CN104932263A - 一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法。建立间歇过程的混杂状态空间模型；构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，利用平均驻留时间方法，求出间歇过程中相邻阶段的总体最小运行时间；本发明针对间歇过程的多阶段特性、重复特性及二维特性，设计二维迭代学习控制器，在将多阶段间歇过程看做一个切换系统的基础上确定二维形式的切换序列。使间歇过程在此控制器及切换序列下控制性能最优，且相邻阶段的总体最小运行时间，进而扩展到多个阶段求出总体运行的最小时间，可以减少时间成本，大幅提高生产效率，有效促进我国间歇工业中的高效生产运行。

Description

一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法

技术领域

本发明属于信息技术领域，具体涉及一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法。

背景技术

间歇过程是多品种、小批量、高附加值产品生产的首要选择，因其适应现代化生产的需要，在我国工业生产中占有很高比例。在典型的间歇过程中，产品总是一个批次一个批次地生产，依靠重复生产得到大量相同产品，即间歇过程具有重复特性；另外，间歇过程还具有批次内动态快速演变和批次间动态慢速演变的二维(2D)特性。

在每个批次内，间歇过程又是一个多阶段生产产品的过程，由于各阶段生产目的不同，过程特性不同，导致各阶段的模型维数可能是不同的。以往针对间歇过程的控制研究，往往只考虑单阶段的高精度控制，仅仅考虑单阶段的最优控制并不能保证全局最优和生产的整体高效运行。此外，在实际工业过程中，阶段的运行时间多由实际经验或估计得到，这也在一定程度上延长了间歇过程实际运行所需要的时间，给间歇过程的高效运行带来了本质困难。而在已有理论研究中，还未出现针对各阶段运行时间的研究成果，仅存在一些关于相邻阶段切换条件与切换时间的研究。

发明内容

针对上述现有技术存在的不足，本发明提供一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法。

本发明的技术方案是：

一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法，包括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程各阶段的离散状态空间模型，建立间歇过程的混杂状态空间模型；间歇过程的混杂状态空间模型由式(2)表示：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1,k)=A_{\mathrm{\σ}(t,k)}x(t,k)+B_{\mathrm{\σ}(t,k)}u(t,k)+w_{\mathrm{\σ}(t,k)}(t,k)\\ y(t,k)=C_{\mathrm{\σ}(t,k)}x(t,k)\\ \mathrm{\σ}(t+1,k)=\mathrm{\Ω}\left(\mathrm{\σ}\right(t,k),x(t,k\left)\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，k表示间歇过程所处批次，t代表间歇过程在批次内所处的运行时刻；T_k表示第k批次生产的总体运行时间；x(t,k)，u(t,k)，y(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输入、系统输出；σ(t,k)∈{1,2,…,p}代表间歇过程的切换信号，表示间歇过程在批次k的时刻t发生切换，具体的取值表示所处阶段，p表示间歇过程在一个批次内总的阶段数；A_σ(t,k)、B_σ(t,k)、C_σ(t,k)分别为相应于所处阶段状态空间模型的系统状态矩阵、控制矩阵、输出矩阵，均为已知适维矩阵；w_σ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；Ω(·,·)表示相邻两阶段的状态转移函数；

多阶段间歇过程可以看做一个切换系统，每一个阶段对应一个子系统，当间歇过程运行至不同阶段，相应的子系统被激活，可将式(2)改写为式(3)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^i(t+1,k)=A^i{x}^i(t,k)+B^i{u}^i(t,k)\\ y^i(t,k)=C^i{x}^i(t,k)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，i表示间歇过程所处阶段，xⁱ(t,k)，uⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)为阶段i所对应子系统的系统状态、控制输入、系统输出；Aⁱ,Bⁱ,Cⁱ分别表示阶段i所对应子系统状态空间模型中的系统矩阵、控制矩阵及输出矩阵；

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习控制器，并针对由式(2)表示的间歇过程的混杂状态空间模型构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；具体包括：

步骤2.1：为解决由式(3)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习控制器，如式(4)所示：

Σ_ilc:uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k):   (4)

其中uⁱ(t,k)表示批次k阶段i的控制器，uⁱ(t,0)为初始迭代控制器，设为0；rⁱ(t,k)是阶段i的迭代学习更新律， $r^i(t,k)=K_1^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t,k)+K_2^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k-1),$ 为控制器增益；

步骤2.2：利用所设计的二维迭代学习控制器，针对由式(2)表示的间歇过程的混杂状态空间模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；

定义为批次k阶段i的时刻t间歇过程的系统状态与前一批次k-1中时刻t的系统状态的误差，即状态误差，由式(5)表示；

$x_e^i(t,k)=x^i(t,k)-x^i(t,k-1)---\left(5\right)$

定义eⁱ(t,k)为批次k阶段i的时刻t的间歇过程的系统输出实际值与系统输出设定值的误差，由式(6)表示；

$e^i(t,k)=y_r^i-y^i(t,k)---\left(6\right)$

其中，为阶段i系统输出的设定值；yⁱ(t,k)表示批次k中阶段i的系统输出；

将式(4)、(5)、(6)代入式(2)中，得到由式(7)表示的间歇过程阶段i的二维状态误差空间模型和由式(8)表示的二维输出误差空间模型；

$x_e^i(t+1,k)=A^i{x}_e^i(t,k)+B^i{r}^i(t,k)---\left(7\right)$

$e^i(t+1,k)=x_e^i(t+1,k-1)-C^i{A}^i{x}_e^i(t,k)+C^i{B}^i{r}^i(t,k)---\left(8\right)$

将式(7)与式(8)合并表示为矩阵形式，可得由式(9)表示的间歇过程的二维增广模型；

${\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k)={\stackrel{\‾}{A}}_1^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\‾}{A}}_2^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k-1)+{\stackrel{\‾}{B}}^i{r}^i(t,k)---\left(9\right)$

其中， ${\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k)=\left[\begin{array}{c}{x}_e^i(t+1,k)\\ e^i(t+1,k)\end{array}\right],{\stackrel{\‾}{A}}_1^i=\left[\begin{array}{cc}{A}^i& 0\\ -C^i{A}^i& 0\end{array}\right],A_2^i=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& I^i\end{array}\right],{\stackrel{\‾}{B}}^i=\left[\begin{array}{c}{B}^i\\ C^i{B}^i\end{array}\right];$ Iⁱ为适维的单位矩阵；

