CN112873207A - 一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法：(1)建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；(2)设计未知系统动态估计器估计柔性关节机械臂系统模型的不确定干扰和外部干扰；(3)构造funnel变量，结合反演法设计控制器。本发明通过未知系统动态估计器实现对模型不确定和外部干扰进行估计，并设计新型funnel变量，通过构造指数衰减的约束边界，使得系统有较好的瞬态性能，并能够满足系统的稳态性能要求，保证系统输出快速准确跟踪期望轨迹。

Description

一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控 制方法

技术领域

本发明涉及一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，特别是系统带有模型不确定和外部干扰以及输出约束的柔性关节机械臂系统的预设性能控制方法。

背景技术

随着科技的进步和发展，机械臂在工业、国防、医疗卫生等领域发挥着重要作用，提高机械臂系统的控制精度和稳定性是当前机械臂控制的研究热点。机械臂系统本身存在模型不确定及外部干扰，从而影响控制系统性能，甚至导致系统不稳定。因此通过设计合适的干扰观测器补偿系统模型不确定和外部干扰，从而提升机械臂系统的鲁棒性和稳态精度，是机械臂控制中的一个研究重点。

针对提高机械臂系统的运动性能，除去最传统PID控制和结合其他策略的控制算法，常见的控制算法有自适应控制、滑模变结构控制、反演控制和智能控制等方法。其中，反演控制是一种递归控制算法，其基本思想是将原来的系统分解为不超过系统阶数个数的子系统，再对每一个子系统设计虚拟控制律，一直反演推算到整个系统，最后实现对整个系统的控制，在机械臂系统中应用较多。如公开号为CN107662208A的中国专利公开了一种基于神经网络的柔性关节机械臂有限时间自适应反步控制方法、公开号为CN110687787A的中国专利公开了一种基于时变非对称障碍李雅普诺夫函数的机械臂伺服系统自适应控制方法。

但这些控制方法一般仅能保证系统的稳态性能，难以保证系统瞬态性能。因此针对控制系统瞬态响应问题，增强系统瞬态性能并保证系统的稳态性能也是急需解决的难点。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，该方法保证系统有更好的瞬态、稳态性能及鲁棒性，实现柔性关节机械臂系统输出对期望轨迹的快速准确跟踪。

为了解决上述技术问题提出的技术方案为：

一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

步骤2，设计未知系统动态估计器估计柔性关节机械臂系统模型的不确定干扰和外部干扰；

步骤3，构造funnel变量，结合反演法设计控制器。

具体地:

步骤1，建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1，柔性关节机械臂系统模型表示成如下形式：

其中M,g,L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q，θ分别为机械臂连杆和电机角度，

为机械臂连杆角加速度，

为电机角加速度，I、J分别为连杆和电机的惯量，K为弹性系数，τ为控制力矩，d₁和d₂是包含模型不确定和外部干扰的未知系统动态，表达式为：

其中，d_a和d_b分别为非匹配和匹配干扰。

1.2，定义系统状态变量x₁＝q，

x₃＝θ，

则式(1)可改写为：

其中，

为机械臂连杆角速度，

为电机角速度，y为系统输出。

步骤2，设计未知系统动态估计器估计柔性关节机械臂系统模型的不确定干扰和外部干扰；

令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)。定义x_2f、x_4f、a_f、b_f和τ_f为x₂、x₄、a、b和τ的滤波变量，分别满足：

和

其中，k>0表示滤波常数。

考虑系统(3)和滤波器(4)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

考虑系统(3)和滤波器(5)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

由不变流形β₁、β₂可设计如下未知系统动态估计器：

其中：

证明β₁为不变流形的过程如下：根据未知系统动态的物理建模可知，d_i及其导数有界，即：

η_i>0，

为d_i的上界，η_i为

的上界，i＝1,2。

对β₁求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

解式(7)可得

由于V_β1(t)和β₁(t)有界，则β₁(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₁上界确定，由上述分析可知

