CN108897218B - 一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法。首先建立了含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，其次采用了基于混合奇次重复控制器(以下简称HORC)的磁悬浮转子奇次谐波电流抑制方法。HORC由奇次谐波频率抑制的二阶内膜结构和改进谐振控制器(以下简称MRSC)并联构成。HORC可以改善谐波频率摄动时磁悬浮转子系统的谐波抑制能力，即提高系统谐波频率摄动下的系统控制鲁棒性。通过对磁悬浮转子中磁轴承线圈产生的奇次谐波电流分量进行抑制，实现存在转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统奇次谐波振动的抑制。

Description

一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑 制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子谐波振动抑制的技术领域，具体涉及一种基于混合奇次重复控制器HORC(Hybrid Odd Repetitive Controller,HORC)的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法，应用于磁悬浮转子系统的振动抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术

磁悬浮控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)中，磁轴承电磁力实现了转子的稳定悬浮。由于转子和定子之间无机械摩擦，故磁轴承与机械轴承相比具有诸多优点：首先，磁悬浮转子和定子间无机械摩擦，CMG飞轮转速可以大幅提高；其次，易于实现磁悬浮转子不平衡振动力抑制；此外，鉴于CMG框架的等效转动惯量与转子支承刚度相关，故采用基于磁轴承支承转子的方式可以调低轴承刚度，从而增大CMG框架的等效转动惯量。因此，磁轴承在同等力矩输出的条件下可以提高系统框架角速率精度和CMG力矩输出精度，最终提高航天器的指向精度与稳定度。磁轴承在航天器高精度长寿命姿态控制执行机构中已得到广泛应用。因此，基于磁轴承的高精度长寿命CMG是航天器姿态控制执行机构的理想选择。

尽管磁悬浮CMG具有诸多优点，但其中的高频振动可以通过磁轴承和基座间接影响航天器姿态控制精度，降低航天器平台的指向精度和稳定度。磁悬浮CMG的振动源主要由转子质量不平衡和传感器谐波导致。其中转子质量不平衡是主要振动源，其次由于传感器检测面的圆度误差、电磁特性不均匀等原因，位移传感器信号中会出现传感器谐波，故转子质量不平衡和传感器谐波共同构成了的磁悬浮CMG的谐波振动源。

谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类。其中零电流振动抑制具有计算量小和功耗低的优点。针对谐波电流抑制可以分为两方面研究，主要包括单一频率谐波抑制研究和不同倍频谐波同时抑制研究。其中通过单一陷波器的使用可以实现对单一频率的抑制，并联多陷波器算法可以实现多个频率振动同时抑制，但计算量大，算法设计相对复杂；重复控制算法则无需并联多个滤波器便可实现对不同频率成分振动的同时抑制，设计相对简单，控制器计算量小。但应用于磁悬浮转子系统的重复控制算法均在基于电流基频电恒定的条件下完成内膜设计，基本未考虑结构本身对电流基频的变化非常敏感以及控制系统动态性能较差的问题，导致电流基频出现摄动时，重复控制器谐波电流抑制效果衰减。

发明内容

本发明目的为：克服现有技术不足，发明了一种基于混合奇次重复控制器HORC的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法，从而实现磁悬浮转子系统的奇次谐波振动的有效抑制。该发明通过HORC的引入，提高了磁悬浮转子系统在谐波振动频率摄动时奇次谐波振动抑制精度和系统的动态响应速度。

本发明采用的技术方案为：一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；

磁悬浮转子系统的结构示意图如图2所示，包括位移传感器，径向磁轴承线圈、轴向磁轴承线圈、磁悬浮转子惯性轴、磁悬浮转子几何轴、磁悬浮转子，设磁轴承定子的几何中心为W，转子的几何中心为O，转子的质心为C，以W为中心建立惯性坐标系WXY，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值，由于转子结构关于轴向对称，其在X、Y方向的数学模型相同，故在X方向上对其径向谐波扰动来源以及控制算法进行分析与研究；

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程可写为：

其中，m表示转子质量，

表示转子在X方向的加速度，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，f_u表示转子的不平衡力，可写为：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中,e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，t表示时间，φ表示转子不平衡质量的初始相位；

当转子在磁轴承中心位置悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii_x

其中,K_x和K_i分别为磁轴承位移刚度和电流刚度，x为转子几何中心的真实坐标值，i_x为磁轴承线圈电流；

在实际转子系统中，由于受到机械加工精度和材料不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，位移传感器实际测得X方向的转子位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可表示为：

