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Rechtwinkliges Dreieck zur Ermittelung von Kreisumfängen. Es besteht
häufig das Bedürfnis, schnell und sicl-er Kreisumfänge zu bestimmen, wenn der Halbmesser
oder Durchmesser des Kreises bekannt ist oder abgemessen werden kann. Zu diesem
Zwecke sind schon rechtwinklige Dreiecke, deren -Seiten geeignete Teilung aufwiesen,
bekannt geworden, bei welchen der Durchmesser des Kreises als Projektion einer Kathete
auf die Hypotenuse dargestellt wird. De: artige. Dreiecke mußten auf der Kante eines
vorher ganz bestimmt angelegten und in dieser Lage festzuhaltenden Lineals angelegt
und verschoben werden und setzten Übung und mathematische Kenntnisse voraus. Demgegenüber
ist das im folgenden beschriebene Instrument im Gebrauche einfacher und läßt sich
ohne mathematische Kenntnisse benutzen.
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Bedeutet A B den Durchmesser d;:s Kreises M in Fig. 5 und zieht man
zu diesem Durchmesser in A eine Tangente und trägt auf ihr die Strecke A-C = 7rmal
A-B ab, so entsteht das rechtwinklige Dreieck AB C, dessen kleinere Kathete
A-B den Durchmesser und dessen größere Kathete das 7r-fache des Durchmessers> also
den Kreisumfang darstellt. Eine einfache Rechnung ergibt, daß bei allen rechtwinkligen
Dreiecken, bei denen der Winkel A B C =72 Grad 20 Min. 36 Sek. ist, die Kathete
A-C das v-fache der Kathete A-B ist.
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Würde man es vorziehen, an Stelle des Durchmessers den Halbmesser
zur Rechnungsgrundlage zu wählen, so wird die größere Kathete gleich dem 2zr-fachen
der-kleineren Kathete. Hier wird dann der Winkel A B C
für alle. Dreiecke
8o Grad 57 Min. 26 Sek. Die Anwendung des Dreiecks sei zunächst an zwei Beispielen
erläutert. In Fig. 6 sei, der Kreis mit dem Durchmesser D gegeben uud es sei der
Umfang des Kreises zu suchen. Das Dreieck Fig. 6 bestehe aus durchsichtigem Material.
Man hat nur das Dreieck so an den Durchmesser D zu legen, daß die Seite l
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senkrecht zu- D steht und der Schnittpunkt, von D mit der Kreisperipherie
auch gleich-. zeitig die Hypotenuse des Dreiecks schneidet. Ist dies geschehen,
so braucht man nur die Zahl abzulesen. Es ist U = 1-a. Da in Fig. 6.
D = 6 ist, ist U - 31,4 - 12,56 = 18.84, Zeichnerisch braucht
man ebenfalls nur an. dem Dreieck entlang 1-a zu zeichnen. Es ist zweckmäßig von
o,5 zu o,5 cm ein rechtwinkliges Koordinatensystem über das gesamte Dreieck laufen
zu lassen, was das Anlegen, des Dreiecks und die Ablesung des gesuchten Wertes erleichtert..
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Liegt beispielsweise die Aufgabe vor, eine rechteckige Fläche zu ermitteln,
welche einer. gegebenen Kreisfläche inhaltsgleich.- ist, so hat man in Fig. 7 den
Durchmesser des gegebenen Kreises D um die Strecke M-N -1/4 D zu verlängern
und legt das Dreieck in der beim Suchen des Umfanges beschriebenen Weise an; dann
ist das inhaltsgleiche Rechteck mit dem
Zeichnerisch wird die Rechteckfläche gefunden durch Ziehen der Parallelen N-P und
0-P, dann ist M-N-O-P die gesuchte Rechteckfläche. Bei einiger Übung braucht
man bei Benutzung des vorliegenden Dreieckes nicht einmal den Durchmesser des
Kreises
zu ziehen, sondern kann durch bloßes Anlegen des Dreiecks den Wert ablesen.