即β₁＝0为不变流形。

证明β₂为不变流形的过程如下：

对β₂求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(9)得

由于V_β2(t)和β₂(t)有界，则β₂(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₂上界确定，由上述分析可知

即β₂＝0为不变流形。

其中，未知系统动态估计器的误差收敛性证明如下：

定义未知系统动态估计器的估计误差：

将式(10)代入(11)中，可得：

对式(12)求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(14)可得

由于V_d1(t)和

有界，则估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

同理，对于未知系统动态估计器

可证得估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

步骤3，构造funnel变量，结合反演法设计控制器；

3.1，定义机械臂跟踪误差为：

e＝y-y_d (15)

其中，y_d是期望轨迹。

设计如下形式的funnel变量：

其中，

是预设性能函数，表达式为

F₀为

的初始值，F_∞为t→∞时

的稳态值，a₀表示

收敛速度，F₀>F_∞>0，a₀>0，误差初始值满足|e(0)|<F₀。

对式(16)求导可得：

其中，

3.2，构造李雅普诺夫函数V₁：

对其求导，可得：

其中，z₂＝x₂-α₁，α₁为虚拟控制律，根据式(19)可设计α₁为：

其中，k₁为大于零的常数。由式(20)中可以看出，性能函数

且

分母不为零。此外，

中也不存在分母为零的情况，因此α₁和

表达式中均不存在奇异值问题。

将式(20)代入式(19)可得：

3.3，构造李雅普诺夫函数V₂：

对其求导可得：

其中，z₃＝x₃-α₂，α₂为虚拟控制律。由于虚拟控制律的导数

过于复杂难以获得，为解决此问题，设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₁表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₁、

由式(23)设计虚拟控制律α₂：

其中，k₂为大于零的常数，

为d₁的估计值，

为

的估计值。

将式(25)代入式(23)可得：

其中，

3.4，构造李雅普诺夫函数V₃：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₂表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₂、

由式(28)设计虚拟控制律α₃：

其中，k₃为大于零的常数，

为

的估计值。

将式(30)代入式(28)可得：

3.5，构造李雅普诺夫函数V₄：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₃、

由式(33)设计控制器τ：

其中，k₄为大于零的常数，

为d₂的估计值，

为

的估计值。

将式(35)代入式(33)可得：

跟踪微分器具有如下性质：即存在一个正常数ω_i，满足：

其中，T_td是跟踪微分器的调节时间。

3.6，稳定性分析：

构造李雅普诺夫函数为V_s：

求导放缩可得：

其中，

可进一步表示为：

其中，ρ，γ的表达式分别为：

选取参数k₁>0，k₂>1，

k₄>1，滤波系数k<1，则ρ>0。

对式(40)两边同时积分可得：

0≤V_s(t)≤μ(t) (42)

其中，

由此，则判定系统是稳定的。

由式(38)和式(42)可得：

解不等式(43)可得：

由此，证明系统跟踪误差e约束在边界

以内。

本发明的技术构思为：为了解决模型不确定和外部干扰对柔性关节机械臂系统的影响，并且提升系统的瞬态性能。本发明提供了一种基于未知系统动态估计器的预设性能控制方法，基于低通滤波器设计未知系统动态估计器，用于估计模型不确定和外部干扰，增强系统鲁棒性。同时，构造带有时变约束边界的新型funnel变量(通过构造指数衰减的约束边界)，保证系统跟踪误差被限制在预先设定的边界内，进而改善系统瞬态性能。在此基础上，设计反演控制器，保证系统输出快速准确跟踪期望轨迹(跟踪控制)。

本发明的有益效果为：通过未知系统动态估计器实现对模型不确定和外部干扰的准确估计，增强系统鲁棒性；构造funnel变量，使得系统有较好的瞬态性能，并能满足系统的稳态性能要求；从而柔性关节机械臂系统输出对期望轨迹的快速准确跟踪。

