JP5493434B2 - 環状構造体の振動解析方法及び環状構造体の振動解析用コンピュータプログラム - Google Patents

Description

本発明は、環状構造体の振動解析に関する。

近年は、コンピュータを用いた振動解析によって予め構造物の振動特性を把握して、構造物の設計や評価に利用することが行われている。例えば、特許文献１には、軸対称の構造物において、モード相関係数を用いて着目する特定の振動モードを判別する手法が開示されている。また、特許文献２には、軸対称の構造物において、モード刺激係数を用いて着目する特定の振動モードを判別する手法が開示されている。

特願２００５−０８４４６８号公報 特願２００５−０８４４６９号公報

ところで、特許文献１に開示された手法は、モード相関係数を用いるので、一度は他の手段で振動モードを判別する必要があり、振動モードの判別には手間を要する。また、特許文献１に開示された手法及び特許文献２に開示された手法では、固有振動解析は通常の手法なので、着目した振動モード以外の振動モードもすべて計算される。このため、特許文献１に開示された手法は、計算に時間を要する。また、着目した振動モード意外にも多数の振動モードが出現するため、着目した振動モードを抽出するために手間を要する。本発明は、振動解析の計算時間を短縮するとともに、着目した振動モードを抽出する手間を軽減することを目的とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係る環状構造体の振動解析方法は、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体を振動解析するにあたり、前記環状構造体を複数の節点で構成される複数の要素に分割して、数値解析可能な前記環状構造体の解析モデルを作成する手順と、当該解析モデルの異なる子午断面内の同じ位置に存在する節点を当該解析モデルの周方向１周分まとめて節点群とし、当該節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を、当該解析モデルの周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定して、振動解析を実行する手順と、を含むことを特徴とする。ここで、ｎは整数である。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記振動解析においては、振動モードの周方向次数が０次の場合には１個、１次以上の場合には２個の追加自由度を前記節点群に設定し、設定した追加自由度に従属となるように前記節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を規定することが望ましい。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記解析モデルは、前記環状構造体が周方向に等分割されるとともに、その分割数を偶数かつ４８以上とすることが望ましい。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記分割数は、６０以上３６０以下であることが望ましい。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記環状構造体の周上で均一な予荷重が作用する場合、前記振動解析の前に、前記解析モデルの周上における変形を考慮して予荷重の解析を実行し、前記振動解析において、前記節点群の変位を規定することが望ましい。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記環状構造体はタイヤであり、前記振動解析では、少なくとも０次及び１次の振動モードを解析することが望ましい。

本発明の好ましい態様としては、前記環状構造体の振動解析方法において、前記振動解析は固有値解析であり、当該固有値解析を実行した後における前記追加自由度の各振動モードの値に基づいて、前記環状構造体の振動モードを判別することが望ましい。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係る環状構造体の振動解析用コンピュータプログラムは、前記環状構造体の振動解析方法をコンピュータに実行させることを特徴とする。

本発明は、振動解析の計算時間を短縮できるとともに、着目した振動モードを抽出する手間を軽減できる。

図１は、タイヤの子午断面図である。 図２は、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を実行する振動解析装置を示す説明図である。 図３は、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法の手順を示すフローチャートである。 図４は、タイヤモデルの一例を示す斜視図である。 図５は、図４に示すタイヤモデルの子午断面図である。 図６は、図５に示すタイヤモデルの側面図である。 図７は、周方向１次／断面２次の振動モードにおいて、タイヤモデルの複数の異なる子午断面内における同じ位置での周上における振動モードの成分を示す図である。 図８は、図７に示す振動モードの次数成分の比率を示す図である。 図９は、タイヤモデルを円筒座標系で表した模式図である。 図１０は、図９のＸ軸方向からタイヤモデルを見た状態を示す模式図である。

以下、本発明につき図面を参照しつつ詳細に説明する。なお、以下に説明する発明を実施するための形態（以下実施形態という）の内容によりこの発明が限定されるものではない。また、以下の構成要素には、当業者が容易に想定できるもの、実質的に同一のものが含まれる。以下においては、振動解析の対象をタイヤ（空気入りタイヤを含む）とするが、本発明は、環状構造体であって、周方向に向かっていずれの子午断面（前記環状構造体の中心軸と平行かつ前記中心軸を含む平面で前記環状構造体を切った断面）も同様の形状であるもの（軸対称環状構造物）であれば適用できる。

