CN109254529B - 一种双速自适应比例-微分控制方法 - Google Patents

Abstract

针对非仿射非线性不确定系统的控制难题，发明了一种不依赖于被控对象模型的双速自适应比例‑微分(Two‑Speed Adaptive Proportional‑Derivative，2SAPD)控制方法。该发明的控制方法将系统动态和内外不确定性定义为总和扰动，从而将非仿射非线性不确定系统变换为线性不确定系统，进而构建了总和扰动激励下的误差动力学系统，据此设计了以中心速度因子为核心的双速自适应比例‑微分控制器模型。理论分析了由2SAPD控制器组成的闭环控制系统不仅具有全局渐近稳定鲁棒性，而且还具良好的抗扰动鲁棒性。本发明在电力、机械、化工、交通、航空、航天等领域具有广泛的应用价值。

Description

一种双速自适应比例-微分控制方法

技术领域

本发明涉及非线性不确定系统控制，尤其涉及一种双速自适应比例-微分控制。

背景技术

近半个多世纪以来，基于频域设计方法的经典控制(控制论)与基于时域设计方法的现代控制(模型论)独立发展，形成了各自的方法论体系。在控制工程实际中，控制目标与被控对象实际行为之间的误差是容易获取的，也是能够适当加以处理的，因而“基于误差来消除误差”的控制策略的原形，即PID(Proportional-Integral-Derivative，PID)控制器在实际工业控制领域获得了广泛应用。对于实际控制工程问题，由于通常很难给出其“内部机理的描述”，因而基于数学模型的现代控制理论给出的控制策略，在实际控制工程中很难得到有效应用。这就是控制工程实践与控制理论之间延续了半个多世纪而未能得到很好解决的脱节现象。经典控制理论的精髓是根据实际值与控制目标的偏差来产生控制策略，只要合理选择PID增益使闭环系统稳定就能达到控制目标，这是其被广泛采用的原因。然而，科学技术的发展对控制器的精度、速度和鲁棒性提出了更高的要求，PID控制的缺点逐渐显露出来：尽管PID控制能够保证系统稳定，但闭环系统动态品质对PID增益变化敏感。这个缺点导致了控制系统中“快速性”和“超调”之间不可调和的矛盾，因此，当系统运行工况改变时，控制器增益也需要随之变化，而这也是各种改进型PID控制方法如自适应PID、非线性PID、神经元PID、智能PID、模糊PID、专家系统PID等的原始动机。尽管各种改进型PID能够通过在线整定控制器增益参数来提高系统的自适应控制能力，然而，针对非线性不确定系统的控制问题，现有各类PID控制仍然无能为力，特别是抗扰动能力较差。此外，PID中的积分环节可以消除静态偏差，而且对抑制常值扰动也确实有效，但是，无扰动情况时，积分环节会使闭环的动态特性变差，而对随时变化的扰动而言，积分环节的抑制能力又不显著，因此，采用积分环节的必要性是值得商榷的。事实上，滑模控制(Sliding Mode Control,SMC)通常忽略了积分环节，本质上就是一种比例-微分控制。因此，在忽略积分环节的基础上，PID控制简化为PD (Proportional-Derivative，PD)控制。由于PD控制原理是将误差的现在(P)和将来(变化趋势D) 进行加权求和来形成控制信号，尽管只要合理选取PD控制器的两个增益参数就能施加有效控制，然而，误差以及误差的微分是两个不同属性的物理量，发明人认为将两个不同属性的物理量进行独立加权求和来形成PD控制律模型是不合理的：

(1)不仅违背了算术运算的基本规则(不同量纲的物理量是不能独立加权求和的)，而且也无法从物理意义上来准确理解PD控制律的数学模型；

(2)PD控制律的数学模型将比例和微分两个不同属性的环节割离开来并独立对待，由此导致了比例和微分两个环节在控制过程中相互独立、各自为阵，因而缺乏协同控制的科学思想；

(3)正因为PD控制律模型的不合理性,导致了80余年来，PD参数的整定问题一直是困扰控制科学与控制工程领域的主要问题。

发明人认为：尽管误差的比例和微分是两个不同属性的物理环节，然而，这两个不同属性的物理环节都与误差有关，两者之间一定存在某种内在的必然关系，因此，不应该将PD的比例和微分两个不同属性的环节割离开来并独立对待，而应该将这两个不同属性的环节作为一个不可分割且有机统一的整体来对待。为此，当务之急是研究一种模型结构简单、参数整定容易、动态品质好、控制精度高、抗扰动能力强的控制方法。

发明内容

本发明解决技术问题涉及的技术方案是一种双速自适应比例-微分控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)根据给定的期望输出y_d及其微分信号