将阶段i的迭代学习更新律rⁱ(t,k)的表达式带入式(8)可以得到间歇过程阶段i的二维闭环状态空间模型，由式(10a)表示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k)=({\stackrel{\‾}{A}}_1^i+{\stackrel{\‾}{B}}^i{K}_1^i){\stackrel{\‾}{x}}^i(t,k)+({\stackrel{\‾}{A}}_2^i+{\stackrel{\‾}{B}}^i{K}_2^i){\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\‾}{A}}_{1m}^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\‾}{A}}_{2m}^i{\stackrel{\‾}{x}}^i(t+1,k-1)\end{array}---\left(10a\right)$

其中， ${\stackrel{\‾}{A}}_{1m}^i=({\stackrel{\‾}{A}}_1^i+{\stackrel{\‾}{B}}^i{K}_1^i),{\stackrel{\‾}{A}}_{2m}^i=({\stackrel{\‾}{A}}_2^i+{\stackrel{\‾}{B}}^i{K}_2^i);$

将式(10a)表示成混杂模型形式，由下式(10b)表示

$\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{x}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}(t+1,k)=({\stackrel{\‾}{A}}_1^{\mathrm{\σ}(t,k)}+{\stackrel{\‾}{B}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}{K}_1^{\mathrm{\σ}(t,k)}){\stackrel{\‾}{x}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}(t,k)+({\stackrel{\‾}{A}}_2^{\mathrm{\σ}(t,k)}+{\stackrel{\‾}{B}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}{K}_2^{\mathrm{\σ}(t,k)}){\stackrel{\‾}{x}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\‾}{A}}_{1m}^{\mathrm{\σ}(t,k)}{\stackrel{\‾}{x}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}(t,k)+{\stackrel{\‾}{A}}_{2m}^{\mathrm{\σ}(t,k)}{\stackrel{\‾}{x}}^{\mathrm{\σ}(t,k)}(t+1,k-1)\end{array}---\left(10b\right)$

其中，σ(t,k)∈{1,2,…,p}。

步骤2.3：根据工业生产的实际要求确定不同维相邻阶段的切换条件，根据切换前后相邻阶段的系统状态可求出状态转移矩阵，由式(11)表示：

$x^{i+1}(T_k^i,k)=J_i{x}^i(T_k^i,k)---\left(11\right)$

其中，表示第k批次第i阶段的末时刻，同时也是阶段i到阶段i+1的切换时刻；为i阶段的状态；为i+1阶段的状态；J_i为间歇过程由阶段i至阶段i+1的状态转移矩阵；

步骤2.4：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，确定与时间相关的切换序列；

定义满足不同维相邻阶段的切换条件的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻由式(12)表示；

$T_k^i\widehat{=}min\{t>T_k^{i-1}|G_i\left(x\right(t,k)<0\left)\right\},T_k^0=0---\left(12\right)$

其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻。G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件，即随着过程的运行，当系统状态x(t,k)满足G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)时，间歇过程发生切换；

根据切换时刻，确定二维切换序列，由式(13)表示：

$\begin{array}{c}\&Sigma;=\{(T_0^1,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^1,0),(T_0^2,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^2,0),...,(T_0^p,0),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_0^p,1),(T_1^1,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^1,1),...\\ (T_1^p,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^p,2),...,(T_{k-1}^p,k-1),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_{k-1}^p,k),(T_k^1,k),\mathrm{\&sigma;}(T_k^1,k),...,(T_k^p,k),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_k^p,k+1)...\}\end{array}---\left(13\right)$

其中，表示k-1批次与k批次之间的连接点；

步骤3：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，利用平均驻留时间方法，求出间歇过程中相邻阶段的总体最小运行时间。

平均驻留时间定义为，对一个切换序列，如果存在N₀>0及τ_a＞0，使成立，则称这个切换序列具有平均驻留时间τ_a，对于相邻两个阶段的切换系统来说，总的运行时间就是2*τ_a；其中N₀是用来制约切换频率的自然数；N_σ(T,t)表示在时间区间(t,T]内发生的切换次数；

步骤3.1：将式(9)表示的间歇过程的二维增广模型转化为2D Rosser模型，由式(14)表示；

$\left[\begin{array}{c}{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h}^i(t+1,k)\\ {{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v}^i(t,k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h}^i(t,k)\\ {{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v}^i(t,k)\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，分别表示一个2D系统在两个维度上的状态分量；分别为适维的矩阵；

步骤3.2：对于间歇过程的各个阶段，选取分段李雅普诺夫函数 $V^i\left(x\right)={\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right),$ 设计 ${\mathrm{\&Delta;V}}^i={\left(x^{\&prime;}\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]x^{\&prime;}-\mathrm{\&eta;}{\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right);$

其中，Vⁱ(x)表示对应第i个阶段的李雅普诺夫函数；Pⁱ为待求对应于第i阶段的正定矩阵； $x^{\&prime;}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]x;$ η为小于1的正数；I为适维单位矩阵；T表示矩阵转置；

步骤3.3：将式(14)和x'带入ΔVⁱ，可得式(15)，

${\mathrm{\&Delta;V}}^i=-x^T({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right])x---\left(15\right)$

其中 $x^T=\&lsqb;\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h^{iT}(t,k)& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v^{iT}(t,k)\end{array}\&rsqb;;$

步骤3.4：令v＝N_σ(z,D)表示在时间区间(z,D)内的切换次数，则利用平均驻留时间技术得到间歇过程指数稳定，指数稳定形式如式(16)：

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)|{|}_D\&le;\sqrt{\frac{b}{a}{e}^{(\frac{ln\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&tau;}}_a}+ln\mathrm{\&eta;})(D-z)}}|\left|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)\right|{|}_z---\left(16\right)$

其中， $a=\underset{i\&Element;(1,2,...,p)}{\min }{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(P^i\right),b=\underset{i\&Element;(1,2,...,p)}{\max }{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P^i\right);$ 分别表示在时刻D和时刻z的系统状态；μ≥1；分别表示在时刻D和时刻z的系统状态；μ≥1；

当时，式(16)成立，即对具有平均驻留时间τ_a的切换序列，间歇过程具有指数稳定性；

步骤3.5：在求解控制器增益时，为使控制性能最优，选取如下成本函数

$\begin{array}{c}J=\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\&lsqb;x^T{\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x+r^T(t,k)\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]r(t,k)\&rsqb;\\ =\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x\end{array}$

