CN109212971B - 多阶段间歇过程2d线性二次跟踪容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于工业过程的先进控制领域，涉及一种多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制方法。包括以下步骤：步骤1、针对间歇过程中不同阶段，建立被控对象以状态空间模型为基础的具有故障二维的切换系统模型；步骤2、考虑含自由终端状态的非最小实现不同阶段2D切换系统模型，针对正常系统，设计被控对象的无穷时域的间歇过程线性二次二维迭代学习控制器，即最优控制器；步骤3、针对新型二维切换系统模型，找出系统稳定条件和设计切换信号。此方法根据不同阶段和执行器故障设计相应简单实时灵活调节的控制器，控制器具有一定的鲁棒性，从而提高了控制品质，设计简单，运算量小，不仅保证系统的最优控制性能，而且缩短系统运行时间，实现高效生产。

Description

多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制方法

技术领域

本发明属于工业过程的先进控制领域，涉及一种多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制方法。

背景技术

在现代工业生产中，间歇过程被广泛应用，尤其是食品行业、药品行业、化工行业等。其控制理论的研究也取得了巨大的突破。但在现代工业加工的高精控制方面仍然是一个挑战。主要原因在于其高品质生产水平要求，以及复杂多变的工艺条件。因而，系统发生故障的概率也随之增加。在这些故障中，执行器故障时最常见的一种故障。由于存在摩擦、死区、饱和等特性，执行器在执行过程中不可避免地会出现一些故障，这导致它很难达到指定或理想的位置。如果故障没有被及时的检测并校正，生产性能必然变差，甚至导致设备和人员的安全问题。

为解决上述问题，间歇过程的容错控制技术得以应用，但现有技术里的大部分是一维的，一维方法只是考虑时间与生产过程的影响，由于实际工况存在执行器故障、漂移及系统外部干扰等因素，控制系统在运行一段时间后控制性能会下降。另一方面，间歇过程具有二维(2D)特性和重复性，如果不考虑批次带来的影响以及不能及时修复控制器以改善控制品质，将降低控制系统所获得的经济效益。目前，针对间歇过程的重复性和2D特性，反馈结合迭代学习容错控制方法得以重视，但在执行器故障变得严重或存在外界扰动时，现行的鲁棒迭代学习可靠控制方法无法解决系统状态偏离的问题，即至始至终采用同一控制律，随着时间的增加，系统的偏离就会愈发增大。这会对系统的持续稳定运行和控制性能产生不良的影响，甚至危及到产品的质量。

此外，间歇过程具有多阶段特性，两个不同阶段控制的变量不同，控制目标不同，何时从一个阶段切换至另一阶段，且每一阶段运行时间的长短，直接影响生产效率和产品质量。显然，针对这样的生产过程设计高精控制器及相邻阶段的切换条件以及求出每一阶段的运行时间，将至关重要。目前针对单一阶段的高精控制已经成熟，但单一过程不涉及切换条件，也不会涉及运行时间。针对多阶段尽管也有一定的研究成果，但是在整个过程中控制器增益不能调节。而在实际工业控制中，由于实际工况存在漂移、过程非线性及系统外部干扰等因素，控制系统在运行一段时间后其控制性能可能下降，在每一阶段的运行时间可能会延长。如果不及时设计切换信号及修复控制器以改善控制品质，将降低控制系统所获得的经济效益。针对上述的问题：执行器出现故障、间歇过程多阶段性，设计新的跟踪容错控制方法，保证间歇过程在故障影响下依然能够平稳运行势在必行。

发明内容

针对间歇过程出现的上述情况：执行器出现故障、间歇过程多阶段性，本发明设计一种稳定的混杂2D迭代学习控制器，使得系统在其执行器故障所引起的模型失配且在干扰最大的情况下，依然稳定运行，并实现更好的控制性能。

