JPH03502381A - 有限エレメント解析のためのメッシュ生成方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 有限エレメント解析のためのメツシュ生成方法及び装置 本発明の背景 本発明は一般的には有限エレメント解析のための方法及び装置に関するものであ り、さらに特定すれば、解析に必要なエレメントのメツシュを生成する方法及び 装置に関するものである。

有限エレメント解析（ＦＥＡ）は工学及び物理学の数学的問題を解くための強力 な数値的方法である。有限エレメント解析は、例えば器械の部品、水圧システム 、印刷回路基板というような対象の物理的特性を決定するのに、特に適している 。有限エレメントの方法の基礎概念は、例えば温度、圧力、熱、電界のような任 意の連続的物理特性が、断片的には連続な関数の集合からなる離散的モデルで近 似てきるということである。これらの関数は対象の有限個の部分領域上で定義さ れている。

今日、有限エレメント解析は典型的にはコンピュータにより実行され、前処理、 処理、後処理という３ステツプの手順から成っている。前処理は、対象を表すデ ータを検索し、該対象の領域を覆う幾何学的エレメントのメツシュをそれから生 成することから成る。処理は解析ステップで、エレメント・データを検索し、該 領域に亙る特性の行列方程式を解く有限エレメントの方法で用いられる数学方程 式を与える。後処理は、例えば該領域に亙る特性値を示す色分けした特性のグラ フ表示のような理解可能な形式で、解析結果をユーザに提供する。

受容できるメツシュを解析用に生成する前処理ステップは、有限エレメント解析 を用いる時の主要な隘路である。現在のメツシュ生成方法は、用いられるメツシ ュによって何時間から何日という時間か掛かる。典型的にはそれらの方法は、エ レメントがその中で生成される領域を形成するために、対象の結節点又は頂点を 採ることがユーザに要求される。例えば、たやすくメツシュを生成するためにコ ンピュータ・スクリーン上でユーザは対象を四辺形に手で分割する。けれども最 適メツシュ生成のための四辺形の大きさ及び形状の選定は直観的なものではない 。従って有限エレメント解析の専門家ではない実行技術者は恐らく最良の選択を しないだろう。さらに、一旦領域が定められると、ユーザは各領域内部のメツシ ュを生成するため領域の境界上の多数の任意の垂直及び水平接続点をいちいち挙 げなければならない。その結果得られたメツシュは不十分な外観比、例えばある エレメントの最長側辺と最短側辺の比、を持つ多数のエレメントを含み、それは 解析を歪曲することがある。二一ザの専門的知識のみかこれを防ぐことができる 。この理由で多数の会社かその製品に対して有限エレメント解析を実施するため に経費の嵩む専門家を雇っている。この種の前処理を採用している従来の技術に よる有限エレメント解析（ＦＥＡ）方法の実例は、Ｐｅｎｎ５ｙｌｖａｎｉａ州 ＨｏｕｓｔｏｎにあるＳｗａｎｓｏｎ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｓｙｓｔｅｍｓ。

Ｉｎｃ、から出されたＡＮＳＹＳ　ＦＥＡプログラムとか、Ｃａ１ｉｆｏｒｎｉ ａ州ＬｏｓＡｎｇｅｌｅｓのＭａｃＮｅａｌ−３ｃｈｗｅｎｄｌｅｒ　Ｃｏｒｐ 、から出されたＮＡＳＴＲＡＮ　ＦＥＡプログラムとか、Ｃａ１ｉｆｏｒｎｉａ 州Ｌｏｓ　ＡｎｇｅｌｅｓのＰＤＡ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ社から出されたＰ ａｔｒａｎ　ＦＥＡプログラムとか、Ｆｕｊｉｔｓｕ　ｏｆ　Ａｍｅｒｉｃａ社 から出されたＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｌｉｂｒａｒｙ　ｆｏｒ　Ｍｏｄｅｌｉ ｎｇ（ＥＬＭ）である。これら及びその他の従来技術のＦＥＡ方法は、エレメン トのメツシュを生成するのに連続したユーザ入力を必要とする。

従来技術の方法及び類似のコンピュータに基づ＜　ＦＥＡ方法は紛れもなくそれ 以前の手でやる方法の改善である。しかしこれらの方法はやはりなおメツシュを 生成するのにユーザ側に相当の時間と専門的知識とを必要とする。メツシュを生 成する過程で、ユーザはいかにして所与の対象領域を、解析に適する単純な幾何 学的部分領域の収集によって表すかに関与することを強いられる。これは専門家 にとってさえ困難で退屈な手作業である。

従って、本発明の目的は対象の有限エレメント解析用のメツシュ生成のための改 良された方法及び装置を提供することである。

本発明のもう１つの目的は、対象用のメツシュ生成のために要する時間を、メツ シュ生成過程をユーザにとって透明なものとすることにより画期的に減少させる ことである。

本発明のさらにもう１つの目的は、ユーザにとって対象の幾何学的関係以外に特 定の条件を明らかにする必要のないメツシュを生成する上記の方法及び装置を提 供することである。

本発明のさらにもう１つの目的は、イニシアル（当初）メツシュのエレメントを 自動的にリファインしてメツシュの品質を改善するような上記の方法及び装置を 提供することである。

本発明のさらにもう１つの目的は、生成された各エレメントが受容標準に合致す るか又はそれ以上リファインてきないまでにメツシュをリファインする規約のエ クスパート・システムを用いるような上記の方法及び装置を提供することである 。

この目的を達成するために、芸に説明するメツシュを生成する方法は、対象の幾 何学的表現か一旦装置に与えられたならユーザの入力を必要としない２ステツプ の自動過程を有する。この方法では、対象の幾何学的関係がまず始めに対象（部 分領域）ポイントに関して定義され、そこでは各部分領域は例えば印刷回路基板 や基板中の孔や基板上に搭載された構成部品のような別々の幾何学的領域である 。次いて対象の幾何学的関係の周りのフレームを定義する境界ポイントが、少な くとも１つのエレメントから成るメツシュを造出するために生成される。対象ポ イントと境界ポイントから、最初のエレメントのメツシュが特有のアルゴリズム に随って自動的に生成される。それから過程の第２のステップで、このメツシュ 中の各エレメントが個別に検討されて予め定められた受容標準に合致するかどう かが判定され、もし合致していなければリファインされる。この過程のステップ では、規約に基づくエクスパート・システムを用いて、特有のアルゴリズムに随 うその後のメツシュ生成のため自動的リファインするステップは、メツシュ中の 各エレメントが受容標準に合致するかこれ以上リファインできないと信じられる まで繰り返される。

