JPS63240605A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点（第６図、第７図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図）Ｆ作用（第１
図） Ｇ実施例 （Ｇ１）三辺形バッチ接続の原理（第１図、第２図）（
Ｇ２）内部制御点の簡略的な求め方 （Ｇ３）三辺形パッチの２次元的接続（第３図、第４図
） （Ｇ４）バッチ接続処理手順（第５図）（Ｇ５）他の実
施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ（ｃｏ
ｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）　％又はＣ
Ａ　Ｍ　（ｃｏｓｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆ
ａｃｔｕｒｉＢ）などにおいて、自由曲面をもった形状
を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
バッチを張ることにより自由曲面を生成するようになさ
れた自由曲面作成方法において、共有境界を挟んで隣接
する２つの三辺形枠組み空間の一方に接平面連続の条件
を満足する２つの内部制御点を形成することにより、２
つのバッチを滑らかに接続することができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された複数の節点を結ぶ境界曲線網を所定の
ベクトル関数を用いてコンピュータによって演算させる
ことにより、いわゆるワイヤフレームで表現された曲面
を作成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数の
枠組み空間を形成することができる（このような処理を
以下枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

従来のこの種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網
を表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベ
ジェ（ｔｌｅｚｉｅｒ）式、Ｂスプライン（Ｂ−ａｐｌ
ｉｎｓ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、
例えば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面をパラ
メトリックな数式によって表現するには最適であると考
えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をｘｙ平面上に投影したとき、当該
投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいること
が多く、この投影点の数がｍＸｎで表されるとき、当該
枠組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形パッチを
用いて容易に張ることができることが知られている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特１枚がある曲
面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場
合には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュー
タによる演算処理が複雑かつ膨大になる問題があった。

特に極端に歪んだ形状をもつ曲面が枠組みされたときに
は、はとんどの場合当該指定された点の配列は規則性を
もっておらず、従って枠組み空間に四辺形バッチを張る
ような従来の手法では、滑らかな自由曲面を形成するこ
とは実際上極めて困難であった。

この問題を解決する方法として、特願昭６１−１５３９
６号に開示されているように、枠組み処理によって形成
された三辺形枠組み空間を囲む境界曲線周りの制御辺ベ
クトルを接平面連続の条件を表す連立方程式を解くこと
によって、内部制御点を表す制御辺ヘクトルを設定する
方法が提案されている。

ところがこの方法によると、隣接するパッチが境界曲線
に対して対称な形状をもっている場合には、接平面連続
の条件式が解けなくなる場合があり、このような場合に
は互いに対称なパッチを滑らかに張ることができない問
題があった。

対称なパッチを接続できない理由は次の通りである。

特願昭６１−１５３９６号に開示の手法によって対称な
２つのパッチ（例えば１／８球面をもつパッチ）を接平
面連続の条件の下に接続しようとする場合（その結果１
／４球面をもつ自由曲面を作成し得る）、接平面連続の
式を構成する連立方程式の行列式が０になる場合があり
、この場合には接平面連続の式を解くことができなくな
るために、当該対称な２つのパッチを接続できない問題
がある。

すなわち特願昭６１−１５３９６号の場合には、第６図
に示すように、ランダムに指定された節点Ｐ１〜Ｐ１４
に基づいて、互いにより近い節点相互間を結ぶ境界曲線
によって枠組み処理を実行し、これに１より境界曲線網
によって表される立体曲面を全体として三辺形の枠組み
空間によって形成するようにし、各枠組み空間の境界曲
線、及び各枠組み空間に張られるパッチを次式 ％式％ のように３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｔ　（ｕ＋
　ｖｌ　を用いて表現する。（１）式において、Ｐ、。

（ｕ１）は、第７図に示すように、隣合う２つの枠組み
空間に張られた曲面すなわち第１の三辺形パッチ”　（
ｕ＋　ｖｌ　１及び第２の三辺形パッチＴ　（ＩＩＩ　
ｖ）　ｚが共に保有している境界曲線（これを共有境界
と呼ぶ）ＣＯＭの一端の位置を表す位置ベクトルでなる
。

また（１）式において、　Ｅ及びＦはＵ方向及びＶ方向
のシフト演算子で、　パッチＴ　Ｔｕ＋　ｖ）　ｌ及び
Ｔ　（％ｌｌ　ｖｌ□上の位置ベクトルで表される制御
点Ｐ　（ｉｎ　Ｈに対して次式、 Ｅ′Ｆ’、・ｊｌ　＝　Ｐ　（ｉ・１・Ｊ）（ｉ＝０．
１．２ ｊ＝０、ｌ、２．３） ・・・・・・（２） Ｆ　’　Ｐ　＋ｉ＋　ｊ）　＝　Ｐ　ｌｉ−ｊ＋Ｉ＋（
ｉ−０、■、２．３ ｊ＝０．１．２） ・・・・・・（３） の関係をもつ。ここで Ｕ≧Ｏ・・・・・・　（４） ■≧０　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・
・・　（５）ｕ＋ｖ≦１　　　　　　　　　　　　　　
　　・・・・・・　（６）である。

さらに（１）式において、Ｕ及び■はＵ方向及びＶ方向
のパラメータで、第７図に示すように、第１及び第２の
パッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　ｌ及びＴ　（１１，Ｖ）　ｇ
に対してそれぞれ節点Ｐ、。（ｕ１）から横方向にＵ軸
をとり、かつ縦方向にＶ軸をとった座標（ｕ、　　ｖ）
を用いてパッチＴ　（ｕｎ　ｖ）　１及びＴ　（ｕ、ｖ
ｌ　ｚ内の自由曲面上の座標を表すことができる。

