CN107966902A - 一种不确定性间歇过程的约束2d跟踪控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明针对带有不确定性的间歇过程，提出了一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法。首先，针对给定的系统动态模型设计迭代学习控制律；根据2D系统理论以及所设计的迭代学习控制律，并引入状态误差和输出误差，将原系统动态模型转化为一个以预测值形式表示的2D‑FM闭环系统模型；进而，根据所设计的无穷时域性能指标和Lyapunov稳定性理论，给出以线性矩阵不等式（LMI）形式表示的确保闭环系统鲁棒渐进稳定的充分条件，以及最优控制律的表达形式。该方法控制下的跟踪误差数值更小，收敛更快；更重要的是，控制输入没有大幅度起伏，只需对其进行细微的调节，这有利于资源的节约，减少了频繁操作带来的麻烦。

Description

一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法
技术领域
本发明属于工业过程的先进控制领域，涉及一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法。
背景技术
间歇过程已成为现代制造业最为重要的生产方式之一，随着生产规模的增大，以及生产步骤复杂程度的增加，实际生产中存在的不确定性日益凸显，不仅影响到了系统的高效平稳运行，甚至威胁到了产品的质量。
现阶段采用的鲁棒迭代学习控制策略虽然可以有效地抵制生产环节中的不确定性，提高系统的稳定性，改善系统的控制性能，但该控制律是基于整个生产过程而求解得出，在控制效果上属于覆盖全局的优化控制，即自始至终使用同一控制律。
然而，在实际运行时，系统状态不可能完全按照所求得的控制律作用而变化；若当前时刻的系统状态与设定值发生一定的偏离时，仍继续采用同一控制律，随着时间的推移，系统状态的偏离会愈发增大，而现行的鲁棒迭代学习控制方法无法解决系统状态偏离愈发增大的问题，这势必会对系统的稳定运行和控制性能产生不良的影响。
模型预测控制(MPC)能够很好地满足控制律实时更新修正的需要，通过“滚动优化”和“反馈校正”的方式获得每一时刻的最优控制律，确保系统状态能够尽可能地沿着设定的轨迹运行。
然而，现行的预测控制技术大多采用的是一维形式的控制律，批次间缺少“迭代学习”的过程，控制效果无法随批次的递增而改善；其次，现有成果多数考虑的是有限时域的最优控制问题，鲜有涉及不确定性系统无穷时域优化问题的讨论。这些问题的出现在一定程度上削弱了预测控制的作用效果，因而急需提出一种新的控制方法来弥补现有方法的不足。
现行的预测控制技术大多在一维方向上设计控制律，每一批次只是单纯的重复，控制性能无法随着批次的递增而得到完善；将迭代学习控制与预测控制相结合，所设计的二维控制律可有效地提升系统沿批次方向的控制性能，改善控制效果。同时，设计一个无穷时域的性能指标，旨在使用最小的控制能量来克服最大的扰动，并在最优控制律的作用下使得所要求的性能指标达到最小。
发明内容
本发明针对带有不确定性的间歇过程提出了一种预测控制方法，通过与鲁棒迭代学习控制相结合，有效地解决了系统状态偏差随时间增大以及控制律实时修正的问题。首先，针对给定的系统动态模型设计迭代学习控制律；根据2D系统理论以及所设计的迭代学习控制律，并引入状态误差和输出误差，将原系统动态模型转化为一个以预测值形式表示的2D-FM闭环系统模型；进而，根据所设计的无穷时域性能指标和Lyapunov稳定性理论，给出以线性矩阵不等式(LMI)形式表示的确保闭环系统鲁棒渐进稳定的充分条件，以及最优控制律的表达形式。最终，通过与传统一维预测控制的比较，证明了所提出的2D鲁棒迭代学习预测控制策略的可行性和优越性。
一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1、构建二维状态空间模型，并将其转化为2D-FM模型，具体为：
1.1首先二维状态空间模型由如下形式表示：
其中，t表示时间，k表示批次，x0,k为k批次运行时的初始条件；x(t,k)∈Rn,y(t,k)∈Rl和u(t,k)∈Rm分别表示k批次t时刻的状态变量，输出变量和输入变量；且A,B,C为适维常数矩阵；ΔA(t,k)表示系统内部不确定性且满足ΔA(t,k)＝EG(t,k)F，其中G(t,k)GT(t,k)≤I，{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知的外部扰动；
1.2针对上述模型(1)，引入如下形式的迭代学习控制律：
∑ilc:u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)(for u(t,0)＝0,t＝0,1,2,…,T) (2)
其中，u(t,0)表示迭代过程的初值，r(t,k)∈Rm为待确定的迭代学习更新律；本发明的控制目标是确定更新律r(t,k)，使其控制下的运行轨迹y(t,k)尽可能地跟踪上设定的轨迹yr(t)；
1.3定义输出误差：
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t) (3)
其中，yr(t)表示每一批次的设定轨迹；
1.4定义一个批次方向的误差函数：
δf(t,k)＝f(t,k)-f(t,k-1) (4)
其中，f可为状态变量，输出变量或者未知的外部扰动；
1.5将构建的二维状态空间模型转化为2D-FM模型，对于模型(1)，由式(2)-(4)可得：
其中
若则系统的扰动为重复性扰动；否则，系统的扰动为非重复性扰动，本发明仅讨论非重复性扰动下的最优控制问题；
由此，可获得增广的2D-FM模型：
其中，C1＝[C 0],
步骤2、根据所得到的2D-FM模型设计出相应形式的控制律，具体为：
2.1设计如下的迭代学习控制律：
则闭环形式的2D-FM系统可表示为：
2.2用z(t+j|t,k),r(t+j|t,k),y(t+j|t,k)分别表示相应变量的预测值，上式(9)可重新写为：
其中，j＝0,1,2...；
2.3考虑如下的性能指标：
其约束条件为：
