CN104698842B - 一种基于内点法的lpv模型非线性预测控制方法 - Google Patents
一种基于内点法的lpv模型非线性预测控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法。首先在设置的工作点上，对系统复杂的机理模型进行线性化得到多个线性子模型；其次选择权重函数，加权各线性子模型得到系统的全局逼近模型，称为线性变参数模型即LPV模型；再将LPV模型作为预测模型，选用二次型性能指标函数构建非线性预测控制命题；最后在滚动优化过程中，用内点算法求解优化命题，得到最优控制序列完成非线性预测控制。与现有技术相比，本发明所述的方法，基于LPV模型全联立直接求解，求解精度高、算法耗时短；体现到控制效果上，则缩短系统的过渡过程、减少资源消耗，特别在大范围变工况下，明显地提高系统的控制品质。
Description
技术领域
本发明属于工业过程控制领域，涉及一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法。
背景技术
实际工业中，随着对生产效益的不断追求和环境保护的日趋严格，工业过程变得越来越复杂，且大部分都存在强非线性特征，并且是控制量带有约束的复杂化工对象。采用单一线性模型来描述这样的系统并设计控制器，不能满足控制性能要求，甚至会造成系统的不稳定状况出现，因此探讨多模型方法是必要的。多模型方法中的线性变参数模型(LPV)具有算法简单、可以将引起系统非线性的主要因素作为调度变量等优点，因此本发明将LPV模型作为预测模型探讨非线性预测控制问题。
根据对象特性及性能指标的不同，已有的非线性优化算法有二次规划法、可行方向法、罚函数法、单纯形法、牛顿法等。非线性预测控制中，通常采用的非线性优化算法是内点法或者序列二次规划算法。目前有关这类算法的成熟软件，包括MATLAB里面的fmincon,TOMLAB里面的knitro、snopt、NPSOL以及卡耐基梅隆大学的Biegler教授等开发的IPOPT等。如果预测模型是机理模型，则NMPC一般采用序贯法或者联立法等动态优化策略进行求解。目前，基于操作轨迹LPV模型的非线性预测控制，采用多步线性化方法进行优化求解。多步线性化方法需要沿操作轨迹多次线性化得到多个二次规划问题(QP问题)，分别求解。而且QP子问题具有不等式约束时，会使QP求解效率降低，当问题规模或者不等式约束增加时，问题规模呈指数增长，算法耗时较长，在线的计算量比较大，并且求解精度不高。如果优化命题存在大量的边界约束时，多步线性化方法中QP问题的求解将成为瓶颈。然而内点算法可以求解大规模非线性规划(NLP)问题，具有高的求解效率。这种方法不需要线性化处理，基于LPV模型全联立直接求解,求解精度高，减少了滚动优化步数。从各种变工况的控制效果上看，能缩短过渡时间，使系统更快地达到设定值，降低能耗，提高控制品质。特别在大范围变工况下，优势体现得更为明显。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，有效地运用于工业过程控制中，让系统进行大范围的变工况，求解精度高，提高控制品质。
本发明一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，具体包括如下步骤：
步骤(1)、复杂工业对象的机理模型在工作点上进行线性化处理，得到与工作点个数相同的线性子模型，其中工作点即为复杂工业对象的运行工况：
所述的复杂工业对象的机理模型采用微分方程描述如下：
其中t是时间，x∈Rn是系统的状态向量，u∈Rr、y∈Rp分别是系统的输入和输出向量，φ(.)和ψ(.)都是非线性函数；
将引起系统非线性的主要因素选作系统的调度变量，这个变量也称为工作点变量，用符号w表示，它是系统(复杂工业对象的机理模型)的输入变量或者输出变量之一。工作点变量w决定了工业对象操作的运行工况(工况即指工作点)。假设上述工业对象有p个工作点。在操作空间Ω内的第j个工作点(xoj,uoj,yoj)上对工业对象机理模型见公式(1)进行线性化处理，得到第j个工作点上的线性状态空间方程如下：
其中，
根据采样周期T对式(2)离散化，得到系统的离散增量状态空间方程如下：
其中k是采样时刻，Aj,Bj,Cj,Dj分别是的离散化矩阵；
依次重复上述线性化的方法，分别得到系统在p个工作点上的p个线性子模型。
步骤(2)、将步骤(1)得到的p个线性子模型利用权重函数加权得到LPV模型：
所述的LPV模型的权重函数有多种选择，包括线性分段函数、高斯函数、梯形函数、三次样条插值函数、多项式插值函数等等。分段线性插值函数是使用最多最广泛，也是最简单的一种模型权重。线性分段函数的数学表达形式如下：
