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Flächenmesser, insbesondere für die Flächenberechnung von n-Ecken
Die
Erfindung betrifft einen Flächenmesser zur Bestimmung des Flächeninhaltes beliebig
gestalteter ebener Vielecke durch stufenweise Umbildung zu einem Dreieck bestimmter
Höhe.
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Das Meßverfahren beruht auf folgenden bekannten Lehrsätzen aus der
Geometrie: I. Lehrsatz: Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe sind flächengleich
Schneidet man also von einem n-Eck I-2-3-4,.. n, wie in Abb. I der Zeichnung, durch
eine Gerade ein Dreieck 2-3-4 ab und ersetzt dieses durch ein solches gleicher Grundlinie
2-4, dessen Spitze 3' durch Parallelverschiebung der Geraden über 3 auf I-2 gebildet
ist, so erhält man ein (n-i)-Eck I-3'-4... n, das dem n-Eck I-2-3-4... zu zu zu
n flächengleich ist. In diesem Umbildungsverfahren fortfahrend, eält man am Ende
ein dem n-Eck I-2-3-4... n flächengleiches Dreieck I-(n - I)' - n. Zieht man nun
weiter eine Parallele zu I-2 in einem bestimmten Abstande K und führt das Umbildungsverfahren
bis auf den hierdurch erhaltenen Schnittpunkt (n + I) weiter fort, so erhält man
ein ebenfalls dem ursprünglichen n-Eck flächengleiches Dreieck I-n' -(n + I) der
Höhe K.
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2. Lehrsatz: Dreiecke von gleicher Höhe verhalten sich wie die dazugehörigen
Grundlinien Teilt man nun, wie in Abb. 2, die Grundlinie A-C eines Dreiecks A-B-C
der Höhe K gleichmäßig ein, bezeichnet A als Nullpunkt, C mit dem Flächeninhalt
des Dreiecks A-B-C und hierzu proportional die dazwischenliegenden Teilungspunkte,
so erhält man ein Maß (bei IO a Flächeninhalt des Dreiecks und zehn Teilungsabschnitten
der Grundlinie also beispielsweise das in Abb. 2 dargestellte), mit dem durch Abmessen
der Grundlinie fl'-I des Dreiecks 1 - n' -(n + I) in Abb. I (natürlich auch jeden
anderen Dreiecks der Höhe K) dessen Flächeninhalt erhalten wird.
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Voraussetzung natürlich ist, daß die Dreiecke ein und demselben Kartenmaßstab
entsprechen.
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Hierauf basierend wird bei der Flächenberechnung gemäß der Erfindung
ein in einer Karte od. dgl. bekannten Maßstabes dargestelltes n-Eck mittels verschwenkbarer
parallel zu sich selbst verschiebbarer Geraden stufenweise bis zu einem Dreieck
bestimmter konstanter Höhe K umgebildet, dessen Flächeninhalt an einer gleichförmigen
Teilung A-C unmittelbar abgelesen wird.
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Der Erfindungsgegenstand besteht hierfür insbesondere aus zwei miteinander
drehbar verbundenen vorzugsweise aus durchsichtigem Werkstoff hergestellten Teilen,
von denen der eine mit einer durch die Drehachse -(dem Rechnungsnullpunkt) gehenden
Umbildungsgeraden und der andere mit einer oder mehreren geradlinigen Skalen bzw.
auf solche bezogene Marken od. dgl. versehen ist, die mit einer oder mehreren in
geeigneter Weise gekennzeichneten Einheitshöhen (Gerätkonstante) in Beziehung stehen.
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In der Zeichnung sind mehrere Ausführungsbeispiele des Erfindungsgegenstandes
dargestellt.
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Das Gerät nach Abb. 3 besteht aus dem mit der gleichförmigen Teilung
a versehenen Lineal b, das auf der durchsichtigen Grundplatte c befestigt ist. Um
den durch die Nulimarke d gekennzeichneten Rechnungsnullpunkt dreht sich radial
die Umbildungsgerade e des hohlnietartig angelenkten durchsichtigen Zeigers e'.
Parallel zu der die Gerätebasis bildenden Linealkante f ist die Konstantenlinie
g gezogen. Die Beziehungen des von der Gerätbasis 7 und der Konstantenlinie g gebildeten
Abstandes K zu der Teilung a entsprechen dem unter I und 2 Gesagten. Zur Anpassung
des Gerätes an verschiedene Kartenmaßstäbe können mehrere Konstantenlinien vorgesehen
sein.
