JPS62221073A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図）Ｆ作用（第１
図） Ｇ実施例 （Ｇ１）第１実施例（第１図及び第２図）（Ｇ２）第２
実施例 （Ｇ３）他の実施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ　Ｃｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ）、又はＣ
Ａ　Ｍ　（ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆ
ａｃｔｕｒｉｎｇ）などにおいて、自由曲面をもった形
状を生成する場合に適用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより自由曲面を生成するようになさ
れた自由曲面作成方法において、パッチを表すベクトル
関数を偏微分することによって内部の制御点を決める条
件式を得るようにすることにより、滑らかな自由曲面を
もったパッチを枠組み空間に張ることができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎ（Ｈ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３
次元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定
し、当該指定された複数の点を結ぶ境界曲線網を所定の
ベクトル関数を用いてコンピュータによって演算させる
ことにより、いわゆるワイヤフレームで表現された曲面
を作成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数の
枠組み空間を形成することができる（このような処理を
枠組み処理と呼ぶ）。かかる枠組み処理によって形成さ
れた境界曲線網は、それ自体デザイナがデザインしよう
とするおおまかな形状を表しており、各枠組み空間を囲
む境界曲線を用いて所定のベクトル関数によって表現で
きる曲面を補間演算することができれば、全体としてデ
ザイナがデザインした自由曲面（２次関数で規定できな
いものを言う）を生成することができる。ここで各枠組
み空間に張られた曲面は全体の曲面を構成する基本要素
を形成し、これをパッチと呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
ェ（ｂｅｚｉｅｒ）式、Ｂ−スプライン（Ｂ−ｓｐｌ　
１ｎｅ）式でなる３次のテンソル積が用いられており、
例えば形状的に特殊な特徴がないような自由曲面を数式
表現するには最適であると考えられている。

すなわち形状的に特殊な特徴がないような自由曲面は、
空間に与えられた点をｘｙ平面上に投影したとき、当該
投影された点が規則的にマトリクス状に並んでいること
が多く、この投影点の数がｍＸｎで表されるとき、当該
枠組み空間を３次のベジェ式で表される四辺形パッチを
用いて容易に張ることができることが知られている。

Ｄ発明が解決しようとする問題点 ところで枠組み処理によって３次のベジェ式で表される
四辺形枠組み空間を形成した場合、一般に各四辺形枠組
み空間の内部については、任意の次数のベクトル関数で
表された曲面を張ることができると考えられていた。

ところがこの点について種４８１討してみると、四辺形
パッチを表すベクトル関数の次数が高いと、枠組み処理
によって周囲を囲む４つの辺が規定されているために、
四辺形パッチの内部にパッチを張るために指定する制御
点の位置によっては、当該張られたパッチが部分的に大
きな凹凸形状をもつおそれがあり、従って自然感を得る
ためにできるだけ滑らかな曲面をもつ四辺形パッチを張
りたい場合にも、これを実現することが困難であった。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、周囲が枠
組み処理によって規定されている四辺形枠組み空間に対
して、比較的滑らかな表面形状を有する四辺形パッチを
容易に張ることができるようにした自由曲面作成方法を
提案しようとするものである。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線ＢＯＤ　１〜ＢＯＤ４で囲まれた
多数の枠組み空間を形成し、この枠組み空間に、位置を
表すパラメータｕ、ｖを有するベクトル関数で表される
パッチＳ（。＋％ｊｌ　を張ることにより自由曲面を生
成するようになされた自由曲面作成方法において、パッ
チＳ　（ｕｎ　ｖ＋　を表すベクトル関数をパラメータ
ｕ、Ｖについて偏微分することによって次数を低下させ
た条件式を得、当該条件式を用いてパッチＳ　（１１＋
　％ｎ　を規定する内部の制御点Ｐ（Ｉｆ）、Ｐ（２１
１、ＰＬ２゜、Ｐ（１りを決めるようにする。

Ｆ作用 枠組み空間に張るべきパッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　を表ず
ベクトル関数を偏微分することによって、パッチを規定
するために必要な内部の制御点の位置ベクトルを未知数
とし、かつ枠組み処理によって与えられた節点及び制御
点を既知数とし当該内部の制御点を求めることができる
。