根据步骤3.3中得到的ΔVⁱ，有下式成立

$\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\mathrm{\&Delta;}V\&le;-\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x$

其中，N₁,N₂均为趋于无穷的正整数；Qⁱ，Rⁱ为给定正定矩阵；

则正定矩阵Pⁱ及控制器增益满足如下所示的黎卡提方程和矩阵不等式；

$\left\{\begin{array}{c}{\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i\right)}^T{P}^i\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i\right)-\mathrm{\&eta;}{P}^i+Q^i+{\left(K_j^i\right)}^T{R}^i\left(K_j^i\right)=0,j=\{1,2\}\\ {{\tilde{J}}_1}^T{P}^1{\tilde{J}}_1\&le;\mathrm{\&mu;}{P}^2\end{array}\right.$

通过MATLAB进行黎卡提方程及矩阵不等式的求解，进而得到控制器增益 $K_j^i={(B^{iT}{P}^i{B}^i+R^i)}^{-1}{B}^i{P}^i{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i$ 及Pⁱ,j＝{1,2}。

需要说明的是，上式中的黎卡提方程并非一个严格意义上的黎卡提方程，无法利用MATLAB直接进行黎卡提方程的求解。可以利用式Xⁱ＝ηPⁱ即用Xⁱ代替Pⁱ，可得控制器增益满足下式：

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)-X^i+Q^i\\ -{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right){\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)=0,j=1,2\\ {{\tilde{J}}_1}^T{X}^1{\tilde{J}}_1\&le;\mathrm{\&mu;}{X}^2\end{array}\right.$

进而得到控制器增益为： $K_j^i={\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right),j=1,2.$

有益效果：间歇过程是一个多阶段生产并经过重复运行得到产品的过程，各阶段运行时间长短直接影响生产效率，而在理论和实践应用中，并未有针对此方面问题进行研究的成果出现。本发明针对间歇过程的多阶段特性、重复特性及二维特性，设计二维迭代学习控制器，在将多阶段间歇过程看做一个切换系统的基础上确定二维形式的切换序列。使间歇过程在此控制器及切换序列下控制性能最优，且相邻阶段的总体最小运行时间，进而扩展到多个阶段求出总体运行的最小时间，可以减少时间成本，大幅提高生产效率，有效促进我国间歇工业中的高效生产运行。

附图说明

图1为本发明一种实施方式的多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法流程图；

图2(a)为本发明一种实施方式注塑过程第6个批次的系统输出图；(b)为本发明一种实施方式注塑过程第10个批次的系统输出图；

图3为本发明一种实施方式注塑过程30个批次的模腔压力实时值图；

图4为本发明一种实施方式的间歇过程跟踪性能与切换时间图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作详细说明。

本实施方式的多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程各阶段的离散状态空间模型，建立间歇过程的混杂状态空间模型；间歇过程各阶段的状态空间模型，可由形如式(1)的离散模型表示。

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1,k)=f\left(x\right(t,k),u(t,k),t)\\ y(t,k)=h\left(x\right(t,k),u(t,k\left)\right)\end{array}\right.,0\&le;t\&le;T_k,k=1,2,...---\left(1\right)$

其中，k表示间歇过程所处批次，t代表间歇过程在批次内所处的运行时刻；T_k表示第k批次生产的总体运行时间；x(t,k)，u(t,k)，y(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输入、系统输出；f(x(t,k),u(t,k),t)、h(x(t,k),u(t,k))表示与x(t,k)和u(t,k)有关的函数。

由已知的间歇过程各个阶段的状态空间模型，基于间歇过程的多阶段特性，构建其混杂状态空间模型，由式(2)表示：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1,k)=A_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}x(t,k)+B_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}u(t,k)+w_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)\\ y(t,k)=C_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}x(t,k)\\ \mathrm{\&sigma;}(t+1,k)=\mathrm{\&Omega;}\left(\mathrm{\&sigma;}\right(t,k),x(t,k\left)\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中σ(t,k)∈{1,2,…,p}代表间歇过程的切换信号，表示间歇过程在批次k的时刻t发生切换，具体的取值表示所处阶段，如σ(t,k)＝1代表第一阶段，p表示间歇过程在一个批次内总的阶段数；A_σ(t,k)、B_σ(t,k)、C_σ(t,k)分别为相应于所处阶段状态空间模型的系统状态矩阵、控制矩阵、输出矩阵，均为已知适维矩阵；w_σ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；Ω(·,·)表示相邻两阶段的状态转移函数，是一个用系统状态x(t,k)及切换信号σ(t,k)构成的状态转移函数；

多阶段间歇过程可以看做是一个切换系统，每一个阶段对应一个子系统。考虑无外部扰动情况，可将式(2)改写为式(3)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^i(t+1,k)=A^i{x}^i+B^i{u}^i(t,k)\\ y^i(t,k)=C^i{x}^i(t,k)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，i表示间歇过程所处阶段，xⁱ(t,k)，uⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)为阶段i所对应子系统的系统状态、控制输入、系统输出；Aⁱ,Bⁱ,Cⁱ分别表示阶段i所对应子系统状态空间模型中的系统矩阵、控制矩阵及输出矩阵；

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习控制器，并针对由式(3)表示的间歇过程阶段i的状态空间模型构建间歇过程的二维增广模型，进而在将多阶段间歇过程看做切换系统的基础上，确定二维形式的切换序列；具体包括：

步骤2.1：为解决由式(3)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习控制器，如式(4)所示：

Σ_ilc:uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k):   (4)

其中uⁱ(t,k)表示批次k阶段i的控制器，uⁱ(t,0)为初始迭代控制器，设为0；rⁱ(t,k)是阶段i的迭代学习更新律， $r^i(t,k)=K_1^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+K_2^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1),$ 为控制器增益；

步骤2.2：利用所设计的二维迭代学习控制器，针对式(3)表示的间歇过程阶段i的状态空间模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；

