CN104155876A - 一种pid控制器的分离实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种PID控制器的分离实现方法，其包括：针对被控对象为可采用基于PID控制器的控制问题，将控制输入分为基于积分的输入部分u_I(t)及基于比例和导数的输入部分u_PD(t)，通过引入一变量动态调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，将基于PID的控制系统中的不确定成分和外部扰动从控制系统中分离出去；针对不含不确定成分和扰动的剩余部分构成的系统，选取基于比例和导数的输入部分u_PD(t)的形式，并确定基于比例和导数的输入部分u_PD(t)中的比例项和导数项的系数，实现对剩余部分构成系统关于原点的稳定控制；通过合理选取u_I(t)和u_PD(t)的形式和设计参数，实现对被控对象的跟踪控制。由本发明得到的PID控制器结构简单，便于工程实现。本发明可以广泛应用于工业过程的控制中。

Description

一种PID控制器的分离实现方法

技术领域

本发明涉及一种PID(proportional比例、integral积分、derivative导数)控制器的实现方法，特别是关于一种PID控制器的分离实现方法。

背景技术

PID控制器(以下简称“PID”)及其改进型是过程控制中最常见的控制器。PID是历史最悠久、生命力最强的控制实现方式，其应用最为广泛，获得的成效也很大。这同PID的本质：鲁棒性、优化结构及智能化特色密切相关。PID设计中的一个关键问题是对控制器参数的整定，使控制系统达到所期望的控制性能。其中PID的研究包括如下几个方面：PID最优参数整定、PID算式的最优化结构、自适应PID、以及以PID为基础的先进控制系统设计等。但是在实际应用中，由于多数被控过程的机理复杂，具有高度的非线性、时变性、不确定性和滞后等特征，特别是在噪声、负载扰动等因素的影响下，过程参数甚至模型结构均会随时间和工况的变化而变化，迫使人们不断推出新的结构或参数整定方法。针对上述问题人们提出了一系列改进措施，包括专家系统与智能PID、非线性PID以及自抗扰控制技术(ADRC)等。

智能型的PID是综合利用控制理论、人工智能、信息学和运筹学等多方面理论而成的控制方式，主要处理两大类问题：难以建立数学模型的大规模和复杂系统，或控制目标通常需要分解为多个任务的子系统。它具备自学习、自适应、自组织的能力，能够自动辨识被控过程的参数、自动整定控制参数，能够适应参数的变化；具有鲁棒性强、可靠性高，为现场工程人员所熟悉等特点。非线性PID则利用了非线性特性可以有效改进控制效果的结论，通过PID的非线性组合来实施控制。自抗扰控制方法则是通过构建在线的对扰动部分的估计(利用扩展状态观测器)实现对系统的有效控制。

2002年的一份统计报告中显示，在美国有超过11660个具有PID结构的调节器广泛应用于工业过程领域，有超过97％的反馈回路采用了PID控制算法，甚至在一些复杂的控制律中其基本的控制层采用的仍然是PID控制算法。然而，只有近1/3的PID在实际应用中取得了令人满意的控制效果，有2/3的基于PID的系统的控制性能达不到用户的要求，表现在或者控制效果不理想，如存在严重的超调、滞后等现象，或者难以适应变化着的被控对象,或者随着控制功能的改善，其结构的复杂程度也在增加等。概括起来，PID设计的根本问题就是如何合理选择控制量的形式或设计参数，使其能够适应被控对象的结构或参数的变化，以及适应外界工况的复杂性和多样性。这给寻找结构简单、便于工程实现的控制器带来了前所未有的机遇与挑战。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种结构简单、适应能力强，且便于工程实现的PID的分离实现方法。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种PID控制器的分离实现方法，其包括以下步骤：1)针对如下形式的被控对象：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，x₁(t)和x₂(t)均表示被控对象的状态，f(x₁,x₂)表示被控对象中可建模的部分，Δf(x₁,x₂,t)表示被控对象中不能建模的部分，d(t)表示被控对象受到的外部干扰，Δf(x₁,x₂,t)+d(t)表示总扰动，u(t)表示控制输入，y(t)表示系统的输出；

将控制输入u(t)分为基于积分的输入部分u_I(t)，以及基于比例和导数的输入部分u_PD(t)，即：

u(t)＝u_I(t)+u_PD(t)   (2)