权重值的大小取决于系统当前操作点与线性模型集中相邻操作点之间的距离。权重值的大小在0到1之间变化。分段线性权重函数里面没有待确定的参数。只要知道系统的当前工作点变量w，就能根据公式(4)算出各线性子模型的权重值。
根据式子y＝∑jαj(w)Mj用分段线性权重函数加权步骤1中得到的线性子模型得到全局LPV模型；
LPV模型采用状态空间描述如下：
其中，
C(w)＝[α1(w)C1 α2(w)C2 … αp(w)Cp]
D(w)＝α1(w)D1+α2(w)D2+…αp(w)Dp
步骤(3)、用步骤(2)中得到的LPV模型作为预测模型，选取二次型性能指标函数作为目标函数，构建非线性预测控制命题：
由于x(k)是工业对象当前时刻的状态，为已知状态；利用LPV模型(公式(5))进行迭代预测：
其中，P为预测时域。
同时，在k时刻已知上一时刻的输入u(k-1),所以有
其中，M为控制时域，u(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1。
将公式(7)代入到公式(6)中，推导得到：
公式(3)中Dj≠0这种情况不常见而且会使优化计算复杂化，一般假定Dj＝0，因此由公式(3)推导得到的公式(5)中D(w)＝0，利用LPV模型(公式(5))得到预测输出：
为了克服模型失配，利用常值输出扰动d(k|k)对系统进行反馈校正。因此在有常值输出扰动的情况下，根据公式(9)得到校正后的预测输出为：
其中的x(k+i|k),i＝1,2,…P由公式(8)得到。
选二次型性能指标函数为目标函数：
其中yr定义为输出变量的期望参考轨迹；Q和R分别称为误差权矩阵和控制权矩阵。由公式(7)可知u(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1，因此Δu(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1；
约束条件：
其中u+和u-是控制量u的操作上下限；Δu+和Δu-是控制增量Δu的操作上下限；y+和y-是输出变量y的操作上下限。
由目标函数(公式(11))和约束条件(公式(12))构成了LPV模型非线性预测控制命题。
步骤(4)、用内点法求解步骤3得到的优化命题，选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象,得到实际输出值；同时进行下一步滚动优化，实现工业对象设定值的跟踪控制。
非线性预测控制命题的优化准则是指在k时刻，选择未来P个控制量，让这P个时刻的未来预测输出尽可能地接近由参考轨迹确定的期望输出yr。
若步骤(1)中选取的工作点变量为输入变量，公式(10)中由于wk+i＝u(k+i|k)，如公式(7)用含Δu(k+i|k)的表达式表示u(k+i|k)，再将Δu(k+i|k)的表达式代入上式(10)中替换掉wk+i，然后将公式(10)分别代入公式(11)和(12)中，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤(3)中的非线性预测控制命题进行全联立求解，得到最优控制律Δu(k+i|k)。最优控制律Δu(k+i|k)包括M个控制增量，选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象得到实际输出值，然后置采样时刻k←k+1，进行下一次滚动优化(即重复步骤(4))。直到目标函数(公式(11))的值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
若步骤(1)中选取的工作点变量为输出变量，将公式(10)作为等式约束加入到约束条件(公式(12))中，其中wk+i＝y(k+i|k)；[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]选为优化变量，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤(3)中的非线性预测控制命题进行全联立求解，得到最优解[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]。得到的最优控制律Δu(k+i|k]包括M个控制增量，选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象；然后置采样时刻k←k+1，同时将得到的y(k+i|k)作为初始值，进行下一次滚动优化(即重复步骤(4))。直到目标函数(公式(11))的值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