其中，Q1,Q2∈R(n+l)×(n+l)，R∈Rm×m为给定的正定矩阵，正数rm＞0，δym＞0分别为更新律输入增量和输出变量的上界值；
2.4定义一个如下的Lyapunov函数：
其中，P1＞0，P2＞0；
若要系统渐近稳定，则需满足下列条件：
2.5对上式从j＝0到∞求和，且有V[z(∞,k)]＝0或z(∞,k)＝0，P1+P2＜P，则：
其中，γ为J∞(t,k)的上界值；
2.6将V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ写成LMI的形式：
2.7根据式(10)和(13)，式(14)可展开为：
若要上式成立，则需有：
式(18)成立的等价条件为：
且伴有下列约束条件：
其中，P1,P2,P∈R(n+l)×(n+l)为对称正定矩阵，Y1,Y2∈Rm×(n+l)，X∈Rm×m和Z∈Rl×l为对称矩阵，且γ＞0，μ＞0，η＞0，λ＞0，并定义S＝γP-1，ε＝γ-1η，Yi＝HiS，i＝1,2，ε＝γ-1η；
2.8根据上述线性矩阵不等式约束(16)、(19)-(21)，可实时获得Y1，Y2和S，则所求的控制律r(t,k)增益为：
H1＝Y1S-1＝γ-1Y1P,H2＝Y2S-1＝γ-1Y2P
从而获得具有约束的控制律u(t,k)。
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
本发明所提出的方法无论在跟踪性能上，还是在输入输出上都要好于传统的一维预测控制。该方法控制下的跟踪误差数值更小，收敛更快；更重要的是，控制输入没有大幅度起伏，只需对其进行细微的调节，这有利于资源的节约，减少了频繁操作带来的麻烦，符合时下“绿色高效”的发展理念。从长远来看，这种方法的提出，可以为设计节能减耗的控制器提供理论和技术上的支持。
附图说明
图1为本发明设计的流程图。
图2为本发明跟踪性能比较图。
图3为本发明输出响应对比1示意图。
图4为本发明输出响应对比2示意图。
图5为本发明输入变量对比1示意图。
图6为本发明输入变量对比2示意图。
图7为本发明输入变量增量对比1示意图。
图8为本发明输入变量增量对比2示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明。
如图1所示，一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1、构建二维状态空间模型，并将其转化为2D-FM模型，具体为：
1.1首先二维状态空间模型由如下形式表示：
其中，t表示时间，k表示批次，x0,k为k批次运行时的初始条件；x(t,k)∈Rn,y(t,k)∈Rl和u(t,k)∈Rm分别表示k批次t时刻的状态变量，输出变量和输入变量；且A,B,C为适维常数矩阵；ΔA(t,k)表示系统内部不确定性且满足ΔA(t,k)＝EG(t,k)F，其中G(t,k)GT(t,k)≤I，{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知的外部扰动；
1.2针对上述模型(1)，引入如下形式的迭代学习控制律：
∑ilc:u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)(for u(t,0)＝0,t＝0,1,2,…,T) (2)
其中，u(t,0)表示迭代过程的初值，r(t,k)∈Rm为待确定的迭代学习更新律；本发明的控制目标是确定更新律r(t,k)，使其控制下的运行轨迹y(t,k)尽可能地跟踪上设定的轨迹yr(t)；
1.3定义输出误差：
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t) (3)
其中，yr(t)表示每一批次的设定轨迹；
1.4定义一个批次方向的误差函数：
δf(t,k)＝f(t,k)-f(t,k-1) (4)
其中，f可为状态变量，输出变量或者未知的外部扰动；
1.5将构建的二维状态空间模型转化为2D-FM模型，对于模型(1)，由式(2)-(4)可得：
其中
若则系统的扰动为重复性扰动；否则，系统的扰动为非重复性扰动，本发明仅讨论非重复性扰动下的最优控制问题；
由此，可获得增广的2D-FM模型：
其中，C1＝[C 0],
步骤2、根据所得到的2D-FM模型设计出相应形式的控制律，具体为：
2.1设计如下的迭代学习控制律：
则闭环形式的2D-FM系统可表示为：
2.2用z(t+j|t,k),r(t+j|t,k),y(t+j|t,k)分别表示相应变量的预测值，上式(9)可重新写为：
其中，j＝0,1,2...；
2.3考虑如下的性能指标：
其约束条件为：
其中，Q1,Q2∈R(n+l)×(n+l)，R∈Rm×m为给定的正定矩阵，正数rm＞0，δym＞0分别为更新律输入增量和输出变量的上界值；
2.4定义一个如下的Lyapunov函数：
其中，P1＞0，P2＞0；
若要系统渐近稳定，则需满足下列条件：
2.5对上式从j＝0到∞求和，且有V[z(∞,k)]＝0或z(∞,k)＝0，P1+P2＜P，则：
其中，γ为J∞(t,k)的上界值；
2.6将V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ写成LMI的形式：
2.7根据式(10)和(13)，式(14)可展开为：
若要上式成立，则需有：
式(18)成立的等价条件为：
且伴有下列约束条件：
其中，P1,P2,P∈R(n+l)×(n+l)为对称正定矩阵，Y1,Y2∈Rm×(n+l)，X∈Rm×m和Z∈Rl×l为对称矩阵，且γ＞0，μ＞0，η＞0，λ＞0，并定义S＝γP-1，ε＝γ-1η，Yi＝HiS，i＝1,2，ε＝γ-1η；
2.8根据上述线性矩阵不等式约束(16)、(19)-(21)，可实时获得Y1，Y2和S，则所求的控制律r(t,k)增益为：
H1＝Y1S-1＝γ-1Y1P,H2＝Y2S-1＝γ-1Y2P
从而获得具有约束的控制律u(t,k)。
实施例
注塑成型过程是一个典型的间歇过程。注射阶段的注射速度、保压阶段中的保压压力、塑化阶段中的熔体温度都是影响产品最终质量的关键因素，必须对这些参数进行稳定和准确的控制，从而确保产品的质量。