本実施例においては、該方法及び装置はディジタル・コンピュータで実行可能な コンピュータ・プログラムを持っている。

このプログラムは各ライン・セグメントの終端ポイントを集めることにより対象 の幾何学的関係を定義する。曲線が存在するときは、該曲線は複ライン・セグメ ントにより近似され各セグメントの終端ポイントが集められる。次いでプログラ ムは、各対象部分領域の始めと終わりを定義するそれらの終端ポイントをマーク する。特有のアルゴリズムは当初メツシュを集めるのに「反転」エツジの概念を 用いる。反転エツジとは、エレメントがそれを横切って到達してはならない対象 部分領域の縁である。

過程の第２のステップでは、本実施例で採用された受容度の標準は各エレメント に対する最小角度である。外観比のようなその他の標準も使用できる。エクスパ ート・システムの規約は予め定められた順序でチェックすることができ、もし必 要なら衝突をさけるようなやり方で適用される。

前述およびその他の本発明の目的、特徴、利点は以下に述べる添付図面を引用し てなされる好適実施例の詳細な説明によって一層明らかにされよう。

図面の簡単な説明 第１図は、コンピュータ内部で実行可能なコンピュータ・プログラムの実施例と しての本発明の方法の一部分のフロラチャートであり、 第２図は、該方法の第２の部分のフロラチャートであり、第３図は、該方法の第 ３の部分のフロラチャートであり、第４図は、ユーザによって入力された対象の コンピュータ・スクリーンへの表示で、それから該対象の有限エレメント解析用 のエレメントのメツシュが生成されるものを示し、第５対象の領域の周りに生成 された直角フレームにより与えられるイニシアル・メツシュのスクリーンへの表 示を示し、第６図は、メツシュに一番目の対象ポイントが付加された後に表れる イニシアル・メツシュのスクリーンへの表示を示し、第７図は、メツシュに二番 目の対象ポイントが付加された後に表れるイニシアル・メツシュのスクリーンへ の表示を示し、第８図は、メツシュに最後の対象ポイントが付加された後に表れ るイニシアル・メツシュのスクリーンへの表示を示し、第９図は、予め定められ た受容標準に合致できなかったエレメントの検出を説明するメツシュのスクリー ンへの表示を示し、第１０図は、受容できないエレメントをリファインするため にあるエクスパート・システム規約が適用された後のメツシュのスクリーンへの 表示を示し、 第１！図は、予め定められた受容標準に合致できなかった第２のエレメントの検 出を説明するメツシュのスクリーンへの表示を示し、 第１２図は、受容できないエレメントをリファインするためにもう１つのエクス パート・システム規約が適用された後のメツシュのスクリーンへの表示を示し、 第１３図は、受容できなかった３番目のエレメントの検出を説特表千３−５０２ ３８１　（５） 明するメツシュのスクリーンへの表示を示し、第１４図は、受容できないエレメ ントをリファインするためにさらにもう１つのエクスパート・システム規約が適 用された後のメツシュのスクリーンへの表示を示し、第１５図は、受容できなか った４番目のエレメントの検出を説明するメツシュのスクリーンへの表示を示し 、第１６図は、受容できないエレメントをリファインするためにさらにもう１つ のエクスパート・システム規約が適用された後のメツシュのスクリーンへの表示 を示し、第１７図は、受容できなかった５番目のエレメントの検出を説明するメ ツシュのスクリーンへの表示を示し、第１８図は、受容できないエレメントをリ ファインするためにさらにもう１つのエクスパート・システム規約が適用された 後のメツシュのスクリーンへの表示を示し、゛第１９図は、リファイン後の最後 のメツシュのスクリーンへの表示を示し、 第２０図は、分離された部分領域を含む任意に形付けられた領域のイニシアル・ メツシュのスクリーンへの表示を示し、第２１図は、第２０図の領域のために創 造された最後のメツシュのスクリーンへの表示を示し、 第２２図は、第２１図に示す最後のメツシュから領域の外部にあるエレメントを 除去したもののスクリーンへの表示を示す。

詳細な説明 〔序論〕 本発明は、ある対象の有限エレメント解析（ＦＥＡ）用のメツシュを生成するた めの方法及び装置を含む。この実施例では、該装置及び方法は、ＭａＳＳａＣｈ ＵＳｅｔ　ｔｓ州にあるＡｐｏｌｌｏ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ、　Ｉｎｃ。

社製のワークステーション上又はこれと同等の能力をもつ他のコンピュータ上で 走るのに適合するコンピュータ・プログラムの内部に具体化されている。該プロ グラムは、以下に述べるステップをプログラミングの分野の当業者が実行するの に適したいかなる言語で書かれることもてきるが、たまたまＡＴ＆Ｔ社のＣ＋＋ 言語で書かれている。しかし本発明の装置及び方法は、コンピュータ上で実行可 能なコンピュータ・プログラムの実施例に限定される必要はない。本記述はこの 文脈において本発明の可能なことの説明を提供する目的のみのためになされる。

本発明によるメツシュ生成方法は、対象の幾何学的表現が一旦プログラムに与え られたなら、ユーザの入力を必要としない２ステツプの自動過程である。２つの 主要過程ステップの各々は多数の内部ステップを有する。従来のＦＥＡ方法とは 違って、エレメントの当初メツシュは、対象の部分領域を定義するプログラムか 選択したポイントから第１ステツプにおいて直接生成される。本実施例中のメツ シュ・エレメントはその形状が三角形である、但し若しそうしたければ、三角形 に分解できる四辺形又はその他の多角形を中間ステップとして造り出すこともで きる。しかしこのイニシアル・メツシュは通常有限エレメント解析のためには満 足すべきものではない。生成された多数のエレメントは外観比が貧弱なため解析 用としては受容できない形状を持っているに違いない。換言すれば最大の側辺又 は多角形の角と最小の側辺又は角との比があまりに大き過ぎるのである。