本发明的目的一是针对具有输入时滞的多阶段间歇过程提出了无穷时域线性二次控制方法，能实时的更新控制律，保证了系统的控制性能最优，实现了高品质的生产。二是寻求批次注塑过程不同阶段合适的切换条件、运行时间；三是为改善批次过程中控制方法的跟踪性能和抗干扰性，针对正常系统提出一种能抵制执行器部分失效故障的二维迭代学习稳定控制器设计方法。本文首先根据给定具有输入时滞的模型，通过引入新的变量变成一种新的无时滞的状态空间模型，接着基于间歇过程的重复性和二维特性，引入状态误差和输出跟踪误差，设计迭代学习控制律,将其扩展成包含状态误差和输出跟踪误差的等价2D模型，从而得到相应的2D切换系统模型，本文工作都是在此基础上完成。为研究其最优的控制性能，引入了二次性能函数，通过调节此函数中的变量，设计出一种能抵制执行器部分失效故障的控制器，同时满足控制性能最优。对于执行器故障，在此视为干扰，利用Lyapunov稳定理论求解出该控制器所允许干扰的一定范围及利用平均驻留时间的方法，设计出每个阶段的最小运行，给出结论依赖于系统沿时间和批次方向。此设计过程最大优点，设计简单，运算量小，系统运行时间短，跟踪性能好。

本发明的技术方案是通过给定模型、模型转化、预测机理、优化等手段，确立了一种多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制器设计方法，利用该方法有效解决了具有时滞，执行器故障的控制问题及每个阶段的切换问题，有效改善批次过程跟踪性能和抗干扰性，缩短了系统每一个阶段的运行时间，实现系统在执行器故障引起的模型失配和时滞条件下仍具有良好的控制效果及提高了生产效率。

本发明的技术方案如下：

多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制方法，包括以下步骤：

步骤1、针对间歇过程中不同阶段，建立被控对象以状态空间模型为基础的具有故障2D的切换系统模型，具体包括：

1.1构建新型多阶段间歇过程故障系统模型：

其中，u^iF(t,k)＝αⁱuⁱ(t,k)，(i＝1,2,...n)；xⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)，u^iF(t,k)分别是第i阶段的状态空间，输出和实际输入，t为时刻，k为批次，

为适维矩阵，αⁱ是不同阶段执行器故障；

选取新的状态空间变量

形式如下：

得到一个新型的第i个阶段状态空间模型为：

其中，

T为矩阵的转置符号，

和0均为适当维数的零向量；

1.2构建新型2D切换系统模型：

在实际生产过程中，控制器的设计大都不是针对故障系统的，而是针对正常系统，且所设计出的控制器有一定抗故障的能力，因而以下控制器的设计是针对正常系统而言的，即αⁱ＝Iⁱ的情况，则正常系统模型如下：

其中，

步骤2、考虑含自由终端状态的非最小实现不同阶段2D切换系统模型，针对正常系统，设计被控对象的无穷时域的间歇过程线性二次2D迭代学习控制器，即最优控制器；

步骤3、针对步骤1.2的新型2D切换系统模型，找出系统稳定条件和设计切换信号。

进一步地，所述步骤1.2具体包括：

1.2.1为了有较好的跟踪性能以及使系统保持平稳的运行状态，定义输出跟踪误差

可得：

其中，yⁱ(t,k)、

分别为k时刻，i阶段的实际输出值和跟踪设定值，eⁱ(t,k)为k时刻，i阶段的输出误差；

1.2.2引入2D迭代学习控制律：

则系统状态误差可得：

其中，

代表变量

沿t方向的误差，rⁱ(t,k)∈R^m是待设计的迭代学习控制(ILC)的更新律，ILC设计的目标是在正常系统的情况下，确定k批次t时刻更新律rⁱ(t,k)，以实现系统输出yⁱ(t,k)跟踪所给定的期望输出

1.2.3通过上述步骤可将空间模型转换为等价2D误差模型：

其中，

将上述得到的等价2D误差模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

其中，

将上述系统再现为2D切换系统模型为：

其中，

Z⁺→N:＝{1,2,L,N}表示的是切换信号，它可能与时间或系统状态相关，N是子系统的阶段数，

对于不同阶段皆由上述切换系统模型表示；

1.2.4为了使得不同批次前一阶段切换至后一阶段时间相同，定义了最小切换时间：

上述过程具有n个阶段，

被称为i(i＝1,2,...n)阶段的时间间隔，因此，整个间歇过程的切换序列可以描述为：

其中，

为连接前一个批次的结束和下一个批次开始的连接点；此外间歇过程在生产中，不同阶段需要控制的参数可能不同，从而不同阶段的维数可能不同，用如下公式表示在切换时刻两阶段之间状态关系：