このように定義した場合共有境界ＣＯＭ　（第７図）の
各点において第１のパッチ”　（ｕｎ　ｖ）　ｌのＵ方
向（すなわち共有境界ＣＯＭを横断する方向）にとった
接線ベクトルは、（１）式をバラメークＵについて１階
偏微分することにより、 ・・・・・・　（７） で表される。ここでａｏは節点Ｐ、。（ｕ１）から制御
点Ｐ（１゜、１に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト
演算子Ｅと共に第１のパッチＴ　（ａｎ　ｖ目について
、次式 ％式％） によって制御辺ベクトルａ、（ｊ＝ｏ、１．２）を表す
ことができる。ここでａ、は共有境界ＣＯＭの制御点Ｐ
、。１．から第１のパッチＴ（ｉｌｌ　ｖｌ　＋の内部
制御点Ｐｆｌｌ）ｌへ向かう制御辺ベクトルを示し、ま
た、ａ２は同様にして制御点Ｐ、。２．から制御点Ｐ、
１゜、へ向かう制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界００Ｍ上において、第２のパッチＴ
　（ｕ、　ｖｌ　２のＵ方向に向かう接線ベクトルは、
（１）式をパラメータＵについて１階偏微分することに
より、 ・・・・・・　（９） で表される。ここで００は、節点Ｐ、。（ｕ１）から第
２のパッチＴ　（ｕｎ　ｗ＋　ｚの制御点Ｉ）、１゜、
２に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと共
に第２のパッチＴ（ｉｌｌ　ｖｌ　２について、次式％
式％） によって制御辺ベクトルｃｔ　　（ｊ＝Ｑ、１．２）を
表すことができる。　ここでｃ、は共有境界ＣＯＭの制
御点Ｐ（ｉｌｌ）から第２のパッチ”　（ｕｎ　ｖ）　
ｚの内部制御点Ｐ（ｌｌ１ｇへ向かう制御辺ベクトルを
示し、Ｃ２は同様にして制御点Ｐ、。ｔ、から制御点ｐ
ｕｔ□へ向かう制御辺ベクトルを示す。

さらに共有境界００Ｍ上の各点における第１のパッチＴ
　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ側の■方向の接線ベク）・ルは、（
１）式をパラメータ■について１階偏微分することによ
り、 ・・・・・・（１１） で表される。ここでｂｌは、節点Ｐ、。（ｕ１）から制
御点Ｐ、。１１へ向かう制御辺ベクトルを示し、シフト
演算子Ｆと共に共有境界ＣＯＭについて次式す、＝ｐ、
。ｊｌ　　Ｐ　１Ｏｊ−１１（Ｊ　”　１　％　２．３
）・・・・・・（１２） によって制御辺ベクトルｂｊ　（ｊ＝１．２．３）を表
すことができる。ここでｂ２は制御点Ｐ、（ｕ１）。

から制御点Ｐ、。。へ向かう制御辺ベクトルを示し、ｂ
、は同様にして制御点Ｐ、。２．から節点Ｐ、。３．へ
向かう制御辺ベクトルを示す。

このようにして共有境界ＣＯＭにおいてバッチＴ　（ｕ
＋　ｖｌ　、及びＴ　（Ｉｌ＋　ｖｌ□を滑らかに接続
するためには、共有境界Ｃ０Ｍ上のすべての点において
接平面連続の条件が成り立つことが必要であり、そのた
めには、？４１のバッチＴ　＋ｕ＋　ｖ）　ｌについて
そのＵ方向の接線ベクトル（（７）式によって表される
）と、第２のパッチＴ（ｕ、ｖ、２におけるＵ方向の接
線ベクトル（（９）式によって表される）と、第１のパ
ッチＴ　＋ＩＩ＊　Ｖ）　ｌのＶ方向の接線ベクトル（
（１１）式によって表される）とが、同一平面上にある
ことが必要であり、このことから次式％式％（１３） を満足させるようにパラメータを設定し直せば良い。

ここでλ　（■）、μ（Ｖ）、ν（Ｖ）はスカラ関数で
、 λ（Ｖ）−（１−Ｖ）＋　Ｖ　　　　　　・・−・・・
（１４）ｕ　（ｖ　）　＝　Ｃｌ　ｌ（１ｖ　）＋α、
Ｖ　　　＝　（１５）ν（ｖ）＝β、（１−ｖ）＋βｚ
Ｖ　　　−−（１Ｇ）に選定される。

そこで（７）式、（９）式、（１１）式、（１４）弐〜
（１６）式を（１３）式に代入して、左辺及び右辺にお
ける（１−Ｖ）：ｌの項、（Ｌ−ｖ）”ｖ（７）Ｊ、Ｉ
ｔ、（１−ｖ）ｖ”の項、■３の項について係数部が互
いに等しいという条件を立てれば、次の４つの式 ％式％（１７） で表される連立方程式（いわゆる接平面連続の式）が得
られる。

ここで（１７）式及び（２０）式から未知数α１、α２
、β１、β２を解くことができる。　また（１８）式及
び（１９）式によってすでに求めた未知数α１、α２、
β８、β２と共に、未知数ａｌ及びｃｌを解くことがで
きる。

すなわち（１８）式及び（１９）式を整理すれば２ｃ＋
−２β＋ｂｚ ；２α−ｈ＋αｚａｏ＋βｚｂｌ−ｃ。

・・・・・・（２１） ２Ｃ，−２βｚｂｚ −α＋ａｔ＋２αｚａ＋＋βｌｂ’ｌ　　Ｃｚ・・・・
・・　（２２） の関係が得られる。これを行列で表せば・・・・・・（
２３） となり、結局左辺第１項の行列に含まれるパラメータβ
１及びβ２について、 β、≠β２　　　　　　　　　　　・・・・・・（２４
）のようにパラメータβ１及びβ２が等しくない場合に
限って（２３）式で表される接平面連続の式を解くこと
ができる。

ところが２つの１／８球面を接続して１７４球面を作成
しようとする場合、パラメータβ１及びβ２が次式 ％式％（２５） で表されるように互いに等しくなることを避は得ない。

従って結局接続すべき三辺形パッチが共有境界を挟んで
対称である場合には、接平面連続の式を解くことができ
ない場合があり、この場合には滑らかなパッチを張るこ
とができない問題がある。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、隣接する
三辺形枠組み空間に境界曲線を挟んで互いに対称な三辺
形パッチがある場合にこれを容易に接平面連続の条件の
下に張ることができるようにした自由曲面作成方法を提
案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって形成された三辺形枠組み空間に所定のベク
トル関数で表されるパッチを張ることにより、　自由曲
面を生成するようになされた自由曲面作成方法において
、　共有境界ＣＯＭ　１を挟んで隣接する２つの三辺形
枠組み空間に張るべき２つのパッチＴ　ｆｕ＋　ｖｌ　
Ｉ　％　Ｔ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚがほぼ対称形状のとき、
　上記２つのパッチＴ　（ｕｎ　ＩＴ）　ｌ　％Ｔ　ｆ
ｕ＋　ｖｌ　ｔのうちの一方のパッチＴｉｕ＋　ｖ）　
ｚの内部制御点Ｐ、１＋ｌｕ２として２つの内部制御点
ｒ’１ｕ１１！、Ｐ（ｕｌｌ２を設定することにより、
上記共有境界ＣＯＭＩにおいて接平面連続の条件を満足
するように上記２つのパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌいＴ　（
ｕｎ　ｖｌ　１を張るようにする。