かくして内部の制御点は枠組み処理によって与えられた
条件式を解くことによって求めることができ、これによ
り得られた内部の制御点によって規定されるパッチは、
偏微分によって次数を低下させた効果によって、滑らか
な形状を呈することになる。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）第１実施例 第１実施例においては、枠組み処理された四辺形枠組み
空間の境界を表す境界曲線、及び各四辺形１や■み空間
に張られるパッチを次式３式％ のように、３次のベジェ式でなるベクトル関数Ｓ　（ｕ
ｎ　ｖｌ　を用いて表現する。（１）式においてＰ、。

。、は第１図に示すように、四辺形枠組み空間に張られ
た四辺形パッチＳ　（Ｉｌｌ　Ｖ）の４つの頂点のうち
の１つの頂点でなる基準位πを表す位置ベクトルでなり
、他の頂点の位置ベクトルＰ。。１、Ｐ　（３３１、Ｐ
（。、）と共に、枠組み処理の際に指定される節点を構
成する。

かくして四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　は節点Ｐ、。

。、−ＰＬ３゜、−Ｐ０□−Ｐ、。ｓ＞　−ｐ　＜。。

、の４つの境界曲線によって囲まれている。そしてこれ
らの境界曲線は、それぞれ２つの制御点によって３次の
ベジェ式を規定している。

すなわち境界曲線Ｐ、。。、及びｐ、。１、ｐ＋３゜、
及びＰｏ。、ＰＬ３２）及びＰ、。１．、Ｐ、。、）及
びＰ、。。シ間の境界曲線ＢＯＤ　１、ＢＯＤ２、ＢＯ
Ｄ５、ＢＯＤ４はそれぞれ２つの制御点（Ｐ　（１０）
、Ｐ（ｔｏ））　　・　　　（Ｐ（３１区）　・　　Ｐ
　　１３１巴）　）　　・　　　（Ｐ　（１ヒフｌ１％
Ｐ（１：≧）　）　　・（Ｐ　（１１！１％　Ｐ　（０
１））によって規定されている。

また、（１）式において、Ｅ及びＦはＵ方向及びＶ方向
のシフト演算子で、パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　上の位置
ベクトルで表される制御点Ｐ　（ｉ＋ｊ）に対して次式
、 Ｅ　　′　Ｐ（直・　−）　　″　ｐ＋ｉ＋ｌ・　ｊ）
（ｉ、ｊ−０，１１２）　・・・・・・（２）Ｆ　’　
Ｐ　（ｉ、ｊｌ　　””　Ｐ　（Ｌ＋　Ｊや、。

（ｉ、ｊ＝Ｑ、ｌ、２）　・旧・・（３）の関係をもつ
。

またＵ及びＶはＵ方向及びＶ方向の位置を表すパラメー
タで、次式 ％式％（４） で表すように、０〜ｌの間を変化する。かくして第１図
に示すように、節点Ｐ、。。、から横方向にＵ軸を取り
、かつ縦方向にＶ軸を取った座標（Ｕ、■）を用いてパ
ッチＳ　（Ｉｌｌ　Ｖ）内の自由曲面上の座標を表すこ
とができる。

このように定義した場合、枠組み空間の内部に、境界曲
線ＢＯＤＩ、ＢＯＤ２、ＢＯＤ５、ＢＯＤ４の各制御点
（Ｐ（＋６３、Ｐ、ｚ、、）、（Ｐ（３１）、Ｐ（Ｂ）
）、（Ｐ＋ｚｓ）、Ｐ（１３１）、（Ｐｔｏｚ＋、Ｐ、
。１．）に対応する４つの制御点Ｐ３．２、Ｐｎｎ、Ｐ
（！。、Ｐ（１りを設定することにより、枠組み処理よ
って規定さている４つの境界曲線ＢＯＤ１、ＢＯＤ２、
ＢＯＤ５、Ｂ　ＯＤ　４　ニよッテ囲まれている四辺形
枠組み空間に、４つの内部の制御点Ｐ１．．〜Ｐ、１□
によって規定される自由曲面を張ることができる。

