CN110412873A - 基于终端约束的时滞间歇过程2d迭代学习预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，包括以下步骤：步骤1：根据间歇过程中单个阶段的离散状态空间模型，建立具有不确定性和状态时滞的间歇过程二维系统模型，并采用预测控制的理念，建立二维系统预测模型；步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习预测控制器，引入状态误差和输出跟踪误差，并构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环预测模型；步骤3：利用2D Lyapunov函数证明系统的鲁棒稳定性，并且满足系统的优化问题可解。利用此设计方法设计控制律，不仅能够保证系统在不确定性允许范围内平稳运行，以实现节能减耗、降低成本等目标，还可以实现降低危害人身安全事故发生等。

Description

基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法

技术领域

本发明属于工业过程的先进控制领域，具体涉及一种基于终端约束的时滞 间歇过程2D迭代学习预测控制方法。

背景技术

在现代工业生产中，间歇过程随着生产规模的增大，以及生产步骤复杂程度 的增加，实际生产中存在的不确定性日益凸显，不仅影响到了系统的高效平稳 运行，甚至威胁到了产品的质量。在间歇过程的控制技术中时滞是存在且不可 避免的，时滞大致分为，输入时滞、输出时滞和状态时滞。时滞的存在会滞后 系统的响应速度，增加控制器的设计难度，恶化系统的控制性能，甚至会影响 系统的稳定性。

此外，现阶段采用的鲁棒迭代学习控制策略虽然可以有效地抵制生产环节中 的不确定性，提高系统的稳定性，改善系统的控制性能，但该控制律是基于整 个生产过程而求解得出，在控制效果上属于覆盖全局的优化控制，即自始至终 使用同一控制律。然而，在实际运行时，系统状态不可能完全按照所求得的控 制律作用而变化；若当前时刻的系统状态与设定值发生一定的偏离时，仍继续 采用同一控制律，随着时间的推移，系统状态的偏离会愈发增大，而现行的鲁 棒迭代学习控制方法无法解决系统状态偏离愈发增大的问题，这势必会对系统 的稳定运行和控制性能产生不良的影响。

模型预测控制(MPC)能够很好地满足控制律实时更新修正的需要，通过“滚 动优化”和“反馈校正”的方式获得每一时刻的最优控制律，确保系统状态能 够尽可能地沿着设定的轨迹运行。并且模型预测控制能够有效地解决输入输出 约束问题，控制器的设计若不考虑对输入输出约束的限制，极有可能会达到饱 和状态而无法改变，由此恶化系统控制性能甚至会影响整个系统的稳定性。

现行的预测控制技术大多在一维方向上设计控制律，只考虑时间方向那么批 次方向只是单独的重复，控制性能无法随着批次方向的递增而提高；只考虑批 次方向则会产生无法确定初值等问题。所以需要设计二维控制律来提升系统沿 批次方向的控制性能，改善控制效果。既要考虑间歇过程的约束问题，又要结 合间歇过程的重复性以及二维特性，预测控制在其控制问题上还是有一定的局 限性。而迭代学习控制在处理具有重复性以及对跟踪轨迹有高精度要求的系统 时有着较强的优势，将迭代学习控制和模型预测控制结合起来，两种方法相辅 相成，互补长短，有利于达到更好的控制效果。

因此说，为解决上述问题：时滞，输入输出约束，系统二维特性以及不确定 性，保证系统的控制性能，提出一种基于终端约束的时滞间歇过程2D约束迭代 学习预测控制方法是很有必要的。

发明内容

针对上述现有技术存在的不足，本发明提供一种基于终端约束的时滞间歇 过程2D迭代学习预测控制方法。

本发明的技术方案是：

基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，包括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程中单个阶段的离散状态空间模型，建立具有不确定性 和状态时滞的间歇过程二维系统模型，并采用预测控制的理念，建立二维系统 预测模型；