则被控对象的数学模型转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

2)通过引入变量μ(t)来动态调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，将基于PID的控制系统中被控对象中不能建模的部分Δf(x₁,x₂,t)和被控对象受到的外部干扰d(t)从基于PID的控制系统中分离出去，其具体过程为：①引入变量σ(t)，使

σ(t)＝Δf(x₁,x₂,t)+d(t)+u_I(t)   (4)

根据式(3)，σ(t)等价表示为：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\stackrel{\·}{x}}_2-f(x_1,x_2)-u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)---\left(5\right)$

②引入由如下动态方程决定的变量μ(t)：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\γsign}\left(\mathrm{\σ}\left(t\right)\right),& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|\≤1\\ -\mathrm{\ω\μ},& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|>1---\left(6\right)\end{array}\right.\\ \mathrm{\μ}\left(0\right)=\mathrm{sign}\left(\mathrm{\σ}\left(0\right)\right)\end{array}\right.$

式(6)中，ω为设计参数，ω＞0；γ表示设计参数，取正数；sign表示符号函数；

③用变量μ(t)调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，基于积分的输入部分u_I(t)与变量μ(t)之间的关系式取为：

$u_I\left(t\right)=k_0\mathrm{\μ}\left(t\right)\min \left({\∫}_{t_0}^t\right|e\left(s\right)|\mathrm{ds},M)---\left(7\right)$

式(7)中，k₀和M均表示设计参数；表示取最小值运算；s表示积分变量，e(t)表示调控误差，即e(t)＝y_r(t)-y(t)；设计参数γ、k₀和M需满足如下条件：

$k_0\mathrm{\γM}>\underset{t\≥t_0}{\sup }\left|\frac{d}{\mathrm{dt}}\right[\mathrm{\Δf}(x_1,x_2)+d\left(t\right)\left]\right|---\left(8\right)$

式(8)中，sup表示取上确界的运算,表示总扰动Δf(x₁,x₂)+d(t)的广义导数；④通过选取设计参数ω、γ、k₀和M，保证在有限时间内使等式σ(t)＝0成立；

3)选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式，并确定基于比例和导数的输入部分u_PD中的比例项的系数和导数项的系数，其具体过程为：由步骤1)和步骤2)得到基于比例和导数的输入部分u_PD与被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)之间的关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

由式(9)得到：基于比例和导数的输入部分u_PD只与被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)有关，因此，可根据被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式；如果式(9)中f(x₁,x₂)是线性的，则直接选取使式(9)表示的动力系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂；如果式(11)中f(x₁,x₂)是非线性的，则采用反馈线性化方法将式(9)表示的非线性系统转化为线性系统后，再选取使转化后的线性系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂；4)根据步骤2)确定的设计参数γ、k₀和M，以及步骤3)确定的比例项的系数k₁和导数项的系数k₂，实现PID的分离设计，最终实现对被控对象的跟踪控制。

所述步骤2)中，为简化变量μ(t)对基于积分的输入部分u_I(t)形式的调节，基于积分的输入部分u_I(t)与变量μ(t)之间的关系式直接取为：

u_I(t)＝k₀μ(t)M   (10)

设计参数γ、k₀和M需满足如下条件：

$k_0\mathrm{\γM}>\underset{t\≥t_0}{\sup }\left|\frac{d}{\mathrm{dt}}\right[\mathrm{\Δf}(x_1,x_2)+d\left(t\right)\left]\right|---\left(11\right)$

式(11)中，sup表示取上确界的运算,表示总扰动Δf(x₁,x₂)+d(t)的广义导数。

所述步骤3)中，基于比例和导数的输入部分u_PD采用以下形式：

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_{1}e\left(t\right)+k_2\stackrel{\·}{e}\left(t\right)---\left(12\right)$

或

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_1{\left|e\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(e\left(t\right)\right)+k_2{\left|\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right)---\left(13\right)$