本発明においては、この４つの内部の制御点Ｐ（、）、
Ｐ　（ＩＩ）、Ｐ＜ｚｔ＋、Ｐ（ｔｏを求めるにつき、
内部に張るべき四辺形パッチを表すベクトル関数（（１
）式）を偏微分することによってその次数を低下させた
後、４つの制御点Ｐ（ＩＩ）、Ｐ（ｚＩ、、Ｐ（Ｚ！ｌ
、Ｐｔ＋ｚ＞についての位置情報を条件とじて加え偏微
分式を０と置くことによって４つの内部の制御点を求め
る。

先ず（１）式をパラメータＵ及びＶについてそれぞれ１
階偏微分すれば、次式 ％式％ （５）式において節点Ｐ、。。、の位置情報としてｕ＝
０、ｖ＝Ｑの条件を入れると、（５）式は、＝９　（Ｅ
−１）（Ｆ−１）Ｐ、。。。

・・・・・・（６） のように表すことができ、また制御点Ｐ（３゜、の位置
情報としてｕ＝ｌ、Ｖ＝Ｏの条件を入れると、（５）式
は、 ＝９Ｅ”（Ｅ−１）（Ｆ−１）Ｐ（。。。

・・・・・・（７） のように表され、さらに制御点Ｐ、。１．の位置情報と
して（５）式にｕ＝Ｑ、ｖ＝ｌの条件を入れると、（５
）式は、 ＝９　Ｆ”（Ｅ−１）（Ｆ−１）Ｐ（。。。

・・・・・・（８） のように表され、さらに節点Ｐｔ、ｓ＋についての位置
情報として（５）式にｕ＝ｌ、ｖ＝ｌの条件をいれると
、（５）式は、 ”’　９　Ｅ”　Ｆ　”（Ｅ　　１　）（Ｆ　　１　）
　Ｐ　（＋１０１・・・・・・（９） のように表し得る。

ここで（６）弐〜（９）式をすべて０と置くことによっ
て、 ９　　（Ｅ　　１）（Ｆ　　１）　Ｐ（００１＝０・・
・・・・（１０） ９Ｅ”（Ｅ　　１）（Ｆ　　１）　　Ｐ（０１１１−０
・・・・・・（１１） ９Ｆ”（Ｅ　　１）（Ｆ−１）Ｐ（ａｌｌ）＝０・・・
・・・（１２） ９Ｅ”　　Ｆ”（Ｅ　　　１）（Ｆ　　　１）Ｐ（。。

、−〇・・・・・・　（１３） のように、４つの式でなる連立方程式を立てることがで
き、これを解くことによって各節点Ｐ、。。１、Ｐ　（
：ＩＧ＋、Ｐ　（ａｌｌ、Ｐ（３３１に対応する４つの
内部の制御点Ｐ（ＩＩ）、Ｐ、ｔＩ、、Ｐ、Ｉゎ、Ｐ、
ｔｔ＞を次のようにして求めることができる。

すなわち、内部の制御点Ｐ３．．について、（１０）式
を展開して整理すると、 （ＥＦ　　Ｆ−Ｅ＋１）Ｐ＜。。、−〇・・・・・・（
１４） Ｐｕ＋＋−Ｐ＋ｏｎ　　Ｐｎｏ＋＋Ｐｔｏｏ＋＝０・・
・・・・（１５） Ｐ　（ＩＩ１　＝　Ｐ　（６１１＋　Ｐ　（＋＋１１　
　Ｐ　（０６１・・・・・・（１６） のように、内部の制御点Ｐ（、、を節点Ｐ（。０）と、
節点Ｐ、。。、を通って延長する境界曲線ＢＯＤ１及び
ＢＯＤ４を規定する制御点Ｐ（１゜、及びＰ（。１．に
よって表すことができる。これらの節点Ｐ、。。、及び
制御点Ｐ（１０＞及びＰ、。、は、枠組み処理によって
設定される位置ベクトルであり、かくして内部の制御点
ｐｕｎを（１６）式によって求めることができる。

