WO2016042948A1

WO2016042948A1 - 金属板の圧延制御方法、圧延制御装置及び圧延金属板の製造方法

Info

Publication number: WO2016042948A1
Application number: PCT/JP2015/072800
Authority: WO
Inventors: 透明石; 小川　茂; 山田　健二
Original assignee: 新日鐵住金株式会社
Priority date: 2014-09-16
Filing date: 2015-08-11
Publication date: 2016-03-24
Also published as: ES2748884T3; TWI590880B; EP3195945A4; EP3195945B1; JPWO2016042948A1; US10307806B2; JP6172401B2; EP3195945A1; US20170259312A1; TW201615297A

Abstract

鋼板の面外変形を拘束した条件で、圧延時の鋼板の暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求める。暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）、鋼板の板厚と板幅、及び圧延機出側における鋼板に作用する張力に基づいて、座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を求める。暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）が座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えた場合、暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）と座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）との差分を求め、この差分を暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えたものを真の伸び歪差分布Δε'（ｘ）として求める。真の伸び歪差分布Δε'（ｘ）に基づいて圧延条件を設定し、鋼板の圧延を行うことにより鋼板の形状を制御する。

Description

金属板の圧延制御方法、圧延制御装置及び圧延金属板の製造方法

　本発明は、圧延後の金属板の形状を制御する圧延制御方法、当該圧延制御方法を実行する圧延制御装置および圧延金属板の製造方法に関する。

　薄板や厚板などの金属板を圧延した後の形状を予測する技術として、従来、様々な方法が提案されている。

　例えば特開２００８－１１２２８８号公報には、実績データが存在しない外挿域の予測精度を向上させ、さらに圧延モデルの誤差を修正する技術が開示されている。具体的には、過去に製造された製品の製造条件とその製造の結果情報とを対応付けて記憶した実績データベースを用いて、当該実績データベースの各サンプルと要求点（予測対象点）との類似度を計算し、この類似度を重みとした重み付き回帰により要求点近傍の予測式を作成する。この予測式により、上記外挿域の予測精度を向上させている。

　また、特開２００５－１５３０１１号公報には、圧延時の金属板の板幅方向に分布する伸び歪（応力）を、座屈時に波形状として幾何学的に変換される伸び歪と、座屈後も金属板に内在する伸び歪とに分離して、金属板の形状を予測する技術が開示されている。

　さらに、特開２０１２－２１８０１０号公報には、圧延機出側で測定した金属板の形状特徴量に加え、測定時に金属板に内在する伸び歪を求めて、これを上記形状特徴量と重ね合わせをして圧延機から付与された真の形状特徴量として計測することで、金属板の形状を予測する技術が開示されている。なお、ここでは、幾何学的値として圧延機出側で板通板方向及び板幅方向位置と高さ方向変位を測定し、また形状特徴量として、プロフィール、急峻度、伸び歪差を求めている。

　しかしながら、特開２００８－１１２２８８号公報に開示された方法では、金属板の座屈現象のような非線形現象については考慮されておらず、また当該非線形現象を予測式に反映させることはできない。そして、非線形現象が考慮されていない場合には、モデルに誤差を生じさせることになるため、圧延後の金属板の形状を正確に予測することはできない。

　また、特開２００５－１５３０１１号公報および特開２０１２－２１８０１０号公報に記載の発明は、金属板の座屈現象を考慮して当該金属板の形状を予測するものであり、座屈現象を考慮しない場合に比べると、その予測精度は向上されている。しかしながら、発明者が鋭意検討した結果、後述するように予測精度の向上に改善の余地があることが分かった。

　本発明は、かかる点に鑑みてなされたものであり、圧延後の金属板の形状を精度よく予測し、当該金属板の形状を自在に制御することを目的とする。

　前記の目的を達成するため、本発明者は圧延後の金属板の形状を予測し、予測された金属板の形状に基づいて、金属板の形状を制御する方法について検討を行った結果、以下の知見を得るに至った。

　特開２００５－１５３０１１号公報に開示されるように、金属板の板幅方向に分布する圧延方向の伸び歪は、座屈して波形状として幾何学的に変換される伸び歪と、座屈後も金属板に内在する伸び歪とに分かれることが知られている。また、特開２０１２－２１８０１０号公報に記載の発明では、特開２００５－１５３０１１号公報に記載の発明を発展させ、圧延機出側で測定した金属板の波形状に変換される伸び歪分布に対して、波形状に変換されず座屈後も金属板に内在する伸び歪分布を求めて重ね合わせることで、真の伸び歪分布を決定し、金属板の形状をフィードバック制御している。

　本発明は、これらの特開２００５－１５３０１１号公報および特開２０１２－２１８０１０号公報に記載の発明をさらに発展させたものである。本発明者は、座屈によって変化する金属板の板幅方向における圧延荷重差分布と伸び歪差分布に相関があることを発見し、この相関を定量的に把握することにより、金属板の真の伸び歪差分布を求めることができることを見出した。すなわち、金属板の板幅方向に分布する伸び歪差のうち、波形状に変換され、面外変形を生じさせる伸び歪差が、実際に金属板の座屈により波形状に変換されると、当該伸び歪差に対応する荷重分布がさらに伸び歪差に変換されて金属板に内在される。すなわち、金属板の真の伸び歪差は、従来考えられていたものよりも大きくなることを見出した。このように金属板の真の伸び歪差分布を予測することで、金属板の形状の制御をより高精度に行うことができる。本発明の要旨は以下のとおりである。

　本発明の第１の観点によれば、金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第１ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布と、前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第２ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第３ステップと、を含む圧延制御方法が提供される。
　本発明の第２の観点によれば、前記暫定的な伸び歪差分布を求めるステップを更に含む第１の観点による圧延制御方法が提供される。

　本発明の第３の観点によれば、前記第２ステップにおいて、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分を前記圧延機の出側において前記金属板に作用する張力に変換した変換張力を求め、前記変換張力に対応する伸び歪差分布と、前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて前記真の伸び歪差分布を求める第１または第２の観点による圧延制御方法が提供される。
　本発明の第４の観点によれば、前記第２ステップにおいて、前記張力に対応する前記金属板の前記板幅方向における圧延荷重差分布を、前記板幅方向に２階微分したものを前記張力に対応する伸び歪差分布としてを求める第３の観点による圧延制御方法が提供される。

