JP4123412B2

JP4123412B2 - 中心軸に対して対称な被測定物の振動解析方法、前記方法を実行させるためのプログラム及び前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体

Info

Publication number: JP4123412B2
Application number: JP2002089621A
Authority: JP
Inventors: 久祥松岡; 政明大熊
Original assignee: Tokyo Institute of Technology NUC
Current assignee: Tokyo Institute of Technology NUC
Priority date: 2002-03-27
Filing date: 2002-03-27
Publication date: 2008-07-23
Anticipated expiration: 2022-03-27
Also published as: JP2003287461A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、例えば、車両用タイヤのように中心軸に対して対称な被測定物を対象とし、振動実験で得た加振力と応答の測定結果から信号処理によって伝達関数を求め、モード解析により特性行列の形で動特性を同定する振動解析方法に関する。さらに、本発明は、前記方法を実行させるためのプログラム及び前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
車両用タイヤの特性は、車両の運動挙動、振動及び騒音に大きな影響を及ぼす。タイヤの特性を解析にする方法は、一般的に、理論的同定法と実験的同定法に大別される。
理論的同定法では、有限要素法を利用して被測定物を離散化し、特性行列を決定する方法が主流である。一方、実験的同定法では、加振実験で得た加振力と応答の測定結果から信号処理によって伝達関数を求め、モード特性を同定する方法が主流である。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】
ところで、車両用タイヤは、ゴム、繊維、ワイヤ等により複合構成されており、有限要素法のような理論的同定法では精度良いモデルを得ることが難しい。仮に、満足できる精度で固有モード及び固有振動数が求まったとしても、理論的にはモード減衰比は求められないため、車両用タイヤのように減衰の大きな被測定物については、理論的同定法を用いることは適していない。
【０００４】
一方、加振実験による実験的同定法においても、中心軸に対して対称な被測定物ではモード解析を行うことが難しい。すなわち、車両用タイヤでは、形状の対称性による重根や大きな減衰等の理由によりモード解析を行うことが困難である。
また、車両用タイヤを比較的少ない自由度のばね質量モデルとして、１次から数次までの固有振動数が一致するように、剛性、質量及び減衰係数を設定することでモデル化を行う方法も提案されているが、この方法では、解析可能周波数領域が高くないために、実用的に注目したい３００Ｈｚ程度又はそれ以上の周波数領域において騒音振動解析を行うには適しておらず、同定すべき振動モードの一部を見落とす問題もある。
【０００５】
本発明の目的は、中心軸に対して対称な被測定物において、振動実験で得た加振力と応答の測定結果から信号処理によって点から点への伝達関数を求め、その伝達関数をトレッド面円周方向に発生する定常波状の各モード形毎の伝達関数に変換することにより、被測定物の振動解析を行う方法を提供することにある。
本発明の他の目的は、前記方法を実行させるためのプログラム及び前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体を提供することにある。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
そこで、本発明は、中心軸に対して対称な被測定物の１つの場所の加振点に加振器を配置する工程；前記被測定物の円周表面上における複数の観測点にセンサを配置する工程；前記センサによって前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を測定する工程；及び前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を周波数毎に空間的にフーリエ変換して各モード形に関する伝達関数を求める工程；を備えることを特徴とする、中心軸に対して対称な被測定物の振動解析方法を提供する。
【０００８】
本発明では、フーリエ変換後の伝達関数のうち２次以上の伝達関数を曲線適合して前記被測定物の円周表面の２次以上のモードを求め、前記モードの位相を空間的にπ／２ずらして、前記被測定物の円周表面のモードの重根の伝達関数を生成することにより重根のモードを確実にとらえることができる。
【００１０】
【発明の実施の形態】
以下、図面を参照して本発明の一実施形態を説明する。
【００１１】
図１は、本実施形態におけるブロック図である。図１において、被測定物１０はタイヤである。タイヤ１０には、加振器１２及び複数のセンサ１４が取り付けられる。制御部１６は、加振器１２からタイヤ１０に動的な作用、すなわち、振動を加える。加振器１２は、例えば、打撃ハンマである。制御部１６は、信号発生器１８により加振器１２に動的な作用を行わせる。加振器１２により加えられた動的な作用は、タイヤ１０を伝わりセンサ１４によって測定される。
信号処理手段２０は、加振器１２の加振入力とセンサ１４により測定された応答に信号処理を施す。記憶手段２２は、信号処理方法を記憶している。また、記憶手段２２は、ＦＤやＣＤでもよい。入力手段２４は、キーボード等の入力機器である。出力手段２６は、ディスプレー等の出力機器である。制御部１６は、センサ１４によって測定された応答について、記憶手段２２に格納されたプログラムに基づいてフーリエ変換を行うとともに、実験的モード同定法によりモード特性を同定し、最終的に特性行列出表現された被測定物のモデルを生成する。
【００１２】
本発明の被測定物は、代表的には車両用タイヤである。このようなタイヤは、中心軸に対して対称であり、ゴム、繊維、ワイヤ等により複合構成されている。本発明は、タイヤの対称性を利用して周波数毎に空間的にフーリエ変換することで点からモード形への伝達関数を求めるものである。
そこで、このような被測定物において振動がどのような波動となるかを検討する。図２は、タイヤの側面の模式図であり、タイヤのような中心軸に対して対称な被測定物では、波動が定常波となるためには、波長の整数倍がタイヤの円周になる必要がある。タイヤのトレッド面に発生する波数ｎの定常波の固有角速度をΩ_ｎとすると、定常波の位置θにおける変位ｙは、
【数１】