定义为批次k阶段i的时刻t间歇过程的系统状态与前一批次k-1中时刻t的系统状态的误差，即状态误差，由式(5)表示：

$x_e^i(t,k)=x^i(t,k)-x^i(t,k-1)---\left(5\right)$

定义eⁱ(t,k)为批次k中阶段i的时刻t间歇过程的系统输出实际值与系统输出设定值的误差，由式(6)表示

$e^i(t,k)=y_r^i-y^i(t,k)---\left(6\right)$

其中，为阶段i系统输出的设定值；yⁱ(t,k)表示批次k中阶段i的系统输出；

将式(4)、(5)、(6)代入式(2)中，得到由式(7)表示的间歇过程阶段i的二维状态误差的状态空间模型和由式(8)表示的二维输出误差状态空间模型；

$x_e^i(t+1,k)=A^i{x}_e^i(t,k)+B^i{r}^i(t,k)---\left(7\right)$

$e^i(t+1,k)=x_e^i(t+1,k-1)-C^i{A}^i{x}_e^i(t,k)+C^i{B}^i{r}^i(t,k)---\left(8\right)$

将式(7)与式(8)合并，可得由式(9)表示的间歇过程的二维增广模型；

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{r}^i(t,k)---\left(9\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)=\left[\begin{array}{c}{x}_e^i(t+1,k)\\ e^i(t+1,k)\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i=\left[\begin{array}{cc}{A}^i& 0\\ -C^i{A}^i& 0\end{array}\right],A_2^i=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& I^i\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i=\left[\begin{array}{c}{B}^i\\ C^i{B}^i\end{array}\right];$ Iⁱ为适维的单位矩阵；

将阶段i的迭代学习更新律rⁱ(t,k)的表达式带入式(8)可以得到间歇过程的二维闭环状态空间模型，由式(10a)表示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_1^i){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_2^i){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)\end{array}---\left(10a\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_1^i),{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_2^i);$

将式(10a)表示成混杂模型形式，由下式(10b)表示

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k)=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\end{array}---\left(10b\right)$

其中，σ(t,k)∈{1,2,…,p}；

步骤2.3：间歇过程通过多个阶段生产产品，在不同阶段由于生产目的及生产特性不同导致在不同阶段的系统模型的维数是不同的，即对切换系统来说就是不同子系统的维数不同，称这种维数不同的相邻阶段为不同维相邻阶段。根据工业生产的实际要求得到不同维相邻阶段的切换条件。G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件，也即随着过程的运行，当系统状态x(t,k)满足G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)时，间歇过程发生切换。在实际过程中，这个状态相关的切换条件一般是根据实际间歇过程的生产要求确定的；根据切换前后相邻阶段的系统状态可求出状态转移矩阵，由式(11)表示：

$x^{i+1}(T_k^i,k)=J_i{x}^i(T_k^i,k)---\left(11\right)$

其中，表示第k批次第i阶段的末时刻，同时也是阶段i到阶段i+1的切换时刻；为i阶段的状态；为i+1阶段的状态；J_i为间歇过程由阶段i至阶段i+1的状态转移矩阵；

步骤2.4：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，确定与时间相关的切换序列；

间歇过程的各阶段运行的顺序是确定的，从第一个阶段开始，按预定的加工顺序进行加工。定义满足步骤2.3中切换条件G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻由式(12)表示；

$T_k^i\widehat{=}min\{t>T_k^{i-1}|G_i\left(x\right(t,k)<0\left)\right\},T_k^0=0---\left(12\right)$

其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻。

根据切换时刻，确定二维切换序列，由式(13)表示：

$\begin{array}{c}\&Sigma;=\{(T_0^1,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^1,0),(T_0^2,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^2,0),...,(T_0^p,0),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_0^p,1),(T_1^1,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^1,1),...\\ (T_1^p,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^p,2),...,(T_{k-1}^p,k-1),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_{k-1}^p,k),(T_k^1,k),\mathrm{\&sigma;}(T_k^1,k),...,(T_k^p,k),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_k^p,k+1)...\}\end{array}---\left(13\right)$

其中，表示k-1批次与k批次之间的连接点；

步骤3：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，利用平均驻留时间方法，求出间歇过程中相邻阶段的总体最小运行时间。

平均驻留时间定义为，对一个切换序列，如果存在N₀>0及τ_a＞0，使成立，则称这个切换序列具有平均驻留时间τ_a，对于相邻两个阶段的切换系统来说，总的运行时间就是2*τ_a；其中N₀是用来制约切换频率的自然数；N_σ(T,t)表示在时间区间(t,T]内发生的切换次数；

步骤3.1：为方便，求解过程通过一个一般2D系统(即，一个有两个维度动态变化的系统)的求解过程给出。给出一个一般2D Rosser模型，将式(9)表示的间歇过程的二维增广模型转化为2D Rosser模型，由式(14)表示；

$\left[\begin{array}{c}{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h}^i(t+1,k)\\ {{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v}^i(t,k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h}^i(t,k)\\ {{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v}^i(t,k)\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，分别表示2D系统在两个维度上的状态分量；分别为适维的矩阵；

步骤3.2：对于间歇过程的各个阶段，选取分段李雅普诺夫函数 $V^i\left(x\right)={\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right),$ 设计 ${\mathrm{\&Delta;V}}^i={\left(x^{\&prime;}\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]x^{\&prime;}-\mathrm{\&eta;}{\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right);$

其中，Vⁱ(x)表示对应第i个阶段的李雅普诺夫函数；Pⁱ为待求对应于第i阶段的正定矩阵； $x^{\&prime;}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]x;$ η为小于1的正数；I为适维单位矩阵；T表示矩阵转置；

步骤3.3：将式(14)和x'带入ΔVⁱ，可得式(15)，

${\mathrm{\&Delta;V}}^i=-x^T({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right])x---\left(15\right)$

其中 $x^T=\&lsqb;\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h^{iT}(t,k)& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v^{iT}(t,k)\end{array}\&rsqb;;$

步骤3.4：令v＝N_σ(z,D)表示在时间区间(z,D)内的切换次数，则利用平均驻留时间技术得到间歇过程指数稳定，指数稳定形式如式(16)：

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)|{|}_D\&le;\sqrt{\frac{b}{a}{e}^{(\frac{ln\mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&tau;}}_a}+ln\mathrm{\&eta;})(D-z)}}|\left|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)\right|{|}_z---\left(16\right)$

其中， $a=\underset{i\&Element;(1,2,...,p)}{\min }{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(P^i\right),b=\underset{i\&Element;(1,2,...,p)}{\max }{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P^i\right);$ 分别表示在时刻D和时刻z的系统状态；μ≥1；分别表示在时刻D和时刻z时的系统状态；μ≥1；