其中，

被称为状态转移矩阵，如果系统状态在相邻阶段具有相同的物理意义，则Lⁱ＝I。

进一步地，所述步骤2具体包括以下步骤：

2.1选取相应的性能指标形式如下：

其中，Qⁱ＞0,Rⁱ＞0分别为第i阶段状态的加权矩阵、输入加权矩阵，

为过程状态的权重系数，

为输出跟踪误差的权重系数，并且取

2.2首先考虑有限时域的性能指标，形式如下：

其中，

为优化时域；

利用康特里亚金最小值原理将步骤2.1的性能指标写成如下形式：

其中，

为第i阶段拉格朗日乘子；

2.3求

并令其等于零，可得：

假定

进一步可以得到：

2.4令

趋于无穷时，可以得到无穷时域线性二次控制律的形式为等式：

uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k)

其中，

为趋于正无穷时

的值；

2.5将步骤2.4中得到的控制量uⁱ(t,k)作用于被控对象；

2.6在下一时刻，依照步骤2.1到2.5继续求解新的控制量uⁱ(t+1,k)，依次循环；

2.7上述设计的控制器是在正常系统下的，执行器故障容易引起系统的不稳定，本发明将其视为干扰，设计的控制器具有鲁棒性，即系统具有一定的抗干扰能力，在保证系统稳定运行的情况下，求解允许的最大干扰。

进一步地，所述步骤2.7具体包括以下步骤：

2.7.1控制律的状态反馈形式如下：

其中，

对每一个阶段i，含有执行器部分失效故障的切换系统为：

其中，

则上述切换系统可变为：

2.7.2定义稳定性函数Vⁱ，并获得其增量ΔVⁱ，形式如下：

其中，

i∈N,N:＝{1,2,L,N}；

2.7.3根据步骤2.7.1中有执行器故障的切换系统，结合步骤2.7.2中的李雅普诺夫函数，求取在满足系统稳定下，控制器所能抵抗的最大干扰；

定义

其中，

水平收敛指标不大于

垂直收敛指标不大于

常数ρⁱ，μⁱ，以及矩阵Wⁱ；

由步骤2.7.2得：

2.7.4再选取合适的矩阵，使其满足如下约束条件：

其中，σ_max(ξⁱ),λ_min(ξⁱ),λ_max(ξⁱ)分别是矩阵ξ的最大奇异值、最小特征值和最大特征值；则称这个系统有强干扰性且指数稳定；

2.7.5进一步将步骤2.7.3和2.7.4中约束条件带入增量ΔVⁱ中，可以得到：

很明显如果满足以下条件：

因此：

即本发明提出的无穷时域优化线性二次控制器在干扰范围内满足上式的情况下，依然具有鲁棒稳定性。

进一步地，所述步骤3具体包括以下步骤：

3.1针对不同阶段设计切换信号为

3.2由步骤2.7.1知中无穷时域线性二次容错控制形式可再次表示为：

其中，

则对每一个阶段i，切换系统可再次表示为：

3.3对于第i个子系统，选择下面的李雅普诺夫函数Vⁱ，

其中，

代表了T方向的变量，

代表了K方向的变量；

并获得其增量ΔVⁱ，形式如下：

若切换系统稳定，必有ΔVⁱ(zⁱ(t,k))＜0，其等价于：

以及满足步骤2.7.5的约束条件下，可得：

3.4根据切换信号，设计切换点；

k_l-f+1和k_l表示初始批次和末尾批次，

表示在时间间隔为[w,G]的切换信号下的切换次数，切换点如下形式：

其中，

和

有相同的意义，都表示前一个阶段的末尾时刻和下一个阶段的初始时刻；

结合步骤2.4、2.7求解步骤3.3中的不等式，便可求出不同阶段的

本发明的有益效果为：此方法根据不同阶段和执行器故障设计相应简单实时灵活调节的控制器，其控制器具有一定的鲁棒性，从而提高了其控制品质，解决了已经存在方法中整个过程中控制器增益不可调节的弊端。并利用平均驻留时间方法设计出切换信号，从而求出最小运行时间。此方法的最大优点为：设计简单，运算量小，不仅能保证系统的最优控制性能，而且能缩短系统运行时间，实现高效生产。