式(12)和式(13)中，k₁和k₂分别表示基于比例和导数的输入部分u_PD的比例系数和导数系数，α表示非线性的指数，通常0＜α≤1。

所述步骤3)中，基于比例和导数的输入部分u_PD的形式采用线性形式、非线性形式或最优化形式。

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明由于将控制输入分为基于积分的输入部分以及基于比例和导数的输入部分，并通过引入一变量动态调节基于积分的输入部分的形式，从而将基于PID的控制系统中被控对象的不确定部分和被控对象受到的外部干扰从PID控制系统中分离出去，因而能够将PID中比例、积分和导数三个部分同时调节的问题转变为基于积分的输入部分与基于比例和导数的输入部分分开调节的问题，因此本发明便于相关参数的调节，且并未增加控制器的复杂程度，便于工程实现，可以应用于多种实际过程的控制。2、本发明将原有的基于“查表”来确定参数的控制技术上升为一种控制理论，使得基于本发明的控制方法更科学、应用范围更宽、且适应能力更强，同时相应的基于比例和导数的输入部分的选取可以充分利用现代控制理论的研究结果，因而本方法架起了控制理论与实际应用之间的桥梁。3、本发明由于引入一变量对基于积分的输入部分的形式进行动态调节，从而可以使被控对象中不确定的部分和被控对象受到的外部干扰从PID控制系统中分离出去，与自适应PID、智能化PID和自抗扰控制等方法相比，本发明不需要对不确定部分或扰动项进行在线估计，因此降低了控制器结构的复杂程度。基于以上优点，本发明可以广泛应用于工业过程的控制中，有效实现对诸如温度、电压、速度等动态过程的控制。

附图说明

图1是采用本发明分离实现方法得到的PID控制器所对应的控制系统的结构示意图；

图2是当被控对象的实际输出包含测量噪声或参考输入不可微的情况下，采用本发明分离实现方法得到的PID控制器所对应的控制系统的结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

在已有的采用PID进行控制的方法中，通常需要解决模型辨识和参数整定等问题，参数整定时往往需要同时考虑比例项的系数、积分项的系数和导数项的系数等设计参数的选择问题，因在面对系统的不确定性和扰动方面缺乏有效的理论依据，故在控制器的参数整定上存在技术困难。例如，在模糊PID的实现中，相关设计参数的选取是需要借助一定法则，通过“查表”来决定的，不仅适应范围有限，而且需要基于丰富的经验。针对上述问题，如图1所示，本发明给出了PID的分离实现方法,其基本思想是：通过引入一变量μ(t)动态调节基于积分的输入部分的形式，从而将基于PID的控制系统中被控对象的不确定部分和被控对象受到的外部干扰从基于PID的控制系统中分离出去，将不确定系统的控制转换成关于不含不确定成分和扰动的剩余系统的控制。

假设对被控对象进行控制的目的是选择控制输入u(t)，使被控对象的实际输出y(t)能够跟踪上设定的参考输入y_r(t)，则如图1所示，本发明给出了PID控制器的分离实现方法，其包括以下步骤：

1)现假设被控对象是如下数学模型表示的系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，x₁(t)和x₂(t)均表示被控对象的状态，f(x₁,x₂)表示被控对象中能够精确建模的部分，Δf(x₁,x₂,t)表示被控对象中不确定的部分，即不能建模的部分，d(t)表示被控对象受到的外部干扰，Δf(x₁,x₂,t)+d(t)表示总扰动，u(t)表示控制输入，y(t)表示系统的输出。根据动力学原理，式(1)体现了相当广泛的动态过程的特征，具有普遍性。

将控制输入u(t)分为基于积分的输入部分u_I(t)，以及基于比例和导数的输入部分u_PD(t)，即：

u(t)＝u_I(t)+u_PD(t)   (2)

将式(2)代入式(1)中，则式(1)可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

2)为采用基于分离实现方法的PID控制器对被控对象进行跟踪控制，通过引入一变量μ(t)来动态调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，将基于PID的控制系统中被控对象中不确定的部分Δf(x₁,x₂,t)和被控对象受到的外部干扰d(t)从PID控制系统中分离出去，其具体过程为：

①引入如下形式的变量σ(t)：

σ(t)＝Δf(x₁,x₂,t)+d(t)+u_I(t)   (4)

根据式(3)，σ(t)可等价表示为：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\stackrel{\·}{x}}_2-f(x_1,x_2)-u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)---\left(5\right)$

②引入变量μ(t)，通过如下动态方程来表示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\γsign}\left(\mathrm{\σ}\left(t\right)\right),& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|\≤1\\ -\mathrm{\ω\μ},& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|>1---\left(6\right)\end{array}\right.\\ \mathrm{\μ}\left(0\right)=\mathrm{sign}\left(\mathrm{\σ}\left(0\right)\right)\end{array}\right.$

式(6)中，ω为设计参数，只要取ω＞0即可，为简单起见，ω常取0.5；γ表示设计参数，它影响消除干扰的速度，可取为一个给定的正数；sign表示符号函数。

③用变量μ(t)来调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，这里u_I(t)与变量μ(t)之间的关系式取为：

