CN108446456A - 依赖故障恢复概率时滞间歇过程2d切换控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明设计了一种依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法，能根据故障发生与否灵活切换控制器类型。包括以下步骤：A、构建二维状态空间模型；B、将构建的二维状态空间模型转化为二维随机系统模型；C、根据构建的二维状态空间模型，设计出满足控制律的控制器；D、采用线性矩阵不等式的形式对控制器增益进行求解，并计算出依赖于概率的故障的平均驻留时间。本发明的有益效果为：针对具有时滞及故障的间歇过程，在故障发生与否满足一定概率的前提下，本发明设计了一种新型控制器，能根据故障发生与否灵活切换控制器类型；这种方法不仅能让系统无论处于怎样的故障概率下，都能够安全稳定运行，还节约了成本和原材料。

Description

依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法

技术领域

本发明属于工业过程的先进控制领域，尤其是针对一种存在时滞及执行器故障的间歇过程，在其故障发生与否满足一定概率条件下,提出一种依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法。

背景技术

间歇生产过程是以顺序的操作步骤进行批量产品生产的过程，广泛应用于精细化工、药品生产、生物制品、现代农业等领域。近年来，为适应多品种、多规格和高质量的市场要求，以及工业生产柔性化的趋势，间歇过程的控制问题受到了高度重视。由于间歇过程具有强非线性、滞后、时变和数学模型不确定等特征，其控制问题一直被认为是化工等行业中的一项极具挑战性的课题，尤其是时滞的存在，常常会导致系统不稳定，还会影响系统的性能，使其变差。然而，目前关于时滞的成果大多是基于1D系统的，基于2D系统的成果极少。

随着中国制造2025的提出，工业产品的需求量日益增加，自动控制系统的规模也逐步扩大、复杂性与日俱增。当生产设备长时间处在复杂的条件下运行时，故障发生的可能性也就随之增加，而系统一旦发生故障，不仅可能影响产品质量和生产效率，还可能会造成重大的财产损失和人员伤亡。从安全生产和经济效益综合考虑，当系统发生故障后，我们希望系统仍然是稳定的，并且尽量保证一定的控制性能，为了解决这一问题，学者们提出了一种以不变应万变的控制方法，即可靠控制的方法来保证系统的控制性能。

以注塑过程为例，系统的故障可分为执行器故障，传感器故障等几种，其中，执行器故障又分为部分失效故障，完全失效故障和卡死故障(本发明所提到的故障均为执行器故障)。由于故障的发生经常是随机的，注塑机在使用一段时间后管道可能会发生堵塞，出现部分失效故障，但在一定概率下，被堵塞的管道会被随后注入的原材料冲开并恢复正常，或者堵塞程度越来越严重，进而变为完全失效故障。当系统发生部分失效故障的概率极低时，使用可靠控制的方法虽然能够有效地保障系统的控制性能，但会造成资源的浪费，且当故障超出可靠控制允许范围时，系统将无法继续稳定运行；当系统发生的部分失效故障越来越严重，逐渐演变为完全失效故障时，管路可能完全被堵塞甚至发生爆炸，存在严重的安全隐患。目前针对以上问题的解决方案尚未出现，但从安全生产和节约成本的角度来看，解决这一问题迫在眉睫。

发明内容

为了最大限度的节约原材料，并保证系统平稳运行，使生产环境绝对安全，针对具有时滞的间歇过程，在故障发生与否满足一定概率的前提下，本发明设计了一种依赖故障恢复概率的时滞间歇过程2D切换控制器设计方法，能根据故障发生与否灵活切换控制器类型。当系统正常时，则使用普通控制器；当故障发生时，则将控制器切换至故障情况下的控制器，即可靠控制器；当管路发生严重堵塞，故障超出可靠控制允许范围，且在一定时间(此处的时间可通过计算得到，且算出的时间长短和故障发生与否的概率相关)内未恢复正常时，可靠控制器也无法保证良好的控制性能，此时，若设备依然处于运行状态，则管路可能会由于堵塞而出现爆炸等事故，从而造成严重的人员伤亡。因此，当故障在一定时间内无法恢复正常时，需要系统紧急停机，对堵塞部分进行疏通，而后再投入生产，以保证生产的绝对安全。