本发明的有益效果如下：
本发明针对复杂的工业系统，用多模型中的LPV模型进行建模并进行非线性预测控制，这种软切换的调度策略让系统过渡比较平滑；同时针对LPV模型非线性预测控制命题，用内点算法进行求解，求解精度高，减少了滚动优化步数，使系统平稳快速地跟踪设定值，缩短了过渡时间。特别在大范围变工况下，使系统具有满意的控制品质并且能耗更低。
附图说明
图1是本发明的控制系统框图；
图2是CSTR系统的控制输出曲线；
图3是滚动优化目标函数值曲线。
具体实施方式
以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步详述。
如图1所示为本发明的控制系统框图，其中子模型i,(i＝1,2,...p)是在系统的操作空间上选择工作点后得到的线性模型集。由于工作点变量是输入变量之一，因此在采样时刻k，根据被控对象的实际输出与各工作点之间的距离利用权重函数公式计算各线性子模型的权重系数α(w)；根据全局LPV模型得到k+1到P时刻的预测输出；在k时刻用内点法求解一个有限时域[k,k+P]上的优化命题，并且将求解得到的当前控制增量Δu(k)作用于系统。到下一个采样时刻，重新在时域[k+1,k+P+1]上求解非线性预测控制优化命题，得到控制增量，以此滚动优化下去，达到理想的控制效果。
本发明一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，具体包括如下步骤：
步骤(1)、复杂工业对象的机理模型在工作点上进行线性化处理，得到与工作点个数相同的线性子模型，其中工作点即为复杂工业对象的运行工况：
所述的复杂工业对象的机理模型采用微分方程描述如下：
其中t是时间，x∈Rn是系统的状态向量，u∈Rr、y∈Rp分别是系统的输入和输出向量，φ(.)和ψ(.)都是非线性函数；
将引起系统非线性的主要因素选作系统的调度变量，这个变量也称为工作点变量，用符号w表示，它是系统的输入变量或者输出变量之一。工作点变量w决定了工业对象操作的运行工况(工况即指工作点)。假设上述工业对象有p个工作点。在操作空间Ω内的第j个工作点(xoj,uoj,yoj)上对工业对象机理模型见公式(1)进行线性化处理，得到第j个工作点上的线性状态空间方程如下：
其中，
根据采样周期T对式(2)离散化，得到系统的离散增量状态空间方程如下：
其中k是采样时刻，Aj,Bj,Cj,Dj分别是的离散化矩阵；
依次重复上述线性化的方法，分别得到系统在p个工作点上的p个线性子模型。
步骤(2)、将步骤(1)得到的p个线性子模型利用权重函数加权得到LPV模型：
所述的LPV模型的权重函数有多种选择，包括线性分段函数、高斯函数、梯形函数、三次样条插值函数、多项式插值函数等等。分段线性插值函数是使用最多最广泛，也是最简单的一种模型权重。线性分段函数的数学表达形式如下：
权重值的大小取决于系统当前操作点与线性模型集中相邻操作点之间的距离。权重值的大小在0到1之间变化。分段线性权重函数里面没有待确定的参数。只要知道系统的当前工作点变量w，就能根据公式(4)算出各线性子模型的权重值。
根据式子y＝∑jαj(w)Mj用分段线性权重函数加权步骤1中得到的线性子模型得到全局LPV模型；
LPV模型采用状态空间描述如下：
其中，
C(w)＝[α1(w)C1 α2(w)C2 … αp(w)Cp]
D(w)＝α1(w)D1+α2(w)D2+…αp(w)Dp
步骤3、用步骤(2)中得到的LPV模型作为预测模型，选取二次型性能指标函数作为目标函数，构建非线性预测控制命题：
由于x(k)是工业对象当前时刻的状态，为已知状态；利用LPV模型(公式(5))进行迭代预测：
其中，P为预测时域。
同时，在k时刻已知上一时刻的输入u(k-1),所以有
其中，M为控制时域，u(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1。
将公式(7)代入到公式(6)中，推导得到：
公式(3)中Dj≠0这种情况不常见而且会使优化计算复杂化，一般假定Dj＝0，因此由公式(3)推导得到的公式(5)中D(w)＝0，利用LPV模型(公式(5))得到预测输出：
为了克服模型失配，利用常值输出扰动d(k|k)对系统进行反馈校正。因此在有常值输出扰动的情况下，根据公式(9)得到校正后的预测输出为：
其中的x(k+i|k),i＝1,2,…P由公式(8)得到。
选二次型性能指标函数为目标函数：
其中yr定义为输出变量的期望参考轨迹；Q和R分别称为误差权矩阵和控制权矩阵。由公式(7)可知u(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1，因此Δu(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1。约束条件：
