JPS62271067A - 自由曲面表示方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ３、発明の詳細な説明 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図）Ｆ作用（第１
図） Ｇ実施例（第１図〜第７図） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面表示方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又はＣ
Ａ　Ｍ　（ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆ
ａｃｔｕｒｉｎｇ）において、生成された自由曲面の形
状を確認する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、ＣＡＤ又はＣＡＭなどにおける自由曲面表示
方法において、パッチの境界曲面上に、法線ベクトルを
表示することにより、互いに接続されたバッチ相互間の
接続状態を容易に目視確認できるようにし得る。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて、自由曲面をもった物体を
形状をデザインする場合、一般に、デザイナは曲面が通
るべき３次元空間における複数の点を指定し、当該指定
された複数の点を結ぶ境界曲線網を、所定の関数を用い
てコンピュータによって演算させることにより、いわゆ
るワイヤーフレームで表現された曲面を作成する。かく
して境界曲線によって囲まれた多数の枠組み空間を形成
することができる（このような処理を以下枠組みと呼ぶ
）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を利用して所
定の関数によって表現できる曲面を補間演算することが
できれば、全体としてデザイナがデザインした自由曲面
（２次関数で規定できないものを言う）を生成すること
ができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は全体の
曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチと呼ぶ
。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現する数式として、計算が容易な例えばベジェ（Ｂｅ
ｚｉｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｂ　−５ｐｌｉｎｅ）式
でなる３次のテンソルが使われており、例えば形状的に
特殊な特徴がないような自由曲面を数式表現するには最
適であると考えられている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで、境界曲線網を構成する各枠組み空間にパッチ
を張ることによって生成された自由曲面が、デザイナが
デザインしようとした形状と一敗するか否かを確認する
ためには、生成された自由曲面データを表示装置の表示
画面上に表示させ、表示された自由曲面の形状を目視１
１１１認する手法が従来から用いられているが、２次元
的な表示画面上に３次元的な自由曲面の形状を表示する
ため、表示形状の凹凸を正しく読み取ることが困難な場
合が多い。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、境界曲線
網を構成する各枠組み空間に張られたパッチを囲む境界
曲線における形状を開明に目視確認できるような表示要
素を用いることにより、生成された自由曲面の形状を格
段的に容易にｌ＋１！認できるようにした自由曲面表示
方法を提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては枠組み処
理によって境界曲線で囲まれる多数の枠組み空間を形成
し、枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパッチ
Ｓ　（Ｉｌｌ　ｖ）　１、Ｓ　、ｕ、　Ｖ）　、を張る
ことにより生成した自由曲面を表示装置に表示するよう
になされた自由曲面表示方法において、生成された自由
曲面を表示装置によって表示する際に、各パッチＳ　Ｔ
ｕ＋　ｖｌ　ｌ　％　Ｓ　（ｕｓ　ｖｌ　２の境界曲ｂ
ｉ　ｃ　。

Ｍ上に当該境界曲線ＣＯＭ位置における各パッチＳＴｕ
＋　Ｖｌ　ｌ、Ｓ　（ｇ、　ｗ、ｚの法線ベクトル表示
要素ＤＩＳを表示することにより、互いに隣接するパッ
チＳ　（ｕｎ　ｖｌ　イＳ　（ｕｎ　ｖ）　２の接続状
態をＴｌｉ認し得るようにする。

Ｆ作用 生成した自由曲面を表示装置上に表示する際に、各パッ
チＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ、Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　Ｚの境界
曲線Ｃ０Ｍ上に法線ベクトル表示要素ＤＩＳが表示され
る。

法線ベクトル表示要素ＤＩＳは各パッチＳ　（Ｉｌｌ　
ｖ）　ｌ　％　Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　ｔの境界曲線ＣＯＭ
位置における形状を表し、パッチＳ　、、、　Ｖ）　、
及びＳ　＜ｕ、　Ｖ）　２の法線ベクトル表示要素ＤＩ
Ｓが互いに重なり合っていれば、パッチＳ　＋ｕ＋　ｖ
）　ｌ及びＳ　（Ｉｌｌ　ＶＩ　２が接平面連続の条件
の下に滑らかに接続されていることを目視確認し得、こ
れとは逆に重なり合っていなければパッチＳ　（ｕｎ　
ｖ）　Ｉ及びＳ　（ｕ、ｖｌ　２が接平面連続の条件を
満足しないような状態で接続されていることを目視確認
し得る。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）バッチ接続の原理 この実施例において、枠組みされた境界曲線及び枠組み
空間に張られるパッチを次式のベクトル関数Ｓ　（ｕｎ
　Ｖ）、 Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　＝　（１ｕ　＋　ｕ　Ｅ）”・（Ｉ
　　Ｖ　＋　ｖ　Ｆ）”Ｐ　（６１１）　・・・・”　
（１）で表される３次のベジェ式を用いて表現する。

ここでＰ、。。、は、第１図に示すように、隣合う枠組
み空間に張られた曲面すなわち第１のパッチＳ　（ｕ、
　Ｖ）　、及び第２のパッチＳ　（、、Ｖ）　、が共に
保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一端の位
置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置ベクト
ルでなる制御点Ｐ（。。、を基準にして、第１及び第２
のパッチＳ　ｌｕ＋　ＩＩ）　Ｉ及びＳ　（（ＩＩ　Ｉ
Ｔ）　を上の自由曲面を表現する。