Ｆ作用 共有境界ＣＯＭＩを挟んで接続すべき２つのパッチＴ　
（ｕ　＋　Ｖ　）いＴ　、、、　ｖ）　２が対称形状の
場合は、その一方のパッチＴ　、ｕ、　ｖ）　、に２つ
の内部制御点Ｐ　（ｕｌｌ　ｚ　、Ｐ　ｔｕ。２を形成
するようにしたことにより、　共有境界Ｃ０Ｍ１におい
て２つのパッチＴ（ｕｎ　ｖｌ　＋、Ｔ（ｕ、　ｖ）　
Ｚを接平面連続の条件を満足するように滑らかに接続す
ることができる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇｌ）三辺形バッチ接続の原理 この実施例においては、第１図に示すように、枠組みさ
れた三辺形枠組み空間の共有境界Ｃ０Ｍ１、及び各枠組
み空間に張られるパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ（Ｔ　（ｕｎ
　ｖｌ　Ｉ　％　Ｔ　（ｕｎ　ｖｌ　ｚ）を次式％式％
（００１ のように、　　３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｔ　
（ｕｎ　ｖ）を用いて表現する。　　（２６）式におい
てＰ、。（ｕ１）は、隣合う２つの枠組み空間に張られ
た曲面、すなわら第１の三辺形パッチＴ　（ｕｎ　Ｖ）
　１及び第２の三辺形パッチＴ　、ｕ、　ｖｌ　ｔが共
に保有している境界曲線すなわち共有境界Ｃ０Ｍ１の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、　他端の位置ベク
トルＰ、。３．と、第１のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　１
の位置ベクトルＰ（３゜１．及び第２のパッチＴ　、ｕ
、　ｖ）　、の位置ベクトルＰ。Ｉｌ、２と共に、枠組
み処理の際に指定される節点を構成する。

かくして第１及び第２のパッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　１及
び”　（ｕｎ　Ｖ）　！がそれぞれ節点Ｐ　（００Ｊ　
　Ｐ　＋３０１１−Ｐ、。３１　　ｐｔｏ。）及びＰ（
。。ＩＰ＋３゜）！Ｐ（。３．−Ｐ、。（ｕ１）の３つ
の境界曲線によって囲まれている。

これらの境界曲線のうち、節点Ｐ、。（ｕ１）及びＰ、
。１．間の境界曲線は共有境界ＣＯＭＩを構成し、２つ
の制御点Ｐ（。９．及びＰ、。ｔ、を用いて３次のベジ
ェ式により規定されている。

これに対して、　第１のパッチＴ（工＋Ｖ１１の節点Ｐ
、。（ｕ１）及びｐ、（ｕ１）１間の境界曲線Ｃ０Ｍ２
１、３Ｐ（３゜、１及びＰ（。１．間の境界曲線Ｃ０Ｍ
３１は、それぞれ２つの制御点Ｐ０゜１１　％　Ｐ　、
２゜、１及びＰ　、ｔｎ　ｌ　、Ｐ　（ｌ□、Ｉによっ
て規定されている。また第２のパッチＴ　Ｔｕ＋　ｖ）
　ｚの節点Ｐ、。（ｕ１）及びｐ（２゜、２間の境界曲
線Ｃ０Ｍ２２、ｐ、（ｕ１）２及びＰ　（０３１間〕境
界曲’ａ　ＣＯＭ　３２は、それぞれ２つの制御点Ｐ（
１゜ｌｉ　％　Ｐ　（！（ｕ１）２及びＰｉ！１１２、
Ｐ（＋□、によって規定されている。

また（２６）弐〜（２８）式において、Ｅ、Ｆは電」方
向、■方向のシフト演算子で、パッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ
　１及びＴ　（ｕｎ　ｖ）　ｚ上の位置ベクトルで表さ
れる制御点Ｐ（Ｉ、ｊ、に対して次式 ％式％ の関係をもつ。

ここでｕ、ｖ、ｗはそれぞれＵ方向、■方向、Ｗ方向の
パラメータで、第１図に示すように、第１及び第２のパ
ッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　１及びＴ　（ｕｎ　Ｖｌ　ｚに
対してそれぞれ節点Ｐ、。（ｕ１）から共有境界Ｃ０Ｍ
１に対して横断する方向（これを漢方向と呼ぶ）にＵ軸
をとり、かつ共有境界ＣＯＭＩに沿う方向（これを縦方
向と呼ぶ）にＶ軸をとった座標（ｕ、　　ｖ）を用いて
パッチＴ　ｉｕ＋　ｖｌ　１及びＴ（ｕｎ　ｖ）　ｚ内
の自由曲面上の座標を表すことができる。

この実施例の場合、演算式の簡略化のために、パラメー
タＷが導入され、このパラメータＷは（２７）式で示す
ように、パラメータｕ、ｖによって一義的に決まるよう
な関係に選定されている。

このようにして定義した場合、共有境界Ｃ０Ｍ１上の各
点において第１のパッチＴ　（ｕ、　ｖｌ　ｌをＵ方向
（すなわち共有境界ＣＯＭＩを横断する方向）にとった
接線ベクトルは、（２６）式をパラメータＵについて１
階偏微分することにより、次式％式％ で表される。ここで１０は節点Ｐ（０（１）から制御点
１’Ｈｏ、＋　に向かう制御辺ベクトルを示し、ノフ１
演算子Ｅと共に第１のパッチＴ　（ｕｎ　Ｖ）　ｌにつ
いて、次式 ％式％） によって制御辺ベクトルａＪを表すことができる。

ここで、ａ、は共を境界ＣＯＭＩの制御点Ｐ、。Ｉ。

から第１のパッチＴ　Ｆｕｒ　ｖｌ　ｌの内部制御点Ｐ
（ＩＩｊｕｌに向かう制？ｆｆ１１辺ベクトルを示し、
　ａ２は制御点Ｐ、。２．から制御点Ｐ、１□、１に向
かう制御辺ベクトルを示す。

同様にして共有境界Ｃ０Ｍ１上において、第２のパッチ
Ｔ　Ｆｕｒ　Ｖｌ　！のＵ方向に向かう接線ベクトルは
（２６）式をパラメータＵについて１階偏微分すること
により、次式 ％式％ で表される。ここでＣ０は、節点Ｐ、、。（ｕ１）から
第２のパッチＴ（ｕ　＋　ｖ　）　Ｈの制御点Ｐ（１゜
、２に向かう制御辺ベクトルを示し、シフト演算子Ｅと
共に第２のパッチＴ　（ｉ＋＋　ｖ□について、次式％
式％） によって制御辺ベクトルＣ３（ｊ−０，１，２）を表す
ことができる。ここで、Ｃ，は共有境界ＣＯＭＩの制御
点Ｐ（ｏｌ、から第２のパッチＴ（ｌＩ＋　ＶＩ　２の
内部制御点Ｐ（ＩＩｊｕｌに向かう制御辺ベクトルを示
し、ｃｔは同様にして制御点Ｐ、。２．から制御点Ｐ（
Ｉｆ）２へ向かう制御辺ベクトルを示す。