外観比が貧弱なエレメントは悪条件のマトリクスを生成し、それはメツシュの特 性の近似に誤差を導入する。

これらのエレメントが受容できるようにリファインするために、過程の第２ステ ツプが用いられる。このステップは、イニシアル・メツシュ中の受容できない各 エレメントをリファインする一組の規約を適用する、規約に基づいたエクスパー ト・システムの使用を含む。該方法はユーザからの入力の必要なしに、例えば各 エレメントに対し外観比が３：１以下というような予め定められた受容標準に合 致し得ながった各エレメントをリファインする。合致し得なかった各エレメント に対して、エレメントの形状をリファインするために“ｆｉｒｅｓ”というセッ トのどの規約を用いるかを先ず第一に決定する。次いで適切な規約が適用される 。各エレメントが規約の適用によって最早リファインされなくなるまで上記のス テップか繰り返される。この条件はすべてのエレメントか予め定められた標準に 合致するか最早リファインされないときに目的に適う。

メツシュ生成方法を実行するに先立って、対象の幾何学的性質がプログラムに伴 うデータベースに入力される。入力の手段は普通のコンピュータ・ニーデッド・ デザイン（ＣＡＤ）またはこれと同等プログラム作成の形式を採り、これはユー ザにとって単にコンピュータ・スクリーン上に対象を描くだけて対象の幾何学的 表現かデータベースに入力できるものである。代替案としては、対象を表す幾何 学的データをデータファイルとして入力してもよいし、ユーザがキイボードから 直接入力してもよい。

どんな入力手段か採られたとしても、該方法を開始する前に対象を定義し座標に よって特定されたポイントの収集か通常のやり方でなされる。メツシュを生成す るためのこの対象の決定は幾何学的データに限定される必要はない。関心のある その他の物理的特性、例えば対象の熱伝導性、素材の強度等もメツシュ生成のだ めの基礎を形成することかできる。−例として多数の構成部品を持つ印刷回路基 板のような対象に対して、ユーザは基板の電力分布に基づいてメツシュを生成し たいことかある。

その結果として基板及びその各構成部品の熱特性についてのデータか入力される であろう。本方法に伴うデータベースにはこうして構成部品のリストとその熱特 性が記憶されているであろう。

データベース内部のポイントの収集から選定されたポイントに関して対象を定義 するための手段がプログラム中に設けられている。選定されたポイントが対象の 各部分領域を定義する。

部分領域とは対象の分離された幾何学的領域、例えば対象を貫通する孔、回路基 板に搭載された構成部品、ピストンに軸的に連結したロッド等である。部分領域 を取り囲むライン・セグメントのために終端ポイントが選定される。円錐形のセ クションに対しては、曲線は先ず各セグメントの終端ポイントの選択の前に複ラ イン・セグメントによって近似される。次に各部分領域の外周の始まりと終わり を定義する終端ポイントが後の再呼出しのために特別にマークされる。このマー クされたポイントは当初メツシュ中で２回エレメントを生成したと考えられる。

該方法の理解を助けるために、実例によって説明を進める。

第４図では、有限エレメント解析のためにコンピュータ・メモリに入力された不 規則に形付けられた対象４０、例えば印刷回路基板のスクリーンへの表示を示す 。この特定の対象は部分領域として領域それ自身のみを持っている。その価値を 減じることなく実例を単純化するために、他の部分領域を造出するような構成部 品は含まれていないとする。対象４０にはライン・セグメントの８個の別々の終 端ポイントがあり、それには部分領域の始まりを定義する第１の終端ポイント（ ］）と終わりを定義する終端ポイント（９）がある。ポイントの順序はユーザに よって、対象の幾何学的データの表現を入力する例えば描くというような、彼自 身のやり方で定められる。順序かユーザ決定でないときは、プログラムはそれを 履行しないで予め定められた順序による。

〔当初メツシュの生成〕

第１図ないし第３図を引用すると、そこには本発明の方法及び装置を説明する３ つのフロラチャートが示されている。第１図は、エレメントの当初メツシュを構 築し生成する第１ステツプをもつ方法の全体像か示される。メツシュを生成する 内油ステップは第２図及び第３図のフロラチャートで示されている。

判り易くするため、葺に掲げるステップはフロラチャート上のステップを識別す る番号で説明する。

コンピュータ内部でプログラムに与えられる対象４０の幾何学的データの表現を もって、第１図ではイニシアル・メツシュ（１５０）を構築するプログラムの部 分を実行することにより該方法は開始される。直ちに第２図を参照して先ず第一 に対象の対象（部分領域）ポイントか検索（１５２）される。この実例では第４ 図に示すように対象４０のポイント１−９かある。これらのポイントの座標はプ ログラムによって評価され、第５図に示すように、４つの境界頂点１０−１３で 定義される当初境界直角フレームが対象４０の周りに生成（１５４）される。こ のフレームはメツシュの境界を形成するために対象ポイントから予め定められた 最短距離の間隔を空ける。本実施例ではＸ座標の最大差とＸ座標の最大差が計算 される。それから各差の百分比か対象のそれぞれの側辺に加算されて間隔を設け る。次いで直角フレームの反対側の終端ポイント１０と１１を結んで対角線４１ とし、２つの三角形エレメント４２及び４４のメツシュを形成する。ここで各部 分領域ポイントを考察（１５６）　Ｌ、エレメント４２と４４のメツシュ内部で 別々に加算（１５８）　Ｌ、イニシアル・メツシュを生成する。

既存のメツシュに新しいサブドメインポイントを加算することからエレメントを 発生する内部ステップは第３図に示されている。そのアルゴリズムはビー・デラ ウネイ（Ｂ、　Ｄｅｌａｕｎａｙ　）により創成され、かつディー・ティー・リ ー（Ｄ、　Ｔ、　Ｌｅｅ　）とビー・ジエー・シャハテル（Ｂ、　Ｊ、　５ｃｈ ａｃｈｔｅｒ　）により記述された「デラウネイの三角形分割を構成する２つの アルゴリズム（Ｔｗｏ　　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　　ｆｏｒ　　Ｃｏｎｓｔｒｕ ｃｔｉｎｇ　　ａ　　Ｄｅｌａｕｎａｙ　　ＴｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎjＪ　 　、 コンピュータ情報科学の国際雑誌（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａ ｌ　ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　５ｃｉｅｎｃｅ）　、第 ９巻、第３号、１９８０年のアルゴリズムの独自な変形である。これから説明さ れるこの修正は「リサーブされた」エツジの存在を考慮し、かつアルゴリズムは 受容可能なイニシアルメッシュを発生するアルゴリズムを可能にする。リザーブ されたエツジは２個のサブドメインポイントを接続するラインであり、事実、サ ブドメイン境界を形成している。