本发明是通过以下技术方案实现的：

依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法，包括以下步骤：

A、构建二维状态空间模型，考虑由如下形式表示的间歇过程：

其中，x(t,k)∈Rⁿ，u(t,k)∈R^m，y(t,k)∈R^l分别表示系统状态，系统控制输入及系统输出；t,k分别表示运行时刻与批次；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞，且时滞项d(t)在水平方向上满足：d_m≤d(t)≤d_M，其中，d_m和d_M分别代表着时滞的上下界，ω(t,k)表示外部干扰；{A,A_d,C,B}为适维常数矩阵；σ(·,·):Z₊×Z₊→{1,2,…}→{1,2}为一个与时间t和批次k都相关的切换信号，σ(·,k)＝i 表示系统在第i阶段的第k批次处于激活状态；是变化在一个已知的范围内的参数，满足：

在执行器发生故障，即时，系统实际输入u^F(t,k)将不等于u(t,k)，即 u^F(t,k)≠u(t,k)，系统实际输入表示为

B、将构建的二维状态空间模型转化为二维随机系统模型：

B1、设计随机系统的迭代学习控制律：首先根据间歇过程的重复特性，设计迭代学习控制律为：

其中，u(t,0)为迭代算法的初始值，是待设计的ILC的更新律；

B2、根据故障发生与否的概率将构建的二维状态空间模型转换为二维随机系统模型：间歇过程在当前时刻如果正常运行，则下一时刻可能正常运行也可能发生故障，若发生故障则会影响下一批次的运行，与连续过程不同，因此，对于间歇过程发生故障的概率描述如下：

当前时刻系统正常运行时，下一时刻系统的运行状态有两种，系统仍然正常运行，或者系统发生故障；在这里定义α是当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率；当前时刻系统发生故障的情况下，下一时刻系统的运行状态也有两种可能，系统故障恢复正常，或者系统依然故障，定义χ_i(i＝1,2)是当前时刻故障(χ₁为部分失效故障概率，χ₂为完全失效故障概率)，下一时刻正常的概率，则有：

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝0}＝α≤1 (4a)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝0}＝1-α≤1 (4b)

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝1}＝1-χ_i≤1 (4c)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝1}＝χ_i≤1 (4d)

其中，代表了故障的发生与否；

在控制器设计过程中，α和χ_i应给出精确值，但是在一些应用当中，获得它们的精确值是非常困难或者需要付出很大的代价，甚至它们完全是未知的，所以研究这类一般情况就显得很重要了；如果在α和χ_i中存在不确定性，那么我们将利用它们的估计值，其具体描述如下：

其中，和是上述两式的估计值，并且允许不确定性分别为ε∈[0,1]，δ_i∈[0,1]；

假设M，N分别为事件，由概率论可知，P(M|N)表示在事件N发生的条件下，事件M发生的概率，同理，式(4a)为当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率，用α表示；式(4b)和式(4a)为对立事件，所以发生概率用 1-α表示；式(4c)为当前时刻发生故障时，下一时刻发生故障的概率用χ_i表示；式(4d)和式(4c)为对立事件，所以发生概率用1-χ_i表示；

B3、结合构建的二维状态空间模型、设计的迭代学习控制律、二维随机系统模型、预定义的当前批次输出误差及预定义的当前批次状态误差得出等价二维随机系统模型：由于间歇过程是个二维的过程，在时间方向发生的故障会影响到批次的运行，每个批次发生故障与否，仅与上一时刻有关，与之前时刻均无关，用状态转移矩阵P表示时间上的变化，即：

其中，p₀₀＝1-α，p₀₁＝2α/3，p₀₂＝α/3，p₁₀＝χ₁，p₁₁＝0.95*(1-χ₁)， p₁₂＝0.05*(1-χ₁)，p₂₀＝χ₂，p₂₁＝0.05*(1-χ₂)，p₂₂＝0.95*(1-χ₂)；

因为每个批次有n步，则用n步转移矩阵P⁽ⁿ⁾表示批次间的变化：

P⁽ⁿ⁾＝Pⁿ (8)

根据Markov链极限定理可知，Markov链的n步转移概率有一个稳定的极限，为：

由于系统是否发生故障存在一定的概率，因此系统输入表示为：

C、根据构建的二维状态空间模型，设计出满足控制律的控制器：在系统存在随机故障且故障发生与否满足一定概率的情况下，设计一个控制律，使得过程的输出尽可能地跟踪一个给定的期望轨迹y_r(t)，定义：

δ(x(t,k))＝x(t,k)-x(t,k-1) (12)

其中，δ(x(t,k))代表变量x(t,k)沿k方向的误差；

针对上述模型，引入如下的2D-ILC的迭代更新律：

Δu(t,k)＝(1-γ(t,k))K₀X(t,k)+γ(t,k)K₁X(t,k) (13)