として表現できる。
数１は、固有モードそのものであり、この中にはｎ＝０のときの観測点全体が一様に半径方向に広がるモードと捩れるモードが含まれる。
【００１３】
被測定物の剛体運動については、並進と回転の６自由度があるので、円周上で観測される剛体運動は、極座標で表すと、
【数２】

と表現される。ここで、Ｃ_０，Ｃ_１，Ｃ_２は剛体運動の速さと向きによって定まる定数である。
【００１４】
タイヤの円周上において等間隔に２Ｎの観測点を配置し、観測点ｋ番目の位置を
θ＝π（ｋ−１）／Ｎと表すと、数１は、
【数３】

に変形できる。数３によって表すことができる定常波はｎ≦Ｎの範囲である。
【００１５】
次に、観測点ｉを加振したときの円周上の応答を考える。この応答は、数１の固有モードを重ね合わせた形で表現されるので、応答位置θにおける伝達関数（コンプライアンス）は、
【数４】

で表される。ここで、ζ_ｎは、モード減衰比である。数４と数３により、観測点ｉと観測点ｋの間の伝達関数（コンプライアンス）は、
【数５】

で表される。ここでＡ_ｉ，ｊ，Ｃ_ｉ，ｌ，ｄ_ｉ，ｋは複素数で与えられ、Ａ _ｉ，ｊ，Ｃ _ｉ，ｌは、それぞれＡ_ｉ，ｊ，Ｃ_ｉ，ｌの共役複素数である。なお、モード形が、Ｎ次までしか表現できないので、剰余剛性ｄ_ｉ，ｋの項を導入している。
【００１６】
数５を利便的に変形すると、
【数６】