步骤1.1：具有不确定性和状态时滞的间歇过程二维系统模型由式(1)表示：

其中，t和k分别表示时间和批次；x(t,k)∈Rⁿ，y(t,k)∈R^l，u(t,k)∈R^m分别表示第k批次t时 刻的系统状态变量，输出变量以及输入变量；x_0,k表示第k批次运行时的初始状态，d(t)表示 沿时间方向的状态时滞，且满足d_m≤d(t)≤d_M，d_M和d_m分别表示状态时滞的上界值和下界值； A，A_d，B，C均为适维常数矩阵且ΔA(t,k)， ΔA_d(t,k)，ΔB(t,k)表示系统不确定性且[ΔA(t,k) ΔA_d(t,k) ΔB(t,k)]＝EΔ(t,k)[F F_d F_b]，其中， Δ^T(t,k)Δ(t,k)≤I且{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知外部扰动满足 其中γ为已知正数；

步骤1.2：针对模型(1)采用预测控制的理念，建立二维系统预测模型如式 (2)所示：

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习预测控制 器，引入状态误差和输出跟踪误差，并针对由式(2)表示的间歇过程的二维系 统预测模型构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环预测 模型；

步骤3：利用2D Lyapunov函数证明系统的鲁棒稳定性，并且满足系统的优 化问题可解；将得到的鲁棒更新律带入u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)，便可得到2D约 束迭代学习控制律设计u(t,k)，在下一时刻，不断重复继续求解新的控制量u(t,k)， 并依次循环。

进一步地，步骤2具体包括以下步骤：

步骤2.1：为解决由式(2)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习 预测控制器，如式(3)所示：

Σ_ilc：u(t+i|t,k+j|k)＝u(t+i|t,k+j-1|k)+r(t+i|t,k+j|k) (3)

其中，u(t+i|t,k+j|k)表示预测控制器，r(t+i|t,k+j|k)是迭代学习更新律；

步骤2.2：定义状态误差以及输出跟踪误差，如式(5)、(6)所示：

其中，

步骤2.3：利用所设计的二维迭代学习预测控制器，针对由式(2)表示的间 歇过程的二维系统预测模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭 环预测模型：

其中， G＝[0 I]；

步骤2.4：在无穷时域[t,∞)和[k,∞)下，一个“最坏”情况下的具有终端约束 的优化性能指标在批次k时刻t由式(9)定义：

其中，

约束条件为：

其中，Q₁，Q₂，R均表示相关权重矩阵，r_m和Δy_m分别为变量r(t+i|t,k+j|k)和 Δy(t+i|t,k+j|k)的上界值，Ω为不确定集。

进一步地，步骤3具体包括以下步骤：

步骤3.1：定义Lyapunov函数为：

其中，

η(r+i|r,k+j|k)＝x_z(r+i+1|r,k+j|k)-x_z(r+i|r,k+j|k)，

其中，P，P₁，P₂，T₁，M₁，T₁，G₁为待定的正定矩阵；

步骤3.2：为使优化问题可解，必须满足2D李亚普诺夫函数不等式约束：

步骤3.3：对于式(8)的闭环预测系统，假设存在一系列初始条件，有两个 正整数i,j，有：

x_z(t+i,k)＝0,i≥s₁；x_z(t,k+j)＝0,j≥s₂ (12)

其中，s₁＜∞和s₂＜∞是正整数，相应的x_z(t+i,k)和x_z(t,k+j)时间方向的边界和批次 方向的边界，s＝max{s₁,s₂}；

步骤3.4：假设系统满足非重复性扰动恒成立，对于给定的正定矩阵R∈R^m×m，以及正数0≤d_m≤d_M，γ＞0，λ＞0，模型 预测控制问题式(9)可解，如果存在正定对称矩阵L，S₁，S₂，M₃，M₄， X₁和X₂∈R^(n+l)×(n+l)，矩阵Y₁,Y₂∈R^m×(n+l)以及正数ε＞0，θ₁＞0，使得下列线性矩阵不等 式成立；

