CN105182741A - 一种无超调的分数阶时变滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，涉及时变滑模控制方法，属于控制技术领域。本发明包括如下步骤：建立分数阶不确定系统的动态模型；设计分数阶时变滑模控制律，使系统快速响应无超调；将步骤2得到的控制量u作为指令输入分数阶不确定系统的动态模型，对其进行控制；同时系统状态作为分数阶时变滑模控制器的输入，重复步骤1至步骤2，从而使得跟踪误差收敛到0值附近。本发明将整数阶系统的特征比配置方法推广到分数阶系统，通过确定特征比实现系统响应无超调，并且系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，增强了系统的鲁棒性，此外，本发明通过单独调节时间常数可以改变系统的响应速率而不改变系统的超调量。

Description

一种无超调的分数阶时变滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种时变滑模控制方法，尤其涉及一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，属于控制技术领域。

背景技术

滑模控制具有全局收敛，易实现，对外部扰动强鲁棒，对参数变化和模型误差不敏感的特点，这使得它广泛应用在非线性控制中。滑模控制通过控制器的输出使得系统状态沿着滑模面收敛到平衡点。控制过程可以分为到达段和滑动段。到达段鲁棒性差，而滑动段存在高频抖振。这是滑模控制存在的两大缺点。滑模控制广泛应用于各种非线性系统：电机伺服控制，飞行器姿态控制等。那么如何确定滑模面的参数呢？其中一个方法就是特征比配置。首先设计一个具有无超调阶跃响应的全极点系统。然后，通过调整时间常数，选取最合适的速度响应。这样，将幅值和时间分开设计，就可以得到一个快速响应的最小超调系统。

学者Naslin在19世纪60年代开始研究这类问题。Lipatov和Sokolov通过特征比的形式给出了一类全极点系统稳定与不稳定的充分条件。在过去的二十年里，为了得到特定的阶跃响应，引入了许多种可以确定特征比的方法。例如有学者提出了系数框图法，通过确定特征比来得到期望的稳定性与鲁棒性。也有学者通过Butterworth滤波器来提出一种新的特征比给定方法。

然而，随着分数阶运算的出现，分数阶滑模控制逐渐引起了学者的兴趣。分数阶运算起源于17世纪。它是由整数阶运算到非整数阶运算的一种推广。但是，由于当时缺乏物理背景，“分数阶”长期作为数学领域的一个纯理论问题进行研究，没有引起工程界的广泛的关注。近些年，人们发现用整数阶模型不能很好地描述一些具有粘弹性、扩散性等特性的系统的动态行为。由于分数阶微积分算子具有记忆性，能够更好地描述系统的本质特性，在电解质、电磁波、热传递、电化学、机器人等系统中得到了广泛的应用。因此，如何确定分数阶滑模面的参数，进而使系统响应无超调，并且可调节系统响应速率是亟待解决的技术问题。

发明内容

本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，要解决的技术问题是提出分数阶时变滑模面参数给定方法，进而使系统响应无超调，并且可调节系统相应速率。所述的响应无超调指响应超调量控制在2％以内。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，将整数阶系统的特征比配置方法推广到分数阶系统，通过确定特征比实现系统响应无超调，并且可以通过改变时间常数来改变系统的响应速率，实现无超调的分数阶时变滑模控制。

本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，具体包括如下步骤：

步骤1，建立分数阶不确定系统的动态模型。

D^cx＝f(x)+g(x)u+du(1)

式中，x为系统状态，f(x)和g(x)≠0为关于x的光滑非线性函数，du为系统受到的外部聚合干扰，并且外部聚合干扰有界|du|≤du_max。D为微分算子。c为正数。u为系统控制输入。系统的参考轨迹为x_d。

步骤2，设计分数阶时变滑模控制律，使系统快速响应无超调。

设计分数阶时变滑模控制律，使系统状态从任意初始值出发，能够跟踪上参考轨迹，系统状态跟踪误差能够收敛到0。即

步骤2.1：设计分数阶时变滑模面，给定分数阶时变滑模面参数。

在整数阶系统中，特征比决定了它的阶跃响应的超调量。具有相同特征比的系统的暂态响应具有相同的超调量。其中时间常数仅仅能够调整响应的速率，而不会改变超调量。

定义一个分数阶系统具有如下的形式：

$M=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{s}^{(n-1)v}+...+a_0}---\left(2\right)$