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Für 'die-'praktische Anwendung läßt sich das'Arbeiten mit dem Dreieck
bequemer und vielseitiger gestalten, wenn man das Dreieck als Zunge in einem Rahmen
verschiebbar anordnet, wobei die erforderlichen Teilungen mit den gegebenen bzw.
gesuchten Zahlenwerten auf den Rahmenseiten angebracht sind. Eine beispielsweise
Ausführungsform ist in den Fig. i, 2,3 und 4 dargestellt. Fig. i zeigt einen
Längsschnitt, Fig. 3 einen Querschnitt, Fig. 2 eine Draufsicht und Fig. 4 die Rückseite
des Instrumentes. K stellt den Rahmenkörper dar, in dessen Nuten die Zunge Z verschiebbar
gleiten kann, so daß man sie unter den Brücken B und B1 nach links und nach rechts
beliebig weit herausziehen kann. Die Zunge kann aus durchsichtigem Material gefertigt
sein und auf ihr das rechtwinklige Dreieck angebracht sein. Auf der linken Brücke
B in Fig. 2 sind als Ordinaten die Halbmesserzahlen, z. B. von o bis io, aufgetragen.
Die Rahmenseite D trägt als Abszissen in derselben Teilung wie B Teilstriche, auf
welchen die Kreisumfänge abgelesen werden, da der Winkel zwischen kleinerer Kathete
und Hypotenuse des Zungendreiecks gemäß den obigen Ausführungen 8o Grad 57 Min.
26 Sek. beträgt.
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In der Fig. 2 ist beispielsweise die Zunge Z so weit nach links herausgezogen,
daß der Teilstrich 7 der Brücke B sich mit der Hypotenuse des schwarzen Dreiecks
auf der Zunge Z schneidet. Am Scheitelpunkt X des Dreiecks zeigt dann an der Rahmenseite
D der Endstrich des Dreiecks -auf die Zahl 43,96. Der Umfang beträgt also 43,96.
Umgekehrt würde, wenn der Umfang des Kreises gegeben ist und die Ecke X des Dreiecks
auf -diese Zahl eingestellt wird, der Schnittpunkt der Hypotenuse mit der linken
Brücke B die Größe des Halbmessers, also 7, angeben. Zweckmäßig werden die Innenkanten
von Brücke und Rahmen so abgeschrägt, daß die Teilstriche in unmittelbare Berührung
mit der Zunge kommen, damit möglichst genau abgelesen werden kann.
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Die durch das Instrument ablesbaren Größen gestatten auch bequem die
Aufgabe zu lösen, eine Kreisfläche in ein Rechteck von gleichem Flächeninhalt zu
verwandeln. Die Brücke 131
auf der- rechten Seite des Instruments (Fig. 2)
erhält zweckmäßig eine Teilung in verkleinertem Maßstabe, etwa i : 5o, wobei
r den Halbmesser bedeutet. Als Abszissen hierzu sind auf der oberen Rahmenseite
E wieder die zwei 7r-fachen Werte in demselben Maßstab wie auf 8l (also beispielsweise
i : 5o) angebracht. Da - so zeigt die
Hypotenuse des Zungendreiecks auf der Teilung der Kante E den Wert des Flächeninhalts
des Kreises zu dem Halbmesser auf der Ordinatenachse Bi an. Ist umgekehrt der Inhalt
der Kreisfläche gegeben, so läßt sich nach sinngemäßer Einstellung der Zunge der
Halbmesser des Kreises ermitteln durch den Schnittpunkt der Hypotenuse des Zungendreiecks
mit der rechten Brücke B1. Bei diesen letzteren Ermittelungen wird das Zungendreieck
nach rechts über die Brücke B1 hinaus geschoben, so daß es die in Fig. 2 gestrichelt
gezeichnete Stellung einnimmt.
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i Fig.4 zeigt die Rückseite des Schiebers. Die Teilung auf den Rändern
des . Rahmens kann hier derart ausgeführt sein, daß auf der Brücke B1 die Halbmesser,
auf dem Rande G die Kugeloberflächen abgelesen werden können. In sinngemäßer Weise
ist auf dem Rahmen H der Fig. 4 die Teilung für die Kugelinhalte aufgetragen.