其中，K₀＝Y₀P₀,K₁＝Y₁P₁，K₀,K₁是待定的控制器增益，必须满足系统指数均方稳定；

那么，系统可表示如下：

其中，

如果时，存在常数δ＞0和0＜ρ＜1使得系统的解满足

则称，系统在切换信号σ(··,)下式指数均方稳定的，其中ρ称为衰减率；

D、采用线性矩阵不等式的形式对控制器增益进行求解，并计算出依赖于概率的故障的平均驻留时间：对使得下面的不等式成立的系统：

则系统对满足条件的任意切换信号是指数均方稳定的。

很显然，在求解不等式过程中，d_m和d_M的大小直接影响着我们能否求出控制器增益K，即能否设计出控制器。而概率的大小影响了控制器的切换与否以及设备能否继续正常运行。换句话说，我们设计的控制器依赖于时滞，系统的切换则依赖于故障发生与否的概率大小。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

针对具有时滞及故障的间歇过程，在故障发生与否满足一定概率的前提下，本发明设计了一种新型控制器，能根据故障发生与否灵活切换控制器类型。当系统正常时，则使用普通控制器；当故障发生时，则将控制器切换至故障情况下的控制器，即可靠控制器；当管路发生严重堵塞，故障超出可靠控制允许范围，且在一定时间(此处的时间可通过计算得到，且算出的时间长短和故障发生与否的概率相关)内未恢复正常时，可靠控制器也无法保证良好的控制性能，此时，若设备依然处于运行状态，则管路可能会由于堵塞而出现爆炸等事故，从而造成严重的人员伤亡。因此，当故障在一定时间内无法恢复正常时，需要系统紧急停机，对堵塞部分进行疏通，而后再投入生产，以保证生产的绝对安全。这种方法不仅能让系统无论处于怎样的故障概率下，都能够安全稳定运行，还节约了成本和原材料，符合绿色环保的新理念。

附图说明

图1为本发明的步骤流程图。

图2为本发明的步骤B的具体流程图。

图3为本发明的跟踪性能图。

图4为本发明的跟踪性能第38批次输出图。

图5为本发明的跟踪性能第43批次输出图。

图6为本发明的跟踪性能第113批次输出图。

图7为本发明的跟踪性能第136批次输出图。

图8为本发明的跟踪性能第181批次输出图。

图9为本发明的跟踪性能第192批次输出图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明。

依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法，包括以下步骤：

A、构建二维状态空间模型，考虑由如下形式表示的间歇过程：

其中，x(t,k)∈Rⁿ，u(t,k)∈R^m，y(t,k)∈R^l分别表示系统状态，系统控制输入及系统输出；t,k分别表示运行时刻与批次；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞，且时滞项d(t)在水平方向上满足：d_m≤d(t)≤d_M，其中，d_m和d_M分别代表着时滞的上下界，ω(t,k)表示外部干扰；{A,A_d,C,B}为适维常数矩阵；σ(·,·):Z₊×Z₊→{1,2,…}→{1,2}为一个与时间t和批次k都相关的切换信号，σ(·,k)＝i 表示系统在第i阶段的第k批次处于激活状态；是变化在一个已知的范围内的参数，满足：

在执行器发生故障，即时，系统实际输入u^F(t,k)将不等于u(t,k)，即 u^F(t,k)≠u(t,k)，系统实际输入表示为

B、将构建的二维状态空间模型转化为二维随机系统模型：

B1、设计随机系统的迭代学习控制律：首先根据间歇过程的重复特性，设计迭代学习控制律为：

其中，u(t,0)为迭代算法的初始值，是待设计的ILC的更新律；

B2、根据故障发生与否的概率将构建的二维状态空间模型转换为二维随机系统模型：间歇过程在当前时刻如果正常运行，则下一时刻可能正常运行也可能发生故障，若发生故障则会影响下一批次的运行，与连续过程不同，因此，对于间歇过程发生故障的概率描述如下：

当前时刻系统正常运行时，下一时刻系统的运行状态有两种，系统仍然正常运行，或者系统发生故障；在这里定义α是当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率；当前时刻系统发生故障的情况下，下一时刻系统的运行状态也有两种可能，系统故障恢复正常，或者系统依然故障，定义χ_i(i＝1,2)是当前时刻故障(χ₁为部分失效故障概率，χ₂为完全失效故障概率)，下一时刻正常的概率，则有：