また、（１）式においてＥＳＦはシフト演算子で、パッ
チＳ　（ｕｎ　ｖ）　１及びＳ　（ｕ、　Ｖｌ　を上の
位置ベクトルで表される制御点Ｐ　（１＋　ｊｌ　に対
して次式、Ｅ−Ｐ山、）　＝　Ｐ　（ａ　＊　ｌ　＊　
ｊ）　　　　　・・・・・・（２）Ｆ　Ｉ　Ｐ　（ム、
Ｊ）＝　Ｐ　（五、Ｊ−１）　　　　　　　　　−−（
３）の関係をもつ。

さらに（１）式において、ｕ、ｖはθ〜１の間の値を変
化するパラメータで、第１図に示すように、′ｔＩ！Ｊ
１及び第２のパッチＳ　（Ｉｌｌ　Ｉｌｌ　ｌ及びＳ　
ｌｕ＋　Ｖ）　２に対してそれぞれ制御点Ｐ、。。、か
ら横方向にＵ軸をとり、かつ縦方向にＶ軸をとった座標
（ｕ、　　ｖ）を用いてパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　Ｉ及
びＳ　、、、　Ｖ）　、内の自由曲面上の座標を表すこ
とができる。

さらに（１）式においてｍ及びｎは、ベジェ曲面を、ｍ
次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表している
。　第１図の場合ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のベジ
ェ式を用いて自由曲面を表現するようになされ、　かく
してＳ　（ｕｎ　ｖｌ　１は１６個の制御点、　すなわ
ちＰ、。。、〜Ｐ、。、いＰ、１゜、。

”−Ｐ　　（１３１１、Ｐ　　ｎａ＋＋　　　””Ｐ　
　（２３１１％　　　Ｐ　　（＊ｏ＞ｔ　　　〜ＰＣ３
３１＋で表現されることになる。また第２のパッチＳ　
（、、ｖ）　ｚも同様にして１６個の制御点Ｐ（。。、
〜Ｐ　（ｏｓ）−、Ｐ　＋ｔｏ＞ｚ　−Ｐ　（Ｉｙｎｔ
　ｓ　　Ｐ　＜ｔｏ１ｔ〜Ｐ　＜ｔｓ）ｔ　−、Ｐ　＜
ｓｏ＞　ｔ　”　Ｐ　＜ｓｓ＞　ｚによって表現するこ
とができる。

このような２つのパッチ５（ａｎ　ｖｌ　ｌ及びＳ　（
ｕｎ　ｖｌ　ｇは、デザイナによる枠組み処理によって
、作られた境界曲線網上に張られており、この２つのバ
ッチ間に共有境界ＣＯＭをもっている。ここで、各境界
曲線に沿って設定された制御点は、枠組み処理時に各境
界曲線を３次のベジェ式で表すために設定され、各境界
曲線の両端間に４つの制御点が指定されている。これに
対して境界曲線によって囲まれた枠組み空間内部の制御
点は、当該枠組み空間に自由曲面を張るために３次のベ
ジェ式を用いて補間演算するために設定される。かくし
て各枠組み空間の曲面は、１６個の制御点によって表さ
れる。

ところで、枠組み処理によって形成された境界曲線網の
多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張って
パッチを生成した場合、隣合うパッチの共有境界におけ
る曲面は一般に滑らかにはならない、そこでこの実施例
においては、２つのパッチＳｌｕ＋　Ｖ＞　１及びＳ　
（ｕｎ　ｖ＞　ｔを、共有境界ＣＯＭにおいて滑らかに
接続するように、各パッチの制御点を設定し直して、こ
れらの制御点を用いてパッチに張るべき自由曲面を補間
演算する。これにより、境界曲線網に枠組みされた曲面
全体に亘って全てのパッチを滑らかに接続して行（こと
ができることにより、多ぐの物体の外形形状を自然に表
現できる。

この共有境界ＣＯＭにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトルａ、、ａｚ　％　ｃｉ
　、’ａｔを求めて実現される。制御辺ベクトルａｏ　
、ａｔ　、ａｘ　、Ｇ３は制御点Ｐ（１１０１、Ｐ（。

８）、Ｐ、。２いＰ、。３．から第１のパッチＳ　（Ｌ
Ｌ＋　Ｖ）　ｌの隣の制御点Ｐ　ｔｌｏｔ　ｌｓ　　Ｐ
　（ＩＩ）　Ｉ、Ｐ　ｕｚ＞　＋　、Ｐ　（＋３１１に
向かうベクトルで表される。

また、制御辺ベクトルＣ１）％　ＣＩ　％　Ｃ２、ｃｍ
は、制御点Ｐ、。。１、Ｐ（。ｌ）、Ｐ、。２．、Ｐ、
。１．から第２のパッチｓ　（ｕ、　ｖｌ　、の隣の制
御点Ｐ　（１０）！　ｓＰ　（１１１２、Ｐ　（１２）
！　％　Ｐ　（１３１１に向かうベクトルでなる。さら
に制御点ベクトルｂ、　、ｂ、　、ｈ。