如果y(t)是系统的响应，那么y(ζt)是y(t)的成比例放大，与y(t)具有相同的超调量，只是响应速率有ζ的放大。

如果系统(2)的阶跃响应为y(t)，那么y(ζt)将会是下面系统的阶跃响应为：

$\tilde{M}\left(s\right)=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{\mathrm{\ζ}}^v{s}^{(n-1)v}+\mathrm{...}+a_1{\mathrm{\ζ}}^{(n-1)v}{s}^v+{\mathrm{\ζ}}^{nv}{a}_0}---\left(3\right)$

对于系统(2)，特征比α_k(k＝1,...,n-1)和时间常数τ的分别如下所示：

${\mathrm{\α}}_k=\frac{{\mathrm{\α}}_k^2}{{\mathrm{\α}}_{k+1}{\mathrm{\α}}_{k-1}},k=1,\mathrm{...},n-1,$

$\mathrm{\τ}={\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(4\right)$

对于系统(3)，具有和系统(2)相同的超调量，特征比α_k(k＝1,...,n-1)和时间常数τ的分别如下所示：

${\mathrm{\α}}_k=\frac{{\left({\mathrm{\α}}_k{\mathrm{\ζ}}^{(n-k)v}\right)}^2}{{\mathrm{\α}}_{k-1}{\mathrm{\ζ}}^{(n-k+1)v}{\mathrm{\α}}_{k+1}{\mathrm{\ζ}}^{(n-k-1)v}}=\frac{{\mathrm{\α}}_k^2}{{\mathrm{\α}}_{k+1}{\mathrm{\α}}_{k-1}},k=1,\mathrm{...},n-1,$

$\mathrm{\τ}={\left(\frac{{\mathrm{\ζ}}^{(n-1)v}{a}_1}{{\mathrm{\ζ}}^{nv}{a}_0}\right)}^{\frac{1}{v}}=\frac{1}{\mathrm{\ζ}}{\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(5\right)$

由上可知，可以通过改变特征比来改变系统的超调量，并且通过改变时间常数来改变系统的响应速率。

利帕托夫和索科洛夫通过特征比给出了整数阶系统稳定的充分条件C₁、C₂。这些条件是：

$C_1:\sqrt{{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\α}}_{i+1}}>1.4656,i=1,2,\mathrm{...},n-2$

$C_2:{\mathrm{\α}}_i\≥1.1237(\frac{1}{{\mathrm{\α}}_{i-1}}+\frac{1}{{\mathrm{\α}}_{i+1}}),i=1,2,\mathrm{...},n-2$

为了满足充分条件C₁、C₂，选择系统中的特征比为：

${\mathrm{\α}}_i=\left\{\begin{array}{cc}-2\mathrm{\β}\cos \left(\mathrm{\π}v\right),& if:=2k+1,\\ \frac{-2}{\mathrm{\β}\cos \left(\mathrm{\π}v\right)},& if:=2k,k\∈N\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，0<β≤1，N是自然数。

得到了一个稳定的分数阶系统，然而，为了使系统阶跃响应的超调量最小，就还需要调节参数β的值。对于大部分系统，行业内约定2％以内的超调量为无超调。为了找到合适的β，对不同条件下的n测试，对于不同的v，都有唯一的β与之对应，使系统的超调量为2％。通过对β和v的逼近拟合可以得到β和v的关系式。

β＝41.26v³-109v²+96.18v-26.9(7)

通过式(7)可以得到最终的分数阶时变滑模面：

S＝k_nD^nve+k_n-1D^(n-1)ve+…+k₁D^ve+k₀e+Aexp(-Bt)(8)

其中，e＝x-x_d为系统状态跟踪误差，0<c-nv≤1，Aexp(-Bt)为时变项，并令A＝-k_nD^nve(0)-k_n-1D^(n-1)ve(0)-…-k₁D^ve(0)-k₀e(0)，可得S(0)＝0，使系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，可增强控制系统的鲁棒性。k₀,k₁,...,k_n为待定系数，k₀,k₁,...,k_n的特征比的满足式(6)，(7)。通过工程控制需要确定时间常数，结合特征比即可反推出分数阶时变滑模面参数。

步骤2.2，根据步骤2.1设计的分数阶时变滑模面，确定求解得到分数阶时变滑模控制量。

由分数阶滑模面(8)设计控制率为：

$\begin{array}{c}u=g^{-1}\left(x\right)\&lsqb;-f\left(x\right)+D^c{x}_d-k_n^{-1}(k_{n-1}{D}^{c-v}e+\mathrm{...}+k_1{D}^{c-nv+v}e+k_0{D}^{c-nv}e-AB\exp (-Bt))\\ -\mathrm{\&eta;}S\&rsqb;\end{array}---\left(9\right)$

