　（ａ、Ｖ、ｌ及びＳ
　ｆａｎ　ｖ）□（７）　ｕ　＝　ＱにおけるＶ方向（
すなわち共有境界ＣＯＭＩを横断する方向）の接線ベク
トルを求めれば、 ＝３　（１ｖｌｖＦ）（Ｅ　　１）　Ｐ＋ｏｏ＋・・・
・・・（３８） ＝３　　（ｌ−ｖｌｖＦ）（Ｅ　　　１）Ｐ＋ｏｏ＋・
・・・・・　（３９） なる。従って第１及び第２のバッチＳ　（ｕｎｖ目及び
Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ＺのＵ方向（すなわち横断方向）の
接線ベクトルは ・・・・・・（４０） のように同一になる。

従って（３２）弐〜（４０）式から明らかなように、（
２５）式及び（２８）式によって表された隣接する２つ
のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ及び５（ｕｎ。ｔは、共
有境界ＣＯＭ　１において（２５）式及び（２８）式の
第２項によって表されるサブパッチβ（ｕｌ　ｖ）　Ｓ
　ｔ　（Ｉｌｌ　ＶＩ　Ｉ及びβ（ｕ＋ν）Ｓｚ＋ｕ、
ｖ）ｚによって接平面連続の条件を満足するように接続
されるバッチであることを確認し得る。

（ｂ）共を境界Ｃ０Ｍ２についての接続衣に、第１のバ
ッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ及び第３のバッチＳ　（ｕｎ
　ｖｌ　３間の共有境界Ｃ０Ｍ２について、（３２）弐
〜（３４）式に対応させて（４１）弐〜（４３）式に示
すように、２つのパッチｓ　、、、　ｖｌ　、及びＳ　
（ｕｎ　Ｖｌ　２についてｕｍ１のときの曲線を表す位
置ベクトルは互いに等しくなる。因に、（２６）式及び
（２７）式において１１　ｗ　ｌとおくと、（２５）式
及び（２９）式において、０ｆＣｕ、ｖ）−０，、β（
ＬＩＩＶ）−１になる。

Ｓ　（ｕｎ　Ｉｌｌ　Ｉ　Ｉ　Ｉｌ”ｌ　”　５ｔ（ｕ
ｎ　ｖｌ　Ｉ＝　　（１−ｖ　＋　Ｖ　Ｆ）’Ｅ’　　
Ｐ　（ｏｏ＋”・・　（４１）Ｓ　（ｕｎｌＴｌｆｆ　
ｌ　ａｓｌ　−５ｔ（ｕｎｖ）ｓ＝　（１ｖ　＋　ｖ　
Ｆ）３２３Ｐ　（０１１１・・・−（４２）Ｓ　（ｕ、
ｗ、Ｉｌ　ｕ−＋　−３（ｕｎｖｌｆｆ　ｌ　ｕ−＋　
””・・（４３）従って２つのパッチの境界曲線は同じ
位置にあることが分かる。

次に（３５）弐〜（３７）式に対応させて、（４４）弐
〜（４６）式に示すように、　２つのパッチＳ　（Ｉｌ
ｌ　ｖｌ　＋及び５（Ｉｌｌ　Ｖｌ　３のｕｍ　ｌにお
ける■方向の接線ベクトルは互いに等しくなる。

”３　　（Ｌ−ｖｌｖＦ）（Ｆ−１）Ｅ’　Ｐ＜ｏｏ＋
・・・・・・（４４） ａｖ　　　１ｕ−１ａｖ　　　ｊｕ−１＝３（１−Ｖ÷
ｖ　Ｆ）（Ｆ　　１　）　Ｅ３Ｐ　、ｏ。。

・・・・・・（４５） ・・・・・・（４６） さらに（３８）弐〜（４０）式に対応させて（４７）弐
〜（４９）式に示すように、　２つのバッチＳ（ｕｎ　
ｖｌ　（及びＳ　（ｕ、　Ｖ）　、のｕｘｌにおけるＵ
方向（すなわち横断方向）の接線ベクトルは互いに等し
くなる。