は、制御点Ｐ、。。、からＰ、。、）に向かうベクトル
、制御点Ｐ、。３．からＰ（。２）に向かうベクトル、
制御点Ｐ（。２．からＰ、。１．に向かうベクトルでな
る。

ａｓｓ　ａ３−ｂ、　−、ｂｔ〜ｂ３ｓ　Ｃ＠ＳＣ３は
枠組みとして設定されているため接平面連続条件を使っ
てａｎ　、ａｘ　、Ｃｔ　、Ｃｔを求めることにより内
部の制御点Ｐ　（ＩＩ）Ｉ　％　Ｐ　（１！＋１　ｓ　
Ｐ　（ＩＩ＞！　ｓＰ（１１１ｇを求める。接平面連続
の条件は、第１に共有境界ＣＯＭの線上の各点について
、第１のパッチＳｌｕ＋　ｖｌ　＋のＵ方向の接線ベク
トルと、第２のパッチＳ　ｆｕｎ　ｖｌ　ｔのＵ方向の
接線ベクトルと、第２のパッチＳ　、、、　Ｖ）　ｔの
Ｖ方向を指定する共有境界ＣＯＭの接線ベクトルとが同
一平面上に存在することである。ここで接平面は、共有
境界の各点でのＵ方向及びＶ方向の接線ベクトルによっ
て形成される平面を呼び、従って共有境界の各点におい
てパッチＳ　（ａｎ　ＩＴ）　ｌ及びＳ　（ＩＩ＋　Ｉ
Ｐ）　Ｒの接平面が同一のとき、接平面連続の条件が成
り立つ。

すなわち、共有境界Ｃ０Ｍ上の任意点Ｐ、。７．につい
ての接平面連続の条件は、第２図に示すように決められ
る。すなわちパッチ５（ｕｎ　Ｖ）　１について、共有
境界ＣＯＭを横断する方向（すなわちＵ方向）の接線ベ
クトルＨ１、及び共有境界ＣＯＭに沿う方向（すなわち
Ｖ方向）の接線ベクトルＨｂの法線ベクトルｎ、は、 ｎｔ＝Ｈ，ＸＨｂ　　　　　　　　　＋＋＋＋　（４Ａ
）で表され、またパッチＳ　（Ｕ＋　Ｖ）　、について
、共有境界ＣＯＭを横断する方向の接線ベクトルＨｃ及
び共有境界ＣＯＭに沿う方向の接線ベクトルＨ１の法線
ベクトルｎｔは、 ｆｌ　ｔ　＝　Ｈｃ　Ｘ　Ｈｂ　　　　　　　　　　−
−（４Ｂ）で表される。

このような条件の下に、接平面連続というためには、接
線ベクトルＨ，、Ｈｂ及びＨｃｌＨｂが同一平面上に存
在しなければならず、その結果法線ベクトルｎ１及びｎ
２は同一方向に向くことになる。

ここで、 かかる接平面連続の条件を満足する数式を次式で表す。

（６）式においてａＳ　（ｕｎ　ＶＩ　Ｉ　／　ａｕ及
びａＳ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚ／　ａ　ｕは、それぞれ共有
境界Ｃ０Ｍ上〕点ニおけるパッチ５（ｕｎ　Ｖ）　！及
びＳ　（、、ｖｌ　ｚのＵ方向の接線ベクトル（すなわ
ち横断接線ベクトル）を表し、（１）式を１階偏微分す
ることにより、・・・・・・　（７） ・・・・・・　（８） になる。ただし、 ａｊ＝ｐ（ｉｌＩ　　Ｐｔｏ＝＋ （ｊ＝Ｑ、１．２．３）　・・・・・・（９）ｃｊ＝ｐ
Ｈ１２Ｐ（。４） （ｊ＝ｏ、ｌ、２．３）　・・・・・・（１０）である
。

またａＳ　＋ｕ、Ｖ）　Ｉ　／　ａ　ｖは、共有境界Ｃ
０Ｍ上のパラ＋　Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　ＩのＶ方向の接線
ベクトルで、（１）式を１階偏微分することにより、 ・・・・・・　（１１） になる。ただし、 Ｊ＝Ｐ　（ｏＪｒ−Ｐ　＜ｏｊ−＋＞　　（ｊ　−１、
２，３）・・・・・・（１２） である。

また（６）式のスカラ関数λ（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν（ｖ
）として λ（ｖ）−（１−ｖ）＋　ｖ　　　　　　　・・・・・
・（１３）μ（Ｖ）＝　に＋（１−ｖ）　＋　にｇＶ　
　　＊＊＋＋＋＋　（１４）ν（Ｖ）＝η＋（１ｖ）” ＋（η１＋ηｇ）　（（１−ｖ）・Ｖ〕＋η　ｖｔ　　
　　　　　　　　　・・・・・・　（１５）に選定して
これを（６）式に代入する。

（１３）弐〜（１５）式のスカラ関数λ（Ｖ）、μ（Ｖ
）、ν（Ｖ）は、数式の形として、　（１−■）の項及
びＶの項と、その積の項とをもち、μ（Ｖ）及びν（Ｖ
）には、未知数に１、に２及びη１、η８を含んでいる
。かくして（１３）弐〜（１５）式を（６）式に代入し
て展開したとき、（６）式の右辺及び左辺が共に、（１
−Ｖ）’、Ｖ（１−■）３、Ｖ”（１−Ｖ）”、Ｖ’（
１−ｖ）　、ｖ’の項の和の形に整理できるようにする
。かくして（６）式に対して、（７）式、（８）式、（
１１）式と、（１３）式、（１４）式、（１５）式とを
代入して整理した各項ごとに、係数部が互いに等しくな
るように未知数ｘ１、に２及び　η３、η２を選定すれ
ば、結局共有境界ＣＯＭにおいて、接平面連続の条件を
満足させることができるような制御辺ベクトルａｌ　ｓ
、　ａｘ　、ｃｌ　、Ｃ！を設定することができる。