其中,c_l表示谐波系数，l表示谐波次数，p表示最高谐波次数，θ_l表示谐波初始相位。

将i_x、x_d(t)、f_u依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、x_d(s)、f_u(s)，则磁轴承线圈电流i_x(s)的传递函数可表示为：

其中，G_c(s)是反馈控制器的传递函数，G_w(s)是功放环节的传递函数，G_p(s)是磁悬浮转子的传递函数，R(s)是参考输入信号，K_s是传感器增益；

步骤(2)设计一种基于混合奇次重复控制器HORC的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法；

以谐波振动为控制目标，算法控制器以“插入”的形式嵌入原闭环系统。将谐波电流i_x作为误差信号输入至该插入式重复控制器模块，该模块的输出等效反馈至原控制系统的功放输入端。该模块的设计主要包括以下三个方面：

①二阶重复控制器结构算法，通过对磁悬浮转子系统在任一转速下所产生的谐波电流进行频谱分析可知，磁悬浮转子系统中谐波电流频率成分主要为奇次谐波，根据二阶重复控制结构的一般设计方式，设计与主导频率为奇次谐波倍频相对应的内模环节。依据小增益定理稳定判据进行稳定性分析后获得w₁和w₂两个加权系数的关系及参考范围，通过适当调节加权系数可使得控制系统在谐波电流频率摄动时具有一定的鲁棒性；

②基于传统谐振控制器进行改进设计，将谐振控制器角频率参数根据实时转频进行修正，以提高谐振控制器的频率鲁棒性；

③相位超前-滞后补偿环节由相位超前-滞后校正环节组成，根据系统函数相频特性及系统稳定性条件确定，该补偿环节可提高系统稳定性，拓宽控制器增益的取值上限，同时使系统稳定性设计的冗余度增加而且动态性能和稳态性能都有一定改善。

进一步地，所述的步骤(2)谐波振动抑制算法为：

①二阶重复控制器的结构设计

重复控制器(RC)是基于内模原理实现误差信号跟踪，可以通过引入无穷多个闭环极点来消除

倍频谐波分量。二阶重复控制器结构可以设计为包含2k+1(k＝0，1，2，3...)次谐波频率的内模，即引入与奇次谐波电流频率分量相对应的内模环节，实现奇次谐波频率的准确定位和极点引入。从而，在引入的频率点处，系统频率响应可获得无穷增益。

HORC结构中二阶重复控制器的传递函数G_SORC(z)可以表示为：

其中，

k_rc为G_SORC(z)所对应的控制器增益，N₂表示二阶重复控制器的超前补偿拍数；Q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为系统截止频率；

根据在任一转速下磁悬浮转子系统产生的谐波电流的频谱分析可知，谐波电流主要频率成分为奇次谐波，根据二阶重复控制器设计的一般方式，设计基于2k+1(k＝0，1，2，3...)次主导频率的二阶重复控制内模环节；

根据二阶重复控制内模原理可知，奇次谐波成分的频率响应几乎可被抑制为零。二阶重复控制与传统RC相比，当谐波电流频率摄动时，控制系统的频率鲁棒性得到一定改善。

②改进谐振控制器的设计

为提高系统的动态响应速度，设计了一种改进谐振控制器，其传递函数为：

其中，k_rsc为改进谐振控制器的控制增益，ω_cr为谐振控制器带宽，r为谐波阶数，ω_i为磁悬浮转子系统实测转频。

②相位补偿函数K_f(z)的设计

为保证系统的稳定性，设计了一种基于多个超前环节和滞后环节相串联的系统幅频特性校正方法，即：补偿函数K_f(z)设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)(m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：

Z(·)为离散化记号，系数b根据系统具体选取，实现系统低频段的有效校正，同时系统中高频段的特性变化很小；

G₂ ^m(z)为串联m个超前相位补偿环节的中频段相位补偿函数，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据系统相位补偿需求具体选取，实现系统中频段特性的有效校正；

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件；

采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

本发明基本原理：传统RC可以实现谐波电流的有效抑制，但传统RC实现谐波电流有效抑制的前提条件是基于谐波电流频率的精确确定，当谐波电流频率出现摄动时，传统RC的谐波电流抑制效果会出现很大衰减。HORC在谐波电流抑制过程中对频率的摄动具有一定的控制鲁棒性，可以提高谐波电流频率摄动时谐波电流抑制精度和改善系统的动态响应速度。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)为了有效抑制磁悬浮转子系统中的谐波振动，本发明提出了一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法。二阶重复控制器的内模环节可以针对谐波频率(包含2k+1(k＝0,1,2,3...)次谐波频率)实现准确定位和极点引入，从而实现系统谐波振动有效抑制。二阶重复控制器结构可以通过调整内模环节的参数w₁和w₂来提高系统的鲁棒性。