次に内部の制御点Ｐ（ｚｌ、にって、（１１）式を展開
して整理すれば、 （ＥｆｆＦ−Ｅ３−Ｅ”　Ｆ＋Ｅ”　）ｐ、。。、−〇
・・・・・・（１７） Ｐ　（３１Ｊ　　Ｐ　ｔｓｏ＋　　Ｐ　（ｚｎ　”　Ｐ
　、ｚｏ＋　＝　０・・・・・・（１８） Ｐ　（ｚｌｒ　＝　Ｐ　＜ｔｏ＋　”　Ｐ　（ｓｕ　　
Ｐ　＋３６１・・・・・・（１９） のように、内部の制御点Ｐ、ｔ＋＋を伜組み処理によっ
て既知の節点Ｐ（３゜、及び制御点Ｐ（ｔｏ＋、Ｐ（３
１１によって表すことができる。

さらに内部の制御点ｌ）。。について、（１２）式を展
開して整理すれば、 （ＥＦ’　　ＥＦ”　　Ｆ’　＋Ｆ”　）Ｐ（。。、＝
０・・・・・・（２０） Ｐ　１１：１１　　Ｐ　＋＋ｚ＋　　Ｐ　（０３１＋Ｐ
　（ｏｚ）＝　０・・・・・・（２１） Ｐ　（Ｉｔ＋　＝　Ｐ　ｔｒｘ）＋　Ｐ　（０２１Ｐ　
（ｏｚ）・・・・・・（２２） のように、内部の制御点Ｐ（＋１１１を枠組み処理によ
って既知の節点Ｐ、。１．及び制御点Ｐ（１３１，１）
、。ｔ。

によって表すことができる。

さらに内部の制御点Ｐ　（２２１について、（１３）式
を展開して整理すれば、 （Ｅ’　Ｆ’　−Ｅ’　Ｆ”　−Ｅ”　Ｆ３＋Ｅ”　Ｆ
”　）Ｐ、。。、＝０　　・旧・・（２３）Ｐ　（３ｘ
）Ｐ　＜ｓｚ＞　−Ｐ　（ｔｘ）＋　Ｐ　＋ｚｚ＋　＝
　０・・・・・・　（２４） Ｐ（２□）＝Ｐ（ｓｔｒ”Ｐ（ｔｓ＋　　　Ｐ（＊。

・・・・・・　（２５） のように、制御点Ｐ＜ｔ＊＋を枠組み処理によって既知
の節点Ｐａ１３＞及び制御点Ｐ（ｉｎ、Ｐ　（２３１に
よって表すことができる。

このようにして（１６）式、（１９）式、（２２）式、
（２５）式によって求められた内部の制御点ＰＨｔ＋、
Ｐ（ＩＪ１、Ｐｔ１ｚ＋、Ｐ１１＋１１は、それぞれ節
点Ｐ（（１０１％Ｐ　（３０１、Ｐ（ｏｉ＋、Ｐ＋ｚｚ
＞を基準にして、隣合う２つの境界曲線を規定する制御
点間に引いたベクトルの和として求めることができる。

例えば、節点Ｐ、。。、に対応する内部の制御点Ｐ０１
．について表せば、第２図に示すように、節点Ｐ（。。

、から境界曲線ＢＯＤ１の制御点Ｐ（１゜、に向かうベ
クトルをａとし、節点Ｐ（。。、から境界面′ｇＡＢ　
ＯＤ　４の制御点Ｐ（。９．に向かうベクトルをｈで表
し、節点Ｐ、。。、から内部の制御点Ｐ（ＩＪ１に向か
うベクトルをＣで表すとすれば、これらのベクトルａ、
ｂ、ｃはそれぞれ Ｐ　（１０１−Ｐ　（０＠ｌ　＝　ａ　　　　　　　−
−（２６）Ｐ（。＋１−Ｐ（。。、−ｂ　　　　　　・
・・・・・（２７）Ｐ　（ｌ　ＩＪ　　Ｐ　（００１＝
　Ｃ−・・・（２８）となる。そこで、（１６）式の両
辺から位置ベクトルＰ（。。、を減算すれば、次式 ％式％） のように変形できるから、（２９）式に上述の（２６）
式、（２７）式、（２８）式を代入すれば ｃ＝ａ＋ｂ　　　　　　　　　　　・・・・・・（３０
）の関係が得られる。（３０）式は、ベクトルＣすなわ
ち内部の制御点Ｐ（ＩＪ１の制御点Ｐ（。。、から見た
位置は節点Ｐ、。。、を挟んで隣合う制御点Ｐ（＋ｏ＋
及びＰ（。、に向かうベクトルａ及びｂの和であること
を表している。