其中，保压阶段为决定产品质量的重要阶段。在此阶段，由于低温模具具有冷却作用，为防止模腔中的熔体逆压倒流及熔体冷却而导致产品收缩，注射喷嘴仍需保持有一定的压力。因此，喷嘴压力是该阶段最为重要的被控变量，这个压力也称为保压压力。
针对带有非重复性扰动的注塑成型过程，通过保压阶段进行实验，分别得到传统的一维预测控制与本发明给出的二维鲁棒迭代学习预测控制的各项实验结果，通过对跟踪性能，以及输入输出量的比较，说明本发明所提出方法的有效性和优越性。
根据保压阶段所采集到的数据建立下列模型，分别对传统方法和本发明所提出的方法进行实验，对比结果如下：
其中，w(t,k)＝[Δ1 Δ2]T,Δi(i＝1,2)为区间[0,1]上的随机变量。
从图2可知，本发明所提出方法的跟踪性能明显好于传统的一维预测控制方法，其跟踪误差不仅数值小，而且收敛速度快，可以在短时间内(大约10个批次)快速收敛到平稳状态，并基本实现“零误差”跟踪(稳定运行时跟踪误差接近于零)。
图3和图4可以看出，所提出方法的输出响应可以在短时间内跟踪上给出的设定轨迹，所需的运行时间和跟踪轨迹的拟合程度均要好于传统的一维预测控制方法；输出轨迹更加平稳光滑，波动更小，体现出了该方法不错的抗干扰能力。
从图5和图6可以看出，在所提出方法的作用下，输入变量的变化趋势与传统的一维预测控制相比，更加的平稳光滑，稳定之后几乎没有波动，即输入变量的增量近似为零，这一点在图7和图8中也得到了证明。在实际生产中，运用本发明提出的控制方法，当系统稳定运行后，便可通过基本不变的控制输入实现系统的稳定运行，减少了由不断调节控制输入所带来的能量损耗和繁琐的操作，有利于提高生产效率。
以注塑成型过程中保压段喷嘴压力的控制律设计为例，验证本发明所提出二维迭代学习预测控制控制方法的有效性和优越性。
实验结果表明，本发明所提出的方法无论在跟踪性能上，还是在输入输出上都要好于传统的一维预测控制。该方法控制下的跟踪误差数值更小，收敛更快；更重要的是，控制输入没有大幅度起伏，只需对其进行细微的调节，这有利于资源的节约，减少了频繁操作带来的麻烦，符合时下“绿色高效”的发展理念。从长远来看，这种方法的提出，可以为设计节能减耗的控制器提供理论和技术上的支持。

Claims (1)

1.一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、构建二维状态空间模型，并将其转化为2D-FM模型，具体为：
1.1首先构建二维状态空间模型，由如下形式表示：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>A</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，t表示时间，k表示批次，x0,k为k批次运行时的初始条件；x(t,k)∈Rn,y(t,k)∈Rl和u(t,k)∈Rm分别表示k批次t时刻的状态变量，输出变量和输入变量；且A,B,C为适维常数矩阵；ΔA(t,k)表示系统内部不确定性且满足ΔA(t,k)＝EG(t,k)F，其中G(t,k)GT(t,k)≤I，{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知的外部扰动；
1.2针对上述模型(1)，引入如下形式的迭代学习控制律：
∑ilc:u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)(for u(t,0)＝0,t＝0,1,2,…,T) (2)
其中，u(t,0)表示迭代过程的初值，r(t,k)∈Rm为待确定的迭代学习更新律；本发明的控制目标是确定更新律r(t,k)，使其控制下的运行轨迹y(t,k)尽可能地跟踪上设定的轨迹yr(t)；
1.3定义输出误差：
e(t,k)＝y(t,k)-yr(t) (3)
其中，yr(t)表示每一批次的设定轨迹；
1.4定义一个批次方向的误差函数：
δf(t,k)＝f(t,k)-f(t,k-1) (4)
其中，f可为状态变量，输出变量或者未知的外部扰动；
1.5将构建的二维状态空间模型转化为2D-FM模型，对于模型(1)，由式(2)-(4)可得：
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其中
由此，可获得增广的2D-FM模型：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mi>C</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，C1＝[C 0],
步骤2、根据所得到的2D-FM模型设计出相应形式的控制律，具体为：
2.1设计如下的迭代学习控制律：
<mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则闭环形式的2D-FM系统可表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mi>C</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.2用z(t+j|t,k),r(t+j|t,k),y(t+j|t,k)分别表示相应变量的预测值，上式(9)可重新写为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mi>C</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，j＝0,1,2...；
2.3考虑如下的性能指标：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>&amp;infin;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Q</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>R</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其约束条件为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;y</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Q1,Q2∈R(n+l)×(n+l)，R∈Rm×m为给定的正定矩阵，正数rm＞0，δym＞0分别为更新律输入增量和输出变量的上界值；
