1.一种基于串并联估计模型的柔性机械臂系统模糊控制方法,其特征在于:包括以下步骤:
步骤1:建立柔性机械臂伺服系统动态模型,初始化系统状态、采样时间以及控制参数,过程如下:
1.1柔性机械臂伺服系统动态模型的运动方程表达式为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>I</mi>
<mover>
<mi>q</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mi>&theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>M</mi>
<mi>g</mi>
<mi>L</mi>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>J</mi>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mi>&theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度;与分别为机械臂连杆和电机的转动角加速度;g为重力加速度;I为连杆的惯量;J为电机的惯量;K为弹簧的刚度系数;M与L分别为连杆的质量与长度;u为控制信号;
1.2定义:x1=q,x3=θ,式(1)改写为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
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<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>J</mi>
</mfrac>
<mi>u</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,y为系统位置输出轨迹;与分别为机械臂连杆和电机的转动角速度;
<mrow>
<msub>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>M</mi>
<mi>g</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
<mi>I</mi>
</mfrac>
<mi>sin</mi>
<mi> </mi>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mi>K</mi>
<mi>I</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mi>I</mi>
<mi>K</mi>
</mfrac>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>K</mi>
<mi>J</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
步骤2:针对式(1),计算控制系统位置跟踪误差,利用模糊系统逼近复杂非线性项,设计系统状态预测误差以及预测变量的变化律,设计虚拟控制量,并通过一阶低通滤波器输出,最后更新模糊系统权值,过程如下:
2.1定义系统的位置跟踪误差
s1=x1-yr (3)
其中,yr为二阶可导期望位置轨迹;
2.2设计虚拟控制量
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,k1为常数且满足k1>0,为期望速度轨迹;
2.3定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ2的一阶低通滤波器,得
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2.4定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响,定义第一补偿信号z1,其变化律表达式为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&chi;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,z2为第二补偿信号;
2.5定义跟踪误差补偿信号
v1=s1-z1 (7)
2.6定义误差变量
<mrow>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2.7为了逼近复杂的非线性不确定项f2(X),定义以下模糊系统
其中,为理想权重;ε2为模糊逼近误差,εN2为逼近误差上界,满足|ε2|≤εN2;的表达式为
其中,μl(xj)为隶属度函数,其表达式为 为常数,exp(·)为指数函数;
2.8设计虚拟控制量
其中,k2为常数且满足k2>0,为的估计值;
2.9定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ3的一阶低通滤波器,可得
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2.10定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响,定义第二补偿信号z2,设计其变化律表达式
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&chi;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,z3为第三补偿信号;
2.11定义预测误差
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,为系统状态x2的预测值;
2.12设计串并联估计模型
其中,β2为常数且满足β2>0;
2.13定义跟踪误差补偿信号
v2=s2-z2 (16)
2.14设计模糊系统权重估计值的调节规律为
其中,δ2与rz2为常数,且δ2>0,rz2>0,γ2为对称正定矩阵;
2.15定义误差变量
<mrow>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2.16设计虚拟控制量
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>19</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,k3为常数,且k3>0;
2.17定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ4的一阶低通滤波器,可得
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>d</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2.18定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响,定义第三补偿信号z3,设计其变化律表达式
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&chi;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>21</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,z4为第四补偿信号;
2.19定义跟踪误差补偿信号
v3=s3-z3 (22)
步骤3:设计控制器输入,过程如下:
3.1定义误差变量
<mrow>
<msub>
<mi>s</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
<mi>c</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>23</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
3.2为了逼近复杂的非线性不确定项f4(X),定义以下模糊系统
<mrow>
<msub>
<mi>f</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>&theta;</mi>
<mn>4</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&epsiv;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>24</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,为理想权重;ε4为模糊逼近误差,εN4为逼近误差上界,满足|ε4|≤εN4;
3.3设计控制器输入为u
其中,k4为常数且满足k4>0,为的估计值;
3.4定义第四补偿信号z4,设计其变化律表达式
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>26</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
3.5定义预测误差
<mrow>
<msub>
<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>27</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,为系统状态x4的预测值;
3.6设计串并联估计模型
其中,β4为常数且满足β4>0;
3.7定义跟踪误差补偿信号
v4=s4-z4 (29)
3.8设计模糊系统权重估计值的调节规律为
其中,δ4,rz4为常数,且δ4>0,rz4>0,γ4为对称正定矩阵;
步骤4:设计李雅普诺夫函数
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>4</mn>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>v</mi>
<mi>i</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>4</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
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<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mn>4</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>31</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对式(31)进行求导得:
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>4</mn>
</msubsup>
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<mi>v</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>v</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>4</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
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<msub>
<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
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<mi>r</mi>
<mrow>
<mi>z</mi>
<mn>4</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>z</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>z</mi>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mi>N</mi>
<mi>N</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>32</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
如果则判定系统是稳定的。