加算されたサブドメインポイントｌにより、二の現行のポイントを囲むエレメン トが見いだされる（１６０）。第６図を参照すると、第５図の原始対角４１は破 線で示され、それは三角形エレメント４４内に囲まれたサブドメインポイント１ を持っている。

サブドメインポイントはエレメントのノードの各々、すなわちポイン１−１０． １１および１２に接続され、３つの三角形、そして各々が現行のサブドメインポ イントにより新たに構成された三角形を含む４個の凸四辺形までを構成するかあ るいは創成している（１６２）。この例では、その頂点１．１０．１３および１ １を有する１個の凸四辺形のみかこの段階で創成されている。

創成された各四辺形は個別にチェックされる（１６４）。最初、サブドメインポ イントを通過しない四辺形対角線はそれがリザーブされたエツジであるか否かを 見るためにチェックされる（１６６）。この最初の対角もまたサブドメインポイ ントを含む創成された三角形のエツジである。リザーブされたエツジか一度メッ シュに形成されるなら、それは変化されない。しかしポイントｌが考慮された最 初の対象ポイントであるから、どんなリザーブされたエツジもまだ創成されない 。次のステップ（１６８）はポイントｌ、１０および１１により規定された新た に創成された三角形４８の外接円を計算する。外接円はその円周か三角形の各頂 点を通過する円である。三角形エレメント４８の外接円５０の部分が第６図に示 されている。四辺形の第４ポイントであるポイント１３はそれが外接円内にある か否かを決定するめだにチェックされる（１７０）。この例では、ポイント１３ は外接円内にあり、それ故、第１四辺形対角４１は第２四辺形対角５２とスワッ プされる（１７２）。対角のスワツピングは三角形エレメント４８を除き、かつ 現行のサブドメインポイントを含む２個の新しい三角形エレメント、すなわちポ イント１，１１および１３により規定された三角形５４と、ポイント１．１０お よび１３により規定された三角形５６を創成する。次にステップ１６６−１７２ はこれ以上の対角スワツピングが要求されなくなるまでサブドメインポイント１ を持つ新しく構成された三角形を含むよう創成された新しい各四辺形に対して反 復される（１７４）。この例では、別の既存の対角のいずれもこの段階でスワッ プされず、プログラムは第２図に戻る（１７５）。

そこに示されたその次のステップにおいて、プログラムはそれが１サブドメイン 」モードであるか否かを見るようチェックする（１７６）。サブドメインモード は第１ポイントに続くポイントによってのみ入れられる。従って最初に、プログ ラムはそのサブドメインモートにはなく、かつ現行のポイントであるポイント１ がサブドメインの開始を規定するか否かを決定するようプログラムが進行する（ １７８）。ポイント１はそれかユーザーによって最初に入れられたという理由で サブドメインの開始ポイントである。次にポイント１は考慮された最終ポイント としてセーブされ、サブドメインモードに入れられる（１８０）。

このポイントはそれがサブドメインの終わりか否かを決定するためにチェックさ れる。その答は否である。ポイント１はたとえそれがポイント９と同じ座標を有 していてもサブドメインの終わりではない（１８２）。

プログラムは第２図のステップ１５６にループバックし、次のサブドメインポイ ントであるポイント２を探索する。第７図は第２サブドメインポイントか加算さ れた後のメツシュの変化を例示している。前と同様に、サブドメインポイントが 加算され（１５８’）　、そのポイントに対して囲まれたエレメントを見付ける ためにプログラムは第３図のステップに分岐する（１．６０）。

この囲まれたエレメントは第６図の実線で示された三角形５４であり、また第７ 図の破線である。次にポイント２は３個の新しい三角形と２個の新しい凸四辺形 を創成するよう三角形５４の頂点と接続される。創成された新しい各凸四辺形に 対して（１６４）、ポイント２を通過しない対角はそれかりサーブされたエツジ であるか否かを見るためにチェックされる。第７図において、これらの対角はそ れぞれ５２および６２としてマークされる（１６６）。

いずれの場合でも対角はリザーブされたエツジではない（１６６）。

外接円の計算（１６８）と第４四辺形頂点か含まれることのチェック（１７０） は対角５２と対角５８のスワツピングおよび対角６２と対角６０のスワツピング となる（１７２）。新しく創成された三角形と四辺形は別のスワツピングが要求 されるか否かを決定するためにチェックされる（１７４　）。

再び第２図に戻ると、プログラムはサブドメインモードに入り（１７６）　、そ してプログラムは現行のポイントであるポイント２と最終ポイントであるポイン トｌとの間でメツシュに接続か存在するか否かを決定するためにチェックされる （１８６　）。

第７図において、そのような接続が存在し、かつそれはリザーブされたエツジ６ ４としてマークされる（１８８）。ポイント２は最終ポイント（１９２）ならび に現行のポイントであるとしてセーブされる。ループの残りを通して進行して、 ポイント２はサブドメインの開始（１７８）あるいはサブドメインの終了（１８ ２）でないとプログラムによって決定される。　プログラムは各サブドメインポ イントかメツシュおよび発生された合成メッシュエレメント内に置かれるまで第 ２図のステップ１５６にループバックし続ける。第８図は終了ポイントか考慮さ れた第９番目の後でのイニシアルメッシュの完了を示している。ステップ１８２ において、ポイント９はサブドメインの終了であると決定され、′かつプログラ ムはサブドメインモードを出る（１８４）。対象４０上に乗った成分のような別 のサブドメインが存在したなら、プログラムはステップ１５６にループバックし 、再び継続しよう。