＝３　　（１−ｖｌｖＦ）’　（Ｅ　　１）Ｅ”　Ｐ＋
ｏｕ・・・・・・（４７） ＝３　　（１ｖｌｖＦ）’　（Ｅ　　１）　Ｅ’　Ｐｔ
ｏｏ＋・・・・・・（４８） ・・・・・・（４９） このような（４１）弐〜（４９）式の演算結果から、第
１のパッチＳ（ｕｎ　ＩＴ）　ｌ及び第３のパッチＳ（
ｕｎ　Ｖｌ　３は、共有境界Ｃ０Ｍ２において（２５）
式及び（２９）式の第２項によって表されるサブパッチ
β（ｕ、　ｖ）　Ｓ　！　＋ＩＩＩ　Ｖｌ　ｌ及びβ（
ｕ、　ｖ）　Ｓ　！　（ａ、　ｖｌ　ｓによって接平面
連続の条件を満足するように接読されていることが分か
る。

（Ｃ１共有境界Ｃ０Ｍ３についての接続さらに第１のパ
ッチＳ　（ｕ、Ｖ）　１及び第４のパッチＳ　（ｕｎ　
ｗ＋　ａ間の共有境界Ｃ０Ｍ３について、Ｖｍ０におけ
る曲線を（３２）弐〜（３４）式に対応させて（５０）
弐〜（５２）式に示すように求めると、２つのパッチ５
（Ｉｌｌ　ｖｌ　１及びＳ　（（Ｉｎ　Ｖ）　４の境界
曲線は互いに等しくなる。因に、（２６）式及び（２７
）式においてｙ　ｍ　Ｑとおくと、（２５）式及び（３
０）式において、α（ｕ、ｖ）＝１、β（ｕ、ｖ）−０
になる。

Ｓ　ｆｌｌ＋　ｖｌ　Ｉ　Ｉ　Ｖｍ。−３ｌ（Ｉｌｌｌ
１ｌＩ　　Ｉｌｌ＠。

＝　（ｌ　　ｕ　＋　ｕ　Ｅ）’Ｐ　ｔｏｕ　　　”・
・（５０）Ｓ　（Ｉｌ＋１ｌ１４　ｌ　ｖｍ＠　−５Ｉ
　（＠＋Ｗ）４　　ｌ　Ｖｍ。

＝　　（１ｕ　＋　ｕ　Ｅ）’Ｐ　（００１−・＝　　
（５１）Ｓ　（ｕｎＶ）Ｉ　ｌ　ｖ＊０　　＝Ｓ　（ｕ
ｎＶ１４１　Ｖ”。

・・・・・・　（５２） 従って２つのパッチの境界曲線は互いに同じ位置にある
ことが分かる。

次に（３５）弐〜（４０）式に対応させて（５３）弐〜
（５８）式に示すように、２つのパッチＳ　、、、　Ｖ
）　。

及びＳ　（ｕｎ　ＩＴ）　４のｖ−０におけるＵ方向及
びＶ方向の接線ベクトルが互いに等しいことが分かる。

＝３　（１ｕｎｕＥ）”　（Ｅ−１）　Ｐ（０１１１・
・・・・・（５３） ”３　（１−ｕｎｕＥ）”　（Ｅ−１）Ｐｔｏｏ＋・・
・・・・　（５４） ・・・・・・　（５５） ＝３　　（１−ｕｎｕＥ）３　（Ｆ−１）Ｐ（ａｌｌｌ
・・・・・・　（５６） ＝３（１−ｕｎｕＥ）”（Ｆ　　　１）Ｐ（１１１１１
・・・・・・　（５７） ・・・・・・　（５８） このように、　　２つのパッチＳ　＜ｕｎ　ｖ）　Ｉ及
びＳ　（ｕｎ　ｖ、４のｖ−０における曲線のＵ方向及
びＶ方向の接線ベクトルが互いに等しいことは、当該境
界曲線に沿う方向の接線ベクトルが互いに等しいことを
表していると共に、ｙ　ｘ　Ｑにおける境界曲線を横断
する方向の接線ベクトルも互いに等しいことを表してい
る。