附图说明

图1为传统一维理念的控制方法与本发明提出的二维方法系统切换时间比较图。

图2为传统一维理念的控制方法与本发明提出的二维方法系统输出比较图。

图3为传统一维理念的控制方法与本发明提出的二维方法系统输入比较图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明。

如图1-图3所示，多阶段间歇过程2D线性二次跟踪容错控制方法，包括以下步骤：

步骤1、针对间歇过程中不同阶段，建立被控对象以状态空间模型为基础的具有故障的2D切换系统模型，具体是：

1.1构建新型多阶段间歇过程故障系统模型：

其中，u^iF(t,k)＝αⁱuⁱ(t,k)，(i＝1,2,...n)；xⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)，u^iF(t,k)分别是第i阶段的状态空间，输出和实际输入，t为时刻，k为批次，

为适维矩阵,αⁱ是不同阶段执行器故障；

选取新的状态空间变量

形式如下：

得到一个新型的第i个阶段状态空间模型为：

其中，

T为矩阵的转置符号，

和0均为适当维数的零向量；

1.2构建新型2D切换系统模型：

在实际生产过程中，控制器的设计大都不是针对故障系统的，而是针对正常系统，且所设计出的控制器有一定抗故障的能力；因而以下控制器的设计是针对正常系统而言的，即αⁱ＝Iⁱ的情况；则正常系统模型如下：

其中，

1.2.1为了有较好的跟踪性能以及使系统保持平稳的运行状态，定义输出跟踪误差

可得：

其中，yⁱ(t,k)、

分别为k时刻，i阶段的实际输出值和跟踪设定值，eⁱ(t,k)为k时刻，i阶段的输出误差；

1.2.2引入2D迭代学习控制律：

则系统状态误差可得：

其中，

代表变量

沿t方向的误差，rⁱ(t,k)∈R^m是待设计的迭代学习控制(ILC)的更新律，ILC设计的目标是在正常系统的情况下，确定k批次t时刻更新律rⁱ(t,k)，以实现系统输出yⁱ(t,k)跟踪所给定的期望输出

1.2.3通过上述步骤可将空间模型转换为等价2D误差模型

其中，

将上述得到的等价2D误差模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

其中，

将上述系统再现为2D切换系统模型为：

其中，

Z⁺→N:＝{1,2,L,N}表示的是切换信号，它可能与时间或系统状态相关，N是子系统的阶段数，

对于不同阶段皆由上述切换系统模型表示；

1.2.4为了使得不同批次前一阶段切换至后一阶段时间相同，定义了最小切换时间

上述过程具有n个阶段，

被称为i(i＝1,2,...n)阶段的时间间隔。因此，整个间歇过程的切换序列可以描述为

其中，

连接前一个批次的结束和下一个批次开始的连接点；此外间歇过程在生产中，不同阶段需要控制的参数可能不同，从而不同阶段的维数可能不同，用如下公式表示在切换时刻两阶段之间状态关系

其中，

被称为状态转移矩阵。如果系统状态在相邻阶段具有相同的物理意义，则Lⁱ＝I；

步骤2、考虑含自由终端状态的非最小实现不同阶段2D切换系统模型，针对正常系统，设计被控对象的无穷时域的间歇过程线性二次2D迭代学习控制器(最优控制器)，具体是：

2.1选取相应的性能指标形式如下：

其中，Qⁱ＞0,Rⁱ＞0分别为第i阶段状态的加权矩阵、输入加权矩阵，

为过程状态的权重系数，

为输出跟踪误差的权重系数并且取

2.2首先考虑有限时域的性能指标，形式如下：

其中，

为优化时域；

利用康特里亚金最小值原理将步骤2.1的性能指标写成如下形式：

其中，

为第i阶段拉格朗日乘子；

2.3求

并令其等于零，可得

假定

进一步可以得到

2.4令

趋于无穷时，可以得到无穷时域线性二次控制律的形式为等式

uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k)