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝0}＝α≤1 (4a)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝0}＝1-α≤1 (4b)

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝1}＝1-χ_i≤1 (4c)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝1}＝χ_i≤1 (4d)

其中，代表了故障的发生与否；

在控制器设计过程中，α和χ_i应给出精确值，但是在一些应用当中，获得它们的精确值是非常困难或者需要付出很大的代价，甚至它们完全是未知的，所以研究这类一般情况就显得很重要了；如果在α和χ_i中存在不确定性，那么我们将利用它们的估计值，其具体描述如下：

其中，和是上述两式的估计值，并且允许不确定性分别为ε∈[0,1]，δ_i∈[0,1]；

假设M，N分别为事件，由概率论可知，P(M|N)表示在事件N发生的条件下，事件M发生的概率，同理，式(4a)为当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率，用α表示；式(4b)和式(4a)为对立事件，所以发生概率用 1-α表示；式(4c)为当前时刻发生故障时，下一时刻发生故障的概率用χ_i表示；式(4d)和式(4c)为对立事件，所以发生概率用1-χ_i表示；

B3、结合构建的二维状态空间模型、设计的迭代学习控制律、二维随机系统模型、预定义的当前批次输出误差及预定义的当前批次状态误差得出等价二维随机系统模型：由于间歇过程是个二维的过程，在时间方向发生的故障会影响到批次的运行，每个批次发生故障与否，仅与上一时刻有关，与之前时刻均无关，用状态转移矩阵P表示时间上的变化，即：

其中，p₀₀＝1-α，p₀₁＝2α/3，p₀₂＝α/3，p₁₀＝χ₁，p₁₁＝0.95*(1-χ₁)， p₁₂＝0.05*(1-χ₁)，p₂₀＝χ₂，p₂₁＝0.05*(1-χ₂)，p₂₂＝0.95*(1-χ₂)；

因为每个批次有n步，则用n步转移矩阵P⁽ⁿ⁾表示批次间的变化：

P⁽ⁿ⁾＝Pⁿ (8)

根据Markov链极限定理可知，Markov链的n步转移概率有一个稳定的极限，为：

由于系统是否发生故障存在一定的概率，因此系统输入表示为：

C、根据构建的二维状态空间模型，设计出满足控制律的控制器：在系统存在随机故障且故障发生与否满足一定概率的情况下，设计一个控制律，使得过程的输出尽可能地跟踪一个给定的期望轨迹y_r(t)，定义：

δ(x(t,k))＝x(t,k)-x(t,k-1) (12)

其中，δ(x(t,k))代表变量x(t,k)沿k方向的误差；

针对上述模型，引入如下的2D-ILC的迭代更新律：

Δu(t,k)＝(1-γ(t,k))K₀X(t,k)+γ(t,k)K₁X(t,k) (13)

其中，K₀＝Y₀P₀,K₁＝Y₁P₁，K₀,K₁是待定的控制器增益，必须满足系统指数均方稳定；

那么，系统可表示如下：

其中，

如果时，存在常数δ＞0和0＜ρ＜1使得系统的解满足

则称，系统在切换信号σ(··,)下式指数均方稳定的，其中ρ称为衰减率；

D、采用线性矩阵不等式的形式对控制器增益进行求解，并计算出依赖于概率的故障的平均驻留时间：对使得下面的不等式成立的系统：

则系统对满足条件的任意切换信号是指数均方稳定的。

实施例

本发明的实验共进行200个批次，每个批次运行1000步。为评价控制效果，引入评价指标root-sum-squared-error(RSSE)：

系统运行过程中，故障发生与否、恢复与否均存在一定概率，而概率的大小取决于设备的精密程度，在故障发生概率为0.000001，故障恢复概率为0.04 时，实验结果如图3所示，从图中可以看出，系统在运行过程中，随机出现了几种不同程度的故障，且故障发生一段时间后跟踪性能均逐渐恢复。但是，跟踪性能的平稳并不意味着故障的消除，如图4，设备在第38批次发生故障，随后系统切换为可靠控制器，跟踪性能由差变好(第136批次与第38批次情况相似，不再赘述，输出曲线见图7)。然而故障并没有从根本上消除，运行至第43 批次时，故障再次发生，性能变差，输出曲线如图5所示。由此可见，因为闭环控制具有一定的鲁棒性，所以即使故障仍然存在，但在跟踪性能上也不会体现出来。由此会导致在系统发生部分失效故障时，故障可能恢复，也可能越发严重，甚至演变成完全失效故障。例如，当系统平稳运行至第113批次时，部分失效故障再次发生，尽管有可靠控制的掩盖，故障依然越发严重，逐渐演变为完全失效故障，即管道完全堵塞，形成如图6所示的振荡。第181批次、192批次也是如此，系统在部分失效故障与完全失效故障之间切换，多次反复，形成如图8、9所示的振荡，导致跟踪性能变得极差。尽管如此，在本专利所设计的切换信号满足限定的时间范围内，系统依然能够保证稳定运行。若完全失效故障不能及时恢复，或者说切换信号未能满足限定时间，则系统将会崩溃，可能造成重大的财产损失和人员伤亡，此时必须停机检查。