$u_I\left(t\right)=k_0\mathrm{\μ}\left(t\right)\min \left({\∫}_{t_0}^t\right|e\left(s\right)|\mathrm{ds},M)---\left(7\right)$

式(7)中，k₀和M均表示设计参数；表示取最小值运算，其作用是防止过大所导致的被控状态的超调或整个系统稳定性能的下降；s表示积分变量，e(t)表示调控误差，即e(t)＝y_r(t)-y(t)。

为简化变量μ(t)对基于积分的输入部分u_I(t)形式的调节，可以将u_I(t)与μ(t)之间的关系式直接取为：

u_I(t)＝k₀μ(t)M   (8)

式(7)和式(8)中，有关设计参数γ、k₀和M的选取，需满足如下条件：

$k_0\mathrm{\γM}>\underset{t\≥t_0}{\sup }\left|\frac{d}{\mathrm{dt}}\right[\mathrm{\Δf}(x_1,x_2)+d\left(t\right)\left]\right|---\left(9\right)$

式(9)中，sup表示取上确界的运算,表示总扰动Δf(x₁,x₂)+d(t)的广义导数。

④通过选取设计参数ω、γ、k₀和M，可保证在有限时间内使式(4)或式(5)中σ(t)＝0。

3)选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式，并确定基于比例和导数的输入部分u_PD中的比例项的系数和导数项的系数，其具体过程为：

将式(4)代入式(3)中，得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

由于在步骤2)中对基于积分的输入部分u_I(t)中引入了变量μ(t)，并选取了设计参数ω、γ、k₀和M使得σ(t)＝0，则由式(10)得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

由式(11)可知，基于比例和导数的输入部分u_PD只与被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)有关。因此，可根据被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)，选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式，对此可以充分利用现代控制理论的结果来实现，如采用线性形式、非线性形式或最优化形式等。通常，基于比例和导数的输入部分u_PD可以采用以下线性形式

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_{1}e\left(t\right)+k_2\stackrel{\·}{e}\left(t\right)---\left(12\right)$

或如下非线性形式：

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_1{\left|e\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(e\left(t\right)\right)+k_2{\left|\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right)---\left(13\right)$

式(12)和式(13)中，k₁和k₂分别表示基于比例和导数的输入部分u_PD的比例项的系数和导数项的系数，α表示非线性的指数，通常0＜α≤1。

如果式(11)中f(x₁,x₂)是线性的，则直接选取使式(11)表示的动力系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂。如果式(11)中f(x₁,x₂)是非线性的，则采用反馈线性化方法将式(11)表示的非线性系统转化为线性系统后，再选取使转化后的线性系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂。

4)根据步骤2)确定的设计参数γ、k₀和M以及步骤3)确定的比例项的系数k₁和导数项的系数k₂，实现PID的分离设计，最终实现对被控对象的跟踪控制。

上述PID控制器的分离实现方法中，如图2所示，如果被控对象的实际输出y(t)中包含噪声，或参考输入y_r(t)不可微，则在实际输出y(t)的反馈回路中和参考输入y_r(t)后分别增加一跟踪-微分器，对实际输出y(t)和参考输入y_r(t)先进行预处理，再利用步骤1)～步骤4)的方法实现对被控对象的跟踪控制。

上述实施例仅用于说明本发明，其中各部件的结构、连接方式和方法步骤等都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (4)

1.一种PID控制器的分离实现方法，其包括以下步骤：

1)针对如下形式的被控对象：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，x₁(t)和x₂(t)均表示被控对象的状态，f(x₁,x₂)表示被控对象中可建模的部分，Δf(x₁,x₂,t)表示被控对象中不能建模的部分，d(t)表示被控对象受到的外部干扰，Δf(x₁,x₂,t)+d(t)表示总扰动，u(t)表示控制输入，y(t)表示系统的输出；

将控制输入u(t)分为基于积分的输入部分u_I(t)，以及基于比例和导数的输入部分u_PD(t)，即：

u(t)＝u_I(t)+u_PD(t)   (2)

则被控对象的数学模型转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+\mathrm{\Δf}(x_1,x_2,t)+d\left(t\right)+u\left(t\right)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_t\left(t\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

2)通过引入变量μ(t)来动态调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，将基于PID的控制系统中被控对象中不能建模的部分Δf(x₁,x₂,t)和被控对象受到的外部干扰d(t)从基于PID的控制系统中分离出去，其具体过程为：

①引入变量σ(t)，使

σ(t)＝Δf(x₁,x₂,t)+d(t)+u_I(t)   (4)