和

结合非线性不确定对象的实际输出y＝y₁，计算跟踪误差e₁以及误差的微分e₂分别为：

其中，

2)根据步骤1)获得e₁、e₂以及

后，设计所述PD控制器为：

其中，b₀≠0是控制系数，k_p是比例增益，k_d是积分增益；

3)根据步骤2)设计的PD控制器，为了整定比例增益和微分增益，设计双速PD整定规则为：

其中，z_c为中心速度因子，σ为中心速度偏差，且0≤σ<z_c；

4)根据步骤3)的双速PD整定规则，为了有效避免因微分峰值引起的超调和振荡现象，设

计自适应中心速度因子z_c为：

z_c＝h^-α(1-0.9e^-βt)

其中，h是积分步长，0<α<1，β>0。

本发明将受控系统动态、内部不确定性以及外部扰动等状态定义为总和扰动，根据期望轨迹与系统实际输出之间的误差来建立总和扰动激励下的误差动力学系统，进而建立一种双速自适应比例-微分(Two-Speed Adaptive Proportional-Derivative，2SAPD)控制器模型，并证明了由2SAPD控制器组成的闭环控制系统不仅具有全局稳定性能，而且2SAPD控制器还具有良好的抗扰动鲁棒性能。本发明不仅完全淡化了线性与非线性、确定与不确定性、时变与时不变性等系统分类的概念，而且2SAPD的增益参数完全根据积分步长来整定，因而有效解决了传统PD参数整定的难题，实现真正意义上的智能控制。此外，本发明的2SAPD控制器，其突出优势主要包括：(1)具有全局稳定鲁棒性；(2)结构简单、计算量小、实时性好；(3)响应速度快、控制精度高；(4)抗扰动鲁棒性好。

附图说明

图1双速自适应比例-微分(2SAPD)控制系统框图。

图2非线性不确定系统的正弦跟踪控制结果，(a)输出跟踪轨迹,(b)控制输入信号，(c)误差跟踪轨迹，(d)误差局部放大，(e)外部扰动信号。

图3非线性不确定系统的阶跃跟踪控制结果，(a)输出跟踪轨迹,(b)控制输入信号，(c)误差跟踪轨迹，(d)误差局部放大，(e)外部扰动信号。

具体实施方式

1.从非仿射非线性不确定系统到线性不确定系统的映射思路

设某二阶非线性不确定系统模型为：

其中，y₁,y₂∈R是系统的两个状态、u∈R为系统的控制输入；f(y₁,y₂,t)和g(y₁,y₂,t)是系统不确定的光滑函数，而且g(y₁,y₂,t)是非负函数；d是外部扰动；y＝y₁是系统输出。

定义未知总和扰动状态(也称扩张状态)y₃为：

y₃＝f(y₁,y₂,t)+d+g(y₁,y₂,t)u-b₀u (2)

则式(1)可以映射为如下线性不确定系统：

其中，b₀≠0是控制系数，由函数g(y₁,y₂,t)的变化范围确定。

由于系统(3)是系统(1)的等价映射，因而由系统(3)设计的控制器能够对系统(1)进行有效控制。

只要总和扰动有界，即|y₃|<∞，那么许多仿射或非仿射非线性不确定系统都可以表示为线性不确定系统(3)的形式，因此，线性不确定系统(3)具有普遍意义。不仅如此，由于线性不确定系统的定义还完全淡化了线性与非线性、确定与不确定性、时变与时不变性、仿射与非仿射等系统分类的概念，因而有效解决了半个多世纪以来控制论和模型论两大控制思想体系针对不同类型的被控系统如何施加有效控制方法遇到的各种难题。

如何对线性不确定系统(3)施加有效控制，正是本发明的核心技术，即双速自适应PD控制技术。

2.双速PD控制器设计

针对线性不确定系统(3)的控制问题，设给定的期望输出为y_d，系统输出为y＝y₁，计算跟踪误差为：

e₁＝y_d-y₁ (4)

则误差的微分e₂为：

其中，

对式(5)求微分，并根据线性不确定系统(3)，则有：

根据式(5)和(6)可建立受控误差系统如下：

为了使受控误差系统(7)稳定，定义PD控制器u为：

其中，b₀≠0是控制系数，k_p是比例增益，k_d是积分增益。

为了整定比例增益和微分增益，设计双速PD整定规则为：

其中，z₁>0和z₂>0是两个速度因子，其量纲均为1/秒。

3.闭环控制系统稳定性分析

定理1.当|y₃|<∞，且z₁>0、z₂>0时，双速PD闭环控制系统是全局渐近稳定的，而且具有良好的抗扰动鲁棒性。

证明：

(1)稳定性分析

将PD控制器(8)代入式(7)所示的受控误差系统，可得PD闭环控制系统为：

考虑到初始状态：e₁(0^-)≠0、e₂(0^-)≠0，对PD闭环系统(10)取拉普拉斯变换，则有：

整理得PD闭环控制系统为：

(s²+k_ds+k_p)E₁(s)＝se₁(0^-)+k_de₁(0^-)+e₂(0^-)-Y₃(s) (12)

