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Winkelmesser Die Erfindung betrifft einen kurvenförmigen Winkelmesser
für das Zeichnen und Bestimmen von Winkeln, der gleichzeitig auch zur Winkelunterteilung
und für verschiedene andere Zwecke verwendet werden kann. Derartige Winkelmesser
sind an sich bekannt. Es ist z. B. vorgeschlagen worden, als Umrißlinie eine archimedische
Spirale zu verwenden, um die Winkelmessung in eine Längenmessung umzuwandeln. Ebenso
ist es bekannt, die Abwicklung eines Kreisbogens als Umrißlinie zu verwenden, um
den Winkelmesser auch zum Winkelteilen brauchbar zu machen.
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Der vorliegende Winkelmesser unterscheidet sich von den bekannten
durch die besondere Wahl der Kurvengleichung seiner Umrißlinie. Die Umrißlinie verläuft
erfindungsgemäß nach einer Kurve, deren mathematisches Gesetz, in Polarkoordinaten
ausgedrückt, durch die Gleichung y = yo - cos (8 - n) bestimmt ist. Die gerade Linie
y. ist frei wählbar; sie bestimmt die Größe des Winkelmessers. 8 ist der jeweilige
Winkel zwischen der Geraden yo und der Geraden y; n ist eine Konstante, deren Wert
zwischen o und cxD liegen kann. Essollen jedoch für n die Werte o,i und oo ausgenommen
sein, da sie entweder zu einer nicht brauchbaren Form (n = oo gibt eine gerade Linie)
oder zu einer bekannten Form (n = o und n = i geben Kreise) führen.
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Ein Winkelmesser mit einer Umrißlinie entsprechend der oben angegebenen
Gleichung bietet gegenüber dem Bekannten in verschiedenen Richtungen große Vorteile.
Mit einem solchen Winkelmesser kann man auch Winkel mit beliebig kleiner Schenkellänge
messen. Dies ist mit den bekannten kurvenförmigen Winkelmessern nur bedingt möglich.
Ein weiterer Vorzug des Winkelmessers ist, daß sich die Teilung und Vervielfachung
eines Winkels in wesentlich einfacherer Weise bewirken läßt als bisher. Wird z.
B. ein Winkelmesser mit mehreren Kurven für verschiedene Werte von n-verwendet,
so ist sogar nur durch Schlagen eines Kreisbogens das Ablesen beliebiger Teile bzw.
beliebiger Vielfache des Winkels möglich.
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Der Winkehnesser kann ferner ohne besondere Hilfsmittel als Kosinus-
oder Sinustabelle benutzt :werden. Zwar ist es bekannt, Winkelmesser mit zusätzlichen
Skalen für diese Werte zu versehen, die Umrißlinie des Winkelmessers der Erfindung
hat aber den Vorzug, den Verlauf dieser Funktionen sinnfällig wiederzugeben, ein
Umstand, der für Unterrichtszwecke von wesentlicher Bedeutung ist.
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Auch, als Präzisionslängenmeßinstrument kann der Winkelmesser infolge
der geringen Abnahme der Länge der Vektoren benutzt werden. Wählt man die Strecke
yo gleich der Einheit, so kann die Länge der zu messenden Strecken auf Bruchteile
von Millimetern an der Skala abgelesen werden.
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In der Fig. i der Zeichnung ist der Verlauf der Umrißlinien für die
Werte n = o,1/0, 1/511/41 1/3, 1/2, i, 2, 3, 4@ 5, 6 und oo dargestellt. In der
Fig.2 ist der Verlauf der vorstehend angegebenen Funktion für n = 1/c0 angegeben.
Die
Fig. 3 und 4 stellen eine praktisch bevorzugte Ausführungsform
des Winkelmessers für n =: 1/3 dar.
