JP2008302828A - タイヤの設計方法 - Google Patents

Abstract

【課題】トレッドパターン形状を最適化する。
【解決手段】トレッドパターン形状について、ＦＥＭモデルを用いて、目的関数を最適化する最適解を、基底ベクトル法を用いた最適化計算により求めるステップ（ｂ）と、トレッドパターン形状について、ＦＥＭモデルを用いて、前記目的関数を最適化する最適解を、ＥＣＡＴ法を用いた最適化計算により求めるステップ（ｃ）と、を含み、前記ステップ（ｂ）と（ｃ）はいずれか一方のステップを先行して実施し、いずれか他方のステップを実施する際に、前記一方のステップにおいて求められた最適解を初期形状として最適化計算を行う。
【選択図】図１

Description

本発明は、タイヤの設計方法に関するものである。

空気入りタイヤのトレッドパターンは、排水性能、制動性能、騒音などに対して大きな影響を与えるため、位相及び形状について最適化したタイヤトレッドパターンの意匠を設計することが求められる。

タイヤトレッドパターンの意匠を設計する場合、要求性能を満たす設計案を従来の知見、経験及び設計制約に基づいて設計し、その確認のための１つの手段として、構造解析を用いて要求性能を満たしているか否かの確認を行う。この段階で要求性能を満たしていない場合、設計の修正を行い、再度構造解析により確認を行う。このプロセスを要求性能が満たされるまで、繰り返し行い、設計案を確定している。

かかる従来の設計方法では、設計制約に基づく範囲の中で確定した設計案が、最適値であるか否かの保証はない。また、設計、構造解析及び再設計の繰り返しプロセスを行うため、設計に要する時間が膨大になることがある。そこで、効率的な設計を可能にするため、最適化計算によりタイヤを最適化する手法が種々提案されている（下記特許文献１〜４参照）。

ところで、有限要素法を利用したレイアウトの最適化手法として、ＥＣＡＴ法（Evolutional Clustering Algorithm for Topological optimization）がある（下記非特許文献１〜３参照）。ＥＣＡＴ法は、対象とする構造体を１つの個体と考え、問題に応じて定める評価指標の大小によって要素をクラス分けし、構造内の前記評価指標の分布を大域的に捉え、前記評価指標の小さい要素をクラス単位で次々に除去、また付加する行為をふるまいと捉え、ふるまいを進化させることにより、レイアウトを決定する方法である。このＥＣＡＴ法は、これまで片持ち梁などの機械構造物のレイアウト最適化問題に用いられているが、タイヤトレッドパターンへの適用は知られていない。

また、下記特許文献５，６には、基底ベクトル法を用いた構造の最適化方法が開示されている。しかしながら、特許文献５はディスクアーム形状を最適化するものであり、また特許文献６はゴルフクラブヘッド形状を最適化するものであって、いずれも比較的単純な形状を最適化する方法に関するものであり、タイヤのトレッドパターンのような複雑な形状を最適化するものではない。
国際公開第９４／１６８７７号パンフレット 国際公開第９８／２９２６９号パンフレット 国際公開第９８／２９２７０号パンフレット 特開２００５−００８０１１号公報 特開２００２−１４９７１７号公報 特開２００５−０６５９９６号公報 長谷川浩司、川面恵司「ＧＡ利用による機械構造物の位相最適化法の一方法（有限要素の除去および付加パラメータを染色体とする位相最適化法）」、日本機械学会論文集（Ａ編）、６１巻５８１号（１９９５−１）、ｐ１８３−ｐ１９０ 鶴田靖、長谷川浩司、川面恵司「ＧＡ利用による機械構造物の位相最適化法の一方法（第２報、有限要素の除去および付加パラメータを染色体とする方法の収束性の検討）」、日本機械学会論文集（Ａ編）、６３巻６０５号（１９９７−１）、ｐ１７０−ｐ１７７ 鈴木雄作、長谷川浩司、川面恵司「ＧＡ利用による機械構造物の位相最適化法の一方法（第３報、有限要素の除去および付加パラメータを用いた単一個体による確定的方法）」、日本機械学会論文集（Ａ編）、６４巻６２６号（１９９８−１０）、ｐ４９−ｐ５４

従来のトレッドパターン形状の最適化手法では、一般的に遺伝的アルゴリズムを用いることが多いが（例えば、上記特許文献１参照）、意匠の設計領域が広い場合などには遺伝子の個体数が多くなる。そのため、計算負荷が大きく、実用上、設計に適用できるレベルにない。

また、従来、トレッドパターン形状の最適化手法では、ブロックの各辺の長さや形状などのようにトレッドパターン形状を直接決定する要素を設計変数としている。そのため、この方法では、直線やｓｉｎ曲線のような定型的なパラメータで定義できる形状に、トレッドパターン形状が限定される。それ故、この方法では、最適解探索範囲は限定されるし、また、設計変数が変わるごとに有限要素を形成するメッシュを作り直す必要があるという問題がある。

本発明は、以上の点に鑑みてなされたものであり、最適解探索範囲を広くとることができ、そのため、要求されるタイヤ性能に関してより最適なトレッドパターン形状を探索することができ、また、効率的な設計を可能として、タイヤ性能を大幅に向上することができるタイヤの設計方法を提供することを目的とする。