将双速PD整定规则(9)代入PD闭环控制系统(12)，整理得双速PD闭环控制系统为：

(s+z₁)(s+z₂)E₁(s)＝se₁(0^-)+(z₁+z₂)e₁(0^-)+e₂(0^-)-Y₃(s) (13)

或

其中，双速PD闭环系统(14)的第一项是零输入响应E_1x(s)，第二项是零状态响应E_1f(s)。

根据双速PD闭环系统(14)，其系统传输函数为：

根据信号与系统复频域分析理论可知，当且仅当z₁>0、z₂>0时，系统(15)的两个极点分别为：-z₁和-z₂，全部在左半复平面的实轴上，因而双速PD闭环系统(14)或(15)是全局渐近稳定的。

(2)抗扰动鲁棒性分析

①当z₁≠z₂时，系统(15)的单位冲激响应为：

其中，

且

由双速PD闭环系统(14)可得：

其中，“*”是卷积积分运算符。

当z₁>0和z₂>0时，

如果总和扰动有界：|y₃|<∞，则有：

即被控系统的跟踪误差e₁(t)及其微分

可以从任意不为零的初始状态一致趋近稳定的平衡点原点(0,0)，理论上可以实现精确控制。

②当z₁＝z₂＝z_c>0时，系统(15)的单位冲激响应为：

由双速PD闭环系统(14)可得：

当z₁＝z₂＝z_c>0时，

如果总和扰动有界：|y₃|<∞，则有：

即被控系统的跟踪误差e₁(t)及其微分

可以从任意不为零的初始状态渐近趋近稳定的平衡点原点(0,0)，理论上可以实现精确控制。

上述理论分析表明，当z₁>0、z₂>0时，无论z₁≠z₂还是z₁＝z₂＝z_c>0，双速PD闭环系统(14)都是全局渐近稳定的；只要总和扰动有界：|y₃|<∞，则被控系统的跟踪误差e₁(t)及其微分

可以从任意不为零的初始状态渐近趋近稳定的平衡点原点(0,0)。由于e₁(t)和

从任意不为零的初始状态渐近趋近稳定的平衡点原点(0,0)只与|y₃|<∞有关，而与总和扰动y₃的具体模型无关，因此，双速PD闭环系统(14)具有良好的抗扰动鲁棒性，证毕。

4.速度因子整定方法

尽管定理1证明了当且仅当速度因子z₁>0、z₂>0时，双速PD闭环系统(14)是全局渐近稳定的，因而理论上表明了双速PD整定规则的两个速度因子z₁和z₂具有很大的整定裕度。由式 (16)可知，z₁和z₂是单位冲激响应两个部分分别趋近0的速度因子，z_j(j＝1,2)越大，表明单位冲激响应h(t)趋近0的速度越快，或者说，跟踪误差e₁(t)及其微分

趋近0的速度越快，因此，通常要求这两个速度因子相近或相同。为此，分别设：

z₁＝z_c-σ、z₂＝z_c+σ (22)

其中，z_c是中心速度因子，σ是中心速度偏差，且0≤σ<z_c。

根据式(22)，双速PD整定规则(9)简化为:

由双速PD整定规则(23)可知，中心速度因子z_c不仅是PD控制器中两个增益k_p和k_d的重要速度因子，而且也是比例和微分两个不同属性环节之间的内在联系因子。正是中心速度因子z_c将比例和微分两个不同属性环节组成了不可分割的有机统一整体，从而使得两个不同属性的比例与微分环节在控制过程中得以实现协同控制思想，因而颠覆了传统PD控制器在控制过程中使两个不同属性环节之间各自为阵、独立控制的不合理方法。由双速PD整定规则(23)可知，与传统PD控制器相比，中心速度因子z_c建立了PD控制器的增益整定规则，有效解决了传统 PD增益整定的难题。

尽管当0≤σ<z_c时，式(23)的双速PD整定规则可以保证双速PD闭环系统(14)的全局稳定性。然而，为了使双速PD闭环系统(14)具有快的响应速度和强的抗扰动能力，则要求中心速度因子z_c越大越好。但是，z_c太大很可能会出现超调和振荡现象，因此，要求合理确定双速 PD整定规则(23)的中心速度因子z_c，具体方法如下：

为了有效避免控制系统在动态响应期间因微分峰值引起的超调和振荡现象，通常使用自适应中心速度因子，并设计为：

z_c＝h^-α(1-0.9e^-βt) (24)