一度全ドメイン中のすべてのサブドメインポイントか加算されると、プログラム はループを出て（１９４）、次のステップに進むよう第１図に戻る。

ある実例では、加算された現行のサブドメインポイントと以前の最終ポイントと の間に何らの接続も作られない（１８６）。

例えは細長い対象に対して、別のラインはポイント７と８の間のようにサブドメ イン境界の２個のポイントの間を横切る。そのような場合に、プログラムはメツ シュを変化しかつリザーブされたエツジを構築することを狙ってサブドメイン境 界上に付加ポイントを発生する。最初に、どんなエレメントのエツジも新しいポ イントと以前のポイントとの間のサブドメイン境界を横切らないように２個の対 象ポイントの間のサブドメイン境界の位置に加算される（１９６）。プログラム は第３図のメツシュ作成アルゴリズムに分岐する（１５８）。このことはこの新 しいポイントと最終ポイントとの間にリザーブされたエツジを構築するであろう 。さらに重要なことは、新しいポイントはメツシュを変更し、多分原始交差エレ メントエツジを除去するであろう。ステップ１８６．１９５および１９６を通る このプロセスは、現行のポイントと以前のポイントとの間のリザーブされたエツ ジが完成するまで新しいポイントを連続的に加算し続ける。

メツシュのりファイン イニシアルメッシュの多くのエレメントは対象の有効な有限エレメント解析の劣 ったアスペクト比のために受容可能でないであろう。このプロセスの第２ステツ プにおいて、各エレメントはそれが受容可能な所定の基準に合致するか否かを決 定するために分析され、もし否であるなら、それは自動的にリファインされる。

リファインプロセスは規約に基づくエキスパートシステム（ｒｕｌｅ−ｂａｓｅ ｄ　ｅｘｐｅｒｔ　ｓｙｓｔｅｍ）に従って付加ポイントを加算する。付加ポイ ントはエレメントの数を増大し、かつメツシュの外観を変化する。

再び第１図を参照すると、第２ステツプは偽（ＦＡＬＳＥ　）をプール変数のフ ィックストワン（Ｆｉｘｅｄ−Ｏｎｅ　）に割り当て（１９７）、かつプログラ ムにより発生されたエレメントのリストの開始を初期化することにより始まる。

メツシュ中の各エレメントは個別にチェックされる（　１９８）。まずプログラ ムはエレメントが受容可能基準に合致するか否かを決定する（２００　）。この 基準は多（の形態を取れるか、しかし典型的には現在の実施例の２５゜のような 所望のアスペクト比あるいは最小エレメント角である。

要求された最小角が大きければ、それだけメツシュ発生に余計に時間が掛かるこ とに注意すべきである。そう信じられるのであるが、２５度は解析の目的に受容 可能なメツシュを与え、同時に極端に早いメツシュ発生をなお許容する。さらに 、角度決定は角度計算が迅速に行えるという理由でエツジ決定の全体にわたって 好ましい。どんな基準が選ばれても、それに適合するエレメントは有限エレメン ト解析に受容可能であると考えられる。

基準から落ちるエレメントはコンフリクトを請じることなくメツシュに適用する よう構成される規約の組に従ってエキスパートシステムによりリファインされる 。各々を「発動（ｆｉｒｅ）　Ｊさせる前位メツシュ条件（ａｎｔｅｃｅｄｅｎ ｔ　ｍｅｓｈ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　）はその適用順序で以下にリストされてい る。

（１）　三角形はリザーブされているかどうか及び／またはメツシュの境界上に あるかのいずれかの３個のエツジを有する。

このエレメントをリファイン不能とマークする。

（２）　三角形はリザーブされているかどうか及び／またはメツシュの境界上に あるかのいずれかの２個のエツジを有する。

もしこのエレメントの最短エツジかりサーブされているなら、 リザーブされたエツジ及び／またはメツシュ境界上の最長のものの中点にノード を位置させる。

さもなければ、 このエレメントをリファイン不能とマークする。

（３）　三角形の最長エツジはリザーブされているかどうか及び／またはメツシ ュ境界上にあるかのいずれかであるなら、 最小角頂点から３／８の所のエツジにノードを位置させる。

（４）　この三角形の最長エツジから横切る近傍三角形はリザーブされているか どうか及び／またはメツシュ境界上にあるかのいずれかのその最長エツジを有し ない。

もし三角形の外心を含むエレメントがリザーブされているかあるいは境界上のエ レメントの最長エツジを有するなら、 そのエツジの中点にノードを位置させる。

さもなければ、 三角形の外接円の中心にノードを位置させる。

（５）　規約４が発動されるが、しかしメツシュ境界の外側かあるいは受容可能 でないエレメントからのリザーブされたエツジを横切るかのいずれかに新しいポ イントを位置し、ここでそれは効果がないなら、外接円の中心を三角形の重心お よびリザーブされた最近エツジに接続するラインの交差点にノードを位置させる 。

（６）　三角形の最長エツジを横切る近傍三角形はリザーブされているかどうか 及び／またはメツシュ境界上のいずれかにエツジを有するなら、 近傍の最長エツジの中点にノードを位置させる。

（７）　三角形はリザーブされているかどうか及び／またはメツシュ境界上のい ずれかにエツジを有するなら、そのエツジの中点にノードを位置させる。

（８）　さもなければ、 三角形の重心にノードを位置させる。

この規約は適用されるものか見いだされるまで所定の順序で検査される。規約の 順序はメツシュのエレメントのりファインに必要な時間を最小にするよう選ばれ る。規約１はすべてのそのエツジがリザーブされているエレメントの希なケース をカバーしている取るに足らない規約である。規約３において、規定された３／ ８の距離か好ましいが、しかしこの規約は最小角頂点から１／４ないし１／２の 範囲内でよく作用しよう。規約８と９は希に発動する「キャッチオール（ｃａｔ ｃｈａｌｌ）　Ｊ規約である。規約８と規約９は双方ともデラウネイの三角形分 割アルゴリズムのスワツピングあるいはこれらの規約によるより多くのノードの 加算のいずれかかエレメントの形状を改良するようにエレメントの周りの範囲に 影響を及ぼすことを意図している。

規約の適用において、第３図のアルゴリズムはノード（ポイント）か加算される 度毎に適用される。新しいノードは受容可能でない形状を有する別のエレメント を発生できる。しかし結局創成されたすべてのエレメントは受容可能な基準をパ スするか１．あるいはこれ以上リファイン可能でないと考慮されよう。