本発明に係るタイヤの設計方法は、
（ａ）タイヤ性能に関する目的関数を定めるステップと、
（ｂ）トレッドパターンの少なくとも一部の形状について、複数の要素に分割したモデルを用いて、前記目的関数を最適化する最適解を、基底ベクトル法を用いた最適化計算により求めるステップと、
（ｃ）トレッドパターンの少なくとも一部の形状について、複数の要素に分割したモデルを用いて、前記目的関数を最適化する最適解を、ＥＣＡＴ法を用いた最適化計算により求めるステップと、
を含み、
前記ステップ（ｂ）と（ｃ）はいずれか一方のステップを先行して実施し、いずれか他方のステップを実施する際に、前記一方のステップにおいて求められた最適解を初期形状として最適化計算を行うものである。

本発明では、タイヤトレッドパターン形状の最適化に、基底ベクトル法とＥＣＡＴ法を組み合わせて用いる。ＥＣＡＴ法はトレッドパターンの位相と形状の最適化に適し、基底ベクトル法はブロック形状などのトレッドパターン形状の最適化に適する。そのため、両者を組み合わせて最適化することにより、位相と形状が最適化されたトレッドパターンの意匠を求めることができ、タイヤ性能を大幅に向上することができる。

また、ＥＣＡＴ法によるレイアウトの最適化では、前記モデルについて算出した評価指標の大小によって要素をクラス分けして、レイアウト内における評価指標の分布を大域的に捉えて、要素の除去及び付加（復活）する行為としてのふるまいを進化させることにより、最終的なレイアウトを決定する。このように評価指標の分布を大域的に捉えて最適化を行うため、局所的解に陥ることなく、大域的な最適解が得られ、タイヤ性能を向上することができる。また、従来の遺伝的アルゴリズムを用いる場合と比較して、計算負荷が小さく、そのため、トレッドパターンの意匠を効率的に設計することができる。

また、基底ベクトル法による最適化によれば、定型的なパラメータで定義することが困難なトレッドパターン形状を容易に作り出すことができ、その結果、最適解の探索範囲を広くとることができる。また、設計変数が変わるごとに、モデルのメッシュを切り直す必要もあまりなく、設計工数の削減を図ることができる。

以下、本発明の実施形態について図面を参照して説明する。

（第１の実施形態）
図１は、第１の実施形態に係る空気入りタイヤの設計方法の流れを示すフローチャートである。本実施形態は、空気入りタイヤのトレッドパターンについて、基底ベクトル法を用いてトレッドパターン形状（特に、そのブロック形状）の最適化を行った後、ＥＣＡＴ法を用いてトレッドパターンの位相と形状の最適化を行うものであり、コンピュータを用いて実施することができる。

より詳細には、下記のステップをコンピュータに実行させるためのプログラムを作成しておき、このプログラムをハードディスクなどに格納（インストール）したパソコンなどのコンピュータを用いることにより、本実施形態の設計方法を実施することができる。すなわち、ハードディスクに保存されたプログラムは、実行する際に適宜ＲＡＭに読み込まれ、キーボードなどの入力手段から入力された種々のデータを用いて、ＣＰＵにより演算を行い、モニターなどの表示手段により結果が表示される。なお、このようなプログラムは、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、ＭＤ、ＭＯなどのコンピュータ読み取り可能な各種記録媒体に記憶させることができるので、そのような記録媒体のためのドライブ装置をコンピュータに設けておき、該ドライブ装置を介してプログラムを実行するようにしてもよい。

本実施形態の設計方法においては、まず、ステップＳ１０において、トレッドパターンの初期形状として、トレッドパターンの１ピッチ単位の初期レイアウトを定める。初期形状としては、トレッド部に溝が全く無いものや、トレッド部に周方向に延びる主溝のみを備えるもの、主溝と該主溝に交差する方向に延びる横溝とを持つもの、更には、主溝と横溝により区画されるブロックを持つものなど、特に限定されない。本実施形態では、トレッド部１に、周方向溝である主溝２をタイヤ幅方向に４本備えるとともに（図２参照）、これら主溝２に交差する横溝３を備えて、これら主溝２と横溝３により区画されるブロック４の列をタイヤ幅方向に５列備えたトレッドパターンを初期形状とする（図４（ａ）参照）。

次いで、ステップＳ１２において、タイヤ性能に関する目的関数を定めるとともに、解析条件、制約条件などの最適化計算に必要な各種条件を設定する。上記目的関数としては、トレッドパターン形状によりその値が変化する物理量が挙げられる。例えば、制動時や加速時などのタイヤの接地圧分散、タイヤの平均接地圧、応力、ひずみ、ひずみエネルギー、摩擦エネルギー、路面の滑り速度および変位などが挙げられる。一例として、目的関数をタイヤの接地圧分散とし、これを最小化する最適化問題を定義する。

次のステップＳ１４では、上記初期形状のトレッドパターンを持つタイヤ有限要素モデル（以下、タイヤＦＥＭモデル、又は単にタイヤモデルという。）を初期モデルとして作成する。タイヤモデルはタイヤを内部構造を含めてメッシュ状に要素分割してなるものであり、タイヤ性能を評価するための上記物理量を構造解析により数値的、解析的に求めることができるようにタイヤをモデル化したものである。

図２は、タイヤ半断面でのＦＥＭモデルの一例を示したものであり、このようなＦＥＭモデルの全幅分をタイヤ全周にわたってスイープさせることで、タイヤモデルが三次元ＦＥＭモデルとして作成される。かかるタイヤモデルの作成に際しては、初期レイアウトの１ピッチ単位をタイヤ周方向に複数ピッチ展開したタイヤについてタイヤ一周分でのＦＥＭモデルを作成する。