　本発明の第５の観点によれば、金属板の面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の板幅方向における圧延荷重の差の分布である暫定的な圧延荷重差分布と、圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の前記板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布と、を求める第１ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第２ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な圧延荷重差分布と前記暫定的な伸び歪差分布との相関から、前記座屈臨界歪差分布に対応する圧延荷重差分布である座屈臨界荷重差分布を求めて、前記暫定的な圧延荷重差分布と前記座屈臨界荷重差分布の差分を求め、前記圧延機の出側と入側で前記金属板にクラウン比率変化が無いと仮定して、前記差分に対応する歪差分布と前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第３ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第４ステップと、を含む圧延制御方法が提供される。

　本発明の第６の観点によれば、金属板の面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の板幅方向における圧延荷重の差の分布である暫定的な圧延荷重差分布と、圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の前記板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布とを求める第１ステップと、前記暫定的な歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第２ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、暫定的な圧延荷重差分布と前記暫定的な伸び歪差分布との相関から、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布の差分である面外変形歪差分布に対応する面外変形荷重差分布を求めて、前記面外変形荷重差分布を前記暫定的な圧延荷重差分布に重ね合わせて新たな圧延荷重差分布を導出し、前記金属板のクラウン比率変化が有ると仮定して、前記新たな圧延荷重差分布に基づく新たな伸び歪差分布を求め、さらに当該新たな伸び歪差分布、前記金属板の板厚と板幅、及び前記圧延機出側における前記金属板に作用する張力に基づいて新たな座屈臨界歪差分布を求める第３ステップと、前記新たな伸び歪差分布と前記新たな座屈臨界歪差分布との差分を求め、この差分と当該新たな伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第４ステップと、前記暫定的な伸び歪差分布が前記第２ステップで求められた前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記第２ステップで求められた前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第５ステップと、を含む圧延制御方法が提供される。

　本発明の第７の観点によれば、前記第３ステップで求められる前記新たな伸び歪差分布が前記第１ステップで求められる前記暫定的な伸び歪差分布であると仮定し、前記第３ステップで求められる前記新たな座屈臨界歪差分布が前記第２ステップで求められる座屈臨界歪差分布であると仮定して、前記第３ステップを複数回行う第６の観点による圧延制御方法が提供される。

　本発明の第８の観点によれば、前記圧延機の入側において前記金属板が面外変形している第１から第７の観点による圧延制御方法が提供される。

　本発明の第９の観点によれば、前記圧延機の出側に設置した形状計を用いて圧延後の前記金属板の形状を測定するステップと、測定された前記金属板の形状から求められ、面外変形に変換される実績の伸び歪差分布と、面外変形に変換される予測の伸び歪差分布との差分に基づいて前記暫定的な伸び歪差分布を修正するステップと、を更に含む第１から第８のいずれかの観点による圧延制御方法が提供される。

　本発明の第１０の観点によれば、金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求め、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分と、前記暫定的な伸び歪差分布と、を加えて真の伸び歪差分布を求める演算部と、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う制御部と、を含む圧延制御装置が提供される。
　本発明の第１１の観点によれば、金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第１の工程と、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分と、前記暫定的な伸び歪差分布と、を加えて真の伸び歪差分布を求める第２の工程と、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第３の工程と、を含む圧延金属板の製造方法が提供される。

　本発明によれば、金属板の板幅方向における伸び歪差分布（すなわち、第１ステップの伸び歪差分布）のうち、波形状に変換され、面外変形を生ずる面外変形歪差分布（すなわち、第１ステップの伸び歪差分布と第２ステップの座屈臨界歪差分布との差分）を、前記伸び歪差分布に加えることで、金属板の真の伸び歪差分布を精度よく正確に予測することができる。したがって、当該真の伸び歪差分布に基づいて圧延条件を設定することにより、圧延後の金属板の形状を自在に制御することができる。

鋼板の面外変形を拘束した条件で鋼板を圧延した場合の、鋼板の伸び歪差分布Δε（ｘ）および圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）を示す図である。鋼板の面外変形を拘束した条件で鋼板を圧延した場合の、伸び歪差分布Δε（ｘ）を構成する座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）および面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）並びに、圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）を構成する座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）および面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）を示す図である。鋼板の面外変形を許した場合に、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）と面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）が消滅した後の状態を示す図である。ロールバイト内の荷重低下領域に金属が流入し、鋼板における伸び歪差分布が増大する様子を示す図である。鋼板における伸び歪差と圧延荷重との関係を平面視において模式的に示した説明図であり、伸び歪差分布Δε（ｘ）を示す図である。鋼板における伸び歪差と圧延荷重との関係を平面視において模式的に示した説明図であり、座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）と面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）を示す図である。鋼板における伸び歪差と圧延荷重との関係を平面視において模式的に示した説明図であり、真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を示す図である。第１の実施の形態における鋼板の圧延制御方法を示すフローチャートである。伸び歪差分布Δε（ｘ）が座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えない様子を示す図である。伸び歪差分布Δε（ｘ）が座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えた様子を示す図である。真の伸び歪差Δε’（ｘ）の概念を示す図である。第１の実施の形態の効果を説明するためのグラフである。第１の実施の形態の効果を説明するためのグラフである。第２の実施の形態における鋼板の圧延制御方法を示すフローチャートである。圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と伸び歪差分布Δε（ｘ）との相関を示す図である。第３の実施の形態における鋼板の圧延制御方法を示すフローチャートである。新たな圧延荷重差分布ΔＰ_２（ｘ）を示す図である。第３の実施の形態の効果を説明するためのグラフである。圧延機、圧延制御装置及び形状計を備えた圧延ラインを模式的に示す図である。本発明の実施形態に係る圧延制御装置によって実施される処理の流れを示すフローチャートである。たわみ関数のモデル図である。たわみ関数のモデル図である。

　以下、本発明の実施の形態について図面を参照して説明する。本明細書および図面において、実質的に同一の機能を有する構成要素については、同一の符号を付することにより重複説明を省略する。なお、本実施の形態では、金属板として鋼板を用いた場合について説明する。以後の説明は、鋼板のロールバイト内での歪や荷重分布を用いて説明する。

＜鋼板の伸び歪の発生原理＞
　先ず、圧延された鋼板が座屈する場合（鋼板に面外変形が発生する場合）に、鋼板の圧延方向に伸びる歪（以下、「伸び歪」という。）が発生する原理について、図１～図４、図５Ａ～図５Ｃを用いて説明する。図５Ａ～図５Ｃは、図１～図４に対応し、鋼板における伸び歪差と圧延荷重差との関係を平面視において模式的に示した説明図である。なお、以下の説明においては、鋼板に発生する中波を対象に説明する。なお、中波とは、鋼板の板幅方向の中央部に発生する波状の面外変形であり、中伸びともいう。また、ここでは、鋼板に作用する各パラメータの概念を説明するにとどめ、各パラメータの算出方法等の詳細については、後述の鋼板の圧延制御方法の実施の形態において説明する。