第９図を参照すると、三角形エレメント６６が示され、それは規定された最小値 よりその最小角が小さいという理由で受容可能基準をパスしない。この規約は所 与の数値順序でこのエレメントに適用される（２０２　）。規約１−３に関して 、三角形６６のどのエツジもリザーブされないかあるいはメツシュ境界上にない 。最長エツジを横切る近傍エレメント６８がリザーブされているかどうかあるい はメツシュ境界上のいずれかでその最長エツジ７０を有しないという理由で最初 にに適用される。しかし三角形６６を含む外接円の（示されていない）中心はメ ツシュ境界の外側にあり、規約４を規約５によって置き換えさせる。規約５の下 で、新しいノード７２は外接円の中心を三角形重心およびリザーブされた最近エ ツジに接続するラインの交差点に位置される（２０４　）。第１０図はどこでこ の新しいノードがメツシュ中に置かれるかを示し、それは第３図のアルゴリズム の適用前のメツシュを示す破線により、およびこのアルゴリズムの適用の後のメ ツシュを示す実線により示されている。第３図のステップは新しいポイントか加 算された後に続いている（２０４　）。この場合、新しいノードが既存のライン の上に直接位置されていることに注意されたい。２個の三角形７４と７６のみが 創成されている。１つの四辺形はポイント１０．７２および１３が同じライン上 にあるという理由で「退化された（ｄｅｇｒａｄｅｄ）　Ｊ　と考えられている 。それにもかかわらず、このアルゴリズムのステップは続いている。対角７０は ポイント７２を含む新しい三角形８０を構成するよう第２対角７８とスワップさ れる。外接円を作りかつスワツピングすることは各四辺形の非エレメントポイン トが外接円の外側にあるまで継続する。変数フィックストワン（Ｆｉｘｅｄ−Ｏ ｎｅ　）はメツシュ中に変化か行われたことを知らせる真（ＴＲＵＥ）に変化さ れる（２０６　）。このことは付加エレメントがエレメントリストに加算されか つ別のエレメントが変化された形状を有するという理由でエレメントを通る以下 のパスが必要とされるようプログラムに警告を与える。

リストの次のエレメント（１９８）は同じ態様で受容可能性をチェックされる（ ２０２　’）。第１１図と第１２図は別の受容可能でないエレメントと規約４に 応じて加算された新しいノードを示している。第１３図は第３の受容可能でない エレメントを示し、第１４図は規約３の適用とそれによる応答を示している。第 １５図は第４の受容可能でないエレメントを示し、第１６図は規約２の適用とそ れによる応答を示している。同様に、第１７図は第５の受容可能でないエレメン トを示し、第１８図は規約６の適用とそれによる応答を示している。第１９図は メツシュの最終りファインを示している。

リスト中の各エレメントが最初に一度チェックされると、プログラムはフィック ストワンを評価する（２０８　）。もし任意のエレメントが受容可能でなかった なら、リストは再初期化されかつすべてのエレメントを通る別のパスが作られ、 新しいエレメントがリストに加算される。このステップはすべてのエレメントが 受容可能基準に合致するかあるいはもはやりファインできないと考えられるかの いずれかまで継続する。　最終メツシュの発生は予備処理ステップを完了する。

処理に対して、ドメイン境界の外側のエレメントは考慮されていない。それらの 目的は任意の形状をしたジオメトリ−のメツシュ発生を助けることである。

第２０−２２図はメツシュが発生される別の任意の形状の対象の一例を示してい る。サブドメインポイントはここで曲線上の多ラインセグメントからのポイント ならびに分離サブドメインを規定する内側円のポイントを含んでいる。第２０図 はイニシアルメッシュを示し、第２１図は最終メツシュを示し、そして第２２図 は除去されたドメインの外側のエレメントを持つ最終メツシュを示している。

従前の技術を越える本発明により提供された改良の見通しを与えるために、この 方法は約１秒で対象４０に完全なメツシュを発生した。第２０−２２図の任意形 状の対象のメツシュは約４秒で完了した。２５個の構成要素を持つプリント配線 板のメツシュは約１３秒かかり、そして１．０００個の構成要素を持つ板は１． ５分かかった。従前の技術は数時間から数日を要した。

好ましい実施例で本発明の原理を例示しかつ説明したが、本発明はその配列を変 形しかつその原理を逸脱することなく詳細にすることは当業者にとり明らかであ る。以下のクレームの精神と範囲内のすべての変形をクレームする。

ＦＩＧ、２２ 補正書の写しく翻訳力提出書（特許法第１８４条の８）平成２年８月１日 特許庁長官　　植　　松　　　　　　敏　　殿■、特許出願の表示 ＰＣＴ／ＵＳ　８９１００３５７ ２、発明の名称 ユウゲン　　　　　　　　　　カ什キ　　　　　　　　　　　　　　　　セイセ イホウホウオヨ　　ソウチ有限エレメント解析のためのメツシュ生成方法及び装 置３、特許出願人 名　称　　メントール　グラフィックス　コーポレーション４、代理人 住所鼾ごみグツバー１羨！１児。１１％４．騒１９９０年１月３１日 ６、添付書類の目録 （１補正書の写しく翻訳文）　　　　　　　　　　１　通請求の範囲 １．　対象（オブジェクト）の有限（ファイナイト）エレメントの分析のための エレメントのメツシュを形成する装置で、ポイントの項で、対象のジオメトリ− を規定する手段、対象を囲む境界（バウンディング）ポイントを形成する手段、 並びに 境界ポイント及び対象ポイントよりエレメントのメツシュを形成する手段を具え る有限エレメントの分析のためのエレメントのメツシュ形成装置。

２、　受容可能（アクセクタビリティ）の所定標準に合致しない各エレメントを リファインする手段を含む請求の範囲１記載の方法。

３、　対象（オブジェクト）の有限（ファイナイト）エレメントの分析のための エレメントのメツシュを形成する装置で、ポイントの項で、対象のジオメトリ− を規定する手段、対象ポイントよりイニシアル　メツシュを形成する手段、並び に このイニシアル　メツシュに応答し、受容可能の所定標準に合致しない各エレメ ントをリファインする手段を含む有限エレメントの分析のためのエレメントのメ ツシュ形成装置。

４、対象の有限エレメントの分析のためエレメントのメツシュを形成する方法に おいて、 ポイントの項で対象ジオメトリ−を規定する、エレメントによるメツシュ形成の ため対象ジオメトリ−を囲んで境界ポイントを形成する、 境界ポイント及び対象ポイントよりエレメントのメツシュを形成する、並びに 受容可能の所定標準に合致しない各エレメントをリファインする、 各工程を含んでなる対象の有限エレメントのエレメントメツシュ形成方法。