次のステップＳ１６では、トレッドパターン形状について、上記目的関数を最適化する最適解を求めるために、基底ベクトル法を用いた最適化計算を実施する。

詳細には、図３に示すように、まず、ステップＳ３０において、トレッドパターンの初期形状であるオリジナル形状のＦＥＭモデルに基づき、複数のベース形状のＦＥＭモデルを作成する。ベース形状とは、オリジナル形状と節点数および要素結合情報が同一であり、かつ節点座標値の異なるトレッドパターン形状である。ここで、節点数とは、ＦＥＭモデルを構成するメッシュの交点の総数である。要素結合情報とは、ＦＥＭモデルを構成する各要素について、どの節点がどういう順で含まれているかという情報である。節点座標値とは、基準となる原点に対する各節点の位置を示す座標値である。

ベース形状のＦＥＭモデルは、オリジナル形状のＦＥＭモデルにおいて、節点数と要素結合情報を維持したまま、節点座標値を変化させて、オリジナル形状とは異なる形状を持つように作成される。節点座標値を変化させる方法としては、オペレータがオリジナル形状のＦＥＭモデルの画像を確認しながらマウスなどの入力手段を介して節点座標値を変化させるようにしてもよく、あるいはまた、所定の規則に従って、コンピュータが自動的に節点座標値を変化させるようにしてもよい。作成するベース形状の個数は、特に限定されないが、計算コストを考慮すると、通常１０個以下であることが好ましい。該個数は、コンピュータからの要求信号に基づいて、オペレータが入力するようにしてもよい。

例として、図４（ｂ）および（ｃ）は、図４（ａ）に示すオリジナル形状のモデルから作成した２個のベース形状のモデル、即ち（ｂ）ベース形状１および（ｃ）ベース形状２のＦＥＭモデルを示したものである。

次のステップＳ３２では、最適化用ＦＥＭモデルを作成するとともに、設計変数を設定する。詳細には、上記で作成した各ＦＥＭモデルの各節点座標値をベクトルの成分とみなし、そのベクトルの線形結合で新たなベクトルを作り、その新たなベクトルの成分である各節点座標値で最適化用ＦＥＭモデルを構成する。

すなわち、この例では、上記オリジナル形状の節点座標値を成分とするベクトルと上記ベース形状の節点座標値を成分とするベクトルとの差をベーシスベクトルとして、各ベーシスベクトルの線形結合により最適化用モデルの各節点座標値を成分とするベクトルを定義する。この最適化用モデルのベクトルは、下記式（１）により表される。

そして、上記α_ｉで表される線形結合の重み係数を、後述する最適化計算における設計変数として定義する。その際、各重み係数に制約範囲を定める。

次いで、上記式（１）を用いて最適化計算を実施する。すなわち、式（１）で表される最適化用モデルのベクトルとベーシスベクトルとの関係式に基づいて、上記目的関数を最適化する設計変数の値を求める。かかる最適化計算としては、実験計画法、遺伝アルゴリズムを用いた手法、数理計画法など、公知の種々の最適化手法を適用することができ、本実施形態では実験計画法による最適化計算の例について説明する。

まず、ステップＳ３４において、実験計画法に基づいた実験計画の割付条件により、複数の実験計画モデルを作成する。詳細には、まず、実験計画法に基づく直交表の各列に各設計変数を割り付ける。直交表としては、本実施形態の場合、設計変数が２個であるため、Ｌ２７の３水準直交表を用いる。設計変数α_１，α_２を制約範囲の下限値、中間値、上限値の３水準に変化させて、直交表に割り付ける。そして、各割付条件に従って上記設計変数の値を変えて、上記式（１）により、直交表の行数個、ここでは２７個の最適化用ＦＥＭモデルを、実験計画モデルとして作成する。

次いで、ステップＳ３６において、上記で得られた各実験計画モデルの目的関数を、ＦＥＭ解析により求める。すなわち、各最適化用ＦＥＭモデルに解析条件を付与した構造解析を行うことにより、それぞれの目的関数を求める。構造解析は、タイヤモデルに対し、タイヤ内圧、荷重、路面との摩擦係数等の解析条件を付与して、演算することにより行われ、例えばＡＢＡＱＵＳ Ｉｎｃ．社製の「ＡＢＡＱＵＳ」などの市販のＦＥＭ解析ソフトウェアを利用して行うことができる。

かかる構造解析において、解析が収束せずに目的関数が算出されない場合がある。これは、上記実験計画法に基づいて最適化用ＦＥＭモデルを作成したときに、該モデルにおける一部の要素が大きく歪んだ形状になることに起因することが多い。そこで、ある最適化用ＦＥＭモデルについて目的関数が算出されないときには（ステップＳ３８：Ｎｏ）、上記の歪んだ要素について、メッシュを切り直し、即ちメッシュ状の要素分割により要素を再構成し（ステップＳ４０）、その後、この再構成した最適化用ＦＥＭモデルを用いて構造解析を実施して、目的関数を算出する（ステップＳ３６）。これにより、目的関数が算出されないという不具合を解消することができる。また、この切り直しは、上記特定のＦＥＭモデルについて、要素が歪んだ特定の部位のみに適用するだけでよいので、計算コストの増大を抑えることができる。

