CN108319141A - 结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法，其特征在于：所述的复合控制方法由两部分组成，即连续控制律和非连续控制律。连续控制律基于线性二次调节器进行设计，目的是保证闭环控制系统尽快实现稳定收敛；非连续控制律基于分数阶滑模控制进行设计，用于消除系统不确定性的影响，最大限度地确保闭环控制系统的鲁棒性。

Description

结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法

技术领域

本发明属于控制系统设计技术研究领域，尤其涉及针对不确定性控制系统的控制器设计技术领域。该新型复合控制方法可以广泛应用于各类线性/非线性控制系统的设计上。

背景技术

控制系统广泛存在于工业生产中的各个领域，对控制系统的设计和研究具有相当巨大的潜在应用价值。实际上，控制系统的设计是在控制对象的数学模型基础上进行的。然而，通过数学建模方法构建的数学模型不能完全描述控制对象的真实物理特性，即数学模型与其相对应的真实物理系统是有偏差的。在控制理论中，这种数学模型与真实物理系统之间的偏差被称为系统不确定性，而不确定性系统的控制问题是控制理论研究的一个热点方向，对控制理论的发展及其在工程应用方面具有重要意义。

近年来，随着分数阶微积分理论的研究与进展，分数阶控制的概念被提出并成功应用到控制系统设计中来。在过去几十年中，有很多学者都指出分数阶微积分对于某些物理系统的描述比整数阶微积分更为精确，如连续介质力学、多孔介质、热力学、电子动力学、量子力学等。1988年，美国学者Oustaloup首次提出了分数阶控制器设计的理念，并设计了一种称为CRONE(即Common Robust d’Order Non-Entire)的分数阶鲁棒控制策略。与此同时，Podlubny也提出了著名的分数阶PID控制器，也就是PI^λD^μ控制器。另外，滑模控制是一种广泛应用于线性与非线性系统的控制方法，可适用于带有不确定性的控制问题。一般来说，滑模控制可采用任何线性滑动面来保证闭环系统的性能和稳定性。但是，由于单一的反馈控制增益，使得闭环系统的稳定时间过长，不能保证系统以最快的收敛速度趋近于平衡点。其次，滑模控制存在抖振现象，控制输入的高频切换运动给控制系统和执行机构带来了相当大的负面影响。因此，随着分数阶控制的研究进展，越来越多的学者尝试引入分数阶微积分来改善滑模控制的控制性能。

综上所述，针对不确定性系统的控制问题，如何设计一种控制性能优异且具有良好鲁棒特性的控制器，具有相当重要的理论和现实意义。

发明内容

要解决的技术问题

针对不确定性控制系统的控制，提出一种结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法。

技术方案

一种结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：在控制系统设计中，控制对象被普遍描述为微分方程组的形式：

其中，x∈Rⁿ为n维状态变量，u∈R^m为m维控制输入；f(x,q)和g(x,q)为用于描述控制对象特性的复杂线性或非线性函数，q∈R^k为k维系统参数；h(x)为输出函数；

利用反馈线性化技术将其简化为线性系统的形式：

其中，

e为跟踪误差、r为控制系统的相对阶，v为中间控制量；

步骤2：为了实现对控制系统的跟踪控制，首先对上述线性系统进行控制律设计得到中间控制量v，该复合控制方法由两部分组成，即v＝v_n+v_s；其中，基准控制v_n为连续控制律，在不考虑不确定性时可以保证闭环系统快速的收敛到平衡点；分数阶控制v_s为非连续控制律，用于消除不确定性对于闭环系统的影响，确保系统的鲁棒性；

步骤3：进行连续控制律v_n的设计：

v_n＝-a^-1B^TPx

P可通过求解如下Riccati方程获得

A^TP+PA-a^-1PBB^TP+Q＝0,(a,Q＞0)

其中，a、Q为设计参数；

步骤4：进行非连续控制律v_s的设计：

其中，

其中，D^η+j为η+j阶分数阶微积分算子，为系数，k为取正值的反馈控制增益；

步骤5：由步骤3和步骤4得到的连续控制律v_n和非连续控制律v_s计算系统的控制量u：

u＝[G(x)]^-1[(v_s+v_n)-F(x)]。

有益效果

本发明提出的一种结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法，解决了不确定性控制系统的控制问题。

附图说明

图1为控制系统结构框图

图2为本发明的设计流程图

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法，其特征在于：所述的复合控制方法由两部分组成，即连续控制律和非连续控制律。连续控制律基于线性二次调节器进行设计，目的是保证闭环控制系统尽快实现稳定收敛；非连续控制律基于分数阶滑模控制进行设计，用于消除系统不确定性的影响，最大限度地确保闭环控制系统的鲁棒性。