実際上、（６）式の各項の係数部を互いに等しいとおく
と共に、（７）式、（８）式、（１１）式に含まれてい
るＦを（２）式の関係から消去すれば、（１−Ｖ）’、
Ｖ（１−ｖ）”、Ｖ”（１−Ｖ）”、Ｖ３（１−Ｖ）　
、ｖ４の項の条件からｃｏｘに、ａ、＋η、ｂ、　　　
　　　＋＋ｅｍ　（１６）３ｃ、＋ｃｏ＝３　に、ａ、
＋に＝ａ。

＋２η＋ｂｔ＋（η、＋ηｚ）ｂ＋ ・・・・−（１７） ３Ｃｔ”３Ｃ＋＝３に＋ａｚ＋３にｚａ＋十ηｔ　ｂｓ
＋　２　（η１＋η２）ｂ２＋ηｚ　ｂ　＋　　　　　
　　　　　・・・・・・（１８）ｃ３＋３ｃ、＝に、ａ
、＋３　に、ａ。

＋（η、＋ηｚ）ｂｉ＋２　ηｚｂ２ ・・・・・・　（１９） Ｃ３＝　に、ａ、＋　ηｚｂｉ　　　　　　　　＋＋＋
＋＋　　（２０）の関係を得ることができる。

（１６）式より未知数に１、η１が決まり、（２０）式
より、未知数に２、η８が決まり、（１７）弐〜（１９
）式よりａｌ　、ａ、　、Ｃ１、Ｃ２を決めることがで
き、その結果（６）式に基づく接平面連続の条件を満足
させながら第１及び第２のパッチＳ　＜ｕｎ　ｖｌ　＋
及びＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｚを滑らかに接続することがで
きる。

（Ｇ２）　１次元的な接続方法 このように（１）式で表されたベジェ曲面のうち、３次
式の数式を用いて２つのパッチの共有境界を連続的に接
続することができるが、この実施例においては、かかる
数式表現によって第３図に示すように１方向（例えば横
方向）に複数のパツチ・・・・・・ＳＥＩ、ＳＲ２、Ｓ
Ｒ３、ＳＲ４、ＳＲ５・・・・・・を順次接続して行く
ことによって全体として帯状に接続する自由曲面を生成
して行く。

そのため、（１６）弐〜（２０）式において、Ｃ０、Ｃ
１、Ｃ２、Ｃｍを消去した後、次式 ％式％） で示すように、第１のパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ　Ｉ
Ｎの制御辺ベクトルａ０〜ａ、のみで表される式を得る
。

ここで、第２項を０とおけば、制御辺ベクトル３０〜ａ
３について ａｏ　　３３．＋　３８ｔ　　ａｓ＝　０　　−−　（
２２）の関係があれば接平面連続の条件式を満足するこ
とが分かる。

ここで、（２２）式の関係から、枠組みの際に既知の制
御辺ベクトルａｏ　、Ｒ３を用いて制御辺ベクトルａ、
　、ａｌを求めれば、　接平面連続の条件式を満足する
パッチＳ　ｊｕｔ　Ｖ）　Ｉの内部の制御点Ｐ　（１＋
）　Ｉ　、Ｐ　（Ｉゎ、を決めることができる。

別の方法として、制御辺ベクトルａ０、ａｌ、ａ　ｔ　
、ａ　３をその変化率が一定となるように設定すると、
制御辺ベクトルａ０及び８２間にある制御辺ベクトルａ
１は、 のように表し得ると共に、制御辺ベクトルａ１及び１５
間にある制御辺ベクトルａ２は、のように表し得る。そ
して（２３）式及び（２４）式を（２２）式に代入する
ことにより、制御辺ベクトルａ、、％　ａ、　、ａｔ　
、ａ、、をその変化率が一定になるように設定すれば、
（２２）式の関係を満足させることができることが分か
る。

次に（１６）式を（１７）式に代入すると、次式にニー
　に覧 Ｃ１−に、ａ　、＋　　−ａ　６ によって第２のパッチＳ　＜ｕｎ　ｗ＋　！の制御辺ベ
クトルｃ、を得ることができ、また（２０）式を（１９
）式に代入することにより、次式 ％式％ によって第２のパッチＳ　（ｕｎ　Ｖ）　ｔの制御辺ベ
クトルＣ２を求めることができる。

（２５）式及び（２６）式に、（２３）式及び（２４）
式を代入すれば、制御辺ベクトルｃ、及びＣｍはＣ，＝
二〔に＋ａｓ＋（に１＋に２）ａ０＋２ηｔｂｚ＋ηｚ
ｂ＋）　　　　　　−−（２７）Ｃｍ　　＝　　　　　
　（にｚａｏ＋（Ｖ＋十Ｋｚ）ａｚ＋２ηＺｂＺ＋η１
ｂ１〕　　　　　・・・・・・　（２８）のように、　
既知の制御辺ベクトルａ　６　％　ａ　３、ｂ、　、ｂ
、、ｂ、によって表されることになる。