このようにして２７個の最適化用ＦＥＭモデルの全てについて目的関数を算出するまで構造解析を繰り返し（ステップＳ３８：Ｙｅｓ、ステップＳ４２：Ｎｏ）、全てのＦＥＭモデルについて目的関数を求めたら（ステップＳ４２：Ｙｅｓ）、次のステップに移行する。

次のステップＳ４４では、上記で求めた目的関数と設計変数との関係から、目的関数を設計変数による近似関数で表す。すなわち、回帰分析等の手法によって多項式近似することにより、目的関数を設計変数の近似関数（応答曲線）に変換する。

その後、ステップＳ４６において、上記近似関数から目的関数を最適化する設計変数を求める。例えば、目的関数をブロックの接地圧分散として、該接地圧分散を最小化したい場合には、接地圧分散が最小となるように近似関数に含まれる設計変数を変化させて、トレッドパターン形状の最適解を求める（ステップＳ４８）。

このようにして基底ベクトル法によるトレッドパターン形状の最適解を得た後（ステップＳ１８）、ステップＳ２０にて、ＥＣＡＴ法を用いてトレッドパターン形状の最適化計算を実施する。その際、ステップＳ１８で得られた基底ベクトル法でのトレッドパターン形状の最適解を初期レイアウトとして最適化計算を実施する。

詳細には、まず、図５に示すステップＳ５０において、基底ベクトル法の最適解を初期レイアウトとしたトレッドパターン形状のインプットデータを作成する。すなわち、上記最適解のトレッドパターンを表す各図形の座標データを作成し、入力する。

そして、ステップＳ５２において、主溝のみを持つタイヤモデルから上記初期レイアウトのトレッドパターンを持つタイヤモデルを作成するために、上記インプットデータを用いてマッピングアルゴリズムを実施する。マッピングアルゴリズムは、トレッドパターンの１ピッチ単位の意匠について実施する。

マッピングアルゴリズムによるプロセスについて説明する。図６は、初期レイアウトの意匠の一つである閉図形（ｍ角形）Ｐ_１−Ｐ_２−…−Ｐ_ｉ−Ｐ_ｉ＋１−…−Ｐ_ｍと、ＦＥＭモデルの関係を示したものであり、点線が有限要素を示している。ここでまず、有限要素Ａを構成する節点のひとつＮ_１について考える。初めに、Ｎ_１Ｐ_ｉベクトルとＮ_１Ｐ_ｉ＋１ベクトルの外積を求め、外積のｚ成分の正負を調べる。同時に、Ｎ_１Ｐ_ｉベクトルとＮ_１Ｐ_ｉ＋１べクトルのなす角θ_ｉ（＜１８０°）を求める。これをｉ＝１，…，ｍについて行う。

次に、上記式（２）を計算し、｜θ_total｜＞１８０°のときＮ_１が閉図形の中にあると判定し、｜θ_total｜≦１８０°のとき、Ｎ_１が閉図形の外にあると判定する。このような関係の確認を節点Ｎ_２，Ｎ_３，Ｎ_４についても同様に行い、１つの要素を構成する全節点が全て閉図形の内部にあるときに限りその要素は閉図形に属していると判定する。

このようにして、トレッドパターンの１ピッチ単位分の全ての有限要素について初期レイアウトの意匠との関係を求めて１ピッチ単位のトレッドパターンのＦＥＭモデルを作成し、これを所定ピッチの分だけ周方向に配置することで、上記の指定されたトレッドパターンからなる初期レイアウトのタイヤモデルが作成される（ステップＳ５４）。

上記のようにして基底ベクトル法の最適解を初期レイアウトとしたタイヤモデルを、主溝のみを持つタイヤモデルから自動生成させた後、ステップＳ５６において、該初期レイアウトのタイヤモデルの構造解析を実施して、トレッドパターンにおける接地面の各要素について、評価指標を算出する。評価指標とは、接地面の各要素について算出される物理量であって、タイヤ性能としての上記目的関数を算出する際の基礎となる物理量である。評価指標としては、例えば、応力、ひずみ、ひずみエネルギー、接地圧力、接地圧分散、摩擦エネルギー、路面のすべり速度および変位などが挙げられる。

次のステップＳ５８では、上記で算出した評価指標を対応する要素毎に１ピッチ単位に集約し、集約した評価指数の大小によってこれらの要素をクラス分けする。

評価指数を１ピッチ単位に集約する方法について、図７，８に基づき説明する。図７に示すように、５ピッチ分周期的に配置した場合において、各ピッチの対応する要素の評価指数の関数は次のように表される。

・第１ピッチ：Ｆ（ｉ，ｊ，１）
・第２ピッチ：Ｆ（ｉ，ｊ，２）
・第３ピッチ：Ｆ（ｉ，ｊ，３）
・第４ピッチ：Ｆ（ｉ，ｊ，４）
・第５ピッチ：Ｆ（ｉ，ｊ，５）
そのため、これらの評価指数を、図８に示すように１ピッチ単位に集約した場合、該１ピッチ単位のレイアウトにおける任意の要素の評価指数、即ち集約した評価指数の関数Ａ（ｉ，ｊ）は、下記式（３）により表される。