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In Fig. 3 ist die Winkelteilung von o bis 270° eingetragen. Die Strecke
y0 ist gleich Zoo mm, die Größe der Polarkoordinate y nimmt also von Zoo mm auf
o ab. Es können daher theoretisch alle Winkel mit Schenkellängen von o mm an damit
bestimmt werden. Wenn die Genauigkeit der Winkelmessung mit abnehmender Länge der
Strecke y0 abnimmt, so trägt dies dem natürlichen Umstand Rechnung, daß Winkel mit
kurzer Schenkellänge nicht so genau gemessen werden können wie Winkel mit langen
Schenkeln. Es bleibt jedoch der Vorteil, daß sie mit ein und demselben Winkelmesser
gemessen werden können.
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Ein Winkelmesser, deren Umrißlinie nach dem oben angegebenen Gesetz
verläuft, kann gleichzeitig auch für verschiedene andere Zwecke benutzt werden.
Es soll dies an Hand des Winkelmessers für n = 1/3 erläutert werden.
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Die gerade Kante des Winkelmessers kann als Lineal und mit Millimeterteilung
versehen, wie es in Fig. 3 geschehen ist, auch als Maßstab benutzt werden.
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Der Winkelmesser kann ferner als Ersatz für eine - Sinus- und Kosinustäbelle
ausgebildet werden. Wählt man nämlich die -Länge der Strecke y0 gleich der Einheit,
wie dies in Fig. 3 und 4 geschehen ist, so gibt die Strecke y stets den Kosinus
des dazugehörigen Winkels (sz # ö), also im vorliegenden Falle den von 8i3. In Fig.-4
sind die Kosinuswerte eingetragen und auf einen Halbkreis die dazugehörigen Winkelwerte;
die stets entsprechend n = 1/3, 1/3 des wirklichen Winkels betragen. Der Gebrauch
der Tabelle geht ohne weiteres aus der Zeichnung hervor.
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Die Ablesung kann entweder mit Hilfe eines Lineals oder unter Benutzung
der auf der anderen Seite des Winkelmessers aufgetragenen Winkelverteilung erfolgen.
Zu bemerken ist, daß im ersteren Falle für das Ablesen der Kosinuswerte der Winkel
über 6o' die Winkelteilung im ersten Quadranten des Halbkreises benutzt werden kann,
wobei für das Ablesen der Kosinuswerte der Winkel 6o' dem Winkel o ° und der Winkel
go ° dem Winkel 3o.° entspricht. In der Zeichnung sind die Tabellenwerte nur so
weit eingetragen, wie es zum Verständnis der Tabelle erforderlich ist.
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Die Tabelle kann natürlich ohne weiteres zum Ablesen der Sinuswerte
benutzt werden, da cos
Die Genauigkeit der Ablesung kann durch Verwendung kleinerer Werte für die Konstanten
gesteigert werden, wie dies ohne weiteres aus der Betrachtung der Fig. 2 für n =
1/b0 hervorgeht.
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Der Umstand, daß die Länge der Radien y sinnfällig den Verlauf der
Kosinus- oder Sinusfunktion wiedergibt, kann für Unterrichtszwecke ausgenutzt werden.
In diesem Falle wird man eine Teilung und eine Angabe der Kosinuswerte nicht vorsehen,
sondern die Bestimmung der Kosinuswerte an Hand der Winkelteilung mit dem Lineal
vornehmen lassen.
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Die Genauigkeit der Ablesbarkeit ist eine sehr hohe, wenn sie naturgemäß
auch, mit zunehmendem Winkel abnimmt. -Es ist jedoch auch bei großen Winkelwerten
noch eine Bestimmung des Kosinuswertes auf drei Stellen erreichbar, was der Rechenschiebergenauigkeit
entspricht. Sie wächst bis auf fünf Stellen bei kleinen Winkeln bzw. bei großen
Winkeln für die entsprechenden Sinuswerte.
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Es ist natürlich nicht notwendig, die Länge der Strecke y0 gleich
der Einheit zu machen. Weicht man davon ab, so ist nur die Einführung einer entsprechenden
Konstanten erforderlich.
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Infolge der geringen Abnahme der Länge der Strecke y ist es weiter
möglich, den Winkelmesser außerdem als Feinmeßinstrument für die Längenmessung zu
benutzen. Diese Längenmessung kann auch zur Kontrolle der Winkelmessung herangezogen
werden.