其中u+和u-是控制量u的操作上下限；Δu+和Δu-是控制增量Δu的操作上下限；y+和y-是输出变量y的操作上下限。
由目标函数(公式(11))和约束条件(公式(12))构成了LPV模型非线性预测控制命题。
步骤4、用内点法求解步骤(3)得到的优化命题，并进行滚动优化，实现工业对象设定值的跟踪控制。
非线性预测控制命题的优化准则是指在k时刻，选择未来P个控制量，让这P个时刻的未来预测输出尽可能地接近由参考轨迹确定的期望输出yr。
若步骤(1)中选取的工作点变量为输入变量，公式(10)中由于wk+i＝u(k+i|k)，如公式(7)用含Δu(k+i|k)的表达式表示u(k+i|k)，再将Δu(k+i|k)的表达式代入上式(10)中替换掉wk+i，然后将公式(10)分别代入公式(11)和(12)中，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤(3)中的非线性预测控制命题进行全联立求解，得到最优控制律Δu(k+i|k)。最优控制律Δu(k+i|k)包括M个控制增量，选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象得到实际输出值，然后置采样时刻k←k+1，进行下一次滚动优化(即重复步骤(4))。直到目标函数(公式(11))的值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
若步骤(1)中选取的工作点变量为输出变量，将公式(10)作为等式约束加入到约束条件(公式(12))中，其中wk+i＝y(k+i|k)；[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]选为优化变量，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤(3)中的非线性预测控制命题进行全联立求解，得到最优解[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]。得到的最优控制律Δu(k+i|k]包括M个控制增量，选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象；然后置采样时刻k←k+1，同时将得到的y(k+i|k)作为初始值，进行下一次滚动优化(即重复步骤(4))。直到目标函数(公式(11))的值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
连续搅拌反应釜(简称CSTR)是一种常用的反应器，常被应用于聚合化学反应，在化工生产领域的核心设备中占有相当重要的位置。同时在医药试剂、染料、合成材料及食品工业中，CSTR都得到了广泛的应用。
将上述发明应用于CSTR上实现设定值跟踪控制。控制目标是通过调节冷却剂流量使产品的浓度在给定的范围内变动，实现设定值跟踪控制。冷却剂流量qc是系统的输入变量，组分A的浓度CA是输出变量。同时将冷却剂流量qc设置为工作点变量。分别用传统方法(多步线性化方法)及内点算法求解非线性预测控制命题，其中内点算法用IPOPT完成。
得到的控制效果如图2、图3和表1所示。如图2所示，明显看出内点法比多步线性化方法让系统能够更快的跟踪设定值，最终达到目标稳态。
表1变工况的优化时间
如表1所示，可以看出传统的多步线性化方法使系统达到目标稳态的滚动优化步数是200步，总的优化时间是996秒；内点算法使系统达到目标稳态的滚动优化步数是171步，总的优化时间是851.58秒。说明内点法让系统达到设定值所需的时间更短，过渡过程所花费的时间较少。
如图3所示，图中给出了在滚动优化过程中，两种方法分别求解非线性预测控制命题的二次型性能指标值。两种方法在初始状态一致的情况下，内点法在第一步滚动优化的性能指标值比多步线性化方法的小6.3545×10-7。之后对于每步的开环优化二次型性能指标值，内点法的指标值都比多步线性化方法的值小，最终两者的性能指标值都无限地趋于零，系统达到最终稳态。图中结果表明内点算法的每步开环优化的求解结果都比多步线性化方法更精确。
Claims (4)
1.一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤：
步骤(1)、将复杂工业对象的机理模型在工作点上进行线性化处理，得到与工作点个数相同的线性子模型，其中工作点即为复杂工业对象的运行工况：
所述的复杂工业对象的机理模型采用微分方程描述如下：
y＝ψ(x,u,t) (1)