なお、１ピッチ単位に集約する場合、このように平均値を求めてもよく、あるいはまた単に合計値を求めてもよい。

このようにして集約した評価指数に基づいて１ピッチ単位のレイアウトに含まれる要素をクラス分けする。詳細には、評価指数の大きさを複数のレベルに分割してクラス分けする。例えば、評価指数の最小値と最大値の間を１０等分して１０個のレベルを設定し、全ての要素をそれぞれ対応するレベルに割り付けることで、１０クラスに分類する。なお、クラスの設定は、このように等間隔でもよく、また不等間隔でもよい。

次のステップＳ６０では、除去対象要素の属するクラスを決定する。かかる除去対象クラスの決定は、各クラスの評価指数の大きさのレベルに従ってなされる。

すなわち、評価指数が接地圧分散（即ち、平均接地圧に対する該要素の接地圧の差の二乗）である場合のように、評価指数が大きいものを除去対象とする場合、評価指数の大きい側の複数のクラスを除去対象クラスとして決定する。逆に、評価指数が小さいものを除去対象とする場合（例えば、トレッド部の撓みを大きくするパターンを設計したい場合、各要素の変位において変位の小さい要素を除去する。）、評価指数の小さい側の複数のクラスを除去対象クラスとして決定する。詳細には、次式（４）に基づいて除去対象クラスを決定することができる。

Ｎ_ｃβ＝βＮ_ｃμ …（４）
式中、Ｎ_ｃβは、除去対象要素の属するクラス番号の上限、Ｎ_ｃμは、評価指標の平均値を持つ要素の属するクラス番号、βは除去係数である。式（４）で求められたＮ_ｃβ以下のクラス番号に属する要素を除去対象とする。ここで、クラス番号は、評価指標が大きいものを除去対象とする場合、評価指標が大きいものから順番に小さなクラス番号を割り当て、評価指標が小さいものを除去対象とする場合、評価指標が小さいものから順番に小さなクラス番号を割り当てる。除去係数βは、予め定められた値を用いてもよく、あるいはまた、上記非特許文献１に記載されているように、α−カット値及び付加係数γとともに、これらのパラメータを遺伝子として染色体にコーディングする遺伝的アルゴリズムなどの最適化計算により求めてもよい。ここで、付加係数γは、上記非特許文献１に記載されているように、下記式（５）により定義される係数である。

Ｎ_ｐγ＝γＮ_ｐｓ …（５）
式中、Ｎ_ｐγは付加する要素数、Ｎ_ｐｓは累積除去要素数である。後記のステップＳ６４〜Ｓ６８でボイド比に基づいて復活する要素を決定する代わりに、除去した要素を除去した順番にその除去履歴を記憶しておき、式（５）で求められたＮ_ｐγ以降の順番の要素を全て復活するようにしてもよい。

次のステップＳ６２では、上記ステップＳ６０で決定した各除去対象クラスの中から除去する要素を選定し、選定した要素をレイアウトから除去する。除去要素は、除去対象クラスからあいまいに摘出されることが好ましい。あいまいに摘出するためには、上記非特許文献１に記載されているように、ファジイｃ−ｍｅａｎｓ法を用いてメンバーシップ関数を作成し、ファジイ分割を行う。該メンバーシップ関数は、除去対象クラス中の要素を、α−カット値により除去対象要素と非除去対象要素に分けるものであり、α−カット値αを求めることで除去要素が選定される。

このように、本ＥＣＡＴ法では、除去対象クラスとして複数のクラスを決定し、各除去対象クラスの中からファジイ分割により除去要素を選定することにしている。そのため、評価指数が大きいものを除去対象とする場合に、単に評価指数の大きい側のクラスからそのクラス全体の要素を除去する場合に比べて、局所的解に陥ることを回避してよりよい最適解を得ることができる。

このようにして要素を除去した後、トレッドパターンのボイド比についての制約条件に基づいて除去した要素の中から復活（即ち、付加）する要素を決定する。詳細には、まず、ステップＳ６４において、要素を除去した後のレイアウトのボイド比を計算する。ここで、ボイド比とは、トレッドパターンの１ピッチ単位の全面積に対する溝部（非接地部）の面積の比であり、通常、０．２５〜０．４５の範囲内で制約条件としてのボイド比の上限が定められる。

次いで、ステップＳ６６において、計算により得られたボイド比が上記制約条件を満たすかどうか判定する。そして、制約条件を満たさない場合、即ち算出されたボイド比が予め定められたボイド比の上限を超える場合、ステップＳ６８において、不足分の要素を補うように、除去した要素を復活する。すなわち、ステップＳ６２で選定した除去要素の中から、ボイド比の制約条件を満足するように必要数の要素を復活させる。ステップＳ６２で除去された要素については評価指標が記憶されているので、レイアウトに残る可能性の高い要素から順番に、すなわち、評価指標が大きいものを除去対象とする場合、評価指標の小さい要素から、また、評価指標が小さいものを除去対象とする場合、評価指標の大きい要素から、復活させる。

ステップＳ６６において制約条件を満たす場合、ステップＳ７０に進み、上記ステップで要素を除去及び復活することにより得られた現世代のレイアウトを確定する。

そして、ステップＳ７２において、現世代のレイアウトのタイヤモデルを作成する。その際、現世代のレイアウトの１ピッチ単位をタイヤ周方向に複数ピッチ展開したタイヤについてタイヤ全周でのＦＥＭモデルを作成する。ここで、現世代のレイアウトの１ピッチ単位の意匠をピッチ展開する方法について、図９，１０に基づき説明する。