このことは（１９）式、（２２）式、（２５）式で表さ
れる内部の制御点Ｐ（！０、Ｐｏ。、Ｐ（ｚｇ）につい
ても同様の関係にある。従って、内部の制御点Ｐ（、。

〜Ｐ（ｚｚ＋は、対応する節点を挟んで隣合う制御点に
向かうバク１−ルによって形成される平行四辺形の頂点
の位置に、４つの内部の制御点Ｐ、、１、ＰＨ＋＋、Ｐ
ＬＩｔ、、Ｐ（ｔｔ＋を設定したことを意味する。

−のようにすれば、内部に張るパッチの次数を、位置を
表すパラメータｕ、ｖによって偏微分することによって
低下させた条件の下に、当該条件を満足するような内部
の制御点の位置ベクトルを求めるようにしたことにより
、結果として境界曲線ＢＯＤＩ、ＢＯＤ２、ＢＯＤ５、
Ｂ　ＯＤ　４　ニよって規定されている四辺形枠組み空
間に対して、表面形状が急激に変化しない滑らかな曲面
をもった四辺形パッチを張ることができる。

（Ｇ２）第２実施例 第２実施例の場合、内部の制御点Ｐ（１＋）、Ｐ＋ｚｒ
＞、ＰＬＩｔ１、Ｐ（！２１は、（１）式をパラメータ
Ｕ及びＶについてそれぞれ２階偏微分して次式％式％ を求め、係数３６を除いた部分を Ｒ（ｔｌ＋ｌｌ）　＝　（１−ｕｎｕＥ）（Ｅ−１）”
（１−ｖ　＋　ｖ　Ｆ）（Ｆ　−１）”Ｐ　（００１＝
　０・・・・・・（３２） のようにＲ（ｕｎ　ｖｌ　　と訝くと共に、この式をＯ
と置く。このようにすると、（３１）式においてパラメ
ータＵ及びＶについて、（ｕ＝０．ｖ−０）、（Ｕ＝０
、Ｖ””１）、（ｕ−１、ｖ＝ｏ）（ｕ＝１、■＝１）
の４つの条件を入れることによって四辺形パッチＳ　（
ａｎ　ｖｌ　の内部の制御点Ｐ（ｌＩ、、Ｐａ１ｎ、Ｐ
ｎｚ＋、Ｐ（ｔ□、を未知数とし、これを枠組み処理に
よって既知数として与えられている節点及び制御点の位
置ベクトルによって表すことができる。

先ず（３１）式において（ｕ−０、■−０）を代入すれ
ば、次式 ％式％（３３） のようにベクトルＲ１゜。、によって表現し得、このベ
クトルＲ，。。、を（３２）式を用いて展開すると、Ｒ
（００＋＝　（Ｅ　　１）”　（Ｆ−１）”Ｐ（６６）
＝　（ＥｔＦ”　−２ＥＦχ十Ｆ２ −２Ｅ”　Ｆ＋４ＥＦ−２Ｆ ＋Ｅ”−２Ｅ＋１）Ｐ（。。。

−Ｐ　＜ｔｚ＋　−２Ｐ　＜Ｉｚ）＋　Ｐ　＜ａｔ＞　
　　２　Ｐ　＋ｔ＋＞＋４　Ｐ　＜、＋　　　２　Ｐ　
（６１１＋　Ｐ　ｔｚｏ＞２Ｐ（１゜、十Ｐ、。。、ミ
０ ・・・・・・　（３４） のように表すことができる。そしてこれを０とπいて左
辺に未知数を集めると共に、右辺に既知数を集めれば、 ４Ｐ（１１）　　２Ｐｕｚ＋　　２Ｐ、ｚｒ＞＋Ｐｔｚ
。