式中，η>0为切换增益，并且有η>du_max。

对S求取c-nv阶导数有：

D^c-nvS＝(k_nD^ce+k_n-1D^c-ve+…+k₁D^c-nv+ve+k₀D^c-nve-ABexp(-Bt))

＝k_n(f(x)+g(x)u+du-D^cx_d)+k_n-1D^c-ve+…+k₁D^c-nv+ve+k₀D^c-nve-ABexp(-Bt)

＝k_n(-ηS+du)

由于S(0)＝0，可知故分数阶时变滑模面有界，并且从一开始就保持在内，系统状态全局收敛，可增强系统的鲁棒性。

步骤3，将步骤2得到的控制量u作为指令输入分数阶不确定系统的动态模型，对其进行控制；同时将分数阶不确定系统的动态模型的系统状态作为分数阶时变滑模控制器的输入，重复步骤1至步骤2，从而使得跟踪误差收敛到0值附近。

有益效果

1、本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，将整数阶系统的特征比配置方法推广到分数阶系统，通过确定特征比实现系统响应无超调。并且系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，增强了系统的鲁棒性。

2、本发明公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，分数阶系统状态响应速率可以通过单独调节时间常数可以改变系统的响应速率而不改变系统的超调量。时间常数越大，响应速率越慢。

附图说明

图1为本发明分数阶时变滑模控制方法的流程图；

图2为本发明分数阶时变滑模控制方法的结构图；

图3为本实施例的用MATLABcurvefittingtools(CFTOOL)逼近结果图；

图4为具体实施方式中加扰动时，分数阶时变滑模控制器控制时的位置跟踪曲线图；

图5为具体实施方式中加扰动时，分数阶时变滑模控制器控制时的滑模面和控制量曲线图；

图6为具体实施方式中加扰动时，分数阶时变滑模控制器控制时的系统在不同的τ值下的位置跟踪曲线图；

图7为具体实施方式中加扰动时，采用边界层消抖技术的传统滑模控制器控制时的位置跟踪曲线图；

图8为具体实施方式中加扰动时，采用边界层消抖技术的传统滑模控制器控制时的滑模面和控制量曲线图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细的说明

实施例1：

考虑系统：

D²x＝u+du

令滑模面系数n＝2,v＝0.8，控制器参数η＝50000，系统的初始状态为x＝0，系统的跟踪指令为x_d＝1，被控对象所受扰动参数为du＝2*cos(5t)+sin(2.5t)。时变项A＝-1，B＝10。

本实施例公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，具体包括如下步骤：

步骤1，建立分数阶不确定系统的动态模型。

D²x＝f(x)+g(x)u+du(1)

式中，x为系统状态，f(x)和g(x)≠0为关于x的光滑非线性函数，du为系统受到的外部聚合干扰，并且外部聚合干扰有界|du|≤du_max。D为微分算子。u为系统控制输入。系统的参考轨迹为x_d。

步骤2，设计分数阶时变滑模控制律，使系统快速响应无超调。

设计分数阶时变滑模控制律，使系统状态从任意初始值出发，能够跟踪上参考轨迹，系统状态跟踪误差能够收敛到0。即

步骤2.1：设计分数阶时变滑模面，给定分数阶时变滑模面参数。

在整数阶系统中，特征比决定了它的阶跃响应的超调量。具有相同特征比的系统的暂态响应具有相同的超调量。其中的时间常数仅仅能够调整响应的速率，而不会改变超调量。

定义一个分数阶系统具有如下的形式：

$M=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{s}^{(n-1)v}+...+a_0}---\left(2\right)$

如果y(t)是系统的响应，那么y(ζt)是y(t)的成比例放大，与y(t)具有相同的超调量，只是响应速率有ζ的放大。

如果系统(2)的阶跃响应为y(t)，那么y(ζt)将会是下面系统的阶跃响应为：

$\tilde{M}\left(s\right)=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{\mathrm{\&zeta;}}^v{s}^{(n-1)v}+\mathrm{...}+a_1{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-1)v}{s}^v+{\mathrm{\&zeta;}}^{nv}{a}_0}---\left(3\right)$

对于系统(2)，特征比α_k(k＝1,...,n-1)和时间常数τ的分别如下所示：

${\mathrm{\&alpha;}}_k=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_k^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}},k=1,\mathrm{...},n-1,$