(2)改进谐振控制器实现对谐振控制器转频参数的实时更新，拓宽了谐振控制器在谐波频率点处的陷波范围，降低了系统对于频率波动的敏感程度。

(3)相较于传统RC而言，HORC加快了系统谐波振动抑制的动态响应速度和改善了系统频率鲁棒性。

附图说明

图1为本发明一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法的流程图；

图2为磁悬浮转子系统结构示意图，其中，1为位移传感器，2为径向磁轴承线圈，3为轴向磁轴承线圈，4为磁悬浮转子惯性轴，5为磁悬浮转子几何轴，6为磁悬浮转子；

图3为X通道磁轴承控制系统框图；

图4为Y通道磁轴承控制系统框图；

图5为针对X通道插入混合奇次重复控制器整体系统框图；

图6为插入式混合奇次重复控制器具体结构框图；

图7为针对Y通道插入混合奇次重复控制器整体系统框图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法的实施过程是：首先建立含有转子质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法；

步骤(1)建立含有质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子系统的结构示意图如图2所示，包括位移传感器1，径向磁轴承线圈2、轴向磁轴承线圈3、磁悬浮转子惯性轴4、磁悬浮转子几何轴5、磁悬浮转子6，设磁轴承定子的几何中心为W，转子的几何中心为O，转子的质心为C，以W为中心建立惯性坐标系WXY，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在径向的动力学方程可写为：

其中，m表示转子质量，

分别表示转子在X、Y方向的加速度，f_x、f_y分别表示磁轴承在X、Y方向的轴承力，f_u表示转子的不平衡力，可写为：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中,e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，t表示时间，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

当转子在磁轴承中心位置悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii_x

f_y≈K_yy+K_ii_y

其中,K_x和K_y分别为磁轴承在X、Y方向的位移刚度，K_i为电流刚度，x、y分别为转子几何中心在X、Y方向的真实坐标值，i_x、i_y为磁轴承线圈电流。

在实际转子系统中，由于受到机械加工精度和材料不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，位移传感器实际测得X、Y方向的转子位移x_s(t)、y_s(t)分别为：

x_s(t)＝x+x_d(t)

y_s(t)＝y+y_d(t)

其中，x_d(t)与y_d(t)为传感器谐波，可表示为：

其中,c_l表示谐波系数，l表示谐波次数，p表示最高谐波次数，θ_l表示谐波初始相位。

将i_x、i_y、x_d(t)、y_d(t)、f_u依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、i_y(s)、x_d(s)、y_d(s)、f_u(s)，图3、图4分别为X、Y方向的磁悬浮转子系统框图，则磁轴承线圈电流i_x(s)、i_y(s)的传递函数可分别表示为：

其中，G_c(s)是反馈控制器的传递函数，G_w(s)是功放环节的传递函数，G_p(s)是磁悬浮转子的传递函数，R(s)是参考输入信号，K_s是传感器增益。

从上式可以看出，转子质量不平衡以及传感器谐波会使磁轴承线圈产生谐波电流，谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度，因此加以通过对谐波电流的抑制，达到振动抑制。

步骤(2)一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法

针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法对谐波振动进行抑制。

针对X通道谐波电流，在原X通道闭环系统基础上插入混合奇次重复控制器，如图5所示。由X通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_x(s)和D_x(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_x(s)。I_x(s)经两路反馈至输入端，一路经过转子系统G_p(s)，另一路则经过“插入”的混合奇次重复控制器。图5中混合奇次重复控制器的具体结构框图如图6所示，其中I(z)是X通道中谐波电流I_x(s)离散化后的电流序列，即跟踪误差，k_rc为二阶重复控制器控制器的增益，N为离散电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为X通道谐波电流成分中的基频，f_s为系统采样频率；N₂表示二阶重复控制器的超前补偿拍数。K_f(z)表示在低频段和中频段的相位补偿函数，在设计中，

表示高频段的相位补偿函数，Q(z)为增加系统鲁棒性而加入的低通滤波器。

由于X、Y通道相互解耦，故针对Y通道谐波电流抑制可仿照上述X通道的谐波电流抑制方式。Y通道电流抑制具体实施步骤如下：在原Y通道闭环系统基础上插入混合奇次重复控制器，如图7所示，由Y通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_y(s)和D_y(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_y(s)，I_y(s)经两路反馈至输入端，一路经过转子系统G_p(s)，另一路则经过“插入”的混合奇次重复控制器。图7中混合奇次重复控制器的具体结构框图如图6所示，此时I(z)即是Y通道谐波电流I_y(s)离散化后的电流序列，即跟踪误差，k_rc为二阶重复控制器的增益，N为离散电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为Y通道谐波电流成分中的基频，f_s为系统采样频率；N₂表示二阶重复控制器的超前补偿拍数。K_f(z)，

