JP5445198B2 - 環状構造体の振動モード判別方法及び環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム - Google Patents

Description

本発明は、環状構造体を振動解析して、振動モードを判定することに関する。

近年は、コンピュータを用いた振動解析によって予め構造物の振動特性を把握して、構造物の設計や評価に利用することが行われている。例えば、特許文献１には、軸対称の構造物において、モード相関係数を用いて着目する特定の振動モードを判別する手法が開示されている。また、特許文献２には、軸対称の構造物において、モード刺激係数を用いて着目する特定の振動モードを判別する手法が開示されている。

特開２００５−０８４４６８号公報 特開２００５−０８４４６９号公報

環状構造体の振動モードは、振動の方向と、周上における振動に対応する周上次数と、子午断面における振動に対応する断面次数とによって決定される。断面次数を求めることについては手間を要し、特に、高次の振動モードの断面次数を求めることには手間を要する。本発明は、振動モードを判別するにあたって、断面次数を求めることを目的とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係る環状構造体の振動モード判別方法は、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体を振動解析する手順と、当該振動解析の解析結果から、前記環状構造体の周方向での次数成分を振動の方向毎に求める手順と、前記次数成分の大きさから、前記環状構造体の振動の方向と周上次数とを求める手順と、前記環状構造体の振動の腹となる前記環状構造体の子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求める手順と、求められた前記観測点の振動情報の変化から当該観測点の振動の節を抽出し、抽出された前記振動の節の数に基づいて前記環状構造体の断面次数を求める手順と、を含むことを特徴とする。

本発明の望ましい態様としては、前記観測点の数をＪ、求めようとする前記環状構造体の断面次数をＱとしたとき、Ｊは３以上かつＪ＝２×Ｑ＋１であることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、振動の方向が横方向及び周方向であれば、その振動の方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とし、振動の方向が径方向であれば、前記観測点が存在する子午断面の断面形状に対して法線方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とすることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、前記断面次数をＱ、前記観測点が存在する子午断面における振動の節の数をＲとすると、前記環状構造体の振動の方向が径方向である場合Ｑ＝Ｒ／２、前記環状構造体の振動の方向が周方向である場合Ｑ＝Ｒ、前記環状構造体の振動の方向が横方向である場合Ｑ＝（Ｒ＋１）／２であることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、前記環状構造体はタイヤであり、当該タイヤのトレッド領域における前記観測点は、当該タイヤのサイドウォール領域における前記観測点よりも密に設けられることが好ましい。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係る環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラムは、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体の振動モードを判別するために、コンピュータを、前記環状構造体を複数の節点で構成される複数の要素に分割して、数値解析可能な前記環状構造体の解析モデルを作成する手段、当該解析モデルを振動解析する手段、当該振動解析の解析結果から、前記環状構造体の周方向での次数成分を振動の方向毎に求める手段、前記次数成分の大きさから、前記環状構造体の振動の方向と周上次数とを求める手段、前記環状構造体の振動の腹となる前記環状構造体の子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求める手段、求められた前記観測点の振動情報の変化から当該観測点の振動の節を抽出し、抽出された前記振動の節の数に基づいて前記環状構造体の断面次数を求める手段、として機能させることを特徴とする。

本発明の望ましい態様としては、前記観測点の数をＪ、求めようとする前記環状構造体の断面次数をＱとしたとき、Ｊは３以上かつＪ＝２×Ｑ＋１となるように前記観測点の数が設定されることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、振動の方向が横方向及び周方向であれば、その振動の方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とし、振動の方向が径方向であれば、前記観測点が存在する子午断面の断面形状に対して法線方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とすることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、前記断面次数をＱ、前記観測点が存在する子午断面における振動の節の数をＲとすると、前記環状構造体の振動の方向が径方向である場合Ｑ＝Ｒ／２、前記環状構造体の振動の方向が周方向である場合Ｑ＝Ｒ、前記環状構造体の振動の方向が横方向である場合Ｑ＝（Ｒ＋１）／２であることが好ましい。

本発明の望ましい態様としては、前記環状構造体はタイヤであり、当該タイヤのトレッド領域における前記観測点は、当該タイヤのサイドウォール領域における前記観測点よりも密に設定されることが好ましい。

本発明は、振動モードを判別するにあたって、断面次数を求めることができる。

図１は、タイヤの子午断面図である。 図２は、タイヤの振動モードを示す図である。 図３は、タイヤを固有値解析して得られた振動モードを判別するためのパラメータの一例を示す図表である。 図４は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実行する振動解析装置を示す説明図である。 図５は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法の手順を示すフローチャートである。 図６は、コンピュータを用いた振動解析の手順の一例を示すフローチャートである。 図７は、タイヤモデルの一例を示す斜視図である。 図８は、図７に示すタイヤモデルの子午断面図である。 図９は、図７に示すタイヤモデルの側面図である。 図１０は、周方向１次／断面２次の振動モードにおいて、タイヤモデルの複数の異なる子午断面内における同じ位置での周上における振動モードの成分を示す図である。 図１１は、図１０に示す振動モードの次数成分の比率を示す図である。 図１２は、タイヤモデルを円筒座標系で表した模式図である。 図１３は、図１２のＸ軸方向からタイヤモデルを見た状態を示す模式図である。 図１４は、タイヤモデルあるいはタイヤの振動の腹となる子午断面を示す断面図である。 図１５は、観測点の振動情報を求めた結果の一例を示す図である。 図１６は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法によって得られたタイヤの振動モードを求めた結果の一例を示す図である。 図１７は、観測点の数の説明図である。 図１８は、評価子午断面を示す断面図である。 図１９は、観測点の振動情報を求めた結果の一例を示す図である。 図２０は、振動測定装置の概略説明図である。 図２１−１は、振動の方向を判定する手法の説明図である。 図２１−２は、振動の方向を判定する手法の説明図である。

以下、本発明につき図面を参照しつつ詳細に説明する。なお、以下に説明する発明を実施するための形態（以下実施形態という）の内容によりこの発明が限定されるものではない。また、以下の構成要素には、当業者が容易に想定できるもの、実質的に同一のものが含まれる。さらに、下記実施形態で開示した構成要素は適宜組み合わせることが可能である。以下においては、振動解析の対象をタイヤ（空気入りタイヤを含む）とするが、本発明は、環状構造体であって、周方向に向かっていずれの子午断面（前記環状構造体の中心軸と平行かつ前記中心軸を含む平面で前記環状構造体を切った断面）も同様の形状であるもの（軸対称環状構造物）であれば適用できる。

図１は、タイヤの子午断面図である。タイヤ１は、回転軸（Ｙ軸）を中心として回転する環状構造体であり、中心軸の周りに、周方向に向かって同様の形状の子午断面が展開される。図１に示すように、タイヤ１の子午断面には、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４、ビードコア５が現れている。タイヤ１は、母材であるゴムを、補強材であるカーカス２、ベルト３、あるいはベルトカバー４等の補強コードによって補強した複合材料の構造体である。ここで、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４等の、金属繊維や有機繊維等のコード材料で構成される補強コードの層をコード層という。

カーカス２は、タイヤ１に空気を充填した際に圧力容器としての役目を果たす強度メンバーであり、その内圧によって荷重を支え、走行中の動的荷重に耐えるようになっている。ベルト３は、キャップトレッドとカーカス２との間に配置されたゴム引きコードを束ねた補強コードの層である。なお、バイアスタイヤの場合にはブレーカと呼ぶ。ラジアルタイヤにおいて、ベルト３は形状保持及び強度メンバーとして重要な役割を担っている。

ベルト３の接地面（トレッド）Ｇ側には、ベルトカバー４が配置されている。ベルトカバー４は、例えば有機繊維材料を層状に配置したものであり、ベルト３の保護層としての役割や、ベルト３の補強層としての役割を持つ。ビードコア５は、内圧によってカーカス２に発生するコード張力を支えているスチールワイヤの束である。ビードコア５は、カーカス２、ベルト３、ベルトカバー４及びトレッドとともに、タイヤ１の強度部材となる。キャップトレッド６の接地面Ｇ側には、溝７が形成される。これによって、雨天走行時の排水性を向上させる。また、タイヤ１の側部はサイドウォール８と呼ばれており、ビードコア５とキャップトレッド６との間を接続する。また、キャップトレッド６とサイドウォール８との間はショルダー部Ｓｈである。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実行する装置について説明する。