$\mathrm{\&tau;}={\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(4\right)$

对于系统(3)，具有和系统(2)相同的超调量，特征比α_k(k＝1,...,n-1)和时间常数τ的分别如下所示：

${\mathrm{\&alpha;}}_k=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_k{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k)v}\right)}^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k+1)v}{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k-1)v}}=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_k^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}},k=1,\mathrm{...},n-1,$

$\mathrm{\&tau;}={\left(\frac{{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-1)v}{a}_1}{{\mathrm{\&zeta;}}^{nv}{a}_0}\right)}^{\frac{1}{v}}=\frac{1}{\mathrm{\&zeta;}}{\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(5\right)$

由上可知，可以通过改变特征比来改变系统的超调量，并且通过改变时间常数来改变系统的响应速率。

利帕托夫和索科洛夫通过特征比给出了整数阶系统稳定的充分条件C₁、C₂。这些条件是：

$C_1:\sqrt{{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_{i+1}}>1.4656,i=1,2,\mathrm{...},n-2$

$C_2:{\mathrm{\&alpha;}}_i\&GreaterEqual;1.1237(\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}+\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_{i+1}}),i=1,2,\mathrm{...},n-2$

为了满足充分条件C₁、C₂，选择系统中的特征比为：

${\mathrm{\&alpha;}}_i=\left\{\begin{array}{cc}-2\mathrm{\&beta;}\cos \left(\mathrm{\&pi;}v\right),& if:=2k+1,\\ \frac{-2}{\mathrm{\&beta;}\cos \left(\mathrm{\&pi;}v\right)},& if:=2k,k\&Element;N\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，0<β≤1，N是自然数。

得到了一个稳定的分数阶系统，然而，为了使系统阶跃响应的超调量最小，就还需要调节参数β的值。对于大部分系统，行业内约定2％以内的超调量为无超调。为了找到合适的β，对不同条件下的n测试，对于不同的v，都有唯一的β与之对应，使系统的超调量为2％。通过对β和v的逼近拟合可以得到β和v的关系式。

β＝41.26v³-109v²+96.18v-26.9(7)

通过式(7)可以得到最终的分数阶时变滑模面：

S＝k₂D^1.6e+k₁D^0.8e+k₀e+Aexp(-Bt)(8)

其中，e＝x-x_d为系统状态跟踪误差，0<c-nv≤1，Aexp(-Bt)为时变项，并令A＝-k₂D^1.6e(0)-k₁D^0.8e(0)-k₀e(0)，可得S(0)＝0，使系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，可增强控制系统的鲁棒性。k₀,k₁,k₂为待定系数，k₀,k₁,k₂的特征比的满足式(6)，(7)。通过工程控制需要确定时间常数，结合特征比即可反推出分数阶时变滑模面参数。

步骤2.2，根据步骤2.1设计的分数阶时变滑模面，确定求解得到分数阶时变滑模控制量。

由分数阶滑模面(8)设计控制率为：

$u=g^{-1}\left(x\right)\&lsqb;-f\left(x\right)+D^2{x}_d-k_2^{-1}(k_1{D}^{1.2}e+k_0{D}^{0.4}e-AB\exp (-Bt))-\mathrm{\&eta;}S\&rsqb;---\left(9\right)$

式中，η>0为切换增益，并且有η>du_max。

对S求取c-nv阶导数有：

D^c-nvS＝(k₂D²e+k₁D^1.2e+k₀D^0.4e-ABexp(-Bt))

＝k₂(f(x)+g(x)u+du-D²x_d)+k₁D^1.2e+k₀D^0.4e-ABexp(-Bt)

＝k_n(-ηS+du)

由于S(0)＝0，可知故分数阶时变滑模面有界，并且从一开始就保持在内，系统状态全局收敛，可增强系统的鲁棒性。

步骤3，将步骤2得到的控制量u作为指令输入分数阶不确定系统的动态模型，对其进行控制；同时将分数阶不确定系统的动态模型的系统状态作为分数阶时变滑模控制器的输入，重复步骤1至步骤2，从而使得跟踪误差收敛到0值附近。

通过将本实施例公开的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法给出的控制结果与采用边界层技术的传统滑模控制结果进行对比，说明本实施例的优点。