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Beim Ausmessen des Flächeninhaltes eines n-Ecks, beispielsweise I-2-3
... 6, legt man die Gerätbasis an eine als Teilstrecke der Grundlinie des entsprechenden
Dreiecks anzunehmende Seite, in Abb. 3 z, B. I-6, stellt die Umbildungsgerade auf
den Punkt 3 ein und verschiebt das Gerät waagerecht an einem Lineal od. dgl. so
lange, bis die Umbildungsgerade durch den Punkt 2 geht. Nun wird mit der Umbildungsgeraden
der Punkt 4 angeschnitten und das Gerät waagerecht verschoben, bis diese durch den
Punkt 3 geht usw.
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Man schreitet also beim Anschneiden mit der Umbildungsgeraden laufend
zwei Punkte vor und durch Waagerechtverschiebung einen zurück, weshalb das Schema
zwei vor, einen zurück« zu merken ist, das mit dem Anschneiden des Schnittpunktes
von g mit 5-6 und der Waagerechtverschiebung durch 5 endet.
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Hierbei erhält das n-Eck unter dem Gerät die Lage I'-2'-3'... ..
. 6', in der bei 6' an der Teilung der Flächeninhalt mit I4,2 abgelesen wird. Die
Umbildungsgerade ist in ihrer Endlage dargestellt. Die Umbildung eines n-Ecks kann
selbstverständlich sowohl in rechtsläufiger Folge von I aus wie auch in linksläufiger
Folge von 6 aus durchgeführt werden.
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Für ein ähnliches, jedoch allgemeiner gehaltenes Berechnungsverfahren
bedarf es nicht mehr unbedingt der Darstellung der Konstantenlinie in ihrer ganzen
Länge, sondern lediglich der Markierung eines Punktes derselben, in Abb. 4 beispielsweise
lt, der im folgenden Konstantenpunkt genannt werde. Man legt diesen Konstantenpunkt
bei Beginn der Messung über einen Eckpunkt der Figur, in Abb. 4 beispielsweise I,
und bringt dann in der Karte an der Nullmarke eine Markierung 8 an. Nach Anlegen
eines Lineals od. dgl. zum Abschieben des Gerätes wird mit dem Umbildungsverfahren
begonnen, wobei 8 als Anfangspunkt gilt; also : rzwei vor (Punkt 2), einen zurück
(Punkt I); zwei vor. (Punkt 3), einen zurück..., das mit dem Anschneiden von I und
der Waagerechtverschiebung durch 7 endet. Die in die Karte gebrachte Marke zeigt
nunmehr den Flächeninhalt an der Teilung mit 4,8 an, denn es wurde durch die systematische
punktweise Umfahrung das dem n-Eck flächengleiche Dreieck 8-I'-8' konstruiert.
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Versetzt man nun noch die Teilung (s. i in Abb. 4) derart, daß der
Konstantenpunkt lt gleichzeitig Teilungsnullpunkt ist, so zeigt der bei Beginn der
Messung mit dem Konstantenpunkt abgedeckte Eckpunkt der Figur (in Abb. 4 also I)
am Ende der punktweisen Umfahrung den Flächeninhalt an.
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Es können selbstverständlich für weitere Kartenmaßstäbe entsprechend
angeordnete Konstantenpunkte mit Skalen bzw. für einen Konstantenpunkt eine Anzahl
nebeneinanderliegender Skalen verschiedener Einheit oder aber auch für eine Teilung
mehrere Konstantenpunkte vorgesehen sein.
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Demgemäß kann dann auch, wie Abb. 5 darstellt, die durchsichtige
Grundplatte c mit einem System von Linien gleicher Flächenwerte i' versehen sein,
wie man es bei den zur Flächenberechnung von Dreiecken dienenden Hyperbeltafeln
findet. Ein solches stellt nämlich eine unendliche Zahl nebeneinanderliegender paralleler
Skalen dar, da ja die Hyperbeln jede durch sie parallel zu einer Asymptote gezogene
Gerade (beispielsweise 2-2') in gleichförmige Intervalle einteilen.