　図１に示すように一対のロールを備えた圧延機１０を用いて、鋼板Ｈを圧延する。図１のＹ方向は鋼板Ｈの圧延方向を示し、Ｙ方向負方向側から正方向側に向けて鋼板Ｈが搬送され圧延される。図１のＸ方向は鋼板Ｈの板幅方向を示す。図１では鋼板Ｈの板幅方向の半分、すなわち鋼板Ｈの板幅方向のセンターＨ_ｃからエッジＨ_ｅまでが図示されている。

　図１は、鋼板Ｈの面外変形を拘束した条件（すなわち、鋼板Ｈの面外変形を許容しない条件）で鋼板Ｈを圧延した場合の、ロールバイト内の鋼板Ｈの板幅方向における伸び歪差分布Δε（ｘ）と、鋼板Ｈの垂直方向（Ｚ方向）に作用する板幅方向における圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）とを図示している。伸び歪差分布Δε（ｘ）は、鋼板Ｈの板幅方向のセンターＨ_ｃの伸び歪を基準とした板幅方向位置ｘにおける伸び歪差の分布である。同様に圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）は、鋼板Ｈの板幅方向のセンターＨ_ｃの圧延荷重を基準とした板幅方向位置ｘにおける圧延荷重差の分布である。また、伸び歪差分布Δε（ｘ）と圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）は、板幅方向において１：１に対応している。図１においては、鋼板Ｈの面外変形を拘束しているので、ロールバイト出側直後、圧延方向に圧縮応力が発生している（図１中の太矢印）。なお、図１に示される伸び歪差分布Δε（ｘ）と圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）の関係は、図５Ａに模式的に示されている。

　伸び歪差分布Δε（ｘ）は、図２に示すように座屈後も鋼板Ｈに内在する伸び歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）（以下、「座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）」という。）と、座屈後に波形状の面外変形に変換される伸び歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）（以下、「面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）」という。）とに分離される。このうち、座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）は、これ以上歪差が大きくなると鋼板Ｈが座屈をしてしまう限界の歪差分布である。換言すれば、座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）は、鋼板Ｈが座屈に至る板幅方向における臨界的な歪差分布である。同様に、圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）は、座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）に板幅方向に１：１で対応する圧延荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）（以下、「座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）」という。）と、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）に板幅方向に１：１で対応する圧延荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）（以下、「面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）」という。）とに分離される。なお、図２に示される座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）、座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）、面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）は、図５Ｂに模式的に示されている。

　次に、鋼板Ｈの面外変形を許すと、図３に示すように面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）が面外変形に変換されて消滅する。また、図１に太矢印で示した圧縮応力が低下し、鋼板Ｈに作用する見かけ上の圧延方向の張力が増加する（図３中の太矢印）。そうすると、この張力に見合った圧延荷重、すなわち面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）に対応する面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）が消滅する。面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）が消滅すると、図４に示すように荷重低下領域に向かって、すなわち鋼板ＨのエッジＨ_ｅからセンターＨ_ｃに向かって板幅方向に金属が流入する（図４中の太矢印）。その結果、体積一定の原理により、板幅方向の金属の流入量に応じて鋼板ＨのセンターＨ_ｃにおける伸び歪が増大する。すなわち、面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）の消滅に対応する伸び歪差の増大が生じる（図４中の細矢印）。したがって、図５Ｃに示すように、この面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）の消滅に対応して増大する伸び歪差分布Δε_ｎ（ｘ）（以下、「座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）」という。）を、図１に示した鋼板Ｈの面外変形を拘束した場合の伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えることにより、鋼板Ｈにおける真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）が得られる。座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）は、鋼板Ｈが座屈することによって生じる伸び歪差分布であり、鋼板Ｈの面外変形を拘束した場合には、座屈は生じないため、観測されない歪差分布である。なお、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）と座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）は、共に面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）に対応した伸び歪差分布であり、これらは、同一の分布となるが、便宜上、異なる用語を使用している。

　上述のように本発明者は鋭意検討の結果、座屈によって変化する鋼板Ｈの板幅方向における圧延荷重差分布と伸び歪差分布において、鋼板Ｈの面外変形を拘束した場合、図５Ａに示した圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と伸び歪差分布Δε（ｘ）との相関があり、さらに図５Ｂに示した圧延荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）、ΔＰ_ｓｐ（ｘ）と伸び歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）、Δε_ｓｐ（ｘ）との相関があるという知見に基づいて、鋼板Ｈの面外変形を許した場合、図５Ｃに示した圧延荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）と伸び歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）、Δε_ｓｐ（ｘ）、Δε_ｎ（ｘ）との相関があることを発見し、この相関を定量的に把握した。そして、図５Ｃで示した真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）が、図５Ａ、図５Ｂで示した、面外変形を拘束した条件で得られる伸び歪差分布Δε（ｘ）よりも、座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）分だけ増大することを見出し、下記式（１）を導出するに至った。なお、特開２００５－１５３０１１号公報および特開２０１２－２１８０１０号公報に記載された従来の伸び歪差分布は、図５Ｂに示した伸び歪差分布Δε（ｘ）と同じである。下記式（１）に示される本発明の手法を用いて導出される真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）の方が、従来手法を用いて導出される伸び歪差分布よりも現実の伸び歪差分布に近い。
Δε’（ｘ）＝Δε（ｘ）＋Δε_ｎ（ｘ）・・・・（１）

＜第１の実施の形態＞
　次に、上述した知見に基づいて、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する方法の第１の実施の形態について説明する。図６は、本第１の実施の形態における鋼板Ｈの圧延制御方法を示すフローチャートである。

　先ず、鋼板Ｈの面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の鋼板Ｈの板幅方向における暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求める（図６のステップＳ１０）。この暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）は、公知の方法、例えば有限要素法（ＦＥＭ：Finite Element Method）、スラブ法、物理モデル、実験や計算の回帰式を用いて算出することができる。このステップＳ１０は公知技術である。
　本ステップＳ１０における圧延形状を予測するモデルは以前より取り組まれている。実操業で必要とされる板クラウン予測式は、数値解析手法による計算結果をもとに個々の圧延機ごとに統計的手法によって求めることが行われている。例えば、下記の文献１に示すように、板クラウンを、圧延機の弾性変形条件のみに依存する要因と、圧延材の塑性変形条件に依存する要因とに分離して導いた汎用的な圧延機出側の板クラウン予測式を用いる方法がある。
　　　　文献１：小川茂・松本鉱美・濱渦修一・菊間敏夫：塑性と加工（日本塑性加工学会誌），第２５巻　第２８６号（１９８４－１１）,　１０３４－１０４１
　これらを用いれば圧延機入側の板クラウンと出側の板クラウンを求めることが可能となる。そして、別途実験によって求めた形状変化係数ξにクラウン比率変化（Ch／h－CH／H）を掛けあわせることによって伸び歪み差Δεを求めることができる。すなわち、伸び歪差Δεは、下記の式（２）によって表すことができる。
Δε＝ξ・（Ｃｈ／ｈ－ＣＨ／Ｈ）・・・・（２）
なお、ＣＨは圧延機入側のクラウン、Ｈは圧延機入側の板厚、Ｃｈは圧延機出側のクラウン、ｈは圧延機出側の板厚である。本ステップＳ１０において、式（２）に基づいて暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求めることが可能である。