附图说明

图1为本发明的控制流程图；

图2为参考轨迹y_d＝0.5sin(t)时本发明的位置跟踪轨迹示意图；

图3为参考轨迹y_d＝0.5sin(t)时本发明的位置跟踪误差示意图；

图4为参考轨迹y_d＝0.5sin(t)时本发明控制信号示意图；

图5为参考轨迹y_d＝0.5sin(t)时本发明未知系统动态d₁估计示意图；

图6为参考轨迹y_d＝0.5sin(t)时本发明未知系统动态d₂估计示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图6，本发明提供的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1，柔性关节机械臂系统模型表示成如下形式：

其中M,g,L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q，θ分别为机械臂连杆和电机角度，

为机械臂连杆角加速度，

为电机角加速度，I、J分别为连杆和电机的惯量，K为弹性系数，τ为控制力矩，d₁和d₂是包含模型不确定和外部干扰的未知系统动态，表达式为：

其中，d_a和d_b分别为非匹配和匹配干扰。

1.2，定义系统状态变量x₁＝q，

x₃＝θ，

则式(1)可改写为：

其中，

为机械臂连杆角速度，

为电机角速度，y为系统输出。

步骤2，设计未知系统动态估计器；

2.1，令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)。定义x_2f、x_4f、a_f、b_f和τ_f为x₂、x₄、a、b和τ的滤波变量，分别满足：

和

其中，k>0表示滤波常数。

考虑系统(3)和滤波器(4)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

证明β₁为不变流形的过程如下：根据未知系统动态的物理建模可知，d_i及其导数有界，即：

η_i>0，

为d_i的上界，η_i为

的上界，i＝1,2。

对β₁求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

解式(7)可得

由于V_β1(t)和β₁(t)有界，则β₁(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₁上界确定，由上述分析可知

即β₁＝0为不变流形。

考虑系统(3)和滤波器(5)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

证明β₂为不变流形的过程如下：

对β₂求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(9)得

由于V_β2(t)和β₂(t)有界，则β₂(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₂上界确定，由上述分析可知

即β₂＝0为不变流形。

由不变流形β₁、β₂可设计如下未知系统动态估计器：

2.2，估计器误差收敛性证明如下：

定义未知系统动态估计器的估计误差：

将式(10)代入(11)中，可得：

对式(12)求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(14)可得

由于V_d1(t)和

有界，则估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

同理，对于未知系统动态估计器

可证得估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

步骤3，funnel控制器设计及稳定性分析；

3.1，定义机械臂跟踪误差为：

e＝y-y_d (15)

其中，y_d是期望轨迹。

设计如下形式的funnel变量：

其中，

是预设性能函数，表达式为

F₀为

的初始值，F_∞为t→∞时

的稳态值，a₀表示

收敛速度，F₀>F_∞>0，a₀>0，误差初始值满足|e(0)|<F₀。

对式(16)求导可得：

其中，

3.2，构造李雅普诺夫函数V₁：

对其求导，可得：

其中，z₂＝x₂-α₁，α₁为虚拟控制律，根据式(19)可设计α₁为：

其中，k₁为大于零的常数。由式(20)中可以看出，性能函数

且

分母不为零。此外，

中也不存在分母为零的情况，因此α₁和

表达式中均不存在奇异值问题。

将式(20)代入式(19)可得：

3.3，构造李雅普诺夫函数V₂：

对其求导可得：

其中，z₃＝x₃-α₂，α₂为虚拟控制律。由于虚拟控制律的导数

过于复杂难以获得，为解决此问题，设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₁表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₁、

由式(23)设计虚拟控制律α₂：

其中，k₂为大于零的常数，

为d₁的估计值，

为

的估计值。

将式(25)代入式(23)可得：

其中，

3.4，构造李雅普诺夫函数V₃：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₂表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₂、