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Legt man dieses Gerät mit der als Nullnormale geltenden Asymptote
D-E durch einen beliebigen Eckpunkt der zu berechnenden Figur, der Grundpunkt genannt
werde, im Beispiel nach Abb. 5 ist es der Punkt 2, und umfährt die Figur punktweise
nach obigem Schema, so erhält die Figur unter dem Gerät die Lage I'-27-3'... 8',
in der man bei 2' in dem Hyperbelsystem den Flächeninhalt abliest, in Abb. 5 beispielsweise
o,goha; denn es wurde das flächengleiche rechtwinklige Dreieck E-2'-2" konstruiert,
Markiert man nun auf D-E einen Konstantenpunkt G und bringt bei Beginn der Messung
stets diesen über den Grundpunkt der zu messenden Figur, so liegt naturgemäß während
und nach Beendigung der Messung der Grundpunkt auf der durch G gehenden Parallelen
zu E-F. Ordnet man auf D-E weiter eine Lochmarke H an und trägt bei Beginn der Messung,
nachdem Grund- und Konstantenpunkt übereinstimmen, durch diese Lochmarke einen Punkt
g der Meßpunkt genannt werde, auf die Karte, so bewegt sich dieser auf einer durch
H gelegten Parallelen zu E-F.
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Dabei haben natürlich 2 und g stets den gleichen Abstand vonD-E. Bezeichnet
Fz' den durch 2und' den durch g im Hyperbelsystem angezeigten Flächeninhalt, so
ist entsprechend der Eigenart der Hyperbeln ferner F2': Fig' = E-G: E-H.
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Hieraus ergibt sich die Anpassung dieses Gerätes an verschiedene
Kartenmaßstäbe.
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Wird beispielsweise ein für den Kartenmaßstab 1 : 3200 geltendes
Hyperbelsystem verwendet und ist in dessen Asymptote D-E ein beliebiger Konstantenpunkt
G markiert, so muß, um mit dem Gerät auch in einer Karte des Maßstabes 1: I600 die
Flächeninhalte direkt ablesen zu können, E-H = 1/4 E-G sein. Natürlich kann man
auch eine Lochmarke H', die den zehnfachen Abstand von E wie H hat, verwenden. Man
muß dann allerdings bei den abgelesenen Flächenwerten das Komma um eine Stelle nach
links verrücken. Es bleibt nun unbenommen, für beliebig viele weitere Kartenmaßstäbe
derartige Lochmarken anzubringen, oder auch wieder für bestimmte Lochmarken weitere
Strichmarken. Ferner kann an Stelle der Linie D-E eine die Auftragung der Meßpunkte
zulassende strichfeine Durchbrechung treten, an der die entsprechenden Markierungen
vorzugsweise einstellbar vorgesehen sind, od. dgl. m.
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Da die Anpassung an den jeweils gewünschten Kartenmaßstab für einen
Flächenmesser naturgemäß von ganz besonderer Wichtigkeit ist, sei nachstehend noch
auf einige weitere diesbezügliche Ausführungsformen des Erfindungsgegenstandes eingegangen.
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So kann beispielsweise die Teilung a (Abb. 3) an der Gerätebasis
f mittels Schieber-, Klemm-, Heftod. dgl. Vorrichtung auswechselbar eingerichtet
sein, wobei bei Beziehung auf diese verschiedenen Teilungen wiederum verschiedene
Konstantenmerkmale vorgesehen sein können.
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Gemäß einer anderen in Abb. 6 dargestellten Ausführungsform, die
sich insbesondere auf die mechanische Einstellung des Konstantenpunktes bezieht,
besitzt der Zeiger e' auf seiner Oberseite Führungsansätze k, in die ein Schieber
I mit seiner kreisförmigen Scheibe n eingreift, in deren Zentrum ein Konstantenpunkt
m markiert ist. Längs dem Lineal b ist in einer Führung der Arm o verschiebbar,
auf dem der mittels Schraube p feststellbare Schieber I geführt wird. Der Arm o
trägt eine Teilung und der Schieber I einen entsprechenden Nonius. Bei Verschiebung
des Armes o längs dem Lineal b muß sowohl der Abstand zwischen dem Konstantenpunkt
m und der Gerätbasis f in allen Stellungen gleichbleiben, der Weg von m also der
ursprünglichen Konstantenlinie g (Abb. 3) entsprechen, wie auch der Konstantenpunkt
m sich stets auf der Umbildungsgeraden e befinden. Die Bauelemente des Gerätes oberhalb
der Gerätbasis f sind zweckmäßig sämtlich durchsichtig. Die Handhabung des Zeigers
erfolgt hier mittels des Armes o. Im übrigen erfolgt die Messung wie oben beschrieben,
wobei die Einstellung der Umbildungsgeraden auf den Schnittpunkt von 5-6 mit g (s.