　次に、ステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）、鋼板Ｈの板厚と板幅、及び鋼板Ｈに作用する圧延機出側の張力に基づいて、鋼板Ｈの板幅方向における座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を求める（図６のステップＳ１１）。具体的には、これら暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）、鋼板Ｈの板厚と板幅、及び鋼板Ｈに作用する張力を用いて、有限要素法或いは平板の座屈解析により、鋼板Ｈが座屈に至る板幅方向における臨界的な伸び歪差分布である座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を算出する。

　なお、平板の座屈解析については、例えば日本塑性加工学会誌　塑性と加工、第２８巻第３１２号（１９８７－１）ｐ５８－６６（以下、文献２という）に示された、公知の三角形の残留応力分布（座屈臨界歪差分布）で定式化された座屈のモデルを用いて行い、あるいは任意離散化された分布については特開２００５－１５３０１１号公報に記載の方法に従う。特に特開２００５－１５３０１１号公報に記載の方法では、残留応力が幅方向に任意に分布した応力分布でも解析が可能なように、また、板幅方向位置毎に離散化された残留応力でも座屈解析が可能なように定式化している。
　また、座屈モデルは例えば日本塑性加工学会第63回塑性加工連合講演会公演論文集（2012年11月：明石，安澤，小川）（以下、文献３という）で示された手法を用いれば、板厚、板幅、張力および板幅方向に分布し且つ圧延方向には一様な残留ひずみ（あるいは残留応力）を入力すると座屈臨界ひずみ（応力）を計算することが出来る。
　特開２００５－１５３０１１号公報および文献３は、座屈解析によって座屈歪及び座屈モードを求め、その結果を受けて座屈後の面外変形の平坦度予測と面外変形後も残留する歪を推定する手法を検討したものである。以下に、特開２００５－１５３０１１号公報および文献３に記載の手法について説明する。
　当該手法では、以下の仮定を置いている。
（ａ）金属板は薄肉平板で板幅方向に残留する塑性歪は圧延方向及び厚さ方向に一様に分布する。
（ｂ）ユニットテンションを考慮し、塑性歪の結果として発生する残留応力が分布しても板幅方向に積分するユニットテンションと一致する。
（ｃ）塑性歪は圧延方向歪を考慮し、その他の成分は無視出来るとする。
　当該手法では、このような仮定に従い塑性歪を有する平板の座屈問題を解くためにエネルギ法を用いている。座屈解析に用いるエネルギ法はTrefftzの判定規準によって判定する。そして応力、歪、変位、歪エネルギ、ポテンシャルエネルギ等の必要な関係式及び基礎理論は、文献２に示されるものを利用する。当該手法では、板幅方向に不均一な塑性歪が発生した場合の座屈形状を予測するために新たに加えた項目を以下に示す。ここでは座標系は圧延方向ｘ軸、板幅方向ｙ軸、板厚方向をｚ軸とする。
（Ａ）板幅方向ｙ軸に対し要素分割を行い、座屈形状を評価する為の残留歪を塑性歪ε_ｘ ^＊(i)として各要素ｉに対して任意に与える。
（Ｂ）たわみ関数は板幅方向の塑性歪の不均一性を考慮するために図１９Ａおよび図１９ＢのＡ部のように２節点のbeam要素を用い、板幅方向のたわみ量を下記の式（３）に示される３次関数で表した。
ｗ（ｙ）＝ａ_１＋ａ_２ｙ＋ａ_３ｙ^２＋ａ_４ｙ^３　・・・・（３）
また、圧延方向の変位は一般的に周期性を持った正弦波形であることから、正弦波関数を掛けて式(４)のように置いた。
ｗ（ｘ，ｙ）＝ｗ（ｙ）ｓｉｎ（πｘ／Ｌ）　・・・・（４）
ここで、Ｌは、当該正弦波の半周期ピッチ（半波長）である。
以上のように塑性歪及び変位関数を要素毎に離散化し、文献２の基礎式に基づいて全ポテンシャルエネルギの第二変分δ^２πに対するδ(δ^２π)の変分操作を実施し、下記の式（５）に対してＦ＝０を満たす解を求めること、即ち固有問題の解として座屈応力及び座屈モードを求めることが、当該手法の解析内容となる。
Ｆ＝δ（δ^２π）
＝2∫∫_R[δw_1,x{Hσ_f＋EH(ε_m ^＊-ε_ｘ ^＊)}]w_1,x]dxdy
+2D∫∫_R[δw_1,xxw_1,xx＋δｗ_1,yyｗ_1,yy
+ν(δw_1,xxw_1,yy＋δw_1,yyW_1,xx)＋2(1－ν)δw_1,xyw_1,xy]dxdy　・・・・（５）
ここで、添え字１は座屈後の微小変位増分、ε_ｘ ^＊は塑性歪、ε_ｍ ^＊はε_ｘ ^＊の板幅方向の平均値、Hは板厚、σ_fはユニットテンション応力、Eはヤング率、νはポアソン比、D=EH³/12(1-ν²)である。この結果として、座屈臨界歪分布Δε_ｃｒ（ｘ）が求められる。

　次に、鋼板Ｈの座屈の判定を行う（図６のステップＳ１２）。具体的には、ステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）と、ステップＳ１１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）が下記式（６）を満たすか否かを判定する。
Δε（ｘ）＞Δε_ｃｒ（ｘ）・・・・（６）

　ステップＳ１２において、上記式（６）を満たさず、図７に示すようにステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）がステップＳ１１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えないと判定された場合、鋼板Ｈは座屈せず、平坦であると推定される。かかる場合、圧延条件を変更せずにそのままとして、鋼板Ｈの圧延を行うことにより、鋼板Ｈの形状を制御する（図６のステップＳ１３）。なお、図７は、図１～図４、図５Ａ～図５Ｃと同様、板幅方向における伸び歪差分布を示す図であるが、鋼板の板幅方向のセンターＨ_ｃにおける伸び歪を０として表示している。従って、図７の表示形態によれば、鋼板のエッジＨ_ｅにおける伸び歪は、負の値をとる。図８についても同様である。