５、　対象ジオメトリ−を規定する請求の範囲４の方法において、対象ジオメト リ−に存する各円錐形（コニック）セクションのポリライン　セグメント近似を 導出する、対象ジオメトリ−の各ライン　セグメントのエンド　ポイント（端点 ）を集める、及び 対象ジオメトリ−の各サブ　ドメインの開始及び終りを規定するエンド　ポイン トをマークする を含む方法。

６、　対象を囲む境界ポイントの形成は、対象の周にフレームの構築、 フレームの対向エンド　ポイントを接続し、エレメントのイニシアル　メツシュ を形成するの各段階を有する請求の範囲４記載の方法。

７、（補正後）　エレメントのメツシュの形成は、包囲する（エンクロージング ）エレメント内のノードを有する対象ポイントの加算、 エンクロージング　エレメントの各ノードをもった対象ポイントを接続すること によるエレメントの構成、凸四辺形の部分を有し、ノードを有する各構成エレメ ントの外接円を形成し、形成された円内に四辺形のノードが存するか否かの決定 、 形成された円内に非四辺形のノードが位置するときは、第１四辺形対角（ダイア ゴナル）を第２四辺形対角にスワップし、形成されたエメレントの形状を変化さ せるのそれぞれを有する請求の範囲４の方法。

８、　第１四辺形対角が、他の対象ポイントに加算された対象ポイントを接続す るときは、対角（ダイアゴナル）スワツピングをスキップすることを含む請求の 範囲７の方法。

９、　各エレメントのりファインは、 前位メツシュ条件に応答するときに適用される法則（ルール）によって既存メツ シュへのポイントの加算、及びエレメントの形状を変化させるため、加算ポイン トを有するメツシュの再形成、 を有する請求の範囲４の方法。

１０、各エレメントのりファインは、 形状をリファインするエレメントに、１組のルール中何れのルールを適用すべき かの決定、 エレメントへこのルールの適用、及び 当該メツシュ内の各エレメントか受容度の標準に見合うか、あるいはこれ以上リ ファインできなくなるまで上のステップ１１、　　メツシュ中のエレメントのり ファインに要する時間を最小にするため所定の順序でルールを適用する請求の範 囲ｌＯの方法。

１２、各ルールか互にコンフリクト（抵触）を生ずることなく適用しうるように ルールを形成する請求の範囲１０の方法。

１３、各エレメントのりファインは、 エレメントか、変化に対しリザーブされているか、及び／またはメツシュの境界 上にあるか、何れかの３つの縁を有しているかの決定、 然りの場合には、そのエレメントにリファイン不能のマー１４、（補正後）　各 エレメントのりファインは、エレメントか、変化に対しリザーブされているか、 及び／またはメツシュの境界上にある２つの縁を有しているかの決定、 然りの場合、エレメント内の最短縁かりサーブされたかの決定、 最短縁がりサーブされたときは、これら２つの縁のうちの最長のものかりサーブ されたか及び／またはメツシュの境界にあるかを決定し、メツシュの境界の縁の うちの最長のものの中点ポイントにポイントを位置させる、最短縁がリザーブさ れていないときは、このエレメントをリファイン不能とマークする、 ポイントが付加されたならばメツシュを再形成する、を有する請求の範囲４の方 法。

工５．（補正後）　各エレメントのりファインは、そのエレメントの最長の縁（ エツジ）が変化に対しリザーブされているか及び／またはメツシュの境界にある かの決定、然りの場合、この縁上のポイントをエレメントの最小角頂点よりＡ− ％離れたところに位置させる、ポイントか加算されたときはメツシュを再形成す るを含む請求の範囲４の方法。

１６、　各エレメントのりファインは、エレメントの最長縁に向い合う近傍のエ レメントが変化に対しリザーブされているか、及び／またはメツシュの境界に位 置するかの最長縁を有しないことの決定、然りの場合、リファインされるべきエ レメントの外心（三角形の外接円の中心）を含むエレメントがリザーブされたか またはメツシュの境界の最長縁を有するかの決定、上記の含有エレメントがこの ような縁を有するとき、この縁の中心点にポイントを位置させる、 含有エレメントがこのような縁を有さないとき、ポイン＋を外接円の中心に位置 させる、及び ポイントか加算されたときメツシュを再形成するを含む請求の範囲４の方法。

１７、請求の範囲１６の方法でさらに、加算ポイントがメツシュの境界の外側に 位置するか、リファインすべきエレメントのリザーブされた縁に対向しているか の決定、 然りの場合、前位ポイントを、外接円の中心と、エレメントの図心を結ぶ線と、 最も近いリザーブ縁との交点のポイントに位置換えする、 メツシュの再形成 を含む方法。

１８、エレメントのりファインは、 エレメントの最長縁に対向する近傍エレメントが、リザーブされているか、及び ／またはメツシュの境界上の縁を有するか否かの決定、 然りの場合、このポイントを、この近傍エレメントの最長縁の中間点に位置させ る、及び ポイントが加算されたときはメツシュを再形成するを含む請求の範囲４の方法。

１９、　エレメントのりファインは、 このエレメントがリザーブされているかまたはメツシュの境界上の縁を有するか の決定、 然りの場合、ポイントをこの縁の中間ポイントに位置させる、 このポイントが加算されたときメツシュの再形成、を含む請求の範囲４の方法。

２０、各エレメントのりファインが、 このエレメントの図心にポイントを位置させる、及びメツシュの再形成、 を含む請求の範囲４の方法。

国際調査報告 Ｍ１１″ＩｖｌＩ″Ｊ１＾ｅ″″晰−’　　ＰＣＴＩＩＪ＜ＢＱＩｎｎｌ＜７

Claims (20)