本发明所提出的复合控制方法适用于不确定性线性/非线性系统的控制器设计问题。

本发明所提出的新型复合控制方法总体流程为：

(1)在控制系统设计中，控制对象被普遍描述为微分方程组的形式，如下：

式中，x∈Rⁿ为n维状态变量，u∈R^m为m维控制输入；f(x,q)和g(x,q)为用于描述控制对象特性的复杂线性或非线性函数，q∈R^k为k维系统参数；h(x)为输出函数。由于在数学建模过程中使用了各种各样的假设和简化，使得由式(1)所示的控制对象数学模型并不能准确、清晰地描述真实的工业系统，总是存在一定程度的偏差，即系统不确定性。因此，描述控制对象特性的系统函数f(x)和g(x)均为不确定函数，可表示为基准值f₀(x)、g₀(x)和不确定值Δf、Δg的代数和形式，如下：

式中，系统函数的不确定性Δf和Δg主要体现在函数表达式系统参数q的不确定性上，即系统参数向量q∈R^k被限制在一个k维参数空间内。系统参数向量q＝(q₁,q₂,...,q_k)可表示为如下形式：

q＝q₀+Δq (3)

式中，q₀为基准值，Δq为不确定值，且Δq∈(Δq_min,Δq_max)，其中Δq_min和Δq_max分别为Δq取值的上下限。

一般地，控制系统结构框图如图1所示。控制系统设计的目标是设计控制器C(p,x)使得系统(1)的输出y实现对参考输入信号y_d的实时跟踪。在控制器C(p,x)中，p∈R^l为控制器的l维设计参数向量，即p＝(p₁,p₂,...,p_l)。

(2)如果系统(1)为非线性系统，则首先可通过线性化方法将其简化为线性系统的形式，具体的线性化方法有小扰动线性化方法、线性变参数方法和输入输出反馈线性化方法等。由于线性化方法不是本发明的主要内容，具体线性化过程可以参见相关文献和资料，此处不再赘述。假设系统(1)的相对阶为r，且满足非线性系统可完全线性化的条件，即r＝n，则可通过反馈线性化的方法可以将简化为系统(1)线性系统的形式如下：

e^(r)＝F(x)+G(x)u (4)

式(4)称为系统(1)的动态逆形式，e＝y-y_d为跟踪误差。定义一个中间控制变量v，令v＝e^(r)，则式(4)可重新表示为

v＝F(x)+G(x)u (5)

若G(x)满足条件G(x)≠0，则控制输入u可表示为

u＝[G(x)]^-1[v-F(x)] (6)

因此，只需找到中间控制量v，即可通过式(6)进行闭环系统的控制律u的求解。对于关系式v＝e^(r)，我们称之为系统(1)的跟踪误差动力学方程，可以将其扩展为一个空间状态方程表示的线性系统如下：

将式(7)写成矩阵形式为：

式中，

(3)针对由式(1)所描述的系统，结合线性二次调节器(Linear QuadraticRegulator,LQR)和分数阶滑模控制(Fractional-Order Sliding Mode Control,FOSMC)进行复合控制律的设计。

为了实现对系统(1)的跟踪控制，首先对线性系统(8)进行控制律设计得到中间控制量v，则通过式(6)可以求取最终控制量u。为了实现系统(8)的跟踪误差有限时间收敛，当忽略系统的不确定性时，可以通过设计LQR来保证系统的快速收敛。在经典线性控制理论中，LQR是通过求解线性二次最优问题而得到的最优补偿器，在线性系统的控制综合中表现出了出色的控制效果。但是，如果系统的不确定性与未建模动态不可忽视时，仅在LQR作用下的闭环系统则很难满足控制要求。因此，针对系统(8)的跟踪控制问题，该复合控制方法由两部分组成

v＝v_n+v_s (10)

其中，基准控制v_n为连续部分，在不考虑不确定性时可以保证闭环系统快速的收敛到平衡点。分数阶控制v_s为非连续部分，用于消除不确定性对于闭环系统的影响，确保系统的鲁棒性。

首先，连续制律v_n的设计。针对线性系统(8)，进行连续控制律v_n的设计。连续控制律v_n的控制目标是使系统(8)以尽可能快的收敛速度趋近于平衡点，可以通过设计LQR来实现。

采用线性二次最优理论对系统(6)进行LQR设计。首先考虑如下二次型目标函数

获得使目标函数J取值最小的控制输入u如下：

v_n＝-a^-1B^TPx (12)

其中，P可通过求解如下Riccati方程获得

A^TP+PA-a^-1PBB^TP+Q＝0,(a,Q＞0) (13)