図９は、トレッドの全幅についてのタイヤトレッドパターンの１ピッチ単位の意匠を示したものであり、符号２が主溝、符号３が横溝、符号５の黒塗りの部分が陸部、をそれぞれ示す。また、Ｘがタイヤ周方向、Ｙがタイヤ幅方向である。この１ピッチ単位の意匠を、図１０に示すように、タイヤ周方向Ｘに所定ピッチの数だけ周期的に配置する。図１０の例では、第１ピッチから第５ピッチまでの５ピッチ分周期的に配置している。

次いで、ステップＳ７４において、得られた現世代のレイアウトのＦＥＭモデルを用い、上記ステップＳ５６と同様に、構造解析を実施し、タイヤトレッドパターンにおける接地面の各要素について、評価指標を算出する。

そして、ステップＳ７６で、目的関数の収束性を判定する。目的関数は上記構造解析により求めた評価指標から算出され、例えば、目的関数がタイヤの接地圧分散である場合、評価指標である各要素の接地圧分散から算出される。収束性の判定は、例えば、１つ前の世代のレイアウトでの目的関数の値と、現世代のレイアウトでの目的関数との差が、所定値よりも小さいかどうかで行う。

かかる判定により目的関数が収束していないと判定したときには、レイアウトを現世代のレイアウトに更新して、ステップＳ５８に戻る。すなわち、現世代のレイアウトを初期値として、次のステップＳ５８にて要素のクラス分けを行い、ステップＳ６０以下に進み、目的関数が収束するまで、ステップＳ５８〜Ｓ７６を繰り返す。そして、ステップＳ７６において目的関数が収束したと判定したときには、そのときの現世代のレイアウトをトレッドパターン形状の最適解に決定する（ステップＳ７８）。

このようにしてＥＣＡＴ法によるトレッドパターン形状の最適解を得た後（ステップＳ２２）、該最適解に基づいてトレッドパターン形状を決定する（ステップＳ２４）。そして、トレッドパターン形状を設計したタイヤは、常法に従い、加硫成形することで、実際の空気入りタイヤとして製造することができ、これにより、上記目的関数に係るタイヤ性能が改善された空気入りタイヤが得られる。

本実施形態によれば、トレッドパターン形状の最適化に、基底ベクトル法とＥＣＡＴ法を組み合わせて用いたことにより、トレッドパターンの位相（例えば、図９に示す例における左右の横溝３のタイヤ周方向における相対位置）と形状を有効に最適化することができ、タイヤ性能を大幅に向上することができる。

また、ＥＣＡＴ法によるレイアウトの最適化計算では、局所的解に陥ることなく、大域的な最適解が得られ、従来の遺伝的アルゴリズムを用いる場合と比較して、計算負荷が小さく、そのため、トレッドパターンの意匠を効率的に設計することができる。また、ＦＥＭモデルを用いた構造解析及び目的関数の収束性判定では、レイアウトの１ピッチ単位をタイヤ周方向に複数ピッチ展開したものを用いる一方、要素の除去及び復活のプロセスでは、これらを１ピッチ単位に集約した値を用いている。タイヤトレッドパターンは、一般に、１ピッチ単位の意匠を周方向に周期的に配置することで、トレッド意匠を構成する。そのため、複数ピッチ分の評価指標及び目的関数を用いて評価することで、より実情に即した最適化を行うことができる。また、要素の除去及び復活のプロセスでは、１ピッチ単位に集約した値を用いるので、ピッチ間で異なる意匠に設計される不具合を回避することができる。

また、基底ベクトル法による最適化計算では、定型的なパラメータで定義することが困難なトレッドパターン形状を容易に作り出すことができ、その結果、最適解の探索範囲を広くとることができる。また、設計変数が変わるごとに、モデルのメッシュを切り直す必要もあまりなく、設計工数の削減を図ることができる。なお、本実施形態では、基底ベクトル法による最適化計算において、トレッドパターンの１ピッチ単位の意匠をオリジナル形状としたが、トレッドパターンにおける各ブロック形状を個別にオリジナル形状（設計対象）として最適化計算を実施してもよい。

（第２の実施形態）
図１１は、第２の実施形態に係る空気入りタイヤの設計方法の流れを示すフローチャートである。この実施形態は、空気入りタイヤのトレッドパターンについて、ＥＣＡＴ法を用いてトレッドパターンの位相と形状の最適化を行った後、基底ベクトル法を用いてトレッドパターン形状（特に、そのブロック形状）の最適化を行うものである。

すなわち、この実施形態では、第１の実施形態と同様にトレッドパターン付きのタイヤモデルを作成した後（ステップＳ１０〜１４）、まず、ＥＣＡＴ法を用いたトレッドパターン形状の最適化計算を実施し（ステップＳ８０，８２）、次いで、ＥＣＡＴ法での最適解を初期形状としたトレッドパターン形状について、基底ベクトル法を用いた最適化計算を実施する（ステップＳ８４，８６）。ＥＣＡＴ法と基底ベクトル法の各最適化計算方法は、第１の実施形態と同様であり、説明は省略する。

このようにして得られた基底ベクトル法によるトレッドパターン形状の最適解に基づいてトレッドパターン形状を決定する（ステップＳ２４）。そして、トレッドパターン形状を設計したタイヤは、常法に従い、加硫成形することで、実際の空気入りタイヤとして製造することができ、これにより、上記目的関数に係るタイヤ性能が改善された空気入りタイヤが得られる。