其中t是时间，x∈Rn是系统的状态向量，u∈Rr、y∈Rp分别是系统的输入和输出向量，φ(.)和ψ(.)都是非线性函数；
将引起系统非线性的主要因素选作系统的工作点变量w，所述的工作点变量为系统的输入变量或者输出变量之一，由工作点变量w确定工业对象过程操作的工作点；
假设上述工业对象有p个工作点，在操作空间Ω内的第j个工作点(xoj,uoj,yoj)上对系统进行线性化处理，得到第j个工作点上的线性状态空间方程如下：
其中，
根据采样周期T对式(2)离散化，得到系统的离散增量状态空间方程如下：
其中k是采样时刻，Aj,Bj,Cj,Dj分别是的离散化矩阵；
依次重复上述线性化处理方法，分别得到系统在p个工作点上的p个线性子模型；
步骤(2)、将步骤(1)得到的所有线性子模型利用权重函数加权得到LPV模型：
所述的LPV模型的权重函数采用线性分段函数，其数学表达形式如下：
根据式y＝∑jαj(w)Mj用分段线性权重函数加权步骤(1)的线性子模型，得到全局LPV模型；
LPV模型采用状态空间描述如下：
其中，
C(w)＝[α1(w)C1 α2(w)C2 … αp(w)Cp]
D(w)＝α1(w)D1+α2(w)D2+…αp(w)Dp
步骤(3)、用步骤(2)中得到的LPV模型作为预测模型，选取二次型性能指标函数作为目标函数，构建非线性预测控制命题：
由于x(k)是工业对象当前时刻的状态，为已知状态；利用LPV模型即公式(5)进行迭代预测：
其中，P为预测时域；
同时，在k时刻已知上一时刻的输入量u(k-1),所以有
其中，M为控制时域，u(k+i|k)＝0,M≤i≤P-1；
将公式(7)代入到公式(6)中，推导得到：
公式(3)中Dj≠0这种情况不常见而且会使优化计算复杂化，假定Dj＝0，因此由公式(3)推导得到的公式(5)中D(w)＝0；利用LPV模型得到预测输出：
为了克服模型失配，利用常值输出扰动d(k|k)对系统进行反馈校正；因此在有常值输出扰动的情况下，根据公式(9)得到预测输出为：
选二次型性能指标函数为目标函数：
其中yr定义为输出变量的期望值；Q阵和R阵分别称为误差权矩阵和控制权矩阵；
约束条件：
其中u+和u-是控制量u的操作上下限；Δu+和Δu-是控制增量Δu的操作上下限；y+和y-是输出变量y的操作上下限；
由目标函数公式(11)和约束条件公式(12)构成了LPV模型非线性预测控制命题；
步骤(4)、用内点法求解步骤(3)得到的优化命题，得到当前时刻系统的控制增量施加于工业对象，并进行下一步滚动优化，实现工业对象的跟踪控制。
2.如权利要求1所述的一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，其特征在于若步骤(1)中选取的工作点变量为输入变量时，步骤(4)具体操作是由于wk+i＝u(k+i|k)，将公式(7)用Δu(k+i|k)表示u(k+i|k)，再代入上式(10)中替换掉wk+i，然后将公式(10)分别代入上式(11)和(12)中，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤3中的非线性预测控制命题进行全联立求解，将求解得到的当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象；最后重置采样时刻k←k+1，进行下一次滚动优化，直到目标函数值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
3.如权利要求1所述的一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，其特征在于若步骤(1)中选取的工作点变量为输出变量，步骤(3)具体操作是将公式(10)作为等式约束加入到约束条件，其中wk+i＝y(k+i|k)；[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]为优化变量，利用内点法优化求解器IPOPT将步骤3中的非线性预测控制命题进行全联立求解，得到最优解[Δu(k+i|k],y(k+i|k)]；然后从最优解中选取当前时刻的控制增量Δu(k|k)施加于工业对象；最后重置采样时刻k←k+1，同时将得到的y(k+i|k)作为初始值，进行下一次滚动优化；直到目标函数值无限趋近于零，此时系统的实际输出值等于期望值yr，实现了系统跟踪控制过程。
4.如权利要求1所述的一种基于内点法的LPV模型非线性预测控制方法，其特征在于步骤(2)中利用分段线性权重函数将多个线性子模型进行输出端加权得到LPV模型的状态空间表达式。
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