其中，

Π₃₃＝diag[-εI -εI]， Π₄₄＝diag[-θ₁I -θ₁I -θ₁I]，Π₂₁＝[D^T D^T]， x_l(t+j|t,k)＝max(x_z(t+j|t,k)x_z(r+j|r,k) η(r+j|r,k))，

此时最优性能指标满足

其中，θ是的上边界；

鲁棒更新律增益为H(t,k)＝Y₁L^-1+Y₂L^-1，因此，进一步更新律表示为：

r(t+i|t,k+j|k)＝Y₁L^-1x_z(t+i|t,k+j|k)+Y₂L^-1x_z(t+i+1|t,k+j-1|k),i,j＝0,...,∞

将其带入u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)，便可得到2D约束迭代学习控制律设计 u(t,k)，在下一时刻，不断重复继续求解新的控制量u(t,k)，并依次循环。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：该方法在具有不确定性和时滞的 系统模型基础上设计出迭代学习控制律，引入状态误差和输出误差，用2D-FM 模型将原系统的动态模型转化为一个以预测形式表示的闭环系统模型，将设计 迭代学习控制律转化为确定更新律；根据所设计的带有终端约束的优化性能指 标和2D系统Lyapunov稳定性理论，以线性矩阵不等式(LMI)约束形式给出确 保闭环系统鲁棒渐近稳定的更新律实时在线设计，有效地解决了控制性能无法 随着批次的递增而得到完善，实现系统在时滞的影响下，在变量约束范围内均 能实时优化。当涉及不确定性时，传统的渐近稳定性不能收敛到原点，相反，采用的鲁棒约束集，使系统状态收敛到该约束集，使之满足期望值。最终达到 节能减耗、降低成本、降低危害人身安全事故的发生。总体来说，利用此设计 方法设计控制律，不仅能够保证系统在不确定性允许范围内平稳运行，以实现 节能减耗、降低成本等目标，甚至还可以实现降低危害人身安全事故发生等目 标。

附图说明

图1为本发明在非重复性扰动下的跟踪性能图；

图2为本发明在非重复性扰动下的输出响应图；

图3为本发明带有和不带有故障的跟踪性能对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作详细说明。

本实施方式的基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，包 括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程中单个阶段的离散状态空间模型，建立具有不确定性 和状态时滞的间歇过程二维系统模型，并采用预测控制的理念，建立二维系统 预测模型；

步骤1.1：具有不确定性和状态时滞的间歇过程二维系统模型由式(1)表示：

其中，t和k分别表示时间和批次；x(t,k)∈Rⁿ，y(t,k)∈R^l，u(t,k)∈R^m分别表示第k批次t时 刻的系统状态变量，输出变量以及输入变量；x_0,k表示第k批次运行时的初始状态，d(t)表示 沿时间方向的状态时滞，且满足d_m≤d(t)≤d_M，d_M和d_m分别表示状态时滞的上界值和下界值； A，A_d，B，C均为适维常数矩阵且ΔA(t,k)， ΔA_d(t,k)，ΔB(t,k)表示系统不确定性且[ΔA(t,k)ΔA_d(t,k) ΔB(t,k)]＝EΔ(t,k)[F F_d F_b]，其中， Δ^T(t,k)Δ(t,k)≤I且{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知外部扰动满足 其中γ为已知正数；

步骤1.2：针对模型(1)采用预测控制的理念，建立二维系统预测模型如式 (2)所示：

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习预测控制 器，引入状态误差和输出跟踪误差，并针对由式(2)表示的间歇过程的二维系 统预测模型构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环预测 模型；具体包括：

步骤2.1：为解决由式(2)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习 预测控制器，如式(3)所示：

∑_ilc:u(t+i|t,k+j|k)＝u(t+i|t,k+j-1|k)+r(t+i|t,k+j|k) (3)