図１は、タイヤの子午断面図である。タイヤ１は、回転軸（Ｙ軸）を中心として回転する環状構造体であり、中心軸の周りに、周方向に向かって同様の形状の子午断面が展開される。図１に示すように、タイヤ１の子午断面には、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４、ビードコア５が現れている。タイヤ１は、母材であるゴムを、補強材であるカーカス２、ベルト３、あるいはベルトカバー４等の補強コードによって補強した複合材料の構造体である。ここで、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４等の、金属繊維や有機繊維等のコード材料で構成される補強コードの層をコード層という。

カーカス２は、タイヤ１に空気を充填した際に圧力容器としての役目を果たす強度メンバーであり、その内圧によって荷重を支え、走行中の動的荷重に耐えるようになっている。ベルト３は、キャップトレッドとカーカス２との間に配置されたゴム引きコードを束ねた補強コードの層である。なお、バイアスタイヤの場合にはブレーカと呼ぶ。ラジアルタイヤにおいて、ベルト３は形状保持及び強度メンバーとして重要な役割を担っている。

ベルト３の接地面Ｇ側には、ベルトカバー４が配置されている。ベルトカバー４は、例えば有機繊維材料を層状に配置したものであり、ベルト３の保護層としての役割や、ベルト３の補強層としての役割を持つ。ビードコア５は、内圧によってカーカス２に発生するコード張力を支えているスチールワイヤの束である。ビードコア５は、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４及びトレッドとともに、タイヤ１の強度部材となる。キャップトレッド６の接地面Ｇ側には、溝７が形成される。これによって、雨天走行時の排水性を向上させる。また、タイヤ１の側部はサイドウォール８と呼ばれており、ビードコア５とキャップトレッド６との間を接続する。また、キャップトレッド６とサイドウォール８との間はショルダー部Ｓｈである。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を実行する装置について説明する。

図２は、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を実行する振動解析装置を示す説明図である。本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法は、図２に示す振動解析装置５０によって実現できる。図２に示すように、振動解析装置５０は、処理部５２と記憶部５４とで構成される。また、この振動解析装置５０には、入出力装置５１が接続されており、ここに備えられた入力手段５３でタイヤモデルを構成するゴムの物性値や補強コードの物性値、あるいは振動解析における境界条件や解析する振動モードの数等を処理部５２や記憶部５４へ入力する。

ここで、入力手段５３には、キーボード、マウス等の入力デバイスを使用することができる。記憶部５４には、この実施例に係る構造物の振動モード判別方法を含むコンピュータプログラムが格納されている。ここで、記憶部５４は、ハードディスク装置や光磁気ディスク装置、又はフラッシュメモリ等の不揮発性のメモリ（ＣＤ−ＲＯＭ等のような読み出しのみが可能な記憶媒体）や、ＲＡＭ（Random Access Memory）のような揮発性のメモリ、あるいはこれらの組み合わせにより構成することができる。

また、上記コンピュータプログラムは、コンピュータシステムにすでに記録されているコンピュータプログラムとの組み合わせによって、本発明に係る構造物の振動モード判別方法を実現できるものであってもよい。また、処理部５２の機能を実現するためのコンピュータプログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することにより本発明に係る構造物の振動モード判別方法を実行してもよい。なお、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳ（Operating System）や周辺機器などのハードウェアを含むものとする。

処理部５２は、モデル作成部５２ａと振動解析部５２ｂとを含む。モデル作成部５２ａは、振動解析に供する解析モデルを作成して、記憶部５４に格納する。振動解析部５２ｂは、モデル作成部５２ａが作成した解析モデルを記憶部５４から読み出し、その解析モデルに対して本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法に基づいた振動解析を実行する。そして、振動解析部５２ｂは、解析結果を表示手段５５に表示させたり、記憶部５４に格納したりする。

処理部５２は、例えば、メモリ及びＣＰＵ（Central Processing Unit）により構成されている。環状構造体の振動解析時においては、モデル作成部５２ａが作成した解析モデルや入力データ等に基づいて、処理部５２が前記プログラムを処理部５２に組み込まれたメモリに読み込んで演算する。その際に処理部５２は、記憶部５４へ演算途中の数値を適宜格納し、また記憶部５４へ格納した数値を取り出して演算を進める。なお、この処理部５２は、前記コンピュータプログラムの代わりに専用のハードウェアによって、その機能を実現するものであってもよい。予測結果は、入出力装置の表示手段５５に表示される。