（Ｇ３）枠組みの形態による条件 ところで、制御辺ベクトルＣ，、Ｃｍの値は、枠組み処
理によって形成された共有境界ＣＯＭの両端位置の接点
を構成する制御点Ｐ、。。、及びＰ、。１．における制
御辺ベクトルａ＠　、ｂ、　、Ｃ（１及びａ、、　、ｂ
＝　、Ｃｍの関係によって異なる影響を受ける。　そこ
で、枠組みの形態を３つの類型に分類し、各類型ごとに
第１及び第２のパッチＳ　（、、、Ｖ）　、及びＳ　（
ｕｎ　ｖｌ　２の制御辺ベクトルａ１、ａ２及びＣＩ、
ＣＩを決める。

この実施例の場合、制御辺ベクトルａ　１　、ａ　ｚ及
びＣＩ、Ｃ１を決める手法として、次に述べるように、
一方の制御辺ベクトルａ　１　ｓ　ａ　ｚを変更せずに
他方の制御辺ベクトルのみを変更することにより、接平
面連続の条件を成立させるようにする。

すなわち枠組みの形態は、共有境界ＣＯＭの両端の接点
となる制御点Ｐ、。。、及びＰ、。、）において、２つ
のパッチＳ　（＠＋　ＩＰ）　Ｉ及び５（ａｎ　Ｖ）　
ｔの方向に向かう制御辺ベクトルａ　ｅｋ　％　Ｃ＠及
びａｓ、ｃ＝が互いに平行であるか否かによって分類す
る。

（１１両方が平行の場合 第３図において共有境界ＣＯＭＩによって示すように、
共有境界ＣＯＭＩの両端の制御点Ｐ（。。。

及びＰ（。３）において、２つの制御辺ベクトルａ（、
、Ｃ０及びａ　３　、Ｃ３がそれぞれ平行である場合、
接平面連続の条件を満足するためには、（１６）式及び
（２０）式においてη、及びＩ！はη１＝０、η２＝０
　　　　　　　　　　　・・・・・・　（２９）でなけ
ればならない。

この条件を（２７）式及び（２８）式に代入すると、に
１及びに２が互いに等しくない場合には、制御辺ベクト
ルＣ，及びＣＩは次式 ％式％）） として求めることができる。

これに対してに１及びに２が互いに等しい場合には、に
１＝に２＝にとおいてこれを（３０）式及ヒ（３１）式
に代入することによって ｃ、　＝二（にａ３＋２にａｏ）　＝・＝　（３２）ｃ
ｔ＝　　−＜ｇ　ａｏ−１−２ｇ　ａ３）　　”−・（
３３）と表すことができる。

従って制御点Ｐ（。。、及びＰ（。３．においてＵ方向
に向かう制御辺ベクトルが共に平行になるように枠組み
された２つのパッチ間を接平面連続の条件によって接続
するためにはζ一方のパッチの制御辺ベクトルａ、、　
、ａ３に対して、他方のパッチの制御辺ベクトルＣｌ５
Ｃ！を、（３０）式、（３１）式及び（３２）式、（３
３）式で表すような関係に選定すれば良い。

（２）一方が平行でない場合 第３図において共有境界Ｃ０Ｍ３について示すように、
第１に、一方の節点でなる制御点Ｐ、。。。

の制御辺ベクトルａＯ１ｃ・が互いに平行でない場合に
は、η８、η２の関係は、（１６）式及び（２０）式か
ら η１≠０、ηｚ＝０　　　　　　　　・・・・・・（３
４）にならなければならず、これを（２７）式及び（２
８）式に代入する。ここでに１及びに２が互いに等しく
なければ、制御辺ベクトルＣｔ及びｃｔは、（、＝　　
　　（に＋３３＋（に１＋にｚ）ａ。

＋２η＋ｂｔ）　　　・・・・・・（３５）Ｃｍ　＝　
　　　（にｔａｏ＋（に寞十に２）ａ３＋η１ｂ、〕　
　　・・・・・・（３６）のように、制御点Ｐ（。０）
及びＰ、。１．においてＵ方向の制御辺ベクトルａ０及
びａ３と、共有境界Ｃ０Ｍ３に沿うＶ方向の制御辺ベク
トルｂ、　、ｂ３とによって決まる関係に設定すれば、
接平面連続の条件を満足させながら２つのパッチを接続
することができる。

これに対してに１及びに２が互いに等しい場合には、（
３５）式及び（３６）式においてに、＝に２＝にとおけ
ば、 Ｃ＋　　＝　　　　ＣＩＣ３，＋　２　ＩＣ３，＋　２
７＋ｂｚ）・・・・・・（３７） ｃｚ　＝　　　　Ｃｇ　ａ、＋２　ｇａ３＋７７＋ｂｓ
）・・・・・・（３８） と表し得る。

また第２に、第３図において共有境界Ｃ０Ｍ３について
示すように、　他方の節点でなる制御点Ｐ（。、）の制
御点ベクトル”２、Ｃ３が互いに平行でない場合には、
η１、Ｉ！の関係は、（１６）式及び（２０）式から η１＝　０、　ηｚ＃　ｏ　　　　　　　　　　　　　
１軸　（３９）にならなければならず、これを（２７）
式及び（２８）式に代入する。ここでに、及びＩｃ２が
互いに等しくなければ、制御辺ベクトルＣ１及びＣｍは
、ｃｔ”　　　　（にＩａ３＋（に１＋にｚ）ａ。

