CN107942667A - 基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2d跟踪控制方法 - Google Patents

基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2d跟踪控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法，属于工业过程的先进控制领域。首先将注塑成型过程用典型的多阶段间歇过程表示，再引入误差，构建注塑过程二维增广模型，得到二维状态空间时滞系统模型，进而建立等价2D切换时滞离散系统的状态空间模型，然后根据不同阶段，选取带有时滞信息的分段李雅普诺夫函数，再利用2D稳定性理论，求出依赖于时滞的上下界的具有拓展信息的抗干扰2D控制器及切换时间。本发明主要为了开发一种能够使过程稳定运行、控制精度显著提高的控制方法，以实现降低成本投入，提高生产效率等目标，同时能够有效解决因滞后现象而引起的系统性能下降甚至不稳定等问题。

Description

基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法
技术领域
本发明属于工业过程的先进控制技术领域，特别是涉及一种基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法。
背景技术
注塑成型过程广泛应用在塑料加工等相关领域，虽然对于注塑成型过程已有部分研究，但在现代塑料加工的高精控制方面仍然是一个挑战。主要原因在于其复杂的动态特性，以及多变的工艺条件。注塑成型过程是典型的多阶段间歇过程，每一批次主要包括注射和保压两个阶段，在注射段和保压段需要控制的变量分别是注射速度和保压压力，两个不同阶段控制的变量不同，系统运行时会发生切换，而切换时间直接影响生产效率和产品质量。
注塑过程在由注射段运行到保压段时由于控制变量不同会发生切换，切换时间是影响注塑过程稳定运行的关键。目前研究领域大多针对单一阶段，而单一过程不涉及切换时间，但是切换时间的长短直接影响整个生产过程的运行时间。此外，滞后现象是工业生产普遍存在的问题，时滞不但影响切换时间，也是造成系统不稳定的主要原因。
目前针对单一阶段的高精控制已经成熟，但单一过程不涉及切换时间。此外针对无时滞多阶段间歇过程尽管也有些许研究，但是时滞对切换时间有较大影响进而影响系统稳定性、也存在计算量大等问题。面对上述问题，要想提高控制精度从而提高生产效率及产品质量，提出一种更加有效的控制办法极为必要。
发明内容
为了解决上述存在的技术问题，本发明提供一种基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法，主要为了开发一种能够使该过程稳定运行、生产效率及控制精度显著提高的控制方法，同时能够有效解决因滞后现象而引起的系统性能下降甚至不稳定等问题。
本发明采用的技术方案如下：
基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1：建立等价2D切换离散系统的状态空间模型：
1.1将注塑成型过程用典型的多阶段间歇过程表示，模型由式(1)表示：
其中，k和t分别表示注塑过程所处批次及在批次内所处的运行时刻，x(t,k)，y(t,k)，u(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输出和系统输入；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞；ρ(t,k)∈{1,2,…,q}代表切换信号，q表示注塑过程每个批次总的阶段数，x0,k为第k个工作周期的初始状态，ωρ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；
注塑成型过程可以看作一个切换系统，注射段和保压段分别对应一个子系统，当其运行至不同阶段，相应的子系统被激活，可将式(1)改写为式(2)：
其中，i表示注塑过程所处阶段，为适当维数的常数矩阵，为未知的不确定参数摄动矩阵，满足：
为已知的适维常数矩阵；
1.2构建注塑过程二维增广模型，进而再现二维切换系统状态空间模型：
针对不同阶段设计迭代学习控制器，形式由式(3)表示：
ui(t,k)＝ui(t,k-1)+ri(t,k) (3)
其中，ui(t,k)表示批次k阶段i的控制器，ui(t,0)为迭代算法的初始值，ri(t,k)表示阶段i的迭代学习更新律；
定义误差由(4a)表示：
其中，ei(t,k)代表系统实际输出值yi(t,k)与系统输出设定值的差值，即跟踪误差；
引入拓展信息(4b)：
其中，为扩展状态；
由式(2)结合式(3)、(4a)和(4b)，得到由式(5)、(6)表示的注塑过程阶段i的二维状态误差空间模型式(5)和二维输出误差空间模型式(6)；
其中，
由式(4b)、(5)、(6)可得与式(2)等价的、由状态误差及跟踪误差构成的具有拓展信息的2D增广模型，表示为式(7a)：
其中，
Ii为适维的单位矩阵；
令将(7a)再现为切换系统模式：
步骤2：根据不同阶段，设计相应的具有拓展信息的抗干扰2D控制器并获得切换时间：
为了寻找到两相邻阶段的最佳切换时间，以保证过程平稳切换且省时高效，定义满足注射段和保压段的切换条件的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻表示为(8a)；定义每个阶段运行需要的驻留时间，表示为(8b)：
其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻；Gi(x(t,k))＜0，(i＝1,2)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件；Nq(z,D)表示阶段q在时间间隔(z,D)内的切换次数((代表总的运行时间)，且称为在阶段q驻留时间；
针对式(7a)，设计具有拓展信息的迭代学习更新律，表示为式(9)：
其中，为待求控制器增益；
则由(7b)可得如下的2D闭环时滞切换系统模型，由式(10)表示：
其中，Z(t,k+1)是系统的被控输出，需满足如下条件：
针对系统式(10)设计更新律式(9)；