ここで、表示手段５５には、液晶表示装置やＣＲＴ（Cathode Ray Tube）等を使用することができる。また、予測結果は、必要に応じて設けられたプリンタに出力することもできる。ここで、記憶部５４は、他の装置（例えばデータベースサーバ）内にあってもよい。例えば、振動解析装置５０は、入出力装置５１を備えた端末装置から通信により処理部５２や記憶部５４にアクセスするものであってもよい。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を説明する。

図３は、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法の手順を示すフローチャートである。図４は、タイヤモデルの一例を示す斜視図である。図５は、図４に示すタイヤモデルの子午断面図である。図６は、図５に示すタイヤモデルの側面図である。本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を実行するにあたり、ステップＳ１０１で、図２に示す振動解析装置５０のモデル作成部５２ａは、振動解析の対象であるタイヤの解析モデル（以下タイヤモデルという）１０を作成する。

タイヤモデル１０は、有限要素法や有限差分法等の数値解析手法を用いて振動解析を行うために用いるモデルで、例えば、コンピュータを用いて数値解析可能なモデルであり、数学的モデルや数学的離散化モデルを含む。本実施形態では、タイヤモデル１０の振動解析に、有限要素法（Finite Element Method：ＦＥＭ）を使用する。なお、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法に適用できる解析手法は有限要素法に限られず、有限差分法（Finite Differences Method：ＦＤＭ）や境界要素法（Boundary Element Method：ＢＥＭ）等も使用できる。また、境界条件等によって最も適当な解析手法を選択し、又は複数の解析手法を組み合わせて使用することもできる。なお、有限要素法は、構造解析に適した解析手法なので、特にタイヤのような構造体に対して好適に適用できる。

ステップＳ１０１において、モデル作成部５２ａは、環状構造体であるタイヤ１を、複数かつ有限個の要素Ｅ１、Ｅ２・・・Ｅｎに分割して、図４、図５に示すタイヤモデル１０を作成する。複数の要素Ｅ１、Ｅ２・・・Ｅｎは、それぞれ複数の節点で構成される。本実施形態では、タイヤモデル１０は図４に示すような三次元形状の解析モデルとなる。なお、図５は、タイヤモデル１０の回転軸（Ｙ軸）を含み、かつ前記回転軸（Ｙ軸）に平行な平面でタイヤモデル１０を切った場合の断面（子午断面）である。

タイヤモデル１０を構成する要素には、例えば、三次元体では四面体ソリッド要素、五面体ソリッド要素、六面体ソリッド要素等のソリッド要素や三角形シェル要素、四角形シェル要素等のシェル要素、面要素等、コンピュータで取り扱い得る要素とすることが望ましい。このようにして分割された要素は、解析の過程においては、三次元モデルでは三次元座標を用いて逐一特定される。

ステップＳ１０１でタイヤモデル１０が作成されたらステップＳ１０２へ進む。ステップＳ１０２では解析条件が設定される。例えば、振動の周波数範囲や解析するモード数等が設定される。解析条件は、例えば、図２に示す振動解析装置５０の入力手段５３を介して入力されて、記憶部５４に格納される。解析条件が設定されたら、ステップＳ１０３へ進み、振動解析装置５０の振動解析部５２ｂは、振動解析を実行する。振動解析としては、例えば、固有値解析や応答解析等がある。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法における振動解析について説明する。

例えば、タイヤの周方向１次／断面２次の振動モードに着目して、あるタイヤモデルに対して固有値解析を実行する場合、現状は、着目する振動モードが含まれると予想される振動モードの個数や周波数範囲を設定して固有値解析を実行する。表１は、タイヤの周方向１次／断面２次の振動モードに着目して、あるタイヤモデルに対して固有値解析を実行した結果を示したものであるが、着目する周方向１次／断面２次の振動モードは、モード番号７３、７４に表れている。

このように、周方向１次／断面２次の振動モードに着目した場合、モード番号１〜７２までの振動モードは不要であり、コンピュータは余分な計算を実行していることになる。また、７０個以上の振動モードから着目する周方向１次／断面２次の振動モードを抽出するのにも手間を要する。このように、現状の振動解析においては、振動モードの次数が大きくなるにしたがって数多くの振動モードが出現し、膨大な計算時間が必要になる。また、得られた膨大な振動モードから着目すべき振動モードを抽出するのも手間と時間とを要するという問題がある。本実施形態では、環状構造体の振動解析において、計算の効率化（計算時間の短縮）及び着目する振動モードを効率的に抽出するため、次のような手法を用いて、不要な振動モードの計算を低減する。