さらに、共有境界ＣＯＭＩ上の各点における第１のパッ
チＴ　ｆｕｒ　ｖｌ　ｌ側の■方向の接線ベクトルは、
（２６）式をパラメータＶについて１階偏微分すること
により、 −３（ｗ＋ｕＥ十ｖＦ）”（Ｆ　　１）Ｐ（０１（１）
ｕ−０−３（Ｗ２（Ｐ　（ｏｌｌ　　Ｐ　（０（＋１）
＋２　ｖ　ｗ　（Ｐ　ｔｏｎ　　Ｐ　（ａｌｌ）＋　ｖ
　”（ｐ　、。３１Ｐ（。２．））−３（（ｌ　　　Ｖ
）”（Ｐ（。Ｉ）　　Ｐ　（００１）＋２（Ｉ　　　Ｖ
）Ｖ（Ｐｌｏｔ）　　Ｐ（。１．）＋Ｖ”（Ｐ（０３Ｊ
　　Ｐｔｏｇ＋Ｎ ＝３　　（（Ｉ　　　Ｖ）２ｂｏ＋２（１ｖ）ｖｂ。

＋ｖ２ｂ、ｌ　　　　　　　　　　・・・・・・　（３
５）によって表すことができる。　ここでｂｏは節点Ｐ
、。（ｕ１）から制御点Ｐ、（ｕ１）、に向かう制御辺
ベクトルを示し、　ｂｌは制御点Ｐ、。７．がら制御点
Ｐ（０２）へ向かう制御辺ヘクトルを示し、　ｂ２は制
御点Ｐ、。２．から節点Ｐ＋ｏｚ＋へ向かう制御辺ベク
トルを示す。

かくして制御辺ベクトルｂ０、ｂ、　、ｂ２は次式 ％式％） ところで一般に、枠組み処理によって形成された隣合う
２つの枠組み空間に任意の３辺形パッチＴ　Ｆｕｒ　ｖ
□及びＴ　（ｕ、　ｖｌ　２を張った場合、その共有境
界Ｃ０Ｍ１における曲面は滑らかにはならず、滑らかに
接続するためには共有境界ＣＯＭＩにおいて接平面連続
の条件を満足するような制御辺ベクトルａｌ　％　Ｃ１
を設定することにより実現し得る。

共有境界ＣＯＭＩ上のすべての点において接平面連続の
条件が成り立つためには、　第１のパッチＴ　Ｆｕｒ　
Ｖ）　ｌについてそのＵ方向の接線ベクトル（（３１）
式によって表される）と、　第２のパッチ′ｒ（ｕ＊　
Ｖ）２におけるＵ方向の接線ベクトル（（３３）式によ
って表される）と、第１のパッチ１゛（ｕ１）ｖ、１の
■方向の接線ベクトル（（３５）式によって表される）
とが、同一平面上にあることが必要であり、これを実現
するために次式 を満足するようなパラメータを設定する。

ここでλ（Ｖ）、μ（Ｖ）、ν（ｖ）はスカラ関数で、
次式 ％式％（３８） に選定される。

そこで（３８）弐〜（４０）式を（３７）式に代入する
と共に、（３１）式、（３３）式、（３５）式を（３７
）式に代入し、その結果（３７）式が成り立つように未
知数に１、に２、η１、η２を設定すれば、接平面連続
の条件を満足しながら２つのバッチ”　（ｕ＋　ｖｌ　
＋及びＴ　（ｕ、　ｖｌ　２を接続することができるこ
とになる。

ここで（３１）式、（３３）式、（３５）式、（３８）
弐〜（４０）式の項は、（１−Ｖ）″　（ｍ＝・・・・
・・２．１．０）の式と、ｖ’　　（ｎ＝ｏ、１，２−
・−・−）の式との積の和として表されている。この点
に着Ｉ］してこの明細書においては、次式 ％式％） のように各項の係数だけを配列した簡略化形式の表現を
用いることとする。

先ず（３７）式に（３１）式、（３３）式、（３５）式
、（３８）弐〜（４０）式を代入すれば、３　　ｆ（Ｉ
　　Ｖ）２Ｃｏ　＋　２　（Ｉ　　Ｖ）Ｖ　Ｃ＋　＋　
Ｖ２Ｃ２）−（に、（１−Ｖ）＋に２Ｖｌ −３（（１−Ｖ）２ａｏ＋２（１−ｖ）ｖａ。

＋ｖ”ａｚ） ＋　　（η　、（１−Ｖ）　　＋　η　ｚｖ）＝　３　
（（１−ｖ）”ｂ（１＋　２　（１−Ｖ）Ｖ　ｂ。

十ｖ”ｂｚｌ　　　　　−・・（４４）となり、これを
簡略化形式で表現すれば、３　　　（ｃ　　ｏ　　２ｃ
、　　　ｃｚ＞−〈に１　に２）　・　３　　（ａ、　
　２ａ、　　ａｚ）＋くη、η２ン・３＜ｂ。２１）＋
ｂｚン・・・・・・　（４５） となる。

そこで（４５）式を演算すると共に、その（１−ｖ　）
　３の項、（１−ｖ）２ｖの項、（１−Ｖ）Ｖ２の項、
ｖ３の項がそれぞれ等しくなるような制？１［１辺ヘク
トルＧ　Ｉ　、ａ　Ｉを求めることができれば、第１及
び第２のバッチＴ（１１１１Ｖ）　ｌ及び”　（ｕ、Ｖ
ｌ　２は共有境界Ｃ０Ｍ１において接平面連続の条件を
満足しながら滑らかに接続されることになる。

ところで（４５）式の右辺は、（１−ｖ）’″ｖ＋１の
項の最大次数が３次であるのに対して左辺の次数は２次
であるから、（４５）式の左辺に次式（１−ｖ）＋　ｖ
　−＜　１　１　）　　　　　−・・・（４６）で表さ
れるパラメータを乗算することにより、数式上左辺の最
大次数を１次だけ増大させることにより右辺の次数と合
わせるようにする。