针对不同情况对该发明的有效性进行验证。首先，验证该发明提出的控制律能够使得系统跟踪误差能够无超调快速响应，并且系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，可增强控制系统的鲁棒性；然后，验证该发明提出的单独调节时间常数可以改变系统的响应速率而不改变系统的超调量，时间常数越大，跟踪速度越慢。

①验证本实施例的一种分数阶时变滑模姿态控制方法能够通过确定特征比实现系统响应无超调。

图4给出了存在外部扰动时使用本实施例的一种分数阶时变滑模姿态控制方法的系统状态跟踪曲线图。系统状态误差收敛，并且有2％的超调量。图7给出了存在外部扰动时使用传统整数阶滑模控制并采用边界层消抖技术方法的系统状态跟踪曲线图。系统状态误差收敛无超调。对比图4，7表明本发明提出的分数阶时变滑模控制方法与传统时变滑模方法相比，能够使得系统跟踪误差能够无超调快速响应。图5分别给出了存在外部扰动时使用本实施例的一种分数阶时变滑模姿态控制方法的系统滑模面和控制量曲线图。系统状态能够从一开始就保持在滑模面上，控制量无抖振。图8给出了存在外部扰动时使用传统整数阶滑模控制并采用边界层消抖技术方法的系统滑模面和控制量曲线图。系统状态分为到达段与滑动段，到达段不收敛，系统状态不一定收敛。控制量由于采用边界层消抖技术，无抖振现象。由此表明该发明提出的控制律能够使得系统跟踪误差能够无超调快速响应，并且系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，控制量光滑无抖振。

②验证本实施例的一种分数阶时变滑模姿态控制方法可以通过单独调节时间常数可以改变系统的响应速率而不改变系统的超调量。

图6给出了存在外部扰动时使用本实施例的一种分数阶时变滑模姿态控制方法的系统在不同的时间常数τ(τ＝1,3,5)下的位置跟踪曲线图。随着时间常数τ的增大，系统的响应速率变慢。由此表明本发明提出的分数阶时变滑模控制方法与传统时变滑模方法相比，能够单独调节时间常数可以改变系统的响应速率而不改变系统的超调量，时间常数越大，响应速率越慢。

本发明保护范围不仅局限于实施例，实施例用于解释本发明，凡与本发明在相同原理和构思条件下的变更或修改均在本法民公开保护范围之内。

Claims (4)

1.一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，其特征在于：将整数阶系统的特征比配置方法推广到分数阶系统，通过确定特征比实现系统响应无超调，并且通过改变时间常数来改变系统的响应速率，实现无超调的分数阶时变滑模控制。

2.一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤1，建立分数阶不确定系统的动态模型；

D^cx＝f(x)+g(x)u+du(1)

式中，x为系统状态，f(x)和g(x)≠0为关于x的光滑非线性函数，du为系统受到的外部聚合干扰，并且外部聚合干扰有界|du|≤du_max；D为微分算子；c为正数；u为系统控制输入；系统的参考轨迹为x_d；

步骤2，设计分数阶时变滑模控制律，使系统快速响应无超调；

步骤3，将步骤2得到的控制量u作为指令输入分数阶不确定系统的动态模型，对其进行控制；同时将分数阶不确定系统的动态模型的系统状态作为分数阶时变滑模控制器的输入，重复步骤1至步骤2，从而使得跟踪误差收敛到0值附近。

3.根据权利要求2所述的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，其特征在于：所述的步骤2实现方法包括步骤2.1、2.2，

设计分数阶时变滑模控制律，使系统状态从任意初始值出发，能够跟踪上参考轨迹，系统状态跟踪误差能够收敛到0，即

步骤2.1：设计分数阶时变滑模面，给定分数阶时变滑模面参数；

在整数阶系统中，特征比决定了阶跃响应的超调量；具有相同特征比的系统的暂态响应具有相同的超调量；其中时间常数仅仅能够调整响应的速率，而不会改变超调量。

定义分数阶系统具有如下的形式，

$M=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{s}^{(n-1)v}+...+a_0}---\left(2\right)$

如果y(t)是系统的响应，那么y(ζt)是y(t)的成比例放大，与y(t)具有相同的超调量，只是响应速率有ζ的放大；

如果系统(2)的阶跃响应为y(t)，那么y(ζt)将会是下面系统的阶跃响应为，

$\tilde{M}\left(s\right)=\frac{a_0}{a_n{s}^{nv}+a_{n-1}{\mathrm{\&zeta;}}^v{s}^{(n-1)v}+...+a_1{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-1)v}{s}^v+{\mathrm{\&zeta;}}^{nv}{a}_0}---\left(3\right)$