図７は、周方向１次／断面２次の振動モードにおいて、タイヤモデルの複数の異なる子午断面内における同じ位置での周上における振動モードの成分を示す図である。図８は、図７に示す振動モードの次数成分の比率を示す図である。図７は、タイヤモデル１０の周方向に向かって複数の異なる子午断面内の同じ位置における、タイヤモデル１０の周上での振動モードの半径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙをそれぞれ示している。図８は、図７に示す振動モードの半径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙを、それぞれフーリエ変換等により次数分析して、最大となる次数の成分に対する次数成分の比率を各次数に対して表したものである。ここで、次数成分の比率は、タイヤモデル１０の周上における振動モードの基本調波と高調波との比率を表したものに相当する。

図５は、図４に示すタイヤモデル１０の子午断面を表す解析モデル（子午断面モデル１０Ｃｉ、ｉはそれぞれの子午断面モデルを識別する番号）を示している。子午断面モデル１０Ｃｉは、タイヤモデル１０の周方向の分割数に応じた数だけ存在する。図６に示す例では、タイヤモデル１０が周方向にＩ分割されているものとし、Ｉ個の子午断面モデル１０Ｃ１、・・・１０Ｃｉ−１、１０Ｃｉ、１０Ｃｉ＋１、・・・１０ＣＩがタイヤモデル１０の周上に存在する。図７に示す例は、図５の子午断面モデル１０Ｃｉの節点Ｎｉ（すなわち、子午断面モデル１０Ｃｉの踏面であって、赤道面と交差する部分の節点）の振動モードを、複数の異なる子午断面モデル１０Ｃ１、・・・１０Ｃｉ−１、１０Ｃｉ、１０Ｃｉ＋１、・・・１０ＣＩにおける同じ位置の節点に対して求めたものである。

図７の周上位置αは、図４、図６に示すタイヤモデル１０の周上位置であり、図６のＸ軸を０ｒａｄとしたときにおける、Ｙ軸を中心としたＸ軸からの回転角度で表される。周上位置αは、図６のＸ軸を中心として時計回りに増加して、Ｙ軸周りを１周してもとのＸ軸に戻る。図７から分かるように、中心軸（タイヤの回転軸Ｙ）周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体（例えば、タイヤ）は、異なる子午断面内における同じ位置における周上での振動モードの半径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙは、いずれも正弦波（あるいは余弦波）である。

そして、いずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体では、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、周方向の振動モードの次数に対する振動のみであり、周方向の振動モードの次数よりも小さい次数や大きい次数の振動の成分は含まない。図７、図８に示す例では、周方向の振動モードの次数が１次なので、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは基本次数（１次）に対する振動の成分のみであり、均等な成分（０次）や高調波成分（２次以上）は含まない。

なお、図７、図８は、タイヤモデル１０の周方向１次／断面２次の振動モード、かつ子午断面モデル１０Ｃｉの踏面であって、赤道面と交差する部分の節点Ｎｉでの結果であるが、他の振動モード、節点でも同様である。例えば、図７に示す例では、周方向の振動モードの次数が１次であるが、周方向の振動モードの次数がｍ次（ｍは整数）である場合、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、ｍ次の成分のみを有することになる。このように、いずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体では、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、特定の次数（周方向の振動モードの次数）以外は持たない。

本実施形態では、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体は、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは特定の次数のみを有することを利用して、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形を規制する。すなわち、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは特定の次数のみを有することから、異なる子午断面の同じ位置における周方向１周分の節点群の振動は、正弦波（あるいは余弦波）で決定できる。したがって、前記節点群を構成するすべての節点の変位は、正弦波（あるいは余弦波）及び位相によって定められるので、前記節点群を構成するすべての節点の自由度を独立に設定する必要がなくなる。これによって、独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形を規制することにより、振動解析においては、規制された振動モードのみが計算されるので、出現する振動モードの数を低減できる。その結果、着目する振動モードを効率的に抽出できる。

図９は、タイヤモデルを円筒座標系で表した模式図である。図１０は、図９のＸ軸方向からタイヤモデルを見た状態を示す模式図である。図９、図１０に示す節点Ｎｉは、ある子午断面モデル１０Ｃｉ内に存在する。半径方向Ｒ、周方向Ｔ、横方向Ｙ（タイヤモデル１０の回転軸Ｙと平行）の円筒座標系（Ｒ、Ｔ、Ｙ）としたとき、節点Ｎｉの変位は、半径方向の成分をΔＲ_ｉ、周方向の成分をΔＴ_ｉ、横方向の成分をΔＹ_ｉとすると、ΔＲ_ｉ、ΔＴ_ｉ、ΔＹ_ｉは、それぞれ式（１）、式（２）、式（３）のようになる。