由式(28)设计虚拟控制律α₃：

其中，k₃为大于零的常数，

为

的估计值。

将式(30)代入式(28)可得：

3.5，构造李雅普诺夫函数V₄：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₃、

由式(33)设计控制器τ：

其中，k₄为大于零的常数，

为d₂的估计值，

为

的估计值。

将式(35)代入式(33)可得：

跟踪微分器具有如下性质：即存在一个正常数ω_i，满足：

其中，T_td是跟踪微分器的调节时间。

3.6，稳定性分析：

构造李雅普诺夫函数为V_s：

求导放缩可得：

其中，

可进一步表示为：

其中，ρ，γ的表达式分别为：

选取参数k₁>0，k₂>1，

k₄>1，滤波系数k<1，则ρ>0。

对式(40)两边同时积分可得：

0≤V_s(t)≤μ(t) (42)

其中，

由此，则判定系统是稳定的。

由式(38)和式(42)可得：

解不等式(43)可得：

由此，证明系统跟踪误差e约束在边界

以内。

为验证所提方法的有效性，本发明对虚拟控制律(20)、(25)、(30)和控制器(35)表示的funnel控制器的控制效果进行仿真实验，设置仿真实验中的初始条件如下：期望轨迹设置为y_d＝0.5sin(t)；系统模型参数为MgL＝5,I＝1,J＝1,K＝40；系统初始状态为x₁(0)＝0.4，x_j(0)＝0(j＝2,3,4)；虚拟控制律和控制器增益参数设置为k₁＝1.4，k₂＝5，k₃＝25，k₄＝15；滤波常数设置为k＝0.01；跟踪参数设置为r_i＝1(i＝1,2,3)；预设性能函数设置为

未知系统动态设置为

图2-图6为同参数情况下，本文控制方法与反演控制方法的对比。图2-4分别描述了柔性关节机械臂关节角位置跟踪性能、角位置跟踪误差以及控制器输出信号。由图2可以看出，两种控制方法均可以跟踪上期望轨迹。由图3可以看出，相较于反演法，本文所提出的方法有更好的瞬态、稳态性能和鲁棒性。此外，反演法的跟踪误差会越过边界

图4为控制器输出效果图。未知系统动态估计器(10)的估计效果如图5和图6所示，可以看出估计器能够准确估计模型不确定和外部干扰。

综上，本文提出的控制方法能够保证系统有更好的瞬态、稳态性能及鲁棒性，实现柔性关节机械臂系统输出对期望轨迹的快速准确跟踪。

以上阐述的是本发明给出的仿真实验表明本发明所设计方法的有效性，但显然本发明不只是局限于上述实例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明所设计的控制方案对带有模型不确定和外部干扰的柔性关节机械臂是有效的，在所提出的控制器作用下，能实现系统输出对期望轨迹的快速准确跟踪。

Claims (7)

1.一种基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，所述控制方法包括以下步骤：

(1)建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数；

(2)设计未知系统动态估计器估计柔性关节机械臂系统模型的不确定干扰和外部干扰；

(3)构造funnel变量，结合反演法设计控制器。

2.根据权利要求1所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，在步骤(1)中，建立柔性关节机械臂系统模型，初始化系统状态及控制参数的方法为：

1.1，柔性关节机械臂系统模型表示成如下形式：

其中M,g,L分别为机械臂质量、重力加速度和机械臂长度，q，θ分别为机械臂连杆和电机角度，

为机械臂连杆角加速度，

为电机角加速度，I、J分别为连杆和电机的惯量，K为弹性系数，τ为控制力矩，d₁和d₂是包含模型不确定干扰和外部干扰的未知系统动态，表达式为：

其中，d_a和d_b分别为非匹配干扰和匹配干扰；

1.2，定义系统状态变量x₁＝q，

x₃＝θ，

则式(1)可改写为：

其中，

为机械臂连杆角速度，

为电机角速度，y为系统输出。

3.根据权利要求2所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，在步骤(2)中，设计未知系统动态估计器估计柔性关节机械臂系统模型的不确定干扰和外部干扰的方法包括：

令a＝x₁-x₃，b＝sin(x₁)；定义x_2f、x_4f、a_f、b_f和τ_f为x₂、x₄、a、b和τ的滤波变量，分别满足：

和

其中，k>0表示滤波常数；

考虑系统(3)和滤波器(4)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

考虑系统(3)和滤波器(5)，对任意正定常数k，则

为不变流形，即

由不变流形β₁、β₂可设计如下未知系统动态估计器：

4.根据权利要求3所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，证明β₁为不变流形的过程如下：根据未知系统动态的物理建模可知，d_i及其导数有界，即：

