-
Vorrichtung zur graphischen Auflösung von Gleichungen. Die Erfindung
hat eine Vorrichtung zum Gegenstand, welche den Wert einer Größe x graphisch zu
bestimmen ermöglicht, die von veränderlichen Größen s t u v. . . in beliebiger
Zahl abhängig ist, auf Grund einer Gleichung von der Form f(x)=fl(S)'f2(t)'f3(u)'f4(v)...,
d. h. wenn eine Funktion von irgendeiner Form einer Unbekannten x gleich ist dem
Produkte von Funktionen beliebiger Form der verschiedenen Veränderlichen
s t u v. . .
-
Auf der Zeichnung sind das erläuternde Schema der Hauptmethode der
graphischen Bestimmung, welche den Gegenstand der Erfindung bildet, ferner zwei
Ausführungsformen von Vorrichtungen für die Lösung von besonderen Problemen und
verschiedene konstruktive Einzelteile dieser Vorrichtungen dargestellt.
-
Abb. i stellt das erläuternde Schema der Hauptmethode dar.
-
Abb. i a ist eine Abänderung davon.
-
Abb. 3 stellt ein Ausführungsbeispiel nach der Erfindung dar, und
zwar eine Berechnungsvorrichtung für Artilleriefeuer auf ein unsichtbares Ziel,
das von einem Beobachtungsposten aus geleitet wird; diese Vorrichtung gibt ohne
weiteres für jedes Geschütz seine Entfernung vom Ziel und seine Richtungseinstellung
an.
-
Abb. 2 ist ein erläuterndes Schema für diese Berechnung.
-
Abb. g stellt eine dem obigen Ausführungsbeispiel ähnliche Berechnungsvorrichtung
für Bodenerhebungen dar; diese Vorrichtung gibt ohne weiteres die Korrekturen, denen
die Winkel von visierten Zielen zu unterwerfen sind, um diese Winkel auf trigonometrische
Punkte zurückzuführen. Diese Korrekturen werden dadurch notwendig, daß das Visierinstrument
in einer gewissen Entfernung vom trigonometriscben Punkt aufgestellt ist, oder das
visierte Zeichen in einer gewissen Entfernung vom trigonometrischen Punkte ist,
dem er als Merkzeichen dient.
-
Abb. q ist ein erläuterndes Schema dieser Berechnung. Abb. 6 und 7
stellen Konstruktionseinzelheiten dar.
-
Nach Abb. = trägt man, von einem Punkte X einer geraden Linie S-R
ausgehend, welche die Nullinie darstellt, auf eine Senkrechte X-X, die Reihe der
Funktionen f (x) auf, d. h. man bestimmt die Werte von f (x) für verschiedene
Werte (z. B. regelmäßig wachsend) von x, und man trägt auf der Linie X-X" ausgehend
vom Punkte X, welcher den Nullpunkt darstellt, Strecken auf, welche gleiche Größe
haben oder den verschiedenen Werten entsprechen, welche durch f (x) bestimmt
sind, und trägt bei diesen Abschnitten die entsprechenden Werte von x ein; dann
legt man durch diese Abschnitte parallele Gerade zu S-R. Man erhält auf diese Weise
ein Netz der Funktion f (x).
-
Auf einer anderen Senkrechten S-Sl trägt man in gleicher Weise, vom
Punkt S ausgehend, welcher Nullpunkt ist, die Reihe der Funktion f, (s) auf. Ebenso
trägt man auf einer Geraden T-TI, welche bestimmt ist, sich so zu verschieben, daß
ihre Enden auf den Linien S-R und S-S, bleiben, die Reihe der Funktionen f2
(x) auf, ausgehend vom Punkt T,
welcher Nullpunkt ist; auf einer Geraden
U-U" welche bestimmt ist, sich zwischen T-R und T-T, zu bewegen, hat man die Reihe
der Funktion f3 (u) vom Punkt U aus, dem Nullpunkt, aufgetragen; auf
einer Geraden V-V1, bestimmt, zwischen U-R und U-Ul sich zu bewegen, hat man die
Reihe der Funktion f4 (v) vom Punkt V aus, dem Nullpunkt, aufgetragen usw.