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Der Verlauf der Umrißlinie des Winkelmessers erfolgt, von der geraden
Strecke abgesehen, nach einer Kurve. Diese Kante des Winkelmessers kann daher als
Kurvenlineal benutzt werden. , Schließlich. kann der Winkelmesser zur Teilung oder
.Verdoppelung jedes Winkels ohne Hilfe eines Zirkels benutzt werden,. wobei der
Teilungs-oder Verdoppelungsfaktor durch die Größe des Wertes n bestimmt ist, der
der Kurve des Winkelmessers zugrunde gelegt ist. Mit einem Winkelmesser nach Fig.
3 oder 4 ist beispielsweise die Dreiteilung eines Winkels möglich. Das Verfahren
dafür ist sehr einfach und geht schneller vor sich als die Halbierung eines Winkels
mit Zirkel und Lineal. Es soll an Hand eines praktischen Beispieles erläutert werden.
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In Fig. 3 ist beispielsweise ein Winkel ö = 6o' angenommen, der in
drei gleiche Teile unterteilt werden soll. Der eine Schenkel des Winkels soll sich
mit der Geraden y0 decken, der andere ist gestrichelt gezeichnet, soweit er durch
den Winkelmesser verdeckt wird. Entsprechend der Annahme deckt er sich mit dem Teilstrich
6o' des Winkelmessers. Für die Teilung ist jetzt nur nötig, auf. dem Schenkel den
Schnittpunkt mit der Kurve zu markieren und diesen Punkt mit dem Schnittpunkt der
über dem Nullpunkt hinaus verlängerten Geraden y0 mit der Kurve zu verbinden. Diese
Verlängerung ist gleichfalls gestrichelt eingezeichnet, ebenso wie die Verbindungslinie.
Der Winkel, den diese Verbindungslinie mit der Geraden y0 bzw. ihrer Verlängerung
einschließt, beträgt im vorliegenden Falle 40'. Eine
Parallele zu
dieser Linie durch den Nullpunkt gezogen, teilt also einen Winkel von 2o', also
1/3 des ganzen Winkels ab. Zum Nachweis dafür, daß der Winkel zwischen der Verbindungslinie
und der Geraden y. stets 2/3 des jeweiligen Winkels b beträgt, oder mit anderen
Worten, daß der Winkel zwischen dem freien Schenkel des Winkels und der Verbindungslinie
1/3 b ist, sind in Fig. 3 die Seiten des durch die vorbeschriebene Konstruktion
entstandenen Dreieckes mit a, b, c die Winkel mit a, ß,
y bezeichnet worden. Es gilt mit diesen Bezeichnungen die für ebene Dreiecke
bekannte Beziehung
Es ist y = i8o - b und entsprechend dem Kurvengesetz b = y = y, # cos a/3
oder, da y. = 2 a
(cos 6o' = 1/2) ist, so ist b = ?'a . cos s/3. Es
ist dann
Dividiert man diese Gleichung mit tg a/3 bzw. dem entsprechenden Wert
so erhält man
Da b als Außenwinkel gleich a + ß, ist ß = 2/3 b, also im vorliegenden Falle gleich
40 '. Die Parallele zur Seite c teilt also einen Winkel von 2o° ab.
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Für Kurven mit anderen Winkeln als n gelten ähnliche Beziehungen.
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Der Winkelmesser nach Fig. i wird mit Vorteil dann benutzt, wenn in
einfacher Weise beliebige Teile und Vielfache eines Winkels bestimmt werden sollen.
Wünscht man z. B. von einem Winkel den dritten Teil und das 4/3fache dieses Winkels
zu bestimmen, so braucht man nur, ausgehend von dem Mittelpunkt des Winkelmessers,
einen Kreisbogen mit dem Abstand vom Mittelpunkt bis zum Schnittpunkt des freien
Schenkels des Winkels mit der Kurve für n = 1/3 zu schlagen, und der Schnittpunkt
dieses Kreisbogens mit den Kurven für n = i und für n = 1/4 geben die Lagen der
Vektoren für den dritten Teil bzw. für das 4/3fache des Winkels.