図２は、タイヤの振動モードを示す図である。図２のＡ〜Ｌがタイヤの振動モードを示す。タイヤを非接地状態とし、かつタイヤの回転軸（図２のＹ軸）を固定した状態において、タイヤの振動モードは、図２に示すような形態に分類される。また、タイヤの振動モードは、振動の方向と、周方向における振動モードに対応する周上次数と、子午断面における振動モードに対応する断面次数とによって、図２のモードＡからモードＬのように分類される。

例えば、モードＡは、振動の方向が径方向で、周上次数が１次の振動モードであり、モードＤは、振動の方向が周方向で、周上次数が０次の振動モードであり、モードＨは、振動の方向が横方向で、周上次数が０次の振動モードである。そして、さらに振動の方向によって特徴付けられる断面次数によって分類される。例えば、モードＩは、振動の方向が径方向で、断面次数が１次の振動モードであり、モードＫは、振動の方向が横方向で、断面次数が１次の振動モードである。振動の方向が周方向であり、周上次数が０次かつ断面次数が０次である場合、タイヤは回転軸（Ｙ軸）の周りを揺動し、子午断面形状は変化しないモードＨとなる。すなわち、タイヤの振動モードは、方向と周上次数、および断面次数が組み合わされた振動モードとなる。例えば、振動の方向が径方向で周上次数が２次かつ断面次数が１次である場合、タイヤ全体としては、モードＢのようにタイヤの周方向に４個の腹と４個の節とを有する振動、及び子午断面においてモードＩのように３個の腹と２個の節（ビード部は除く）とを有する振動が合成された振動モードになる。

図３は、タイヤを固有値解析して得られた振動モードを判別するためのパラメータの一例を示す図表である。図３には、振動モードを判別するためのパラメータが記述されている。図３に示す判別パラメータは、タイヤの周方向での次数成分に対応するパラメータである。タイヤの周方向での次数成分は、余弦成分と正弦成分（又は、大きさ及び位相）とがある。前記次数成分は、フーリエ変換で得ることができる。なお、図３に示す判別パラメータは、コンピュータで解析可能なタイヤの解析モデルタイヤを作成し、１次、２次の周上次数を規定して前記タイヤモデルに対して固有値解析を実行し、これによって得られた追加自由度から求められる。判別パラメータは、径方向、周方向、横方向それぞれに対して求められる。追加自由度から判別パラメータを求める手法は後述する。

判別パラメータの値が１になっている振動の方向及び周上次数が、そのモード番号の振動モードであると判別される。例えば、判別パラメータを参照すると、モード番号１、２は、振動の方向が横方向で周上次数が１次の振動モードであると判別される。また、モード番号３、４は、振動の方向が径方向で周上次数が１次、かつ振動の方向が周方向で周上次数が１次の振動モードであると判別される。モード番号９、１０に着目すると、振動の方向は横方向、周上次数は１次の判別パラメータが１になっている。したがって、モード番号９、１０の振動モードは、振動の方向が横方向で周上次数が１次であり、これは、モード番号１、２の振動モードと同じである。

一方、断面次数に着目すると、モード番号１、２の断面次数は１次（図２のモードＫ）であり、モード番号９、１０の振動モードはモード番号１、２よりも高次なので、断面次数は２次（図２のモードＬ）になる。このように、判別パラメータ（次数成分に相当する）からは断面次数を判別できない。また、振動モードを目視すれば、人による判別ができる場合もあるが、判別に手間を要したり、周上次数が高次になると判別できなくなったりする。本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法は、タイヤのような環状構造体の振動の腹となる環状構造体の子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求め、求められた振動情報の変化から観測点の振動の節を抽出し、抽出された振動の節の数に基づいて断面次数を判別する。これによって、簡易かつ確実に環状構造体の断面次数を求めることができる。

図４は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実行する振動解析装置を示す説明図である。本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法は、図４に示す振動解析装置５０によって実現できる。振動解析装置５０はコンピュータであり、図４に示すように、処理部５２と記憶部５４とで構成される。また、この振動解析装置５０には、入出力装置５１が接続されており、ここに備えられた入力手段５３で解析モデルであるタイヤモデルを構成するゴムの物性値や補強コードの物性値、あるいは振動解析における境界条件や解析する振動モードの数等を処理部５２や記憶部５４へ入力する。

入力手段５３には、キーボード、マウス等の入力デバイスを使用することができる。記憶部５４には、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実現できるコンピュータプログラムやその他のコンピュータプログラムやデータテーブル、データマップ等が格納されている。記憶部５４は、ハードディスク装置や光磁気ディスク装置、又はフラッシュメモリ等の不揮発性のメモリ（ＣＤ−ＲＯＭ等のような読み出しのみが可能な記憶媒体）や、ＲＡＭ（Random Access Memory）のような揮発性のメモリ、あるいはこれらの組み合わせにより構成することができる。

本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実現できるコンピュータプログラムは、コンピュータシステムにすでに記録されているコンピュータプログラムとの組み合わせによって、本発明に係る構造物の振動モード判別方法を実現できるものであってもよい。また、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実現できるコンピュータプログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録された前記コンピュータプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行させる。これによって、本発明に係る環状構造体の振動モード判別方法を実現してもよい。なお、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳ（Operating System）や周辺機器などのハードウェアを含むものとする。

処理部５２は、モデル作成部５２ａと振動解析部５２ｂとモード判定部５２ｃとを含む。モデル作成部５２ａは、振動解析に供するタイヤの解析モデルであるタイヤモデルを作成して、記憶部５４に格納する。解析モデルとは、コンピュータで取り扱うことにより、種々の解析が可能なモデルである。振動解析部５２ｂは、モデル作成部５２ａが作成した解析モデルを記憶部５４から読み出し、その解析モデルに対して本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法に基づいた振動解析を実行する。そして、振動解析部５２ｂは、解析結果を表示手段５５に表示させたり、記憶部５４に格納したりする。モード判定部５２ｃは、振動解析部５２ｂによる振動解析の結果を記憶部５４から読み出し、前記結果に基づいて解析対象のタイヤモデルの振動モードを判定する。そして、モード判定部５２ｃは、判定結果を記憶部５４に格納したり、後述する表示手段５５に表示させたりする。

処理部５２は、例えば、メモリ及びＣＰＵ（Central Processing Unit）により構成されている。環状構造体の振動モード判別においては、モデル作成部５２ａが作成したタイヤモデルや入力データ等に基づいて、処理部５２が前記プログラムを処理部５２に組み込まれたメモリに読み込んで演算する。その際に処理部５２は、記憶部５４へ演算途中の数値を適宜保存し、また記憶部５４へ格納した数値を読み出して演算を進める。なお、この処理部５２は、前記コンピュータプログラムの代わりに専用のハードウェアによって、その機能を実現するものであってもよい。振動モードの判定結果は、入出力装置５１の表示手段５５に表示される。

表示手段５５には、例えば、液晶表示装置を使用することができる。また、判定結果は、必要に応じて設けられたプリンタに出力することもできる。判定結果が格納される記憶部５４は、他の装置（例えばデータベースサーバ）内にあってもよい。例えば、振動解析装置５０は、入出力装置５１を備えた端末装置から通信により処理部５２や記憶部５４にアクセスするものであってもよい。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を説明する。

図５は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法の手順を示すフローチャートである。図６は、コンピュータを用いた振動解析の手順の一例を示すフローチャートである。図７は、タイヤモデルの一例を示す斜視図である。図８は、図７に示すタイヤモデルの子午断面図である。図９は、図７に示すタイヤモデルの側面図である。本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実行するにあたり、ステップＳ１において、振動解析を実行する。本実施形態において、実験によって振動解析をしてもよいし、コンピュータを用いて振動解析をしてもよい。次においては、コンピュータを用いた振動解析を説明する。コンピュータを用いた振動解析は、図４に示す振動解析装置５０によって実現できる。

振動解析を実行するにあたり、図６のステップＳ１１において、図４に示す振動解析装置５０のモデル作成部５２ａは、振動解析の対象であるタイヤの解析モデル（以下タイヤモデルという）１０を作成する。タイヤモデル１０は、有限要素法や有限差分法等の数値解析手法を用いて振動解析を行うために用いるモデルで、例えば、コンピュータを用いて数値解析可能なモデルであり、数学的モデルや数学的離散化モデルを含む。本実施形態では、タイヤモデル１０の振動解析に、有限要素法（Finite Element Method：ＦＥＭ）を使用する。なお、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法に適用できる解析手法は有限要素法に限られず、有限差分法（Finite Differences Method：ＦＤＭ）や境界要素法（Boundary Element Method：ＢＥＭ）等も使用できる。また、境界条件等によって最も適当な解析手法を選択し、又は複数の解析手法を組み合わせて使用することもできる。なお、有限要素法は、構造解析に適した解析手法なので、特にタイヤのような構造体に対して好適に適用できる。