【特許請求の範囲】
1. １．対象（オブジェクト）の有限（ファイナイト）エレメントの分析のためのエ レメントのメッシュを形成する装置で、ポイントの項で、対象のジオメトリーを 規定する手段、対象を囲む境界（バウンディング）ポイントを形成する手段、並 びに 境界ポイント及び対象ポイントよりエレメントのメッシュを形成する手段を具え る有限エレメントの分析のためのエレメントのメッシュ形成装置。
2. ２．受容可能（アクセクタビリティ）の所定標準に合致しない各エレメントをリ ファインする手段を含む請求の範囲１記載の方法。
3. ３．対象（オブジェクト）の有限（ファイナイト）エレメントの分析のためのエ レメントのメッシュを形成する装置で、ポイントの項で、対象のジオメトリーを 規定する手段、対象ポイントよりイニシアルメッシュを形成する手段、並びに このイニシアルメッシュに応答し、受容可能の所定標準に合致しない各エレメン トをリファインする手段を含む有限エレメントの分析のためのエレメントのメッ シュ形成装置。
4. ４．対象の有限エレメントの分析のためエレメントのメッシュを形成する方法に おいて、 ポイントの項で対象ジオメトリーを規定する、エレメントによるメッシュ形成の ため対象ジオメトリーを囲んで境界ポイントを形成する、 境界ポイント及び対象ポイントよりエレメントのメッシュを形成する、並びに 受容可能の所定標準に合致しない各エレメントをリファインする、 各工程を含んでなる対象の有限エレメントのエレメントメッシュ形成方法。
5. ５．対象ジオメトリーを規定する請求の範囲４の方法において、対象ジオメトリ ーに存する各円錐形（コニック）セクションのポリラインセグメント近似を導出 する、対象ジオメトリーの各ラインセグメントのエンドポイント（端点）を集め る、及び 対象ジオメトリーの各サブドメインの開始及び終りを規定するエンドポイントを マークする を含む方法。
6. ６．対象を囲む境界ポイントの形成は、対象の周にフレームの構築、 フレームの対向エンドポイントを接続し、エレメントのイニシアルメッシュを形 成するの各段階を有する請求の範囲４記載の方法。
7. ７．エレメントのメッシュの形成は、 包囲する（エンクロージング）エレメント内の対象ポイントの加算、 エンクロージングエレメントの各ノードをもった対象ポイントを接続することに よるエレメントの構成、凸四辺形の部分を有する各構成エレメントの外接円を形 成し、形成された円内に四辺形の非エレメントノードが存するか否かの決定、 形成された円内に非エレメントノードが位置するときは、第１四辺形対角（ダイ アゴナル）を第２四辺形対房にスワップし、形成されたエメレントの形状を変化 させるのそれぞれを有する請求の範囲４の方法。
8. ８．第１四辺形対角が、他の対象ポイントに加算された対象ポイントを接続する ときは、対角（ダイアゴナル）スワッピングをスキップすることを含む請求の範 囲７の方法。
9. ９．各エレメントのリファインは、 前位メッシュ条件に応答するときに適用される法則（ルール）によって既存メッ シュヘのポイントの加算、及びエレメントの形状を変化させるため、加算ポイン トを有するメッシュの再形成、 を有する請求の範囲４の方法。
10. １０．各エレメントのリファインは、 形状をリファインするエレメントに、１組のルール中何れのルールを適用すべき かの決定、 エレメントヘこのルールの適用、及び 当該メッシュ内の各エレメントが受容度の標準に見合うか、あるいはこれ以上リ ファインできなくなるまで上のステップの反復、 を含む請求の範囲４の方法。
11. １１．メッシュ中のエレメントのリファインに要する時間を最小にするため所定 の順序でルールを適用する請求の範囲１０の方法。
12. １２．各ルールが互にコンフリクト（抵触）を生ずることなく適用しうるように ルールを形成する請求の範囲１０の方法。
13. １３．各エレメントのリファインは、 エレメントが、変化に対しリザーブされているか、及び／またはメッシュの境界 上にあるか、何れかの３つの縁を有しているかの決定、 然りの場合には、そのエレメントにリファイン不能のマークを付す の工程を有する請求の範囲４の方法。
14. １４．各エレメントのリファインは、 エレメントが、変化に対しリザーブされているか、及び／またはメッシュの境界 上にある２つの縁を有しているかの決定、 然りの場合で、かつ最短のエレメント縁がリザーブされたときは、リザーブされ た縁及び／またはメッシュの境界の縁のうちの最長のものの中点ポイントにポイ ントを位置させる、このエレメントをリファイン不能とマークする、ポイントが 付加されたならばメッシュを再形成する、を有する請求の範囲４の方法。
15. １５．各エレメントのリファインは、 そのエレメントの最長の縁（エッジ）が変化に対しリザーブされているか及び／ またはメッシュの境界にあるかの決定、然りの場合、この縁上のポイントを最小 角頂点より１／４〜１／２離れたところに位置させる、 ポイントが加算されたときはメッシュを再形成するを含む請求の範囲４の方法。
16. １６．各エレメントのリファインは、 エレメントの最長縁に向い合う近傍のエレメントが変化に対しリザーブされてい るか、及び／またはメッシュの境界に位置するかの最長縁を有しないことの決定 、然りの場合、リファインされるべきエレメントの外心（三角形の外接円の中心 ）を含むエレメントがリザーブされたかまたはメッシュの境界の最長縁を有する かの決定、上記の含有エレメントがこのような縁を有するとき、この縁の中心点 にポイントを位置させる、 含有エレメントがこのような縁を有さないとき、ポイントを外接円の中心に位置 させる、及び ポイントが加算されたときメッシュを再形成するを含む請求の範囲４の方法。
17. １７．請求の範囲１６の方法でさらに、加算ポイントがメッシュの境界の外側に 位置するか、リファインすべきエレメントのリザーブされた縁に対向しているか の決定、 然りの場合、前位ポイントを、外接円の中心と、エレメントの図心を結ぶ線と、 最も近いリザーブ縁との交点のポイントに位置換えする、 メッシュの再形成 を含む方法。
18. １８．エレメントのリファインは、 エレメントの最長縁に対向する近傍エレメントが、リザーブされているか、及び ／またはメッシュの境界上の縁を有するか否かの決定、 然りの場合、このポイントを、この近傍エレメントの最長縁の中間点に位置させ る、及び ポイントが加算されたときはメッシュを再形成するを含む請求の範囲４の方法。
19. １９．エレメントのリファインは、 このエレメントがリザーブされているかまたはメッシュの境界上の縁を有するか の決定、 然りの場合、ポイントをこの縁の中間ポイントに位置させる、 このポイントが加算されたときメッシュの再形成、を含む請求の範囲４の方法。
20. ２０．各エレメントのリファインが、 このエレメントの図心にポイントを位置させる、及びメッシュの再形成、 を含む請求の範囲４の方法。