根据式(3)，σ(t)等价表示为：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\stackrel{\·}{x}}_2-f(x_1,x_2)-u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)---\left(5\right)$

②引入由如下动态方程决定的变量μ(t)：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\γsign}\left(\mathrm{\σ}\left(t\right)\right),& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|\≤1\\ -\mathrm{\ω\μ},& \left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|>1---\left(6\right)\end{array}\right.\\ \mathrm{\μ}\left(0\right)=\mathrm{sign}\left(\mathrm{\σ}\left(0\right)\right)\end{array}\right.$

式(6)中，ω为设计参数，ω＞0；γ表示设计参数，取正数；sign表示符号函数；

③用变量μ(t)调节基于积分的输入部分u_I(t)的形式，基于积分的输入部分u_I(t)与变量μ(t)之间的关系式取为：

$u_I\left(t\right)=k_0\mathrm{\μ}\left(t\right)\min \left({\∫}_{t_0}^t\right|e\left(s\right)|\mathrm{ds},M)---\left(7\right)$

式(7)中，k₀和M均表示设计参数；表示取最小值运算；s表示积分变量，e(t)表示调控误差，即e(t)＝y_r(t)-y(t)；

设计参数γ、k₀和M需满足如下条件：

$k_0\mathrm{\γM}>\underset{t\≥t_0}{\sup }\left|\frac{d}{\mathrm{dt}}\right[\mathrm{\Δf}(x_1,x_2)+d\left(t\right)\left]\right|---\left(8\right)$

式(8)中，sup表示取上确界的运算,表示总扰动Δf(x₁,x₂)+d(t)的广义导数；

④通过选取设计参数ω、γ、k₀和M，保证在有限时间内使等式σ(t)＝0成立；

3)选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式，并确定基于比例和导数的输入部分u_PD中的比例项的系数和导数项的系数，其具体过程为：

由步骤1)和步骤2)得到基于比例和导数的输入部分u_PD与被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)之间的关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f(x_1,x_2)+u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=x_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

由式(9)得到：基于比例和导数的输入部分u_PD只与被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)有关，因此，可根据被控对象的状态和被控对象中可建模的部分f(x₁,x₂)选取基于比例和导数的输入部分u_PD的形式；

如果式(9)中f(x₁,x₂)是线性的，则直接选取使式(9)表示的动力系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂；如果式(11)中f(x₁,x₂)是非线性的，则采用反馈线性化方法将式(9)表示的非线性系统转化为线性系统后，再选取使转化后的线性系统在原点(0,0)稳定的系数作为比例项的系数k₁和导数项的系数k₂；

4)根据步骤2)确定的设计参数γ、k₀和M，以及步骤3)确定的比例项的系数k₁和导数项的系数k₂，实现PID的分离设计，最终实现对被控对象的跟踪控制。

2.如权利要求1所述的一种PID控制器的分离实现方法，其特征在于：所述步骤2)中，为简化变量μ(t)对基于积分的输入部分u_I(t)形式的调节，基于积分的输入部分u_I(t)与变量μ(t)之间的关系式直接取为：

u_I(t)＝k₀μ(t)M   (10)

设计参数γ、k₀和M需满足如下条件：

$k_0\mathrm{\γM}>\underset{t\≥t_0}{\sup }\left|\frac{d}{\mathrm{dt}}\right[\mathrm{\Δf}(x_1,x_2)+d\left(t\right)\left]\right|---\left(11\right)$

式(11)中，sup表示取上确界的运算,表示总扰动Δf(x₁,x₂)+d(t)的广义导数。

3.如权利要求1或2所述的一种PID控制器的分离实现方法，其特征在于：所述步骤3)中，基于比例和导数的输入部分u_PD采用以下形式：

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_{1}e\left(t\right)+k_2\stackrel{\·}{e}\left(t\right)---\left(12\right)$

或

$u_{\mathrm{PD}}\left(t\right)=k_1{\left|e\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(e\left(t\right)\right)+k_2{\left|\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{e}\left(t\right)\right)---\left(13\right)$

式(12)和式(13)中，k₁和k₂分别表示基于比例和导数的输入部分u_PD的比例系数和导数系数，α表示非线性的指数，通常0＜α≤1。

4.如权利要求1或2所述的一种PID控制器的分离实现方法，其特征在于：所述步骤3)中，基于比例和导数的输入部分u_PD的形式采用线性形式、非线性形式或最优化形式。