となる。これにより、観測点ｉを加振したときの各点の伝達関数は、
【数７】

として表される。
上記数７は、センサ１４が測定した加振点から観測点の間における点から点への応答の伝達関数を角速度毎に実空間上でフーリエ変換したものとなる。
本発明では、実験で得た加振点から観測点への応答の伝達関数をフーリエ変換することにより、数７のように点からモード形に伝達関数を変換し、特性行列の形で表現する。
【００１７】
上記数７において、フーリエ変換後の伝達関数Ｈ_{ｉ，ｎ（ω）}において、Ａ_ｉ，ｋ，Ｃ_ｉ，ｋ，Ｄ_ｉ，ｋの値を同定することにより、被測定物の振動解析のモデル化を行うことができる。このモード解析では、モードが分離されているために、１自由度の曲線適合により、解析を行うことができる。
もっとも、実際には、発生する波動は曲げ、捩り、圧縮等が同時に存在する場合が多いため、必ずしも１自由度とならない場合があるが、本発明の解析方法では、モード解析時の自由度を大幅に下げることが可能となる。
【００１８】
次に、被測定物として車両用タイヤに本発明の解析方法を適用し、モデル化を行った例を説明する。図３は、実験装置を示している。被測定物であるタイヤ１０をチューブ上に置き、ほぼ周辺自由状態とみなせる状態を実現し加振実験を行った。
まず、ホイール１１の観測点にセンサ１４を配置するとともに、タイヤ１０のトレッド面の観測点にセンサ１４を配置する。次に、タイヤ１０のトレッド面の１つの場所の加振点に加振器１２を配置する。ホイール１１の観測点は、ホイールの中心に１個、ホイールの円周上においてπ／２おきに４個である。トレッド面の観測点は、トレッド面の車軸方向に３列、トレッド面の円周方向においてπ／８おきに１６個で計４８個である。加振点は、トレッド面の１つの列において、隣合う観測点の間に１個である。
【００１９】
円周方向に１６個のセンサ１４を配置した本実施形態では、８次（Ｎ／２）までのモードを表すことができるが、円周上のセンサ１４は、多くなるほど同定可能な周波数帯域が広がる。モード次数は、周波数帯域の広さに関係しており、１６個のセンサ１４を配置した本実施形態の場合、３００Ｈｚ程度の周波数帯域まで伝達関数を得ることができ、２４個のセンサ１４を配置した場合は、４００Ｈｚ程度の周波数帯域まで伝達関数を得ることができる。このように、本発明では、高周波数帯域まで伝達関数を得ることができる。
【００２０】
図１に示した加振器１２により、加振点においてタイヤ１０に動的な作用を与えると、加振点からそれぞれの観測点に振動が伝わり、センサ１４によって振動が応答として測定される。センサ１４の応答は、信号処理装置２０によって、伝達関数として処理される。
【００２１】
図４は、加振点１００００と１００１番の観測点との間における位相及び伝達関数（アクセレランス）を示すボード線図であり、他の観測点における位相及び伝達関数（アクセレランス）も同様に測定される。実験によって得られた加振点の各観測点との間の伝達関数は、数７に基づいて「周波数毎に空間的に」フーリエ変換される。このフーリエ変換は、トレッド面の観測点１００１〜１０１６番、２００１〜２０１６番、３００１〜３０１６番の３列の観測点に対して、それぞれ円周方向、車軸方向及び半径方向の応答をそれぞれ別に分けてから行う。また、ホイール１１の観測点１〜５についても同様にフーリエ変換を行う。
図５は、加振点１００００番を半径方向に加振した際の観測点１０００〜１０１６番の半径方向応答についてモード別伝達関数の絶対値を示している。同図よりモードの分離ができていることを理解することができる。この実験において、３００Ｈｚ以下の周波数帯域に存在するトレッド面の振動モードは、半径方向の曲げと半径方向の捩りを伴う車軸方向への曲げの２つがあり、図５において各次数に現われている大きなピークが半径方向の曲げモードであり、それより小さなピークが半径方向の捩りを伴う車軸方向への曲げのモードである。これらのピークに対して曲線適合を行うことによりモード特性を同定する。
【００２２】
ところで、タイヤのように中心軸に対して対称な被測定物では、固有値の重根が存在する。すなわち、タイヤのような円筒形の構造物の場合、軸を含む平面に対して対称であるという幾何学的な特徴がある。そのため、構造が平面に対して対称であり、構造のもつモード形が平面に対して対称でない場合、固有値が同一で平面に対して対称なモード形を持つ重根のモードが存在する。
しかし、加振実験によって同定されるモードは、重解のうちの加振点を腹とするモード形だけであるが、本発明では、トレッド面に発生する定常波としてモードを同定するので、定常波の物理座標上における位相を「空間的に」π／２ずらすことにより重根のモードを生成することにしている。図６は、３次の半径方向の曲げモードを示し、位相をπ／２ずらした重根のモードを示している。こうすることにより、タイヤのような幾何学的な特徴を持つ被測定物においても、センサ１４が測定した応答をフーリエ変換することで確実にモードをとらえることができる。
【００２３】
次に、ホイールの応答を検討する。図７は、振動実験で得たホイール１１の観測点１番の車軸方向自己応答の位相及び伝達関数（アクセレランス）を示すボード線図である。図４との比較において、ホイール１１では、１２０Ｈｚ以上の周波数帯域に複数あるトレッド面での２次以上のモードが現われていない。このことから、タイヤは軸に対して十分に対称であり、トレッド面に発生する２次以上の定常波による振動の運動量は対称性により釣り合い、ホイールセンターにおける動きは生じない。したがって、ホイールの観測点におけるモード解析はホイールの動きのある数個のモード、すなわち、０次及び１次のモードについてのみ行うことで十分である。
【００２４】
上述の理論及び実験に基づく本発明の解析方法を図８のフローチャートにしたがって説明する。まず、解析者は、タイヤ１０及びホイール１１については、図２のように、周辺自由状態として、ホイール１１の観測点１〜５にセンサ１４を配置するとともに、タイヤ１０のトレッド面の観測点１００１〜１０１６番、２００１〜２０１６番、３００１〜３０１６番にセンサ１４を配置する。そして、タイヤ１０のトレッド面の１つの場所の加振点に加振器１２を配置する。