对于具有区间时变时滞和干扰的注塑过程的注射段和保压段，选取分段李雅普诺夫函数，表示为式(11a)：
其中，
结合式(7)，(9)-(10)，需有式(11b)成立：
其中，
其中，Pi，Qi，Wi及Ri为待求对应于第i阶段的正定矩阵；αi为小于1的正数；T表示矩阵转置；
若要式(11b)成立，必有ψi＜0成立；
由于式(10)的H∞性能指标Ji需满足形式如式(12)所示：
ψi＜0同时满足式(12)，进一步转化为等价不等式为式(13)：
其中，
求解上述不等式(13)，可得2D混杂更新律增益，表示为式(14)：
因此，进一步可得到更新律式(15)：
将式(15)带入针对不同阶段设计迭代学习控制器式(3)：
ui(t,k)＝ui(t,k-1)+ri(t,k) (3)
便可得到2D混杂迭代学习控制律设计ui(t,k),，同时，每一阶段的运行最小时间由此式可得；此控制律及运行时间获得均依赖于时滞上下界。
本发明的有益效果：
本发明的有益效果和优点是针对具有时变时滞和干扰的注塑成型过程，考虑其多阶段特性，设计2D混杂具有拓展信息的迭代学习控制器，利用驻留时间方法，得到在有时滞及干扰存在的情况下，尽管注射段及保压段每阶段的运行时间在时滞影响下有所增长，但是通过引用拓展信息，设计了具有拓展信息的迭代学习控制器，缩短了每个阶段的最小运行时间，从而提高生产效率、降低成本投入；而且对于时滞并没有采用传统方法将原有系统转化为高维系统模型，而是保持原有模型维数，设计依赖于时滞的控制器，大大减少计算量，减小保守性，使得系统的控制性能显著提高。
附图说明
图1为本发明基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法的流程图。
具体实施方式
实施例1
如图1所示，一种基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1：建立等价2D切换离散系统的状态空间模型：
1.1将注塑成型过程用典型的多阶段间歇过程表示，模型由式(1)表示：
其中，k和t分别表示注塑过程所处批次及在批次内所处的运行时刻，x(t,k)，y(t,k)，u(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输出和系统输入；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞；ρ(t,k)∈{1,2,…,q}代表切换信号，q表示注塑过程每个批次总的阶段数，x0,k为第k个工作周期的初始状态，ωρ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；
注塑成型过程可以看作一个切换系统，注射段和保压段分别对应一个子系统，当其运行至不同阶段，相应的子系统被激活，可将式(1)改写为式(2)：
其中，i表示注塑过程所处阶段，为适当维数的常数矩阵，为未知的不确定参数摄动矩阵，满足：
为已知的适维常数矩阵；
1.2构建注塑过程二维增广模型，进而再现二维切换系统状态空间模型：
针对不同阶段设计迭代学习控制器，形式由式(3)表示：
ui(t,k)＝ui(t,k-1)+ri(t,k) (3)
其中，ui(t,k)表示批次k阶段i的控制器，ui(t,0)为迭代算法的初始值，ri(t,k)表示阶段i的迭代学习更新律；
定义误差由(4a)表示：
其中，ei(t,k)代表系统实际输出值yi(t,k)与系统输出设定值的差值，即跟踪误差；
引入拓展信息(4b)：
其中，为扩展状态；
由式(2)结合式(3)、(4a)和(4b)，得到由式(5)、(6)表示的注塑过程阶段i的二维状态误差空间模型式(5)和二维输出误差空间模型式(6)；
其中，
由式(4b)、(5)、(6)可得与式(2)等价的、由状态误差及跟踪误差构成的具有拓展信息的2D增广模型，表示为式(7a)：
其中，
Ii为适维的单位矩阵；
令将(7a)再现为切换系统模式：
步骤2：根据不同阶段，设计相应的具有拓展信息的抗干扰2D控制器并获得切换时间：
为了寻找到两相邻阶段的最佳切换时间，以保证过程平稳切换且省时高效，定义满足注射段和保压段的切换条件的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻表示为(8a)；定义每个阶段运行需要的驻留时间，表示为(8b)：
其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻；Gi(x(t,k))＜0，(i＝1,2)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件；Nq(z,D)表示阶段q在时间间隔(z,D)内的切换次数((代表总的运行时间)，且称为在阶段q驻留时间；
针对式(7a)，设计具有拓展信息的迭代学习更新律，表示为式(9)：
其中，为待求控制器增益；
则由(7b)可得如下的2D闭环时滞切换系统模型，由式(10)表示：
其中，Z(t,k+1)是系统的被控输出，需满足如下条件：
针对系统式(10)设计更新律式(9)；
对于具有区间时变时滞和干扰的注塑过程的注射段和保压段，选取分段李雅普诺夫函数，表示为式(11a)：
其中，
结合(7)，(9)-(10)，需有式(11b)成立：
其中，
其中，Pi，Qi，Wi及Ri为待求对应于第i阶段的正定矩阵；αi为小于1的正数；T表示矩阵转置；
若要式(11b)成立，必有ψi＜0成立；
由于式(10)的H∞性能指标Ji需满足形式如式(12)所示：
ψi＜0同时满足式(12)，进一步转化为等价不等式为式(13)：
其中，
求解上述不等式(13)，可得2D混杂更新律增益，表示为式(14)：
因此，进一步可得到更新律式(15)：
将式(15)带入针对不同阶段设计迭代学习控制器式(3)：
ui(t,k)＝ui(t,k-1)+ri(t,k) (3)
便可得到2D混杂迭代学习控制律设计ui(t,k),，同时，每一阶段的运行最小时间由此式可得；此控制律及运行时间获得均依赖于时滞上下界。
实施例2
注塑成型过程注射段与保压段的数学模型如下：
注射段数学模型：
保压段数学模型：
其中，IV代表注射速度，NP代表模腔压力，VO代表阀门开度；
给出如下定义：
其中，IV(t,k)、NP(t,k)、VO(t,k)分别表示k批次t时刻的注射速度、模腔压力及阀门开度；
建立注塑成型过程注射速度与保压压力的状态空间模型：