＝２Ｐ（。＋＞　＋　２　Ｐ　＜＋。＞　　（Ｐ（。ｔ
）＋　Ｐ　ｔｚｏ＞　十Ｐ　（１１０１）　　　・”　
−（３５）の関係を求めることができる。

以下同様にして（ｕ＝０、■＝１）、（ｕ＝１、■−〇
）、（ｕ＝１．Ｖ−１）と置いたときの条件式を（３３
）弐〜（３５）式に対応させてそれぞれ（３６）弐〜（
３８）式、（３９）弐〜（４１）式、（４２）弐〜（４
４）式に示すように求めることができる。

・・・・・・　（３６） Ｒ＋ｏｎ　＝　　（Ｅ−１）”Ｆ　　（Ｆ　　　１）”
Ｐ　＜ｏｏ＋＝　　（Ｅ”　　Ｆ”　　−２ＥＦ’　　
＋Ｆ３−２２”　　Ｆ”　　＋４２Ｆ”　　−２Ｆ”＋
Ｅ”　　Ｆ−２ＥＦ＋Ｆ）Ｐ（。。。

−Ｐ＜ｔｓ＋　　　２Ｐ（＋３）＋ＰＴ。３１−２　Ｐ
　（Ｉｌｌ＋　４　Ｐ　＜＋ｔ）　　２　Ｐ　＜ｏｔ）
”　Ｐ　（ｔｎ２　Ｐ　（１１）　”　Ｐ　（６１）　
＝　０・・・・・・　（３７） Ｐ　（ｌ　１１　＋４　Ｐ　Ｈ□）　十Ｐ　＋ｚｔ＋　
　２　Ｐ　（ｚｇ）−２Ｐ　ｔａｘ＞　＋　２　Ｐ　＜
ｏｘ）−（Ｐ　＋ｚ３＞＋ｐ、。３）　”　Ｐ　（。＋
１）　　　　　・・・・・・　（３８）・・・・・・　
（３９） Ｒ１１゜）＝Ｅ　　（Ｅ　　　１）”　　（Ｆ　　　１
）Ｐｔ。。。

＝　（Ｅ３Ｆ”　−２ＥＺ　Ｆ”　十ＥＦ”−２２”　
　Ｆ＋４Ｅ”　　Ｆ−２ＥＦ＋　Ｅ’　　　２　Ｅ”　
　＋　Ｅ）Ｐ　＜ａｏ＋＝Ｐ＋３ｇ＋　　　　　２Ｐｔ
ｚｚ＋　　＋　Ｐ　　（ｔｔ＋　　　　　２Ｐ＜３＋＋
＋　４　Ｐ　（を目−２Ｐ（ロ）＋　Ｐ　＜３（１）２
　Ｐ　（ｔｏ＋　＋　Ｐ　＜ｒｏｔ　＝　０・・・・・
・　（４０） ２Ｐｔ＋ｔ＋＋Ｐｕｚ＋＋４Ｐ＋ｚ＋ｓ　　　２Ｐ＜ｔ
ゎ＝　２　Ｐ　＋３ｔ＞　＋　２　Ｐ　＜ｔｏ＋　　　
（Ｐ　＜３ｚｓ＋　Ｐ　ｔｘｏ＋　＋　Ｐ　＜１ｏｔ）
　　　　・・・・”　　（４１）・・・・・・　（４２
） Ｒ（ｌＩｌ＝Ｅ　　（Ｅ　　　１）”Ｆ　　（Ｆ−１）
”　　Ｐ（６１１＋＝　　（Ｅ’　　Ｆ’　　−２Ｅ”
　　Ｆ”　　＋ＥＦ’−２Ｅ’　　Ｆ”　　＋４Ｅ”　
　Ｆ”　　−２ＥＦ！＋　Ｅ　’　　Ｆ　−２Ｅ　”　
　Ｆ　＋　Ｅ　Ｆ　）　　Ｐ　ｔ。。。