【００２５】
解析者が入力手段２６を操作して解析装置を起動すると、制御手段１６が、記憶手段２２に格納しているプログラムを読み込み、実行する。解析装置は、解析者に対して出力手段２６を通じ、被測定物の寸法等の入力を促す。解析者は、被測定物となるタイヤについて、各種寸法、質量、慣性モーメント及び重心を測定し、入力手段２４からそれぞれの数値を入力する。
【００２６】
制御部１６が、信号発生器１８によって加振器１２からタイヤ１０の加振点１００００番に動的な作用を加えると、各観測点のセンサ１４は動的な作用の応答を測定する（ステップＳ１０）。
【００２７】
センサ１４が加振点から各観測点への応答を測定すると、その応答に基づいて信号処理装置２０は応答から伝達関数を求める。次いで、信号処理装置２０は、タイヤの寸法、質量、慣性モーメント及び重心よりタイヤの６自由度の剛体モードを算出してタイヤの剛体モードを求める（ステップＳ２０）。また、信号処理装置２０は、ホイール上の伝達関数を曲線適合し、ホイールのモード特性を求めるとともに、ホイールの固有振動数およびモード減衰比を求める（ステップＳ３０）。また、信号処理装置２０は、トレッド面の観測点の伝達関数を周波数毎に円周方向にフーリエ変換する（ステップＳ４０）。
【００２８】
フーリエ変換後の伝達関数は、センサ１４の数に応じてＮ次まで求められる。本実施形態では、１６個のセンサ１４を用いるので、その半分の８次までの伝達関数が求められる。このうち、０次及び１次の伝達関数はホイールの動きのあるモードである。ステップＳ４０で求めたフーリエ変換後の伝達関数のうち、トレッド面応答形状が０次及び１次の伝達関数と、ホイールの固有振動数とモード減衰比とにより、信号処理装置２０は最小二乗法によりトレッド面のモード形を算出する（ステップＳ４１）。
【００２９】
さらに、信号処理装置２０は、ステップＳ３０で求めたホイールのモード特定と、ステップＳ４１で求めたトレッド面のモード形とにより、ホイールの動きのある６個のモードと空気の振動モードを算出してホイールの動きのあるモードを求める（ステップＳ３１）。
【００３０】
次いで、信号処理装置２０は、ホイールの動きのあるモードとして、フーリエ変換後の伝達関数のうち２次以上の伝達関数を曲線適合して、トレッド面の２次以上のモードを求める（ステップＳ４２）。トレッド面の２次以上の伝達関数を曲線適合することにより、重根のピークからも確実にモードを求めることができる。
【００３１】
そして、信号処理装置２０は、タイヤの剛体モード、ホイールの動きのあるモード及びトレッド面の２次以上のモードを特性行列の形で算出する。この特性行列は、数７の形で表され、出力手段２６に表示される。そして、求められた特性行列を、記憶手段２２に保存し、プログラムが終了する。
【００３２】
上記特性行列から算出された伝達関数と、実験で求めた伝達関数との比較を行い、モデル化が所期の周波数帯域でできているかの検証を行なった。図９は、周辺自由状態の実験値から求めた伝達関数と、特性行列からモード形として求めた伝達関数を比較する図である。
図９において、点線で示した実験値が１０００番半径方向加振時の３００９番半径方向応答の伝達関数、実線で示した特性行列から算出した伝達関数は１００１番加振時の３００９番半径方向応答の伝達関数を示している。加振点１００００と観測点１００１番とは円周方向にわずかに（５ｃｍ）離れているだけであるので、本検証では比較対象とした。
【００３３】
図９において、８次の半径方向曲げモードがある２７０Ｈｚ付近までは、実験値と特性行列の算出値がよく適合している。また、図９には示していないが、他の観測点や他の伝達関数も高い一致を見せた。この実験結果から、中心軸に対して対称な粘弾性ある被測定物について、正しくモデル化ができることを示している。
また、モデルが特性行列の形で得られるので、固有値解析を行なうことによって求まる固有振動数及びモード減衰比を求めることもできる。
【００３４】
【発明の効果】
以上のように、本発明では、中心軸に対して対称な被測定物において、振動実験で得た加振力と応答の測定結果から信号処理によって点から点への伝達関数を求め、「その伝達関数を周波数毎に空間的にフーリエ変換することにより点からモード形への伝達関数を求め」、車両用タイヤのように減衰性が大きく共振周波数が高次まで得にくい粘弾性ある材料の被測定物であっても、振動モードの取りこぼしがなく、多くの共振モードと振動数を同定することができる。
しかも、特性行列の形でモデルを算出することができるので、境界条件の変更が容易であるために設計解析上理想的に使いやすいモデル化を実現することができる。
さらに、中心軸に対して対称な被測定物に特有の重根の問題も、その重根のモードを確実にとらえることができ、車両において着目したい高周波帯域（３００Ｈｚ程度又はそれ以上）であっても、実験的モデル化が可能である。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明による振動解析方法を説明するブロック図。
【図２】タイヤの側面の模式図。
【図３】本発明の解析方法を実施するための実験装置の模式図。
【図４】加振点１００００と１００１番の観測点との間における位相及び伝達関数（アクセレランス）を示すボード線図。
【図５】加振点１００００番を半径方向に加振した際の観測点１０００〜１０１６番の半径方向応答についてモード別伝達関数の絶対値を示す図。
【図６】３次の半径方向の曲げモードを示し、位相をπ／２ずらした重根のモードを立体的に示す図。
【図７】振動実験で得たホイール１１の観測点１番の車軸方向自己応答の位相及び伝達関数（アクセレランス）を示すボード線図。
【図８】本発明による振動解析方法を実行するためのフローチャート。
【図９】周辺自由状態の実験値から求めた伝達関数と、特性行列からモード形として求めた伝達関数を比較するボード線図。
【符号の説明】
１０被測定物（タイヤ）
１１ホイール
１２加振器
１４センサ
１６制御部
１８信号発生器
２０信号処理手装置
２２記憶手段
２４入力手段
２６出力手段