本実施形態においても、第１の実施形態と同様に、トレッドパターンの位相と形状を有効に最適化することができ、タイヤ性能を大幅に向上することができる。

（第３の実施形態）
図１２は、第３の実施形態に係る空気入りタイヤの設計方法の流れを示すフローチャートである。この実施形態では、上記第２の実施形態におけるＥＣＡＴ法を用いた最適化計算と基底ベクトル法を用いた最適化計算を連成させた点、即ち、所定の収束条件を満足するまで両最適化計算を繰り返して実施するようにした点に特徴がある。

詳細には、この実施形態では、第２の実施形態と同様にトレッドパターン付きのタイヤモデルを作成し（ステップＳ１０〜１４）、次いで、ＥＣＡＴ法を用いたトレッドパターン形状の最適化計算を実施し（ステップＳ８０，８２）、更に、ＥＣＡＴ法での最適解を初期形状としたトレッドパターン形状について、基底ベクトル法を用いた最適化計算を実施した後（ステップＳ８４，８６）、得られた最適解に基づいて収束判定する（ステップＳ８８）。なお、ＥＣＡＴ法と基底ベクトル法の各最適化計算方法は、第１の実施形態と同様であり、説明は省略する。

収束判定は、例えば、ｎ＋１回目のステップＳ８６で得られた最適解での目的関数の値ＯＢＪ_ｎ＋１が、ｎ回目のステップＳ８６で得られた最適解の目的関数の値ＯＢＪ_ｎに対して所定以上改善されたかどうかで判定することが出来る。所定以上の改善がない場合を収束したとみなす。ただし、ｎ＝０，１，２，…で、ＯＢＪ_０のみステップＳ１０で決定した初期形状での目的関数の値とする。例として、目的関数が小さくなることを改善されたとみなす場合、ＯＢＪ_ｎ−ＯＢＪ_ｎ＋１＜ε（εは所定の正の値）を満足するとき収束したと判定する。

そして、上記の式を満足せず、収束していないと判定したときには、ステップＳ８０に戻って、ステップＳ８６で得られた最適解を初期形状としたトレッドパターン形状についてＥＣＡＴ法を用いた最適化計算を実施し、以下、ステップＳ８２〜８６を上記同様に実施して、ステップＳ８８で収束するまで、ステップＳ８０〜８８を繰り返す。

ステップＳ８８で収束したと判定したときには、ステップＳ９０において、そのときのトレッドパターン形状の最適解に基づいてトレッドパターン形状を決定する。

このようにＥＣＡＴ法による最適化計算と基底ベクトル法による最適化計算を収束するまで繰り返して実施することにより、より目的にかなうトレッドパターン形状を見つけ出すことができる。

なお、本実施形態では、基底ベクトル法による最適化計算後のみに収束判定（ステップＳ８８）を実施するようにしているが、ＥＣＡＴ法による最適化計算後（即ち、ステップＳ８２とＳ８４との間）にも収束判定のステップを加えることもできる。その場合、収束していない場合には、ステップＳ８４に進み、収束した場合にはステップＳ９０に進むようにすればよい。

また、本実施形態では、ＥＣＡＴ法による最適化計算を先行させる場合について説明したが、第１の実施形態のように基底ベクトル法による最適化計算を先行させる場合にも、同様の収束判定のステップを加えて、収束するまで両最適化計算を繰り返して実施するようにしてもよい。

以下、上記第１の実施形態に係る最適化手法を用いたタイヤトレッドパターンの最適化の実施例について説明する。

この実施例では、タイヤサイズを２０５／６５Ｒ１５とし、構造解析における条件を、空気圧：２００ｋＰａ、使用リム：１５×６ＪＪ、荷重：４５０Ｎとした。目的関数は、タイヤの接地圧分散とし、該接地圧分散を最小化する最適化問題を定義した。

トレッドパターンのオリジナル形状は図４（ａ）に示す通りであり、基底ベクトル法では、該オリジナル形状に基づいて、図４（ｂ）および（ｃ）のベース形状１および２を作成した。制約範囲は、ベース形状１についての重み係数α_１＝−１〜１、ベース形状２についての重み係数α_２＝−１〜１とした。基底ベクトル法での最適化計算の結果、各設計変数の最適解はα_１＝１、α_２＝−１であり、最適化されたレイアウトは、図４（ｄ）に示す通りであった。

ＥＣＡＴ法では上記図４（ｄ）のレイアウトを初期レイアウトとし、構造解析ではこれを周方向に５ピッチ分展開した。また、評価指標は各要素の接地圧分散とし、要素のクラス分けは２０クラスとし、除去係数β＝１．３、α−カット値α＝０．９６とした。また、ボイド比の上限は０．３５とした。ＥＣＡＴ法での最適化計算の結果、最適化された最終レイアウトは、図１３に示す通りであった（但し、同図は周方向に５ピッチ分展開した接地形状を示す。）。

比較のために、比較例１として、従来の設計→構造解析→再設計の繰り返しによる試行錯誤による設計方法を実施した。また、比較例２として、ＥＣＡＴ法によるトレッドパターンの位相と形状の最適化計算のみを用いた設計方法と、比較例３として、基底ベクトル法によるトレッドパターン形状の最適化計算のみを用いた設計方法を実施した。

そして、実施例及び比較例１〜３について、最適化に要した計算コストを下記表１に示すとともに、コントロールタイヤとしての従来タイヤに対する目的関数（接地圧分散）の改良効果を下記表１に示した。