以及Q(z)的作用、定义与X通道均一致。

二阶重复控制器的传递函数G_SORC(z)可以表示为：

其中，

k_rc为G_SORC(z)所对应的控制器增益，N₂表示二阶重复控制器的超前补偿拍数；Q(z)是截止频率为ω_c的低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为系统截止频率；

混合奇次重复控制器设计过程如下：

本发明应用的磁悬浮转子系统，在高转速情况下，根据频谱分析可知，转子有效谐波扰动主要表现在同频、三倍频、五倍频、七倍频和九倍频。故从频谱分析结果可知，该转子系统中的奇次谐波频率分量占据谐波电流成分的主导位置。

针对该磁悬浮转子系统，设计的二阶奇次内模结构的传递函数G_SORC(z)可表示为：

其中，w₁-w₂＝1

针对该磁悬浮转子系统，设计的改进谐振控制器传递函数G_MRSC(s)可表示为：

稳定性分析和相位滞后-超前补偿环节设计：

a)、稳定性分析：

对于如图5、7所示的闭环系统，若同时满足下列条件，则闭环系统是渐进稳定的：

条件1：

若0＜w₂＜1，则

条件2：

条件1和条件2成立须满足以下等式关系：

其中，

为磁悬浮转子系统插入改进谐振控制器后的系统函数，

和

为插入改进谐振控制器后系统函数

的幅值与相位；

为相位补偿后的插入谐振控制器的系统函数，

和

分别表示相位补偿后插入谐振控制器的系统函数

的幅值和相角；

为系统中低频段补偿函数，

和

分别表示

的幅值和相角；

为低通滤波器；

为系统高频补偿环节；T_s为控制系统采样时间；N₂为离散系统延时采样点数。

对于图5、7所示系统，k_rc的取值范围由条件1给定，N₂的取值范围由条件2给定。针对一个实际系统而言，

以及T_sω(ω≈ω_c)均是已知，因此，系统参数可以确定。

b)、相位滞后-超前补偿环节设计：

相位补偿环节K_f(z)的一般形式为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)(m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为(Z(·)为离散化记号)：

系数b根据系统具体选取，实现系统低频段特性有效校正，中高频段特性变化很小。

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系统在经过G₂ ^m(z)的超前相位补偿后，有可能使得中低频段内系统相位发生较大幅度的改变，从而影响系统整体性能。为减弱由于G₂ ^m(z)对系统中低频段的影响，需要加入滞后校正环节G₃(z)。

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段相位满足系统稳定条件。

综上所述，通过引入相位补偿函数和增益系数，可以保证算法加入后系统的稳定性。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤(1)：建立含有质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；

磁悬浮转子系统包括位移传感器(1)，径向磁轴承线圈(2)、轴向磁轴承线圈(3)、磁悬浮转子惯性轴(4)、磁悬浮转子几何轴(5)、磁悬浮转子(6)，设磁轴承定子的几何中心为W，转子的几何中心为O，转子的质心为C，以W为中心建立惯性坐标系WXY，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值，由于转子结构关于轴向对称，其在X、Y方向的数学模型相同，故在X方向上对其径向谐波扰动来源以及控制算法进行分析与研究；

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程写为：

其中，m表示转子质量，

表示转子在X方向的加速度，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，f_u表示转子的不平衡力，写为：

f_u＝meΩ²cos(Ωt+φ)

其中,e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，t表示时间，φ表示转子不平衡质量的初始相位；

当转子在磁轴承中心位置悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：

f_x≈K_xx+K_ii_x

其中,K_x和K_i分别为磁轴承位移刚度和电流刚度，x为转子几何中心的真实坐标值，i_x为磁轴承线圈电流；

在实际转子系统中，由于受到机械加工精度和材料不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，位移传感器实际测得X方向的转子位移x_s(t)表示为：

x_s(t)＝x+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，表示为：

其中,c_l表示谐波系数，l表示谐波次数，p表示最高谐波次数，θ_l表示谐波初始相位；

将i_x、x_d(t)、f_u依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、x_d(s)、f_u(s)，则磁轴承线圈电流i_x(s)的传递函数表示为：