従って第１のパッチＳ　（ａｎ　ＩＴＩ　＋及び第４の
パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　４は、共有境界Ｃ０Ｍ３にお
いて（２５）式及び（３０）式の第１項によって表され
るサブパッチβ（Ｌｌ＋　Ｖ）　Ｓ　ｌ　（ｕｎ　ｖｌ
　ｌ及びβ（ｕｎ　Ｖ）　Ｓ　Ｉ　＋Ｉｌｌ　ｖｌ　ａ
によって接平面連続の条件を満足するように接続されて
いることが分かる。

（ｄ＋共有境界Ｃ０Ｍ４についての接続さらに第１のパ
ッチＳ　（Ｉｌｌ　ｖ）　＋及び第５のパッチＳ　（Ｉ
ｌｌ　Ｖ、５間の共有境界Ｃ０Ｍ４について、ｖ−１に
おける曲線を（３２）弐〜（３４）式に対応させて（５
９）弐〜（６１）式に示すように求めると、２つのパッ
チＳ（。＋　Ｖ）　Ｉ及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｓの境界
曲線は互いに等しくなる。因に、（２６）式及び（２７
）式においてＶ＝Ｏとおくと、（２５）式及び（３１）
式において、α（ｕ、ｖ）＝１、β（ｕ、ｖ）−０にな
る。

Ｓ　（ｕ＋ｖｌ＋　ｌ　ｖａｔ　＝Ｓ＋（ｕ＋ｖ＋＋　
　ｌ　ｖ−ｔ＝　（１−ｕ　＋　ｕ　Ｅ）’Ｆ３Ｐ　、
ｏｏｒ”＝　（５９）Ｓ（ａｎｖ）Ｓｌｙ−１−３＋ｔ
ｕ、ｖｌｓ　　Ｌ＊＋”　（１ｕｎｕＥ）３ｐ”　Ｐｔ
ｏｏ＋Ｈｊ＊ｌ”＃　（６０）Ｓ　（Ｉｌ＋ＶＩ　Ｉ　
ｌ　ｖｌ　”　Ｓ　（ｕｎｖｌｓ　ｌ　ｖａｔ・・・・
・・（６１） 従って２つのバッチの境界曲線は互いに同じ位置にある
ことが分かる。

次に（３５）弐〜（４０）式に対応させて（６２）弐〜
（６７）式に示すように、２つのバッチＳ　（ａｎ　Ｖ
）　１及びＳ　（ｕｎ　Ｎ　４のｖ−１におけるＵ方向
及びＶ方向の接線ベクトルが互いに等しいことが分かる
。

＝３　　（１ｕｎｕＥ）”　（Ｅ　　　１）　　Ｆ’　
　Ｐ（６０１・・・・・・　（６２） ”３　　（１−ｕｎｕＥ）”　（Ｅ−１）Ｆ”　　Ｐ（
＋１（１１・・・・・・　（６３） ・・・・・・　（６４） ”３　　（１−ｕｎｕＥ）’　（Ｆ−１）Ｆ”　　Ｐ（
６０＋・・・・・・　（６５） ＝３　　（１−ｕｎｕＥ）”　（Ｆ−１）Ｆ！　Ｐ（０
１１）・・・・・・　（６６） ・・・・・・　（６７） このように、　２つのバッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ及びＳＬ
、、、ｖ、４のｙ　ｗ　ｌにおける曲線のＵ方向及びＶ
方向の接線ベクトルが互いに等しいことは、当該境界曲
線に沿う方向の接線ベクトルが互いに等しいことを表し
ていると共に、ｙ　ｗ　ｌにおける境界曲線を横断する
方向の接線ベクトルも互いに等しいことを表している。