Claims

中心軸に対して対称な被測定物の１つの場所の加振点に加振器を配置する工程；前記被測定物の円周表面上における複数の観測点にセンサを配置する工程；前記センサによって前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を測定する工程；及び前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を周波数毎に空間的にフーリエ変換して各モード形に関する伝達関数を求める工程；を備えることを特徴とする、中心軸に対して対称な被測定物の振動解析方法。
フーリエ変換後の伝達関数のうち２次以上の伝達関数を曲線適合して前記被測定物の円周表面の２次以上のモードを求める工程；前記モードの位相を空間的にπ／２ずらして、前記被測定物の円周表面のモードの重根を生成する工程；を備えることを特徴とする、請求項１に記載の中心軸に対して対称な被測定物の振動解析方法。
中心軸に対して対称な被測定物の１つの場所の加振点から前記被測定物の円周表面上における複数の観測点のセンサとの間の伝達関数を求める処理；及び前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を周波数毎に空間的にフーリエ変換して各モード形に関する伝達関数を求める処理；を備えることを特徴とする、中心軸に対して対称な被測定物の振動を解析するための、コンピュータ読み取り可能なプログラム。
フーリエ変換後の伝達関数のうち２次以上の伝達関数を曲線適合して前記被測定物の円周表面の２次以上のモードを求める処理；前記モードの位相を空間的にπ／２ずらして、前記被測定物の円周表面のモードの重根を生成する処理；を備ることを特徴とする、請求項３に記載のコンピュータ読み取り可能なプログラム。
中心軸に対して対称な被測定物の１つの場所の加振点から前記被測定物の円周表面上における複数の観測点のセンサとの間の伝達関数を求める処理；及び前記加振点と前記観測点との間の伝達関数を周波数毎に空間的にフーリエ変換して各モード形に関する伝達関数を求める処理；を備えることを特徴とする、中心軸に対して対称な被測定物の振動を解析するためのプログラムをコンピュータに実行させるために記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
フーリエ変換後の伝達関数のうち２次以上の伝達関数を曲線適合して前記被測定物の円周表面の２次以上のモードを求める処理；前記モードの位相を空間的にπ／２ずらして、前記被測定物の円周表面のモードの重根を生成する処理；を備ることを特徴とする、請求項５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。