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Vorrichtung zum Teilen von Winkeln. Als Grundlage der Vorrichtung
nach der Erfindung zum .Teilen von Winkeln dient eine Kurve, deren allgemeine Gleichung
in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem in folgender Weise rechnerisch
zu ermitteln, ist Die nach der Erfindung benutzte Winkelteilungskurve ist durch
die Gleichungen
x : a
= 2 (p : a und y = ± p :L r) bestimmt. In diesen Gleichungen
sind x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Kurve; a ist die Abszisse
des Endpunktes der Kurve'vermindert um die Abszisse des Anfangspunktes der Kurve;
2rp ist der zu teilende Winkel; a ist der dem Grundkreisbogen entsprechende Winkel.
Die und r) rechnet man in folgender Weise aus
| 7)=m cos g |
| m |
| = Y sin rp |
| 2 |
| 'I@ = 2 Y sin. (p cos (p |
| .n2= 4y2 sing cp-4r2 sin4 (p |
Ordinate y setzt sich aus den Strecken P und r) zusammen.
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Aus der Gleichung
x : a = 29 : a folgt
Aus der Gleichung y = :E p ± r0 folgt
| p2= Y2 T 2Y 'n+ 7# 2 |
| 4 y1.12 - (y2+ .n2 -,h2)2 |
| und, d L'a |
| (.,2-.(,2)2= (P2-2)2, |
| Y4-2y2(p2+'12)+ (('2--i2)2= O |
| p2=p2-(Z-x)2 |
| = m sin (p |
| = 2y sing |
| P'= P'-47' sin4cp+4yx sin2(p-x2 ; |
also p2+7)2= p2-
x2 +47x sin2cp+4r2sin2cp-8r2 sin4q)p2-712 =p2-x2+4yx sin2cp-472
sin2cp-4r2 sin2cp. Die allgemeine Gleichung aller Winkelteilungskurven lautet dann
. . .y4-2y2(p2-x2+4yx sin2cp+4Y2 sin2rp-8r2 sin4(p)+(p2-x2+4yx sin2(P-4r2 sin2lp)2=
o. In Abb. x der Zeichnung ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem dargestellt,
in dem die Kurve, welche die vorstehend entwickelte Gleichung erfüllt, eingezeichnet
ist. Hierbei ist für den dem Grundkreisbogen entsprechenden Winkel- a der Wert x8o°
gewählt.; Mit Hilfe
dieser Kurve lassen sich also alle Winkel von
o bis 18o° genau teilen. Es können jedoch für den Winkel oc auch andere beliebige
Werte gewählt werden, z. B. 45, 6o, go usw. bis 36o°. Die Werte r, p und a sind
beliebig. Es empfiehlt .sich jedoch, zwecks Vereinfachung der Teilung des Winkels
den Wert a
= 2 r zu
wählen. In der in. Abb. i dargestellten Kurve ist diese
Bedingung erfüllt, deren Gleichung dann folgendermaßen lautet
+(Pa-x2+4yx sin2cp-472 sm2(P)2=o. Bei der dargestellten Kurve ist y = p gewählt.
Die Konstruktion der Kurve geht wie folgt vor sich.
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Gegeben: a= 18o°
Man teilt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Abszisse im Abstand r vom Nullpunkt
o des Koordinatensystems liegt (x= y, y= o) in n - 6 Teile. Die Zahl
n muß in der geometrischen Reihe i, 2, 4, 8, 16, 32 ... enthalten
sein. Der Teil OS der Abszisse wird in U - 3 Teile geteilt, da bei dem dargestellten
Ausführungsbeispiel a= 18o° ist. Durch die Teilpunkte der Abszisse werden hierauf
Ordinaten gezogen. Um jeden Teilpunkt des Grundkreises werden Kreise mit dem Radius
p geschlagen, welche die Ordinate des entsprechenden Teilpunktes der Abszisse in
zwei Punkten schneiden. Jeder dieser beiden Punkte gehört einer Winkelteüungskurve
an, welche die oben angegebene Gleichung erfüllt. Beide Kurven sind in Abb. i eingezeichnet,
wobei jedoch nur diejenigen Teilpunkte des Kreises benutzt wurden, die auf der positiven
Seite der Ordinaten liegen. Da die entsprechenden Teilpunkte des Grundkreises auf
der negativen Seite der Ordinaten die gleichen Abszissen haben wie die entsprechenden
Punkte des Kreises auf der positiven Seite der Ordinaten, so entstehen bei gleichzeitiger
Benutzung der auf der negativen Seite der Ordinaten liegenden Teilpunkte des Kreises
zwei zur Abszisse symmetrische, geschlossene Kurven. Für die Teilung eines Winkels
genügt jedoch der eine Ast einer der beiden geschlossenen Kurven. Diesem Ast entspricht
in Abb. i die Kurve AHB. Zur Kontrolle und zur Erhöhung der Genauigkeit der Winkelteilung
kann man jedoch auch beide der dargestellten Äste benutzen.