従って第１のバッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　Ｉ及び第４のバ
ッチＳ　（ｕｎ　Ｖｌ　４は、共有境界Ｃ０Ｍ４におい
て（２５）式及び（３１）式の第１項によって表される
サブパッチβ（ｕｎ　ｖ）　ＳＬ　（ｕｎ　ｖｌ　１及
びβ（ｕｎ　ｖ）　Ｓ　ｌ（ｕｎ　ｖｌ　ｓによって接
平面連続の条件を満足するように接続されていることが
分かる。

（Ｇ４）　　内部制御点の設定の仕方 第３図について上述したように、第１のバッチＳ　（ｕ
ｎ　ｖｌ　ｌは、（２５）式で示すように、互いに対向
する２組の辺に対応する２つのサブパッチα（ｕｎ　ｖ
）　Ｓ　＋　（ａｔ　ｖｌ　１　％及びβ（ｔｌ＋　Ｖ
）　Ｓ　ｔ　（ｕｎ　ｗ＋　＋で表される式の和のベク
トル関数によって表現される１枚のバッチを張ることに
より、それぞれ４つの辺の位置にある共有境界ＣＯＭＩ
、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４において、接平面連続
の条件を満足するように２次元的に隣接する四辺形パッ
チと接続することができる。

このようなバッチを四辺形枠組み空間に張る場合、四辺
形バッチの境界を表す境界曲線は、第１図について上述
したように、４つの節点Ｐ、。。２、Ｐ　＜ｊｏｘ　、
Ｐ　ｔｉ３ｚ　％　Ｐ　（。３．と、各節点間の２つの
制御点（Ｐ　＜１ｏｔ　ｌ　％　Ｐ　＋ｚｏ＋　＋　）
、（ＦＢＩ、＋、Ｐ（：１Ｚ）Ｉ）、ＣＰ、ｔゎＩ　、
Ｐ　ｆｌｌｌ＋　）、（Ｐ（。２．、Ｐ、。１．）によ
って枠組み処理を実行する際に一義的に決められている
。

これに対してバッチＳ　（ｕｎ　ＶＩ　＋の内部に設定
する制御点Ｐ　を口１１　％　Ｐ　ｕｔ）Ｉ−、Ｐ　ｎ
ｎ＋　ｓ　Ｐ　ｔｔｚｘは、実際上（２５）式のベクト
ル関数においては、４つの辺についてそれぞれ接平面連
続の条件が成り立つように、各項ごとに制御点を設定す
る。（２５）式で表されるように、Ｕ方向の接続用のサ
ブパッチによってＵ方向に隣接する２つの四辺形を接続
するように４つの制御点を内部に設定すると共に、これ
に重ね合わせるように、■方向の接続用のサブパッチに
よってＶ方向に隣接する２つの四辺形を接続するように
４つの制御点を内部に設定する。

かくして、内部に８つの制御点をもつことができること
になり、これにより大きい自由度で四辺形バッチを２次
元的に滑らかに接続し得る。

（Ｇ５）　　パッチ接続処理手順 第１図及び第３図について上述した四辺形バッチの２次
元的な接続は、これをコンピュータによって第４図に示
す処理手順を実行することにより実現し得る。

第４図において、ステップＳＰＩにおいて接続処理手順
が開始されると、コンピュータはステップＳＰ２におい
てパッチデータを読み込む、このパッチデータは例えば
デザイナが自由曲面をデザインする際に、別途３次元空
間に境界曲線網を枠組みすることにより得られる。この
枠組み処理に異常がなければ、境界曲線によって囲まれ
ている隣合うパッチは共有境界ＣＯＭをもっており、従
って以下に述べる接続処理によってこの共有境界ＣＯＭ
において各パッチを接平面連続の条件の下に滑らかに接
続することができる。

コンピュータはステップＳＰ２においてパッチデータを
読み込んだとき、３次のベジェ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる８個の制御点（
Ｕ方向及びＶ方向それぞれについて４個ずつ）を設定し
て四辺形枠組み空間の頂点にある節点と共に、パッチ内
の補間演算を実行する。