Abb. 3) naturgemäß zwangläufig durch die Einstellung des Konstantenpunktes m in
die Linie 5-6 erhalten wird.
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Bei Anwendung der systematischen punktweisen Umfahrung nach Abb.
4 ist bei Beginn der Messung der Konstantenpunkt m über einen Eckpunkt der Figur
zu legen und im übrigen ebenfalls, wie bereits beschrieben, zu verfahren. Da hierbei,
wie gesagt, lediglich am Anfang der Messung ein die Konstante kennzeichnender Punkt
bestimmten Abstandes von f erforderlich ist, so können zur Anpassung an den Kartenmaßstab
neben bzw. anstatt der Schiebereinrichtung des Armes o auf dem Zeiger e', vorzugsweise
in der Umbildungsgeraden e, Konstantenpunkte m', m ... vorgesehen sein, deren Konstantenabstand
mittels einer am Arm o angebrachten Indexmarke q od. dgl. an für einen bestimmten
Kartenmaßstab geeichten Marken r,r'... od. dgl. des Lineals b eingestellt wird.
Diese bei jeder Messung sich wiederholende Einstellung kann vorzugsweise rein mechanisch
erfolgen mittels entsprechend angeordneter Ansätze und Anschläge od. dgl.
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Zu der Anordnung des Konstantenpunktes im Zentrum der in Führungsansätzen
gleitenden kreisförmigen Scheibe sei bemerkt, daß natürlich auch andere Führungsmöglichkeiten
des Konstantenpunktes gegeben sind. Der gleiche Effekt wird beispielsweise, wie
in Abb. 7, erreicht durch ein den Zeiger e' umgreifendes Führungsstück s, das mittels
eines dem Konstantenpunkt entsprechenden Zapfens t od. dgl. mit dem Schieber I drehbar
verbunden ist.
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Bei Verwendung undurchsichtigen Materials wie der um kann zweckmäßig,
wie in Abb. 8, eine radial zum Rechnungsnullpunkt verlaufend ausgebildete Kante
des Zeigers e' als Umbildungsgerade e dienen. Hierbei ist ein in Führungsansätzen
parallel zu dieser Umbildungskante e gleitendes Führungsstück u mittels eines stets
in Kantenrichtung liegenden Zapfens v od. dgl. mit dem Schieber 1 drehbar verbunden.
Entweder kann nun der Zapfen v selbst als Konstantenpunkt dienen oder aber auch
zur Vermeidung einer Parallaxe eine bei erhöhter Lage des Zapfens v unter diesem
angeordnete, mit dem Führungsstück X starr verbundene besondere Marke, ähnlich z
in Abb. 9.
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Andere Vorteile, insbesondere die Verwendungsmöglichkeit eines Nonius
zur Flächenablesung, werden erreicht, wenn die Teilung a, wie in Abb. 6 mit dargestellt,
an der Anlegekante des zum Abschieben des Gerätes zu verwendenden Gegenstandes erscheint,
an der die dem Flächeninhalt entsprechende Strecke (beispielsweise I-I' in Abb.
4) mittels einer an der Kante w des Lineals b angeordneten Marke x (vorzugsweise
Nonius) auf Grund der systematischen punktweisen Umfahrung gemessen werden kann.
Umgekehrt kann natürlich auch die Teilung a an der Kante w angebracht werden, während
der Abschiebegegenstand die Marke x trägt. Es läßt sich ferner denken, daß die Waagerechtverschiebung
des Gerätes durch in dieses eingefügte Rollkörper erfolgen kann, deren einer zugleich
als Meßrolle dient.
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Die die Bauelemente vereinfachende Weiterbildung der Geräte gemäß
der Erfindung kann, wie in Abb. 9 gezeigt, bis zu einem Grade durchgeführt werden,
daß schließlich nur noch zwei im Rechnungsmittelpunkte d zusammengelenkte, auf Grund
von Marken y od. dgl. in einen bestimmten Winkel £ einstellbare Schenkel verbleiben,
deren einer, b, mit der Ablesemarke x versehen ist und zum Abschieben an einem mit
Teilung a ausgestatteten Lineal (Anlegemaßstab od. dgl.) dient, während der andere
den Zeiger e' darstellt, der gleichzeitig Träger einer vorzugsweise für verschiedene
Kartenmaßstäbe einstellbaren Konstantenmarke z ist.