ステップＳ１１において、モデル作成部５２ａは、環状構造体であるタイヤ１を、複数かつ有限個の要素Ｅ１、Ｅ２・・・Ｅｎに分割して、図７、図８に示すタイヤモデル１０を作成する。複数の要素Ｅ１、Ｅ２・・・Ｅｎは、それぞれ複数の節点で構成される。本実施形態では、タイヤモデル１０は図７に示すような三次元形状の解析モデルとなる。なお、図８は、タイヤモデル１０の回転軸（Ｙ軸）を含み、かつ前記回転軸（Ｙ軸）に平行な平面でタイヤモデル１０を切った場合の断面（子午断面）である。

タイヤモデル１０を構成する要素は、例えば、二次元体では、三辺形要素、四辺形要素、三次元体では四面体ソリッド要素、五面体ソリッド要素、六面体ソリッド要素等のソリッド要素や三角形シェル要素、四角形シェル要素等のシェル要素、面要素等、コンピュータで取り扱い得る要素とすることが望ましい。このようにして分割された要素は、解析の過程においては、二次元モデルでは二次元座標を用いて、三次元モデルでは三次元座標を用いて逐一特定される。

ステップＳ１１でタイヤモデル１０が作成されたらステップＳ１２へ進む。ステップＳ１２では解析条件が設定される。例えば、振動の周波数範囲や解析するモード数等が設定される。解析条件は、例えば、図４に示す振動解析装置５０の入力手段５３を介して入力されて、記憶部５４に格納される。解析条件が設定されたらステップＳ１３へ進み、振動解析装置５０の振動解析部５２ｂは、振動解析を実行する。振動解析としては、例えば、固有値解析や応答解析等がある。次に、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法における振動解析について説明する。

例えば、タイヤの周方向１次／断面２次の振動モードに着目して、あるタイヤモデルに対して固有値解析を実行する場合、本実施形態では、計算の効率化（計算時間の短縮）及び着目する振動モードを効率的に抽出するため、次のような手法を用いて、不要な振動モードの計算を低減する。

図１０は、周方向１次／断面２次の振動モードにおいて、タイヤモデルの複数の異なる子午断面内における同じ位置での周上における振動モードの成分を示す図である。図１１は、図１０に示す振動モードの次数成分の比率を示す図である。図１０は、タイヤモデル１０の周方向に向かって複数の異なる子午断面内の同じ位置における、タイヤモデル１０の周上での振動モードの径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙをそれぞれ示している。図１１は、図１０に示す振動モードの径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙを、それぞれフーリエ変換等により次数分析して、最大となる次数の成分に対する次数成分の比率を各次数に対して表したものである。ここで、次数成分の比率は、タイヤモデル１０の周上における振動モードの基本調波と高調波との比率を表したものに相当する。

図８は、図７に示すタイヤモデル１０の子午断面を表す解析モデル（子午断面モデル１０Ｃｉ、ｉはそれぞれの子午断面モデルを識別する番号）を示している。子午断面モデル１０Ｃｉは、タイヤモデル１０の周方向の分割数に応じた数だけ存在する。図９に示す例では、タイヤモデル１０が周方向にＩ分割されているものとし、Ｉ個の子午断面モデル１０Ｃｉ（ｉは１〜Ｉ）がタイヤモデル１０の周上に存在する。図１０に示す例は、図８の子午断面モデル１０Ｃｉの節点Ｎｉ（すなわち、子午断面モデル１０Ｃｉの踏面であって、赤道面と交差する部分の節点）の振動モードを、複数の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ（ｉは１〜Ｉ）における同じ位置の節点に対して求めたものである。

図１０の周上位置αは、図７、図９に示すタイヤモデル１０の周上位置であり、図９のＸ軸を０ｒａｄとしたときにおける、Ｙ軸を中心としたＸ軸からの回転角度で表される。周上位置αは、図９のＸ軸を中心として時計回りに増加して、Ｙ軸周りを１周してもとのＸ軸に戻る。図１０から分かるように、中心軸（タイヤの回転軸Ｙ）周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体（例えば、タイヤ）は、異なる子午断面内における同じ位置における周上での振動モードの径方向成分ｒ、周方向成分ｔ、横方向成分ｙは、いずれも正弦波（あるいは余弦波）である。

そして、いずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体では、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、周方向の振動モードの次数に対する振動のみであり、周方向の振動モードの次数よりも小さい次数や大きい次数の振動の成分は含まない。図１０、図１１に示す例では、周方向の振動モードの次数が１次なので、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは基本次数（１次）に対する振動の成分のみであり、均等な成分（０次）や高調波成分（２次以上）は含まない。

なお、図１０、図１１は、タイヤモデル１０の周方向１次／断面２次の振動モード、かつ子午断面モデル１０Ｃｉの踏面であって、赤道面と交差する部分の節点Ｎｉでの結果であるが、他の振動モード、節点でも同様である。例えば、図１０に示す例では、周方向の振動モードの次数が１次であるが、周方向の振動モードの次数がｍ次（ｍは整数）である場合、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、ｍ次の成分のみを有することになる。このように、いずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体では、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは、特定の次数（周方向の振動モードの次数）以外は持たない。

本実施形態では、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体は、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは特定の次数のみを有することを利用して、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形を規制する。すなわち、異なる子午断面の同じ位置における周上での振動モードは特定の次数のみを有することから、異なる子午断面の同じ位置における周方向１周分の節点群の振動は、正弦波（あるいは余弦波）で決定できる。したがって、前記節点群を構成するすべての節点の変位は、正弦波（あるいは余弦波）及び位相によって定められるので、前記節点群を構成するすべての節点の自由度を独立に設定する必要がなくなる。これによって、独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形を規制することにより、振動解析においては、規制された振動モードのみが計算されるので、出現する振動モードの数を低減できる。その結果、着目する振動モードを効率的に抽出できる。

図１２は、タイヤモデルを円筒座標系で表した模式図である。図１３は、図１２のＸ軸方向からタイヤモデルを見た状態を示す模式図である。図１２、図１３に示す節点Ｎｉは、ある子午断面モデル１０Ｃｉ内に存在する。径方向Ｒ、周方向Ｔ、横方向Ｙ（タイヤモデル１０の回転軸Ｙと平行）の円筒座標系（Ｒ、Ｔ、Ｙ）としたとき、節点Ｎｉの変位は、径方向の成分をΔＲ_ｉ、周方向の成分をΔＴ_ｉ、横方向の成分をΔＹ_ｉとすると、ΔＲ_ｉ、ΔＴ_ｉ、ΔＹ_ｉは、それぞれ式（１）、式（２）、式（３）のようになる。

ここで、ｎは着目する周方向の振動モードの次数、ｉはタイヤモデル１０の周方向における分割数であり子午断面モデル１０Ｃｉを識別する番号、θは子午断面モデル１０Ｃｉの位置を示す中心角、ｑ_１ｎ、ｑ_２ｎは径方向成分（Ｒ成分）の追加自由度、ｓ_１ｎ、ｓ_２ｎは周方向成分（Ｔ成分）の追加自由度、ｐ_１ｎ、ｐ_２ｎは横方向成分（Ｙ成分）の追加自由度である。追加自由度がそれぞれの成分に対してそれぞれ２個存在するのは、振動の腹及び節の位置を固定させないためである。なお、ｎ＝０である場合、ｓｉｎ（０×θ_ｉ）＝０となるので、追加自由度は１個になり、ｎが１以上であれば、追加自由度は２個になる。

ここで、ｎは着目する周方向の振動モードの次数、ｉはタイヤモデル１０の周方向における分割数であり子午断面モデル１０Ｃｉを識別する番号、θは子午断面モデル１０Ｃｉの位置を示す中心角、ｑ_１ｎ、ｑ_２ｎは径方向成分（Ｒ成分）の追加自由度、ｓ_１ｎ、ｓ_２ｎは周方向成分（Ｔ成分）の追加自由度、ｐ_１ｎ、ｐ_２ｎは横方向成分（Ｙ成分）の追加自由度である。追加自由度がそれぞれの成分に対してそれぞれ２個存在するのは、振動の腹及び節の位置を固定させないためである。なお、ｎ＝０である場合、ｓｉｎ（０×θ_ｉ）＝０となるので、追加自由度は１個になり、ｎが１以上であれば、追加自由度は２個になる。タイヤのベルトのような傾斜補強層を有する構造体では周上の節の位置が同じ断面になるとは限らないため１個の追加自由度で表現すると過剰拘束になり、固有振動数の計算精度の低下や振動モードも正確に表現できなくなるおそれがある。このため、追加自由度をそれぞれ２個とすることで、同一断面に節の位置が固定されることを回避できる。