　一方、ステップＳ１２において、上記式（６）を満たし、図８に示すようにステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）がステップＳ１１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えたと判定された場合、鋼板Ｈが座屈すると推定される。かかる場合、ステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）とステップＳ１１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）の差分を求める。この差分が図５Ｃで示した座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）となる（Δε_ｎ（ｘ）＝Δε（ｘ）－Δε_ｃｒ（ｘ））。そして、上記式（１）に従い、図９に示すように、座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）をステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えたものを真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）として求める（図６のステップＳ１４）。

　次に、ステップＳ１４で求められた真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）に基づいて、圧延条件を設定し、鋼板Ｈの圧延を行うことにより、鋼板Ｈの形状を制御する（図６のステップＳ１５）。具体的には、例えば真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）が座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）以下になるように圧延条件を設定する。そうすると、圧延後の鋼板Ｈは座屈せず、平坦になる。圧延条件としては、圧延荷重や、ロールの撓みを制御するロールベンダーのモーメント等が挙げられる。なお、圧延条件の設定は任意であって、必要に応じて、本アルゴリズムを通じて真の伸び歪差Δε’（ｘ）を決定し、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御できる。

　本第１の実施の形態によれば、ステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に対して、ステップＳ１４で求めた座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）を加えることによって、鋼板Ｈの真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を求める。このようにして伸び歪差分布を求めることにより、伸び歪差分布の予測精度を従来よりも高くすることができる。したがって、当該真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）に基づいて圧延条件を設定することにより、圧延後の鋼板Ｈの形状を自在に制御することができる。

　図１０と図１１は、本第１の実施の形態の効果を説明するためのグラフである。図１０及び図１１の横軸は鋼板のセンターからの距離を示し、縦軸は鋼板における圧延方向の伸び歪差を示している。なお、図１０及び図１１における伸び歪差は、鋼板のセンターを基準（ゼロ）とした値である。図１０及び図１１において、上下非対称モデルは鋼板Ｈの面外変形を許した条件でのＦＥＭによる圧延モデルであって、当該圧延モデルで求められる伸び歪差が正解となる。これに対して、図１０における上下対称モデルは、鋼板Ｈの面外変形を拘束した条件でのＦＥＭによる圧延モデルである。また、図１１における新モデルは、本第１の実施の形態の圧延モデルであって、上記真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を反映したモデルである。そして、各モデルを用いて、鋼板の圧延のシミュレーションを行った。

　図１０に示すように、従来の上下対称モデルにより求められる伸び歪差分布は、上下非対称モデルにより求められる伸び歪差分布と異なる。これに対して、図１１に示すように、本第１の実施の形態の新モデルにより求められる伸び歪差分布は、上下非対称モデルにより求められる伸び歪差分布とほぼ同一となる。したがって、本第１の実施の形態によれば、鋼板の伸び歪差分布を従来よりも精度よく正確に予測できることが分かる。

　そして、本発明者がさらに調べたところ、本第１の実施の形態に示した方法を用いて鋼板の形状を制御したところ、形状に起因する歩留まりが従来に比べて１％改善することが分かった。

　なお、本第１の実施の形態において、座屈に起因する圧延機出側の張力の変動に基づいて真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を求めてもよい。具体的には、ステップＳ１４で求めた座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）を鋼板Ｈに作用する張力に変換する。圧延機出側の張力の変動によって生じる板幅方向における圧延荷重差分布の変化ΔＰ_ｎ（ｘ）を求め、さらに下記式（７）に示すようにΔＰ_ｎ（ｘ）を板幅方向ｘに２階微分することで伸び歪差分布Δε_ｎ’（ｘ）を求める。そして、下記式（８）に示すように、式（７）によって求められる伸び歪差Δε_ｎ’（ｘ）をステップＳ１０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えたものを、真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）として求める。
Δε_ｎ’（ｘ）＝ｄ^２ΔＰ_ｎ（ｘ）／ｄｘ^２・・・・（７）
Δε’（ｘ）＝Δε（ｘ）＋Δε_ｎ’（ｘ）・・・・（８）

　このように、座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）を一旦張力に変換した変換張力を求め、さらにこの変換張力に対応する伸び歪差分布Δε_ｎ’（ｘ）を求めているので、求められた伸び歪差分布Δε_ｎ’（ｘ）は実現象に近くなる。しかも、当該伸び歪差分布Δε_ｎ’（ｘ）を求める際、圧延荷重差分布の変化ΔＰ_ｎ’（ｘ）を２階微分しているので、さらに実現象に近くなる。したがって、鋼板Ｈの真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）をさらに精度よく予測することができる。
　なお、本実施形態では、ステップＳ１０において、暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求めているが、暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）が既知である場合、あるいは既に求めたものを流用可能な場合には、ステップＳ１０を省略することが可能である。この場合、ステップＳ２０において、既知の暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を用いて座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を求める。

＜第２の実施の形態＞
　次に、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する方法の第２の実施の形態について説明する。図１２は、本第２の実施の形態における鋼板Ｈの圧延制御方法を示すフローチャートである。

　先ず、鋼板Ｈの面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の板幅方向における暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と、圧延時の鋼板Ｈの板幅方向における暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求める（図１２のステップＳ２０）。これら暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）は、上記ステップＳ１０と同様に公知の方法、例えば有限要素法（ＦＥＭ）、スラブ法、物理モデル、実験や計算の回帰式を用いて算出することができる。

　次に、ステップＳ２０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）、鋼板Ｈの板厚と板幅、及び圧延機出側の鋼板Ｈに作用する張力に基づいて、鋼板Ｈの板幅方向における座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を求める（図１２のステップＳ２１）。ステップＳ２１は、上記ステップＳ１１と同様の方法で行われる。

　次に、鋼板Ｈの座屈の判定を行う（図１２のステップＳ２２）。ステップＳ２２は、上記ステップＳ１２と同様の方法で行われる。

　ステップＳ２２において、ステップＳ２０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）がステップＳ２１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えないと判定された場合、鋼板Ｈは座屈しないと推定される。かかる場合、圧延条件を変更せずにそのままとして、鋼板Ｈの圧延を行うことにより鋼板Ｈの形状を制御する（図６のステップＳ２３）。