ここで、ｎは着目する周方向の振動モードの次数、ｉはタイヤモデル１０の周方向における分割数であり子午断面モデル１０Ｃｉを識別する番号、θは子午断面モデル１０Ｃｉの位置を示す中心角、ｑ_１ｎ、ｑ_２ｎはＲ成分の追加自由度、ｓ_１ｎ、ｓ_２ｎはＴ成分の追加自由度、ｐ_１ｎ、ｐ_２ｎはＹ各成分の追加自由度である。追加自由度がそれぞれの成分に対してそれぞれ２個存在するのは、振動の腹及び節の位置を固定させないためである。なお、ｎ＝０である場合、ｓｉｎ（０×θ_ｉ）＝０となるので、追加自由度は１個になり、ｎが１以上であれば、追加自由度は２個になる。

節点Ｎｉの変位の半径方向の成分ΔＲ_ｉ、周方向の成分ΔＴ_ｉ、横方向の成分ΔＹ_ｉを、直交座標系（Ｘ、Ｙ、Ｚ）におけるＸ方向の成分ΔＸ_ｉ、Ｙ方向の成分ΔＹ_ｉ、Ｚ方向の成分ΔＺ_ｉを用いて表現すると、ΔＲ_ｉは式（４）、ΔＴ_ｉは式（５）、ΔＹ_ｉは上述した式（３）のようになる。

式（１）＝式（４）としてΔＲ_ｉを消去し、また、式（３）＝式（５）としてΔＴ_ｉを消去して、ΔＸ_ｉ、ΔＺ_ｉについて整理すると、直交座標系（Ｘ、Ｙ、Ｚ）における節点Ｎｉの変位は、式（６）、式（７）、式（８）のようになる。

ステップＳ１０３における振動解析においては、式（６）、式（７）、式（８）をタイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在するそれぞれの節点Ｎｉに付与し、節点群として取り扱う。すなわち、振動解析部５２ｂは、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉをタイヤモデル１０の周方向１周分まとめて節点群とする。そして、振動解析部５２ｂは、前記節点群に含まれるそれぞれの節点Ｎｉの変位を、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定して、振動解析を実行する。ここで、ｎは整数（０及び正の整数）である。なお、ｎ＝０の場合は、余弦波を用いる必要があり、ｃｏｓ（０）＝１であるため、タイヤモデル１０は、周上で一様な変形をする。

例えば、振動解析装置５０の記憶部５４に式（６）、式（７）、式（８）を格納しておく。振動解析においては、振動解析部５２ｂが記憶部５４から式（６）、式（７）、式（８）を読み出し、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を、式（６）、式（７）、式（８）で定義する。そして、振動解析部５２ｂは、この定義に基づいて振動解析を実行し、その結果を記憶部５４に保存する。ここで、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉは、それぞれの子午断面モデル１０Ｃｉ内における節点の座標で特定される。すなわち、それぞれの子午断面モデル１０Ｃｉ間において同じ座標の節点が、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉとして特定され、節点群として取り扱われる。

これによって、振動解析においては、前記節点群の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形が規制されるので、規制された振動モードのみが計算される。その結果、振動解析では、出現する振動モードの数を低減できるので、着目する振動モードを効率的に抽出できる。また、本実施形態では、追加自由度を規定する関係式である式（６）、式（７）、式（８）をタイヤモデル１０の節点に付与すればよいので、振動解析以外の解析（例えば、転動解析やインフレート解析）に前記関係式を除去することで、振動解析とその他の解析とで共通のタイヤモデルを用いることもできる。これによって、異なる解析においてもタイヤモデルを複数用意する必要はないので、評価の効率化を図ることができる。さらに、本実施形態では、モード刺激係数を用いないので、着目する振動モードに制限はない。

なお、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定する節点群は、子午断面内に存在する少なくとも一つの節点に対して規定すればよい。このようにしても、タイヤモデル１０全体の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、節点Ｎｉの並進３成分（ΔＸ_ｉ、ΔＹ_ｉ、ΔＺ_ｉ）のうち少なくとも一つに対して、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定してもよい。このようにしても、タイヤモデル１０全体の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。