節点Ｎｉの変位の径方向の成分ΔＲ_ｉと周方向の成分ΔＴ_ｉと横方向の成分ΔＹ_ｉとを、それぞれ直交座標系（Ｘ、Ｙ、Ｚ）におけるＸ方向の成分ΔＸ_ｉとＹ方向の成分ΔＹ_ｉとＺ方向の成分ΔＺ_ｉとを用いて表現すると、ΔＲ_ｉは式（４）、ΔＴ_ｉは式（５）、ΔＹ_ｉは上述した式（３）のようになる。

式（１）＝式（４）としてΔＲ_ｉを消去し、また、式（２）＝式（５）としてΔＴ_ｉを消去して、ΔＸ_ｉ、ΔＺ_ｉについて整理すると、直交座標系（Ｘ、Ｙ、Ｚ）における節点Ｎｉの変位は、式（６）、式（７）、式（８）のようになる。なお、式（８）は、上述した式（３）と同じである。

ステップＳ１３における振動解析においては、式（６）、式（７）、式（８）をタイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在するそれぞれの節点Ｎｉに付与し、節点群として取り扱う。すなわち、振動解析部５２ｂは、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉをタイヤモデル１０の周方向１周分まとめて節点群とする。そして、振動解析部５２ｂは、前記節点群に含まれるそれぞれの節点Ｎｉの変位を、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定して、振動解析を実行する。ここで、ｎは整数（０及び正の整数）である。なお、ｎ＝０の場合は、余弦波を用いる必要があり、ｃｏｓ（０）＝１であるため、タイヤモデル１０は、周上で一様な変形をする。

例えば、振動解析装置５０の記憶部５４に式（６）、式（７）、式（８）を格納しておく。振動解析においては、振動解析部５２ｂが記憶部５４から式（６）、式（７）、式（８）を読み出し、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を、式（６）、式（７）、式（８）で定義する。そして、振動解析部５２ｂは、この定義に基づいて振動解析を実行し、その結果を記憶部５４に保存する。ここで、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉは、それぞれの子午断面モデル１０Ｃｉ内における節点の座標で特定される。すなわち、それぞれの子午断面モデル１０Ｃｉ間において同じ座標の節点が、タイヤモデル１０の異なる子午断面モデル１０Ｃｉ内の同じ位置に存在する節点Ｎｉとして特定され、節点群として取り扱われる。

これによって、振動解析においては、前記節点群の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形が規制されるので、規制された振動モードのみが計算される。その結果、振動解析では、出現する振動モードの数を低減できるので、着目する振動モードを効率的に抽出できる。また、本実施形態では、追加自由度を規定する関係式である式（６）、式（７）、式（８）をタイヤモデル１０の節点に付与すればよいので、振動解析以外の解析（例えば、転動解析やインフレート解析）に前記関係式を除去することで、振動解析とその他の解析とで共通のタイヤモデルを用いることもできる。これによって、異なる解析においてもタイヤモデルを複数用意する必要はないので、評価の効率化を図ることができる。さらに、本実施形態では、モード刺激係数を用いないので、着目する振動モードに制限はない。

なお、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定する節点群は、子午断面内に存在する少なくとも一つの節点に対して規定すればよい。このようにしても、タイヤモデル１０全体の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。また、節点Ｎｉの並進３成分（ΔＸ_ｉ、ΔＹ_ｉ、ΔＺ_ｉ）のうち少なくとも一つに対して、タイヤモデル１０の周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定してもよい。このようにしても、タイヤモデル１０全体の独立な自由度を低減できるので、計算時間を短縮できる。

また、サイクル（次数ｎ）は単独でもよいし、複数でもよい。後者の意味は、例えば、ｎ＝１、ｎ＝２、ｎ＝３を足し合わせてもよいということである。すなわち、例えば、節点Ｎｉの変位ΔＸ_ｉについては、ΔＸ_ｉ（ｎ＝１）＋ΔＸ_ｉ（ｎ＝２）＋ΔＸ_ｉ（ｎ＝３）としてもよい。これによって、振動解析においては、周方向の振動モードを複数重ね合わせて表現することができる。

ステップＳ１３の振動解析においては、着目する振動モードの周上次数が０次（すなわちｎ＝０）である場合には１個、１次以上（ｎ≧１）の場合、振動解析部５２ｂは、２個の追加自由度を節点群に設定する。そして、振動解析部５２ｂは、設定した追加自由度に従属となるように、節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を規定する。これによって、タイヤモデル１０の周方向で、π／（２×ｎ）だけ振動の腹／節の位置がずれた重根の振動モードを適切に表現させることができる。なお、０次、すなわちｎ＝０はタイヤモデル１０の周方向において一様な変位になるため、追加自由度は一つで表現できる。また、タイヤのように、異方性を有する補強コード層（図１に示すカーカス２やベルト３）が斜めに配置された構造物の場合、タイヤモデル１０の周方向における振動の腹や節の位置が子午断面の位置によって異なる。このため、振動の腹や節を任意に表現できるように、追加自由度は２個とすることが好ましい。

次に、タイヤモデル１０の周方向の分割について説明する。タイヤモデル１０の周方向の分割が不等分割であると、タイヤモデル１０の周方向で要素の形状が異なることによる振動モードの不均一が発生し、解析精度が低下するおそれがある。このため、タイヤモデル１０の周方向を等分割することにより、振動解析の精度低下を抑制する。

また、タイヤモデル１０の周方向の分割数が少ないと、タイヤモデル１０が多角形形状になり解析精度が低下するので、分割数は４８以上、好ましくは６０分割以上が望ましい。しかしながら、３６０分割を超えても実質的に解析精度の向上は認められない。また、上述した関係式で周方向の節点群の変位を規制するため、分割数が増加しても独立な自由度の数に変化はないが、前記関係式をタイヤモデル１０へ組み込む過程で計算時間が増加してしまう。このため、タイヤモデル１０の周方向の分割は３６０分割以下が好ましい。

タイヤモデル１０の周方向の分割数が奇数である場合、重根のモードで腹や節の位置が要素間と要素境界とに分かれてしまい、要素分割の影響を受ける。その結果、振動解析で計算される固有振動数が分裂してしまい、解析精度の低下を招くおそれがある。このため、タイヤモデル１０の周方向の分割数は偶数であることが好ましい。これによって、解析精度の低下を抑制できる。

タイヤの周上で均一な予荷重（例えば、内圧）が作用する場合、ステップＳ１３の振動解析の前に、振動解析部５２ｂは、タイヤモデル１０の周上における変形を考慮して、すなわち、周上における均等な変形を抑制せずに予荷重の解析を実行する。そして、振動解析において、振動解析部５２ｂは、上述した関係式により、節点群の変位を規定する。これによって、予荷重の効果を考慮することができる。予荷重を計算するときには、上述した関係式を無効にしてもよいし、０次、すなわち、ｎ＝０を含む関係式を用いてもよい。すなわち、０次が均一な変形を表現する次数なので、ｎ＝０とすれば予荷重の効果を計算できる。上述した関係式を用いる場合、予荷重の計算時には少なくとも０次を有効にして、振動解析時に不要であれば、振動解析部５２ｂは、０次の自由度を、予荷重を計算した後の値で拘束して振動解析を実行してもよい。

コンピュータによる振動解析は、上述したものに限られない。計算効率は低下するが、着目する振動モードが含まれると予想される振動モードの個数や周波数範囲を設定して振動解析（例えば、固有値解析）を実行してもよい。振動解析が終了したら、図５に示すステップＳ２へ進み、解析対象であるタイヤの周方向での次数成分を、振動の方向毎に求める。例えば、上述したように、着目する振動モードの周方向における次数成分のみに周上の変形を規制して固有値解析を実行し、解析後における追加自由度の各振動モードの値を用いて、前記次数成分を求める。解析対象であるタイヤ（環状構造体）の径方向、周方向、横方向の各方向、及びそれぞれの方向の次数について、追加自由度から得られる次数成分の大きさを比較すれば、どの次数成分が大きいかにより、タイヤの振動モードを判別できる。この判別に用いる子午断面内の節点の位置は、タイヤモデル１０の代表となる節点が好ましく、少なくとも１点あればよい。