其中，

为趋于正无穷时

的值；

2.5将2.4步骤中得到的控制量uⁱ(t,k)作用于被控对象；

2.6在下一时刻，依照2.1到2.5的步骤继续求解新的控制量uⁱ(t+1,k)，依次循环；

2.7上述设计的控制器是在正常系统下的，执行器故障容易引起系统的不稳定，本发明将其视为干扰，设计的控制器具有鲁棒性，即系统具有一定的抗干扰能力，在保证系统稳定运行的情况下，求解允许的最大干扰；

2.7.1控制律的状态反馈形式如下：

其中，

对每一个阶段i，含有执行器部分失效故障的切换系统为：

则上述切换系统可变为：

2.7.2定义稳定性函数Vⁱ，并获得其增量ΔVⁱ，形式如下：

其中，

i∈N,N:＝{1,2,L,N}；

2.7.3根据步骤2.7.1中有执行器故障的切换系统，结合步骤2.7.2中的李雅普诺夫函数，求取在满足系统稳定下，控制器所能抵抗的最大干扰；定义：

其中，

水平收敛指标不大于

垂直收敛指标不大于

常数ρⁱ，μⁱ，以及矩阵Wⁱ；

由上个步骤得：

2.7.4再选取合适的矩阵，使其满足如下约束条件：

其中，σ_max(ξⁱ),λ_min(ξⁱ),λ_max(ξⁱ)分别是矩阵ξ的最大奇异值、最小特征值和最大特征值；则我们称这个系统有强干扰性且指数稳定；

2.7.5进一步将步骤2.7.3-2.7.4中约束条件带入增量ΔVⁱ中，可以得到：

很明显如果满足以下条件：

因此，

即本文提出的无穷时域优化线性二次控制器在干扰范围内满足上式的情况下，依然具有鲁棒稳定性；

步骤3、针对步骤1.2的新型2D切换系统模型，找出系统稳定条件和设计切换信号；

3.1针对不同阶段设计切换信号为

3.2由步骤2.7.1知中无穷时域线性二次容错控制形式可再次表示为：

其中，

则对每一个阶段i，切换系统可再次表示为：

3.3对于第i个子系统，选择下面的李雅普诺夫函数Vⁱ，

其中，

代表了T方向的变量；

代表了K方向的变量；

并获得其增量ΔVⁱ，形式如下：

若切换系统稳定，必有ΔVⁱ(zⁱ(t,k))＜0，其等价于：

以及满足步骤2.7.5的约束条件下，可得

3.4根据切换信号，设计切换点；k_l-f+1和k_l表示初始批次和末尾批次，

表示在时间间隔为[w,G]的切换信号下的切换次数，切换点如下形式：

其中，

和

有相同的意义，都表示前一个阶段的末尾时刻和下一个阶段的初始时刻；

结合步骤2.4，2.7，求解上述3.3不等式，便可求出不同阶段的τ_i ^a。

实施例

本发明以注塑过程为代表进行多阶段有执行器故障下间歇过程的实验，注塑过程主要包含注射段、保压段、冷却段三个阶段。注射段、保压段的控制效果对产品最终质量具有直接影响，其中注射段注射速度、保压段模腔压力对相应阶段控制效果影响最大，需要控制跟踪给定值。这两个参数都是由相应的阀门进行控制，阀门开度影响参数。此外，在注射段，模腔压力达到一定值时，系统将会切换到保压段，因而在注射段模腔压力需要被检测但是不需要被直接控制。在冷却段只对高温制成品进行冷却，并不采取控制措施。因而需要建立注塑成型过程注射段与保压段的混杂状态空间模型。

本发明针对注塑过程的注射段和保压段，研究系统存在执行器故障的情况下，注射段到保压段之间的切换，结合2D模型理论，建立相应的混杂状态空间模型。通过不同批次一维模型和二维模型实验的图像比较，在执行器故障的情况下，二维模型不但能保证系统稳定运行，而且具有收敛更快、运行时间缩短、跟踪快等优点，从而实现高效生产。