η_i>0，

为d_i的上界，η_i为

的上界，i＝1,2；

对β₁求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

解式(7)可得

由于V_β1(t)和β₁(t)有界，则β₁(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₁上界确定，由上述分析可知

即β₁＝0为不变流形；

证明β₂为不变流形的过程如下：

对β₂求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(9)得

由于V_β2(t)和β₂(t)有界，则β₂(t)指数收敛到紧集

其上界由滤波系数k和d₂上界确定，由上述分析可知

即β₂＝0为不变流形。

5.根据权利要求4所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，所述未知系统动态估计器的误差收敛性证明如下：

定义未知系统动态估计器的估计误差：

将式(10)代入(11)中，可得：

对式(12)求导可得：

构造李雅普诺夫函数

求导可得：

求解式(14)可得

由于V_d1(t)和

有界，则估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

同理，对于未知系统动态估计器

可证得估计误差

指数收敛到零点附近邻域

且当k→0时，有

6.根据权利要求5所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，在步骤(3)中，构造funnel变量，结合反演法设计控制器的方法包括：

3.1，定义机械臂跟踪误差为：

e＝y-y_d (15)

其中，y_d是期望轨迹；

设计如下形式的funnel变量：

其中，

是预设性能函数，表达式为

F₀为

的初始值，F_∞为t→∞时

的稳态值，a₀表示

收敛速度，F₀>F_∞>0，a₀>0，误差初始值满足|e(0)|<F₀；

对式(16)求导可得：

其中，

3.2，构造李雅普诺夫函数V₁：

对其求导，可得：

其中，z₂＝x₂-α₁，α₁为虚拟控制律，根据式(19)可设计α₁为：

其中，k₁为大于零的常数，由式(20)中可以看出，性能函数

且

分母不为零；此外，

中也不存在分母为零的情况，因此α₁和

表达式中均不存在奇异值问题；

将式(20)代入式(19)可得：

3.3，构造李雅普诺夫函数V₂：

对其求导可得：

其中，z₃＝x₃-α₂，α₂为虚拟控制律；

由于虚拟控制律的导数

过于复杂难以获得，为解决此问题，设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₁表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₁、

由式(23)设计虚拟控制律α₂：

其中，k₂为大于零的常数，

为d₁的估计值，

为

的估计值；

将式(25)代入式(23)可得：

其中，

3.4，构造李雅普诺夫函数V₃：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₂表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₂、

由式(28)设计虚拟控制律α₃：

其中，k₃为大于零的常数，

为

的估计值；

将式(30)代入式(28)可得：

3.5，构造李雅普诺夫函数V₄：

对其求导可得：

设计如下形式的跟踪微分器：

其中，r₃表示跟踪参数，

为跟踪微分器输出，分别用于逼近α₃、

由式(33)设计控制器τ：

其中，k₄为大于零的常数，

为d₂的估计值，

为

的估计值；

将式(35)代入式(33)可得：

跟踪微分器具有如下性质：即存在一个正常数ω_i，满足：

其中，T_td是跟踪微分器的调节时间。

7.根据权利要求6所述的基于未知系统动态估计器的柔性关节机械臂预设性能控制方法，其特征在于，所述控制器τ的稳定性分析为：

构造李雅普诺夫函数为V_s：

求导放缩可得：

其中，

可进一步表示为：

其中，ρ，γ的表达式分别为：

选取参数k₁>0，k₂>1，

k₄>1，滤波系数k<1，则ρ>0；

对式(40)两边同时积分可得：

0≤V_s(t)≤μ(t) (42)

其中，

由此，则判定系统是稳定的；

由式(38)和式(42)可得：

解不等式(43)可得：

由此，证明系统跟踪误差e约束在边界

以内。

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