例えば、図７に示すタイヤモデル１０で１次、２次の周上次数ｎをそれぞれ規定して（ｎ＝１、２）固有値解析を実行し、径方向、周方向、横方向それぞれに対して、各方向の追加自由度を用いて各方向の次数成分を求める。径方向の次数成分ＲＦ、周方向の次数成分ＴＦ、幅方向の次数成分ＹＦはそれぞれ式（９）〜（１１）のようになる。径方向の次数成分ＲＦｎ、周方向の次数成分ＴＦｎ、幅方向の次数成分ＹＦｎは、余弦（ｃｏｓ）成分及び正弦（ｓｉｎ）成分にそれぞれ対応する追加自由度ｆ_１ｎ、ｆ_２ｎから、√（ｆ_１ｎ ^２＋ｆ_２ｎ ^２）のように合成した値である。本実施形態において、追加自由度は、タイヤモデル１０のトレッドセンターを規定する節点群のものを用いた。
ＲＦｎ＝√（ｑ_１ｎ ^２＋ｑ_２ｎ ^２）・・・（９）
ＴＦｎ＝√（ｓ_１ｎ ^２＋ｓ_２ｎ ^２）・・・（１０）
ＹＦｎ＝√（ｐ_１ｎ ^２＋ｐ_２ｎ ^２）・・・（１１）

本実施形態では、それぞれの次数成分ＲＦ、ＴＦ、ＹＦを、各振動モードでの追加自由度の最大値ｆｍａｘで規格化して、判別パラメータとする。径方向の次数成分ＲＦに基づく判別パラメータＲＦｐｎは式（１２）で、周方向の次数成分ＴＦに基づく判別パラメータＴＦｐｎは式（１３）で、幅方向の次数成分ＹＦに基づく判別パラメータＹＦｐｎは式（１４）で求める。それぞれの判別パラメータＲＦｐ、ＴＦｐ、ＹＦｐは、それぞれの次数成分ＲＦ、ＴＦ、ＹＦに対応しており、それぞれの次数成分ＲＦ、ＴＦ、ＹＦに相当するパラメータとなる。それぞれの判別パラメータＲＦｐ、ＴＦｐ、ＹＦｐの計算例は、図３に示すようになる。
ＲＦｐｎ＝√（ｑ_１ｎ ^２＋ｑ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（１２）
ＴＦｐｎ＝√（ｓ_１ｎ ^２＋ｓ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（１３）
ＹＦｐｎ＝√（ｐ_１ｎ ^２＋ｐ_２ｎ ^２）／ｆｍａｘ・・・（１４）

図４に示す振動解析装置５０の振動解析部５２ｂは、例えば、タイヤモデル１０に対して固有値解析を実行し、その結果（例えば、追加自由度やその最大値等）を記憶部５４に保存する。上述した式（９）〜式（１４）は、記憶部５４に保存されている。ステップＳ２において、振動解析装置５０のモード判定部５２ｃは、記憶部５４から固有値解析の結果や式（９）〜（１１）等を読み出し、振動の方向及びモード番号毎に、次数成分ＲＦｎ、ＴＦｎ、ＹＦｎ、あるいは判別パラメータＲＦｐｎ、ＴＦｐｎ、ＹＦｐｎを計算する。これによって、次数成分（あるいは次数成分と相関のある判別パラメータ）が求められる。計算した結果は、記憶部５４に保存される。この場合、例えば、図３に示すように、モード判定部５２ｃは、それぞれの振動の方向（径方向、周方向、横方向）に対応した判別パラメータＲＦｐｎ、ＴＦｐｎ、ＹＦｐｎの値を、周上次数毎、かつそれぞれのモード番号に対して記述し、記憶部５４に保存する。

図３には、ステップＳ２で求められた判別パラメータＲＦｐｎ、ＴＦｐｎ、ＹＦｐｎの値が記述されている。判別パラメータＲＦｐｎは径方向の振動モードを判別するものであり、判別パラメータＴＦｐｎは周方向の振動モードを判別するものであり、判別パラメータＹＦｐｎは横方向の振動モードを判別するためのものである。ｎの値が周上次数を示す。例えば、判別パラメータＲＦｐ１の値が１であるモード番号での振動は、振動の方向が径方向で周上次数が１次の振動モードである。また、判別パラメータＴＦｐ２の値が１であるモード番号での振動は、振動の方向が周方向で周上次数が２次の振動モードであると判別できる。

ステップＳ３において、モード判定部５２ｃは、判別パラメータＲＦｐｎ、ＴＦｐｎ、ＹＦｐｎの値（次数成分の大きさ）によって、振動の方向及び周上次数を求める。すなわち、モード判定部５２ｃは、振動の方向及び周上次数を求めようとするモード番号の判別パラメータの値を取得する。そして、モード判定部５２ｃは、値が１である判別パラメータの種類から前記モード番号の振動の方向を求め、値が１である判別パラメータの周上次数を前記モード番号の周上次数として、振動の方向及び周上次数を、求めようとするモード番号と対応付けて記憶部５４に保存する。

それぞれのモード番号（図３では１〜１６）に対応する振動は、判別パラメータＲＦｐ、ＴＦｐ、ＹＦｐの値が１になっている方向及び周上次数に対応する振動モードであると判別される。例えば、モード番号１、２の振動は、横方向１次の判別パラメータＹＦｐｎが１なので振動の方向が横方向で周上次数が１次の振動モードであり、モード番号５、６の振動は、径方向２次の判別パラメータＲＦｐｎが１なので振動の方向が径方向で周上次数が２次の振動モードであると判別できる。モード番号９、１０の振動は、横方向１次の判別パラメータＹＦｐｎが１なので振動の方向が横方向で周上次数が１次の振動モードである。上述したように、次数成分や判別パラメータからは断面次数を判別できないので、モード番号１、２の振動形態とモード番号９、１０の振動形態とを区別することはできない。

本実施形態では、タイヤの振動の腹となるタイヤの子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求め（ステップＳ４）、その振動情報の変化から観測点の振動の節を抽出し（ステップＳ５）、抽出された振動の節の数に基づいて環状構造体の断面次数を求める（ステップＳ６）。これによって、タイヤの振動モードを判別する。

図１４は、タイヤモデルあるいはタイヤの振動の腹となる子午断面を示す断面図である。図１５は、観測点の振動情報を求めた結果の一例を示す図である。ステップＳ４において、タイヤ１あるいはタイヤモデル１０の振動の腹となる子午断面（評価子午断面）に存在する複数の観測点の振動情報を求める。図１４は、評価子午断面であり、タイヤ１の評価子午断面は符号１ＣＳｂ、タイヤモデル１０の評価子午断面は符号１０ＣＳｂで示される。

周上次数がｎである場合におけるタイヤモデル１０（あるいはタイヤ１）の振動の余弦成分がｐ_１ｎ、正弦成分がｐ_２ｎであるとき、図１２に示すタイヤモデル１０（あるいはタイヤ１）の周方向位置θにおける振動（振動情報）をＹｖとすると、Ｙｖは式（１５）で表現される。ｐ_１ｎ、ｐ_２ｎは、上述した横方向成分（Ｙ成分）の追加自由度である。
Ｙｖ＝ｐ_１ｎ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｐ_２ｎ・ｓｉｎ（ｎ・θ）・・・（１５）

タイヤモデル１０（あるいはタイヤ１）の振動の腹となる子午断面、すなわち評価子午断面は、Ｙｖの振幅が極大かつ極小となる周方向位置、すなわち、振幅が最大となる周方向位置に存在する。Ｙｖの振幅が極大かつ極小になる周方向位置は、Ｙｖの一回微分値Ｙｖ’＝０の位置である。すなわち、Ｙｖ’＝−ｎ・ｐ_１ｎ・ｓｉｎ（ｎ・θ０）＋ｎ・ｐ_２ｎ・ｓｉｎ（ｎ・θ０）＝０から、θ０は、式（１６）のようになる。図１４に示すタイヤモデル１０の評価子午断面１０ＣＳｂ（タイヤ１の評価子午断面１ＣＳｂ）は、周方向位置がθ０＝ａｒｃｔａｎ（ｐ_２ｎ／ｐ_１ｎ）／ｎの子午断面である。
θ０＝ａｒｃｔａｎ（ｐ_２ｎ／ｐ_１ｎ）／ｎ・・・（１６）

図１４に示す評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）には、複数（本実施形態では１１個）の観測点２０Ａ〜２０Ｋが設定される。観測点２０Ａ〜２０Ｋは、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の一方のビード５Ａから他方のビード５Ｋまでの間に設けられる。本実施形態において、観測点２０Ａ〜２０Ｋは、カーカス２上に配置されるが、これに限定されるものではない。観測点２０Ａ〜２０Ｋのそれぞれの座標を直交座標系で表すと、（Ｘｏｊ、Ｙｏｊ、Ｚｏｊ）＝Ｐｏｊとなる。ｊは、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋを識別するための識別子であり、同じ評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）内において、観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋが異なる位置に存在することを識別するためのものである。ｊ＝１が観測点２０Ａに、ｊ＝２が観測点２０Ｂに対応し、以下同様にそれぞれの観測点に対応する。

それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋにおける振動情報（振幅と符号との少なくとも一方）は、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの座標の振動であり、これは、式（１７）〜式（１９）のθに式（１６）から求めたθ０を与えることによって求めることができる。
Ｘｏｊ＝ｃｏｓ（θ）・［｛ｑ_１ｎｊ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｑ_２ｎｊ・ｓｉｎ（ｎ・θ）｝−｛ｓ_１ｎｊ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｓ_２ｎｊ・ｓｉｎ（ｎ・θ）｝］・・・（１７）
Ｙｏｊ＝ｐ_１ｎｊ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｐ_２ｎｊ・ｓｉｎ（ｎ・θ）・・・（１８）
Ｚｏｊ＝ｓｉｎ（θ）・［｛ｑ_１ｎｊ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｑ_２ｎｊ・ｓｉｎ（ｎ・θ）｝＋｛ｓ_１ｎｊ・ｃｏｓ（ｎ・θ）＋ｓ_２ｎｊ・ｓｉｎ（ｎ・θ）｝］・・・（１９）
ｑ_１ｎｊ、ｑ_２ｎｊは径方向成分（Ｒ成分）の追加自由度、ｓ_１ｎｊ、ｓ_２ｎｊは周方向成分（Ｔ成分）の追加自由度、ｐ_１ｎｊ、ｐ_２ｎｊは横方向成分（Ｙ成分）の追加自由度、ｎは周上次数である。それぞれの追加自由度は、観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋが、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）内の異なる位置に存在することに対応して、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋに対応して求められる。それぞれの追加自由度に付される識別子ｊは、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋに対応することを示すためのものである。

例えば、図４に示す振動解析装置５０の記憶部５４に、式（１６）〜式（１９）を保存しておき、ステップＳ４において、モード判定部５２ｃは、固有値解析の結果から追加自由度ｐ_１ｎｊ、ｐ_２ｎｊを読み出し、断面次数を求めようとする周上次数ｎに対応する値とともに式（１６）に与えて評価子午断面１０ＣＳｂのθ０求める。そして、モード判定部５２ｃは、求めたθ０に対応する評価子午断面１０ＣＳｂ上に存在する観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋに対応する追加自由度を記憶部５４から読み出す。その後、モード判定部５２ｃは、識別子ｊを参照して、θ０及びそれぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋに対応する追加自由度を式（１７）〜式（１９）に与えて、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの座標（Ｘｏｊ、Ｙｏｊ、Ｚｏｊ）の振動（振動情報）を求める。

図１５には、ステップＳ４において求められた、それぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの振動（振動情報）が記述される。より具体的には、各観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの振幅ａが、観測点２０Ａから順に記述されている。振幅ａは、０を基準として符号が正の振幅と符号が負の振幅とがある。この結果から、ステップＳ５において、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）における振動の節の数を抽出する。本実施形態においては、モード判定部５２ｃが振動の節を抽出する。例えば、各観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの振幅ａの値から、振幅ａを各観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの位置ｂの関数ｆ（ｂ）として表現し、関数ｆ（ｂ）と縦軸ａ＝０との交点の数を求める。この交点の数が、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）における振動の節の数となる。なお、図１４に示すビード５Ａ、５Ｋは、振動の節としない。また、隣接する観測点間で振幅ａの符号が反対になる部分の数と、振幅ａが０になる観測点（ビード５Ａ、５Ｋは除く）の数との和を振動の節と判定してもよい。

図１５に示す例では、観測点２０Ｃ、２０Ｄ間、観測点２０Ｄ、２０Ｅ間、観測点２０Ｇ、２０Ｈ間、観測点２０Ｈ、２０Ｉ間で振幅ａの符号が反対になっている。したがって、図１５の例では、振動の節が２１Ａ、２１Ｂ、２１Ｃ、２１Ｄの４個存在することになる。ステップＳ５においては、モード判定部５２ｃが、得られたそれぞれの観測点２０Ａ、２０Ｂ、・・・２０Ｋの振動（振動情報）から上述の関数ｆ（ｂ）を生成したり、上述の手法により隣接する振幅ａの符号を判定したりして、振動の節の数を抽出する。

図１４に示す例において、観測点２０Ａ〜２０Ｋは、振動の節を確実に抽出する観点から等間隔に配置することが好ましい。ただし、タイヤ（特に空気入りタイヤ）は、トレッドＧの剛性が高く、質量も大きいので、トレッドＧの振動が大きくなる。したがって、タイヤの場合には、トレッドＧの領域とサイドウォール８の領域において、観測点の数や位置はそれぞれ別個に設定することが好ましい。この場合、トレッドＧの領域における観測点２０Ｄ〜２０Ｈは、一方のサイドウォール８の領域における観測点２０Ｂ、２０Ｃ、あるいは観測点２０Ｉ、２０Ｊよりも密に設けられることが好ましい（ビード５Ａ、５Ｋはリムと嵌合して振動が小さくなるため、この部分の観測点２０Ａ、２０Ｋは考慮しない）。これによって、観測点の数を無闇に増加させずに、振動の節及びその数を確実に抽出できる。

また、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）に存在する観測点２０Ａ〜２０Ｋにおいて、隣接する観測点間の最長距離Ｋｍａｘと最短距離Ｋｍｉｎとの比Ｋｍａｘ／Ｋｍｉｎを２以下とし、トレッドＧの領域における観測点２０Ｄ〜２０Ｈの数を、両方のサイドウォール８の領域における観測点２０Ａ〜２０Ｃ及び２０Ｉ〜２０Ｋの数の総和から２を減算した値よりも多くしてもよい。これによって、トレッドＧの領域とサイドウォール８の領域との間における質量や剛性の違いを考慮できるので、振動の節及びその数をより確実に抽出できる。２を減算するのは、リムと嵌合して振動が小さくなるビード５Ａ、５Ｋに存在する観測点２０Ａ、２０Ｋを除くためである。振動の節の数が抽出されたら、モード判定部５２ｃは振動の節を記憶部５４に保存して、ステップＳ６に進む。

ステップＳ６において、抽出された振動の節の数に基づいて、断面次数が求められる。断面次数をＱとすると、ステップＳ５において求められた振動の節の数Ｒと振動の方向（径方向、周方向、横方向）とから、断面次数Ｑは次のように求められる。すなわち、振動の方向が径方向である場合、断面次数ＱはＲ／２、振動の方向が周方向である場合、断面次数ＱはＲ、振動の方向が横方向である場合、断面次数Ｑは（Ｒ＋１）／２となる。断面次数Ｒと、振動の節の数Ｒ及び振動の方向との関係は、記憶部５４に保存されている。振動の方向はステップＳ３で求められており、振動の節の数ＲはステップＳ５で抽出されている。このため、ステップＳ６で断面次数Ｑが求められる。本実施形態においては、モード判定部５２ｃが、振動の方向及び振動の節の数Ｒ、並びに上述した断面次数Ｑと振動の節の数Ｒ及び振動の方向との関係を記憶部５４から読み出して、断面次数Ｑを求める。求められた断面次数Ｑは、モード判定部５２ｃによって記憶部５４に保存される。上記手順によって振動の方向、周上次数ｎ、断面次数Ｑが求められたので、ステップＳ７で、振動モードが判別される。

図１６は、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法によって得られたタイヤの振動モードを求めた結果の一例を示す図である。図１６の図表は、タイヤの振動モード判定結果を記述したデータテーブル３０であり、振動解析装置５０が上述した本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実行することによって振動解析装置５０によって作成され、記憶部５４に保存される。データテーブル３０には、振動の方向と当該振動の方向における周上次数に対して、それぞれのモード番号の断面次数Ｑが記述されている。

それぞれのモード番号（図１６では１〜１６）に対応する振動は、断面次数Ｑの値が０以外になっている振動の方向かつ周上次数であり、断面次数Ｑは断面次数の値と判別される。例えば、モード番号１、２の振動は、横方向１次の断面次数が１なので、振動の方向が横方向で周上次数が１次、断面次数が１次の振動モードであり、モード番号５、６の振動は、径方向２次の断面次数が１なので、振動の方向が径方向で周上次数が２次、断面次数が１次の振動モードであると判別できる。モード番号９、１０の振動は、横方向１次の断面次数が２なので振動の方向が横方向で周上次数が１次、断面次数が２次の振動モードであると判別できる。これは、モード判定部５２ｃがデータテーブル３０を記憶部５４から読み出して、断面次数Ｑに対応する振動の方向と周上次数と断面次数Ｑの値とから判別することができる。このように、本実施形態によれば、振動の方向、周上次数、断面次数を求めることができるので、モード番号１、２の振動形態とモード番号９、１０の振動形態とを区別することができる。