かくして左辺の次数を増大する際に、パッチＴ　（ｕ＋
ｖ□の内部制御点を表す制御辺ベクトルＣ。

を２つの制御辺ベクトル（Ｃ１ｌ、Ｃ３２）の合成ベク
トルと考え、次式 ％式％ で表すように、２つの未知数（Ｃ１１、ＣＩＺ）を導入
する。

因にこのようにしても乗算した係数は（１−■）＋ｖ＝
ｌであるから、（４５）式の左辺の値は変化しない。

このようにすれば（４５）式は ３　　＜ｃｏ　　ｃ、＋　２　Ｃｚ　　２　ＣＩ２＋Ｃ
Ｚ　　Ｃ２）＝３（＜　　に　ＩａＯに　２ａＯ＋　　
２　　に　Ｉ　　ａ　　１２にＺａｌ＋にｌａｇ　　に
ｚ　ａ　ｚ　）＋　〈η１ｂ０　　ηｚｂｏ”　２　η
ｌｂ＋２η２ｂｌ＋η＋ｂｚ　　　ηｚｂｚ＞　　）・
・・・・・　（４８） のように展開することができ、（４８）式の各項が等し
いことにより次式 ％式％（４９） でなる連立方程式（すなわち接平面連続の式）を得るこ
とができる。

そこで（４９）式及び（５２）式から４個の未知数に１
、に２、η１、η２を求めることができる。

これに対して残る式、すなわち（５０）式、（５１）弐
から未知数Ｃ１いＣＩＺ、ａ、を求める必要がある。実
際にかかる演算をしようとする場合、未知数Ｃ１ｌ、Ｃ
１２、ａ、はベクトルであるので、３次元のスカラ量と
して解を求める必要があるが、未知数が９個に対して連
立方程式は（５０）式及び（５１）式によって決まる６
つの式しかなく、結局式の数が不足するために解は不定
になる。

このように解が不定の条件の下に、次のようにして未知
数を解く。

先ず（５０）式及び（５１）弐を整理すると、−〇目土
に−ａ１ ■ ″　−一（に　ｚａｏ　　＋　η　ｚｂｏ＋２　　η　
＋ｂ＋　　　　Ｃｏ）・・・・・・（５３） −Ｃ１２十　にｚａｌ 一　　（に、ａ２＋η、ｂ２←２’７ｚｂ＋　　Ｃｚ）
・・・・・・　（５４） になるから、これを行列形式で表現すれば、・・・・・
・（５５） になる、　　（５５）式はＸＹＺ成分を含んでいるから
、次式 ・・・・・・　（５６） のように各成分によって表現し得る。

（５６）式を条件として、 Ｍ＝Ｃ＋＋ｘ”＋　Ｃｘｖ”十Ｃ目ｚ２＋ＣＩＺＸ”＋
　Ｃ＋ｚｙ”＋　ＣＩ２２”・・・・・・（５７） で表される式について、ラグランジェの未定係数法によ
り、Ｍを最小にするような解を求める。

すなわち Ｇミー（ＣＩｌＭ”＋　Ｃ１１ｙ”＋　Ｃ１１２”＋　
ＣＩ！Ｘ′＋ＣＩ２Ｙ”　＋ＣＩ２２”十ａ　ＩＸ”　
”　ａ　ＩＶ”　＋　ａ　１２２）＋ｍｌ　　（（にｚ
ａｏｘ＋７７ｚｂｏｘ＋２”７＋ｂｔｘＣＯＸ）　＋　
Ｃ目Ｘ−に１ａ＋ｘｌ ＋ｍｚ　（（にｚａｏｖ＋　７）ｚｂｏｖ＋２７７ｔｔ
）＋ｖ’　６’ｌ）　”　Ｃ目Ｖ−に＋ａｒｖ）十ｍ３
（−（ＫｔａＯＺ＋ηｚｂｏｚ＋２η１ｂ１２ｃ　ｏｚ
）　”　ｃ　＋ｔｚ−に１ａ＋ｚ）＋ｆｉ、　　（（に
＋ａｚｘ＋　η、ｂｚｘ＋２７７ｚｔ）＋ｘｃ　ｚｘ）
　＋　ｃ　＋ｚｘ〜に２ａｌＸｌ＋ｎ、（−（にｌ　ａ
　ＺＶ＋ηＩｂＺｖ＋２ηｇりＩＹＣｔＶ＞　＋　ＣＩ
ｌＭ−にｚａ＋ｖ１＋ｆｉ３　（（に＋ａｚｚ＋７７ｔ
ｂｚｚ＋　２７７ｚｂ＋ｚｃ　ｚｚ）　＋　ＣＩ２２−
にｚａ＋ｚ）・・・・・・　（５８） を考え、　　（５８）式から係数ｍ、、ｍｚ　、ｍ３、
ｎ　１％　ｎ　ｚ　、ｎ　３を求める。

そのため（５８）式を各成分によって偏微分して０とお
けば、 ａ　Ｃ＋＋ｘ （’ＣＩＩＺ ａ　ｃ＋ｚｘ ａｃ＋ｚｖ （’ＣＩＺｚ ａａ、Ｘ ・・・・・・　（６５） ａａ、Ｙ ・・・・・・　（６６） ａ　ａ　、Ｚ ・・・・・・　（６７） になる。これを行列形式にまとめると、のように表現し
得る。

そこで（６８）式を（５６）式の左辺に代入すると、・
・・・・・　（６９） の関係が得られ、（６９）式から係数ｍ　１　、ｒｎ　
ｚ、ｍｘ　、ｒｌ＋　、ｎｚ　、ｎ３を求めて（６８）
式に代入することにより、　制御辺ベクトルＣＩｌ、Ｃ
１１、ａ、のｘ、ｙ、ｚ成分ＣＩＩＸ　％　ＣＩＩＹ　
％　ＣｌＩ２、Ｃｌ２Ｘ　％　ｃｏｚｙ　％　ｃ＋ｚｚ
　％　ａｌＸ〜ａ＋ｖ％　Ｃ１２を求めることができる
。

以上のように、解が不定の接平面連続の式すな　　　　
′わち（５０）式及び（５１）式に基づいて、未知数で
ある制御辺ベクトルＣＩｌ、Ｃ，□、ａｌを求めること
ができ、　かくして互いに対称な２つのバッチＴ　（ｕ
ｎ　ｖ、１及びＴ　（ｕｎ　ｖ）　Ｚを共有境界ＣＯＭ
Ｉ　　（第１図）において接平面連続の条件の下に滑ら
かに接続することができる。

この明細書において接平面とは、　共有境界ＣＯＭＩの
各点でのＵ方向及びＶ方向の接線ベクトルによって形成
される平面を呼び、従って共有境界Ｃ０Ｍ１の各点にお
いてバッチＴ　（ｕ、　ｖｌ　＋及びＴ　（（１，Ｖ）
　２の接平面が同一のとき接平面連続の条件が成り立つ
。