式中，a、Q为设计参数。

其次，非连续制律v_s的设计。众所周知，(2)中的LQR设计是在建立精确数学模型基础上的，因此在考虑系统不确定性的情况下，仅在连续控制律(12)作用下的系统(6)将无法在有限时间内收敛到平衡点。因此，针对系统中存在的不确定性，进行非连续控制律v_s的设计。

一般来说，传统的滑模控制使用跟踪误差e各阶导数的线性组合来构建滑动面方程。则传统的滑动面变量具有如下形式

式中，λ对应于跟踪误差动力学的带宽，r为速度和高度子系统的相对阶。

基于传统滑动面变量s_c，定义分数阶滑动面变量如下

与传统滑动面变量s_c相比，增加了分数阶项和辅助项v_aux。

对分数阶滑动面变量(15)求取一阶导数

将式(16)带入式可得

其中，

令可得非连续控制律为

式中，D^η+j为η+j阶分数阶微积分算子，具体定义可参见相关文献；k为取正值的反馈控制增益；sign()为符号函数，即

最后，根据式(6)计算系统(1)的控制量u，如下

u＝[G(x)]^-1[(v_s+v_n)-F(x)] (19)

式中，v_s和v_n分别由式(12)和式(18)给出。

具体实施例：

第一步：针对式(1)所描述的非线性系统，利用反馈线性化技术将其简化为线性系统的形式，如式(8)所示；

第二步：为了实现对系统(1)的跟踪控制，首先对线性系统(8)进行控制律设计得到中间控制量v，则通过式(6)可以求取最终控制量u。为了实现系统(8)的跟踪误差有限时间收敛，当忽略系统的不确定性时，可以通过设计LQR来保证系统的快速收敛。在经典线性控制理论中，LQR是通过求解线性二次最优问题而得到的最优补偿器，在线性系统的控制综合中表现出了出色的控制效果。但是，如果系统的不确定性与未建模动态不可忽视时，仅在LQR作用下的闭环系统则很难满足控制要求。因此，针对系统(8)的跟踪控制问题，该复合控制方法由两部分组成，即v＝v_n+v_s，其中，基准控制v_n为连续部分，在不考虑不确定性时可以保证闭环系统快速的收敛到平衡点。分数阶控制v_s为非连续部分，用于消除不确定性对于闭环系统的影响，确保系统的鲁棒性；

第三步：针对线性系统(8)，进行连续控制律v_n的设计。连续控制律v_n的控制目标是使系统(8)以尽可能快的收敛速度趋近于平衡点，可以通过设计LQR来实现；

第四步：众所周知，公式(2)中的LQR设计是在建立精确数学模型基础上的，因此在考虑系统不确定性的情况下，仅在连续控制律(12)作用下的系统(6)将无法在有限时间内收敛到平衡点。因此，针对系统中存在的不确定性，进行非连续控制律v_s的设计；

第五步：根据式(6)计算系统(1)的控制量u，即u＝[G(x)]^-1[(v_s+v_n)-F(x)]，其中v_s和v_n分别由式(12)和式(18)给出。

Claims (1)

1.一种结合线性二次调节器与分数阶滑模控制的复合控制方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：在控制系统设计中，控制对象被普遍描述为微分方程组的形式：

其中，x∈Rⁿ为n维状态变量，u∈R^m为m维控制输入；f(x,q)和g(x,q)为用于描述控制对象特性的复杂线性或非线性函数，q∈R^k为k维系统参数；h(x)为输出函数；

利用反馈线性化技术将其简化为线性系统的形式：

其中，

e为跟踪误差、r为控制系统的相对阶，v为中间控制量；

步骤2：为了实现对控制系统的跟踪控制，首先对上述线性系统进行控制律设计得到中间控制量v，该复合控制方法由两部分组成，即v＝v_n+v_s；其中，基准控制v_n为连续控制律，在不考虑不确定性时可以保证闭环系统快速的收敛到平衡点；分数阶控制v_s为非连续控制律，用于消除不确定性对于闭环系统的影响，确保系统的鲁棒性；

步骤3：进行连续控制律v_n的设计：

v_n＝-a^-1B^TPx

P可通过求解如下Riccati方程获得

A^TP+PA-a^-1PBB^TP+Q＝0,(a,Q＞0)

其中，a、Q为设计参数；

步骤4：进行非连续控制律v_s的设计：

其中，

其中，D^η+j为η+j阶分数阶微积分算子，为系数，k为取正值的反馈控制增益；

步骤5：由步骤3和步骤4得到的连续控制律v_n和非连续控制律v_s计算系统的控制量u：

u＝[G(x)]^-1[(v_s+v_n)-F(x)]。