其中，G_c(s)是反馈控制器的传递函数，G_w(s)是功放环节的传递函数，G_p(s)是磁悬浮转子的传递函数，R(s)是参考输入信号，K_s是传感器增益；

步骤(2)：设计一种基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子奇次谐波振动抑制方法；

混合奇次重复控制器，以奇次谐波电流抑制为控制目标，混合奇次重复控制器以“插入”的形式嵌入原闭环系统，谐波电流i_x作为误差信号输入至该插入式重复控制器模块，该模块的输出反馈至原控制系统的功放输入端，该模块的设计包括以下三个步骤：

①二阶重复控制器结构算法，通过对磁悬浮转子系统在任一转速下所产生的谐波电流进行频谱分析可知，磁悬浮转子系统中谐波电流频率成分主要为奇次谐波，根据二阶重复控制结构的一般设计方式，设计与主导频率为奇次谐波倍频相对应的内模环节；依据小增益定理稳定判据进行稳定性分析后获得w₁和w₂两个加权系数的关系及参考范围，通过适当调节加权系数可使得控制系统在谐波电流频率摄动时具有一定的鲁棒性；

②基于传统谐振控制器对其进行改进设计，将谐振控制器角频率参数根据实时转频进行修正，以提高谐振控制器的频率鲁棒性；

③相位超前-滞后补偿环节由相位超前-滞后校正环节组成，根据系统函数相频特性及系统稳定性条件确定，该补偿环节可提高系统稳定性，拓宽控制器增益的取值上限，同时使系统稳定性设计的冗余度增加而且动态性能和稳态性能都有一定改善；

所述的步骤(2)振动抑制算法为：

①二阶重复控制器结构设计

重复控制器是基于内模原理实现误差信号跟踪，通过引入无穷多个闭环极点来消除

倍频谐波分量，尽管传统重复控制器可以实现所有倍频谐波分量的抑制，但采用传统RC时，控制系统对频率变化的鲁棒性较差， 二阶重复控制器针对需要抑制的谐波频率分量实现准确定位和极点引入，从而，在引入频率点处，系统频率响应为无穷增益；

混合奇次重复HORC结构中二阶重复控制器的传递函数G_SORC(z)表示为：

其中，

k_rc为G_SORC(z)所对应的控制器增益，N₂表示二阶重复控制器的超前补偿拍数；Q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，表达形式为：

其中，ω_c为系统截止频率；

根据在任一转速下磁悬浮转子系统产生的谐波电流的频谱分析可知，谐波电流主要频率成分为奇次谐波，根据二阶重复控制器设计的一般方式，设计基于2k+1次主导频率的二阶重复控制内模环节，其中k＝0,1,2,3...；

根据二阶重复控制内模原理可知，奇次谐波成分的频率响应几乎可被抑制为零；二阶重复控制与传统RC相比，当谐波电流频率摄动时，控制系统的频率鲁棒性得到一定改善；

②改进谐振控制器的设计

为提高系统的动态响应速度，设计了一种改进谐振控制器，控制器传递函数为：

其中，k_rsc为改进谐振控制器的控制增益，ω_cr为谐振控制器带宽，r为谐波阶数，ω_i为磁悬浮转子系统实测转频；

③相位补偿函数K_f(z)的设计

为保证系统的稳定性，设计了一种基于多个超前环节和滞后环节相串联的系统幅频特性校正方法，即：补偿函数K_f(z)设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)，m＝0,1,2…

其中，G₁(z)为低频段补偿，其表达形式为：

Z(·)为离散化记号，系数b根据系统具体选取，实现系统低频段的有效校正，同时系统中高频段的特性变化很小；

G₂ ^m(z)为串联m个超前相位补偿环节的中频段相位补偿函数，表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据系统相位补偿需求具体选取，实现系统中频段特性的有效校正；

G₃(z)为中低频段滞后校正，表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件；

采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性；

为了有效抑制磁悬浮转子系统中的谐波振动，该基于混合奇次重复控制器的磁悬浮转子系统奇次谐波振动抑制方法中，二阶重复控制器的内模环节可以针对包含2k+1次谐波频率实现准确定位和极点引入，从而实现系统谐波振动有效抑制，二阶重复控制器结构通过调整内模环节的参数w₁和w₂来提高系统的鲁棒性；

改进谐振控制器实现对谐振控制器转频参数的实时更新，拓宽了谐振控制器在谐波频率点处的陷波范围，降低了系统对于频率波动的敏感程度；

相较于传统RC而言，混合奇次重复控制器加快了系统谐波振动抑制的动态响应速度和改善了系统频率鲁棒性。

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