また、サイクル（次数ｎ）は単独でもよいし、複数でもよい。後者の意味は、例えば、ｎ＝１、ｎ＝２、ｎ＝３を足し合わせてもよいということである。すなわち、例えば、節点Ｎｉの変位ΔＸ_ｉについては、ΔＸ_ｉ（ｎ＝１）＋ΔＸ_ｉ（ｎ＝２）＋ΔＸ_ｉ（ｎ＝３）としてもよい。これによって、周方向の振動モードを複数重ね合わせて表現することができる。

（評価例１）
サイズが２１５／５５Ｒ１７のタイヤを周方向の分割数を１４４としてタイヤモデルを作成し、２２０ｋＰａの空気圧を充填した上で、異なる子午断面の同じ位置に存在する複数（タイヤモデル１０週分）の節点からなる節点群の振動モードが、周方向１次成分のみに規定されるように節点の変位を付与した（実施例１）。具体的には、式（６）、式（７）、式（８）において、ｎ＝１、ｉ＝１４４とした。この状態で５００Ｈｚまでの固有値解析を実行し、周方向１次／断面２次の振動モードに着目して、これを抽出した。そのときの計算時間、計算したモード数（計算モード数）、周方向１次／断面２次の振動モードの固有値、前記振動モードが出現したモード番号を表２に示す。なお、比較例１は、従来の手法、すなわち、節点群の変形を規制しない場合の結果である。

計算時間は、実施例１の方が比較例１の１／５以下となっており、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法によれば、大幅な計算時間の短縮が実現できる。また、計算モード数も実施例１の方が比較例１の１／１０以下となっており、計算時間の短縮に寄与している。一方、固有値は実施例１も比較例１も同じ値であり、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法による解析精度の低下は発生していない。また、周方向１次／断面２次の振動モードは、比較例１ではモード番号７３、７４であるが、実施例１では７、８である。このように、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法では、出現する振動モードの数を低減できるので、着目する振動モードを効率的に抽出できる。

なお、固有値解析の周波数を規定するのではなく、固有値解析の計算モード数を規定した場合、計算時間は比較例１が１００に対して実施例１は３７となり、振動モードの最大の固有値は比較例１が３０９Ｈｚに対して実施例１は１０７３Ｈｚとなる。このように、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法では、従来と同じ計算モード数である場合には、より広い周波数の範囲で固有値解析を実行できる。

ステップＳ１０３の振動解析においては、着目する振動モードの周方向次数が０次（すなわちｎ＝０）である場合には１個、１次以上（ｎ≧１）の場合、振動解析部５２ｂは、２個の追加自由度を節点群に設定する。そして、振動解析部５２ｂは、設定した追加自由度に従属となるように、節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を規定する。これによって、タイヤモデル１０の周方向で、π／（２×ｎ）だけ振動の腹／節の位置がずれた重根の振動モードを適切に表現させることができる。なお、０次、すなわちｎ＝０はタイヤモデル１０の周方向において一様な変位になるため、追加自由度は一つで表現できる。また、タイヤのように、異方性を有する補強コード層（図１に示すカーカス２やベルト３）が斜めに配置された構造物の場合、タイヤモデル１０の周方向における振動の腹や節の位置が子午断面の位置によって異なる。このため、振動の腹や節を任意に表現できるように、追加自由度は２個とすることが好ましい。

次に、タイヤモデル１０の周方向の分割について説明する。タイヤモデル１０の周方向の分割が不等分割であると、タイヤモデル１０の周方向で要素の形状が異なることによる振動モードの不均一が発生し、解析精度が低下するおそれがある。このため、タイヤモデル１０の周方向を等分割することにより、解析精度の低下を抑制する。

また、タイヤモデル１０の周方向の分割数が少ないと、タイヤモデル１０が多角形形状になり解析精度が低下するので、分割数は４８以上、好ましくは６０分割以上が望ましい。しかしながら、３６０分割を超えても実質的に解析精度の向上は認められない。また、上述した関係式で周方向の節点群の変位を規制するため、分割数が増加しても独立な自由度の数に変化はないが、前記関係式をタイヤモデル１０へ組み込む過程で計算時間が増加してしまう。このため、タイヤモデル１０の周方向の分割は３６０分割以下が好ましい。

タイヤモデル１０の周方向の分割数が奇数である場合、重根のモードで腹や節の位置が要素間と要素境界とに分かれてしまい、要素分割の影響を受ける。その結果、振動解析で計算される固有振動数が分裂してしまい、解析精度の低下を招くおそれがある。このため、タイヤモデル１０の周方向の分割数は偶数であることが好ましい。これによって、解析精度の低下を抑制できる。