其中u(t+i|t,k+j|k)表示预测控制器，r(t+i|t,k+j|k)是迭代学习更新律；

步骤2.2：定义状态误差以及输出跟踪误差，如式(5)、(6)所示：

其中，

步骤2.2：利用所设计的二维迭代学习预测控制器，针对由式(2)表示的间 歇过程的二维系统预测模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭 环预测模型；

其中， G＝[0 I]。

步骤2.3：在无穷时域[t,∞)和[k,∞)下，一个“最坏”情况下的具有终端约束 的优化性能指标在批次k时刻t由式(9)定义；

其中，

约束条件为：

其中，Q₁，Q₂，R均表示相关权重矩阵，r_m和Δy_m分别为变量r(t+i|t,k+j|k)和 Δy(t+i|t,k+j|k)的上界值，Ω为不确定集。

目的是：设计预测更新律使得性能指标在约束条件下最小化。 x_z(t+i|t,k+j|k)和Δy(t+i|t,k+j|k)分别代表在批次k时刻t的状态预测值和输出预 测值，r(t+i|t,k+j|k)代表批次k时刻t的预测更新律。特别是，x_z(t|t,k|k)＝x_z(t,k)， r(t|t,k|k)＝r(t,k)。

步骤3：利用2D Lyapunov函数证明系统的鲁棒稳定性，并且满足系统的优 化问题可解；

步骤3.1：定义Lyapunov函数为：

其中，

η(r+i|r,k+j|k)＝x_z(r+i+1|r,k+j|k)-x_z(r+i|r,k+j|k)

其中，P,P₁，P₂，T₁，M₁，T₁，G₁为待定的正定矩阵；

步骤3.2：为使优化问题可解，必须满足2D李亚普诺夫函数不等式约束：

步骤3.3：对于式(8)的闭环预测系统，假设存在一系列初始条件，有两个 正整数i,j，有：

x_z(t+i,k)＝0,i≥s₁；x_z(t,k+j)＝0,j≥s₂ (12)

其中，s₁＜∞和s₂＜∞是正整数，相应的x_z(t+i,k)和x_z(t,k+j)时间方向的边界和批次 方向的边界，s＝max{s₁,s₂}；

步骤3.4：假设系统满足非重复性扰动恒成立，对于给定的正定矩阵R∈R^m×m，以及正数0≤d_m≤d_M，γ＞0，λ＞0，MPC (模型预测控制)问题式(9)可解，如果存在正定对称矩阵L，S₁，S₂， M₃，M₄，X₁和X₂∈R^{(n +l)×(n+l)}，矩阵Y₁,Y₂∈R^m×(n+l)以及正数ε＞0，θ₁＞0，使得下列线性 矩阵不等式成立；

其中，

Π₃₃＝diag[-εI -εI]， Π₄₄＝diag[-θ₁I -θ₁I -θ₁I]，Π₂₁＝[D^T D^T]， x_l(t+j|t,k)＝max(x_z(t+j|t,k)x_z(r+j|r,k) η(r+j|r,k))，

此时最优性能指标满足

其中，θ是的上边界；

鲁棒更新律增益为H(t,k)＝Y₁L^-1+Y₂L^-1，因此，进一步更新律表示为：

r(t+i|t,k+j|k)＝Y₁L^-1x_z(t+i|t,k+j|k)+Y₂L^-1x_z(t+i+1|t,k+j-1|k),i,j＝0,...,∞

将其带入u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)，便可得到2D约束迭代学习控制律设计 u(t,k)，在下一时刻，不断重复继续求解新的控制量u(t,k)，并依次循环。

实施例

本发明以搅拌釜过程作为案例：

其中，C_A为不可逆反应(A→B)过程中A的浓度；T为反应釜温度；T_j为冷 却流温度，作为操纵变量k₀＝2.53×10¹⁹(1/mol min)， E/R＝13,500(K)，T(0)＝25(℃)，C_A(0)＝0.9(mol/L)。