注射速度的状态空间模型：
保压压力的状态空间模型：
其中，δ(t,k+1)∈[0,1]，定义注射段为阶段1，保压段为阶段2；系统的扰动为非重复扰动，即在阶段1中w1(t,k)＝0.5×[Δ1 Δ2 Δ3]T，在阶段2中w2(t,k)＝0.5×[Δ1 Δ2]T，其中Δi(i＝1,2,3)∈[0,1]。
当注塑过程的注射段喷嘴压力大于350bar即时，过程由注射段切换至保压段。利用不等式约束条件，得出以下表中数据。从表格1可以看出，应用本发明提出的方法，注塑过程总体运行时间明显缩短，抗干扰能力明显增强，总体上实现了高效生产、保证了注射段和保压段的高精控制。
表格1.参数比较
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于时变时滞和干扰的注塑过程混杂2D跟踪控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：建立等价2D切换离散系统的状态空间模型：
1.1将注塑成型过程用典型的多阶段间歇过程表示，模型由式(1)表示：
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其中，k和t分别表示注塑过程所处批次及在批次内所处的运行时刻，x(t,k)，y(t,k)，u(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输出和系统输入；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞；ρ(t,k)∈{1,2,…,q}代表切换信号，q表示注塑过程每个批次总的阶段数，x0,k为第k个工作周期的初始状态，ωρ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；
注塑成型过程可以看作一个切换系统，注射段和保压段分别对应一个子系统，当其运行至不同阶段，相应的子系统被激活，可将式(1)改写为式(2)：
<mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，i表示注塑过程所处阶段，为适当维数的常数矩阵，为未知的不确定参数摄动矩阵，满足：
FiT(t，k)Fi(t，k)≤Ii，0≤t≤T；k=1，2…，为已知的适维常数矩阵；
1.2构建注塑过程二维增广模型，进而再现二维切换系统状态空间模型：
针对不同阶段设计迭代学习控制器，形式由式(3)表示：
ui(t,k)＝ui(t,k-1)+ri(t,k) (3)
其中，ui(t,k)表示批次k阶段i的控制器，ui(t,0)为迭代算法的初始值，ri(t,k)表示阶段i的迭代学习更新律；
定义误差由(4a)表示：
<mrow> <mfenced open = '{' close = ''> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ei(t,k)代表系统实际输出值yi(t,k)与系统输出设定值的差值，即跟踪误差；
引入拓展信息(4b)：
<mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，(t,k)为扩展状态；
由式(2)结合式(3)、(4a)和(4b)，得到由式(5)、(6)表示的注塑过程阶段i的二维状态误差空间模型式(5)和二维输出误差空间模型式(6)；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>B</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，
由式(4b)、(5)、(6)可得与式(2)等价的、由状态误差及跟踪误差构成的具有拓展信息的2D增广模型，表示为式(7a)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>B</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>H</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
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Ii为适维的单位矩阵；
令将(7a)再现为切换系统模式：
步骤2：根据不同阶段，设计相应的具有拓展信息的抗干扰2D控制器并获得切换时间：
为了寻找到两相邻阶段的最佳切换时间，以保证过程平稳切换且省时高效，定义满足注射段和保压段的切换条件的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻Tk i，表示为(8a)；定义每个阶段运行需要的驻留时间，表示为(8b)：
<mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>D</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mi>z</mi> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻；Gi(x(t,k))＜0，(i＝1,2)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件；Nq(z,D)表示阶段q在时间间隔(z,D)内的切换次数((代表总的运行时间)，且称为在阶段q驻留时间；
针对式(7a)，设计具有拓展信息的迭代学习更新律，表示为式(9)：
<mrow> <msup> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为待求控制器增益；
则由(7b)可得如下的2D闭环时滞切换系统模型，由式(10)表示：
其中，Z(t,k+1)是系统的被控输出，需满足如下条件：
<mrow> <msup> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msub> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>Z</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> </mrow>