タイヤの周上で均一な予荷重（例えば、内圧の付与）が作用する場合、ステップＳ１０３の振動解析の前に、振動解析部５２ｂは、タイヤモデル１０の周上における変形を考慮して、すなわち、周上における均等な変形を抑制せずに予荷重の解析を実行する。そして、振動解析において、振動解析部５２ｂは、上述した関係式により、節点群の変位を規定する。これによって、予荷重の効果を考慮することができる。予荷重を計算するときには、上述した関係式を無効にしてもよいし、０次、すなわち、ｎ＝０を含む関係式を用いてもよい。すなわち、０次が均一な変形を表現する次数なので、ｎ＝０とすれば予荷重の効果を計算できる。上述した関係式を用いる場合、予荷重の計算時には少なくとも０次を有効にして、振動解析時に不要であれば、振動解析部５２ｂは、０次の自由度を、予荷重を計算した後の値で拘束して振動解析を実行してもよい。

（評価例２）
評価例１で用いたタイヤモデルに対して予荷重解析及び固有値解析を実行し、剛体リングモードを計算した。比較例２は、上述した関係式を用いない従来の手法に基づく結果であり、比較例２は、上述した関係式を用いるとともに、予荷重解析時規定次数及び固有値解析時規定次数を１次のみ（ｎ＝１）としたものである。実施例２は、上述した関係式を用いるとともに、予荷重解析時規定次数及び固有値解析時規定次数をそれぞれ０次（ｎ＝０）及び１次（ｎ＝１）としたものである。実施例３は、上述した関係式を用いるとともに、予荷重解析時規定次数を０次（ｎ＝０）及び１次（ｎ＝１）とし、固有値解析時規定次数を１次のみ（ｎ＝１）としたものである。

表３の結果から分かるように、予荷重解析時に０次を含まないと（比較例３）、予荷重の影響を考慮できず、横１次の振動モード、半径１次の振動モードの値が比較例２よりも小さい値となり、解析精度が低下する。一方、予荷重解析時に０次を含めると（実施例２、３）、予荷重の影響を考慮できるので、解析精度の低下は回避できる。また、実施例３のように、固有値解析時に０次を含まないと、ｎ＝０に対応する横０次の振動モード及び回転ねじりの振動モードは出現しない。これによって、固有値解析で出現する振動モードの数を低減できるので、不要な次数がある場合には、それを用いないことで、出現する振動モードの数を低減して、計算時間を短縮できる。

本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法は、上述したように、タイヤに適用することが好ましい。これは、タイヤは振動解析の対象とする周波数の範囲内に、振動モードが数多く存在するため、本実施形態に係る環状構造体の振動解析方法を適用すれば、計算時間を短縮できるとともに、出現する振動モードも低減できるので、解析の効率が向上するからである。タイヤでは、軸への応答に影響する０次及び１次の振動モードが重要であり、２次以上の振動モードは対称であるため軸応答に寄与しない。また、ホイールにタイヤを嵌合したり、タイヤ内へ空気モデルが組み込まれたりしてもよい。この場合、上記関係式をホイールモデルや空気モデルに与えてもよいが、同じ周波数領域にあるホイールや空気のモードの数はタイヤに比べて少なく、計算されるモード数（計算モード数）への影響が小さい。このため、上記関係式をホイールモデルや空気モデルに与えなくてもよい。

振動解析に固有値解析を用い、解析後における追加自由度の各振動モードの値を用いて、タイヤ（環状構造体）の振動モードを判別できる。すなわち、タイヤ（環状構造体）の半径方向、周方向、横方向の各方向、及び各次数に対して追加自由度の大きさを比較すれば、どの自由度が大きいかにより、振動モードを判別できる。判別に用いる子午断面内の節点の位置は、タイヤモデル１０の代表となる節点が好ましく、少なくとも１点あればよい。表４に計算例を示す。