将上述模型在第t时刻第k批次离散化后，建立带有不确定性和状态时滞的 状态空间模型；

其中，矩阵和C＝[1 0]， ΔA(t,k)，ΔA_d(t,k)，ΔB(t,k)表示不确定性且 [ΔA(t,k)ΔA_d(t,k) ΔB(t,k)]＝EΔ(t,k)[F F_d F_b]， |Δ₁|≤1，|Δ₂|≤1。

1)对非重复性扰动的鲁棒性

在实际工业过程中，干扰是不可避免的。在这种情况下，将显示对非重复干 扰的鲁棒性。假定系统的实时动态如式(20)所示，其中非重复性扰动w(t,k)∈R² w(t,k)＝0.4×[δ₁ δ₂]^T,δ_i(i＝1,2)沿着时间方向在[0,1]之间随机变化，且沿批次方向 是非重复的，即w(t,k)同时依赖于t和k。

2)对参数变化的鲁棒性

在这一部分中，考虑了系统参数的变化，以检验该方法的鲁棒性。对于系 统,通常都是通过得到的数据建立起来的模型,系统受外界其他因素，诸如故障, 噪声等因素的影响，可能导致系统参数的变化，即参数失配。此时，系统的实 际模型与原来的常规系统不一致。但是我们设计控制器却是针对数据建立模型 得，我们将利用情况1下获得的控制器来控制执行器故障下的系统，利用可靠 控制分析其稳定性。

由图1可知，在R值不同的情况下，每个批次所有时刻跟踪误差数值不同， R值越大，跟踪误差数值越小，系统的跟踪性能越好，趋于稳定的速度越快，收 敛性越好。当R＝0.02时，能够在大约3个批次快速收敛到稳定状态，在达到稳 定状态后跟踪误差的曲线平滑，接近于零误差，跟踪性能明显最优。

图2给出了第29批次，第30批次，第40批次，第50批次的输出响应对 比图。第29批次，第30批次虽然先跟踪上给定的参考轨迹，可是曲线拟合程 度较差。而第40批次，第50批次的输出响应曲线可以在很短的时间内跟踪上 设定的参考轨迹，且拟合程度较好。系统在发生突变时，第29批次，第30批 次的输出响应曲线偏离设定轨迹，且波动较大。而第40批次，第50批次的输 出响应曲线在发生突变之后曲线依然可以较好地跟踪设定轨迹，且曲线平滑。

图3显示的是执行器发生故障情况下，跟踪性能的比较图。系统参数发生 变化为：变化到从图中我们可以看到，在受故障影响下， 系统跟踪性能会有一定程度的下降，但仍然能收敛到稳定状态。

Claims (3)

1.基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程中单个阶段的离散状态空间模型，建立具有不确定性和状态时滞的间歇过程二维系统模型，并采用预测控制的理念，建立二维系统预测模型；

步骤1.1：具有不确定性和状态时滞的间歇过程二维系统模型由式(1)表示：

其中，t和k分别表示时间和批次；x(t,k)∈Rⁿ，y(t,k)∈R^l，u(t,k)∈R^m分别表示第k批次t时刻的系统状态变量，输出变量以及输入变量；x_0,k表示第k批次运行时的初始状态，d(t)表示沿时间方向的状态时滞，且满足d_m≤d(t)≤d_M，d_M和d_m分别表示状态时滞的上界值和下界值；A，A_d，B，C均为适维常数矩阵且 ΔA(t,k)，ΔA_d(t,k)，ΔB(t,k)表示系统不确定性且[ΔA(t,k) ΔA_d(t,k) ΔB(t,k)]＝EΔ(t,k)[F F_d F_b]，其中，Δ^T(t,k)Δ(t,k)≤I且{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知外部扰动满足其中γ为已知正数；

步骤1.2：针对模型(1)采用预测控制的理念，建立二维系统预测模型如式(2)所示：

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习预测控制器，引入状态误差和输出跟踪误差，并针对由式(2)表示的间歇过程的二维系统预测模型构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环预测模型；