この補間演算は、例えば第３図について上述したように
、（２５）弐〜（３１）式で表されるようなサブパッチ
をそれぞれ設定することを意味する。

続いてコンピュータは、次のステップＳＰ３において、
　接続すべき５つのパッチＳ　（ａ＋ｖ目〜Ｓ（ｕｎ　
Ｖ）　５を指定した後、ステップＳＰ４に移る。

このステップＳＰ４は、第１のパッチＳ　（ａ、ｖｌ　
１及びこれに接続しようとする第２〜第５のパッチＳ　
（ＩＩＩ　ｖｌ　！　”’　Ｓ　Ｌｕ＊　ｖｌ　５につ
いて、共有境界ＣＯＭＩ〜Ｃ０Ｍ４の両端にある節点Ｐ
（。。）、Ｐ（り・）１、Ｐｎｆｆｚ、Ｐ（。、）にお
いて、制御辺ベクトルが同一平面上にあるかどうかを調
べる。すなわち節点Ｐ、。。、において制御辺ベクトル
ａ６　、ｔ）１　％　Ｃ６が同一平面になければ、接平
面連続の条件が成り立たないことになる。　同様に節点
Ｐ、。、）及びＰ　（３０１１、、Ｐ　Ｈゎ、において
制御辺ベクトルが同一平面上になければ、接平面連続の
条件が成り立たないことになる。

そこでコンピュータはステップＳＰ４において肯定結果
が得られたときには次のステップＳＰ５に進み、これに
対して否定結果が得られたときには、ステップＳＰ６に
おいて同一平面にない制御辺ベクトルを回転させること
によって同一平面上に修正した後、次のステップＳＰ５
に進む。

このステップＳＰ５は、四辺形パッチＳ　、ｕ、　Ｖ）
　。

にある２枚のサブパッチの作成順序を指定し、かくして
第２、第３、第４、第５の四辺形パッチＳ　（ｕ、ｖ、
Ｚ、Ｓ　（Ｉｌｌ　Ｖｌ　ｘ、Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　４ｓ
、　Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｓの順序で、共有境界ＣＯＭＩ
、Ｃ０Ｍ２、Ｃ０Ｍ３、Ｃ０Ｍ４における接平面連続の
条件を求めることができるようにする。

続いてコンピュータは、ステップＳＰ７に移って当該所
定の順序で四辺形パッチＳ　（ｕ、　ｖｌ　Ｉの内部に
設定すべき制御Ｉ１点を求める。かくして第３図の四辺
形パッチＳ　Ｔｕ＋　ｖｌ　１についてその４つの辺を
共有境界として隣接する４つの四辺形パッチＳ　、、、
　ｖ、　、〜Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ｓに滑らかに接続する
１つの四辺形パッチを作成することができる。

その後、コンピュータは、次のステップＳＰ８に移って
全てのパッチを接続したか否かの判断をし、否定結果が
得られたとき上述のステップＳＰ３に戻って新たに接続
すべき四辺形バッチを指定することによって上述のサブ
パッチの作成処理を繰返し実行する。

やがて全てのパッチの接続が終了して、上述のステップ
ＳＰ８において肯定結果が得られると、コンピュータは
ステップＳＰ９に移って表示装置を用いて各パッチを囲
む境界曲線の各点における法線ベクトル及びパッチ内の
等高純を表示することにより、パッチの接続が滑らかで
あるか否かをオペレータが目視確認できるように表示す
る。

この表示を見てオペレータは次のステップ５Ｐ１０にお
いて、共有境界Ｃ０Ｍ１〜Ｃ０Ｍ４上の法線ベクトルが
隣接する四辺形パッチについて互いに一致しているか否
かを確認でき、一致していない場合にはステップ５ＰＩ
Ｉにおいてその原因を調べ、必要に応じて数値的な修正
を行う、かくして一連のパッチ接続処理手順をステップ
５２１２において終了する。

（Ｇ６）他の実施例 （ａｌ　　なお上述の実施例においては、枠組み空間に
３次のベジェ式で表されるパッチを張る場合について述
べたが、数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良
い。