＋ηｚｂ＋）　　　　・・・・・・（４０）ｃｔ＝　　
　　（ｘｔａｏ＋（＆＋＋にＪａ：＋＋２η２ｂよ〕　
　・・・・・・（４１）のように、制御点Ｐ、。。）及
びＰ、。１．におけるＵ方向の制御辺ベクトルａ０及び
ａ、と、共有境界Ｃ０Ｍ３に沿うＶ方向の制御辺ベクト
ルｂ、　、ｂ。

とによって決まる関係に設定すれば、接平面連続の条件
を満足させながら２つのパッチを接続することができる
。

これに対してに、及びに２が互いに等しい場合には、（
４０）式及び（４１）式においてに１＝に：＝にとおけ
ば、 ｃ、　＝二（にａ、＋２χａ、＋ηｔｂυ・・・・・・
　（４２） Ｃｚ　　”　　−（にａ６＋　２ｔｃ　３３＋　２　η
ｚｂｔ）・・・・・・　（４３） と表し得る。

（３）両方が平行でない場合 第３図において共有境界Ｃ０Ｍ２で示すように、両端の
節点でなる制御点Ｐ（。。、及びＰ、。１．におけるＵ
方向の制御辺ベクトルａＯ、Ｃ６及びａ３、Ｃ３がそれ
ぞれ互いに平行でない場合、η１及びη２の関係は、（
１６）式及び（２０）式からη１≠０、η２≠Ｏ・・・
・・・（４４）の関係になければならない。

ここでに、及びに２が互いに等しくないときには、次式 ％式％） で示すように、（２７）式及び（２８）式で表される関
係と同じ条件で、制御辺ベクトルＣ，及びｃ２が求めら
れる。

これに対してに、及びに２が互いに等しいときには、（
４５）式及び（４６）式においてに１＝に２＝にとおく
ことにより、制御辺ベクトルｃ１及びｃｚは Ｇ＋　＝　　　　（にａｓ”　２　ＩＣ３０＋　２７７
＋ｌ）ｚ＋η２ｂ、）　　　　・・・・・・（４７）＋
η、ｂ、）　　　　　　・・・・・・　（４８）のよう
に表すことができる。

このようにして節点の制御点Ｐ（。。）及びＰ、。、。

におけるＵ方向の制御辺ベクトルが互いに等しくないと
きには、（４５）式、（４６）式又は（４７）式及び（
４８）式によって表される関係に制御辺ベクトルＣ８及
びＣ２を選定することによって２つのパッチを接平面連
続の条件によって接続することができる。

（Ｇ４）パッチ接続処理手順 （Ｇ４−１）データの設定 第３図に示すように、パッチを帯状に１次元的に接続す
る処理は、これをコンピュータによって、第４図に示す
処理手順を実行することにより実現し得る。

第４図において、ステップＳＰＩにおいて接続処理手順
が開始されると、コンピュータはステップＳＰ２におい
てパッチデータを読み込む。このパッチデータは例えば
別途デザイナが自由曲面をデザインする際に、３次元空
間に境界曲線網を枠組みすることにより得られる。この
枠組み処理に異常がなければ、境界曲線によって囲まれ
ている隣合うパッチは共有されている境界曲線すなわち
共有境界ＣＯＭをもっており、従って以下に述べる接続
処理によってこの共有境界ＣＯＭにおいて２つのパッチ
を接平面連続の条件の下に滑らかに接続することができ
る。

コンピュータはステップＳＰ２においてパッチデータを
読み込んだとき、３次のベジェ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる１６個の制御点
を設定してパッチ内の補間演算を実行する。ここで、境
界曲線周りの制御辺ベクトルが補間演算の基準位置デー
タに用いられる。

かくして第１図について上述したように、共有境界ＣＯ
Ｍについて、その両端の節点でなる制御点Ｐ（。。、及
びＰ　１（１３＋と、　この制御点Ｐ、。。、及びＰ（
＋１３１間の２つの制御点Ｐ（。１）及びＰ、。。とが
設定される。

同様にして他の境界曲線についても、節点Ｐ、。。、及
びＰ（１１１）１間、Ｐ（３゜、Ｉ及びＰｏ、３間、Ｐ
（３３）１及びＰ（ｏｘｚ間・Ｐ（０１１＋及びＰ（３
０）２間・Ｐ１３０）！及びＰ（１３８間、Ｐ（！。２
及びＰ、。２１間にそれぞれ制御点Ｐｆ１゜１．及びｐ
（ｔ。）８、ｐ、コ１）直及びＰ（３２目・Ｐ（言３目
及びＰ（Ｉコ）軍・ｐ＋ｔｏ＋ｚ及びＰ　＋ｚｏ、ｚ　
、Ｐ　＜３１．ｚ及びｐｔｓｔ＞ｚ、Ｐ（ｔコ）を及び
Ｐ（１３）！が設定される・このようにして隣合う２つ
のパッチＳ　（ｔｌ＋　Ｖ目及びＳ　ｊｕｔ　Ｖ）　！
の境界曲線についてそれぞれ３次のベジェ式を表す４つ
の制御点が指定されると共に、４つの境界曲線に囲まれ
た各パッチの内部に、各境界線について両端の節点間に
指定された２つの制御点に対応する４つの制御点Ｐ　（
Ｉ　ｔ）１　％Ｐ　（！Ｉｌｌ　、Ｐ　（１□＋ｔ　−
、Ｐ　（１１目、Ｐ　１１１１！、ｐ＜ｔいｔ、Ｐ、、
ゎｔ　、Ｐ　、ｔｔｒｔが指定される。