-
Die Maximalwerte x1 s, t1 ui v1 dieser Reihen sind miteinander durch
die Beziehung verbunden (r) f (XI) = fl (s ,) - f2 (t1) ' f3 (u1)
' f4 (v J . . .
Es soll jetzt gezeigt werden, daß zur Auffindung
des Wertes x. der Unbekannten, entsprechend einer Gruppe von Werten so
to uo vo der Veränderlichen, es genügt, das Ende T, der Geraden T-T1 auf
den Punkt so der Reihe S-S, einzustellen; das Ende U, der Geraden U-Ul auf den Punkt
to der Reihe T-T" das Ende V1 der Geraden V-V, auf den Punkt u0 der Reite U-U1,
und dann den Wert x. auf
der parallelen Geraden zu S-R des Netzes
der x zu lesen, welche durch den Punkt v. der Reihe V-Vl geht.
-
Tatsächlich hat man, wenn man die Module der Reihen
f (x)-fl
(s)-f2 (t)-f3 (u)-f4
(v) m#ms mt-m"-m" nennt, die Gleichungen:
| s s, = in. # f (x1) = ms - f ] (Si) |
| T T, = ynt # f2 (ti) |
| UUl = % # f3 (ui) |
| VVl - M"' f4 (v1), |
andererseits
| S T, - ms - f i (So) |
| TU, =mt- f2 (to) |
| UVi = m. ' f3 (uo) |
| V 1%V - m, . f4 (Va). |
Die Ähnlichkeit der verschiedenen Dreiecke, welche ihre Basen parallel zu S-Sl haben,-ergibt
Indem man diese Gleichungen miteinander multipliziert, erhält man
und indem man diese Größen durch die Werte ersetzt, welche durch die vorhergehenden
Gleichungen gegeben sind:
Indem man - die beiden Glieder dividiert durch
da die beiden Nenner nach der Gleichung (i) gleich sind, so sind es die beiden Zähler
auch.
-
Der Wert x., der durch die oben angezeigte Konstruktion erhalten wird,
ist also der gesuchte Wert, welcher den gegebenen Werten so to uo vo entspricht.
-
Die Reihe der Funktion f 1(s), welche in Abb. x auf der Geraden S-S,
dargestellt worden ist, die senkrecht zum Netze f (x) steht, kann, was in
manchen Fällen vorteilhaft ist, wie es weiter unten an einem besonderen Beispiel
auseinandergesetzt werden wird, auch gemäß Abb. ia auf einer beliebigen Linie S'-S'1
aufgetragen werden, .welche gerade oder gekrümmt ist und ihren Ursprung auf S-R
hat und auf welcher die Abschnitte von S-S, parallel zti S-R aufgetragen werden.
Man sieht tatsächlich, daß, wenn man die Reihe f2 (t) auf T'-Ti in der Weise
aufträgt, daß T' auf S-R und T, auf dem Punkte so von S'-S; sich befinden,
diese Reihe parallel zu ihrer Stellung T-Ti bleibt in der Weise, daß die Konstruktionsfolge
sich ohne Änderung vollzieht.
-
Die Vorrichtung, die in Abb. 3 dargestellt ist, dient zur Berechnung
für Artilleriefeuer; sie ermöglicht die Bestimmung der angenäherten Entfernung vom
Ziel und des Winkels der Einstellrichtung für jedes Artilleriegeschütz für das Schießen
auf ein unsichtbares Ziel, das von einem Beobachtungsposten geleitet wird, von dem
aus man das Ziel sieht.
-
Nach dem in Abb. 2 dargestellten Schema befindet sich der Beobachtungsposten
bei i, das Artilleriegeschütz bei 2 und das Ziel bei 3.
-
In dem Dreieck i, 2, 3 kennt man die Kante i, 2, welche mit t bezeichnet
sei; man kennt außerdem den Winkel 2, i, 3, welcher mit s, und annäherungsweise
die Entfernung i, 3, welche mit S bezeichnet sei. Um den Winkel i, 2, 3 zu bestimmen,
durch welchen man für das Geschütz 2 die Einstellrichtung angibt;
genügt
es, den Winkel x zu berechnen. Wenn man vom Punkt 2 aus die Senkrechte 2-4 auf die
Linie 1-3 fällt, hat man in dem Dreieck 2,4,3
indem man setzt
kann man u für sich berechnen. Man hat
Diese Formel, welche x ergibt, ist von der vorher angezeigten Form f (x)=fi(s)-f2(t)'fs(u).