目的関数の改良効果については、構造解析による解析値と、実際にタイヤを作製して計測したときの実測値について、従来タイヤ（従来品）の接地圧分散の解析値と実測値をそれぞれ１００とした指数で表示した。また、計算コストについては、比較例１で要した計算時間を１００とした指数で表示した。数値が小さいほど計算時間が短く、計算コストに優れることを意味する。

表１に示すように、実施例の場合、従来タイヤや比較例１に比べて接地圧分散が大幅に向上しており、また、比較例１に対して計算時間が大幅に短縮された。また、ＥＣＡＴ法や基底ベクトル法を単独で用いた比較例２，３に比べて接地圧分散の改良効果に優れていた。

本発明は、空気入りラジアルタイヤ等の各種タイヤの設計に効果的に利用することができる。

第１の実施形態に係るタイヤ設計方法の流れを示すフローチャート。 タイヤのＦＥＭモデルの一例を示すタイヤの半断面図。 基底ベクトル法によるトレッドパターン形状の最適化計算の流れを示すフローチャート。 基底ベクトル法による最適化計算におけるオリジナル形状とベース形状１，２と最適化形状を示す平面図。 ＥＣＡＴ法によるトレッドパターン形状の最適化計算の流れを示すフローチャート。 マッピングプロセスにおいてある有限要素が閉図形に属する例を示す図。 ５ピッチ展開した例において任意の要素の評価指標の関数を示す図。 任意の要素について１ピッチ単位に集約した評価指標の関数を示す図。 トレッドパターンの１ピッチ単位の意匠の一例を示す図。 １ピッチ単位の意匠を５ピッチ展開した例を示す図。 第２の実施形態に係るタイヤ設計方法の流れを示すフローチャート。 第３の実施形態に係るタイヤ設計方法の流れを示すフローチャート。 実施例において最適化された最終レイアウトの図。

符号の説明

１…トレッド、２…主溝、３…横溝、４…ブロック、５…陸部

Claims (4)

1. （ａ）タイヤ性能に関する目的関数を定めるステップと、
   （ｂ）トレッドパターンの少なくとも一部の形状について、複数の要素に分割したモデルを用いて、前記目的関数を最適化する最適解を、基底ベクトル法を用いた最適化計算により求めるステップと、
   （ｃ）トレッドパターンの少なくとも一部の形状について、複数の要素に分割したモデルを用いて、前記目的関数を最適化する最適解を、ＥＣＡＴ法を用いた最適化計算により求めるステップと、
   を含み、
   前記ステップ（ｂ）と（ｃ）はいずれか一方のステップを先行して実施し、いずれか他方のステップを実施する際に、前記一方のステップにおいて求められた最適解を初期形状として最適化計算を行う、タイヤの設計方法。
2. 前記ステップ（ｃ）は、
   （ｃ１）トレッドパターン形状の初期レイアウトの１ピッチ単位をタイヤ周方向に複数ピッチ展開したタイヤについて複数の要素に分割したタイヤモデルを作成するステップと、
   （ｃ２）前記初期レイアウトのタイヤモデルを用いて構造解析により各要素について評価指標を算出するステップと、
   （ｃ３）算出した評価指標を対応する要素毎に１ピッチ単位に集約し、集約した前記評価指標の大小によって前記要素をクラス分けして、除去対象要素の属する複数のクラスを決定し、決定した各クラスの中から除去する要素を選定するステップと、
   （ｃ４）前記で除去した要素の中から復活する要素を選定するステップと、
   （ｃ５）前記ステップ（ｃ３）及び（ｃ４）における要素の除去と復活により現世代のレイアウトを得て、該レイアウトの１ピッチ単位をタイヤ周方向に複数ピッチ展開したタイヤモデルを作成するステップと、
   （ｃ６）前記現世代のレイアウトのタイヤモデルを用いて構造解析により各要素について評価指標を算出するステップと、
   （ｃ７）算出した評価指数から前記目的関数の収束性を判定して、収束していないと判定したときにはレイアウトを前記現世代のレイアウトに更新して前記ステップ（ｃ３）に戻り、収束したと判定したときには前記現世代のレイアウトを最適解として決定するステップと、
   を含む請求項１記載のタイヤの設計方法。
3. 前記ステップ（ｂ）は、
   （ｂ１）トレッドパターンの少なくとも一部についてのオリジナル形状のモデルに基づき、該モデルと節点数および要素結合情報が同一でかつ節点座標値の異なる複数のベース形状のモデルを作成するステップと、
   （ｂ２）前記オリジナル形状の節点座標値を成分とするベクトルと前記ベース形状の節点座標値を成分とするベクトルからベーシスベクトルを定義して、各ベーシスベクトルの線形結合により最適化用モデルの各節点座標値を成分とするベクトルを定義し、前記線形結合の重み係数を設計変数に設定するステップと、
   （ｂ３）前記最適化用モデルのベクトルと前記ベーシスベクトルとの関係式に基づいて、前記目的関数を最適化する前記設計変数の値を求めることで、トレッドパターンの少なくとも一部の前記形状の最適解を求めるステップと、
   を含む請求項１記載のタイヤの設計方法。
4. 前記ステップ（ｂ）又はステップ（ｃ）で得られた最適解に基づいて収束判定し、収束するまで前記ステップ（ｂ）とステップ（ｃ）の最適化計算を繰り返す、請求項１記載のタイヤの設計方法。