当时由式(16)可得由式(14)表示的2D系统指数稳定，即对具有平均驻留时间τ_a的切换序列，间歇过程具有指数稳定性；

步骤3.5：在求解控制器增益时，为使间歇过程具有最优控制性能，选取如下成本函数

$\begin{array}{c}J=\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\&lsqb;x^T{\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x+r^T(t,k)\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]r(t,k)\&rsqb;\\ =\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x\end{array}$

根据步骤3.3中得到的ΔVⁱ，有下式成立

$\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\mathrm{\&Delta;}V\&le;-\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x$

其中，N₁,N₂均为趋于无穷的正整数；Qⁱ，Rⁱ为给定正定矩阵；

则正定矩阵Pⁱ及控制器增益满足如下所示的黎卡提方程和矩阵不等式；

$\left\{\begin{array}{c}{\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i\right)}^T{P}^i\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i\right)-\mathrm{\&eta;}{P}^i+Q^i+{\left(K_j^i\right)}^T{R}^i\left(K_j^i\right)=0,j=\{1,2\}\\ {{\tilde{J}}_1}^T{P}^1{\tilde{J}}_1\&le;\mathrm{\&mu;}{P}^2\end{array}\right.$

通过MATLAB进行黎卡提方程及矩阵不等式的求解，进而得到迭代学习控制器增益及对称正定矩阵Pⁱ,j＝{1,2}。

需要说明的是，上式中的黎卡提方程并非一个严格意义上的黎卡提方程，可以利用式Xⁱ＝ηPⁱ即用Xⁱ代替Pⁱ，可得控制器增益满足下式：

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)-X^i+Q^i\\ -{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right){\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)=0,j=1,2\\ {{\tilde{J}}_1}^T{X}^1{\tilde{J}}_1\&le;\mathrm{\&mu;}{X}^2\end{array}\right.$

进而得到控制器增益为： $K_j^i={\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right),j=1,2$

实施例

注塑过程是典型的间歇生产过程，每一批次主要包含三个步骤，即注射段→保压段→冷却段。在注射段,螺杆向前运动将储存在机筒前端的熔体(原材料经加热圈加热后形成)向前挤压,流经浇道，流道，浇口，进入已经闭合的模具型腔(模腔)内。当模腔完全充满之后，成型过程由注射段切换至保压段。在保压段中，螺杆以很低的速度向前推进，以保持一定的喷嘴压力。少量的熔体继续进入模腔，补偿由于材料降温和固化造成的体积收缩。一旦模具中截面积最小的浇口基本固化，保压段停止，过程进入冷却段，理想情况下此时熔体流动应停止。注射机构在冷却段进行塑化,为下一个循环做好准备；与此同时,在模腔中的材料继续冷却直至完全固化。最后，模具打开，顶针将制品顶出，完成一个循环。

因此，注塑成型过程主要包含注射段、保压段、冷却段三个阶段。注射段、保压段的控制效果对产品最终质量具有直接影响，其中注射段注射速度、保压段模腔压力对相应阶段控制效果影响最大，需要控制跟踪给定值。这两个参数都是由相应的阀门进行控制，阀门开度影响参数。此外，在注射段，模腔压力达到一定值时，过程进入保压段，因而在注射段模腔压力需要被检测但是不需要被直接控制。在冷却段只对高温制成品进行冷却，并不采取控制措施；因而需要建立注塑成型过程注射段与保压段的混杂状态空间模型。

现有的注塑成型过程注射段与保压段的频域数学模型如下：

注射段频域数学模型为： $\frac{IV}{VO}=\frac{8.687z^{-1}-5.617z^{-2}}{1-0.9291z^{-1}-0.03191z^{-2}},\frac{NP}{IV}=\frac{0.1054}{1-z^{-1}};$

保压段频域数学模型为： $\frac{NP}{VO}=\frac{171.8Z^{-1}-156.8Z^{-2}}{1-1.317z^{-1}+0.3259z^{-2}};$

其中，IV代表注射段注射速度，设定值为40mm/s；NP代表模腔压力,在保压段设定值为300bar；VO代表阀门开度。

给出如下定义， $\begin{array}{c}{x}_1^1(t,k)\widehat{=}IV(t,k),x_2^1(t,k)\widehat{=}0.03191IV(t-1,k)-5.617VO(t-1,k)\\ x_3^1(t,k)\widehat{=}NP(t,k),u^1(t,k)\widehat{=}VO(t,k),y^1(t,k)\widehat{=}IV(t,k)\end{array}$ 及 $\begin{array}{c}{x}_1^2(t,k)\widehat{=}NP(t,k),x_2^2(t,k)\widehat{=-}0.03259NP(t-1,k)-156.8VO(t-1,k)\\ u^2(t,k)\widehat{=}VO(t,k),y^2(t,k)\widehat{=}NP(t,k)\end{array};$

其中，IV(t,k)，NP(t,k)，VO(t,k)分别表示k批次、t时刻的注射速度，模腔压力，阀门开度。

可以得到注射段注射速度与保压段模腔压力的状态空间模型：

注射段注射速度的状态空间模型： $\left\{\begin{array}{c}{x}^1(t+1,k)=\left[\begin{array}{ccc}0.9291& 1& 0\\ 0.03191& 0& 0\\ 0.1054& 0& 1\end{array}\right]x^1(t,k)+\left[\begin{array}{c}8.687\\ -5.617\\ 0\end{array}\right]u^1(t,k)\\ y^1(t,k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]x^1(t,k)\end{array}\right.$

保压段模腔压力的状态空间模型： $\left\{\begin{array}{c}{x}^2(t+1,k)=\left[\begin{array}{cc}1.317& 1\\ -0.3259& 0\end{array}\right]x^2(t,k)+\left[\begin{array}{c}171.8\\ -156.8\end{array}\right]u^2(t,k)\\ y^2(t,k)=\&lsqb;\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\&rsqb;x^2(t,k)\end{array}\right.$

将两个阶段的状态空间模型改写为混杂状态空间模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k)=A^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{x}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+B^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{u}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)\\ y^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)=C^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{x}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)\end{array}\right.\mathrm{\&sigma;}(t,k)=\{1,2\}$