　一方、ステップＳ２２において、ステップＳ２０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）がステップＳ２１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を超えたと判定された場合、鋼板Ｈが座屈すると推定される。かかる場合、図１３に示すようにステップＳ２０で求めた暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）との相関を求めておく。この相関に基づいて、ステップＳ２１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）に対応する座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）を求める。そして、ステップＳ２０で求めた暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と本ステップＳ２４で求めた座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）の差分である面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）（ΔＰ_ｓｐ（ｘ）＝ΔＰ（ｘ）－ΔＰ_ｃｒ（ｘ））を求める。さらに、圧延機の出側と入側で金属板のクラウン比率変化がないと仮定して、公知の方法、例えば有限要素法（ＦＥＭ）、スラブ法、物理モデル、実験や計算の回帰式を用いて、面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）から面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）を求める。なお、面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ（ｘ）から面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）を求める際に、ステップＳ２０で求めた暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）との相関を用いてもよい。そして、下記式（９）に示すように面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）をステップＳ２０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えたものを真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）として求める（図１２のステップＳ２４）。
Δε’（ｘ）＝Δε（ｘ）＋Δε_ｓｐ（ｘ）・・・・（９）

　次に、ステップＳ２４で求めた真の伸び歪差Δε’（ｘ）に基づいて、圧延条件を設定し、鋼板Ｈの圧延を行うことにより、鋼板Ｈの形状を制御する（図１２のステップＳ２５）。ステップＳ２５は、上記ステップＳ１５と同様の方法で行われる。

　本第２の実施の形態は、上記第１の実施の形態の変形例である。第１の実施の形態と第２の実施の形態では、暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）から増加する分の伸び歪差分布を算出する方法が異なる。第１の実施の形態のステップＳ１４では、暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）と座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）の差分から伸び歪差の増加分を求めるのに対し、第２の実施の形態のステップＳ２４では、暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ）と座屈臨界荷重差分布ΔＰ_ｃｒ（ｘ）の差分から伸び歪差の増加分を求める。したがって、第２の実施の形態では、第１の実施の形態と同様の効果を享受できる。すなわち、鋼板Ｈの真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を従来よりも精度よく正確に予測することができる。さらに当該真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）に基づいて圧延条件を設定することにより、圧延後の鋼板Ｈの形状を自在に制御することができる。

＜第３の実施の形態＞
　次に、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する方法の第３の実施の形態について説明する。図１４は、本第３の実施の形態における鋼板Ｈの圧延制御方法を示すフローチャートである。

　本第３の実施の形態における図１４に示すフローチャートのステップＳ３０～Ｓ３３は、それぞれ上記第２の実施の形態におけるステップＳ２０～Ｓ２３と同様である。なお、後述するようにステップＳ３０～３４を繰り返し行うため、説明の便宜上、各パラメータの添え字に繰り返しの回数を付す。例えば１回目のステップＳ３０では圧延荷重差分布ΔＰ_１（ｘ）と伸び歪差分布Δε_１（ｘ）が求められ、１回目のステップＳ３１では座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ１（ｘ）が求められる。

　ステップＳ３４は、ステップＳ３２において、ステップＳ３０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε_１（ｘ）がステップＳ３１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ１（ｘ）を超え、鋼板Ｈが座屈すると判定された場合に行われる処理である。かかる場合、図１３に示すようにステップＳ３０で求めた暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ_１（ｘ）と暫定的な伸び歪差分布Δε_１（ｘ）との相関を求めておく。一方、ステップＳ３０で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε_１（ｘ）とステップＳ３１で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ１（ｘ）との差分である面外変形歪差分布Δε_ｓｐ１（ｘ）（Δε_ｓｐ１（ｘ）＝Δε_１（ｘ）－Δε_ｃｒ１（ｘ））を求める。上記相関に基づいて、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ１（ｘ）に対応する面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ１（ｘ）を求める。そして、図１５に示すようにステップＳ３０で求めた暫定的な圧延荷重差分布ΔＰ_１（ｘ）に面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ１（ｘ）を重ね合わせて、新たな圧延荷重差分布ΔＰ_２（ｘ）を算出する（図１４のステップＳ３４）。すなわち、新たな圧延荷重差分布ΔＰ_２（ｘ）は下記式（１０）で表すことができる。
ΔＰ_２（ｘ）＝ΔＰ_１（ｘ）＋ΔＰ_ｓｐ１（ｘ）・・・・（１０）
なお、座屈が生じた場合には、面外変形荷重差分布ΔＰ_ｓｐ１（ｘ）が消滅するため、実際には、ΔＰ_２（ｘ）を求める場合には、ΔＰ_１（ｘ）からΔＰ_ｓｐ１（ｘ）を差し引く処理を行うこととなる。

　本第３の実施の形態では、圧延機の出側と入側で金属板のクラウン比率変化があると仮定する。すなわち、鋼板Ｈに作用する圧延荷重が変動する場合、当該圧延荷重の変動によって圧延機１０のロールのたわみが変動し、鋼板Ｈの伸び歪が変動すると仮定する。そして、ステップＳ３４で求めた新たな圧延荷重差分布ΔＰ_２（ｘ）に平均圧延荷重を加えて新たな圧延荷重差分布を求め、ステップＳ３０に戻って前記新たな圧延荷重差分布に基づいて新たな伸び歪差分布Δε_２（ｘ）を算出する。続いてステップＳ３１において、新たな伸び歪差分布Δε_２（ｘ）、鋼板Ｈの板厚と板幅、及び圧延機出側の鋼板Ｈに作用する張力に基づいて、新たな座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ２（ｘ）を求める。そして、ステップＳ３２を経て、再びステップＳ３４において新たな圧延荷重差分布ΔＰ_３（ｘ）を算出する。なお、ステップＳ３４で用いる圧延荷重差分布と伸び歪差分布との相関については、１回目に圧延荷重差分布ΔＰ_１（ｘ）と伸び歪差分布Δε_１（ｘ）の相関を求めておけばよく、２回目以降においても当該相関が繰り返し用いられる。

　そして、ステップＳ３０～Ｓ３４をＭ回（Ｍは自然数）行うことで、最終的に伸び歪差分布Δε_Ｍ（ｘ）と新たな座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒＭ（ｘ）を算出する。そして、伸び歪差分布Δε_Ｍ（ｘ）と新たな座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒＭ（ｘ）の差分である座屈助長歪差分布Δε_ｎＭ（ｘ）（Δε_ｎＭ（ｘ）＝Δε_Ｍ（ｘ）－Δε_ｃｒＭ（ｘ））を求め、下記式（１１）に示す通り、この座屈助長歪差分布Δε_ｎＭ（ｘ）を伸び歪差分布Δε_Ｍ（ｘ）に加えたものを真の伸び歪差Δε’（ｘ）として求める（図１４のステップＳ３５）。
Δε’（ｘ）＝Δε_Ｍ（ｘ）＋Δε_ｎＭ（ｘ）・・・・（１１）