现有的注塑成型过程注射段与保压段的频域数学模型如下：

注射段频域数学模型为：

即：IV(t+1,k)-0.9291IV(t,k)-0.0319IV(t-1,k)＝8.687VO(t,k)-5.617VO(t-1,k)；

注射段的模腔压力NP与注射速度IV的模型为：

即：NP(t+1,k)-NP(t,k)＝0.1054IV(t,k)；

其中，注射段的注射速度IV的设定值为40mm/s；保压段模腔压力NP设定值为300bar。

设

则有如下形式：

由上可得注射段的状态空间模型如下：

保压段的模腔压力NP与阀门开度VO的模型为：

即：NP(t+1,k)-1.317NP(t,k)+0.3259NP(t-1,k)＝171.8VO(t,k)-156.8VO(t-1,k)；

设

则有如下形式：

由上可得保压段的状态空间模型如下：

对于有执行器故障的多阶段注塑过程，设计切换条件为[100]x¹(t,k)≥350，系统将从注射段切换到保压段。利用步骤2，根据不同阶段设计出相应可实时灵活调节的二维迭代学习容错控制器，具有鲁棒性和稳定性，从而提高其控制品质，解决了已存在方法中整个过程的控制器不能调节的弊端。最后针对不同阶段，设计依赖于Lyapunov函数的驻留时间方法，得出的系统稳定是指数稳定，加速了系统收敛速度。不仅保证了系统在执行器故障下依然能稳定运行且具有最优控制性能的同时，还使得系统运行时间缩短，即提高了生产效率。基于2D切换系统模型的间歇过程无穷时域线性二次跟踪容错控制器的设计解决了多阶段执行器部分失效故障和时滞问题。把执行器故障所引起系统模型失配视为干扰，对有时滞的间歇过程，通过引入新变量，从而得到一个无时滞的状态空间模型，通过调节二次性能函数中的变量，设计出一种能抵制执行器部分失效故障的二维迭代学习控制器，同时满足控制性能最优。

最后针对第29批次进行一维方法与二维方法的实验对比，从三个实验图可知，二维方法的切换时间明显比一维的短，提高了产品的生产效率，且输出，输入的曲线都比一维方法的平滑，跟踪效果好。验证了本文所提方法的可行性与优越性。

Claims (1)

1.多阶段间歇过程二维(2D)线性二次跟踪容错控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1、针对间歇过程中不同阶段，建立被控对象以状态空间模型为基础的具有故障的2D切换系统模型，具体包括：

1.1构建新型多阶段间歇过程故障系统模型：

其中，u^iF(t,k)＝αⁱuⁱ(t,k)，(i＝1,2,...n)；xⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)，u^iF(t,k)分别是第i阶段的状态空间，输出和实际输入，t为时刻，k为批次，

为适维矩阵，αⁱ是不同阶段执行器故障；

选取新的状态空间变量

形式如下：

得到一个新型的第i个阶段状态空间模型为：

其中，

T为矩阵的转置符号，

和0均为适当维数的零向量；

1.2构建新型2D切换系统模型：

在实际生产过程中，控制器的设计大都不是针对故障系统的，而是针对正常系统，且所设计出的控制器有一定抗故障的能力，因而以下控制器的设计是针对正常系统而言的，即αⁱ＝Iⁱ的情况，则正常系统模型如下：

其中，

1.2.1为了有较好的跟踪性能以及使系统保持平稳的运行状态，定义输出跟踪误差

可得：

其中，yⁱ(t,k)、

分别为k时刻，i阶段的实际输出值和跟踪设定值，eⁱ(t,k)为k时刻，i阶段的输出误差；

1.2.2引入2D迭代学习控制律：

则系统状态误差可得：

其中，

代表变量

沿t方向的误差，rⁱ(t,k)∈R^m是待设计的ILC的更新律，ILC设计的目标是在正常系统的情况下，确定k批次t时刻更新律rⁱ(t,k)，以实现系统输出yⁱ(t,k)跟踪所给定的期望输出