步骤3：利用2D Lyapunov函数证明系统的鲁棒稳定性，并且满足系统的优化问题可解；将得到的鲁棒更新律带入u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)，便可得到2D约束迭代学习控制律设计u(t,k)，在下一时刻，不断重复继续求解新的控制量u(t,k)，并依次循环。

2.根据权利要求1所述的基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，其特征在于：步骤2具体包括以下步骤：

步骤2.1：为解决由式(2)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习预测控制器，如式(3)所示：

∑_ilc:u(t+i|t,k+j|k)＝u(t+i|t,k+j-1|k)+r(t+i|t,k+j|k) (3)

其中，u(t+i|t,k+j|k)表示预测控制器，r(t+i|t,k+j|k)是迭代学习更新律；

步骤2.2：定义状态误差以及输出跟踪误差，如式(5)、(6)所示：

其中，

步骤2.3：利用所设计的二维迭代学习预测控制器，针对由式(2)表示的间歇过程的二维系统预测模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环预测模型：

其中， G＝[0 I]；

步骤2.4：在无穷时域[t,∞)和[k,∞)下，一个“最坏”情况下的具有终端约束的优化性能指标在批次k时刻t由式(9)定义：

其中，

约束条件为：

其中，Q₁，Q₂，R均表示相关权重矩阵，r_m和Δy_m分别为变量r(t+i|t,k+j|k)和Δy(t+i|t,k+j|k)的上界值，Ω为不确定集。

3.根据权利要求1所述的基于终端约束的时滞间歇过程2D迭代学习预测控制方法，其特征在于：步骤3具体包括以下步骤：

步骤3.1：定义Lyapunov函数为：

其中，

η(r+i|r,k+j|k)＝x_z(r+i+1|r,k+j|k)-x_z(r+i|r,k+j|k)，

其中，P，P₁，P₂，T₁，M₁，T₁，G₁为待定的正定矩阵；

步骤3.2：为使优化问题可解，必须满足2D李亚普诺夫函数不等式约束：

步骤3.3：对于式(8)的闭环预测系统，假设存在一系列初始条件，有两个正整数i,j，有：

x_z(t+i,k)＝0,i≥s₁；x_z(t,k+j)＝0,j≥s₂ (12)

其中，s₁＜∞和s₂＜∞是正整数，相应的x_z(t+i,k)和x_z(t,k+j)时间方向的边界和批次方向的边界，s＝max{s₁,s₂}；

步骤3.4：假设系统满足非重复性扰动恒成立，对于给定的正定矩阵Q₁,Q₂∈R^(n+l)×(n+l)，R∈R^m×m，以及正数0≤d_m≤d_M，γ＞0，λ＞0，模型预测控制问题式(9)可解，如果存在正定对称矩阵L，S₁，S₂，M₃，M₄，X₁和X₂∈R^(n+l)×(n+l)，矩阵Y₁,Y₂∈R^m×(n+l)以及正数ε＞0，θ₁＞0，使得下列线性矩阵不等式成立；

其中，

Π₃₃＝diag[-εI -εI]，Π₄₄＝diag[-θ₁I -θ₁I -θ₁I]，Π₂₁＝[D^T D^T]，x_l(t+j|t,k)＝max(x_z(t+j|t,k) x_z(r+j|r,k) η(r+j|r,k))，

此时最优性能指标满足

其中，θ是的上边界；

鲁棒更新律增益为H(t,k)＝Y₁L^-1+Y₂L^-1，因此，进一步更新律表示为：

r(t+i|t,k+j|k)＝Y₁L^-1x_z(t+i|t,k+j|k)+Y₂L^-1x_z(t+i+1|t,k+j-1|k),i,j＝0,...,∞

将其带入u(t,k)＝u(t,k-1)+r(t,k)，便可得到2D约束迭代学习控制律设计u(t,k)，在下一时刻，不断重复继续求解新的控制量u(t,k)，并依次循环。