（ｂ）　　さらに上述の実施例においては、ベジェ式に
よって表されるパッチを張るようにした場合について述
べたが、これに限らず、スプライン式、クーンズ（Ｃｏ
ｏｎｓ）式、フオーガソン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式など
の他のベクトル関数を用いるようにしても良い。

（Ｃ１また、上述の実施例においては、四辺形パッチＳ
　（ｕｌ　ｖｌ　１の４つの辺に四辺形パッチＳ　（＊
＋　ｖｌ　Ｅ〜Ｓ　（ｕｌ　ｖ）　Ｓを接続した場合の
実施例について述べたが、四辺形パッチＳ　（ｕｎ　Ｖ
）　ｌの４つの辺に接続するパッチの形状は、四辺形に
限らず、例えば三辺形等の他の形状であっても良く、こ
のようにしても四辺形パッチＳ　（ｕｌ　ＩＴＩ　ｌの
４つの辺を共有境界として接平面連続の条件を満足する
ような２次元的な接続をＵ方向及びＶ方向接続用バッチ
を用いて実現し得る。

この場合には、四辺形枠組み空間の間に、三辺形枠組み
空間が混在する場合にも、これを２次元的に容易に接続
することができることを意味しており、かくして例えば
物体の角部の形状として丸味を帯びた自由曲面を生成す
る場合に有効に適用し得る。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、枠組み処理によって２次
元的に任意の方向に拡がる境界曲線網に自由曲面を張る
につき、空間に設定された節点に基づいて境界曲線網を
形成した場合に、１つの四辺形パッチを囲む４つの共有
境界について、接平面連続の条件を満足するような制御
点をＵ方向及びＶ方向についてそれぞれサブパッチを求
めて重ね合わせるように設定できるようにしたことによ
り、２次元的に順次法がって行く枠組み空間に対して大
きい自由度で実用上十分に滑らかに接続された自由曲面
を容易に作成することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法を用いて２つの
四辺形バッチを接続する方法を示す路線図、第２図は接
平面連続の条件の説明に供する路線図、第３図は四辺形
バッチの各辺の接続関係を示す路線図、第４図はバッチ
接続処理手順を示すフローチャートである。 Ｓ　（ｕｌ　％ｌｌ　Ｉ　”　Ｓ　（ＩＩＩ　ＩＴ）　
Ｓ　”’　”’四辺形バッチ、ａ０〜ａ　３　、ｂ　１
〜ｂ＝、ｃ０〜ｃ３・・・・・・制御辺ベクトル、Ｐ＋
ｏｏ＋、Ｐ　ｃｏｓ）、Ｐ　（１０１１、Ｐ　（ｆｆ！
＋　１　、Ｐ　（３０１！　、Ｐ　Ｃ３４１１ｆｆｉ　
”””節点、Ｐ（Ｉｌｌ）、Ｐ　（ｏｚ＋、Ｐ　（１１
１１１〜Ｐ　＜Ｉｆｆｚ　、Ｐ　（＋ｔｎｔ　−Ｐ　（
＋ｘ）ｔ、Ｐ（１１目〜Ｐ（Ｋｌ）＋＼Ｐ　（■）ｔ　
Ａ′Ｐ　（！寞）χ°°°°゛制御点、ＣＯＭ、ＣＯＭ
Ｉ　〜Ｃ０Ｍ４−−−−−−共有境界。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより、自由曲面を生成するよ
   うになされた自由曲面作成方法において、 上記枠組み空間として、互いに対向する第１及び第２の
   境界曲線、第３及び第４の境界曲線で囲まれた四辺形枠
   組み空間を含むように枠組み処理を実行し、 上記四辺形枠組み空間に張る四辺形パッチを、上記第１
   及び第２の境界曲線を共有境界として隣接する第１及び
   第２の隣接パッチに接平面連続の条件を満足するように
   接続する第１のサブパッチと、上記第３及び第４の境界
   曲線を共有境界として隣接する第３及び第４の隣接パッ
   チに接平面連続の条件を満足するように接続する第２の
   サブパッチとを重ね合わせ合成することにより生成する
   ことを特徴とする自由曲面作成方法。