（Ｇ４−２）制御辺ベクトルの演算 かくして隣合う２つのパッチＳ　、ｕ、　ｖ、　、及び
Ｓ（。、ｖ）２に対して３次のベジェ式で表された曲面
をそれぞれ張ることができる。

コンピュータはこの２つの曲面について、その共有境界
ＣＯＭを挟んで指定されている制御点によって構成され
る制御辺ベクトルａ０〜ａ８、ｂ、〜ｂ　３　、ＣＯ〜
Ｃ３を用いて２つのパッチが接平面連続の条件を満足す
るように共有境界Ｃ０Ｍの節点の制御点Ｐ、。。、及び
Ｐ、。１１間の制御点Ｐ（。６．及びＰ、。２）から各
パッチ内部の中間制御点Ｐ（１１１１％　Ｐ＋ｔｎ＋及
びＰ　（１１１２％　Ｐ　（１２）２に向かう制御辺ベ
クトルａｌ、ａＺ及びｃ、、ｃ、を演算し直すことによ
って、１次元的な接続を以下に述べるステップによって
実現する。

すなわちコンピュータは次のステップＳＰ３において、
　接続すべき２つのパッチＳ　（ｕ＋　ｖ目及びＳ　（
ｕ＋ｖ□を指定した後、ステップＳＰ４に移る。

このステップＳＰ４は、　接続しようとする２つのパッ
チの共有境界ＣＯＭの両端にある制御点Ｐ、。。、及び
Ｐ、。３．において、制御辺ベクトルが同一平面上にあ
るかどうかを調べる。　すなわちＩＩ？ａｉ　点Ｐ　（
。。）において制御辺ベクトルａ０、ｂ、、Ｃ１が同一
平面上になければ、接平面連続の条件が成り立たないこ
とになり、　同様に節の制御点Ｐ、。３）において制御
辺ベクトル”３．１）３　％　Ｃ２が同一平面上になけ
れば、接平面連続の条件が成り立たないことになる。そ
こでコンピュータはステップＳＰ４において肯定結果が
得られたときには次のステップＳＰ５に進み、これに対
して否定結果が得られたときには、ステップＳＰ６にお
いて同一平面にない制御辺ベクトルを回転させることに
よって同一平面上に修正した後火のステップＳＰ５に進
む。

このステップＳＰ５は制御点Ｐ　（Ｇ６）及びＰ４Ｏ１
０間にある２つの制御点Ｐ（。０．及びＰ（。２）につ
いて、各パッチＳ　（ＩＩ＋　ｖ）　ｌ及びＳ　（ｕ＊
　Ｖ）　２に向かう制御辺ベクトルａ、　、ａ、及び’
ｌ、ｃｇとして接平面連続の条件を満足する位置ベクト
ルを求めて設定し直す。この実施例の場合、制御辺ベク
トル３．及びＧ２は、（２３）式及び（２４）式につい
て上述したように、制御点Ｐ、。。、からＰ、。３．に
向かう方向すなわちＶ方向に座標を移動させて行ったと
きの横断接線ベクトルの変化率が一定であるものとして
決められた制御辺ベクトルａｏ、Ｇ２に基づいて設定さ
れる。

かくして設定された制御辺ベクトル”　ｌ　％　ａ　２
に基づいて（２７）式及び（２８）式を用いて他方のパ
ッチの制御辺ベクトルＣ，、ｃ、を演算する。

この実施例の場合、コンピュータによるこのステップＳ
Ｐ５における演算は、枠組み処理の仕方によって共有境
界ＣＯＭの両端位置における共有境界の形態に応じて、
Ｕ方向の制御辺ベクトルが平行か否かの条件に基づいて
それぞれ異なる演算式を用いて制御辺ベクトルＣＩ、（
：２を求めるようになされている（　（２９）弐〜（４
８）式）。

（Ｇ４−３）生成された自由曲面の確認かくしてコンピ
ュータは隣合う２つのパッチ相互間を接平面連続の条件
で接続する処理を終わって、次のステップＳＰ７におい
て表示装置を用いて各パッチを囲む共有境界の各点にお
ける法線ベクトル及びパッチ内の等直線を表示すること
により、２つのパッチの接続が滑らかであるか否がをオ
ペレータが目視Ｔｓ！ｉ認できるように表示する。

例えば第５図に示すように、共有境界ＣＯＭの両端の制
御点Ｐ、。。、及びＰ、。１．における係数に１及びに
２が互いに異なる場合に、コンピュータは第６図に示す
ように、２つのパッチＳ　１ｕ＋　ｖ）　ｌ　及ヒＳ　
Ｔｕ＋ｖ□を囲む境界曲線上の各点における法線ベクト
ルを直線表示してなる法線ベクトル要素ＤＩＳによって
表示し、オペレータはステップＳＰ２〜ＳＰ５の接続処
理によって生成された曲面の共有境界ＣＯＭにおける法
線ベクトルが同一になることを、他の境界曲線上の法線
ベクトルと共に目視確認し得る。

この表示を見てオペレータは次のステップｓＰ８におい
て、各パッチＳ　（ａ、ｖｌ　１及びＳ　（ｕｎ　ｖｌ
　ｔについて共有境界Ｃ０Ｍ上の法線ベクトルが互いに
一致したか否かを確認でき、一致していない場合にはス
テップＳＰ９においてその原因を調べ、必要に応じて数
値的な修正を行う。かくして一連のパッチ接続処理手順
をステップ５ＰＩＯにおいて終了する。