其中，h是积分步长，0<α<1，β>0。

双速自适应PD(2SAPD)控制系统框图如图1。

5.本发明一种2SAPD控制方法的性能测试与分析

为了验证本发明一种2SAPD控制方法的有效性，针对某非仿射非线性不确定对象的控制问题进行下列仿真实验。2SAPD控制器相关仿真条件设置如下：

设h＝0.001，α＝0.57、β＝1，则自适应中心速度因子：z_c＝51(1-0.9e^-t)；设σ＝0.2z_c，根据双速PD整定规则(23)，2SAPD的两个增益参数分别为：

k_d＝2z_c。下列所有仿真实验中，2SAPD的增益完全相同。

设某非线性不确定被控对象模型为：

其中,

g(t,y₁,y₂)＝1+sin²(t),d是外部扰动。

设初始状态为：y₁(0)＝0.5，y₂(0)＝0；根据1≤g(t,y₁,y₂)≤2，可设b₀＝1。

仿真实验1：正弦跟踪控制实验

为了验证本发明一种2SAPD控制方法的正弦跟踪控制性能，针对系统(25)所示的受控对象进行正弦跟踪控制实验。

给定期望轨迹为y_d＝sin(t)，当在(9s～11s)期间存在幅值为±1的方波振荡外扰时，使用本发明的控制方法，测试结果如图2。图2表明，2SAPD控制器不仅具有很快的响应速度和很高的控制精度，而且具有良好的鲁棒稳定性和抗扰鲁棒性，因而是一种有效的控制方法。

仿真实验2：阶跃跟踪控制实验

为了验证本发明一种2SAPD控制方法的阶跃跟踪控制能力，针对系统(25)所示的受控对象进行阶跃跟踪控制实验。

给定期望轨迹为单位阶跃信号，其过渡过程为y_d＝1-exp(-5t)，当在(9s～11s)期间存在幅值为±1的方波振荡外扰时，使用本发明的控制方法，仿真结果如图3。图3表明，本发明的 2SAPD不仅具有很快的响应速度和很高的控制精度，而且还具有良好的鲁棒稳定性和抗扰鲁棒性，进一步表明了本发明一种2SAPD控制方法是一种全局稳定的强抗扰控制方法。

6.结论

尽管基于控制论策略(基于误差来消除误差)的PID控制器、SMC以及ADRC是目前控制工程领域广泛使用的三大主流控制器，然而，传统PID控制器的局限性也十分明显，其一是增益参数要求随工况状态的变化而变化，因而存在参数整定的困难；其二是较差的非线性控制能力；其三是较弱的抗扰动能力。尽管各种改进型的PID控制器，如自适应PID控制器、非线性 PID控制器、参数自学习非线性PID控制器、模糊PID控制器、最优PID控制器、神经元PID控制器、专家PID控制器等在很大程度上克服了传统PID控制器的参数整定问题，并具备一定的非线性控制能力和抗扰动能力，然而，现有改进型PID控制器的计算量大，存在实时性欠佳的局限性；SMC尽管稳定性能好，然而，在高频抖振与抗扰动能力之间存在不可调和的矛盾； ADRC尽管稳定性能好、抗扰动能力较强，然而，却存在过多的增益参数，相关非线性函数的计算量过大，控制系统结构较复杂，而且无法从理论上分析控制系统的稳定性。

与现有三大主流控制器相比，本发明的一种双速自适应PD控制方法集中了三大主流控制器的各自优势并消除了其各自的局限性，即：既具备PID结构简单的优势，又具备SMC良好的鲁棒稳定性优势，还具备ADRC抗扰动能力强的优势；既有效避免了PID参数整定困难的问题，又有效解决了SMC在高频抖振与抗扰动能力之间不可调和的难题，还有效避免了ADRC 增益参数过多、计算量过大的难题。双速自适应PD控制方法为现有运行中的各类PID控制器的技术升级提供了有效的技术保障。

本发明在电力、机械、化工、轻工、交通、航空、航天等领域具有广泛的应用价值。

Claims (1)

1.一种双速自适应PD控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)根据给定的期望输出y_d及其微分信号

和

结合非线性不确定对象的实际输出y＝y₁，计算跟踪误差e₁以及误差的微分e₂分别为：

其中，

2)根据步骤1)获得e₁、e₂以及

后，设计PD控制器为：

其中，b₀≠0是控制系数，k_p是比例增益，k_d是积分增益；

3)根据步骤2)设计的PD控制器，为了整定比例增益和微分增益，设计双速PD整定规则为：

其中，z_c为中心速度因子，σ为中心速度偏差，且0≤σ<z_c；

4)根据步骤3)的双速PD整定规则，为了有效避免因微分峰值引起的超调和振荡现象，设计自适应中心速度因子z_c为：

z_c＝h^-α(1-0.9e^-βt)

其中，h是积分步长，0<α<1，β>0。

Images