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Die Teilung eines gegebenen Winkels 2cp = OCE geht unter Benutzung
der Kurve AHB in folgender Weise vor sich Um den Schnittpunkt E des einen Schenkels
des zu teilenden Winkels 2 cp mit dem Grundkreis wird ein Kreisbogen mit dem Halbmesser
p geschlagen, der den. Teil HB der Kurve im Punkte M schneidet. Die Abszisse
dieses Punktes M teilt man in die gleiche Anzahl Teile, in die der Winkel 29 geteilt
werden soll, .beispielsweise in drei Teile. Durch die Teilpunkte F, G werden Ordinaten
gezogen, welche die Kurve in den Punkten H und J schneiden. Die um die Punkte
H und J mit dem Halbmesser p geschlagenen Kreise schneiden den Grundkreis
in den Punkten K und L, deren Verbindungslinien mit dem Mittelpunkt C des Grundkreises
den Winkel 2 cp in drei Teile zerlegen.
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In Abb. 2 -und 3 ist ein Ausführungsbeispiel der Vorrichtung in Ansicht
dargestellt, mit deren Hilfe die beschriebene Teilung eines Winkels vorgenommen
werden kann. Abb_. z zeigt die Vorrichtung in Ansicht. Abb.3 ist ein Schnitt nach
der Linie A-B der Abb. 2 in größerem Maßstabe.
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Auf einer ebenen Platte i ist eine Nut :z vorgesehen, deren Form der
oben entwickelten Gleichung entspricht. In die Nut 2 greift ein Stift 3 eines Führungsstückes
4 ein, das in einer Rille 5 eines Schiebers 6 längsverschiebbar gelagert ist. Der
Schieber 6 erstreckt sich über die ganze Höhe der Nut 2 und ist an seinen beiden
Enden auf Schienen 7 der Platte x verschiebbar gelagert. Das Führungsstück 4 ist
mittels eines Lenkers 8 mit einem Zeiger g gelenkig verbunden, der um einen Zapfen
1o drehbar auf der Platte i gelagert ist. Der Zapfen 1o läuft in eine Nadel aus,
deren Spitze genau in der Ordinate -des Scheitelpunktes der Nut 2 liegt. Der Schieber
6 ist mit einer Noniuseinteilung 1z versehen, die mit einer auf der Platte i aufgezeichneten
-Maßeinteilung 12 zusammenwirkt. Unterhalb der Noniuseinteilung 1i sind weitere
Einteilungen 13 angeordnet, die Bruchteile der Einteilung i1 darstellen und über
entsprechenden Einteilungen 14 der Platte i liegen.
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Zur Teilung eines Winkels 2 cp wird der Zapfen 1o mit seiner Nadel
im Scheitelpunkt des Winkels festgehalten, die obere Längskante der Platte i zur
Deckung mit dem einen Schenkel des Winkels und die obere Kante des Zeigers g zur
Deckung mit dem anderen Schenkel des Winkels gebracht. Hierbei gleitet der Stift
3 des Führungsstücks 4 in der Nut 2, wobei der Schieber 6 aus der dargestellten
Lage nach links gleitet und das Führungsstück 4 in der Rille 5 des Schiebers 6 verschoben
wird. Der Lenker 8 befindet sich dann in der durch eine strichpunktierte Linie angedeuteten
Stellung. Nun liest man auf der Noniuseinteilung 1i und der Maßeinteilung 12 die
Länge der Abszisse
des durch den Stift 3 gekennzeichneten Punktes
der Nut 2 ab.
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Will man den Winkel 2m nun in drei Teile teilen, so braucht man nur
den Schieber 6 so weit zu verschieben, daß das auf den Maßeinteilungen 1i, 12 gefundene
Maß in der Drittelteilung des Nonius erscheint. Der Zeiger g zeigt dann mit seiner
vorher auf den Schenkel des Winkels eingestellten Kante die Drittelteilung des Winkels
2(p an.
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Bei diesem Ausführungsbeispiel ist P größer als r gewählt, da sonst
der Zapfen io genau im Scheitelpunkt der Nut 2 liegen müßte. Die Maßeinteilungen
i2, 14 der Platte i sind um so viel über den Nullpunkt des Ordinatensystems nach
links herausgerückt, wie der Stift 3 vom Nullpunkt der Noniuseinteilung ii entfernt
ist.
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Es kann die Nut 2 auch durch eine Schiene o. dgl. ersetzt sein. Es
ist auch möglich, die Vorrichtung an Stelle von Schiebern, Lenkern und Zeigern mit
optischen Hilfsmitteln, z. B. Fernrohren, auszurüsten, wenn es sich um Winkelteilungen
zur Vermessung von Gelände handelt.