すなわち、　共有境界ＣＯＭＩ上の任意の点Ｐ、。Ｖ、
についての接平面連続の条件は、第２図に示すようにし
て決められる。　すなわちパッチＴ　Ｉｕ＋　ｖ）　ｌ
について、共有境界ＣＯＭＩを横断する方向（すなわち
Ｕ方向）の接線ベクトルＨ１１％及び共有境界Ｃ０Ｍ１
に沿う方向（すなわちＶ方向）の接線ベクトルＨｂの法
線ベクトルｎ、は、ｎ　、　＝　Ｈ，ｘ　Ｈ，−−（７
０）で表され、　またパッチＴ　（ｕｎ　ｖ）□につい
て、共有境界ＣＯＭＬを横断する方向の接線ベクトルＨ
ｃ及び共有境界ＣＯＭＩに沿う方向の接線ベクトルＨ，
の法線ベクトルｎ２は、 ｎ　ｚ　”　Ｈｃ　Ｘ　Ｉｌ　ｂ　　　　　　　　　　
・・”　・・’　（７１）で表される。

このような条件の下に、接平面連続というためには、接
線ベクトルＨ−、Ｈｂ及びＨｃ、Ｈｂが同一平面上に存
在しなければならず、その結果法線ベクトルｎ１及びｎ
２は同一方向に向くことになる。

ここで、 （Ｇ２）内部制御点の簡略的な求め方 上述のように、内部制御点Ｃ１いＣ１□及びａｌはラグ
ランジェの未定係数法の演算手法に従って順次次の演算
を繰り返すことによって求められる。

すなわち先ず接平面連続の式（（５６）式）に基づいて
係数ｍ＋　、ｍｔ　％　ｒＴ１３　、ｎ　Ｉ　％　ｎ　
Ｚ　、ｎ　３を導入した弐（（５８）式）を立て、　こ
の式を未知数（ＣＩＩＸ　ｓ　　　ＩＹ　％　ＣＩＩＺ
　）、（ＣｌＺＸ、Ｃ。

Ｃｌｚｖ　−、Ｃｌｚｚ　）　％　　　（ａ＋ｘ＼ａＩ
ｖ、　ａｄｚ）によって偏微分する（　（５９）弐〜（
６７）式）ことによって当該未知数（ＣＩＩＸ　％　Ｃ
ＩＩＹ　、ＣＩＩＺ　）　　〜（ａ　＋ｘ−，ａ　ＩＹ
％　ａ　＋ｚ）を係数ｍｌ”−’ｎ３によって表現した
変換式（（６Ｂ）式）を求めてこれを（５６）式に代入
しく　（６９）式）、この（６９）式から係数ｍｌ””
ｎ３を求めて（５８）式に代入することにより未知数（
’ＩＩＸ　％　ｃ目ｖ　％　Ｃ目Ｚ　）〜（ａｌＸ％ａ
Ｉ　Ｖ％　ａ　１□）を求める。

ところが、（６９）式の左辺に着目すると、係数ｍ１〜
ｎ３に対する第１の係数マトリクス［Ａ］、すなわち ・・・・・・　（７５） は、第２の係数マトリクス［Ｂ］、すなわち・・・・・
・（７６） に対して転Ｗ（ｔｒａｎｓｐｏｓｅ）の関係になってい
る。

この点に着目して、次のように演算を簡略化し得る。

すなわち先ず接平面連続の式（（５６）式）を表す節点
及び制御点のデータを入力した際に、予め互いに転置マ
トリクスを構成する第１及び第２の係数マトリクス［Ａ
］及び［Ｂ］を乗算してなる第３の係数マトリクス［Ａ
、］　　［Ｂ］を用意しておく。

次に、第３の係数マトリクス［Ａ］　　［Ｂ］を（６９
）式に代入して係数ｍ　１　、ｍ　ｔ　％　ｍ　！　、
”　ｌ、ｎｔ　、ｎ、を求める。

次にこの既知になった係数ｍ、　、ｍ、　、ｍ＝、ｎ（
、ｒｔ、　、ｎ３を変換式（６８）式に代入して未知数
Ｃｚｘ　１Ｃ目ｖ　ＳＣ＋＋ｚ　％　Ｃｔｚｘ　ｓ　Ｃ
ｒｔｖ　％Ｃｌ２２　、、ａｌＸｓ　ａｌＹｓ　Ｇ１２
を求める。

このような簡略化演算手法を利用すれば、上述したラグ
ランジェの未定係数法の演算手順を実行する場合と比較
して、コンピュータによる演算処理ステップ数を格段的
に簡略化し得る。

（Ｇ３）三辺形パッチの２次元的接続 第１図について上述した手法によって、隣接する２つの
三辺形パッチＴ　（ｕｎ　ｗｌ　ｌ及びＴ（ｕｎ　ｖｌ
　Ｚを接平面連続の条件を満足するように接続すること
ができるが、この手法を用いて、第６図について上述し
たように、ランダムに設定した節点に基づいて形成され
た多数の三辺形枠組み空間のように、任意の方向に拡が
って行くような（すなわら２次元的に拡がって行くよう
な）枠組み空間に、三辺形パッチを張ることを考える。

このようにランダムに配置されている三辺形バッチ相互
間を接続するには、１つの三辺形パッチの３辺を同時に
接平面連続の条件を満足させながら隣接する３つの三辺
形バッチに接続する必要がある。このような接続方法を
２次元的な接続方法と呼ぶ。

この実施例においては、第３図に示すように、１つの三
辺形パッチＴ　（ｕｎ　Ｖ）　Ｉ　＠を構成する３つの
辺、すなわちｖ＝Ｑ（７）辺（共有境界ＣＯＭＩＩ）、
ｕ＝Ｑの辺（共有境界Ｃ０Ｍ１２）　、ｗ＝Ｑの辺（共
有境界Ｃ０Ｍ１３）について必要がある場合、それぞれ
隣接する三辺形バッチＴ　（ｕｎ　ｖｌ　Ｉ　ｌ、Ｔ　
ｉｕ＋　ｖ＋　ｌ　ｚ　、Ｔ　（ｕｎ　ｖ）　Ｉ　３に
対して第１図について上述した手法を用いて、第４図に
示すように、接平面連続の条件を満足する２つの接続用
内部制御点（Ｐ（ＩＩＩ）、Ｐ＜ｕｔｒ＞、（Ｐ（Ｖｌ
ｌ、Ｐ＋ｕｔｒ）、（Ｐ（ｗｒ＋、Ｐ＜ｗｔｒ）を生成
し、これらの接続用内部制御点で表される１つの制御点
Ｐ（Ｉｌｌを当該三辺形パッチＴ（（ｕ１）ｖ、１゜の
内部制御点として規定される自由曲面を張るようにする
。