＝Ｐ　＜１１．　２　Ｐ　（２３）＋　Ｃ＋＋１＋　　
　２　Ｐ　（３２）＋　４　Ｐ　（、□Ｊ　　　２Ｐｕ
ｔ＋＋Ｐ（３ｎ２　Ｐ　＋ｚｕ　＋　Ｐ　（ＩＩ）　”
　０・・・・・・　（４３） Ｐ　ｉ＋ｕ　　　２　Ｐ　（ｔｚ＋　−２Ｐ　＜ｚＩ、
＋　４　Ｐ　ｔｚｚ）＝２Ｐ（寞ｓ＋　＋２　Ｐ　１３
０−　（Ｐ　ｔ＊ｚ＋”　Ｐ　（１３１＋　Ｐ　（：Ｉ
Ｉ１　）　　　　＝−（４４）かくして（３５）式、（
３８）式、（４１）式、（４４）式を用いて次式 ％式％ ２　Ｐ　＋ｚ：＋＋　”　Ｐ　（：１３１　）　　　・
・・・・・　（４８）のように連立方程式を立てれば、
左辺にある４つの未知数Ｐ（Ｉｌｌ、Ｐ０２．、Ｐ＋ｚ
ｕ、Ｐ（ｔｔ＋について右辺の既知の節点及び制御点を
用いて解（ことができる。

（４５）弐〜（４８）式は次の行列 で表すことができる。この行列から次のことが分かる。

すなわち四辺形パッチＳ（。＋Ｖｌ　の１つの頂点でな
る節点Ｐ、。。、に対応する制御点ＰＴＩ１１は、節点
Ｐ（。。）を挟むＶ及びＵ方向の境界曲線ＢＯＤ４の制
御点Ｐ（。３．、Ｐ（。２．及び境界曲線ＢＯＤ１の制
御点Ｐ（２６１％　Ｐ　（Ｉ　Ｏ＋で表される・以下同
様にして、他の３つの頂点でなる節点Ｐ　＜ｏｚ＋　−
、Ｐ　＜ｓｏ、、Ｐ（Ｉｆｆ＋に対応する制御点Ｐ（Ｉ
ｎ、Ｐ　（ｚｌｌ、Ｐ＋ｚｚ＋は、それぞれ節点Ｐ（０
３１、ＰＨ０Ｉ、ｒ’（３：１１を挟むＶ及びＵ方向の
境界曲線（ＢＯＤ４及びＢＯＤ３）、（ＢＯＤ２及びＢ
ＯＤ　１）、（ＢＯＤ２及びＢＯＤ３）の制御点（Ｐ（
。２１、Ｐ（０１１及びＰ　（２１１、Ｐ（１：１１）
、（ＰＨ１ｌ、Ｐ（ｆｆり及びＰ（１０いＰＨ０Ｉ）、
（Ｐ（３ｇ＋、Ｐｏ、及びＰ（＋３１、Ｐ＋２３１）で
表される。

このようにして第２の実施例によれば、四辺形パッチＳ
　＋ｕ＋ｖｌ　の内部の制御点Ｐ　（目１　ｓ、　Ｐ　
（２１１％Ｐ（１り、Ｐ　（２ｆｆｉｌを設定するにつ
きパッチＳ　（ｕｎｖｌをパラメータＵ及びＶについて
それぞれ２階偏微分することによって、条件式の次数を
低下させるようにしたことにより、これらの内部の制御
点ＰＴＩＩＩ〜Ｐｃ１ｔ＋によって規定される四辺形パ
ッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　　として清らがな曲面をもった
自由曲面を生成することができる。

これに加えて、これらの内部の制御点がそれぞれ対応す
る節点ｐｒｏｏ＋、Ｐ（３０１、Ｐ（ｆｆ３１、Ｐ＋ｏ
：ｎとの関係において、互いに交錯するような位置に位
置決めされるようなことをなくし得、かくして確実に滑
らかな曲面を生成させることができる。