（Ｇ５）実施例の効果 上述のように構成すれば、オペレータが枠組み処理によ
って形成した枠組み空間に張られた隣合うパッチを、そ
の１階微係数が共有境界において接平面連続となるよう
に接続することができ、かくして全体として滑らかな自
由曲面を生成できる曲面作成装置を得ることができる。

か（するにつき、３次の補間演算式を用いるようにした
ことにより、作成した曲面の予測が容易な条件のもとて
パッチの接続をし得る。

また上述の実施例のように、枠組み状態が異なるとき、
これに応じて異なる補間演算式を用いるようにしたこと
により、多様な枠組み形態に最適な条件で、パッチを滑
らかに接続することができる。

これに加えて特に、第６図について上述したように、共
有境界ＣＯＭの法線ベクトル表示要素ＤＩｓを表示装置
によって表示することにより、パッチの接続結果を誤り
なく表示することができる。

因に、　上述のように接続処理をする前の不連続のまま
にすると、　２つのパッチＳ　（ｕｎ　ｖ）　ｌ　及び
Ｓ　（Ｉｌ＋　Ｖｌ　Ｒの共有境界ＣＯＭの法線ベクト
ルは一致しないので第７図に示すように開いた状態に表
示されるのに対して、接続処理をすれば、第６図につい
て上述したように、２つのパッチの法線ベクトルは閉じ
て一本のように表示される。かくして共有境界が連続で
あることを容易に目視確認できる。

（Ｇ６）他の実施例 なお上述においては、（２１）式及び（２２）式に基づ
いて制御刃ベクトルａ、及びａｆｉを設定するにつき、
■方向に見たときの横断接線ベクトルの変化率が一定で
あるという条件を用いた場合について述べたが、これに
代え、例えば（２２）式において ａｏ−３ａ、＝Ｏ・・・・・・　（４９）となるように
制御刃ベクトルａ１を ａ　、　＝　　−ａ　４１　　　　　　　　　　・・・
・・・（５０）のように設定し、その結果制御刃ベクト
ルａ２が（２２）式の関係から ａ　ｇ　＝　　−ａ　、　　　　　　　　　　・・・・
・・（５１）のように設定することができる。

このようにして設定した制御刃ベクトルａ、及びａｌに
基づいて、（５０）式及び（５１）式を、（２５）式及
び（２６）式に代入することによって制御刃ベクトルｃ
、及びＣ２を次式 ％式％ として求めることができる。

また上述においては、３次のベジェ式を用いてパッチの
補間演算をする場合について述べたが、数式の次数はこ
れに限らず４次以上にしても良い、゛さらに上述におい
ては、パッチの補間演算をベジェ式を用いた場合につい
て述べたが、これに限らず、スプライン式、クーンズ（
Ｃｏｏｎｓ）式、ファーガソン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式
などの他の数式を用いるようにしても良い。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、生成された自由曲面の形
状を確認するにつき、パッチの形状と共に、パッチを囲
む境界曲線上に各点の法線ベクトルを表す法線ベクトル
表示要素を表示するようにしたことにより、バッチ相互
間の接続状態を含めて生成された自由曲面の形状を容易
に目視確認し得るような表示を得ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は自由曲面を作成する際に用いられる制御刃ベク
トルを示す路線図、第２図は第１図の共有境界における
接平面連続の条件の説明に供する路線図、第３図はパッ
チの１次元的接続でなる枠組み形態を示す路線図、第４
図は２つのパッチを接続する際に用いられる接続処理手
順を示すフローチャート、第５図は枠組みの一例を示す
路線図、第６図は本発明による曲面表示方法によって共
有境界の接続状態の表示の仕方を示す路線図、第７図は
接続処理をする前の接続状態の表示の仕方を示す路線図
である。 Ｓ　（ｕｎ　ｖｌい　Ｓ　（ｕｎ　ｖ）　２・・・・・
・パッチ・　ａｏ　　〜ａコ　・ｂ１〜ｂ　２　ｓ　Ｃ
Ｏ〜Ｃ５・・・・・・制御刃ベクトル、Ｐ　（＋１１１
１〜Ｐ　（０３１、Ｐ　（１６１１〜Ｐ　（３３）＋　
、Ｐ　（１０１２〜Ｐ（３３１！・・・・・・制御点、
５ＥＬ−５Ｅ５・・・・・・パッチ、ＣＯＭ、ＣＯＭＩ
−Ｃ０Ｍ３・・・・・・共有境界、ＤＩＳ・・・・・・
ベクトル表示要素。 ２つのパンチの制御込ベクトル 蔓　Ｉ　図 槽乎面鷹就の条件 ノ＼°＼ンチの　１犬元百勺塙り矛芝 第３図 に１キに２の枠組 蔓５２ 尖施伊Ｉによろ苺絞諸梁 壬　６　目

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によって境界曲線で囲まれる多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより生成した自由曲面を表示
   装置に表示するようになされた自由曲面表示方法におい
   て、 上記生成された自由曲面を上記表示装置によって表示す
   る際に、上記各パッチの境界曲線上に当該境界曲線位置
   における上記各パッチの法線ベクトル表示要素を表示す
   ることにより、互いに隣接するパッチの接続状態を確認
   し得るようにしたことを特徴とする自由曲面表示方法。