由于本次实验所设置的故障恢复概率较高，因此所发生的故障均在一定时间内能恢复正常，然而，针对精密程度较低的设备，故障发生概率较高，恢复正常概率较低，设备极有可能在故障发生一定时间内无法恢复正常，当系统检测到故障在一定时间内未恢复正常时，则会紧急停机，以防出现安全事故。

作为一个典型的复杂工业制造过程，注塑成型过程在我国制造业已经受到了越来越多的重视，对其生产出的产品质量要求也越来越高。注塑产品的质量包括了很多方面，不同的用户对质量的关注点各不相同。注塑产品的质量取决于材料参数、机器参数、过程参数以及这些参数的交互作用。这些质量指标是由加工过程中使用的材料、模具以及过程参数的控制精度所共同决定的。同时，注塑过程中不同环节都存在着各种干扰因素。

注塑过程注射阶段的注射速度，保压阶段中的保压压力，塑化阶段中的熔体温度是控制产品质量的关键过程变量，所以必须对这些参数进行稳定和准确的控制，从而确保生产的产品质量以及生产的绝对安全。

保压阶段为注塑过程中决定产品质量的重要阶段，保压压力的控制早已引起塑料工业界和相关研究人员的重视。尽管大量的研究工作已经证明了保压压力的重要性，但针对这一阶段的研究仍然相对较少，原因在于一方面保压分析需要充模分析的结果作为初始条件，另一方面则是因为对保压阶段进行深入研究必须考虑熔体的可压缩性，需要考虑更多的物性参数，使问题变得更加复杂。

在注塑过程中，虽然可以通过可靠控制的方法使系统对部分失效故障有所免疫，但是这种方法却并不适用于所有设备，尤其是高精密程度较高的设备。这类设备故障发生概率极低，使用可靠控制会造成大量的资源浪费；其次，部分失效故障在一段时间内如果没有恢复，则可能逐渐演变成完全失效故障，造成管路的堵塞，甚至爆炸，存在严重的安全隐患。因此，解决这一问题无论从绿色节能的角度还是安全生产的角度来说都至关重要。

以注塑成型过程保压段的喷嘴压力控制律设计为例，验证本发明所提出的控制方法的有效性。实验结果表明系统即使发生部分失效故障或者完全失效故障，无论发生故障的概率高低，利用本发明设计的基于不同故障概率下的更新律，都能使闭环系统在最稳定的条件下运行且具有良好的控制性能。这种方法的提出，从长远来看，可以为设计节能减耗的控制律提供技术支持。

保压段模腔压力的状态空间模型为：

通过MATLAB求得到控制器增益为：

Claims (1)

1.依赖故障恢复概率时滞间歇过程2D切换控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

A、构建二维状态空间模型，考虑由如下形式表示的间歇过程：

其中，x(t,k)∈Rⁿ，u(t,k)∈R^m，y(t,k)∈R^l分别表示系统状态，系统控制输入及系统输出；t,k分别表示运行时刻与批次；d(t)代表沿时间t方向的状态时滞，且时滞项d(t)在水平方向上满足：d_m≤d(t)≤d_M，其中，d_m和d_M分别代表着时滞的上下界，ω(t,k)表示外部干扰；{A,A_d,C,B}为适维常数矩阵；σ(·,·):Z₊×Z₊→{1,2,…}→{1,2}为一个与时间t和批次k都相关的切换信号，σ(·,k)＝i表示系统在第i阶段的第k批次处于激活状态；是变化在一个已知的范围内的参数，满足：