针对系统式(10)设计更新律式(9)；
对于具有区间时变时滞和干扰的注塑过程的注射段和保压段，选取分段李雅普诺夫函数，表示为式(11a)：
Vi(t+θ，k+τ)＝Vh i(t+θ，k+τ)+Vv i(t+θ，k+τ) (1a)
其中，
结合式(7)，(9)-(10)，需有式(11b)成立：
其中，
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <msup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <msup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <msup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <msup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;psi;</mi> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>W</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>A</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
其中，Pi，Qi，Wi及Ri为待求对应于第i阶段的正定矩阵；αi为小于1的正数；T表示矩阵转置；
若要式(11b)成立，必有ψi＜0成立；
由于式(10)的H∞性能指标Ji需满足形式如式(12)所示：
<mrow> <msup> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>Z</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;Delta;V</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ψi＜0同时满足式(12)，进一步转化为等价不等式为式(13)：
<mrow> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>15</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>21</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>22</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>33</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>44</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <msub> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </msub> </msubsup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <mo>*</mo> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>E</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>21</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>H</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>15</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>C</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>22</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = '[' close = ']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
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<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mn>44</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mi>I</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>
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Pi＝Ri，Ωi＝(Pi)-1， <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>W</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
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μi＞1，γi＞0，0≤dm≤dM，αi＜1，0＜λi＜1；
求解上述不等式(13)，可得2D混杂更新律增益，表示为式(14)：
<mrow> <msup> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因此，进一步可得到更新律式(15)：
将式(15)带入针对不同阶段设计迭代学习控制器式(3)：
ui(t，k)＝ui(t，k-1)+ri(t，k) (3)
便可得到2D混杂迭代学习控制律设计ui(t,k),，同时，每一阶段的运行最小时间由此式可得；此控制律及运行时间获得均依赖于时滞上下界。
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