其中： $\mathrm{\&sigma;}(t,k)=1,\left\{\begin{array}{c}{A}^1=\left[\begin{array}{ccc}0.9291& 1& 0\\ 0.03191& 0& 0\\ 0.1054& 0& 1\end{array}\right]\\ B^1=\left[\begin{array}{c}8.687\\ -5.617\\ 0\end{array}\right]\\ C^1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\end{array}\right.,\mathrm{\&sigma;}(t,k)=2,\left\{\begin{array}{c}{A}^2=\left[\begin{array}{cc}1.317& 1\\ -0.3259& 0\end{array}\right]\\ B^2=\left[\begin{array}{c}171.8\\ -156.8\end{array}\right]\\ C^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\end{array}\right..$

因注射段在保压段之前，为方便，定义注射段为阶段1，保压段为阶段2，即σ(t,k)＝1，σ(t,k)＝2分别表示阶段1，阶段2。

注塑成型过程的二维增广模型与二维闭环混杂状态空间模型分别为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{r}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k)=\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}\right){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+\left({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}\right){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\end{array}$

当注塑过程的注射段喷嘴压力大于350bar即时，过程由注射段切换至保压段，这是一个与状态相关的切换条件。当注塑过程系统状态满足此条件时，注塑过程将由注射段切换至保压段。

根据切换条件可得 $x_3^1(T_k^1,k)\&ap;x_3^1(T_k^1-1,k)\&ap;350,u^1(T_k^1-1,k)\&ap;u_e^1=0.5080,$ 从而得到：

$\begin{array}{c}{x}_2^2\left(0\right)\&ap;\frac{-0.3259\&times;350-156.8\&times;0.5080}{350}{x}_3^1({\stackrel{\&OverBar;}{T}}_k^1,k)\\ =-0.5535x_3^1({\stackrel{\&OverBar;}{T}}_k^1,k)\end{array}$

则可求得状态转移矩阵为 $J_1\widehat{=}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& -0.5535\end{array}\right];$ 其中表示IV稳态时的VO的稳态值，根据式 $x^1(t+1,k)=\left[\begin{array}{ccc}0.9291& 1& 0\\ 0.03191& 0& 0\\ 0.1054& 0& 1\end{array}\right]x^1(t,k)+\left[\begin{array}{c}8.687\\ -5.617\\ 0\end{array}\right]u^1(t,k)$ 求得 $u_e^1=0.5080;$

在一个批次内，只考虑注射段与保压段两个阶段，以保压段模腔压力大于350bar即的最小时刻为切换时刻，与时间相关的二维切换序列如下：

$\mathrm{\&Sigma;}=\{(T_0^1,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^1,0),(T_0^2,0),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_0^2,0),(T_1^1,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^1,1),(T_1^2,1),...,(T_{k-1}^2,k-1),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_{k-1}^1,k),(T_k^1,k),\mathrm{\&sigma;}(T_k^1,k),(T_k^2,k),...\}$

根据Xⁱ＝ηPⁱ，且在保证控制性能的情况下，为确保黎卡提方程有解，通过调节得到η＝0.907。

在MATLAB中，有专门针对用于黎卡提方程和矩阵不等式求解的工具箱，按工具箱要求输入黎卡提方程和矩阵不等式中的各个已知矩阵以及黎卡提方程与矩阵不等式的形式，并输入需要求解的矩阵的条件，如正定性等，可以很方便的进行黎卡提方程与矩阵不等式的求解。利用MATLAB进行如下黎卡提方程与矩阵不等式的求解；

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)-X^i+Q^i\\ -{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right){\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)=0,j=1,2\\ {{\tilde{J}}_1}^T{X}^1{\tilde{J}}_1\&le;\mathrm{\&mu;}{X}^2\end{array}\right.$

可得到正定矩阵：

$P^1=\left[\begin{array}{cccc}4.2071& 1.1814& 0.4443& -0.2082\\ 1.1814& 3.8604& -0.0130& 0.2733\\ 0.4443& -0.0130& 6.7592& -0.0406\\ -0.2082& 0.2733& -0.0406& 4.8437\end{array}\right],P^2=\left[\begin{array}{ccc}0.1303& 0.0436& 0\\ 0.0436& 0.1339& 0\\ 0& 0& 0.1385\end{array}\right]$

并求得μ＝3.9233×10³，根据 $K_j^i={\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)+R^i\right)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right),j=1,2,$ 通过MATLAB求得到控制器增益为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_1^1=\left[\begin{array}{cccc}-0.0949& -0.1023& -0.0038& -0.0000\end{array}\right]\\ K_1^2=\left[\begin{array}{cccc}-0.0001& -0.0001& -0.0000& -0.0601\end{array}\right]\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{c}{K}_2^1=\left[\begin{array}{ccc}-0.0060& -0.0041& 0\end{array}\right]\\ K_2^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0.0021\end{array}\right]\end{array}\right.$

则根据计算得到τ_a ^*＝84.7705，取整得到τ_a＝85，即注塑成型过程注射段与保压段的整体运行时间为2τ_a＝170。

在仿真过程中，共进行30个批次的仿真运行；每一步的时间长度为Matlab默认的步长时间；系统的扰动为重复扰动，即在阶段1中 $\mathrm{\&omega;}(t,k)=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.2\\ 0.3\end{array}\right],$ 在阶段2中 $\mathrm{\&omega;}(t,k)=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.2\end{array}\right].$

附图2、附图3、附图4分别显示了本实施例在仿真中得到的控制效果。在阶段1注射速度即螺杆推进速度，设定值为40mm/s；在阶段2设定值为模腔压力，设置为300bar。

附图2显示批次6及批次10利用本方法得到的控制效果。附图3显示所有30个批次模腔压力的实时值，尽管在前几个批次会经历不稳定的阶段，但经过8-10个批次的运行之后，可以达到零误差跟踪。从附图4可以看出，经过几个批次，切换时间稳定在85步，即阶段1的运行时间为85步，利用平均驻留时间方法，得到切换系统最小运行时间为170步。在多阶段间歇过程中，各阶段的运行时间直接影响整个生产过程的时间，除了依靠工艺的改进来减少生产时间外，设计新的控制方法来得到阶段最小运行无疑是最好的方法。本专利提出的多阶段间歇过程最小运行时间控制方法在保证间歇过程的控制效果的同时，通过平均驻留时间方法，得到使阶段运行时间最短的控制方法。在实际过程中，注塑成型注射段与保压段的运行时间大多是通过实际经验给定的，或者是预设的一个比较大的值，显然利用本发明的多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法得到的运行时间更具有说服力，更具使用价值，可以在保证产品质量的同时减少实际运行所需时间，进而提高生产效率，为间歇生产过程的高效运行提供切实可行的控制方法。