2.4定义一个如下的Lyapunov函数：
<mrow> <mi>V</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msub> <mi>V</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，P1＞0，P2＞0；
若要系统渐近稳定，则需满足下列条件：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>V</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>T</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>T</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>K</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>K</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&lt;</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> 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<mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>R</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.5对上式从j＝0到∞求和，且有V[z(∞,k)]＝0或z(∞,k)＝0，P1+P2＜P，则：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&amp;infin;</mi> </munderover> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>V</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;infin;</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mi>V</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
J∞(t,k)≤V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ (15)
其中，γ为J∞(t,k)的上界值；
2.6将V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ写成LMI的形式：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>S</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;P</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.7根据式(10)和(13)，式(14)可展开为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>{</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>P</mi> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>H</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>H</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>R</mi> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>H</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>H</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>}</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
若要上式成立，则需有：
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式(18)成立的等价条件为：
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且伴有下列约束条件：
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其中，P1,P2,P∈R(n+l)×(n+l)为对称正定矩阵，Y1,Y2∈Rm×(n+l)，X∈Rm×m和Z∈Rl×l为对称矩阵，且γ＞0，μ＞0，η＞0，λ＞0，并定义S＝γP-1，ε＝γ-1η，Yi＝HiS，i＝1,2，ε＝γ-1η；
2.8根据上述线性矩阵不等式约束(16)、(19)-(21)，可实时获得Y1，Y2和S，则所求的控制律r(t,k)增益为：
H1＝Y1S-1＝γ-1Y1P,H2＝Y2S-1＝γ-1Y2P
从而获得具有约束的控制律u(t,k)。
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