図１７は、観測点の数の説明図である。観測点の数をＪとし、求めようとするタイヤの断面次数をＱとしたとき、Ｊは３以上かつＪ＝２×Ｑ＋１とすることが好ましい。図１７に示す例では、振動の方向が径方向で、求めようとする断面次数が２次である場合の例を示す。この場合、２点鎖線で示す評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の形状が、元の評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の形状（実線）を横切る部分が振動の節２１Ａ、２１Ｂ、２１Ｃ、２１Ｄとなる。このように、振動の節が４個ある場合、上記Ｊを求める式から、少なくとも５個（Ｊ＝２×Ｑ（＝２）＋１＝５）の観測点２０Ａ〜２０Ｅが必要になる。上述したＪの関係式に基づいて観測点の数を設定すれば、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）内での振動の節を確実に判別できる。なお、観測点の数は、上述したＪに対して２倍以上とすることがより好ましい。このようにすれば、より確実に振動の節を判別できる。観測点の数は、少なくともステップＳ４までに設定される。

図１８は、評価子午断面を示す断面図である。図１９は、観測点の振動情報を求めた結果の一例を示す図である。環状構造体が中実である場合、振動の方向が径方向である場合には、振動情報（振動量）の径方向成分を用いて振動の節及びその数を抽出してもよい。しかし、空気入りタイヤのような中空の環状構造体は、径方向と横方向との連動が大きくなるので、振動の節及びその数が誤って抽出されてしまうおそれがある。例えば、振動の方向が径方向で、断面次数が２次である場合、図１８に示す評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）に存在する観測点２０Ａ〜２０Ｋの径方向（回転軸であるＹ軸に直交する方向であり、図１８の実線の矢印で示す方向）における振動量を振動情報として用いて振動の節及びその数を抽出した場合を考える。この場合、図１９に示すように、振動の節の数は符号２１Ｅ、２１Ｆで示す２個となる。断面次数が２次である場合は、図１５に示した結果と同様になるが、図１８に示すように、観測点２０Ａ〜２０Ｋの径方向における振動量を振動情報として用いると、図１５に示す結果とは異なってしまう。

このため、本実施形態では、振動の方向が径方向であれば、観測点２０Ａ〜２０Ｋが存在する子午断面、すなわち、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の断面形状に対して法線方向における観測点２０Ａ〜２０Ｋの振動量の成分を振動情報として用いて、振動の節及びその数を抽出する。例えば、図１８に示す例では、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の外表面形状に対して法線方向（図１８の点線の矢印で示す方向）における観測点２０Ａ〜２０Ｋの振動量の成分を振動情報として用いる。これによって、図１５に示す結果と同様な結果を得ることができるので、振動の節及びその数を確実に抽出できる。評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の断面形状は、外表面形状に限定されるものではなく、例えば、内表面形状やカーカスラインであってもよい。このようにすれば、より滑らかな線上に観測点２０Ａ〜２０Ｋを設けることができるので、振動の節及びその数をより確実に抽出できる。

また、観測点２０Ａ〜２０Ｋが存在する位置における接線（この例では、観測点２０Ａ〜２０Ｋがカーカス２上に存在するので、観測点２０Ａ〜２０Ｋの位置におけるカーカス２との接線）の二分線方向における観測点２０Ａ〜２０Ｋの振動量の成分を振動情報として用いてもよい。上述した法線方向は、評価子午断面１０ＣＳｂ（１ＣＳｂ）の断面形状に対して厳密なものでなくてもよいので、前記法線方向を設定する代表的な形状を予め定めておいてもよい。なお、振動の方向が横方向及び周方向であれば、その振動の方向における観測点２０Ａ〜２０Ｋの振動量の成分を振動情報として用いて、振動の節及びその数を抽出する。

上述した例では、コンピュータである振動解析装置５０を用いて本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法を実現した。しかし、本実施形態に係る環状構造体の振動モード判別方法はこれに限定されるものではない。例えば、振動測定装置による加振実験の結果から、環状構造体、例えばタイヤの振動モードを判別してもよい。

図２０は、振動測定装置の概略説明図である。振動測定装置１００は、装置台座１０２と、構造物支持体１０４と、振動検出手段である振動計１０９Ａ〜１０９Ｅと、振動解析装置１０８とを含んで構成される。振動計１０９Ａ〜１０９Ｅはタイヤ１０１の表面に取り付けられている。振動計１０９Ａ〜１０９Ｅは、タイヤ１０１の子午断面において、タイヤ１０１の表面に沿って所定間隔で配置される。なお、振動計１０９Ａ〜１０９Ｅの他に、タイヤ１０１の周方向に向かって振動計を取り付けてもよい。

振動計１０９Ａ〜１０９Ｅは、変位計、速度計、加速度計いずれでもよい。構造物支持体１０４の一方には、タイヤ（空気入りタイヤ）１０１とホイール１０６とで構成されるタイヤ／ホイール組立体１０７が取り付けられるブラケット１０５が設けられている。また、構造物支持体１０４は、装置台座１０２に固定される。なお、構造物支持体は上記構成に限定されるものではなく、対象とする構造物の振動を妨げないように構成されていればよい。

加振実験においては、振動モードを判定する対象の環状構造体であるタイヤ１０１を、ハンマー等によって打撃して加振する。そして、振動計１０９Ａ〜１０９Ｅによってタイヤ１０１の振動を検出する。振動計１０９Ａ〜１０９Ｅが観測点となる。したがって、振動計１０９Ａ〜１０９Ｅが設けられる子午断面が、タイヤ１０１の評価子午断面となる。振動計１０９Ａ〜１０９Ｅによって検出されたタイヤ１０１の振動は、振動解析装置１０８に取り込まれる。本実施形態において、振動解析装置１０８には、例えば、多チャンネルを処理できるＦＦＴ（Fast Fourier Transform）アナライザが組み込まれている。振動解析装置１０８に取り込まれたタイヤ１０１の振動は、ＦＦＴにより周波数分析される。

打撃の位置は、対象となる振動モードを励起できるように振動モードの腹の位置に設定するとよい。また、ステップＳ２での周上の次数を判別するために必要な周上の振動分布を得るために、周上で所定間隔離れた複数位置でも打撃しそれぞれ計測するとよい。ここで打撃位置は、対象とする周上次数の２倍以上の箇所で行うのが好ましい。なお、打撃する位置を変えるかわりに、振動計１０９Ａ〜１０９Ｅの少なくとも１つの位置で周上の複数箇所に振動計を配置して振動情報を得てもよい。いずれの方法でも周上での振動の分布状態（周上次数を得るための情報）を得ることができる。ここで、振動情報は加振信号で規格化するとよい。例えば加振信号を入力として振動計で検出された信号を応答とする伝達関数を用いるとよい。また、判別のための信号は上記伝達関数のピーク値と位相を用いてもよいし、実験モード解析を実施して固有ベクトルを抽出し、これを用いてもよい。

図２１−１、図２１−２は、振動の方向を判定する手法の説明図である。振動解析装置１０８による周波数分析が、ステップＳ１における振動解析に相当する。ステップＳ２における次数成分は、振動解析装置１０８による周波数分析データのうち、同じ子午断面の位置にある観測点の周上の振動分布から求められる。例えば、周上の振動量を、１周を基本周期としてフーリエ次数分析を行い、次数を求めてもよいし、振動量の山／谷の数を数えてもよい。ステップＳ３において、振動方向は、タイヤ１０１の子午断面内において幅方向（タイヤ１０１の回転軸と平行な方向）中央部分の振動計１０９Ｃから得られたタイヤ１０１の振動情報から求めてもよい。また、振動方向は、タイヤ１０１の幅方向中心に対して対称な位置に配置された２点の振動計（例えば、振動計１０９Ａと振動計１０９Ｅ）の振動情報から求めてもよい。さらに多くの振動計から得られる振動情報を用いて振動の方向を求めてもよい。