Claims (3)

1.一种多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：根据间歇过程各阶段的离散状态空间模型，建立间歇过程的混杂状态空间模型；间歇过程的混杂状态空间模型由式(2)表示：

$\left\{\begin{array}{c}x(t+1,k)=A_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}x(t,k)+B_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}u(t,k)+w_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)\\ y(t,k)=C_{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}x(t,k)\\ \mathrm{\&sigma;}(t+1,k)=\mathrm{\&Omega;}\left(\mathrm{\&sigma;}\right(t,k),x(t,k))\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，k表示间歇过程所处批次，t代表间歇过程在批次内所处的运行时刻；T_k表示第k批次生产的总体运行时间；x(t,k)，u(t,k)，y(t,k)分别代表k批次t时刻的系统状态、系统输入、系统输出；σ(t,k)∈{1,2,...,p}代表间歇过程的切换信号，表示间歇过程在批次k的时刻t发生切换，具体的取值表示所处阶段，p表示间歇过程在一个批次内的阶段总数；A_σ(t,k)、B_σ(t,k)、C_σ(t,k)分别为相应于所处阶段状态空间模型的系统状态矩阵、控制矩阵、输出矩阵，均为已知适维矩阵；w_σ(t,k)(t,k)为未知外部扰动；Ω(·,·)表示相邻两阶段的状态转移函数；

多阶段间歇过程可以看做一个切换系统，每一个阶段对应一个子系统，当间歇过程运行至不同阶段，相应的子系统被激活，可将式(2)改写为式(3)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^i(t+1,k)=A^i{x}^i(t,k)+B^i{u}^i(t,k)\\ y^i(t,k)=C^i{x}^i(t,k)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，i表示间歇过程所处阶段，xⁱ(t,k)，uⁱ(t,k)，yⁱ(t,k)为阶段i所对应子系统的系统状态、控制输入、系统输出；Aⁱ,Bⁱ,Cⁱ分别表示阶段i所对应子系统状态空间模型中的系统矩阵、控制矩阵及输出矩阵；

步骤2：基于间歇过程的重复特性和二维特性，设计二维迭代学习控制器，并针对由式(2)表示的间歇过程的混杂状态空间模型构建间歇过程的二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；

步骤3：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，利用平均驻留时间方法，求出间歇过程中相邻阶段的总体最小运行时间；

平均驻留时间定义为，对一个切换序列，如果存在N₀>0及τ_a＞0，使成立，则称这个切换序列具有平均驻留时间τ_a，对于相邻两个阶段的切换系统来说，总的运行时间就是2*τ_a；其中N₀是用来制约切换频率的自然数；N_σ(T,t)表示在时间区间(t,T]内发生的切换次数。

2.根据权利要求1所述的多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法，其特征在于：所述的步骤2包括以下步骤：

步骤2.1：为解决由式(3)表示的间歇过程的控制问题，设计二维迭代学习控制器，如式(4)所示：

Σ_ilc:uⁱ(t,k)＝uⁱ(t,k-1)+rⁱ(t,k):                           (4)

其中uⁱ(t,k)表示批次k阶段i的控制器，uⁱ(t,0)为初始迭代控制器，设为0；rⁱ(t,k)是阶段i的迭代学习更新律， $r^i(t,k)=K_1^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+K_2^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1),$ 为控制器增益；

步骤2.2：利用所设计的二维迭代学习控制器，针对由式(2)表示的间歇过程的混杂状态空间模型构建其二维增广模型，进而得到间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型；

定义为批次k阶段i时刻t间歇过程的系统状态与前一批次k-1中时刻t的系统状态的误差，即状态误差，由式(5)表示；

$x_e^i(t,k)=x^i(t,k)-x^i(t,k-1)---\left(5\right)$

定义eⁱ(t,k)为批次k阶段i时刻t的间歇过程的系统输出实际值与系统输出设定值的误差，由式(6)表示；

$e^i(t,k)=y_r^i-y^i(t,k)---\left(6\right)$

其中，为阶段i系统输出的设定值；yⁱ(t,k)表示批次k中阶段i的系统输出；

将式(4)、(5)、(6)代入式(2)中，得到由式(7)表示的间歇过程阶段i的二维状态误差空间模型和由式(8)表示的二维输出误差空间模型；

$x_e^i(t+1,k)=A^i{x}_e^i(t,k)+B^i{r}^i(t,k)---\left(7\right)$

$e^i(t+1,k)=x_e^i(t+1,k-1)-C^i{A}^i{x}_e^i(t,k)+C^i{B}^i{r}^i(t,k)---\left(8\right)$

将式(7)与式(8)合并表示为矩阵形式，可得由式(9)表示的间歇过程的二维增广模型；

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{r}^i(t,k)---\left(9\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)=\left[\begin{array}{c}{x}_e^i(t+1,k)\\ e^i(t+1,k)\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i=\left[\begin{array}{cc}{A}^i& 0\\ -C^i{A}^i& 0\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& I^i\end{array}\right],{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\left[\begin{array}{c}{B}^i\\ C^i{B}^i\end{array}\right];$ Iⁱ为适维的单位矩阵；

将阶段i的迭代学习更新律rⁱ(t,k)的表达式带入式(8)可以得到间歇过程阶段i的二维闭环状态空间模型，由式(10a)表示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k)=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_1^i){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_2^i){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^i(t+1,k-1)\end{array}---\left(10a\right)$

其中， ${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_1^i),{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_2^i);$

将式(10a)表示成混杂模型形式，由下式(10b)表示；

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k)=({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_1^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{K}_2^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}){\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\\ ={\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t,k)+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}^{\mathrm{\&sigma;}(t,k)}(t+1,k-1)\end{array}---\left(10b\right)$

其中，σ(t,k)∈{1,2,...,p}。

步骤2.3：根据工业生产的实际要求确定不同维相邻阶段的切换条件，根据切换前后相邻阶段的系统状态可求出状态转移矩阵，由式(11)表示：

$x^{i+1}(T_k^i,k)=J_i{x}^i(T_k^i,k)---\left(11\right)$

其中，表示第k批次第i阶段的末时刻，同时也是阶段i到阶段i+1的切换时刻；为i阶段的状态；为i+1阶段的状态；J_i为间歇过程由阶段i至阶段i+1的状态转移矩阵；