（Ｇ３）他の実施例 ＋１）　　上述の実施例においては、枠組み空間に３次
のベジェ式で表されるパッチを張る場合について述べた
が、数式の次数はこれに限らず４次以上に選定しても良
い。

（２）　　さらに上述の実施例においてはベジェ式によ
って表されるパッチを張るようにした場合について述べ
たが、これに限らず、スプライン式、クーウンズ（Ｃｏ
ｏｎｓ）式、フオーガソン（Ｆｕｒｇａｓｏｎ）式など
の他のベクトル関数を用いるようにしても良い。

（２）また上述の実施例においては、四辺形枠組み空間
に張るべき四辺形パッチＳ　（ａｎ　ｖ）の式（（１）
式）を、パラメータＵ及びＶについてそれぞれ１階偏微
分、又は２階偏微分した実施例について述べたが、偏微
分の回数はパラメータＵ及びＶについて同一でなくとも
良い。例えばパラメータＵについて１階偏微分し、かつ
パラメータＶについて２階偏微分する方法又はその逆の
方法を用いても上述の場合と同様の効果を得ることがで
きる。

もちろん四辺形パッチＳ　（ｕｎ　ｖｌ　の表すベクト
ル関数の次数が４次以上になった場合には、偏微分の回
数を増すことができ、要は内部の制御点として４つの制
御点を未知数として連立方程式が立つように次数を低下
させていくようにすれば良い。

Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば四辺形枠組み空間に四辺形
パッチＳ　（ｕｎ　ＩＴ）を張るにつき、当該四辺形パ
ッチＳ　（ｕｎｖ）を表すベクトル関数をパラメータｕ
、ｖについて偏微分して次数を低下させることによって
内部の制御点を表す未知数を求めるようにしたことによ
り、四辺形枠組み空間に張ることができる四辺形パッチ
Ｓ　（ｕｎ　ｖｌ　　として滑らかな自由曲面を生成す
ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による自由曲面作成方法の一実施例を示
す路線図、第２図はその説明に供する路線図である。 Ｐ、。。１、Ｐ（３゜１、Ｐ（ｘｆｆ、、Ｐ（。３１．
・・・・・・節点、Ｐ（７０７、Ｐ　、ｔｏ＋　〜Ｐ　
＋ｏｚ）、Ｐ、。ｌ　１　”’　・・’境界曲線を規定
する制御点、Ｐ（Ｉｌｌ、ＰＴＺＩＩ、ｐ、□１、ＰＴ
ｌｔ）・・・・・・内部の制御点。 内部の（ｆ、１１４卸点、の設定 易　ｌ　図 Ｉ＃都の制悄浦、ヒ境界曲線の関イ系 易　２　図 手続補正書 昭和６１年７月ｎ日 １、事件の表示 昭和６１年特許願第６４５６０号 ２、発明の名称 自由曲面作成方法 ３、補正をする者 事件との関係　　特許出願人 住所　東京部品用区北品用６丁目７番３５号名称（２１
８）ソ　ニ　−　株　式　会　社代表者大賀典雄 ４、代理人　〒１５０（電話０３−４７０−６５９１）
住所　東京都渋谷区神宮前三丁目２２番１０号斉応ビル
４階 ６、補正の内容 （１）明細書、第８頁（１）式から１４行、「境界曲線
」を、「節点」と訂正する。 （２）同、第１０頁１０行、「規定さている」を、「規
定されている」と訂正する。 （３）同、第２９頁１５行及び１６行間に、下記の文を
挿入する。 「　因に、第２の実施例の場合のように、２階偏微分し
た式を０と置くことは、境界曲線における曲率に相当す
る係数を０と置くことを意味し、このことは、境界曲線
に平坦な面を張ることを表している。」

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に、位置を表すパラメータ
   を有するベクトル関数で表されるパッチを張ることによ
   り、自由曲面を生成するようになされた自由曲面作成方
   法において、 上記パッチを表すベクトル関数を上記パラメータについ
   て偏微分することによつて次数を低下させた条件式を得
   、当該条件式を用いて上記パッチを規定する内部の制御
   点を決める ことを特徴とする自由曲面作成方法。