例えば、振動計１０９Ｃ等から得られる振動情報がタイヤ１０１の周方向である場合、タイヤ１０１の振動の方向は周方向であると判定する。タイヤ１０１の幅方向中心に対して対称な位置に配置された２点の振動計１０９Ａ、１０９Ｅを用いる場合、図２１−１に示すように、振動計１０９Ａの振動量Ｙａと振動計１０９Ｅの振動量Ｙｂとの符号（又は位相）が逆であるとき、評価子午断面１ＣＳｂの振動の方向は径方向であると判定する。また、図２１−２に示すように、振動計１０９Ａの振動量Ｙａと振動計１０９Ｅの振動量Ｙｂとの符号が同じであるとき、評価子午断面１ＣＳｂの振動の方向は横方向であると判定する。

タイヤ１０１の子午断面内において幅方向中央部分の振動計１０９Ｃを用いる場合、振動計の径方向、横方向、および周方向の成分の大きさを比較し、図２１−１に示すように径方向成分が大きければ、評価子午断面１ＣＳｂの振動の方向は径方向であると判定する。また、図２１−２に示すように横方向成分が大きければ、評価子午断面１ＣＳｂの振動の方向は横方向であると判定する。なお、ある子午断面上のみの観測点を用いる場合は、周波数分析データを用いてピークの出現する順番に、周波数の低い方から周上次数を決定すればよい。振動の方向が径方向であれば１次、２次、・・・、横方向であれば０次、１次、２次、・・・、周方向であれば０次、１次、・・・と決定する。これは、タイヤのような構造物の場合、同じ方向、断面次数の場合の周上次数は低い周波数から順番に出現することによる。

ステップＳ４における評価子午断面における振動情報は、振動計１０９Ａ〜１０９Ｅから取得されるので、これに基づいて求める。そして、評価子午断面における振動情報から振動の節及びその数を抽出して（ステップＳ５）断面次数を求め（ステップＳ６）、振動モードを判別する。

さらに、上述した実施形態で開示した環状構造体の振動モード判別方法又は環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラムからは、次の手段が把握される。第１の手段は、環状構造体の振動モード判別方法又は環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラムであり、中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体を振動解析するにあたり、前記環状構造体を複数の節点で構成される複数の要素に分割して、数値解析可能な前記環状構造体の解析モデルを作成する手順と、当該解析モデルの異なる子午断面内の同じ位置に存在する節点を当該解析モデルの周方向１周分まとめて節点群とし、当該節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を、当該解析モデルの周方向１周ｎサイクルの正弦波と余弦波との少なくとも一方と、追加自由度との積の重ね合わせで規定して、振動解析を実行する手順と、を含む。ここで、ｎは整数である。

また、第２の手段として、前記第１の手段において、前記振動解析においては、振動モードの周上次数が０次の場合には１個、１次以上の場合には２個の追加自由度を前記節点群に設定し、設定した追加自由度に従属となるように前記節点群に含まれるそれぞれの節点の変位を規定することが好ましい。

また、第３の手段として、前記第１の手段又は前記第２の手段において、前記解析モデルは、前記環状構造体が周方向に等分割されるとともに、その分割数を偶数かつ４８以上とすることが好ましい。

また、第４の手段として、前記第３の手段において、前記分割数は、６０以上３６０以下であることが好ましい。

また、第５の手段として、前記第１の手段から前記第４の手段のうちいずれか１つにおいて、前記環状構造体の周上で均一な予荷重が作用する場合、前記振動解析の前に、前記解析モデルの周上における変形を考慮して予荷重の解析を実行し、前記振動解析において、前記節点群の変位を規定することが好ましい。

また、第６の手段として、前記第１の手段から前記第５の手段のうちいずれか１つにおいて、前記環状構造体はタイヤであり、前記振動解析では、少なくとも０次及び１次の振動モードを解析することが好ましい。

また、第７の手段として、前記第１の手段から前記第６の手段のうちいずれか１つにおいて、前記振動解析は固有値解析であり、当該固有値解析を実行した後における前記追加自由度の各振動モードの値に基づいて、前記環状構造体の振動モードを判別することが好ましい。

以上のように、本発明に係る環状構造体の振動モード判別方法及び環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラムは、環状構造体の振動モード判別に有用である。

１、１０１ タイヤ
１ＣＳｂ、１０ＣＳｂ 評価子午断面
２ カーカス
５Ａ ビード
５Ｋ ビード
５ ビードコア
６ キャップトレッド
８ サイドウォール
１０ タイヤモデル
１０Ｃｉ 子午断面モデル
２０Ａ〜２０Ｋ 観測点
２１Ａ〜２１Ｆ 振動の節
３０ データテーブル
５０、１０８ 振動解析装置
５１ 入出力装置
５２ 処理部
５２ａ モデル作成部
５２ｂ 振動解析部
５２ｃ モード判定部
５３ 入力手段
５４ 記憶部
５５ 表示手段
１００ 振動測定装置
１０６ ホイール
１０７ タイヤ／ホイール組立体
１０９Ａ〜１０９Ｅ 振動計

Claims (10)

1. 中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体を振動解析する手順と、
   当該振動解析の解析結果から、前記環状構造体の周方向での次数成分を振動の方向毎に求める手順と、
   前記次数成分の大きさから、前記環状構造体の振動の方向と周上次数とを求める手順と、
   前記環状構造体の振動の腹となる前記環状構造体の子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求める手順と、
   求められた前記観測点の振動情報の変化から当該観測点の振動の節を抽出し、抽出された前記振動の節の数に基づいて前記環状構造体の断面次数を求める手順と、
   を含むことを特徴とする環状構造体の振動モード判別方法。
2. 前記観測点の数をＪ、求めようとする前記環状構造体の断面次数をＱとしたとき、Ｊは３以上かつＪ＝２×Ｑ＋１である請求項１に記載の環状構造体の振動モード判別方法。
3. 振動の方向が横方向及び周方向であれば、その振動の方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とし、振動の方向が径方向であれば、前記観測点が存在する子午断面の断面形状に対して法線方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とする請求項１又は２に記載の環状構造体の振動モード判別方法。
4. 前記断面次数をＱ、前記観測点が存在する子午断面における振動の節の数をＲとすると、前記環状構造体の振動の方向が径方向である場合Ｑ＝Ｒ／２、前記環状構造体の振動の方向が周方向である場合Ｑ＝Ｒ、前記環状構造体の振動の方向が横方向である場合Ｑ＝（Ｒ＋１）／２である請求項３に記載の環状構造体の振動モード判別方法。
5. 前記環状構造体はタイヤであり、当該タイヤのトレッド領域における前記観測点は、当該タイヤのサイドウォール領域における前記観測点よりも密に設けられる請求項１から４のいずれか１項に記載の環状構造体の振動モード判別方法。
6. 中心軸周りのいずれの子午断面においても同様の形状である環状構造体の振動モードを判別するために、コンピュータを、
   前記環状構造体を複数の節点で構成される複数の要素に分割して、数値解析可能な前記環状構造体の解析モデルを作成する手段、
   当該解析モデルを振動解析する手段、
   当該振動解析の解析結果から、前記環状構造体の周方向での次数成分を振動の方向毎に求める手段、
   前記次数成分の大きさから、前記環状構造体の振動の方向と周上次数とを求める手段、
   前記環状構造体の振動の腹となる前記環状構造体の子午断面に存在する複数の観測点の振動情報を求める手段、
   求められた前記観測点の振動情報の変化から当該観測点の振動の節を抽出し、抽出された前記振動の節の数に基づいて前記環状構造体の断面次数を求める手段、
   として機能させることを特徴とする環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム。
7. 前記観測点の数をＪ、求めようとする前記環状構造体の断面次数をＱとしたとき、Ｊは３以上かつＪ＝２×Ｑ＋１となるように前記観測点の数が設定される請求項６に記載の環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム。
8. 振動の方向が横方向及び周方向であれば、その振動の方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とし、振動の方向が径方向であれば、前記観測点が存在する子午断面の断面形状に対して法線方向における前記観測点の振動量の成分を前記振動情報とする請求項６又は７に記載の環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム。
9. 前記断面次数をＱ、前記観測点が存在する子午断面における振動の節の数をＲとすると、前記環状構造体の振動の方向が径方向である場合Ｑ＝Ｒ／２、前記環状構造体の振動の方向が周方向である場合Ｑ＝Ｒ、前記環状構造体の振動の方向が横方向である場合Ｑ＝（Ｒ＋１）／２である請求項８に記載の環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム。
10. 前記環状構造体はタイヤであり、当該タイヤのトレッド領域における前記観測点は、当該タイヤのサイドウォール領域における前記観測点よりも密に設定される請求項６から９のいずれか１項に記載の環状構造体の振動モード判別用コンピュータプログラム。

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