　次に、ステップＳ３５で求めた真の伸び歪差Δε’（ｘ）に基づいて、圧延条件を設定し、鋼板Ｈの圧延を行うことにより、鋼板Ｈの形状を制御する（図１４のステップＳ３６）。ステップＳ３６は、上記ステップＳ２５と同様の方法で行われる。

　本第３の実施の形態によれば、圧延機の出側と入側で金属板のクラウン比率変化があると仮定して、ステップＳ３０～ステップＳ３４を繰り返し演算している。したがって、座屈助長歪差分布Δε_ｎＭ（ｘ）の精度が向上し、鋼板Ｈの真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）をさらに精度よく予測することができる。

　図１６は本第３の実施の形態の効果を説明するためのグラフである。図１６の横軸はステップＳ３０～Ｓ３４の繰り返し回数Ｍを示し、縦軸は鋼板の形状予測の正解率を示している。ここでの正解率は、実際に製造された鋼板の急峻度に対する、シミュレーションによって得られる鋼板の急峻度の割合（計算急峻度／実績急峻度）を指す。なお、急峻度とは、中伸び、端伸びなどの程度を表す指標であり、波高さとその波のピッチの比をパーセントで表示した値である。図１６を参照すると、繰り返し回数Ｍを増加させると、形状予測の正解率が向上することが分かる。

　なお、繰り返し回数Ｍは任意に設定することができ、例えば予め所定の回数に設定しておいてもよいし、或いは座屈助長歪差分布Δε_ｎＭ（ｘ）が収束するまで繰り返してもよい。

＜その他の実施の形態＞
　以上の第１の実施の形態、第２の実施の形態、第３の実施の形態は、それぞれ図１７に示す圧延ライン１において実行される。圧延ライン１は、上述した圧延機１０と、当該圧延機１０を制御する圧延制御装置２０とを有している。圧延制御装置２０は、演算部２１と制御部２２を有している。演算部２１は、第１の実施の形態のステップＳ１０～Ｓ１４、第２の実施の形態のステップＳ２０～Ｓ２４、第３の実施の形態のステップＳ３０～Ｓ３５における演算を行う。制御部２２は、演算部２１の演算結果、すなわち真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）に基づいて圧延条件を設定する。そして、この圧延条件を圧延機１０に出力して当該圧延機１０を制御することにより、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する。
　図１８は、圧延制御装置２０によって実施される処理の流れの一例を示すフローチャートである。
　ステップＳ１０１において、演算部２１は、圧延制御装置２０に設定される暫定的な圧延条件の入力を受け付ける。
　ステップＳ１０２において、演算部２１は、入力の受け付けを行った圧延条件に基づいて、圧延時の鋼板Ｈの板幅方向における暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）を求める。
　ステップＳ１０３において、演算部２１は、ステップＳ１０１で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）、鋼板Ｈの板厚と板幅、及び鋼板Ｈに作用する圧延機出側の張力に基づいて、鋼板Ｈの板幅方向における座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）を求める。
　ステップＳ１０４において、演算部２１は、座屈判定を行う。具体的には、ステップＳ１０２で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）と、ステップＳ１０３で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）が上記式（６）を満たすか否かを判定する。演算処理部２１は、上記式（６）が満たされると判定した場合（座屈が生じると推定される）には、処理をステップＳ１０６に移行し、上記式（６）が満たされないと判定した場合（座屈が生じないと推定される場合）には、処理をステップＳ１０５に移行する。
　ステップ１０５において、演算部２１は、ステップＳ１０１において入力を受け付けた暫定的な圧延条件の変更が不要である旨を制御部２２に通知する。
　ステップＳ１０６において、演算部２１は、ステップＳ１０２で求めた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）とステップＳ１０３で求めた座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）の差分を座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）として求める。（Δε_ｎ（ｘ）＝Δε（ｘ）－Δε_ｃｒ（ｘ））。そして、演算部２１は、上記式（１）に従い、座屈助長歪差分布Δε_ｎ（ｘ）を暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）に加えたものを真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）として求める。演算部２１は、上記のようにして導出した真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を制御部に供給する。
　ステップＳ１０７において、制御部２２は、真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）に基づいて新たな圧延条件を導出する。制御部２２は、例えば真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）が座屈臨界歪差分布Δε_ｃｒ（ｘ）以下になるように新たな圧延条件を導出する。なお、新たな圧延条件の導出を演算部２１が行ってもよい。
　ステップＳ１０８において、制御部２２は、圧延条件の変更が不要である旨の通知を演算部２１から受けた場合には、当初の圧延条件を圧延機１０に出力して圧延機１０を制御することにより、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する。一方、制御部２２は、ステップＳ１０７において新たな圧延条件が導出された場合には、当該新たな圧延条件を圧延機１０に出力して圧延機１０を制御することにより、圧延後の鋼板Ｈの形状を制御する。
　ステップＳ１０９において、制御部２２は、圧延を終了するか否かに判定を行う。盛業部２２は、圧延を終了しないと判定した場合には処理をステップＳ１０１に戻し、圧延を終了すると判定した場合には、本ルーチンを終了させる。
　なお、図１８に示す圧延制御装置２０による処理の流れは、図６（第１の実施形態）に係る圧延制御方法に対応するものを例示したが、圧延制御装置２０は、図１２（第２の実施形態）または図１４（第３の実施形態）に係る圧延制御方法に対応する処理を実行するように構成されていてもよい。

　また、圧延ライン１には、圧延機１０の出側において形状計３０が設置されていてもよい。形状計３０は、圧延後の鋼板Ｈの形状を測定する。鋼板Ｈの形状としては、鋼板Ｈの圧延方向位置及び板幅方向位置と、その位置における高さ変位が測定される。形状計３０における測定結果は、圧延制御装置２０に出力される。圧延制御装置２０では、演算部２１において、形状計３０の測定結果に基づいて面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）が補正され、これに伴い真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）が補正される。この真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）の補正は、特開２０１２－２１８０１０号公報に記載の方法に従う。すなわち、先ず、形状計３０の測定結果に基づいて、実績の面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）を求める。この実績の面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）と、上記実施の形態において予測した面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）とを比較し、これらの差分（誤差）Ｅをモデルの誤差とし、この差分Ｅに基づいて、ステップＳ１０、Ｓ２０、Ｓ３０で求められる暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）（圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ））に対して学習、修正を行う。具体的には、ステップＳ１０、Ｓ２０、Ｓ３０で求められた暫定的な伸び歪差分布Δε（ｘ）（圧延荷重差分布ΔＰ（ｘ））に対して差分Ｅを加えた後に、以降の各処理を行って真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を求める。そして、制御部２２では、演算部２１における真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）の補正結果に基づいて、鋼板Ｈの形状が目標形状となるように圧延条件が補正される。こうして、形状計３０の測定結果に基づいて、圧延条件がフィードバック制御される。本発明者が調べたところ、このようにフィードバック制御を行うことによって、形状に起因する歩留まりがさらに０．５％改善することが分かった。