1.2.3通过上述步骤可将空间模型转换为等价2D误差模型：

其中，

将上述得到的等价2D误差模型转换为包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

其中，

将上述系统再现为2D切换系统模型为：

其中，

表示的是切换信号，它可能与时间或系统状态相关，N是子系统的阶段数，

对于不同阶段皆由上述切换系统模型表示；

1.2.4为了使得不同批次前一阶段切换至后一阶段时间相同，定义了最小切换时间：

上述过程具有n个阶段，

被称为i(i＝1,2,...n)阶段的时间间隔，因此，整个间歇过程的切换序列可以描述为：

其中，

为连接前一个批次的结束和下一个批次开始的连接点；此外间歇过程在生产中，不同阶段需要控制的参数可能不同，从而不同阶段的维数可能不同，用如下公式表示在切换时刻两阶段之间状态关系：

其中，

被称为状态转移矩阵，如果系统状态在相邻阶段具有相同的物理意义，则Lⁱ＝I；

步骤2、考虑含自由终端状态的非最小实现不同阶段2D切换系统模型，针对正常系统，设计被控对象的无穷时域的间歇过程线性二次2D迭代学习控制器，即最优控制器；

2.1选取相应的性能指标形式如下：

其中，Qⁱ>0,Rⁱ>0分别为第i阶段状态的加权矩阵、输入加权矩阵，

K,

为过程状态的权重系数，

为输出跟踪误差的权重系数，并且取

2.2首先考虑有限时域的性能指标，形式如下：

其中，

为优化时域；

利用康特里亚金最小值原理将步骤2.1的性能指标写成如下形式：

其中，

为第i阶段拉格朗日乘子；

2.3求

并令其等于零，可得：

假定

进一步可以得到：

2.4令

趋于无穷时，可以得到无穷时域线性二次控制律的形式为等式：

uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k)

其中，

为趋于正无穷时

的值；

2.5将步骤2.4中得到的控制量uⁱ(t,k)作用于被控对象；

2.6在下一时刻，依照步骤2.1到2.5继续求解新的控制量uⁱ(t+1,k)，依次循环；

2.7上述设计的控制器是在正常系统下的，执行器故障容易引起系统的不稳定，通过将其视为干扰，设计的控制器具有鲁棒性，即系统具有一定的抗干扰能力，在保证系统稳定运行的情况下，求解允许的最大干扰；

2.7.1控制律的状态反馈形式如下：

其中，

对每一个阶段i，含有执行器部分失效故障的切换系统为：

其中，

则上述切换系统可变为：

2.7.2定义李雅普诺夫函数Vⁱ，并获得其增量△Vⁱ，形式如下：

其中，

2.7.3根据步骤2.7.1中有执行器故障的切换系统，结合步骤2.7.2中的李雅普诺夫函数，求取在满足系统稳定下，控制器所能抵抗的最大干扰；

定义

其中，

水平收敛指标不大于

垂直收敛指标不大于

常数ρⁱ，μⁱ，以及矩阵Wⁱ；

由步骤2.7.2得：

2.7.4再选取合适的矩阵，使其满足如下约束条件：

其中，σ_max(ξⁱ),λ_min(ξⁱ),λ_max(ξⁱ)分别是矩阵ξ的最大奇异值、最小特征值和最大特征值；则称这个系统有强干扰性且指数稳定；

2.7.5进一步将步骤2.7.3和2.7.4中约束条件带入增量△Vⁱ中，可以得到：

很明显如果满足以下条件：

因此：

步骤3、针对步骤1.2的新型2D切换系统模型，找出系统稳定条件和设计切换信号；

3.1针对不同阶段设计切换信号为

3.2由步骤2.7.1知中无穷时域线性二次容错控制形式可再次表示为：

其中，

则对每一个阶段i，切换系统可再次表示为：

3.3对于第i个子系统，选择下面的李雅普诺夫函数Vⁱ，

其中，

代表了T方向的变量，

代表了K方向的变量；

并获得其增量△Vⁱ，形式如下：

若切换系统稳定，必有△Vⁱ(zⁱ(t,k))<0，其等价于：

以及满足步骤2.7.5的约束条件下，可得：

3.4根据切换信号，设计切换点；

k_l-f+1和k_l表示初始批次和末尾批次，

表示在时间间隔为[w,G]的切换信号下的切换次数，切换点如下形式：

其中，

和

有相同的意义，都表示前一个阶段的末尾时刻和下一个阶段的初始时刻；

结合步骤2.4、2.7求解步骤3.3中的不等式，便可求出不同阶段的

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