-
Nach dem oben gezeigten Verfahren kann diese Gleichung durch die in
Abb. 3 dargestellte Vorrichtung gelöst werden. Diese Vorrichtung besteht aus einer
Scheibe 5, an deren Basis eine Leiste 6 angebracht ist, deren oberer Rand 7, 8 die
Nullinie des Netzes der Funktion tg x bildet; auf dieser Linie befindet sich bei
g eine Schraube, welche den Drehpunkt für eine Leiste io bildet, auf welcher ein
Maßstab mit den Entfernungen i des Beobachtungspostens vom Geschütz aufgetragen
ist. Das Ende ii dieser Leiste verschiebt sich auf einer Kreislinie, die ihren Mittelpunkt
in g hat und auf welcher die Winkel s aufgetragen sind. Der auf diesen Kreis aufgetragene
Maßstab entspricht der Sinusfunktion; d. h. die Winkelteilung ist regelmäßig. Auf
der Leiste io kann ein Schieber 12 gleiten, welcher einen Zapfen 13 trägt, der in
derselben Entfernung vom Rande der Leiste io angebracht ist wie die Schraube g.
Dieser Zapfen 13 trägt eine Leiste 14, deren innere Kante durch den Zapfen 13 geht
und welche von ihrem Ende 15 aus nach der Funktion
in Grade eingeteilt ist und nacheinander die Werte der ganzen wachsenden Zahlen
gibt.
-
Bei Benutzung der Vorrichtung verfährt man in folgender Weise: Man
verstellt den Schieber i2 auf der Leiste io, bis seine untere Kante auf die Teilung
kommt, welche der Entfernung T des Beobachtungspostens i vom Geschütz 2 entspricht.
Man verstellt die Leiste io derart, daß ihre Marke ii auf die Teilung des Kreises
kommt, welche den Wert s des Winkels 2, z, 3 darstellt; die Leiste 14 wird in der
Weise eingestellt, daß ihr Ende 15 auf die obere Kante 7, 8 der Leiste 6 zu liegen
kommt. Wenn man nach dieser Einstellung nachsieht, welches die Linie des Netzes
ist, welche durch die Teilung Uo des Maßstabes 14 hindurchgeht, so liest man auf
dieser Linie den gesuchten Wert x. ab.
-
Die in Abb 5 dargestellte Vorrichtung ist dazu bestimmt, rasch durch
eine einzige Ablesung die Korrekturen zu bestimmen, welchen die visierten Winkel
in den Bodenerhebungen zu unterwerfen sind, wenn die Beobachtungen, wie dies gewöhnlich
der Fall ist, nicht so ausgeführt werden können, daß man den Apparat genau über
das trigonometrische Merkmal setzt, auf welches diese Winkel bezogen werden müssen,
oder daß das visierte Zeichen sich in einer bestimmten Entfernung vom trigonometrischen
Punkte befindet, dem es als Merkzeichen dient.
-
Sei in Abb. 4 bei 21 ein trigonometrisches Zeichen und seien bei 22,
23 verschiedene Punkte des aufzunehmenden Terrains, so wird der Winkelmeßapparat
bei 24 in einer Entfernung a vom Zeichen 21 aufgestellt. Wenn in einem der visierten
Dreiecke 24, 21, 22 man mit S die angenäherte Entfernung 24, 22 nennt und y den
Winkel der zwischen der Linie nach dem Zeichen 21 und der Linie nach dem aufzunehmenden
Punkte 22 gemessen wird und x den zu berechnenden Winkel bedeutet, so hat man die
Gleichung
was wohl ebenfalls eine Gleichung von der Form f ( x) = A (S)
' f2 (t) - f3 (u) ist. Die graphische Lösung dieser Gleichung ist
durch eine der vorausgegangenen ähnliche Vorrichtung gegeben. Auf einer halbkreisförmigen
Scheibe 25 (Abb. 5) ist im Mittelpunkte 26 eine Leiste 27 drehbar gelagert, deren
mit einer Marke versehenes Ende 28 sich auf einer kreisförmigen Gradteilung 2g verschieben
kann. Auf der Leiste 27 kann ein Schieber 3o gleiten, welcher mit einer Druckschraube
31 versehen ist und eine Achse 32 trägt, die in derselben Entfernung vom Rande der
Leiste 27
liegt wie der Zapfen 26. Bei 32 ist eine zweite Leiste 33 drehbar
gelagert, deren unterer Rand durch den Mittelpunkt des Zapfens 32 geht. Auf der
Scheibe 25 ist ein Netz von Linien gezeichnet, welches den Maßstab der Sinusfunktion
der
Winkel der Teilung 29 darstellt und dessen durch 34, 35 dargestellte Nullinie durch
den Mittelpunkt des Zapfens 26 geht. Parallel zu dieser Linie und einwenig darunter
ist eine Leiste 37 befestigt, auf deren oberen Kante sich das Ende der Leiste 33
stützt, welches durch einen Fuß 38 gebildet wird, der derart abgerundet ist, daß
»die Nullteilung des Maßstabes der Leiste 33 immer auf der Linie 347 35 bleibt.