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Alle diese Operationen, mogen sie in ihrem Aussehen auch verschieden
sein, sind dem Wesen nach gleich, sie beruhen immer wieder auf dem Prinzip der eckenausgleichenden
Umbildung der zu berechnenden Figur mittels einer verschwenkbaren, parallel zu sich
selbst verschiebbaren Umbildungsgeraden in ein Dreieck bestimmter im Gerät festgelegter
Höhe, entsprechend dessen Grundlinie in einer Teilung der Flächeninhalt ausgedrückt
ist, der an dieser unmittelbar abgelesen werden kann.
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Abschließend sei noch die Verwendung des Erfindungsgegenstandes für
andere Zweckrichtungen behandelt.
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So kann das Gerät nach Abb. 3 auch zur Bestimmung des Produktes zweier
Größen genommen werden, insbesondere des Flächeninhalts eines Dreiecks, wenn die
eine Größe als Strecke und die andere als Zahl gegeben ist. Bei entsprechend angepaßter
Gerätkonstanten ändert sich hierbei die Handhabung gegenüber der vollgraphischen
Berechnung lediglich dahingehend, daß am Anfang der Messung nicht, wie vorher, der
Anfangspunkt der Grundlinie des Dreiecks (in Abb. I z. B. (n 1)' - 1) mit dem Nullpunkt
d der Teilung a zur Deckung gebracht wird, sondern der Grundlinienendpunkt (also
I) mit dem der Maßzahl der Grundlinie entsprechenden Teilstrich.
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Ein weiterer Schritt dieser Entwicklung führt zu einer Rechenvorrichtung
für die Multiplikation und Division. Es ist lediglich noch, wie in Abb. 3 dargestellt,
eine Sonderteilung al erforderlich, die auf einem planflächigen Gegenstand, etwa
einer Schreibunterlage, einem Blatt Zeichenpapier, dem Kartondeckel des Gerätes
od. dgl., angeordnet ist, der vorzugsweise eine Führungskante od. dgl. für das Gerät
besitzt, deren Abstand vom Nullpunkt der Sonderteilung a der Breite des Gerätlineals
b entspricht, über die hin das Gerät wie sonst über die zu berechnende Figur bewegt
wird.
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Soll nun beispielsweise IS mit 5 multipliziert werden, so wird die
Gerätteilung a mit dem Wert I8 (oder I80 oder I800) USW. an den Nullpunkt der Sonderteilung
gelegt und an dieser mit der Umbildungsgeraden der Wert I (oder 10 oder 100 usw.)
eingestellt (s. Darstellung in Abb. 3). Läßt man nun die Umbildungsgerade durch
Waagerechtverschiebung des Gerätes durch den Wert 5 (oder 50 oder 500 usw.) der
Sonderteilung gehen, so zeigt deren Nullpunkt an der Gerätteilung das Produkt mit
g (oder go oder 900 usw.) an.
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Da eine Division augenscheinlich die Umkehrung der vorigen Operation
ist, erübrigt sich deren Erklärung; dagegen ist die Darstellung des Lösungsganges
einer Regeldetri-Aufgabe angezeigt. Um z. B. die vierte Zahl der Proportion 12:
4 = 9 : x zu ermitteln, legt man den Wert 12 der Gerätteilung an den Nullpunkt der
Sonderteilung, stellt an dieser mit der Umbildungsgeraden den Wert 4 ein und bringt
durch Waagerechtverschiebung des Gerätes den Wert 9 der Gerätteilung mit dem Nullpunkt
der Sonderteilung zur Deckung. Die gesuchte Zahl x zeigt nun die Umbildungsgerade
an der Sonderteilung mit 3 an.
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Es können ferner die gemäß Abb. 8 und 9 ausgebildeten Geräte bei
der Kartierung maßstabsgerechter Karten und Pläne benutzt werden zur direkten Ausschaltung
der durch Schwund des Papiers od. dgl. eingetretenen Maßstabsveränderungen. Da es
sich hierbei um die halbgraphische Lösung von Regeldetri-Aufgaben handelt, ist die
Handhabung nach dem Obengesagten ohne weiteres verständlich, so daß darauf nicht
besonders eingegangen zu werden braucht.
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Beim Zeichnen von Höhenkurven in kartierten Karten und Plänen können
die Vorrichtungen angewandt werden zur proportionalen Einschaltung der runden Survenhöhen.