在执行器发生故障，即时，系统实际输入u^F(t,k)将不等于u(t,k)，即u^F(t,k)≠u(t,k)，系统实际输入表示为

B、将构建的二维状态空间模型转化为二维随机系统模型：

B1、设计随机系统的迭代学习控制律：首先根据间歇过程的重复特性，设计迭代学习控制律为：

其中，u(t,0)为迭代算法的初始值，是待设计的ILC的更新律；

B2、根据故障发生与否的概率将构建的二维状态空间模型转换为二维随机系统模型：间歇过程在当前时刻如果正常运行，则下一时刻可能正常运行也可能发生故障，若发生故障则会影响下一批次的运行，与连续过程不同，因此，对于间歇过程发生故障的概率描述如下：

当前时刻系统正常运行时，下一时刻系统的运行状态有两种，系统仍然正常运行，或者系统发生故障；在这里定义α是当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率；当前时刻系统发生故障的情况下，下一时刻系统的运行状态也有两种可能，系统故障恢复正常，或者系统依然故障，定义χ_i(i＝1,2)是当前时刻故障，χ₁为部分失效故障概率，χ₂为完全失效故障概率，下一时刻正常的概率，则有：

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝0}＝α≤1 (4a)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝0}＝1-α≤1 (4b)

0≤P{γ(t+1,k)＝1|γ(t,k)＝1}＝1-χ_i≤1 (4c)

0≤P{γ(t+1,k)＝0|γ(t,k)＝1}＝χ_i≤1 (4d)

其中，代表了故障的发生与否；

在控制器设计过程中，α和χ_i应给出精确值，但是在一些应用当中，获得它们的精确值是非常困难或者需要付出很大的代价，甚至它们完全是未知的，所以研究这类一般情况就显得很重要了；如果在α和χ_i中存在不确定性，那么我们将利用它们的估计值，其具体描述如下：

其中，和是上述两式的估计值，并且允许不确定性分别为ε∈[0,1]，δ_i∈[0,1]；

假设M，N分别为事件，由概率论可知，P(M|N)表示在事件N发生的条件下，事件M发生的概率，同理，式(4a)为当前时刻正常的情况下，下一时刻发生故障的概率，用α表示；式(4b)和式(4a)为对立事件，所以发生概率用1-α表示；式(4c)为当前时刻发生故障时，下一时刻发生故障的概率用χ_i表示；式(4d)和式(4c)为对立事件，所以发生概率用1-χ_i表示；

B3、结合构建的二维状态空间模型、设计的迭代学习控制律、二维随机系统模型、预定义的当前批次输出误差及预定义的当前批次状态误差得出等价二维随机系统模型：由于间歇过程是个二维的过程，在时间方向发生的故障会影响到批次的运行，每个批次发生故障与否，仅与上一时刻有关，与之前时刻均无关，用状态转移矩阵P表示时间上的变化，即：

其中，p₀₀＝1-α，p₀₁＝2α/3，p₀₂＝α/3，p₁₀＝χ₁，p₁₁＝0.95*(1-χ₁)，p₁₂＝0.05*(1-χ₁)，p₂₀＝χ₂，p₂₁＝0.05*(1-χ₂)，p₂₂＝0.95*(1-χ₂)；

因为每个批次有n步，则用n步转移矩阵P⁽ⁿ⁾表示批次间的变化：

P⁽ⁿ⁾＝Pⁿ (8)

根据Markov链极限定理可知，Markov链的n步转移概率有一个稳定的极限，为：

由于系统是否发生故障存在一定的概率，因此系统输入表示为：

C、根据构建的二维状态空间模型，设计出满足控制律的控制器：在系统存在随机故障且故障发生与否满足一定概率的情况下，设计一个控制律，使得过程的输出尽可能地跟踪一个给定的期望轨迹y_r(t)，定义：

δ(x(t,k))＝x(t,k)-x(t,k-1) (12)

其中，δ(x(t,k))代表变量x(t,k)沿k方向的误差；

针对上述模型，引入如下的2D-ILC的迭代更新律：

Δu(t,k)＝(1-γ(t,k))K₀X(t,k)+γ(t,k)K₁X(t,k) (13)

其中，K₀＝Y₀P₀,K₁＝Y₁P₁，K₀,K₁是待定的控制器增益，必须满足系统指数均方稳定；

那么，系统可表示如下：

其中，

如果时，存在常数δ＞0和0＜ρ＜1使得系统的解满足

则称，系统在切换信号下式指数均方稳定的，其中ρ称为衰减率；

D、采用线性矩阵不等式的形式对控制器增益进行求解，并计算出依赖于概率的故障的平均驻留时间：对使得下面的不等式成立的系统：

则系统对满足条件的任意切换信号是指数均方稳定的。