-
Die Leiste 27 ist vom Punkte 26 aus in Grade eingeteilt. Die Leiste
33 ist nach dem Maßstabe der Funktion
oder nach ihrem Logarithmus in Grade eingeteilt.
-
Bei Handhabung der Vorrichtung verfährt man in folgender Weise Man
stellt den Schieber 3o auf die Teilung a, entsprechend der zwischen dem trigonometrischen
Punkte und dem Beobachtungsapparat gemessenen Entfernung; dann stellt man die Leiste
27 derart ein, daß sich ihre Marke 28 auf der dem gemessenen Winkel y entsprechenden
Teilung befindet; dann bringt man das Ende 38 der Leiste 33 auf den oberen Rand
der Leiste 37. In diesem Zustande befindet sich die mit S bezeichnete Teilung der
Leiste 33 auf der mit x bezeichneten Linie des Netzes, wobei x der Wert der gesuchten
Unbekannten ist.
-
Das Netz x ist in Sekundenwinkel gemäß den regelmäßig wachsenden Werten
eingeteilt. Wenn man eile große Anzahl von vom gleichen Punkte aus gemachten Messungen
korrigieren muß, so bleibt der Wert a konstant; die Winkel der Messung wechseln
regelmäßig; die Handhabung des Apparates vollzieht sich also sehr leicht, indem
man von der einen Beobachtung zur anderen übergeht. Man sieht jedesmal auf der Leiste
33 den Wert S entsprechend der angenäherten Entfernung, und man liest auf dem Netz
den gesuchten Wert von x.
-
Wenn die zu lösende Gleichung nur zwei Faktoren in ihrem zweiten Gliede
enthält f (x) = fi (S) ' f2 (t), kann die Vorrichtung äußerst einfach sein.
Sie wird das Netz von parallelen Linien enthalten, welche den Maßstab der Funktion
f (x)
darstellen; einen Maßstab der Funktion fi (s), welchen man auf einer
Kreislinie wie bei den Vorrichtungen der Abb. 3 und 5 auftragen wird und einen beweglichen
Zeiger, wie io oder 27, der den Maßstab der Funktion f , (t)
enthält. In Abb.
6 und 7 sind zwei Anordnungen gezeigt, welche ermöglichen, durch eine Ursprungslinie
40, 41 den Nullpunkt der Skala einer Leiste gehen zu lassen, welche sich auf die
obere Kante 45, 46 einer Führungsleiste 43 stützt. Nach Abb. 6 ist das Ende der
Leiste 42, welche die Teilung trägt, mit einem Fuße 44 versehen, welcher
nach einem Viertelkreis zugeschnitten ist, der als Mittelpunkt den Nullpunkt der
Gradteilung hat und als Radius die Entfernung zwischen der Ursprungslinie 40, 41
und der Führungsleiste 45, 46. Nach Abb. 7 befindet sich die Gradteilung auf dem
oberen Rande der Leiste 47, wobei der untere Rand dieser Leiste mit einer Abrundung
48 endigt, die aus einem Viertelkreis besteht, der als Mittelpunkt den Nullpunkt
der Gradteilung und als Radius die Entfernung zwischen der Ursprungslinie 40, 41
und der Kante der Führung 45, 46 hat.