　本発明は、圧延機１０の入側において鋼板Ｈが面外変形している場合にも適用することができる。本発明者が調べたところ、このように圧延機入側で鋼板Ｈが面外変形している場合、当該圧延機入側で鋼板Ｈが面外変形していない場合に比べて、圧延後の鋼板Ｈにおける伸び歪差分布が大きくなることが分かった。換言すれば、従来の方法によれば鋼板の形状予測精度がさらに悪化する。これに対して、本発明では、この圧延機入側での面外変形分に対応する伸び歪差分布を、面外変形歪差分布Δε_ｓｐ（ｘ）に含めることができるので、鋼板Ｈにおける真の伸び歪差分布Δε’（ｘ）を予測するのに影響がない。したがって、圧延機入側で鋼板Ｈが面外変形していても、当該鋼板Ｈの形状を適切に制御することができる。

　なお、以上の実施の形態では、鋼板に中波が発生する例を用いて本発明を説明したが、耳波やクォータ波が発生する場合にも本発明を適用することができる。

　以上、添付図面を参照しながら本発明の好適な実施の形態について説明したが、本発明はかかる例に限定されない。当業者であれば、特許請求の範囲に記載された思想の範疇内において、各種の変更例または修正例に想到し得ることは明らかであり、それらについても当然に本発明の技術的範囲に属するものと了解される。

　本発明は、薄板や厚板などの金属板の圧延後の形状を予測して、当該予測結果に基づいて、当該金属板の形状を制御する場合に有用である。
　なお、２０１４年９月１６日に出願された日本国特許出願２０１４－１８７２９０の開示は、その全体が参照により本明細書に取り込まれる。また、本明細書に記載された全ての文献、特許出願および技術規格は、個々の文献、特許出願、および技術規格が参照により取り込まれることが具体的かつ個々に記された場合と同程度に、本明細書中に参照により取り込まれる。

Claims

　金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第１ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分と、前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第２ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第３ステップと、
　を含む圧延制御方法。
　前記暫定的な伸び歪差分布を求めるステップを更に含む
　請求項１に記載の圧延制御方法。
　前記第２ステップにおいて、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分を前記圧延機の出側において前記金属板に作用する張力に変換した変換張力を求め、前記変換張力に対応する伸び歪差分布と、前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて前記真の伸び歪差分布を求める
　請求項１または請求項２に記載の圧延制御方法。
　前記第２ステップにおいて、前記変換張力に対応する前記金属板の前記板幅方向における圧延荷重差分布を、前記板幅方向に２階微分したものを前記変換張力に対応する伸び歪差分布として求める
　請求項３に記載の金属板の圧延制御方法。
　金属板の面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の板幅方向における圧延荷重の差の分布である暫定的な圧延荷重差分布および圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の前記板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布を求める第１ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第２ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な圧延荷重差分布と前記暫定的な伸び歪差分布との相関から、前記座屈臨界歪差分布に対応する圧延荷重差分布である座屈臨界荷重差分布を求めて、前記暫定的な圧延荷重差分布と前記座屈臨界荷重差分布の差分を求め、前記圧延機の出側と入側で前記金属板のクラウン比率変化が無いと仮定して、前記差分に対応する歪差分布と前記暫定的な伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第３ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第４ステップと、
　を含む圧延制御方法。
　金属板の面外変形を拘束した条件で、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の板幅方向における圧延荷重の差の分布である暫定的な圧延荷重差分布および圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の前記板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布を求める第１ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第２ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な圧延荷重差分布と前記暫定的な伸び歪差分布との相関から、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布の差分である面外変形歪差分布に対応する面外変形荷重差分布を求めて、前記面外変形荷重差分布を前記暫定的な圧延荷重差分布に重ね合わせて新たな圧延荷重差分布を導出し、前記金属板にクラウン比率変化が有ると仮定して、前記新たな圧延荷重差分布に基づく新たな伸び歪差分布を求め、さらに当該新たな伸び歪差分布、前記金属板の板厚と板幅、及び前記圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて新たな座屈臨界歪差分布を求める第３ステップと、
　前記新たな伸び歪差分布と前記新たな座屈臨界歪差分布との差分を求め、この差分と当該新たな伸び歪差分布とを加えて真の伸び歪差分布を求める第４ステップと、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記第２ステップで求められる前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記第２ステップで求められた前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第５ステップと、
　を含む圧延制御方法。
　前記第３ステップで求められる前記新たな伸び歪差分布が前記第１ステップで求められる前記暫定的な伸び歪差分布であると仮定し、前記第３ステップで求められる前記新たな座屈臨界歪差分布が前記第２ステップで求められる座屈臨界歪差分布であると仮定して、前記第３ステップを複数回行う請求項６に記載の圧延制御方法。
　前記圧延機の入側において前記金属板が面外変形している
　請求項１から請求項７のいずれか一項に記載の圧延制御方法。
　前記圧延機の出側に設置した形状計を用いて圧延後の前記金属板の形状を測定するステップと、
　測定された前記金属板の形状から求められる面外変形に変換される実績の伸び歪差分布と、面外変形に変換される予測の伸び歪差分布との差分に基づいて前記暫定的な伸び歪差分布を修正するステップと、
　を更に含む請求項１から請求項８のいずれか一項に記載の圧延制御方法。
　金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求め、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分と、前記暫定的な伸び歪差分布と、を加えて真の伸び歪差分布を求める演算部と、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記所定の圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う制御部と、
　を含む圧延制御装置。
　金属板の面外変形を拘束した条件で求められる、所定の圧延条件下での圧延時の前記金属板の圧延方向に伸びる歪の板幅方向における差の分布である暫定的な伸び歪差分布、前記金属板の板厚、前記金属板の板幅、及び圧延機の出側における前記金属板に作用する張力に基づいて、前記金属板が座屈に至る前記板幅方向における臨界的な歪差分布である座屈臨界歪差分布を求める第１の工程と、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合、前記暫定的な伸び歪差分布と前記座屈臨界歪差分布との差分と、前記暫定的な伸び歪差分布と加えて真の伸び歪差分布を求める第２の工程と、
　前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えない場合には、前記圧延条件を変更せずに前記金属板の圧延を行い、前記暫定的な伸び歪差分布が前記座屈臨界歪差分布を超えた場合には、前記真の伸び歪差分布に基づいて設定された圧延条件で前記金属板の圧延を行う第３の工程と、
　を含む圧延金属板の製造方法。