評価例１で用いたタイヤモデルで０次、１次、２次、３次までをそれぞれ規定して（ｎ＝０、１、２、３）固有値解析を実行し、半径方向、周方向、横方向それぞれに対して、各方向の追加自由度に基づく判別パラメータをそれぞれの振動モード（モード番号）に対して求めた。ここで、判別パラメータは、余弦（ｃｏｓ）成分及び正弦（ｓｉｎ）成分にそれぞれ対応する追加自由度ｆ_１ｎ、ｆ_２ｎから、√（ｆ_１ｎ ^２＋ｆ_２ｎ ^２）のように合成した大きさを計算し、さらにそれを各振動モードでの追加自由度の最大値ｆｍａｘで規格化する。半径方向の追加自由度ｑ_１ｎ、ｑ_２ｎに基づく判別パラメータＲＦは式（９）で、周方向の追加自由度ｓ_１ｎ、ｓ_２ｎに基づく判別パラメータＴＦは式（１０）で、追加自由度ｐ_１ｎ、ｐ_２ｎに基づく判別パラメータＹＦ式（１１）で求める。判別パラメータに用いた追加自由度は、タイヤモデル１０のトレッドセンターを規定する節点群のものを用いた。
ＲＦ＝√（ｑ_１ｎ ^２＋ｑ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（９）
ＴＦ＝√（ｓ_１ｎ ^２＋ｓ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（１０）
ＹＦ＝√（ｐ_１ｎ ^２＋ｐ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（１１）

表４には判別パラメータの値が記述されており、判別パラメータの値が１になっている方向及び次数の振動モードであると判別する。例えば、モード番号２、３においては、横方向１次の振動モードであり、モード番号５、６においては、径方向１次／周方向１次の振動モードであると判別できる。特に、半径方向の振動モードは、次数が低い場合に周方向の振動モードと連動するが、表４に示すように、径方向及び周方向それぞれの判別パラメータの値を参照することで、いずれの方向の振動モードであるかの判別は容易である。

以上のように、本発明に係る環状構造体の振動解析方法及び環状構造体の振動解析用コンピュータプログラムは、環状構造体の振動解析に有用であり、特に、周方向に向かっていずれの子午断面の形状も同様である環状構造体の振動解析に適している。

１ タイヤ
２ カーカス
３ ベルト
４ ベルトカバー
５ ビードコア
６ キャップトレッド
７ 溝
８ サイドウォール
１０ タイヤモデル
１０Ｃｉ 子午断面モデル
５０ 振動解析装置
５１ 入出力装置
５２ 処理部
５２ａ モデル作成部
５２ｂ 振動解析部
５３ 入力手段
５４ 記憶部
５５ 表示手段

Claims (9)

1. 中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体を振動解析するにあたり、
   コンピュータが、
   前記環状構造体を複数の節点で構成される複数の要素に分割して、数値解析可能な前記環状構造体の解析モデルを作成する手順と、
   当該解析モデルの異なる子午断面内の同じ位置に存在する節点を当該解析モデルの周方向１周分まとめて節点群とし、当該節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を、当該解析モデルの周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定して、振動解析を実行する手順と、
   を含み、前記振動解析は固有値解析であり、当該固有値解析を実行した後における節点群の正弦波の追加自由度と余弦波の追加自由度との二乗和を振動モード毎に求め、得られた値に基づいて前記環状構造体の振動モードを判別することを特徴とする環状構造体の振動解析方法。
   ここで、ｎは整数。
2. 前記振動解析においては、振動モードの周方向次数が０次の場合には１個、１次以上の場合には２個の追加自由度を前記節点群に設定し、設定した追加自由度に従属となるように前記節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を規定する請求項１に記載の環状構造体の振動解析方法。
3. 前記解析モデルは、前記環状構造体が周方向に等分割されるとともに、その分割数を偶数かつ４８以上とする請求項１又は２に記載の環状構造体の振動解析方法。
4. 前記分割数は、６０以上３６０以下である請求項３に記載の環状構造体の振動解析方法。
5. 前記環状構造体の周上で均一な予荷重が作用する場合、
   前記振動解析の前に、前記解析モデルの周上における変形を考慮して予荷重の解析を実行し、
   前記振動解析において、前記節点群の変位を規定する請求項１から４のいずれか１項に記載の環状構造体の振動解析方法。
6. 前記環状構造体の周上で均一な予荷重が作用する場合、
   前記振動解析の前に、周上における均等な変形を抑制せずに予荷重の解析を実行し、
   前記振動解析において、前記節点群の変位を規定する請求項１から４のいずれか１項に記載の環状構造体の振動解析方法。
7. 前記環状構造体はタイヤであり、前記予荷重は、前記タイヤに付与された内圧である、請求項５又は６に記載の環状構造体の振動解析方法。
8. 前記環状構造体はタイヤであり、前記振動解析では、少なくとも０次及び１次の振動モードを解析する請求項１から７のいずれか１項に記載の環状構造体の振動解析方法。
9. 請求項１から８のいずれか１項に記載の環状構造体の振動解析方法をコンピュータに実行させることを特徴とする環状構造体の振動解析用コンピュータプログラム。

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