步骤2.4：针对间歇过程的二维闭环混杂状态空间模型，确定与时间相关的切换序列；

定义满足不同维相邻阶段的切换条件的所有时刻中最小的时刻为阶段i的切换时刻由式(12)表示；

$T_k^i\widehat{=}min\{t>T_k^{i-1}|G_i\left(x\right(t,k)<0\left)\right\},T_k^0=0---\left(12\right)$

其中，表示k批次，i阶段到i+1阶段的切换时刻；G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)表示与系统状态x(t,k)相关的阶段i的切换条件，即随着过程的运行，当系统状态x(t,k)满足G_i(x(t,k))＜0，(i＝1,2,…,p)时，间歇过程发生切换；

根据切换时刻，确定二维切换序列，由式(13)表示：

$\begin{array}{c}\&Sigma;=\{(T_0^1,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^1,0),(T_0^2,0),\mathrm{\&sigma;}(T_0^2,0),\mathrm{...},(T_0^p,0),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_0^p,1),(T_1^1,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^1,1),\mathrm{...}\\ (T_1^p,1),\mathrm{\&sigma;}(T_1^p,2),\mathrm{...},(T_{k-1}^p,k-1),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_{k-1}^p,k),(T_k^1,k),\mathrm{\&sigma;}(T_k^1,k),\mathrm{...},(T_k^p,k),\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}(T_k^p,k+1)\mathrm{...}\}\end{array}---\left(13\right)$

其中，表示k-1批次与k批次之间的连接点。

3.根据权利要求1所述的多阶段间歇过程的最小运行时间控制方法，其特征在于：所述的步骤3包括以下步骤：

步骤3.1：将式(9)表示的间歇过程的二维增广模型转化为2D Rosser模型，由式(14)表示；

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h^i(t+1,k)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v^i(t,k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h^i(t,k)\\ {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v^i(t,k)\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，分别表示一个2D系统在两个维度上的状态分量；分别为适维的矩阵；

步骤3.2：对于间歇过程的各个阶段，选取分段李雅普诺夫函数 $V^i\left(x\right)={\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right),$ 设计 ${\mathrm{\&Delta;V}}^i={\left(x^{\&prime;}\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]x^{\&prime;}-\mathrm{\&eta;}{\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right)}^T\left[\begin{array}{cc}{P}^i& 0\\ 0& P^i\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x\right);$

其中，Vⁱ(x)表示对应第i个阶段的李雅普诺夫函数；Pⁱ为待求对应于第i阶段的正定矩阵； $x^{\&prime;}=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{1m}^i\\ {\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{2m}^i\end{array}\right]x;$ η为小于1的正数；I为适维单位矩阵；T表示矩阵转置；

步骤3.3：将式(14)和x'带入ΔVⁱ，可得式(15)，

${\mathrm{\&Delta;V}}^i=-x^T({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right])x---\left(15\right)$

其中 $x^T=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_h^{iT}(t,k)& {\stackrel{\&OverBar;}{x}}_v^{iT}(t,k)\end{array}\right];$

步骤3.4：令v＝N_σ(z,D)表示在时间区间(z,D)内的切换次数，则利用平均驻留时间技术得到间歇过程指数稳定，指数稳定形式如式(16)：

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)|{|}_D\&le;\sqrt{\frac{b}{a}{e}^{(\frac{\ln \mathrm{\&mu;}}{{\mathrm{\&tau;}}_a}+ln\mathrm{\&eta;})(D-z)}}|\left|\stackrel{\&OverBar;}{x}(t,k)\right|{|}_z---\left(16\right)$

其中， $a=\underset{i\&Element;(1,2,\mathrm{...},p)}{\min }{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(P^i\right),b=\underset{i\&Element;(1,2,\mathrm{...},p)}{\max }{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P^i\right);$ 分别表示在时刻D和时刻z的系统状态；μ≥1；当时，式(16)成立，即对具有平均驻留时间τ_a的切换序列，间歇过程具有指数稳定性；

步骤3.5：在求解控制器增益时，为使控制性能最优，选取如下成本函数

$\begin{array}{c}J=\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\&lsqb;x^T{\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]x+r^T(t,k)\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]r(t,k)\&rsqb;\\ =\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x\end{array}$

根据步骤3.3中得到的ΔVⁱ，有下式成立

$\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}\mathrm{\&Delta;}V\&le;-\underset{t=0}{\overset{N_1}{\&Sigma;}}\underset{k=0}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{x}^T\left({\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}^i& 0\\ 0& Q^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{R}^i& 0\\ 0& R^i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1^i\\ K_2^i\end{array}\right]\right)x$

其中，N₁,N₂均为趋于无穷的正整数；Qⁱ，Rⁱ为给定正定矩阵；

则正定矩阵Pⁱ及控制器增益满足如下所示的黎卡提方程和矩阵不等式；

$\left\{\begin{array}{c}{({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i)}^T{P}^i({\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i{K}_j^i)-{\mathrm{\&eta;P}}^i+Q^i+{\left(K_j^i\right)}^T{R}^i\left(K_j^i\right)=0,j=\{1,2\}\\ {\tilde{J}}_1^T{P}^1{\tilde{J}}_1\&le;{\mathrm{\&mu;P}}^2\end{array}\right.$

通过MATLAB进行黎卡提方程及矩阵不等式的求解，进而得到控制器增益 $K_j^i={(B^{\mathrm{iT}}{P}^i{B}^i+R^i)}^{-1}{B}^i{P}^i{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i$ 及Pⁱ，j＝{1，2}；

需要说明的是，上式中的黎卡提方程并非一个严格意义上的黎卡提方程，无法利用MATLAB直接进行黎卡提方程的求解；可以利用式Xⁱ＝ηPⁱ即用Xⁱ代替Pⁱ，可得控制器增益满足下式：

$\left\{\begin{array}{c}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)-X^i+Q^i\\ -{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right){({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)+R^i)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right)=0,j=1,2;\\ {\tilde{J}}_1^T{X}^1{\tilde{J}}_1\&le;{\mathrm{\&mu;X}}^2\end{array}\right.$

进而得到控制器增益为： $K_j^i={\left({\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\right(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i)+R^i)}^{-1}{\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{B}^i\right)}^T{X}^i\left(\sqrt{{\mathrm{\&eta;}}^{-1}}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_j^i\right),j=1,2.$