すなわちｕ＝０の辺を構成する共有境界Ｃ０Ｍ１１につ
いて、第１図について上述したように隣接するバッチに
対して接平面連続の条件を満足するような制御辺ベクト
ルＣ１ｌ及びＣ＋Ｚを求めることにより、２つの内部制
御点Ｐ（ｕｔｒ及びＰ　（ｕりを設定したとき、次式 ％式％（ のように、パラメータＶ及びＷを変数とする関数式によ
って表される内部制御点Ｐｕｕｕとして合成する。

また同様にして、ｖ＝Ｑの共有境界Ｃ０Ｍ１２について
２つの内部制御点Ｐ（ｖｌｌ及びＰｔｖｚ＋を生成する
ことにより次式 ％式％（ のように、パラメータＷ及びＵを変数とする関数式によ
って表される内部制御点Ｐ（ｌｌｌｖを合成する。

さらに同様にしてｗ＝Ｑの共有境界Ｃ０Ｍ１３について
２つの内部制御点Ｐ、工、及びＰ、８□、を生成し、次
式 ％式％（７９） のように、パラメータＵ及びＶを変数とする関数式によ
って表される内部制御点ＰＴｌｌ１ｗを合成する。

かくして３つの内部制御点Ｐ　ＨＨｕ　ｓ　Ｐ　＋＋＋
＞ｖ、’（ロ）ｗは、さらに１つの内部制御点Ｐ３０．
を合成する。

ここで、共有境界ＣＯＭＩＩ、Ｃ０Ｍ１２、Ｃ０Ｍ１３
について２つの内部制御点を導入するか否かは、（２５
）式を一般化して表す判別式δ＝Ｔ２β１−γ、β２　
　　　　　・・・・・・（８０）によって判別され、 δ＝０　又は　δ＃０　　　　　・・・・・・（８１）
の共有境界があれば、この共有境界についてだけ２つの
内部制御点によって接続する。これに対して（８１）式
の条件が成り立たない共有境界については、１つの内部
制御点によって接続する。

か（して順次隣接する三辺形パッチは、隣接する２つの
バッチ間に対称性がない場合、及び対称性がある場合の
いずれの場合においても、滑らかに接続されることにな
る。

（Ｇ４）バッチ接続処理手順 第１図〜第４図について上述した三辺形バッチの２次元
的な接続は、これをコンピュータによって第５図に示す
処理手順を実行することにより実現し得る。

第５図のステップＳＰＩにおいて接続処理プログラムが
開始されると、コンピュータはステップＳＰ２において
バッチデータを読み込む。このパッチデータは例えばデ
ザイナが自由曲面をデザインする際に、別途３次元空間
に境界曲線網を枠組みすることにより得られる。この枠
組み処理に異常がなければ、境界曲線によって囲まれて
いる隣合うバッチは共有境界をもっており、従って以下
に述べる接続処理によってこの共有境界において各バッ
チを接平面連続の条件の下に滑らかに接続することがで
きる。

コンピュータはステップＳＰ２においてパッチデータを
読み込んだとき、３次のベジェ式で表される曲面を対応
する境界曲線上に張る際に必要とされる制御点を各辺ご
とに設定して三辺形枠組み空間の頂点にある節点と共に
、パッチ内の補間演算を実行する。

続いてコンピュータは、次のステップＳＰ３において、
　接続すべき４つのバッチＴ（ｕｎ　ｖｌ　１゜〜Ｔ　
ｆｕ＋　ｖｌ　１３　　（第３図）を指定した後、ステ
ップＳ２４に移る。

このステップＳＰ４は、　第１のパッチＴ＋＋□、ｖ、
１゜及びこれに接続しようとする第２〜第４のパッチＴ
　ｌｕ＋　Ｖｌ　ｌ　Ｉ　〜Ｔ（ｕｎ　Ｖ）　１３につ
いて、共有境界ＣＯＭ’ｌｌ〜Ｃ０Ｍ１３の両端にある
節点Ｐ、。。１、Ｐ、３゜１、Ｐ（。３）において（第
４図）、制御辺ベクトルが同一平面上にあるかどうかを
調べる。すなわち節点Ｐ、。。）において制御辺ベクト
ルｎｏ　、ｂ、　、Ｇｏが同一平面上になければ、接平
面連続の条件が成り立たないことになる。同様に節点Ｐ
、。３．及びＰ。０．において制御辺ベクトルが同一平
面上になければ、接平面連続の条件が成り立たないこと
になる。

そこでコンピュータはステップＳＰ４において肯定結果
が得られたときには次のステップＳＰ５に進み、これに
対して否定結果が得られたときには、ステップＳＰ６に
おいて同一平面にない制御辺ベクトルを回転させること
によって同一平面上に修正した後、次のステップＳＰ５
に進む。

このステップＳＰ５は、３辺について接続順序を指定し
、かくして第２、第３、第４の三辺形パッチＴ　（ｕｎ
ＶＩＩｌ　、Ｔ（ｕｎＶｌｌＺ　、Ｔ＋ＬＩＴＶＩＩ：
ｌの順序で、共有境界ＣＯＭＩＩ、Ｃ０Ｍ１２、ＣＯＭ
　１３における接平面連続の条件を求めることができる
ようにする。

続いてコンピュータは、ステップＳＰ７に移って当該所
定の順序で三辺形パッチＴ　（ｕ、　ｖｌ　１゜の内部
に設定すべき内部制御点（Ｐ（ｕｎ、ｐ、ｕゎ）、（Ｐ
（Ｖｌ＋、Ｐ（ｖＨ）、（Ｐ（ｗｕ、Ｐ　（１，１２１
）　、従って’　（Ｉｌｌｕ　％　Ｐ　（Ｉｌｌｖ　％
　Ｐ　（Ｉｌｌｗ　、従ってＰＣｌ。

を求める。　かくして第３図の三辺形パッチＴ　（Ｉｌ
、　ＶＩ　Ｉ。についてその３つの辺を共有境界として
隣接する３つの三辺形パッチＴ。＋Ｖ）ＩＩ〜Ｔ　（ｕ
ｎ　ｖｌ　ｌＪに滑らかに接続する１つの三辺形パッチ
Ｔ、（ｕ１）ｖ、１゜を作成することができる。

その後、コンピュータは、次のステップＳ２８に移って
全てのバッチを接続したか否かの判断をし、否定結果が
得られたとき上述のステップＳＰ３に戻って新たに接続
すべき三辺形バッチを指定することによって上述のパッ
チの作成処理を繰返し実行する。