对于系统(2)，特征比α_k(k＝1,…,n-1)和时间常数τ的分别如下所示，

${\mathrm{\&alpha;}}_k=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_k^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}},k=1,...,n-1,$

$\mathrm{\&tau;}={\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(4\right)$

对于系统(3)，具有和系统(2)相同的超调量，特征比α_k(k＝1,…,n-1)和时间常数τ的分别如下所示，

${\mathrm{\&alpha;}}_k=\frac{{\left({\mathrm{\&alpha;}}_k{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k)v}\right)}^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k+1)v}{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-k-1)v}}=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_k^2}{{\mathrm{\&alpha;}}_{k+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{k-1}},k=1,...,n-1,$

$\mathrm{\&tau;}={\left(\frac{{\mathrm{\&zeta;}}^{(n-1)v}{a}_1}{{\mathrm{\&zeta;}}^{nv}{a}_0}\right)}^{\frac{1}{v}}=\frac{1}{\mathrm{\&zeta;}}{\left(\frac{a_1}{a_0}\right)}^{\frac{1}{v}}---\left(5\right)$

由上可知，通过改变特征比来改变系统的超调量，并且通过改变时间常数来改变系统的响应速率。

利帕托夫和索科洛夫通过特征比给出了整数阶系统稳定的充分条件C₁、C₂，

$C_1:\sqrt{{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_{i+1}}>1.4656,i=1,2,...,n-2$

$C_2:{\mathrm{\&alpha;}}_i\&GreaterEqual;1.1237(\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}+\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_{i+1}}),i=1,2,...,n-2$

为了满足充分条件C₁、C₂，选择系统中的特征比为，

${\mathrm{\&alpha;}}_i=\left\{\begin{array}{ccc}-2\mathrm{\&beta;}cos\left(\mathrm{\&pi;}v\right),& if& :i=2k+1,\\ \frac{-2}{\mathrm{\&beta;}cos\left(\mathrm{\&pi;}v\right)},& if& :i=2k,k\&Element;N\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，0<β≤1，N是自然数；

为了使系统阶跃响应的超调量最小，就还需要调节参数β的值；通过对β和v的逼近拟合可以得到β和v的关系式，

β＝41.26v³-109v²+96.18v-26.9(7)

通过式(7)得到最终的分数阶时变滑模面：

S＝k_nD^nve+k_n-1D^(n-1)ve+…+k₁D_ve+k₀e+Aexp(-Bt)(8)

其中，e＝x-x_d为系统状态跟踪误差，0<c-nv≤1，Aexp(-Bt)为时变项，并令A＝-k_nD^nve(0)-k_n-1D^(n-1)ve(0)-…-k₁D^ve(0)-k₀e(0)，可得S(0)＝0，使系统状态从初始时刻就保持在滑模面上，增强控制系统的鲁棒性；k₀,k₁,…,k_n为待定系数，k₀,k₁,…,k_n的特征比的满足式(6)，(7)；通过工程控制需要确定时间常数，结合特征比即可反推出分数阶时变滑模面参数；

步骤2.2，根据步骤2.1设计的分数阶时变滑模面，确定求解得到分数阶时变滑模控制量；

由分数阶滑模面(8)设计控制率为，

$\begin{array}{c}u=g^{-1}\left(x\right)\&lsqb;-f\left(x\right)+D^c{x}_d-k_n^{-1}(k_{n-1}{D}^{c-v}e+...+k_1{D}^{c-nv+v}e+k_0{D}^{c-nv}e-AB\exp (-Bt\left)\right)\\ -\mathrm{\&eta;}S\&rsqb;\end{array}---\left(9\right)$

式中，η>0为切换增益，并且有η>du_max；

对S求取c-nv阶导数有，

D^c-nvS＝(k_nD^ce+k_n-1D^c-ve+…+k₁D^c-nv+ve+k₀D^c-nve-ABexp(-Bt))

＝k_n(f(x)+g(x)u+du-D^cx_d)+k_n-1D^c-ve+…+k₁D^c-nv+ve+k₀D^c-nve-ABexp(-Bt)

＝k_n(-ηS+du)

由于S(0)＝0，知故分数阶时变滑模面有界，并且从一开始就保持在内，系统状态全局收敛，增强系统的鲁棒性。

4.根据权利要求2或3所述的一种无超调的分数阶时变滑模控制方法，其特征在于：行业内约定2％以内的超调量为无超调。