やがて全てのバッチの接続が終了して上述のステップＳ
Ｐ８において肯定結果が得られると、コンピュータはス
テップＳＰ９に移って表示装置を用いて各バッチを囲む
境界曲線の各点における法線ベクトル及びバッチ内の等
高線を表示することにより、バッチの接続が滑らかであ
るか否かをオペレータが目視ｆｌＩ　認できるように表
示する。

この表示を見てオペレータは次のステップ５ＰＩＯにお
いて、共有境界ＣＯＭＩＩ〜Ｃ０Ｍ１３上の法線ベクト
ルが隣接する三辺形バッチについて互いに一致している
か否かを確認でき、一致していない場合にはステップ５
Ｐ１１においてその原因を調べ、必要に応じて数値的な
修正を行う。

かくして一連のバッチ接続処理手順をステップ５Ｐ１２
において終了する。

（Ｇ５）他の実施例 （１）上述の実施例においては、枠組み空間に３次のベ
ジェ式で表されるパッチを張る場合について述べたが、
数式の次数はこれに限らず４次以上にしても良い。

（２）上述の実施例においては、ベジェ式によって表さ
れるパッチを張るようにした場合について述べたが、こ
れに限らず、スプライン式、クーンズ（Ｃｏｏｎｓ）式
、ファーガソン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式などの他のベク
トル関数を用いるようにしても良い。

Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、接続すべき２つの三辺形
パッチが対称形又は対称形に近い場合には内部制御点と
して２つの制御点を導入するようにしたことにより、こ
れら２つの三辺形バッチを接平面連続の条件を満足する
ように滑らかに接続することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法に基づいて接続
した隣接する２つの三辺形パッチを表す路線図、第２図
は接平面連続の条件の説明に供する路線図、第３図は三
辺形パッチの各辺の接続関係を示す路線図、第４図は３
つの辺を接続する場合に生成される内部制御点をもった
三辺形パッチを示す路線図、第５図はパッチ接続処理手
順を示すフローチャート、第６図は任意の方向に三辺形
枠組み空間が拡がる境界曲線網を示す路線図、第７図は
従来の三辺形バッチの接続方法を示ず路線図である。 Ｔ　（１１，ＶＩ　Ｉ　−、Ｔ　（Ｉｌｌ　ＶＩ　Ｚ、
Ｔ　（ｕ＋　ＶＩ　Ｉ　Ｏ〜Ｔ　（Ｕ＋　Ｖ）　ｌ　３
・・・・・・三辺形パッチ、（Ｐ＋ｕ＋＋、Ｐ　（１１
２１）　〜（Ｐ（ｗ＋＋、Ｐ（ｉｖ２１）・・・・・・
２つの内部制御点、Ｐ（ＩＩ）ｕ〜Ｐ、１１１ｗ・・・
・・・第１〜第３の内部制御点、Ｐ（ｚ）・・・・・・
内部制御点、Ｃ０Ｍ１　ＣＯＭＩ　ｌ〜Ｃ０Ｍ１３・・
・・・・共有境界。

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. （１）枠組み処理によつて形成された三辺形枠組み空間
   に所定のベクトル関数で表されるパッチを張ることによ
   り、自由曲面を生成するようになされた自由曲面作成方
   法において、 共有境界を挟んで隣接する２つの三辺形枠組み空間に張
   るべき２つのパッチがほぼ対称形状のとき、上記２つの
   パッチのうちの一方のパッチの内部制御点として２つの
   内部制御点を設定することにより、上記共有境界におい
   て接平面連続の条件を満足するように上記２つのパッチ
   を張る ことを特徴とする自由曲面作成方法。
2. （２）枠組み処理によつて形成された三辺形枠組み空間
   にベジエ式 Ｔ＿（＿ｕ＿、＿ｖ＿）＝（ｗ＋ｕＥ＋ｖＦ）＾３Ｐ＿
   （＿０＿０＿）で表されるパッチＴ＿（＿ｕ＿、＿ｖ＿
   ）を張ることにより、自由曲面を生成するようになされ
   た自由曲面作成方法において、 共有境界を挟んで互いに隣接する２つの三辺形枠組み空
   間に張るべき第１及び第２のパッチＴ＿（＿ｕ＿、＿ｖ
   ＿）＿１及びＴ＿（＿ｕ＿、＿ｖ＿）＿２がほぼ対称形
   のとき、上記第１のパッチＴ＿（＿ｕ＿、＿ｖ＿）＿１
   の内部制御点として第１の内部制御点Ｐ＿（＿１＿１＿
   ）＿ｕ＿１を設定すると共に、上記第２のパッチＴ＿（
   ＿ｕ＿、＿ｖ＿）＿２の内部制御点として第２及び第３
   の内部制御点Ｐ＿（＿ｕ＿１＿）＿２及びＰ＿（＿ｕ＿
   ２＿）＿２を設定することにより、接平面連続の条件の
   式 ３＜ｃ＿０ｃ＿０＋２ｃ＿１＿１２ｃ＿１＿２＋ｃ＿２
   ｃ＿２＞＝｛＜κ＿１ａ＿０κ＿２ａ＿０＋２κ＿１＿
   ａ＿１２κ＿２＿ａ＿１＋κ＿１＿ａ＿２κ＿２＿ａ＿
   ２＞＋＜η＿１ｂ＿０η＿２ｂ＿０＋２η＿１ｂ＿１２
   η＿２ｂ＿１＋η＿１ｂ＿２η＿２ｂ＿２＞｝……（１
   Ｘ） で表されるように、第１及び第２、第３の内部制御点Ｐ
   ＿（＿１＿１＿）＿ｕ＿１及びＰ＿（＿ｕ＿１＿）＿２
   、Ｐ＿（＿ｕ＿２＿）＿２を表す制御辺ベクトルａ＿１
   及びｃ＿１＿１、ｃ＿１＿２によつて規定される第１及
   び第２のパッチＴ＿（＿ｕ＿、＿ｖ＿）＿１及びＴ＿（
   ＿ｕ＿、＿ｖ＿）＿２を張るようになされ、上記（１Ｘ
   ）式を次式 ▲数式、化学式、表等があります▼……（２Ｘ） の行列で表したとき、上記（２Ｘ）式の左辺第１項でな
   る第１の係数マトリクス ▲数式、化学式、表等があります▼……（３Ｘ） と、転置マトリクスの関係にある第２の係数マトリクス ▲数式、化学式、表等があります▼……（４Ｘ） とを予め乗算して第３の係数マトリクス［Ａ］［Ｂ］を
   得、上記第３の係数マトリクス［Ａ］［Ｂ］に基づいて
   上記制御辺ベクトルｃ＿１＿１、ｃ＿１＿２及びａ＿１
   を決める ようにしたことを特徴とする自由曲面作成方法。